幅相频率特性图—奈奎斯特Nyquist图
精品文档-自动控制原理(第二版)(千博)-第5章
图 5-5 惯性环节的波德图
25
三、对数幅相图(Nichols图)
对数幅相图是以相角(°)为横坐标, 以对数幅频L(ω)(dB)
为纵坐标绘出的G(jω)曲线。频率ω为参变量。因此它与幅相
频率特性一样, 在曲线的适当位置上要标出ω的值, 并且要用
箭头表示ω增加的方向。
用对数幅频Hale Waihona Puke 性及相频特性取得数据来绘制对数幅相
第五章 频 域 分 析 法
第一节 第二节 第三节 第四节 第五节 第六节 第七节 第八节 关系 第九节 德图
频率特性的基本概念 频率特性的表示方法 典型环节的频率特性 系统开环频率特性 奈奎斯特稳定性判据和波德判据 稳定裕度 闭环频率特性 开环频率特性和系统阶跃响应的
利用MATLAB绘制奈奎斯特图和波
8
图 5-2 频率特性与系统描述之间的关系
9
利用频率特性曲线分析研究控制系统性能的方法称为频域 分析法。频域分析法主要有傅氏变换法和经典法。
(1) 傅氏变换法就是系统在输入信号r(t)的作用下，其输 出响应为
即把时间函数变换到频域进行计算并以此分析研究系统的方法。 (2) 经典法就是先求出系统的开环频率特性G(jω)并绘成
的对数频率
22
(1) 对数幅频特性曲线。通常用L(ω)简记对数幅频特性, 故
ω从0变化到∞时的对数幅频特性曲线如图5-3所示。
23
(2) 相频特性曲线。通常以j(ω)表示相频特性, 即 j (ω)=∠G(jω)。对于惯性环节, 有
j (ω)=-arctanTω 对不同ω值, 逐点求出相角值并绘成曲线即为相频特性曲线, 如图5-5所示。
45
图 5-11 振荡环节近似波德图
2频率特性的图解方法
G( j ) A( )e j ( )
频率特性的极坐标图⑵
⒉典型环节的极坐标图 ⒉典型环节的极坐标图 ①积分环节 传递函数为
G(s) 1 s
频率特性为 G ( j )
1 j
幅频特性和相频特性分别为
A( ) 1
( ) 90
积分环节和微分环节互为倒数 积分环节和微分环节互为倒数
由于计算机的出现，作图已经变得很容易了，但 这些图解方法的重要性在于，其物理意义非常明确， 使人们易于掌握系统的物理本质和动态特性。
一 频率特性的极坐标图⑴
1.Nyquist 图的画法 1.Nyquist 图的画法 可用向量表示某一频率下的频率 特性。 通常，将极坐标重合在直角坐标 中，极点取直角坐标的原点，极坐标 轴取直角坐标的实轴。 尽管频率特性可以分解为实频和 虚频两部分，因此可以用实频和虚频 在直角坐标中画出各频率下的对应的 点，但尽量不要采用这种方法，而应 采用矢径（幅频特性）和相角绘制。 表示频率特性的向量的矢端的轨 迹称为幅相频率特性曲线，或奈奎斯 特曲线。 设系统的频率特性为
频率特性的极坐标图⑸
令
d A( ) 0 r d
r
1 1 2 2 n 1 2 2 T
1 2 1 2
2
则谐振频率为 谐振峰值为：
M r A( ) max
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
, 0 0.707
当环节在谐振频率处出现谐振峰值时，表示环节 对谐振频率附近的谐波分量的放大能力特别强，输入 信号中接近谐振频率的谐波分量被放得很大，在输出 信号中这些谐波分量特别突出，因此，环节的阶跃响 应有以谐振频率附近的频率进行振荡的倾向。 其他典型环节不再赘述。 其他典型环节不再赘述。
03频率特性法——奈氏图和伯德图画法
惯性环节
G( j)H ( j)
40(0.5 j 1) j(2 j 1)( 1 j 1)
30
转折频率：0.5 2 30 低频段：V=1，在ω＝1 处 20lgK=20lg40=32 , －20 dB/dec，
L(ω)
[-20] 40db
G(s)H(s)
40(0.5s 1) s(2s 1)( 1 s
由于奈奎斯特曲线可以确定起点和终点，只是一个粗略图。
二、控制系统开环频率特性
1．系统奈奎斯特曲线
G
j
b0 a0
j m j n
b1 a1
j m1 j n1
bm1 j bm an1 j an
n阶系统
K
j
j1 1 j2 jT1 1 jT2
1 1
m n
0 1 2
0型系统 I型系统 II型系统
开环含有v个积分环节的系统，Nyquist 曲线起自幅角为－v90°的无穷远处。
Nyquist曲线终点幅值为 0 ，而相角为 －(n－m)×90°。
伯德图画法详解
重点 掌握
系统的开环传递函数通常可以写成典型环节串联 的形式， 即： G(s)H(s)=G1(s)G2(s)...Gn(s)
系统的开环频率特性为
i 1
伯德图画法详解 重点 掌握
幅频特性 = 组成系统的各典型环节 的对数幅频特性之代数和。
相频特性 = 组成系统的各典型环节 的相频特性之代数和。
