数学漫谈

数学的历史
数学名著（古典）
• • • • 《算术》丢番图（Diophantus）246-330 《几何原本》 欧几里德 《几何》Geometry 笛卡尔 《自然哲学的数学原理》 牛顿 1643-1727 Philosophie Naturalis Principia Mathematica • 《算术研究》高斯 Arithmeticae 1801 自费出版 • 《天体力学》 拉普拉斯(法兰西的高斯)
未来的展望
• • • • 高度专业化，复杂性 理念之争：公理化与问题驱动 确定性的丧失，新思想的诞生 第二次工业革命，应用数学的进一步发展
• 与其他自然科学，甚至人文科学的更深入 结合，渗透 • 数学家的历史使命
伯努利家族
拿破仑与法国数学家
• Lagrange拉格朗日,帝国大十字勋章 1813.4.3 • Laplace 拉普拉斯（6星期内务部长） • Gaspard Monge 加斯帕尔· 蒙日:曾任海军部 长，佩吕斯伯爵，巴黎综合工科学校校长 • Fourier 傅立叶：1798年随拿破仑远征埃及 时任军中文书和埃及研究院秘书。1801年 回国后任伊泽尔省地方长官。 • 拿破仑三角形定理
介绍几本好书 2
• Morris Kline, Mathematical Thought from Ancient to Modern Times, Oxford University Press, New York, 1972 • George Polya, Mathematical Discovery, John Wiley and Sons, Inc. 1981 • Paul R. Halmos, I Want to be a Mathematician, Springer 1985
• 现实世界中数据的模式 （统计学）
数学的内容，分支
• 大的划分：代数，分析，几何（拓扑,图论） • 几何：解析，微分，代数，射影，仿射，算 术，谱，非交换，双曲，辛，复，…….. • 分析：实，复，泛函，调和，常微分方程， 偏微分方程，积分方程，………. • 代数：线性，抽象，方程，……… • 概率统计，运筹学，应用数学，组合数学， 模糊数学，计算数学，动力系统，数理逻辑， 数论，………….
数学漫谈
• • • • • • 数学的内容，分支 数学的历史 数学的定理，问题（猜想），名著 数学家 数学机构（研究所，高校），组织，奖励 数学的应用，社会影响
什么是数学？
• 伽利略：数学是上帝用来描述宇宙的语言。 • 罗素：数学，如果正确地看，不但拥有真理， 而且也具有至高无上的美。 • “科学的本质是数学”----温州大学“校训” • 对于刚刚进入大学校门的数学专业学生，你将 面对一个不同于以往想象的数学世界： 数学世界的广度远远超出你原来的认识 数字和算术只是整个数学小小的一部分 数学不仅仅是关于进行计算或操作表示符号 以解决问题的学科
四色定理
• 四色问题(Four color theorem) 最先是由一位叫古德里 （Francis Guthrie）的英国大学生提出来的。德· 摩尔根 （Augustus De Morgan，1806～1871）1852年10月23日 致哈密顿的一封信提供了有关四色定理来源的最原始的 记载. • 闵可夫斯基的尴尬 • 1976年，数学家凯尼斯· 阿佩尔 （K.Appel）和沃夫冈· 哈 肯 （W.Haken）借助电子计算机首次得到一个完全的证 明：在伊利诺伊大学的IBM360机上分1482种情况检查， 历时1200个小时，作了100亿个判断。在当地的信封上 盖“Four colors surfice”（四色足够了）的邮戳。 • 无限种状况—1936 -- 1476 -- 633 （1996）仍有争议
数学奖
• 菲尔兹奖Fields Medal：Outstanding discoveries in mathematics，2-4 receipients at International Congress of the International Mathematical Union (IMU) every 4 years with money amount $15,000 Canadian dollars. A receipient should not have his/her birthday before Jan.1 of the year when the award is made. • 沃夫奖Wolf Prize——数学的终生成就奖 • 阿贝尔奖Abel Prize——迟来的数学诺贝尔奖
永恒的数学
• Physics Nobel Laureates: 外星高级文化生命 （如果存在）的数学与我们的相同。 • 数学的重要性，持久性，普适性 • 对人类思维极限的挑战，如同竞技之对体 能极限的挑战 • 数学无处不在，简单到复杂，花开无声 • 应用数学，google search engine 背后的数学
从有限到无穷 • 住满的旅馆可安排任意多的新来客人入住 • 海岸线无限长 • 无限表面积，有限体积的三维体 • 处处连续，无处可微的函数
模式的科学
• 数的模式（数论） • 形的模式（几何） • 抽象推理的模式 （逻辑学） • 事物组合的模式 （代数） • 连续运动及变化的模式 （微积分）
• 封闭性和相对位置的模式 （拓扑） • 随机事件中重复性的模式 （概率论）
介绍几本好书
• 什么是数学? What is Mathematics? Richard Courant and Herbert Robbins Oxford University Press 1996 Ian Steward Editing • 二十世纪伟大的数学书：—个人之旅 Great Mathematics Books of the Twentieth Century: A Personal Journey，季理真 高等教育出版社，2013
