数学物理方法期末考试规范标准答案
数学物理方法习题解答(完整版)

数学物理方法习题解答一、复变函数部分习题解答第一章习题解答1、证明Re z 在z 平面上处处不可导。
证明:令Re z u iv =+。
Re z x =,,0u x v ∴==。
1ux∂=∂,0v y ∂=∂,u v x y ∂∂≠∂∂。
于是u 与v 在z 平面上处处不满足C -R 条件, 所以Re z 在z 平面上处处不可导。
2、试证()2f z z=仅在原点有导数。
证明:令()f z u iv =+。
()22222,0f z z x y u x y v ==+ ∴ =+=。
2,2u u x y x y ∂∂= =∂∂。
v vx y∂∂ ==0 ∂∂。
所以除原点以外,,u v 不满足C -R 条件。
而,,u u v vx y x y∂∂∂∂ , ∂∂∂∂在原点连续,且满足C -R 条件,所以()f z 在原点可微。
()0000x x y y u v v u f i i x x y y ====⎛⎫∂∂∂∂⎛⎫'=+=-= ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭。
或:()()()2*000lim lim lim 0z z x y z f z x i y z∆→∆→∆=∆=∆'==∆=∆-∆=∆。
22***0*00limlim lim()0z z z z z z zzz z z z z z z z z=∆→∆→∆→+∆+∆+∆∆==+−−→∆∆∆。
【当0,i z z re θ≠∆=,*2i z e z θ-∆=∆与趋向有关,则上式中**1z zz z∆∆==∆∆】3、设333322()z 0()z=00x y i x y f z x y ⎧+++≠⎪=+⎨⎪⎩,证明()z f 在原点满足C -R 条件,但不可微。
证明:令()()(),,f z u x y iv x y =+,则()33222222,=00x y x y u x y x y x y ⎧-+≠⎪=+⎨+⎪⎩, 33222222(,)=00x y x y v x y x y x y ⎧++≠⎪=+⎨+⎪⎩。
数学物理方法复习资料及参考答案(一)

数学物理方法复习资料及参考答案(一)数学物理方法复习资料及参考答案(一)一、填空题: 1. 复数ii -+11用三角式可表示为(主辐角[)π2,0)。
2. 已知幂级数∑∞=0k kk z a 和∑∞=0k kk z b 的收敛半径分别是1R 和2R ,则幂级数()∑∞=±0k k k k z b a 的收敛半径为:。
3. 勒让德多项式()l P x 的模l N = ()0,1,2,l = 。
4. 在00=z 的邻域上,z e z f 1)(=展开的洛朗级数为:。
5. 函数2)2)(1()(--=z z z z f 的留数)1(resf =。
6. 求解无限长弦的自由振动,设弦的初始位移为)(x ?,初始速度为)(/x a ?-,=),(t x u 。
7. 在00=z 的邻域上,z z f sin )(=的泰勒级数为:。
8. 幂级数()∑∞=-11k k i z k的收敛圆:。
9. 数理方程中的定解条件包括三大类初始条件、和衔接条件。
10. 在本征值问题()()()'''12012--+=-1<<±1??x y xy y x y λ有限中,方程()'''1202--+=x y xy y λ称为__ _ _ __微分方程,该本征值问题的本征值λn =___ _ ,相应本征函数是y x n ()=__________,其中n=___ _ ____,该本征函数称为______ __ _,写出它的表达式(至少一种):___________ _____。
二、简答题:1、孤立奇点分为几类?如何判别?2、简述施图姆-刘维尔本征值问题的共同性质。
三、基础题:1、计算实变函数定积分()()222294x dxI xx ∞=++?2、已知解析函数()f z 的实部233),(xy x y x u -=,0)0(=f ,求虚部和这个解析函数。
最新数学物理方程期末考试试题及答案

数学物理方程期末考试试题及答案一、求解方程(15分)⎪⎩⎪⎨⎧===-=+=-.)()(0002x u x u u a u at x at x xx tt ψϕ其中)0()0(ψϕ=。
解:设⎩⎨⎧+=-at x at x ηξ=则方程变为: 0=ξηu ,)()(at x G at x F u ++-=(8’)由边值条件可得:)()0()2(),()2()0(x G x F x x G F ψϕ=+=+由)0()0(ψϕ=即得:)0()2()2(),(ϕψϕ--++=at x at x t x u 。
二、利用变量分离法求解方程。
(15分)⎪⎩⎪⎨⎧==≥==∈=-====)(,)(,0,0,),(,00002x u x u t u u Q t x u a u t t t l x x xx tt ψϕ其中l x ≤≤0。