伯德图画法详解 重点 掌握
一般步骤：
绘制系统开环对数频率特性曲线的一般步骤：
1) 将开环传递函数化成典型环节的乘积。
2）画出各典型环节的对数幅频和对数相 频特性曲线；
L(ω)=20lgK=x 即
机械工程控制基础-典型环节奈氏图
基本步骤
将开环传递函数表示成若干典型环节的串 联形式： ( s) G1 ( s)G2 ( s)Gn ( s) G 求系统的频率特性：
G ( j ) A( )e
j ( ) j 1 ( )
A1 ( )e
A2 ( )e
j 2 ( )
An ( )e
j n ( )
1 2
=0.5 =0.3 =0.2 =0.1
0 1 2 3
Im -3
-4 -5 -6
=n
-3 -2 -1
Re
第4章 频域分析法 谐振现象(resonance)
4
3
2
= 0.05 = 0.15 = 0.20 = 0.25 = 0.30 = 0.40 = 0.50 = 0.707 = 1.00
由正实轴方向沿逆时针方向绕原点转至向量gj方向的角度等于比例环节二典型环节的频率特性图二典型环节的频率特性图传递函数
奈奎斯特(Nyquist)图（极坐标图、幅相频率特性图）
G ( j) Re[G ( j)] j Im[ G ( j)] P () jQ () G ( j) e
A()
1
0
0
0.2 0.4 0.6 0.8 1
/n
1.2 1.4 1.6 1.8 2
第4章 频域分析法 由振荡环节的幅频特性曲线可见，当 较小 时，在 = n附近，A()出现峰值，即发 生谐振。谐振峰值 Mr 对应的频率r 称为谐 振频率。 由于： A( )
1 n
= n时
A( ) A( n ) 1 2
( ) ( n ) 90
= 时
自动控制原理--幅相频率特性幅相频率特性(Nyquist图)相关知识
1
起点
Байду номын сангаас
终点
v 3 v 0
5.2.2 开环系统的幅相频率特性
例7
G1 ( s )
s2 (T1s
K 1)(T2s
1)
G1( j0) 180
G1 G1
G1( j) 0 360
G2 ( s)
K ( s 1)
s2 (T1s 1)(T2s 1)(T3s
1)
G2( j0) 180
G(
j )
1
2 n2
1
j2
n
n
n
1
G
[1
2
2 n
]2
[2
n
]2
2
G arctan
n 2
1 - n2
5.2.1 典型环节的幅相频率特性
谐振频率r 和谐振峰值Mr
G 1
[1
2 n2
]2
[2
n
]2
d G 0
d
d
d
[1
2 n2
]2
[2
n
]2
0
2[1
2 n2
][2(n2
)]
2
[ 2
W( j) K () 0
比例环节的幅相特性 是G平面实轴上的一 个点
5.2幅相频率特性曲线（Nyquist）
5.2.1典型环节的幅相特性曲线 微分环节的幅值与成正比，
2. 微分环节频率特性
相角恒为90度。频率从0→∞
（1）理想微分环节频率特性
幅相特性曲线由G平面原点趋 向虚轴的+j∞处。
① 传递函数 W (s) X c (s) s
n
2
](
自动控制第四章
Nyquist步骤：1 2 3 频率特性
幅频 G ( jw ) =
1 1+w 2T 2
w 0，幅值，相角
w ，幅值，相角
与实轴或虚轴的交点
幅相特性(Nyquist)
Re
相频 G( jw)=-arctg(wT)
2 wn ⑹ 振荡环节 G( s) 2 2 s 2wn s w n w 2 1 ( ) wn U (w ) w 2 2 w 2 2 [1 ( ) ] 4 ( ) wn wn w 2 wn V (w ) w 2 2 w 2 [1 ( ) ] 4 2 ( ) wn wn
一、典型环节的奈氏图
⑴ 比例环节 G( s) K ⑵ 微分环节 G( s ) s
1 ⑶ 积分环节 G ( s ) s
G( jw ) K G ( jw ) jw
幅值相角
G K G 0 G w G 90 G 1 w G 90
G 1
奈氏图
1 G( jw ) jw
0.237 76
G
G ( j )
2(2 j ) 0 j 0 0 90 2 2 2
证明：惯性环节 G ( jw )
G ( jw )
1 1 jwT的幅相特性为半圆
1 1 jw T X jY 2 2 1 jw T 1 w T
G( j 0.6) 0.92 j 0.27 0.959 16.4 G( j1) 0.8 j 0.4 0.804 26.6 G( j 2) 0.5 j 0.5 0.707 45 G( j 4) 0.2 j 0.4 0.447 63.4 G( j8) = 0.06 - j 0.24
自动控制原理5第三节极坐标图
当w 时，A(w) 0，(w) 180，P(w) 0，Q(w) 0
24
令Q(w ) 0，解得与实轴交点 w 2
1
T1T2 T1Td T2Td
