最优化理论概要PPT课件
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最优化理论与方法概述 ppt课件
t f X0 tpT p t pT 2 f X0 tp p.
PPT课件
17
3、 多元函数的Taylor展开
多元函数Taylor展开式在最优化理论中十分重要。 许多方法及其收敛性的证明都是从它出发的。
定理：设 f : Rn R具1 有二阶连续偏导数。则：
g* f (x*) 0，G* 2 f (x*)半正定
PPT课件
24
5、凸集、凸函数和凸规划
凸集和凸函数在非线性规划的理论中具有重要作用，下面 给出凸集和凸函数的一些基本知识。
定义1 设 D Rn，若对D中任意两点 x(1)与 x(2)，连接 x(1)
与 x(2) 的线段仍属于D；换言之，对 x(1)，x(2)∈D，
配料
每磅配料中的营养含量
钙
蛋白质
纤维
石灰石 谷物 大豆粉
0.380 0.001 0.002
0.00
0.00
0.09
0.02
0.50 PPT课件
0.08
每磅成本（元）
0.0164 0.0463 0.1250 4
解:根据前面介绍的建模要素得出此问题的数学模型如下:
设 x1 x2 x3 是生产100磅混合饲料所须的石灰石、谷物、
2 f 0 x1x3
故Hesse阵为：
2 f x22
2,
2 f 2, x2x3
2 f x32Leabharlann 2 2 2 0 2 f X 2 2 2
0 2 2
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16
下面几个公式是今后常用到的：
（1）f X bT X ，则 f X b. 2 f X 0nn
2 f X
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17
3、 多元函数的Taylor展开
多元函数Taylor展开式在最优化理论中十分重要。 许多方法及其收敛性的证明都是从它出发的。
定理：设 f : Rn R具1 有二阶连续偏导数。则：
g* f (x*) 0，G* 2 f (x*)半正定
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5、凸集、凸函数和凸规划
凸集和凸函数在非线性规划的理论中具有重要作用，下面 给出凸集和凸函数的一些基本知识。
定义1 设 D Rn，若对D中任意两点 x(1)与 x(2)，连接 x(1)
与 x(2) 的线段仍属于D；换言之，对 x(1)，x(2)∈D，
配料
每磅配料中的营养含量
钙
蛋白质
纤维
石灰石 谷物 大豆粉
0.380 0.001 0.002
0.00
0.00
0.09
0.02
0.50 PPT课件
0.08
每磅成本（元）
0.0164 0.0463 0.1250 4
解:根据前面介绍的建模要素得出此问题的数学模型如下:
设 x1 x2 x3 是生产100磅混合饲料所须的石灰石、谷物、
2 f 0 x1x3
故Hesse阵为：
2 f x22
2,
2 f 2, x2x3
2 f x32Leabharlann 2 2 2 0 2 f X 2 2 2
0 2 2
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16
下面几个公式是今后常用到的：
（1）f X bT X ，则 f X b. 2 f X 0nn
2 f X
最优化理论-第3章线性规划PPT课件
下，求使目标函数z达到最大的x1 ,x2
的取值。
2021/7/23
6
3.1 线性规划模型
•一般形式
•目标函数：
Max(Min)z = c1x1 + c2x2 + … + cnxn
•约束条件：
a11x1+a12x2+…+a1nxn≤( =, ≥ )b1 a21x1+a22x2+…+a2n...xn≤( =, ≥ )b2 am1x1+am2x2 +…+amnxn≤( =, ≥ )bm
这时新的约束条件成为
ai1 x1+ai2 x2+ … +ain xn-s = bi
2021/7/23
12
3.1 线性规划模型
为了使约束由不等式成为等式
而引进的变量s称为“松弛变量”。
如果原问题中有若干个非等式约束， 则将其转化为标准形式时，必须对 各个约束引进不同的松弛变量。
2021/7/23
13
即 ， 为
相应的生产计划可以获得的总利润：
z=1500x1+2500x2 。综合上述讨论，在加工
时间以及利润与产品产量成线性关系的假设
下，把目标函数和约束条件放在一起，可以
建立如下的线性规划模型：
2021/7/23
4
3.1 线性规划模型
目标函数 约束条件
Max z =1500x1+2500x2 s.t. 3x1+2x2≤ 65
1) (LP)存在有限最优解 cTd(j) ≤0, j .