0>a 为常数解:设)()(t T x X u =代于方程得:0''=+X X λ,0''2=+T a T λ(8’)x C x C X λλsin cos 21+=,at C at C T λλsin cos 21+=由边值条件得:21)(,0l n C πλ== l x n at A at Bu n n n πλλsin)sin cos (1+=∑∞= ⎰=l n dx l x n x l B 0sin )(2πϕ,⎰=l n dx lx n x an A 0sin )(2πψπ 三.证明方程02=--cu u a u xx t )0(≥c 具有狄利克雷边界条件的初边值问题解的唯一性与稳定性. (15分)证明:设u e v ct -=代入方程:⎪⎩⎪⎨⎧====-=).(),(),(),0()(02102t g t l v t g t v x v v a v t xx t ϕ设21,v v 都是方程的解设21v v v -=代入方程得:⎪⎩⎪⎨⎧====-=0),(,),0(0002t l v t v v v a v t xx t由极值原理得0=v 唯一性得证。
数学物理方法第三版答案

数学物理方法第三版答案【篇一:数学物理方法试卷答案】xt>一、选择题(每题4分,共20分) 1.柯西问题指的是( b ) a.微分方程和边界条件. b. 微分方程和初始条件. c.微分方程和初始边界条件. d. 以上都不正确. 2.定解问题的适定性指定解问题的解具有( d)a.存在性和唯一性. b. 唯一性和稳定性. c. 存在性和稳定性. d. 存在性、唯一性和稳定性.??2u?0,?3.牛曼内问题 ??u 有解的必要条件是( c)??n?f??a.f?0.b.u??0.c.?fds?0. d.?uds?0.???x(x)??x(x)?0,0?x?l4.用分离变量法求解偏微分方程中,特征值问题??x(0)?x(l)?0的解是( b )n?n??n???n??x ).b.( ?x ). a.( ??,cos?,sinllll????(2n?1)?(2n?1)??(2n?1)???(2n?1)??x ).d.( ?x ). c.( ??,cos?,sin2l2l2l2l????22225.指出下列微分方程哪个是双曲型的( d )a.uxx?4uxy?5uyy?ux?2uy?0. b.uxx?4uxy?4uyy?0.c.x2uxx?2xyuxy?y2uyy?xyux?y2uy?0. d.uxx?3uxy?2uyy?0.二、填空题(每题4分,共20分)??2u?2u?2?2?0, 0?x??, t?0?t?x??1.求定解问题?ux?0?2sint, ux????2sint, t?0的解是(2sintcosx).??ut?0?0, utt?0?2cosx, 0?x????2.对于如下的二阶线性偏微分方程a(x,y)uxx?2b(x,y)uxy?c(x,y)uyy?dux?euy?fu?0其特征方程为( a(x,y)(dy)2?2b(x,y)dxdy?c(x,y)(dx)2?0). 3.二阶常微分方程y(x)?或0).4.二维拉普拉斯方程的基本解为( ln1().r1 ),三维拉普拉斯方程的基本解为r113y(x)?(?2)y(x)?0的任一特解y?( jx44x1(x) 3225.已知j1(x)?222sinx, j1(x)?cosx,利用bessel函数递推公式求??x?x23j3(x)?(221221dsinx(sinx?cosx)??x()()). ?xx?xdxx三、(15分)用分离变量法求解如下定解问题2??2u2?u??t2?a?x2?0, 0?x?l, t?0??u??u?0, ?0, t?0 ??xx?l??xx?0?u?x, utt?0?0, 0?x?l.?t?0?解:第一步:分离变量(4分) 设u(x,t)?x(x)t(t),代入方程可得x(x)t(x)x(x)t(t)?ax(x)t(t)??2x(x)at(x)2此式中,左端是关于x的函数,右端是关于t的函数。
数学物理方程期末考试试题及答案

数学物理方程期末考试试题及答案一、求解方程(15分)⎪⎩⎪⎨⎧===-=+=-.)()(0002x u x u u a u at x at x xx tt ψϕ其中)0()0(ψϕ=。
解:设⎩⎨⎧+=-at x at x ηξ=则方程变为: 0=ξηu ,)()(at x G at x F u ++-=(8’)由边值条件可得:)()0()2(),()2()0(x G x F x x G F ψϕ=+=+由)0()0(ψϕ=即得:)0()2()2(),(ϕψϕ--++=at x at x t x u 。
二、利用变量分离法求解方程。
(15分)⎪⎩⎪⎨⎧==≥==∈=-====)(,)(,0,0,),(,00002x u x u t u u Q t x u a u t t t l x x xx tt ψϕ其中l x ≤≤0。
