数学物理方法典型习题

典型习题

一、填空题：

1

的值为 ， ， 。

2

、1-+的指数表示为_________ ,三角表示为 。

3、幂级数2

k k=1(k!)k z k ∞

∑的收敛半径为 。

4、ln(5)-的值为 。

5、均匀介质球，半径为0R ，在其中心置一个点电荷Q 。已知球的介电常数为 ε，球外为真空，则电势所满足的泛定方程为 、 。

6、在单位圆的上半圆周，积分1

1||__________z dz -=⎰。

7、长为a 的两端固定弦的自由振动的定解问问题 。

8、具有轴对称性的拉普拉斯方程的通解为 。

9、对函数f(x)实施傅里叶变换的定义为 ，f （k ）的傅里叶逆变换为 。

10、对函数f(x)实施拉普拉斯变换的定义为 。

二、简答题

1、已知()f z u iv =+是解析函数，其中22

v(x,y)=x y +xy -，求 (,)u x y 。 2、已知函数1w z

=

，写出z 平面的直线Im 1z =在w 平面中的,u v 满足的方程。 3、将函数21()56f z z z =-+在环域2||3z <<及0|2|1z <-<内展开成洛朗级数． 4、长为L 的弹性杆，一端x=0固定，另一端沿杆的轴线方向被拉长p 后静止（在弹性限度内），突然放手后任其振动。试写出杆的泛定方程及定解条件。

三、计算积分： 1. ||22(1)(21)z zdz I z z ==-+⎰

2．||2sin (3)z zdz I z z ==+⎰ 3.22202(1)x I dx x ∞

=+⎰ 4.||1(31)(2)

z zdz I z z ==++⎰ 5. ||23cos z zdz I z ==

⎰ 6. 240x dx 1x I ∞=+⎰ 7、0sin x dx x ∞

⎰ 8、20cos 1x dx x

∞+⎰ 四、使用行波法求解下列方程的初值问题

五、求解下列定解问题：

1. 2.在水平向右的均匀外电场E 中置入半径为0R 的导体球，如图所示。若导体球上接有电池，使球与地面保持电势差为0u ,设球心与无穷远的连线与外电场间的夹角为θ，导体球置入前球心的电势(0)0.u = （已知1120121P (x)=,P (x)=x,P (x)=

(3x -)2

）

（1） 写出定解问题

（2） 求出球内外的电势。

3.半径为R 0的球面上电势分布为22cos θ,求球内外空间的电势分布。

六、用傅里叶变换法求解下列扩散方程的初值问题 (, 0)()

t xx x t u(x,0)x u u ϕ-∞<<∞>=-= 已知F[()x ϕ]=[()()]a k b k b δδ+++，a ，b 为常数。

七、拉氏变换问题： 22222,,0(,0)cos 2,(,0)1,t u u a x t t x u x x x u x x ∂∂=-∞<<+∞>∂∂=-∞<<+∞

=+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩2222,01,0(0,)(1,)0,

0(,0)(,0)sin ,0,01

u u x t t x u t u t t u x u x x x t π⎧∂∂=<<>⎪∂∂⎪==>⎨⎪∂⎪==≤≤∂⎩

（1）证明：L[sind ]=22d t p +d

（2）用拉氏变换法求解下列问题：

y(t)满足：0t dy a +b ydt =c dt y(0)=0⎧⎪⎨⎪⎩⎰，a,b,c 为常数。试用拉氏变换法求y(t)随时间的变

化规律。