图论与网络优化

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在D = (V, A)中，点vi的邻点集N (vi) 可分解为两 部分，即：
N v i v j v i , v j A ,
N vi




N v i v k v k , v i A
vj v i ,v j A v k v k ,v i A
e1
v2 v4 e8 v5
v3
12
wk.baidu.com
三、最小支撑树及其算法 定义8：设图G=（V，E），E中任意一条边eij上都对
应有一个数wij，称wij为eij的权重，权重的全体记作
W，称为G上的权重集，简称权。图G称为赋权图。
记作G=（V，E，W），G的总权重记作w（G），或 者w（E）。 今后，我们讨论的都是连通的赋权图。 1．最小支撑树 一个网络图可以有多个支撑树．记G 的所有支撑 树的集合为： T＝{ T | k＝1，2，…，L }
w r m i n w r
p

30
最短路问题按其不同的要求，可分成下列三种类型：
1、求两个定点之间的最短路；
2、求一个定点到其他各点的最短路；
3、求各点对之间的最短路。
不失一般性，总假定图中无环，以及多重弧只是 由两条互为反向的弧组成的二重弧。
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【例4】（渡河问题） 一人携带狼、羊、菜，须从一条小河的此岸渡往对岸。 河边仅有一条小船，容量为2。当人不在场时，狼要 吃羊、羊要吃菜。问：应怎样渡河，才能使大家安全
第五章 图论与网络优化
1
§5-1 引论 §5-2 图论基本概念 §5-3 树及其优化问题 §5-4 最短路问题 §5-5 最大流问题 §5-6 中国邮递员问题
2
§5-3 树及其优化问题
一、树及其性质
在各种各样的图中，有一类图是十分简单又非常 具有应用价值的图，这就是树。 例5.3 已知有六个城市，它们之间要架设电话线，要 求任意两个城市均可以互相通话，并且电话线的总长 度最短。
条弧，同时权集W增广为新权集。于是，原图D增广 为新图 D (V , A,W )。
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显见，若某两相邻点之间有多于一条的同向弧，则 可弃大留小，简化为一条弧，从而是一个完全的二重 赋权有向图，其中，增广的权集，定义为：
wij , wij 0, , aij A i j aij A A
v3
v3 v1 v2 v1
v3
v5
v4 v5
v6
v2 v5
v6
v3 v1
v2
v3
v1
v4
v2
(2)破圈法：
① 在图中寻找一个圈。 若不存在圈，则已经 得到最短树或网络不 存在最短树； ② 去掉该圈中权数最 大的边； ③ 反复重复 ① ② 两 步，直到最小树。
v1 1
4 2 4 5
v2 1
1 3 4
一个电话网。下图是一个不含圈的连通图，代表了
一个电话线网。
v1 v3 v4
v2 v5 v6
5
定义6： 一个无圈的连通图叫做树。 树一般记为T．作为树定义还可以有以下几种表述： (1) T 连通且无圈或回路； (2) T 无圈且有n－1条边（如果有n个结点）； (3) T 连通有n－1条边； (4) T 无回路，但不相邻的两个结点之间联以一边， 恰得一个圈； (5) T 连通，但去掉T 的任意一条边，T 就不连通 了；（亦即，在点集合相同的图中，树是含边 数最少的连通图。） (6) T 的任意两个结点之间恰有一条初等链．
定理5-4 图G是一个树的充分必要条件是任意两个顶 点之间有且仅有一条链。
7
从以上定理，不难得出以下结论：
（ 1 ）从一个树中任意去掉一条边，那么剩下的图
不是连通图，亦即，在点集合相同的图中，
树是含边数最少的连通图。 （ 2 ）在树中不相邻的两个点之间加上一条边，那 么恰好得到一个圈。
8
二、支撑树
于是，可能的状态仅有10种。
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以每个状态作为顶点，构造相应的图（如图5-8所 示），其中，边的连接原则为：
若状态甲经一次渡河可变为乙，则连一条边。 从而，渡河问题就归结为求MWSV→Φ的最短路。 (船上必须要有人)
MWSV MWS
（算法形式化方面的内容）
MWV MSV
MS
WV
W
S 图5-8
V
Φ
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定义7 设图K=( V , E1 )是图G=(V , E )的一个支撑 子图 ( 点相同并保持图的连通性 ) ，如果图 K=(V , E1)
