2011-2012数学物理方程-B卷

−a x
姓名
(a > 0)的傅立叶变换；
2
（3）判定方程 u xx + ( x + y ) u yy = 0; 的类型； （4）将方程 u xx + yu yy = 0 化为标准形式。 三、计算题（ 计算题（20 分） （1）求解波动方程的初边值问题。
u tt = a 2 u xx , 0 < x < π , t > 0, t ≥ 0, ； u (0, t ) = u x (π , t ) = 0, 3 u ( x,0 ) = x , u t ( x,0 ) = 0, 0 ≤ x ≤ π .
（2）在 t > 0, 0 < x < l 区域中求解如下的定解问题：
学号
∂u ∂ 2u = α 2 2 2 − β (u − u0 ), ∂t ∂ x
u (0, t ) = u (l , t ) = u0 , u ( x, 0) = f ( x) 其中 α , β , u 0 均为常数， f ( x) 均为已知函数。
授课教师
一、简答题（ 简答题（12 分） （1）以热传导过程为例，如果物体的边界温度及其初始温度都不超过某值 M，而且 物体内部没有热源，则这物体内就不可能产生大于 M 的温度。和这个事实相对应， 叙述对齐次热传导方程的极值原理？（6 分） （2）弦振动方程中初始条件指的是什么？（3 分） ； （3）弦振动方程中具体指出第三类边界条件？（3 分） ； 二、解答题（ 解答题（20 分） （1）试直接推导扩散过程所满足的微分方程； （2）求函数 e
数学科学
中国海洋大学 2011 秋季学期 秋季学期 期末考试 期末考试试卷 考试试卷 学院 《数学物理方程》课程试题(B 卷) 共 2 页 第 1 页 文具，满分为：100 分。
考试说明：本课程为闭卷考试，可携带 考试说明 座号
题号
一
二
三
四
五
六
源自文库
七
总分
得分
----------------装 装----------------订 订----------------线 线----------------
Γ
∂G( M , M 0 ) ds M = −1 。 ∂n
六、证明题（ 证明题（8 分） 证明如果初始资料具有紧支集，那么当 t → ∞ 时，三维波动方程的柯西问题：
u tt = a 2 ∆u , u ( x, y, z ,0) = ϕ ( x, y, z ) u ( x, y, z ,0) = ψ ( x, y, z ) t
3 2 −1 的解将一致地趋向于零，其趋于零的阶数为 t 。其中， ϕ ∈ C ，ψ ∈ C 。
授课教师命题教师或 院系负责人签字 命题负责人签字 201 2011 年 12 月 日 年 月 日
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1 ∂ 1 1 ∂u u ln − ln ds ， ∫ 2π Γ ∂n r r ∂n
r
其中 ( x0 , y 0 ) 为平面有界区域 Ω 内任一点，Γ 是区域 Ω 的边界曲线， 且光滑，n 为
Γ 的外法向量， ds 是弧微分；
（2）证明格林函数的性质：
∫∫
四、证明题（ 证明题（20 分） (1) 设受摩擦力作用的固定端点的有界弦振动，满足方程
专业 专业年 年级
utt = a 2 u xx − cut
证明其能量是减少的； （2）证明调和方程狄利克莱外问题的稳定性。 五、证明题（ 证明题（20 分） （1）证明：二维调和函数的积分表达式为：
u ( x0 , y 0 ) = −