2) 若(LP)存在有限最优解, 则最优解可以 在某个极点达到 .
2021/7/23
23
的取值。
2021/7/23
6
3.1 线性规划模型
•一般形式
•目标函数：
Max(Min)z = c1x1 + c2x2 + … + cnxn
•约束条件：
a11x1+a12x2+…+a1nxn≤( =, ≥ )b1 a21x1+a22x2+…+a2n...xn≤( =, ≥ )b2 am1x1+am2x2 +…+amnxn≤( =, ≥ )bm
这时新的约束条件成为
ai1 x1+ai2 x2+ … +ain xn-s = bi
2021/7/23
12
3.1 线性规划模型
为了使约束由不等式成为等式
而引进的变量s称为“松弛变量”。
如果原问题中有若干个非等式约束， 则将其转化为标准形式时，必须对 各个约束引进不同的松弛变量。
2021/7/23
13
即 ， 为
相应的生产计划可以获得的总利润：
z=1500x1+2500x2 。综合上述讨论，在加工
时间以及利润与产品产量成线性关系的假设
下，把目标函数和约束条件放在一起，可以
建立如下的线性规划模型：
2021/7/23
4
3.1 线性规划模型
目标函数 约束条件
Max z =1500x1+2500x2 s.t. 3x1+2x2≤ 65
1) (LP)存在有限最优解 cTd(j) ≤0, j .
2) 若(LP)存在有限最优解, 则最优解可以 在某个极点达到 .
2021/7/23
23
最优化理论与算法完整版课件 PPT
Bazaraa, J. J. Jarvis, John Wiley & Sons, Inc.,
1977.
组合最优化算法和复杂性
Combinatorial
Optimization 蔡茂诚、刘振宏
Algorithms and Complexity
清华大学出版社，1988 I运nc筹.,学19基82础/1手99册8
最优化首先是一种理念, 运筹学的“三个代表”
其次才是一种方法.
• 模型
• 理论
2021/4/9
• 算法
5
绪论---运筹学（Operations Research -
运筹学O方R）法
最优化/数学规划方法
连续优化：线性规划、 非线性规划、非光滑优 化、全局优化、变分法、 二次规划、分式规划等
离散优化：组合优化、 网络优化、整数规划等
2021/4/9
11
1. 食谱问题
我每天要求一定量的两种维生素，Vc和Vb。 假设这些维生素可以分别从牛奶和鸡蛋中得到。
维生素
Vc(mg) Vb(mg) 单价(US$)
奶中含量
2 3 3
蛋中含量
4 2 2.5
每日需求 40 50
需要确定每天喝奶和吃蛋的量， 目标以便以最低可能的花费购买这些食物， 而满足最低限度的维生素需求量。
最优化理论与算法
2021/4/9
1
提纲
使用教材：
最优化理论与算法 陈宝林
参考书 ：
数学规划 黄红选， 韩继业 清华大学出版社
1. 线性规划 对偶定理
2. 非线性规划 K-K-T 定理
3. 组合最优化 算法设计技巧
2021/4/9
2
其他参考书目
最优化理论与算法完整版课件陈宝林PPT
j1
m
s.t xij bj
i1
xij 0
i 1, 2,L , m
最优化首先是一种理念, 运筹学的“三个代表”
其次才是一种方法.