是一个树,那么称K 是G 的一个支撑树。 例如 , 图5.10 b 是图5.10a 的一个支撑树
v3
v5
v3
v5
v1
v6
v1
v6 v2 b
v4
v2
显然,如果图K=(V,E1)是图G=(V,E)的一个支撑树,那 么K 的边数是p(G)–1，G中不属于支撑树K 的边数是 9 q(G)–p(G)+1。
而且经常被作为一个基本工具，用于解决其它优化
问题。许多优化问题往往可转化为求图上的最短路， 这方面的研究工作已取得了十分丰富的成果，迄今 为止，求解的算法已不下数十种。
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如下图所示的单行线交通网，每个弧旁边的 数字表示这条单行线的长度。现在有一个人要从v1 出发，经过这个交通网到达v6，要寻求总路程最短 的线路。
v2 e1 v1 e2 v3 e3 e4 e5 v4 e7 e8 e6
11
v5
取一个圈(v1 ,v2 ,v3 ,v1 )，在一个圈中去掉边e3 。 在剩下的图中，再取一个圈（v1 ,v2 ,v4 ,v3 ,v1 ），去掉边e4 。 再从圈（v3 ,v4 ,v5 ,v3 ）中去掉边e6 。 再从圈(v1 ,v2 ,v5 ,v4 ,v3 ,v1 ）中去掉边e7。 这样，剩下的图不含圈，于是得到一个支撑树，如图所示。 v2 e1 v1 e2 e3 e4 v4 e5 e7 e8 e6 v5 v1 e2 v3 e5
k
13
定义9：图G的支撑树T中，总权最小的树称为最小 支撑树，简称最小树，记作T * ．
设 Tk ＝（V ， Ek ，Wk ）是图G ＝（ V ，E ， W ）的一棵
支撑树，则边集 Ek 中所有边的权数之和称为树 Tk 的
权数，记为：
w Tk
e Ek
w e
Tk T
若 T T ， 使 w T min w Tk
v2 6 4 1 v3 v5
25
v4
3
v1 5 1 2 6
3
v6
v2 3 v1
6 4 1
v4 3 2 6 v5 v6
1
5
从v1到v6的路线是很多的。比如: 从v1－> v2 －> v4 －> v6;
v3
或者从v1 －> v2 －> v3 －> v5 －> v6等等。 不同的路线，经过的总长度是不同的。
到达对岸，且小船在河上的来回次数最少。
(船上必须要有人)
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【解】
记M代表人、W代表狼、S代表羊、V代表菜。
以河的此岸为考察基点，则开始状态为MWSV，结
束状态为Φ。 共有16种状态：MWSV、MWS、MWV、MSV、 WSV、MW、MS、MV、WS、WV、SV、M、W、 S、V、Φ。 其中，有6种不允许出现，即：WSV、MW、MV、 WS、SV、M。
一条边，得到图G的一支撑子图G2。依此类推，可以得
到图G的一个支撑子图GK，且不含圈，从而GK是一个支
撑树。
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定理6充分性的证明，提供了一个寻找连通图支撑 树的方法叫做“破圈法”。 即：就是从图中任取一个圈，去掉一条边。再对剩
下的图重复以上步骤，直到不含圈时为止，这样就
得到一个支撑树。 例4 用破圈法求出下图的一个支撑树。
其中，当i = j时，若设 w ij 0，则与实际背景不 符，若< 0，则出现负回路，故须定义为0。由 Bellman最优化原理易知：从v1到vj的最短路长rj*必 满足 rj * mi n ri * wij ,反之亦然。
v3 1
v8
5 v7
v0 2 3 4 2
v4
5 v5
v6
最小树，权为13
19
22
分别用两种方法求最小树
v2
1
3
5 v4 2 v5
v1
2 4
1
3
v3
§5-4 最短路问题
最短路问题是最重要的网络优化问题之一，它 不仅可以直接应用于解决生产实际中的许多问题， 如管道铺设、线路安排、厂区布局、设备更新等等，
3
如果用六个点 v1„v6 代表这六个城市，在任意两 个城市之间架设电话线，即在相应的两个点之间连一 条边。这样，六个城市的一个电话网就作成一个图。
v1 v3
v2
v5 v4 v6
4
表示任意两个城市之间均可以通话，这个图必须 是连通图。并且，这个图必须是无圈的。否则，从 圈上任意去掉一条边，剩下的图仍然是六个城市的
6
下面介绍树的一些重要性质：
【定理5】 p个顶点的树含p–1条边。
定理 5-1 设图 G= （ V ， E ）是一个树 p(G) 2 ，那么 图G中至少有两个悬挂点。 定理5-2 图G=（V，E）是一个树的充要条件是G不含 圈，并且有且仅有p–1条边。 定理5-3 图G=（V，E）是一个树的充要条件是G是连 通图，并且有且仅有 p–1 条边。