• 好的数学不但可以跨越国界，也可以跨越 行业
数学无处不在
• • • • • • • • 存款利息 1,2,3,4,5％5,4,3,2,1％3,3,3,3,3％？ n男孩m女孩家庭的比例 下落的水滴 电子的分布与正交多项式零点 三个牛仔决斗 二战后海里的鱼减少 二战中飞机机身何处装甲 数论与编码
Байду номын сангаас
初等数学到高等数学
孪生素数(twin prime) 猜想
有无穷多对p, p+2 均为素数 (hardy-Littlewood 1923) • 截至2002,最大的 p = 33218925 x 2169690 - 1 • 2013年4月7日，张益堂Yitang Zhang announced a proof that for some integer N that is at most 70 million, there are infinitely many pairs of primes that differ by N.[Zhang‘s paper was accepted by Annals of Mathematics in early May 2013. 陶哲轩Terence Tao subsequently proposed a Polymath project collaborative effort to optimize Zhang’s bound;as of July 20, 2013, the Polymath project participants claim to have reduced the bound to 5,414. • On December 25, 2011 PrimeGrid announced that yet another record twin prime had been found. It is 3756801695685 ·2666669 ± 1. The numbers have 200700 decimal digits. • There are 808,675,888,577,436 twin prime pairs below 1018
数学指南
Timothy Gowers (Editor) June Barrow-Green and Imre Leader (Associate Editors) The Princeton Companion of Mathematics University Press 2008
• • • • • Mathematical Concepts 99 Branches of Mathematics 26 Theorems and Problems 35 Mathematicians 96 The Influence of Mathematics 14
黎曼猜想
庞加莱猜想
任何与n维球面同伦的n维封闭流形必定同胚于n维球面（1905)
• 斯梅尔（Smale）1960年到1961年，对庞加莱猜想的五维空间 和五维以上的证明引起轰动，由此获得1966年菲尔茨奖。 • 福里德曼（Freedman) 1983 年在唐纳森工作的基础上，证出了 四维空间中的庞加莱猜想，并因此获得菲尔茨奖。 • 拓扑学方法研究三维庞加莱猜想没有进展，有人开始想到了其 他工具。瑟斯顿（Thruston）就是其中之一。他引入了几何结 构的方法对三维流形进行切割，因此获得了1983年的菲尔茨奖。 • Ricci 流: Richard Hamilton 丘成桐 • 格里戈里· 佩雷尔曼（1982 国际奥赛满分金牌，1966 -- ）2002 年11月和2003年7月，将3份关键论文的手稿粘贴到arXiv.org， 并用电邮通知了几位数学家,证明了几何化猜想。到2005年10 月，数位专家宣布验证了该证明。2006 Fields， 2010 千禧
Millennium Prize Problems
• Clay Mathematics Institute in 2000
– 1) P versus NP – 2) The Hodge conjecture – 3) The Poincaré conjecture (proven) – 4) The Riemann hypothesis – 5) Yang–Mills existence and mass gap – 6) Navier–Stokes existence and smoothness – 7) The Birch and Swinnerton-Dyer conjecture
数学专业的崇高
• G.H.Hardy《A Mathematician’s Apology》 • Exposition, criticism, appreciation, is work for second-rate mind. • Beauty is the first test: there is no permanent place in this world for ugly mathematics.
数学名著
数学家
• • • • • Isaac Newton Archimedes Carl F. Gauss Leonhard Euler Bernhard Riemann • • • • • Henri Poincaré Joseph-Louis Lagrange David Hilbert Euclid Gottfried W. Leibniz