注意与实轴交点有交点 的条件为： T1T2 T1Td T2Td 0
Td (T1 T2 ) T1T2
P(w )
K ( T1T2 T1 T2
w Im
w 0
Re
w
一阶微分环节的奈氏图
② 一阶微分：
A(w) 1 T 2w2，(w) tg1Tw
P(w) 1，Q(w) Tw
w
Im
一阶微分环节的极坐标 图为平行于虚轴直线。
频率w从0→∞特性曲线
相当于纯微分环节的特 性曲线向右平移一个单 位。
w 0 Re
w
12
二阶微分环节的频率特性
5
P() 0，Q() 0
w
0
w1 T
Re
w 0
惯性环节的奈氏图
极坐标图是一个圆，对 称于实轴。证明如下：
P(w
)
1
K
T 2w
2
Q(w
)
KTw 1 T 2w 2
Q(w) Tw P(w )
Im
w
0
w1 T
Re w 0
P
1
K
T 2w
2
1
K (Q
)2
P
整理得： (P K )2 Q2 ( K )2
n/2(弧度)。并且只要在原点处存在极点，极坐标图在w=0的幅
22 值为无穷大。
⒊ 增加有限零点
设
G5 ( s)
s(T1s
K 1)(T2s
1)
A(w)
奈奎斯特曲线
G(
j )
T
2
(
j )2
1
2T
(
j )
1
| G( j) |
1
(1 T 2 2 )2 (2 T)2
G(
j
)
tg
1
2T 1 T 2 2
当 0 时
| G( j) |1 G( j) 0o
当 时
| G( j) | 0,G( j) 180o
R
相频特性(): 稳态输出信号的相角与输入信号相角之差。
第五章 频域分析法
频率特性又称频率响应，它是系统（或元件）对不同频率正 弦输入信号的响应特性。(稳态)
频率特性＝
输出的复数形式 输入的复数形式
W ( j ) X c ( j ) A( )e j X r ( j )
2
1.5
奈氏图
| G( j) |＝ U 2 V 2 K2 02 K
G( j) tg1 V tg1 0 0
U
K
第五章 频域分析法
2. 惯性环节:G(s)=1/(Ts+1)
G( j ) 1 Tj 1
1
j T U jV | G( j ) | e jG( j )
第五章 频域分析法
6.
二阶微分环节 G(s)
s2 wn2
2
wn
s 1 T 2s2
2Ts 1
A()
(1
T
2
2
)2
(2T
)2
,
(
)
tg 1
1
2T T 2
2
P() 1 T 2 2 , Q() 2 T
第5章2——Nyquist曲线
2 n arc tg n 2 1 2 n 2 n arc tg n 2 1 2 n
2016/5/20
autocumt@
5-2 幅相频率特性——Nyquist曲线
d A( ) 0 d d 1 0 d 2 2 2 2 1 n n
S (T j S 1)
j 1
h
1 ( n h ) 2 j 1
2 2 ( T j S 2 jT j S 1)
开环传递函数分解成 典型环节串连形式
autocumt@ 1
G( S ) H ( S ) Gi ( S )
i 1
N
5-2 幅相频率特性——Nyquist曲线
谐振频率：r n 1 2 2 谐振峰值：M r 1 2 1
2
自动控制原理
Im 0
0 1 Re
1 2
n
M
r
A ( r )
r
2 谐振条件： 0 0.707 2
autocumt@ 12
振荡环节的幅相特性曲线
2016/5/20
A( ) 1 T 1
2 2
( ) arctan T
Im
A(0) 1; (0) 0 A() 0; () 90
0 45
1 0
Re
autocumt@ 6
1 T
2016/5/20
5-2 幅相频率特性——Nyquist曲线
i 1
结论：开环幅频特性是串联环节幅频特性幅值之积 开环相频特性是串联环节相频特性相角之和
autocumt@
自动控制理论 5-4 频域：奈氏 判据
Z =2（ N- -N+ ）+P=-2+1= -1 所以，系统不稳 定。
18
例5-14 为
已知一单位反馈系统的开环传递函数
K
G(s)H (s) 1 T1s1 T2s
T1 T2 0
试判别系统的稳定性。
W=0-
19
自控理论实验‘频率分析’中
根据奈氏判据, 闭环系统在s右半平面极点数 Z=N+P=2 所以系统不稳定。
13
例7: 一系统开环传递函数为：
G(s)H
(s)
K 1 T2s s2 1 T1s
( T1,2 0, K 0)
试分析时间常数对系统稳定性的影响，并画出它们所对应的乃氏图。
解：本系统的开环频率特性
G(
j)H
根据奈氏判据, 闭环系统在s右半平面极点数 Z=N+P=0 所以系统稳定。
6
例4: 一系统开环传递函数为：
G(s)H
(s)
K
s1 Ts
( T 0, K 0)
试判别系统的稳定性。
解：本系统的开环频率特性
G( j)H ( j)
K
j1 Tj
0 0
(1, j0)
Im
G( j)H ( j)