N vi N vi
当D为简单图时，
N vi N vi
N (vi)、N+(vi)、N-(vi) 常简记为Ni、Ni+、Ni-。
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二、最短路问题
给定一个赋权有向图D＝ ( V，A ) ,对每一条
弧aij＝w (vi，vj)，相应地有权w (aij )= wij ，又有两 点vs、vt ∈V,设 r 是 D 中从vs 到vt 的一条路，路 r 的权是 r 中所有弧的权之和 , 记为 w(r) ．最短路问 题就是求从vs 到vt 的路中一条权最小的路 r*:
a
v4
【定理6】一个图G有支撑树的充要条件是G是连通图。
证明：充分性: 设图G是连通的，若G不含圈，则按照
定义，G是一个树，从而G是自身的一个支撑树。若G含 圈，则任取G的一个圈，从该圈中任意去掉一条边，得 到图G的一支撑子图G1。若G1不含圈，则G1是G的一 个支撑树。
若G1仍然含圈，则任取G1的一个圈，再从圈中任意去掉
例如，按照第一个线路，总长度是3+6+3=12单位，
按照第二个路线，总长度是3+1+1+6=11单位。
因此，如何选择路线，使得总长度最短，便是本部分要 26 讨论的问题。
一、有向图
【定义10】 从点u到v的有向线段称为弧，记作： a=(u, v)，其中，u与v分别称为弧a的始点与终点， 图中所有弧的集合则记作 A 。弧(vi, vj) 也常记作 aij 。 【定义 11】 非空点集 V 及其相应的非空弧集 A 之 二元组称为有向图，记作D=(V, A)。
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(1)避圈法：
从图中任意节 点开始寻找与该 节点关联的权数 最小的边，使之 与以选边不构成 为圈，直到选够 n-1条边为止。
例
v1 1 v8 5 v7 4 5 4 2 v2 1 1 3 4
从网络 中任选 一点
v3 1 v4 5 v5
v0
2 3 v6 4
2
最小树，权为13
17
v3
v1 v2
v5 v1 v6


则称 T * 为图G的一棵最小支撑树。
14
b 2 a 3 f 2
4 4 5
c
5
2 6 e d
最小 树
比如，城市间交 通线的建造等，可以 归结为这一类问题。
再如前面例3，在已知的几个城市之间联结电话 线网，要求总长度最短和总建设费用最少，这类问
题的解决都可以归结为最小树问题。
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2．最小树的求法 【定理7】树T*是图G中最小树的充分必要条件是： 对T*外的每一条边eij，有下列不等式成立：
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显然，给定一个有向图D，若去除弧上的方向，则
对应得到唯一的无向图G。此时的G 称为D的基础图；
反之，一个无向图G，由于可用不同的方式来标上
方向，故可伴生多个有向图。无向图中的许多概念与
术语（如链与圈等）可沿用于有向图中，但仍有一些 不同之处。将有向图与其基础图相对照，有下列对应 关系： D G 弧 边 路 链 回路 圈
三、有向图最短路算法 1964年，Ford提出了可求解含负权的最短路问题 的递推标号法。 设赋权有向图D = (V, A, W)，V中含p个点，现要 求始点v1至终点vp的最短路Rp*及其路长rp*。假定D中 无负回路（其上总权为负数的回路），将原弧集A增
广为新弧集，以使V中任意两点间均有互为反向的两
wij max whk | ehk Cij


其中：ehk是T*中联通vi与vj的唯一链Cij上的任意一条边。 根据定理7，可以得出求T*的两种算法： （1）Kruskal算法（1956年，也称避圈法）：
每步取未选边中权最小的边且不构成圈，即：避圈留最小。
（2）Rosenstiehl算法（1967年，也称破圈法）： 每步弃所取圈中权重最大的边，即：破圈弃最大。