08级中南大学数理统计试题及答案
中南大学考试试卷
2009——2010学年第一学期 （2010.1） 时间：100分钟 《数理统计II 》 课程 24学时 1.5 学分 考试形式：闭卷
专业年级：2008级(第三学期) 总分：100分
一、填空题（本题15分，每题3分）
1、总体)3,20(~N X 的容量分别为10，15的两独立样本均值差~Y X -________；
2、设1621,...,,X X X 为取自总体)5.0,0(~2
N X 的一个样本，若已知0.32)16(201.0=χ,则}8{16
1
2∑=≥i i X P =有问题_；
3、设总体),(~2σμN X ，若μ和2σ均未知，n 为样本容量，总体均值μ的置信水平为α-1的置信区间为),(λλ+-X X ，则λ的值为________；
4、设n X X X ,...,,21为取自总体),(~2σμN X 的一个样本，对于给定的显著性水平α，已知关于2
σ检验的拒绝域为χ2≤)1(21--n αχ，则相应的备择假设1H 为________； 5、设总体),(~2σμN X ，2σ已知，在显著性水平0.05下，检验假设00:μμ≥H ,01:μμ 拒绝域是________。 1、)210(，N ； 2、0.01； 3、n S n t ) 1(2-α； 4、202σσ<； 5、05.0z z -≤。 二、选择题（本题15分，每题3分） 1、设321,,X X X 是取自总体X 的一个样本，α是未知参数，以下函数是统计量的为（ ）。 （A ）)(321X X X ++α （B ）321X X X ++ （C ） 3211X X X α （D ）231)(31α-∑=i i X 2、设n X X X ,...,,21为取自总体),(~2σμN X 的样本，X 为样本均值，212)(1X X n S i n i n -=∑=，则服从自由度为1-n 的t 分布的统计量为（ ）。 （A ）σμ）-X n ( （B ）n S X n )(μ- （C ）σ μ）--X n (1 （D ）n S X n )(1μ-- 3、设n X X X ,,,21 是来自总体的样本，2)(σ=X D 存在， 212 )(11X X n S i n i --=∑=, 则（ ）。 （A ）2S 是2σ的矩估计 （B ）2S 是2σ的极大似然估计 （C ）2S 是2σ的无偏估计和相合估计 （D ）2S 作为2σ的估计其优良性与分布有关 4、设总体),(~),,(~22 2211σμσμN Y N X 相互独立，样本容量分别为21,n n ，样本方差分别为2221,S S ，在显著性水平α下，检验2221122210:,:σσσσ<≥H H 的拒绝域为（ ）。 （A ）)1,1(122 122 --≥n n F s s α （B ）)1,1(12212122--≥-n n F s s α （C ） )1,1(212122--≤n n F s s α （D ）)1,1(21212122--≤-n n F s s α 5、设总体),(~2σμN X ，2σ已知，μ未知，n x x x ,,,21 是来自总体的样本观察值，已 知μ的置信水平为0.95的置信区间为（4.71，5.69），则取显著性水平05.0=α时，检验假设0.5:,0.5:10≠=μμH H 的结果是（ ）。 （A ）不能确定 （B ）接受0H （C ）拒绝0H （D ）条件不足无法检验 1、B ； 2、D ； 3、C ； 4、A ； 5、B. 三、（本题14分） 设随机变量X 的概率密度为：?????<<=其他θθx x x f 0, 0,2)(2，其中未知 参数0>θ，n X X ,,1 是来自X 的样本，求（1）θ的矩估计；（2）θ的极大似然估计。 解：(1) θθθ322)()(022 ===??∞+∞-x d x x d x f x X E ， 令θ32)?(==X X E ，得X 23?=θ为参数θ的矩估计量。 (2)似然函数为：),,2,1(,022),(1212n i x x x x L i n i i n n n i i i =<<==∏∏==θθθθ， ， 而)(θL 是θ的单调减少函数，所以θ的极大似然估计量为},,,max{?21n X X X =θ。 四、（本题14分）设总体),0(~2σN X ，且1021,x x x 是样本观察值，样本方差22=s ， 拒绝域为：χ2≤)9()1(2975.02 21χχα =--n =2.70或χ2≥2025.022 )1(χχα=-n =19.023， 经计算：96.121 2.19)1(2202 2=?=-=σχs n ，由于)023.19,700.2(96.122∈=χ2， 故接受H 0，即可以认为排出的污水中动植物油浓度的方差为σ2=1。 （2）检验假设101010≠'='μμ：，：H H ； 取统计量：10/10S X t -=~ )9(2 αt ； 拒绝域为2622.2)9(025.0=≥t t ；1028.210/2.110 8.10=-=t <2.2622 ，所以接受0 H '， 即可以认为排出的污水中动植物油的平均浓度是10（mg/L ）。 