L( ) dB
0 Re
0
( )
0
c
16
参照极坐标中奈氏判据的定义，对数坐标下的奈
判据可表述如下：
当 由 0 时，奈氏曲线GH对于（-1， j0）点围绕的圈数N与其相频特性曲线 () 在开环对数 幅频特性L() 0 的频段内，负、正穿越次数之差相等， 即
机械工程控制基础典型环节奈氏图
注意到：
P(
)
1 2
2
Q( )2
1 2
2
Im
0
=
即惯性环节的奈氏图为圆
1/2 1 Re
45G(j) =0
心在(1/2, 0)处，半径为1/2
=1/T
的一个圆。
Nyquist Diagram
第4章 频域分析法
一阶微分环节
传递函数： G(s) s 1 频率特性： G( j) 1 j 1 2 2 e jarctg
第4章 频域分析法
在复平面上，随（0 ~ ）的变化，向量 G(j)端点的变化曲线（轨迹），称为系统
的幅相频率特性曲线。得到的图形称为系 统的奈奎斯特图或极坐标图。
易知，向量G(j)的长度等于A() （|G(j)|）；由正实轴方向沿逆时针方向 绕原点转至向量G(j)方向的角度等于() （G(j)）。
= n时
A( )
A(n )
1
2
= 时
() (0) 0 () (n ) 90
A() A() 0 () () 180
第4章 频域分析法
0 -1 -2
Im -3
-4
Nyquist Diagram
= =0 =1
=0.7
1
2
=0.5 =0.3 =0.2
-5
=n =0.1
-6 -3 -2 -1 0 1 2 3
幅频特性： A() 1 2 2 相频特性： () = arctg
➢ 一阶微分环节的Nyquist图 Im
=
实频特性：
1 2 2
P() 1
虚频特性：
Q()
0
=0 Re
arctg 1
第4章 频域分析法
自动控制原理_第5章
：0 ( )： 0
dB
24
对数幅频曲线近似作法：
通信技术研究所
25
九.一阶不稳定环节 1 1 G( s) 特征根s= Ts 1 T
1 G ( j ) 1 T j
A( )
1 T 2 2 1
：0
一阶不稳： 惯性环节： 0
Im
0 n
1
1
0
Re
n
2
n
3 1 2 3
通信技术研究所
21
七.二阶微分环节
G( s) s2
2 n
2
n
s 1
G( j ) 1
( j )2
2 n
2
n
( j)
2 n arctan ， n 1 ( )2 n ( ) G ( j ) 2 n arctan ， n 1 ( )2 n
——幅频特性 ——相频特性
( ) ( j )
r (t ) Ar sin(t r ) 4. 稳态输出 cs (t ) ( j) Ar sin[t r ( j)]
通信技术研究所
3
三.频域性能指标 1.峰值Am ： A（ω）的最大值 2.频带宽 b： A()下降到0.707 A(0)对应的频率 3.相频宽 b ： ( ) 时对应的频率 2 4.零频振幅比A（0）：ω＝0时输出输入振幅比
dB
0
( ) 90
0.1 0. 2 0.3 0. 7
1
180 0.707 A( )无峰值 0.1 0.2 0.4 0.6 0.8 1 6 8 2 4 / 0.707 Am 1 m =0 0.707 Am 1 m 0 m , =0 Am m （共振） 0 m n (最大值) n
幅相频率特性图—奈奎斯特Nyquist图
第五章频率特性1．本章的教学要求1) 掌握频率特性的基本概念、性质及求取方法；2)掌握典型环节及系统的频率特性图—奈奎斯特(Nyquist)图的绘制方法；3)掌握典型环节及系统的对数频率特性图—波德图(Bode)图的绘制方法；4)使学生掌握频率特性的实验测定法。
5）使学生掌握奈奎斯特（Nyquist）稳定性判据应用；6）掌握对数频率稳定性判据（Bode判据）应用；7）掌握相对稳定性的基本概念，相位裕量Υ、幅值裕量K g定义、计算、在Nyquist图与Bode图上的表示。
2．本章讲授的重点本章讲授的重点是掌握频率特性的基本概念、求取方法；奈奎斯特(Nyquist)图的绘制方法；波德图(Bode)图的绘制方法;利用频率特性分析控制系统。
3．本章的教学安排本课程预计讲授14个学时第一讲5.1 频率特性1．主要内容：1）频率响应和频率特性2）频率特性的求取方法3）频率特性的表示方法2．讲授方法及讲授重点：本讲首先给出频率响应定义，用图说明线性系统稳态响应曲线的特点，由此引出幅频特性、相频特性的概念，然后给出频率特性的定义及数学表达式，利用图及公式说明幅频特性、相频特性、实频特性、虚频特性的关系。
在介绍频率特性的求取方法时，首先说明频率特性一般有三种求法：利用定义求取、根据系统的传递函数来求取、通过实验测得。
在此主要说明和推导根据系统的传递函数来求取的方法, 第三种方法后面介绍。