0>a 为常数解:设)()(t T x X u =代于方程得:0''=+X X λ,0''2=+T a T λ(8’)x C x C X λλsin cos21+=,at C at C T λλsin cos 21+=由边值条件得:21)(,0ln C πλ== lx n at A at B u n n n πλλsin)sin cos (1+=∑∞= ⎰=l n dx l x n x l B 0sin )(2πϕ,⎰=ln dx lx n x an A 0sin )(2πψπ 三.证明方程02=--cu u a u xx t )0(≥c 具有狄利克雷边界条件的初边值问题解的唯一性与稳定性. (15分)证明:设u e v ct -=代入方程:⎪⎩⎪⎨⎧====-=).(),(),(),0()(02102t g t l v t g t v x v v a v t xx t ϕ设21,v v 都是方程的解设21v v v -=代入方程得:⎪⎩⎪⎨⎧====-=0),(,),0(0002t l v t v v v a v t xx t由极值原理得0=v 唯一性得证。
数学物理方法答案

数学物理方法考试卷之一参考答案一、1.L ,1,0,)12(±=+k k i π 2.i Z +23.===><<====t k u u x u t l x Du u l x x x t xx t sin 1| ,0||0 ,0 ,020 4.=∈−=∆)(|),(M f u M M h u στ;=∈−−=∆0|),(0στδG M M M G ;狄氏格林函数 5.0; 0)(62)1(2=+′−′′−x y y x y x 二、1.解:令0sin =z ,则得zz f sin 1)(=的奇点为πk z k =,L ,1 ,0±=k ∞==→→zz f k kz z z z sin 1lim)(lim Q , πk z k =∴为)(z f 的极点。
又0)(1)(==k k z f z g Q ,0)1(cos )(≠−==′k k k z z g )(z f z k −∴的单极点,仅有:πππ23||,0,<∈−z故∫∑====ππ23||31)(2sin 1z n n z resf i dz z I =++==−=πππz z z zzzi cos 1cos 1cos 120i π2−= 2.解:)1()(22z z z f +=,奇点:i z ±= 均为二阶单极点。
0121/1)1()(24223 → ++=+=⋅∞→z z z z z Z z f z ∫∫∞∞∞−⋅=+=+=∴0222222)(221)1(21)1(i iresf dx x x dx x x I πiz i z i z z i z dz d i = +−−=2222)()()(π4)(23ππ=+⋅==iz i z iz i 三、 12112)1(11)(+−=+−+=+−=z z z z z z f ,奇点:1−=z 2|1|=−−=i R ,)1(111++−=+i i z z 故 ①在2||<−i z 中有: ∑∑∞=∞=++−−=−+−+=+−++=+001)1()()1()()1()1(111111111k k k k k kkk i i z i z i i i i z iz k k k i z iz f )()11(21)(01−+−+=∴∑∞=+,是Taylor 展开。
数学物理方法期末考试卷与解答

华南师范大学信息光电子科技学院2008-2009年(一)学期末考试试卷光电工程系《数学物理方法》试卷(A 卷)参考答案注:本试卷共一页,共八大题。
答案请做在答题纸上,交卷时,将试题纸与答题纸填好姓名与学号,必须同时交齐,否则考卷作废! 可能用到的公式:1). (2l +1)xP l (x )=lP l −1(x )+(l +1)P l+1(x ), 2). P 0(x )=1, P 1(x )=x ;3))(~)]([00k k f x f e F xik −=;4))]([1])([x f F ikd f F x=∫∞−ξξ; 5).])1(1[2sin )(I 333n ln l xdx l n x l x −−=−=∫ππ一、 简答下列各题。
(12分,每题6分)1. 试在复平面上画出3)arg(0π<−<i z ,4Re 2<<z 点集的区域。
解:如图阴影部分为所求区域 (6分)2. 填空题:函数3)2)(1()(i z z z f +−=是单值的还是多值的?多值的(1分);若是多值,是几值?3值(2分);其支点是什么?1,-2i ,∞(3分)。
二、 (9分) 试指出函数3sin )(zzz z f −=的奇点(含ㆀ点)属于哪一类奇点? 解:22112033)12()1(])12()1([1sin )(−∞=+∞=∑∑+−=+−−=−=n n nn n n n n n z n z z z z z z f (3分) z=0为f (z )的可去奇点;(3分)z=∞为f (z )的本性奇点;(3分)三、 (9分) 已知解析函数f (z ) = u (x ,y ) + iv (x ,y )的虚部v (x,y ) = cos x sh y , 求f (z )= ? 