10秒出答案的巧学方法：最小值原理法

10秒出答案的方法

(1)最小值原理法

巧法迷津

在物理规律中存在着许多最小值问题，如物体受三个力作用而平衡，其中一个力是恒力，第二个力的方向保持不变，当第三个力与第二个力垂直时，第三个力最小；在杠杆平衡问题中，当其他力及其力臂恒定时，当某个力的力臂最大时，对应的这个力也是最小的；除重力外其他力对物体做功为零，机械能可以是最小；电场力不做功时电势能也许是最小，这样的规律被称为最小值原理。

巧学调研

【调研1】如图所示，在绳下端挂一物体，用力F 拉物体使

悬线偏离竖直方向的夹角为α，且保持其平衡．保持α不变，当拉力F 有最小值时，F 与水平方向的夹角β应是( )

A ．0 B.π/2 C ．α D ．2α

〖巧解巧解〗〗

由题图可知当F 与倾斜绳子垂直时具有最小值，所以β=α.答案为C 。 【调研2】如图所示，一质量为m 、带电量为q 的小球用细线系住，线的一端固定在O 点，若在空间加上匀强电场，平衡时线与竖直方向成60o ，则电场强度的最小值为 ( )

A.mg /2q

mg /2q C. 2mg /q D. mg /q

〖巧解巧解〗〗此题为电场和重力场的物体平衡问题。在三力平衡中若

已知一个力大小方向不变，一个力方向不变，求另外一个力时有最小值。对球受力分析可知当电场力与绳拉力方向垂直时，电场强度最小，qE =mg sin60o ,得E

，选B 。

【调研3】如图所示，质量为m 的球放在倾角为α的光滑斜面上，用挡板AO 将球挡住，使球处于静止状态，若挡板与斜面间的夹角为β，则 ( )

A ．当30β°＝时，挡板AO 所受压力最小，最小值为sin mg α

B ．当60β°＝时，挡板AO 所受压力最小，最小值为cos mg α

C ．当60β°＝时，挡板AO 所受压力最小，最小值为sin mg α

D ．当90β°＝时，挡板AO 所受压力最小，最小值为sin mg α

O m

〖巧解巧解〗〗以球为研究对象，球受三个力作用：重力（恒力）、斜面的支持力N1F （方向不变）、挡板的支持力F N2（大小方向都在变化），当F N2与N1F 垂直时，即β=90o

时，F N2最小，最小值N2min sin F mg α＝由牛顿第三定律知，挡板AO 所受压力最小，D 项正确．

【调研4】如图所示，三根长度均为l 的轻绳分别连接于C 、D 两点，A 、B 两端被悬挂在水平天花板上，相距为2l .现在C 点上悬挂一个质量为m 的重物，为使CD 绳保持水平，在D 点上可施加的力的最小值为 ( )

A ．mg

B. C. 12mg D. 14mg

〖巧解巧解〗〗如图所示，对C 点进行受力分析，由平衡条件可

知，绳CD 对C 点的拉力F CD =mg tan30o ；对点进行受力分

析，绳CD 对D 点的拉力F 2=F CD =mg tan30o ，F 1方向一定，则

当F 3垂直于绳时，F 3最小，由几何关系可知，F 3=F 2sin60o =

12

mg ，答案为C 。 【调研5】如图所示，在场强为E 的匀强电场中有一个质量为m 的带正电的

小球A 悬挂在绝缘细线上，当小球静止时，细线与竖直方向成30o 角，已知此时

电场方向恰好使小球受到的电场力最小，则小球所带的电荷量为 （ ）

A.mg

E B.3mg

E C.2mg

E D.2mg

E 〖巧解巧解〗〗由电场方向恰好使小球受到的电场力最小可知，电场强度E 的方向

与细线垂直，小球的受力情况如图所示，由平衡条件可得12mg =qE ，解得q =2mg E

,选项D 正确.

【调研6】将两个质量均为m 的小球a 、b 用绝缘细线相连,竖直

悬挂于O 点，其中球a 带正电、电荷量为q ，球b 不带电,现加一

电场强度方向平行竖直平面的匀强电场(没画出)，使整个装置处于

平衡状态,且绷紧的绝缘悬线Oa 与竖直方向的夹角为θ=30o ，如图

所示,则所加匀强电场的电场强度大小可能为 （ ）

D

BD

A.4mg q

B.mg

q C.2mg q

〖巧解巧解〗〗本题考查带电体的平衡及图解法求极值等知识,意在考查考生的理解能力和用数学处理物理问题的能力。

取小球a 、b 为整体,则受重力2mg 、悬线拉力T 和电场力F 作用处于平衡，

当电场力与总重力垂直时，电场力最小，F 的最小值为2mg sin30o =mg ，由F =qE

知A 、C 、D 错，B 对。

巧学巧练

【巧练1】如图所示，A 、B 两小球用轻杆连接，A 球只能沿内壁光滑的竖直滑槽运动，B 球处于光滑水平面内．开始时杆竖直，A 、B 两球静止．由于微小的扰动，B 开始沿水平面向右运动．已知OA 球的质量为m A ，B 球的质量为m B ，杆长为L .则：

(1)A 球机械能最小时，水平面对B 球的支持力为多大？

(2)若m

=m ，当A 球机械能最小时，杆与竖直方向夹角的余弦值为多大？ 如图所示，在水平面上固定一个半圆形细管，在直径两端

【巧练3】如图所示，将两个质量均为m 的小球a 、b 用细线连悬挂于O 点，用力F 拉小球a ，使整个装置处于平衡状态，且悬线Oa 与竖直方向的夹角的大小θ=30o ，则F 的大小 （ ）

A

O A B b F θ

O

A

B

mg

C ．可能为mg

D ．不可能为mg

【巧练4】将两个质量均为m 的小球a 、b 用细线相连后，再用细线悬挂于O 点，如图所示，用力F 拉小球b ，使两个小球都处于静止状态，且细线Oa 与竖直方向的夹角保持θ=30o ，则F 达到最小值时Oa 线上的拉力大小为 （ ）

A

mg B ．mg C

mg D ．12

mg 【巧练5】 如图所示，顶端附有光滑定滑轮的斜面体静止在粗糙水平地面上，三条细绳结于O 点，一条绳跨过定滑轮平行于斜面连接物块P ，一条绳连接小球Q ．P 、Q 两物体处于静止状态．另一条绳OA 在外力F 的作用下使夹角θ<90o ．现缓慢改变绳OA 的方向至θ>90o ，且保持结点O 位置不变，整个装置始终处于静止状态．下列说法正确的是 ( )

A ．绳OA 的拉力一直增大

B ．斜面对物块P 的摩擦力的大小可能先减小后增大

C ．地面对斜面体有向右的摩擦力

D ．地面对斜面体的支持力大于物块P 和斜面体的重力之和 a b F θ

O