【猿辅导几何模型】中考必会几何模型：截长补短辅助线模型

中考必考几何模型（猿辅导）
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讲
义
截长补短辅助线模型
模型：截长补短
如图①，若证明线段AB、CD、EF之间存在EF＝AB
＋CD，可以考虑截长补短法.
截长法：如图②，在EF上截取EG＝AB，再证明GF
＝CD即可.
补短法：如图③，延长AB至H点，使BH＝CD，再证
明AH＝EF即可.
模型分析
截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系. 截长，指在长线端中截取一段等于已知的线段；补短，指将一条短线端延长，延长部分等于已知线段. 该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词句，可以采用截长补短法构造全等三角形来完成证明过程.
模型实例
例1：如图，已知在△ABC中，∠C＝2∠B，∠1＝∠2 .求证：AB＝AC＋CD .
证法一，截长法：
如图①，在AB上取一点E，使AE＝AC，连接DE.
∵AE＝AC，∠1＝∠2，AD＝AD，
∴△ACD≌△AED ，
∴CD＝DE，∠C＝∠3 .
∵∠C＝2∠B，
∴∠3＝2∠B＝∠4＋∠B ，
∴∠4＝∠B ，
∴DE＝BE ，
∴CD＝BE.
∵AB＝AE＋BE，
∴AB＝AC＋CD .
证法二，补短法：
如图②，延长AC到点E，使CE＝CD，连接DE .
∵CE＝CD，∴∠4＝∠E .
∵∠3＝∠4＋∠E，∴∠3＝2∠E .
∵∠3＝2∠B，∴∠E＝∠B .
∵∠1＝∠2，AD＝AD，
∴△EAD≌△BAD，∴AE＝AB.
又∵AE＝AC＋CE，
∴∴AB＝AC＋CD .
例2：如图，已知OD平分∠AOB，DC⊥OA于点C，∠A＝∠GBD . 求证：AO＋BO＝2CO .
证明：在线段AO上取一点E，使CE＝AC，连接DE .
∵CD＝CD，DC⊥OA，
∴△ACD≌△ECD，
∴∠A＝∠CED .
∵∠A＝∠GBD ，
∴∠CED＝∠GBD ，
∴1800－∠CED＝1800－∠GBD ，
∴∠OED＝∠OBD .
∵OD平分∠AOB，
∴∠AOD＝∠BOD .
∵OD＝OD，
∴△OED≌△OBD ，
∴OB＝OE，
∴AO＋BO＝AO＋OE＝OE＋2CE＋OE＝OE＋CE＋OE＋CE＝2（CE＋OE）＝2CO .
跟踪练习
1. 如图，在△ABC中，∠BAC＝600，AD是∠BAC的平分线，且AC＝AB＋BD .求∠ABC 的度数 .
【答案】
证法一：补短
延长AB 到点E ，使BE ＝BD . 在△BDE 中， ∵BE ＝BD ，∴∠E ＝∠BDE ， ∴∠ABC ＝∠BDE ＋∠E ＝2∠E . 又∵AC ＝AB ＋BD ，
∴AC ＝AB ＋BE ，∴AC ＝AE .
∵AD 是∠BAC 的平分线，∠BAC ＝600， ∴∠EAD ＝∠CAD ＝600÷2＝300 . ∵AD ＝AD ，
∴△AED ≌△ACD ，∴∠E ＝∠C . ∵∠ABC ＝2∠E ，∴∠ABC ＝2∠C . ∵∠BAC ＝600，
∴∠ABC ＋∠C ＝1800－600＝1200，
∴3
2
∠ABC ＝1200，∴∠ABC ＝800 . 证法二：在AC 上取一点F ，使AF ＝AB ，连接DF. ∵AD 是∠BAC 的平分线， ∴∠BAD ＝∠FAD . ∵AD ＝AD ，
∴△BAD ≌△FAD ，
∴∠B ＝∠AFD ，BD ＝FD .
∵AC ＝AB ＋BD ，AC ＝AF ＋FC ∴FD ＝FC ，∴∠FDC ＝∠C . ∵∠AFD ＝∠FDC ＋∠C ， ∴∠B ＝∠FDC ＋∠C ＝2∠C . ∵∠BAC ＋∠B ＋∠C ＝1800， ∴
3
2
∠ABC ＝1200，∴∠ABC ＝800 .
2. 如图，在△ABC 中，∠ABC ＝600，AD 、CE 分别平分∠BAC 、∠ACB . 求证：AC ＝AE ＋CD .
【答案】如图，在AC 边上取点F ，使AE ＝AF ，连接OF . ∵∠ABC ＝600，∴∠BAC ＋∠ACB ＝1800－∠ABC ＝1200 . ∵AD 、CE 分别平分∠BAC 、∠ACB ， ∴∠OAC ＝∠OAB ＝
2BAC Ð，∠OCA ＝∠OCB ＝2
ACB
Ð， ∴∠AOE ＝∠COD ＝∠OAC ＋∠OCA ＝
2
BAC ACB
??＝600，
∴∠AOC＝1800－∠AOE＝1200 .
