【猿辅导几何模型】中考必会几何模型：截长补短辅助线模型

中考必考几何模型（猿辅导）

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截长补短辅助线模型

模型：截长补短

如图①，若证明线段AB、CD、EF之间存在EF＝AB

＋CD，可以考虑截长补短法.

截长法：如图②，在EF上截取EG＝AB，再证明GF

＝CD即可.

补短法：如图③，延长AB至H点，使BH＝CD，再证

明AH＝EF即可.

模型分析

截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系. 截长，指在长线端中截取一段等于已知的线段；补短，指将一条短线端延长，延长部分等于已知线段. 该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词句，可以采用截长补短法构造全等三角形来完成证明过程.

模型实例

例1：如图，已知在△ABC中，∠C＝2∠B，∠1＝∠2 .求证：AB＝AC＋CD .

证法一，截长法：

如图①，在AB上取一点E，使AE＝AC，连接DE.

∵AE＝AC，∠1＝∠2，AD＝AD，

∴△ACD≌△AED ，

∴CD＝DE，∠C＝∠3 .

∵∠C＝2∠B，

∴∠3＝2∠B＝∠4＋∠B ，

∴∠4＝∠B ，

∴DE＝BE ，

∴CD＝BE.

∵AB＝AE＋BE，

∴AB＝AC＋CD .

证法二，补短法：

如图②，延长AC到点E，使CE＝CD，连接DE .

∵CE＝CD，∴∠4＝∠E .

∵∠3＝∠4＋∠E，∴∠3＝2∠E .

∵∠3＝2∠B，∴∠E＝∠B .

∵∠1＝∠2，AD＝AD，

∴△EAD≌△BAD，∴AE＝AB.

又∵AE＝AC＋CE，

∴∴AB＝AC＋CD .

例2：如图，已知OD平分∠AOB，DC⊥OA于点C，∠A＝∠GBD . 求证：AO＋BO＝2CO .

证明：在线段AO上取一点E，使CE＝AC，连接DE .

∵CD＝CD，DC⊥OA，

∴△ACD≌△ECD，

∴∠A＝∠CED .

∵∠A＝∠GBD ，

∴∠CED＝∠GBD ，

∴1800－∠CED＝1800－∠GBD ，

∴∠OED＝∠OBD .

∵OD平分∠AOB，

∴∠AOD＝∠BOD .

∵OD＝OD，

∴△OED≌△OBD ，

∴OB＝OE，

∴AO＋BO＝AO＋OE＝OE＋2CE＋OE＝OE＋CE＋OE＋CE＝2（CE＋OE）＝2CO .

跟踪练习

1. 如图，在△ABC中，∠BAC＝600，AD是∠BAC的平分线，且AC＝AB＋BD .求∠ABC 的度数 .

【答案】

证法一：补短

延长AB 到点E ，使BE ＝BD . 在△BDE 中， ∵BE ＝BD ，∴∠E ＝∠BDE ， ∴∠ABC ＝∠BDE ＋∠E ＝2∠E . 又∵AC ＝AB ＋BD ，

∴AC ＝AB ＋BE ，∴AC ＝AE .

∵AD 是∠BAC 的平分线，∠BAC ＝600， ∴∠EAD ＝∠CAD ＝600÷2＝300 . ∵AD ＝AD ，

∴△AED ≌△ACD ，∴∠E ＝∠C . ∵∠ABC ＝2∠E ，∴∠ABC ＝2∠C . ∵∠BAC ＝600，

∴∠ABC ＋∠C ＝1800－600＝1200，

∴3

2

∠ABC ＝1200，∴∠ABC ＝800 . 证法二：在AC 上取一点F ，使AF ＝AB ，连接DF. ∵AD 是∠BAC 的平分线， ∴∠BAD ＝∠FAD . ∵AD ＝AD ，

∴△BAD ≌△FAD ，

∴∠B ＝∠AFD ，BD ＝FD .

∵AC ＝AB ＋BD ，AC ＝AF ＋FC ∴FD ＝FC ，∴∠FDC ＝∠C . ∵∠AFD ＝∠FDC ＋∠C ， ∴∠B ＝∠FDC ＋∠C ＝2∠C . ∵∠BAC ＋∠B ＋∠C ＝1800， ∴

3

2

∠ABC ＝1200，∴∠ABC ＝800 .

2. 如图，在△ABC 中，∠ABC ＝600，AD 、CE 分别平分∠BAC 、∠ACB . 求证：AC ＝AE ＋CD .

【答案】如图，在AC 边上取点F ，使AE ＝AF ，连接OF . ∵∠ABC ＝600，∴∠BAC ＋∠ACB ＝1800－∠ABC ＝1200 . ∵AD 、CE 分别平分∠BAC 、∠ACB ， ∴∠OAC ＝∠OAB ＝

2BAC Ð，∠OCA ＝∠OCB ＝2

ACB

Ð， ∴∠AOE ＝∠COD ＝∠OAC ＋∠OCA ＝

2

BAC ACB

??＝600，

∴∠AOC＝1800－∠AOE＝1200 .

∵AE＝AF，∠EAO＝∠FAO，AO＝AO，

∴△AOE≌△AOF（SAS），

∴∠AOF＝∠AOE＝600，

∴∠COF＝∠AOC－∠AOF＝600，

∴∠COF＝∠COD .

∵CO＝CO，CE平分∠ACB，

∴△COD≌△COF（ASA），

∴CD＝CF .

∵AC＝AF＋CF，

∴AC＝AE＋CD，

3. 如图，∠ABC＋∠BCD＝1800，BE、CE分别平分∠ABC、∠DCB .求证：AB＋CD＝BC .

【答案】证法一：截长

如图①，在BC上取一点F，使BF＝AB，连接EF .

∵∠1＝∠ABE，BE＝BE，

∴△ABE≌△FBE，∴∠3＝∠4 .

∵∠ABC＋∠BCD＝1800，

BE、CE分别平分∠ABC、∠DCB，

∴∠1＋∠2＝1

2

∠ABC＋

1

2

∠DCB

＝1

2

×1800＝900，

∴∠BEC＝900，

∴∠4＋∠5＝900，∠3＋∠6＝900 .

∵∠3＝∠4 ，∴∠5＝∠6 .

∵CE＝CE，∠2＝∠DCE ，

∴△CEF≌△CED，∴CF＝CD .

∵BC＝BF＋CF，AB＝BF，∴AB＋CD＝BC

证法二：补短

如图②，延长BA到点F，使BF＝BC，连接EF .∵∠1＝∠ABE，BE＝BE，

∴△BEF≌△BEC，

∴EF＝EC，∠BEC＝∠BEF .

∵∠ABC＋∠BCD＝1800，

BE、CE分别平分∠ABC、∠DCB，

∴∠1＋∠2＝1

2

∠ABC＋

1

2

∠DCB