在介绍频率特性的表示方法时，首先说明频率特性的表示方法主要有如下几种：幅频特性和相频特性图、幅相频率特性图、对数频率特性图、对数幅相频率特性图、实频特性图和虚频特性图，分别简单介绍各自特点，然后强调本章重点介绍幅相频率特性(Nyquist)图和对数频率特性(Bode)图。
3．教学手段：Powerpoint课件与黑板讲授相结合。
4．注意事项：在讲授本讲时，频率特性概念比较抽象，同学不好理解，但此概念在本门课中又非常重要，可以联系实际举几个简单例子说明此概念。
第5章 频率特性分析法
( ) : 0 900
3. 积分环节
1 G( s) s 1 G ( j ) j
A( )
1
( ) 90o
Im
Re
0
4. 振荡环节 n2 G( s) 2 2 s 2n s n
2 n G ( j ) 2 2 ( j ) 2n ( j ) n 1 ( ) 2 j 2 n n = 22 2 2 [1 ( ) ] 4 ( ) n n
Im
G ( s ) 1
A( ) 1 2 2 P( ) 1 ( ) arctan ，Q ( )
1 0
0
Re
6. 延迟环节
G ( s) e
s
G ( j ) e
j
1* e
j
A( ) 1 常数, 单位圆 ( ) 0, 0 Im
二、对数频率特性曲线
对数幅频特性曲线 20 lg A( )
伯德（Bode)曲线，Bode图
对数相频特性曲线
( )
半对数坐标：横坐标是对数刻度，纵坐标是均匀 刻度。
1
10
100
1000
横坐标采用对数分度，但标出的是 的实际值。
L( ) 20 lg A( ) 对数幅值，单位为分贝(dB)
因此,
G j频率特性 Gs s j 传函
K 例5-1 已知系统的传递函数为， 求频 G( s) Ts 1 率特性
解：令s=jω得系统的频率特性
K K G ( j ) e jarctg T 1 jT 1 (T ) 2
或
K K KT G( j ) j 2 2 1 jT 1 T 1 2T 2
自动控制原理总复习资料解答题
闭环控制系统凡是系统输出端与输入端存在反馈回路,即输出量对控制作用有直接影响的系统,叫作闭环控制系统。
自动控制原理课程中所讨பைடு நூலகம்的主要是闭环负反馈控制系统。
1。3对自动控制系统的基本要求
1什么是自动控制：所谓自动控制，是指在没有人直接参与的情况下,利用外加的设备或装置（控制器)，使机器、设备或生产过程（被控对象）的某个工作状态或参数（被控变量)自动地按照预定规律运行。
2自动控制系统是指由控制装置与被控对象结合起来的，能够对被控对象的一些物理量进行自动控制的一个有机整体
控制量作为被控制量的控制指令而加给系统的输入星．也称控制输入。
扰动量干扰或破坏系统按预定规律运行的输入量,也称扰动输入或干扰掐入。
反馈通过测量变换装置将系统或元件的输出量反送到输入端，与输入信号相比较。反送到输入端的信号称为反馈信号.
负反馈反馈信号与输人信号相减，其差为偏差信号。
负反馈控制原理检测偏差用以消除偏差。将系统的输出信号引回插入端，与输入信号相减，形成偏差信号。然后根据偏差信号产生相应的控制作用，力图消除或减少偏差的过程。
∞
K
0
Ⅱ型
∞
∞
K
输入
类型
0型
∞
∞
Ⅰ型
0
∞
Ⅱ型
0
0
第四章：知识点
1、根轨迹中，开环传递函数G（s)H(s)的标准形式是
2、根轨迹方程是
．
相角条件：绘制根轨迹的充要条件
幅值条件:
3、根轨迹法的绘制规则。
4、能用根轨迹法分析系统的主要性能，掌握闭环主导极点与动态性能指标之间的关系.能定性分析闭环主导极点以外的零、极点对动态性能的影响。
第五章 频率响应法
一、频率特性的定义：
以RC网络为例：
5-1 频率特性的基本概念
R
1 ( s) Ts 1
duc T uc u r dt
ur
C
uc
当 ur R sin t 初始条件uc(0)=uc0时，用拉氏变换有：
T sU c ( s ) uc 0 U c ( s ) U r ( s)
幅频特性
P
2 2
P
相频形式
1 , 令s j , 则 Ts 1 1 1 1 T ( j ) = j 2 2 2 2 2 2 jT 1 1+T 1+T 1+T 1 = e jarctgt A( )e j ( ) 1+T 2 2 传递函数与频率特性的关系： RC网络传递函数 ( s )
1 1 jtg 1T T 例如：RC网络 ( s) G ( j ) e 2 2 1 1 T s T A(0) 1 1 A( 1 T ) 2 2 A( ) 0 0 (0) 0 T ( 1 T ) 45 ( ) 90
R j j j e 2j R j j 同理B = j e 2j