解:由C-R 条件xy x v y y x u y y x v x y x u ∂∂−=∂∂∂∂=∂∂),(),(,),(),( (3分)得 u x (x,y ) = v y (x,y ) = cos x ch y u y (x,y ) = −v x (x,y ) = sin x sh y (3分)du (x,y ) =u x (x,y )d x + u y (x,y )dy = cos x ch y dx + sin x sh y dy=d (sin x ch y ) f (z ) = f (x +iy ) = u (x ,y ) + iv (x ,y ) = sin x ch y +i cos x sh y + c上式中令 x=z, y=0, 则 f (z ) = f (z+i0) = sinz + c (3分)四、 (10分) 求积分dz z e I Lz∫−=6)1(其中曲线L 为(a)圆周21=z ;(b)圆周2=z 解:(a) 6)1()(−=z e z f z 在圆周21=z 内解析,I = 0;(5分) (b) 在圆周2=z 内有一奇点,I = 2πiRes f (1)= 2π i !52)1()1()!16(166551lim e i z e z dx d z z π=−−−→(5分) 五、 (10分) 计算拉普拉斯变换?]2sin [=t t L (提示:要求书写计算过程)解:已知 42]2[sin ,][sin 222+=+=p t L p t L 也即ωωω(2分) 由象函数微分定理)3(4)(4p4)(4p ]2sin []2sin )[()2(4)(4p )42(]2sin )[()3(,)()1()]()[(2222222分分分+=+−−=−=−∴+−=+=−−=−p p t t L t t L p p dp d t t L p f dp d t f t L nnnn六、 (15分) 将f (x )= (35/8)x 4 + 5x 3−(30/8)x 2 +(10/3)x +1展开为以{ P l (x ) }基的广义付里叶级数。
数学物理方法习题解答(完整版)

数学物理方法习题解答一、复变函数部分习题解答第一章习题解答1、证明Re z 在z 平面上处处不可导。
证明:令Re z u iv =+。
Re z x =,,0u x v ∴==。
1ux∂=∂,0v y ∂=∂,u v x y ∂∂≠∂∂。
于是u 与v 在z 平面上处处不满足C -R 条件, 所以Re z 在z 平面上处处不可导。
2、试证()2f z z=仅在原点有导数。
证明:令()f z u iv =+。
()22222,0f z z x y u x y v ==+ ∴ =+=。
2,2u u x y x y ∂∂= =∂∂。
v vx y∂∂ ==0 ∂∂。
所以除原点以外,,u v 不满足C -R 条件。
而,,u u v vx y x y∂∂∂∂ , ∂∂∂∂在原点连续,且满足C -R 条件,所以()f z 在原点可微。
()0000x x y y u v v u f i i x x y y ====⎛⎫∂∂∂∂⎛⎫'=+=-= ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭。
或:()()()2*000lim lim lim 0z z x y z f z x i y z∆→∆→∆=∆=∆'==∆=∆-∆=∆。
22***0*00limlim lim()0z z z z z z zzz z z z z z z z z=∆→∆→∆→+∆+∆+∆∆==+−−→∆∆∆。
【当0,i z z re θ≠∆=,*2i z e z θ-∆=∆与趋向有关,则上式中**1z zz z∆∆==∆∆】3、设333322()z 0()z=00x y i x y f z x y ⎧+++≠⎪=+⎨⎪⎩,证明()z f 在原点满足C -R 条件,但不可微。
证明:令()()(),,f z u x y iv x y =+,则()33222222,=00x y x y u x y x y x y ⎧-+≠⎪=+⎨+⎪⎩, 33222222(,)=00x y x y v x y x y x y ⎧++≠⎪=+⎨+⎪⎩。
数学物理方法答案()刘连寿(PDF)

第七章 分离变量法7.1 直角坐标系中的分离变量法1.求解下列本证值问题的本证值和本证函数 (1)0,(0)0,()0X X X X l λ'''+=== ; (2)0,(0)0,()0X X X X l λ''''+=== ; (3)0,()0,()0X X X a X b λ''+=== ; (4)[]0,(0)0,00x l X X X X hX λ='''+==+== .2. 单簧管直径均匀的细管,一端封闭而另一端开放,试求管内空气柱的本征振动,即求解()()2u u 00,t 0,,0.a tt xx u u l x ⎧⎪-=⎨==⎪⎩t 解:(1)分离变量 .令u(,)()()x t X x T t = X ()()0x X x λ''+= 2()()0T t a T t λ''+=由 得 u(0,t)=0X(0)=0由u (l,t)=0x得X ()=0l '(2)求解本征值 由 X ()()0x X x λ''+=X(0)=0,X (l)=0' 1(n+)2X ()=sinn xx l π 得(2n+1)()=n 2x lπλ(3)求()T t 将n λ代入方程:()T t 2122()()()02n T t a T t n n l π+''+=2121()cos()sin()22n n T t A at B at n n n l lππ++=+ (4)管内本征振动为:(,)()()u x t u x T t n n =n212121[cos()sin()]sin()2220,1,2n n n A at B at x n n l l ln πππ+++=+=3. 一根均匀固定于和0x =x l =两端,假设初始时刻速度为零,而初始时刻弦的形状是一抛物线,抛物线的顶点为(,)2lh ,求弦振动的位移。