∵AE＝AF，∠EAO＝∠FAO，AO＝AO，
∴△AOE≌△AOF（SAS），
∴∠AOF＝∠AOE＝600，
∴∠COF＝∠AOC－∠AOF＝600，
∴∠COF＝∠COD .
∵CO＝CO，CE平分∠ACB，
∴△COD≌△COF（ASA），
∴CD＝CF .
∵AC＝AF＋CF，
∴AC＝AE＋CD，
3. 如图，∠ABC＋∠BCD＝1800，BE、CE分别平分∠ABC、∠DCB .求证：AB＋CD＝BC .
【答案】证法一：截长
如图①，在BC上取一点F，使BF＝AB，连接EF .
∵∠1＝∠ABE，BE＝BE，
∴△ABE≌△FBE，∴∠3＝∠4 .
∵∠ABC＋∠BCD＝1800，
BE、CE分别平分∠ABC、∠DCB，
∴∠1＋∠2＝1
2
∠ABC＋
1
2
∠DCB
＝1
2
×1800＝900，
∴∠BEC＝900，
∴∠4＋∠5＝900，∠3＋∠6＝900 .
∵∠3＝∠4 ，∴∠5＝∠6 .
∵CE＝CE，∠2＝∠DCE ，
∴△CEF≌△CED，∴CF＝CD .
∵BC＝BF＋CF，AB＝BF，∴AB＋CD＝BC
证法二：补短
如图②，延长BA到点F，使BF＝BC，连接EF .∵∠1＝∠ABE，BE＝BE，
∴△BEF≌△BEC，
∴EF＝EC，∠BEC＝∠BEF .
∵∠ABC＋∠BCD＝1800，
BE、CE分别平分∠ABC、∠DCB，
∴∠1＋∠2＝1
2
∠ABC＋
1
2
∠DCB
＝1
2
×1800＝900，
∴∠BEC＝900，
∴∠BEF＝∠BEC＝900，
∴∠BEF＋∠BEC＝1800，
∴C、E、F三点共线 .
∵AB∥CD，∴∠F＝∠FCD .
∵EF＝EC，∠FEA＝∠DEC，
∴△AEF≌△DEC，
∴AF＝CD .
∵BF＝AB＋AF，
∴BC＝AB＋CD .
4.如图，在△ABC中，∠ABC＝900，AD平分∠BAC交BC于D，∠C＝300，BE⊥AD于点E .求证：AC－AB＝2BE .
【答案】延长BE交AC于点M .
∵BE⊥AD，∴∠AEB＝∠AEM＝900.
∵∠3＝900－∠1，∠4＝900－∠2，∠1＝∠2，
∴∠3＝∠4，∴AB＝AM .
∵BE⊥AE，∴BM＝2BE .
∵∠ABC＝900，∠C＝300，
∴∠BAC＝600.
∵AB＝AM，∴∠3＝∠4＝600，
∴∠5＝900－∠3＝300，
∴∠5＝∠C，∴CM＝BM，
∴AC－AB＝CM＝BM＝2BE .
5. 如图，Rt△ACB中，A＝BC，AD平分∠BAC交BC于点D，CE⊥AD交AD于点F，交AB于点E .求证：AD＝2DF＋CE .
【答案】在AD上取一点G，使AG＝CE，连接CG .
∵CE⊥AD，
∴∠AFC＝900，∠1＋∠ACF＝900.
∵∠2＋∠ACF＝900，∴∠1＝∠2 .
∵AC＝BC，AG＝CE，
∴△ACG≌△CBE，∴∠3＝∠B＝450，∴∠2＋∠4＝900－∠3＝450.
∵∠2＝∠1＝1
2
∠BAC＝22.50，
∴∠4＝450－∠2＝22.50，
∴∠4＝∠2＝22.50.
又∵CF＝CF，DG⊥CF，
∴△CDF≌△CGF，∴DF＝GF .
∵AD＝AG＋DG，∴AD＝CE＋2DF .
6. 如图，五边形ABCDE中，AB＝AE，BC＋DE＝CD，∠B＋∠E＝1800.求证：AD平分∠CDE.
【答案】如图，延长CB到点F，使BF＝DE，连接AF、AC .
∵∠1＋∠2＝1800，∠E＋∠1＝1800，∴∠2＝∠E .
∵AB＝AE，∠2＝∠E，BF＝DE，
∴△ABF≌△AED，∴∠F＝∠4，AF＝AD .
∵BC＋DE＝CD，∴BC＋BF＝CD，即FC＝CD .
又∵AC＝AC，∴△ACF≌△ACD，
∴∠F＝∠3 .
∵∠F＝∠4，
∴∠3＝∠4，
∴AD平分∠CDE .。