R R j e j j ， B = j e j j 2j 2j R R j j jt j j c稳态 (t ) j e e j e e jt 2j 2j B= 1 j t + j 1 j t + j =R j e e 2 j 2 j R j sin t + j 相位差 （） 幅值比A ( ) 相频特性 幅频特性 j j e j j 线性定常系统，在正弦信号的作用下： (1)输出的稳态分量是与输入同角频率的正弦信号; (2)输出的稳态分量的振幅和输入量的振幅相差一个系数，该系数是角频率 的函数，其值等于在传递函数中令s j时得到的复数的模 (3)输出的稳态分量相对于输入量一般有相位移动，移动量等于在传递函数 中令s j时得到的复数的相角。
信号幅频相频特性的画法(频率响应法)
1、频率响应法•基本思想是把系统中的信号分解为多种不同频率的正弦信号，这些信号经过控制系统时，会以一定的规律产生幅值和相位的变化，通过分析这些变化规律就能得出关于系统运动的性能指标。
•由于幅值和相位的变化称频率特性函数可以绘制在图形上，因此该方法非常直观。
另外，可以用实验法建立系统的模型，也可以据开环频率特性分析闭环系统的特性。
该方法具有很高的工程价值，深受工程技术人员欢迎。
6 频率响应分析法22、频率特性的图示方法•为了直观地分析系统的特性，通常把幅频和相频特性以图形的形式表示出来：1.幅相频率特性（奈氏图）2.对数频率特性（Bode图）3.对数幅相特性（尼氏图）6 频率响应分析法52.1 幅相频率特性图•极坐标图：奈奎斯特(Nyquist)图，幅相特性图，当频率连续变化时，频率特性函数在复平面的运动轨迹。
G(jω)=x(ω)+ j y(ω)ω：0→+∞6 频率响应分析法62.2 对数频率特性（Bode图）•对数坐标图：伯德(Bode)图，由两辐图组成。
对数幅频特性图+对数相频特性图，横坐标为频率的(以10为底数)对数，单位是10倍频程(dec)。
–对数幅频图的纵坐标为幅频的对数，单位为分贝(dB)–对数相频图的纵坐标为相频值，单位为弧度6 频率响应分析法86 频率响应分析法10伯德(Bode)图的优点•对数坐标图有如下优点：–把乘、除的运算变成加、减运算。
串联环节的Bode 图为单个环节的Bode图迭加。
–K 的变化对应于对数幅频曲线上下移动，而相频曲线不变。
–一张图上可以同时画出低、中、高频的特性。
•因此在工程上得到了广泛的应用6 频率响应分析法112.3 对数幅相特性(尼氏图)对数幅相图•尼科尔斯(Nichols)图，以对数幅频特性为纵坐标（分贝），相频特性为横坐标，频率ω为参变量。
6 频率响应分析法126 频率响应分析法146 频率响应分析法203.7 用Matlab绘制频域特性图•sys = tf(num,den);•伯德图–bode(sys); [mag,phase,w] = bode(sys);•奈奎斯特图–nyquist(sys); [re,im,w] = nyquist(sys);•尼科斯图–nichols(sys); [mag,phase,w] = nichols(sys);6 频率响应分析法23对数频域特性图与频域性能指标分贝对应的频率：截止频率-3分贝对应的频率：带宽6 频率响应分析法5. 开环传递函数的频率特性5.1 开环对数频率特性的绘制①以典型环节的频率特性为依据进行迭加；②首先考虑积分环节和比例环节；③充分利用环节的特征点。
4-3奈氏图
j
S1
Z1
3 Z3 P
S
F (S2 )
Im
F (S )
F ( S3 )
P 2
S2
Z2
P 1
0
F (S1 )
0
Re
S3
s
F
(a )
图4-38 S平面到F(s)平面的映射
(b)
（二）幅角定理（映射定理）
设 F (s )在S平面上，除有限个奇点外，为单值的连续正则函数，若在S平面上任
Z1
j
S1
S
Im
F (S )
F ( S1 )
Z3
P 3
P2
Z2
0
P 1
s
0
Re
F
N 1
图 4-39
(b)Z 0、P 1 N 1 F (S1 ) 2 、 、
j
S1
S
P 1
Im
F (S )
F
s
Z3
P3
P2 Z2
0
F ( S1 )
0
Re
N 0
图 4-39 (c)Z 1、P 1、N 0、F (S1 ) 0
G( s) H ( s) 1 s( s 1)
则其辅助函数是
s2 s 1 F ( s) 1 G( s) H ( s) s( s 1)
除奇点 s 0 和 s 1 外，在S平面上任取一点，如
s1 1 j 2
则
(1 j 2) 2 (1 j 2) 1 F ( s1 ) 0.95 j 0.15 (1 j 2)(1 j 2 1)
关于幅角定理的数学证明请读者参考有关书籍，这里仅从几何图形上简 单说明。 设有辅助函数为
幅相频率特性(Nyquist
都是非最小相角的。
6．二阶振荡环节
161
二阶振荡环节的传递函数为
G(s)
=
T
2s2
1 + 2Tξs
+1
=
s2
+
ωn2 2ξωn
+ ωn2
(0 < ξ < 1)
（5-34）
式中，ωn = 1 T 为环节的无阻尼自然频率；ξ 为阻尼比， 0 < ξ < 1 。相应的频率特性为