数学物理方法习题解答(完整版)44767

数学物理方法习题解答一、复变函数部分习题解答第一章习题解答1、证明Re z 在z 平面上处处不可导。
证明:令Re z u iv =+。
Re z x =Q ,,0u x v ∴==。
1ux∂=∂,0v y ∂=∂,u v x y ∂∂≠∂∂。
于是u 与v 在z 平面上处处不满足C -R 条件, 所以Re z 在z 平面上处处不可导。
2、试证()2f z z=仅在原点有导数。
证明:令()f z u iv =+。
()22222,0f z z x y u x y v ==+ ∴ =+=Q 。
2,2u u x y x y ∂∂= =∂∂。
v vx y∂∂ ==0 ∂∂。
所以除原点以外,,u v 不满足C -R 条件。
而,,u u v vx y x y∂∂∂∂ , ∂∂∂∂在原点连续,且满足C -R 条件,所以()f z 在原点可微。
()000000x x y y u v v u f i i x x y y ====⎛⎫∂∂∂∂⎛⎫'=+=-= ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭。
或:()()()2*000lim lim lim 0z z x y z f z x i y z∆→∆→∆=∆=∆'==∆=∆-∆=∆。
22***0*00limlim lim()0z z z z z z zzz z z z z z zz z=∆→∆→∆→+∆+∆+∆∆==+−−→∆∆∆。
【当0,i z z re θ≠∆=,*2i z e z θ-∆=∆与趋向有关,则上式中**1z zz z∆∆==∆∆】3、设333322()z 0()z=00x y i x y f z x y ⎧+++≠⎪=+⎨⎪⎩,证明()z f 在原点满足C -R 条件,但不可微。
证明:令()()(),,f z u x y iv x y =+,则()33222222,=00x y x y u x y x y x y ⎧-+≠⎪=+⎨+⎪⎩, 33222222(,)=00x y x y v x y x y x y ⎧++≠⎪=+⎨+⎪⎩。
数学物理方程期末考试题及答案

数学物理方程期末考试题及答案一、选择题(每题2分,共10分)1. 以下哪一项不是数学物理方程的特点?A. 连续性B. 离散性C. 线性D. 非线性答案:B2. 波方程是描述什么的方程?A. 热传导B. 电磁波C. 机械波D. 流体动力学答案:C3. 拉普拉斯方程通常出现在哪种物理现象中?A. 热传导B. 流体流动C. 电磁场D. 弹性力学答案:C4. 以下哪个不是偏微分方程的解的性质?A. 唯一性B. 线性C. 稳定性D. 离散性答案:D5. 波动方程的解通常表示什么?A. 温度分布B. 电荷分布C. 压力分布D. 位移分布答案:D二、填空题(每空2分,共20分)6. 波动方程的基本形式是 _______。
答案:\( \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2 \nabla^2 u \)7. 热传导方程,也称为________方程。
答案:傅里叶8. 拉普拉斯方程 \( \nabla^2 \phi = 0 \) 在静电学中描述的是________。
答案:电势9. 边界条件通常分为________和________。
答案:狄利克雷边界条件;诺伊曼边界条件10. 波动方程的一般解可以表示为________和________的叠加。
答案:基频解;高阶谐波三、简答题(每题10分,共30分)11. 解释什么是边界层的概念,并给出一个实际应用的例子。
答案:边界层是流体力学中的一个概念,指的是流体靠近物体表面处的一层非常薄的流体,其中速度梯度很大。
在边界层内,流体的速度从物体表面的零速度逐渐增加到与外部流体速度相匹配。
一个实际应用的例子是飞机的机翼,边界层的厚度和特性对飞机的升力和阻力有重要影响。
12. 描述什么是格林函数,并解释它在解决偏微分方程中的作用。
答案:格林函数是一种数学工具,用于解决线性偏微分方程。
它是一个特定的函数,当它与方程的算子相乘时,结果是一个狄利克雷问题,其解是原始方程的一个解。
数学物理方法综合试题及答案 ()