综上，认为工厂生产正常。 七、（本题10分）设4321,,,X X X X 为取自总体)4,(~2μN X 的样本，对假设检验问题 5:,5:10≠=μμH H ， （1）在显著性水平0.05下求拒绝域；（2）若μ=6，求上述检验所犯的第二类错误的概率β。 解：(1) 拒绝域为96.12 54/45 025.0=≥-=-=z x x z ; （2）由(1)解得接受域为（1.08，8.92），当μ=6时，接受0H 的概率为 921.02608.12692.8}92.808.1{=?? ? ??-Φ-??? ??-Φ=<<=X P β。 八、（本题8分）设随机变量X 服从自由度为),(n m 的F 分布，(1)证明：随机变量X 1服从 自由度为),(m n 的F 分布；(2)若n m =，且05.0}{=>αX P ，求}1{α> X P 的值。 证明：因为),(~n m F X ,由F 分布的定义可令n V m U X //= ，其中)(~),(~22n V m U χχ，U 与V 相互独立，所以),(~//1m n F m U n V X =。 当n m =时，X 与X 1服从自由度为),(n n 的F 分布，故有=>}{αX P }1{α >X P ， 从而 95.005.01}{1}1{1}1{}1{=-=>-=>-=<=>ααααX P X P X P X P 。 中南大学考试试卷参考答案 2009——2010学年第一学期（2010.1） 时间：100分钟 《数理统计II 》 课程 24 学时 1.5 学分 考试形式：闭卷 一、填空题（本题15分，每题3分） 1、)210(，N ； 2、0.01； 3、n S n t ) 1(2-α； 4、202σσ<； 5、05.0z z -≤。 二、选择题（本题15分，每题3分） 1、B ； 2、D ； 3、C ； 4、A ； 5、B. 三、（本题14分）解：(1) θθθ322)()(022 ===??∞+∞-x d x x d x f x X E ， 令θ32)?(==X X E ，得X 23?=θ为参数θ的矩估计量。 (2)似然函数为：),,2,1(,022),(1212n i x x x x L i n i i n n n i i i =<<==∏∏==θθθθ， ， 而)(θL 是θ的单调减少函数，所以θ的极大似然估计量为},,,max{?21n X X X =θ。 四、（本题14分）解： （1）2 σ的置信水平为0.95的置信区间为???? ??)9(18,)9(182975.02025.0χχ，即为（0.9462，6.6667） ； （2）???? ??32σX D =2222222)]1([11σχσσσ==??? ? ??D X D ； 由于2322σσ=???? ??X D 是2σ的单调减少函数，置信区间为??? ? ??222,2σσ， 即为（0.3000，2.1137）。 五、（本题10分）解：(1) ,1)2(2,1)2(222αχθαχθαα-=?? ????????>∴-=?????? 2(22n X n αχθ= ；（2）706.3764585.425010162=??=θ。 六、（本题14分）解： （1）检验假设H 0：σ2=1，H 1：σ2≠1； 取统计量：202 2)1(σχs n -=； 拒绝域为：χ2≤)9()1(2975.02 21χχα =--n =2.70或χ2≥2025.022 )1(χχα=-n =19.023， 经计算：96.121 2.19)1(2202 2=?=-=σχs n ，由于)023.19,700.2(96.122∈=χ2， 故接受H 0，即可以认为排出的污水中动植物油浓度的方差为σ2=1。 （2）检验假设101010≠'='μμ：，：H H ； 取统计量：10/10S X t -=~ )9(2 αt ； 拒绝域为2622.2)9(025.0=≥t t ；1028.210/2.110 8.10=-=t <2.2622 ，所以接受0 H '， 即可以认为排出的污水中动植物油的平均浓度是10（mg/L ）。 综上，认为工厂生产正常。 七、（本题10分）解：(1) 拒绝域为96.12 54/45 025.0=≥-=-=z x x z ; （2）由(1)解得接受域为（1.08，8.92），当μ=6时，接受0H 的概率为 921.02608.12692.8}92.808.1{=??? ? ?-Φ-??? ??-Φ=<<=X P β。 八、（本题8分）证明：因为),(~n m F X ,由F 分布的定义可令n V m U X //=，其中)(~),(~22n V m U χχ，U 与V 相互独立，所以 ),(~//1m n F m U n V X =。 当n m =时，X 与X 1服从自由度为),(n n 的F 分布，故有=>}{αX P }1{α >X P ， 从而 95.005.01}{1}1{1}1{}1{=-=>-=>-=<=>ααααX P X P X P X P 。