G( jω) =
1 (1 − ω 2 ) +
（5-48）
式中
⎧ A(ω) ⎨⎩ϕ (ω )
= =
A1 (ω ) ϕ1(ω)
A2 (ω) L Al (ω) + ϕ2 (ω) +L + ϕl
(ω
)
（5-49）
Ai (ω) ，ϕi (ω) (i = 1 , 2 , L , l) 分别表示各典型环节的幅频特性和相频特性。
式(5-48)表明，只要将组成开环传递函数的各典型环节的频率特性叠加起来，即可得出 开环频率特性。在实际系统分析过程中，往往只需要知道幅相特性的大致图形即可，并不需
164
7．二阶复合微分环节
二阶复合微分环节的传递函数为
G(s)
=
T 2s2
+
2ξTs
+1=
s2 ωn 2
+
2ξ
s ωn
+1
频率特性为
G(
jω)
=
⎛ ⎜1
−
⎝
ω2 ωn2
⎞ ⎟ ⎠
+
j2ξ
ω ωn
⎧
⎪ ⎪
A(ω
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第五章频率特性
1．本章的教学要求
1) 掌握频率特性的基本概念、性质及求取方法；
2)掌握典型环节及系统的频率特性图—奈奎斯特(Nyquist)图的绘制方法；
3)掌握典型环节及系统的对数频率特性图—波德图(Bode)图的绘制方法；
4)使学生掌握频率特性的实验测定法。
5）使学生掌握奈奎斯特（Nyquist）稳定性判据应用；
6）掌握对数频率稳定性判据（Bode判据）应用；
7）掌握相对稳定性的基本概念，相位裕量Υ、幅值裕量K g定义、计算、在Nyquist图与Bode图上的表示。
2．本章讲授的重点
本章讲授的重点是掌握频率特性的基本概念、求取方法；奈奎斯特(Nyquist)图的绘制方法；波德图(Bode)图的绘制方法;利用频率特性分析控制系统。
3．本章的教学安排
本课程预计讲授14个学时
第一讲
5.1 频率特性
1．主要内容：
1）频率响应和频率特性
2）频率特性的求取方法
3）频率特性的表示方法
2．讲授方法及讲授重点：
本讲首先给出频率响应定义，用图说明线性系统稳态响应曲线的特点，由此引出幅频特性、相频特性的概念，然后给出频率特性的定义及数学表达式，利用图及公式说明幅频特性、相频特性、实频特性、虚频特性的关系。
在介绍频率特性的求取方法时，首先说明频率特性一般有三种求法：利用定义求取、根据系统的传递函数来求取、通过实验测得。
在此主要说明和推导根据系统的传递函数来求取的方法, 第三种方法后面介绍。
在介绍频率特性的表示方法时，首先说明频率特性的表示方法主要有如下几种：幅频特性和相频特性图、幅相频率特性图、对数频率特性图、对数幅相频率特性图、实频特性图和虚频特性图，分别简单介绍各自特点，然后强调本章重点介绍幅相频率特性(Nyquist)图和对数频率特性(Bode)图。
3．教学手段：
Powerpoint课件与黑板讲授相结合。
4．注意事项：
在讲授本讲时，频率特性概念比较抽象，同学不好理解，但此概念在本门课中又非常重要，可以联系实际举几个简单例子说明此概念。
5．课时安排：2学时。
6．作业：
书后P173，习题5-2
第二讲
5.2 典型环节的频率特性
1．主要内容：
1）频率特性图—奈奎斯特(Nyquist)图
2）典型环节的奈奎斯特图
3）系统的开环频率特性的奈奎斯特图
（1）系统的开环频率特性的奈奎斯特图的绘制
（2）系统的开环奈奎斯特图的形状特点
2．讲授方法及讲授重点：
本讲首先通过绘图介绍Nyquist图的形成过程及绘制方法，然后强调奈奎斯特图能显示出G(jω)矢量端点轨迹上的频率分布，一个图上就表示了整个频率域的频率特性，同时给出了幅频、相频、实频、虚频特性信息，这对于了解系统的动态特性比较直观。
在讲解典型环节的奈奎斯特图时，将比例环节、积分环节、理想微分环节、惯性环节、振荡环节、一阶微分环节、二阶微分环节分别作介绍，其中重点介绍惯性环节、振荡环节的曲线特征与参数的关系。
在讲解系统的开环频率特性的奈奎斯特图时，重点介绍开环奈奎斯特图的形状特点，讲授概略绘制开环奈奎斯特图的要求和方法。
3．教学手段：
Powerpoint课件与黑板讲授相结合。
4．注意事项：
在讲授本讲时，简单说明应用Matlab绘制控制系统图形的方法，主要是说明利用计算机可以绘制很复杂的奈奎斯特图形，但是手工绘制，仅仅可以获得简单、粗略的图形。
5．课时安排：2学时。
6．作业：
书后P73,习题5-1(奈奎斯特图)
第三讲
5.3 系统的开环频率特性
1．主要内容：
1）对数频率特性图—波德(Bode)图
2）典型环节的波德图
3）系统的开环波德图
（1）系统的开环波德图的绘制
（2）系统的开环波德图的特点
4）最小和非最小相位系统
2．讲授方法及讲授重点：
本讲首先强调Bode图是系统频率特性的又一图解法，由对数幅频特性曲线和对数相频特性曲线共同构成，其坐标采用对数坐标系。