复变函数与积分变换 综合试题(一)一、单项选择题(本大题共10小题,每小题2分,共20分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1.设cos z i =,则( )A . Im 0z =B .Re z π=C .0z =D .argz π= 2.复数3(cos,sin )55z i ππ=--的三角表示式为( ) A .443(cos ,sin )55i ππ- B .443(cos ,sin )55i ππ- C .443(cos ,sin )55i ππD .443(cos ,sin )55i ππ--3.设C 为正向圆周|z|=1,则积分⎰c z dz||等于( )A .0B .2πiC .2πD .-2π 4.设函数()0zf z e d ζζζ=⎰,则()f z 等于( ) A .1++z z e ze B .1-+z z e ze C .1-+-z z e ze D .1+-z z e ze 解答:5.1z =-是函数41)(z zcot +π的( ) A . 3阶极点 B .4阶极点 C .5阶极点 D .6阶极点 6.下列映射中,把角形域0arg 4z π<<保角映射成单位圆内部|w|<1的为( )A .4411z w z +=-B .44-11z w z =+C .44z i w z i -=+D .44z iw z i +=-7. 线性变换[]i i z z i z ae z i z i z aθω---==-++- ( ) A.将上半平面Im z >0映射为上半平面Im ω>0 B.将上半平面Im z >0映射为单位圆|ω|<1C.将单位圆|z|<1映射为上半平面Im ω>0D.将单位圆|z|<1映射为单位圆|ω|<18.若()(,)(,)f z u x y iv x y =+在Z 平面上解析,(,)(cos sin )xv x y e y y x y =+,则(,)uxy=( )A.(cos sin )ye y y x y -)B.(cos sin )xe x y x y -C.(cos sin )xe y y y y - D.(cos sin )xe x y y y -(cos sin )sin (cos sin cos )x x x ve y y x y e y x ve y y y x y y∂=++∂∂=-+∂[][]cos sin cos cos sin sin cos sin cos sin cos sin (1)x x x iy iy iyz w u v v v i i z x x y xe y y y x y iy y ix y i y e y i y x y ix y iy y y y e e xe iye e z ∂∂∂∂∂=+=+∂∂∂∂∂=-++++=++++-⎡⎤=++⎣⎦=+()()()()cos sin cos sin sin cos z x iy x x w ze x iy e e x iy y i y e x y y y i x y y y u iv+==+=++=-++=+⎡⎤⎣⎦()cos sin x u e x y y y =-9.()1(2)(1)f z z z =--在021z <-< 的罗朗展开式是()A.∑∞=-01n nnz )( B.∑∞=-021n nz )z (C.∑∞=-02n n)z ( D .10(1)(2)nn n z ∞-=--∑10.320cos z z dz ⎰=( )A.21sin9 B.21cos9 C.cos9 D.sin9二、填空题(本大题共6小题,每小题2分,共12分)请在每小题的空格中填上正确答案。
数学物理方程期末考试试题及答案

数学物理方程期末考试试题及答案一、求解方程(15分)⎧utt -a2uxx=0⎪⎨ux-at=0=ϕ(x)⎪u⎩x+at=0=ψ(x).其中ϕ(0)=ψ(0)。
⎧ξ=x-at解:设⎨则方程变为:η=x+at⎩uξη=0,u=F(x-at)+G(x+at)(8’)由边值条件可得:F(0)+G(2x)=ϕ(x),F(2x)+G(0)=ψ(x)由ϕ(0)=ψ(0)即得:u(x,t)=ϕ(x+at x-at)+ψ()-ϕ(0)。
22二、利用变量分离法求解方程。
(15分)⎧utt -a2uxx=0,(x,t)∈Q,⎪⎨ux=0=ux=l=0,t≥0,⎪u=ϕ(x),ut t=0=ψ(x)⎩t=0其中0≤x≤l。
a>0为常数解:设u=X(x)T(t)代于方程得:X''+λX=0,T''+λa2T=0(8’)X=C1cosλx+C2sinλx,T=C1cosλat+C2sinλat由边值条件得:C 1=0,λ=(∞n π2)ln πx lu =∑(B n cos λat +A n sin λat )sin n =1B n =2l n πx 2l n πx ,ϕ(x )sin dx A =ψ(x )sin dx n ⎰⎰00l l an πl2三.证明方程u t -a u xx -cu =0(c ≥0)具有狄利克雷边界条件的初边值问题解的唯一性与稳定性. (15分)证明:设v =e -ct u 代入方程:⎧v t-a 2v xx =0⎪⎨v t =0=ϕ(x )⎪v (0,t )=g (t ),v (l ,t )=g (t ).12⎩设v 1,v 2都是方程的解设v =v 1-v 2代入方程得:⎧v t-a 2v xx =0⎪⎨v t =0=0⎪v (0,t )=,v (l ,t )=0⎩由极值原理得v =0唯一性得证。
