八年级数学三角形中位线培优专题训练(可编辑修改word版)

八年级数学三角形中位线培优专题训练

一、内容提要

1. 三角形中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。

梯形中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。

2. 中位线性质定理的结论，兼有位置和大小关系，可以用它判定平行，计算线段的长度，

确定线段的和、差、倍关系。 3. 运用中位线性质的关键是从出现的线段中点，找到三角形或梯形，包括作出辅助线。 4. 中位线性质定理，常与它的逆定理结合起来用。它的逆定理就是平行线截比例线段定理

及推论， ①一组平行线在一直线上截得相等线段，在其他直线上截得的线段也相等 ②经过三角形一边中点而平行于另一边的直线，必平分第三边 ③经过梯形一腰中点而平行于两底的直线，必平分另一腰 5. 有关线段中点的其他定理还有： ①直角三角形斜边中线等于斜边的一半

②等腰三角形底边中线和底上的高，顶角平分线互相重合 ③对角线互相平分的四边形是平行四边形 ④线段中垂线上的点到线段两端的距离相等因此如何发挥中点作用必须全面考虑。

二、例题 例1. 已知：△ABC 中，分别以 AB 、AC 为斜边作等腰直角三角形 ABM 和 CAN ，P 是 BC

的中点。求证：PM ＝PN

证明：作 ME ⊥AB ，NF ⊥AC ，垂足 E ，F

∵△ABM 、△CAN 是等腰直角三角形

∴AE ＝EB ＝ME ，AF ＝FC ＝NF ，

根据三角形中位线性质 PE ＝ 1 AC ＝NF ，PF ＝ 1

AB ＝ME

2

2

PE ∥AC ，PF ∥AB

∴∠PEB ＝∠BAC ＝∠PFC 即∠PEM ＝∠PFN ∴△PEM ≌△PFN ∴PM ＝PN

例 2.已知△ABC 中，AB ＝10，AC ＝7，AD 是角平分线，CM ⊥AD 于 M ，且 N 是 BC 的中 点。求 MN 的长。 分析：N 是 BC 的中点，若 M 是另一边中点， 则可运用中位线的性质求 MN 的长， 根据轴称性质作出△AMC 的全等三角形即可。辅助线是：延长 CM 交 AB 于 E （证明略 N 例 3.如图已知：△ABC 中，AD 是角平分线，BE ＝CF ，M 、N 分别是 BC 和 EF 的中点求证：MN ∥AD

证明一：连结 EC ，取 EC 的中点 P ，连结 PM 、PN

MP ∥AB ，MP ＝ 1 AB ，NP ∥AC ，NP ＝ 1

AC

2

2

∵BE ＝CF ，∴MP ＝NP 180 - ∠MPN

∴∠3=∠4=

2

C ∠MPN ＋∠BAC ＝180 （两边分平行的两个角相等或互补）

180 - ∠MPN

∴∠1=∠2=

， ∠2=∠3

2

∴NP ∥AC ∴MN ∥AD

证明二：连结并延长 EM 到 G ，使 MG ＝ME 连结 CG ，FG

则 MN ∥FG ，△MCG ≌△MBE

∴CG ＝BE ＝CF ∠B ＝∠BCG ∴AB ∥CG ，∠BAC ＋∠FCG ＝180 ∠CAD ＝ 1

（180 －∠FCG ） 2 ∠CFG ＝ 1 （180 －∠FCG ）=∠CAD

2

∴ MN ∥AD

例4. 已知：△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是高，CE 是角平分线，EF ⊥BC 于 F ，GE ⊥CE

交 CB 的延长线于 G 1

求证：FD ＝ CG

4

证明要点是：延长 GE 交 AC 于 H ， 可证 E 是 GH 的中点 过点 E 作 EM ∥GC 交 HC 于 M ，

1

则 M 是 HC 的中点，EM ∥GC ，EM ＝ GC 2

1

1 由矩形 EFDO 可得 FD ＝EO ＝ EM ＝ GC

2

4

三、练习 1. 如图 11，M 、P 分别为△ABC 的 AB 、AC 上 的点，且 AM=BM ，AP=2CP ，BP 与 CM 相交于 N ，已知 PN=1，则 PB 的长为 ( ) A. 2 B. 3 C .4 D. 5

2. 如图 12，△ABC 中，∠B =2∠C ，AD ⊥BC 于 D ，M 为 BC 的中点，AB=10，则 MD 的长为 ( ) A. 10 B. 8 C .6 D. 5

3. 如图 13，△ABC 是等边三角形，D 、E 、F 分别是 AB 、BC 、AC 的中点，P 为不同于 B 、E 、C 的 BC 上的任意一点，△DPH 为等边三角形.连接 FH ，则 EP 与 FH 的大小关系是 ( ) A. E P>FH B. EP=FH C. EP

4. 如图 14，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，BD ⊥AD ，DE ∥AC ，交 AB 于 E ,若 AB=5，则 DE

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的长为

.

5.

如图

15，△

ABC 中，AB=4，AC=7，M 为 BC 的中点，AD 平分∠BAC ，过 M 作 MF ∥AD ， 交 AC 于 F ，则 FC 的长等于 .

6. 如图 25，P 为△ABC 内一点，∠PAC=∠PBC ，PM ⊥AC 于 M ，PN ⊥BC 于 N.D 是 AB 的中点. 求证：DM=DN

7. 如图 16，在△ABC 中，D 、E 是 AB 、AC 上的点，且 BD=CE ，M 、N 分别是 BE 、CD 的中点，直线 MN 分别交 AB 、AC 于 P 、Q . 求证：AP=AQ 8. 如图 17，BE 、CF 是△ABC 的角平分线，AN ⊥BE 于 N ，AM ⊥CF 于 M . 求证：MN ∥BC .

9. 如图 18，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，AD=AB ，CM ⊥AD 于 M . 求证：AB+AC=2AM

10. 如图 19，四边形 ABCD 中，G 、H 分别是 AD 、BC 的中点，AB=CD .BA 、CD 的延长线交 HG 的延长线于 E 、F . 求证：∠BEH=∠CFH .

1. 如图 20，在△ABC 中，∠ABC =2∠C ，AD 平分∠BAC ，过 BC 的中点 M 作 ME ⊥AD ， 交 BA 的延长线于 E ，交 AD 的延长线于 F .

1

求证： BE

BD . 2