在讲解典型环节的波德图时，将比例环节、积分环节和理想微分环节、惯性环节和一阶微分环节、振荡环节和二阶微分环节分别进行对比，分组介绍，其中重点介绍积分环节、惯性环节和振荡环节的曲线特征。
在讲解系统的开环波德图时，重点介绍开环波德图的绘制方法、步骤，强调对数幅频特性曲线和对数相频特性曲线的对应关系。
介绍最小和非最小相位系统的概念及两种系统的各自特点。
3．教学手段：
Powerpoint课件与黑板讲授相结合。
4．注意事项：
在讲授本讲时，应注意引导学生在熟练掌握典型环节波德图的基础上，提高对系统特性进行分析的能力。
简单说明应用Matlab绘制控制系统图形的方法。
5．课时安排：2学时。
6．作业：
书后P173, 习题5-3(波德图)
第四讲
5.4 乃奎斯特稳定判据
1．主要内容：
奈奎斯特（Nyquist）稳定性判据。
2．讲授方法及讲授重点：
本讲首先介绍代数稳定性判据与频率稳定性判据的区别，强调频率稳定性判据是对系统在频率域的稳定性分析，该判据是用系统开环频率特性的Nyquist图来判别闭环系统的稳定性，是判别系统稳定性的图解法，因此是一种几何判据。
本讲重点介绍频率稳定性判据的描述及其应用。
要求学生熟练掌握该判据的应用。
在授课过程中，通过讲解各种形式的例题，使学生充分理解并熟练掌握。
3．教学手段：
Powerpoint课件与黑板讲授相结合。
4．注意事项：
在讲授本讲时，注意讲清楚奈奎斯特判据的基本原理及判断稳定性的方法是本节的难点。
对于其原理，只要求了解奈奎斯特判据N=Z-P的来源即可，不要求推导。
但判断稳定性的方法要熟练掌握。
通过掌握不同型次、阶次系统奈奎斯特图的规律，找出起点、终点和几个特征点，该方法就不难了。
5．课时安排：2学时。
6．作业：
书后P174，习题5-7
第五讲
5.4 对数频率稳定判据
1．主要内容：
对数频率稳定性判据（Bode判据）
2．讲授方法及讲授重点：
本讲首先强调对数频率稳定性判据是由系统的开环对数频率特性来判定闭环系统的稳定性，通过介绍Nyquist图与Bode图的对应关系，引出对数频率稳定性判据（Bode判据）。
本讲重点介绍对数频率稳定性判据在不同情况下的描述及应用。
要求学生熟练掌握该判据的应用方法。
在授课过程中，通过讲解各种形式的例题，使学生充分理解并熟练掌握。
3．教学手段：
Powerpoint课件与黑板讲授相结合。
4．注意事项：
在讲授本讲时，注意讲清楚对数频率稳定性判据的基本原理及判断稳定性的方法是本节的难点。
对于其原理，只要求了解Nyquist图与Bode图的对应关系，从而由Nyquist判据推导出Bode判据。
5．课时安排：1学时。
6．作业：书后P174，习题5-8
5.5 控制系统的相对稳定性
1．主要内容：
相对稳定性的基本概念，相位裕量、幅值裕量定义、计算、在Nyquist图与Bode图上的表示。
2．讲授方法及讲授重点：
本讲首先介绍系统相对稳定性的基本概念，强调稳定性裕量是衡量一个闭环稳定系统稳定程度的指标，常用的有相位裕量和幅值裕量。
本讲重点介绍相位裕量和幅值裕量的计算方法以及在Nyquist图与Bode图上的表示。
同时系统地分析影响系统稳定性的主要因素。
在授课过程中，通过讲解各种形式的例题，使学生充分理解并熟练掌握。
3．教学手段：
Powerpoint课件与黑板讲授相结合。
4．注意事项：
在讲授本讲时，注意讲清楚相位裕量和幅值裕量的计算方法以及在Nyquist 图与Bode图上的表示是本节的难点，通过例题讲解使学生熟练掌握。
5．课时安排：1学时。
6．作业：
书后P160，习题5-10
第六讲
5.6 闭环系统的频率特性
5.7 用频率特性分析系统品质
1．主要内容：
1）简介闭环系统的频率特性。
2）频域分析
（1）确定系统频率域与时间域指标的关系；
（2）最小相位系统频率特性的估算；
2．讲授方法及讲授重点：
本节首先介绍闭环系统的频率特性
在讲解闭环系统的频率特性时，简单介绍开环频率特性与闭环系统的频率特性的关系，对照图形简单介绍用等幅值轨迹(等M圆图)、等相角轨迹(等N圆图)绘制闭环频率特性图的方法，重点说明闭环频率特性的性能指标：谐振峰值M r 和谐振频率ωr、截止频率ωb和截止带宽等频率域性能指标。
其次介绍频率域与时间域指标的关系，最小相位系统性能指标的估算。
3．教学手段：
Powerpoint课件与黑板讲授相结合。
4．注意事项：
在讲授本讲时，应对照图形简介本讲内容，便于同学接受。
5．课时安排：1学时。
6．作业：
书后P175, 习题5-13
第七讲
习题课
1．主要内容：习题课
2．讲授方法及讲授重点：
本节首先小结频率特性
其次举例。
3．教学手段：
Powerpoint课件与黑板讲授相结合。
4．注意事项：
在讲授本讲时，应对照图形简介本讲内容，便于同学接受。
5．课时安排：2学时。