(8’)由v 1-v 2≤v 1-v 2得证。
τ≤ε,稳定性得证由v =e -ct u 知u 的唯一性稳定性四.求解二维调和方程在半平面上的狄利克雷问题(15分).∆u =u xx +u yy +u zz=0,z >0,u z =0=f (x ).解:设p (ξ,η,ζ)是上半平面内一点,在该点放置单位点电荷,其对称点p (ξ,η,-ς)格林函数:G (x ,y ,ξ,η)=-14π14π1(x -ξ)+(y -η)+(z -ς)1(x -ξ)+(y -η)+(z +ς)222222+∂G∂G=-∂n∂z z=0=ς2π[(x-ξ)+(y-η)+ς]2223/2方程的解:u(ξ,η)=ς2πϕ(x,y)⎰[(x-ξ)2+(y-η)2+ς2]3/2dx R2五、证明下列初边值问题解的唯一性.(20分)u utt-a2(uxx+uyy)=f(x,y,t) t=0=ϕ(x,y),=ψ(x,y),ut t=0uΓ=g(x,y,t).其中t>0,(x,y)∈Ω,Γ为Ω的边界.解:设u1,u2都是方程的解设u=u1-u2代入方程得:u tt -a(uxx+uyy)=0u u t t=02 =0=0 t=0uΓ=0.设E(t)=12222[u+a(u+u]dxdy t x y⎰⎰2ΩdE(t)=2⎰⎰[ut utt+a2(uxuxt+uyuyt)]dxdydtΩ=2[ut [utt-a(uxx+uyy)]dxdyΩ⎰⎰2=0(10’)E(t)=E(0)=0,u=C,由边值条件得:u=0。
2022年大学数学专业《大学物理(二)》期末考试试卷 含答案

姓名班级 学号 ………密……….…………封…………………线…………………内……..………………不……………………. 准…………………答…. …………题…2022年大学数学专业《大学物理(二)》期末考试试卷 含答案 考试须知:1、考试时间:120分钟,本卷满分为100分。
2、请首先按要求在试卷的指定位置填写您的姓名、班级、学号。
3、请仔细阅读各种题目的回答要求,在密封线内答题,否则不予评分。
一、填空题(共10小题,每题2分,共20分)1、一质点的加速度和位移的关系为且,则速度的最大值为_______________ 。
2、静电场中有一质子(带电荷) 沿图示路径从a 点经c 点移动到b 点时,电场力作功J .则当质子从b 点沿另一路径回到a 点过程中,电场力作功A =___________;若设a 点电势为零,则b 点电势=_________。
3、反映电磁场基本性质和规律的积分形式的麦克斯韦方程组为:( )。
①②③④试判断下列结论是包含于或等效于哪一个麦克斯韦方程式的.将你确定的方程式用代号填在相应结论后的空白处。
(1) 变化的磁场一定伴随有电场;__________________ (2) 磁感线是无头无尾的;________________________ (3) 电荷总伴随有电场.__________________________4、刚体绕定轴转动时,刚体的角加速度与它所受的合外力矩成______,与刚体本身的转动惯量成反比。
(填“正比”或“反比”)。
5、在热力学中,“作功”和“传递热量”有着本质的区别,“作功”是通过__________来完成的; “传递热量”是通过___________来完成的。
6、一个半径为、面密度为的均匀带电圆盘,以角速度绕过圆心且垂直盘面的轴线旋转;今将其放入磁感应强度为的均匀外磁场中,的方向垂直于轴线。
在距盘心为处取一宽度为的圆环,则该带电圆环相当的电流为________,该电流所受磁力矩的大小为________ ,圆________盘所受合力矩的大小为________。
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天津工业大学(2009—2010学年第一学期)
《数学物理方法》(A)试卷解答
(2009.12 理学院)
特别提示:请考生在密封线左侧的指定位置按照要求填写个人信息,若写在其它
处视为作弊。本试卷共有四道大题,请认真核对后做答,若有疑问请与监考教师联系。
满分 30 42 20 8
总分
复
核
题目 一 二 三 四
得分
评阅人
一.
填空题(每题3分,共10小题)
1. 复数 ie1 的指数式为:iee ;
三角形式为:)1sin1(cosie .
2. 以复数 0z 为圆心,以任意小正实数 为半径作一圆,则圆内所有点
的集合称为0z点的 邻域 .
3. 函数在一点可导与解析是 不等价的
(什么关系?).
4. 给出矢量场旋度的散度值,即f 0 .
5. 一般说来,在区域内,只要有一个简单的闭合曲线其内有不属
-------------------------------密封线----------------------------------------密封线----------------------------------------密封线--------------------------------------- 学
院
专
业
班
学
号
姓
名
装
订
线
装
订
线
装
订
线
满分
30
得分
//
于该区域的点,这样的区域称为 复通区域 .
6. 若函数)(zf在某点0z不可导,而在0z的任意小邻域内除0z外处处可
导,则称0z为)(zf的 孤立奇点 .
7. 函数的挑选性为 )()()(00tfdtf.
8. 在数学上,定解条件是指 边界条件 和
初始条件 .
9. 常见的三种类型的数学物理方程分别为 波动方程 、
输运方程 和 稳定场方程 .
10. 写出l阶勒让德方程: 0)1(2)1(222lldxdxdxdx .
二. 计算题(每小题7分,共6小题)
1. 已知解析函数)(zf的实部xyyxyxu22),(,求该解析函数
满分
42
得分
//
(0)0(f).
解: yxux2,xyuy2,2xxu,2yyu.
0xxyyuu, (,)uxy是调和函数. 2分
利用柯西-黎曼条件
xyuv,xyvu, 即,xyvx2,yxvy2, 2分
于是,
),()2()2(yxCdyyxdxxyv
)0,()0,0(),()0,()2()2()2()2(xyxxCdyyxdxxydyyxdxxy
Cxyxy222
22
. 2分
所以,)21()(2izzf. 1分
2. 给出如图所示弦振动问题在0x点处的衔接条件.
解:
),0(),0(00txutxu
, 2分
0sinsin)(21TTtF
, 2分
又因为
),0(sin011txutgx, ),0(sin022txutgx
, 2分
所以,
)(),0(),0(00tFtxTutxTuxx
. 1分
3. 由三维输运方程推导出亥姆霍兹方程.
//
解:三维输运方程为
02uaut (1分)
分离时间变数t和空间变数r,以
)()(),(rvtTtru (2分)
上式代入方程,得
vvTaT2 (1分)
令上式等于同一常数2k,
22kvvTaT (2分)
则得骇姆霍兹方程为
02vkv (1分)
4. 在00z邻域把mzzf)1()(展开(m不是整数).
解:先计算展开系数:
mzzf)1()(, m
f1)0(
;
)(1)1()(1zfzmzmzfm
; mmf1)0(;
2)1)(1()(mzmmzf m
mmf1)1()0(
; 5分
)()1()1(2zfzmm
,
所以,mz)1(在00z邻域上的泰勒级数为
21!2)1(1!11)1(zmmzmz
mmmm
2!2)1(!111zmmzmm. 2分
//
5. 计算22sin21zzzdz.
解: 因为4nz(n为整数,包括零),有0)sin21(2z,因
此,40nz是极点.但是,在2z圆内的极点只有4.又由于
1分
4]sin21)4[(lim24zzzz, 2分
4]sin21)4[(lim24zzzz, 2分
所以,
isfsfizzdzz222)]4(Re)4([Re2sin21. 2分
6. 求拉氏变换][costL,为常数.
解: )(21costitieet, speLst1][ 2分
)(21][costitieeLtL
][21][21titieLeL 2分
ipip1121 2分
22pp 0Rep 1分
//
三. 计算题
求解两端固定均匀弦的定解问题
02xxttuau
00xu,0lxu
,
)(0xut,)(0xutt
.
解: 设此问题的解为
)()(),(tTxXtxu
代入方程和初始条件,得
02TXaTX
,
0)()0(tTX,0)()(tTlX
,
可得,
X
XTaT
2
,
0)0(X,0)(lX
,
令,
X
XTaT
2
所以,
0)(,0)0(0lXX
XX
,(本征值问题)
02TaT
下面先求解本征值问题:
当0时, xxececxX21)(,
满分
20
得分
//
由初始条件,得 021cc,
因此,0),(txu,解无意义.
当0时, 21)(cxcxX,
同样由初始条件,得 021cc,
因此,0),(txu,解无意义.
当0时, xcxcxXsincos)(21,
由初始条件,得 01c,0sin2lc,
所以,0sinl,即,nl (n为正整数),
因此本征值为:222ln ,3,2,1n
本征函数为:lxncxXsin)(2, 2c为任意常数. 10分
方程02TaT的解为:latnBlatnAtTsincos)(,
因此,
lxnlatnBl
atn
Atxunnnsinsincos),(
,
此问题的通解为:
lxnlatnBl
atn
Atxutxunnnnnsinsincos),(),(11
,
代入初始条件得
1)(sinn
n
xlxnA
, 1)(sinnnxlxnlanB,
所以,
lndlnlA0sin)(2,
lndlnanB0sin)(
2
. 10分
//
四. 简答题
给出泊松方程,并说明求解此方程的方法、步骤.
解: 泊松方程为:),,(zyxfu 3分
令 wvu,取v唯一特解, 2分
则 0fuvuw 2分
然后求解拉氏方程 0w 得w。 1分
满分
8
得分