• 模型
• 理论
2020/4/8
• 算法
5
绪论---运筹学（Operations Research -
运筹学O方R）法
最优化/数学规划方法
连续优化：线性规划、 非线性规划、非光滑优 化、全局优化、变分法、 二次规划、分式规划等
离散优化：组合优化、 网络优化、整数规划等
2020/4/8
12
1. 食谱问题（续）
令x表示要买的奶的量，y为要买的蛋的量。食谱问题可以写
成如下的数学形式：
Min 3x +2.5y
极小化目标函数
s.t. 40
50
2x + 4y 3x + 2y
可行区域（单纯形） 可行解
运筹学工作x,者y参与0建.立关于何时出现最小费用 （或者最大利润）的排序，或者计划，早期被标示为programs。 求最优安排或计划的问题，称作programming问题。
2020/4/8
11
1. 食谱问题
我每天要求一定量的两种维生素，Vc和Vb。 假设这些维生素可以分别从牛奶和鸡蛋中得到。
维生素
Vc(mg) Vb(mg) 单价(US$)
奶中含量
2 3 3
蛋中含量
4 2 2.5
每日需求 40 50
需要确定每天喝奶和吃蛋的量， 目标以便以最低可能的花费买这些食物， 而满足最低限度的维生素需求量。
Printice-Hall
徐光辉、刘彦佩、程侃
科学出版社，1999
最优化课件,超级有用
(n )
即不管 Xi 服从什么分布,当 n 相当大时,它们的均值接近于 它们的数学期望
18
结束
2.
X1, X 2 ,L , X n
独立同分布,记
1n X n i1 X i
EX i , DX i 2 则有中心极限定理:
X x
x
R, lim n
P
/
n
x
1
-u2
e 2 du
2
12
结束
4. X ~ U (a,b) EX a b DX 1 (b a)2
2
12
5.
X ~ E() EX 1
DX
1
2
6. X ~ N (a, 2 ) EX a DX 2
13
结束
二.多维随机变量及其分布
• n 维随机变量常记为: X ( X1, X 2 ,L , X n ) 特别地, 2 维随机变量常记为: ( X ,Y )
(5) X ,Y独立，E ( XY) EX EY
10
结束
g( xk ) pk
Eg ( x)
k 1
X 离散型
g(
x)
f
(
x)dx
X 连续型
2.方差:DX=E(X-EX)2
•X是离散型: DX xk EX 2 pk
k 1
•X是连续型,其密度函数是 f(x):
DX x EX 2 f (x)dx
(1) f (x) 0, x (, );(2) f ( x)dx 1
•知道了密度函数f (x),就可以解决任何事件的概率计算: b
P(a X b) f (x)dx
a
•一元随机变量的分布函数F (x)=P(Xx)
数学建模～最优化模型(课件ppt)
总利润 (88700) （元） 运输问题 供应点
物资
需求点
供需平衡或不平衡
某货机有三个货舱：前舱、中舱、后舱。三个货舱所能装载的获取 的最大重量和体积都要限制，如表1所示，并且，为了保持飞机的 平衡，三个货舱中实际装载货物的重量必须与其最大容许重量成比 例。 表1三个货舱装载货物的最大容许量和体积
10 丙(10;20)
引水管理费 (24400 )(元) 利润=总收入-其他费用 - 引 水 管 理 费 =(47600) （元）
X24
X31 X32 X33
10.0
40.0 0.00 10.0
0.00
0.00 10.0 0.00
问题讨论
每个水库最大供水量都提高一倍
总供水量(320) > 总需求量(300) 确定送水方案使利润最大 利润 = 收入(900) –其他费用(450) –引水管理费
1）舍去小数：取x1=64，x2=167，算出目标函数值 z=629，与LP最优值632.2581相差不大. 2 ）试探：如取 x1=65 ， x2=167 ； x1=64 ， x2=168 等， 计算函数值z，通过比较可能得到更优的解. • 但必须检验它们是否满足约束条件. 为什么？ 3）模型中增加条件：x1, x2, x3 均为整数，重新求解.
线性规划 模型(LP)
x1 , x2 , x3 0
模型 求解
结果为小数， 怎么办？
Objective Value: 632.2581 Variable Value Reduced Cost X1 64.516129 0.000000 X2 167.741928 0.000000 X3 0.000000 0.946237 Row Slack or Surplus Dual Price 2 0.000000 0.731183 3 0.000000 0.003226
最优化理论与算法完整版课件
最优化理论与算法
TP SHUAI
1
提纲
使用教材：
最优化理论与算法 陈宝林
参考书 ：
数学规划 黄红选， 韩继业 清华大学出版社
1. 线性规划 对偶定理
2. 非线性规划 K-K-T 定理
3. 组合最优化 算法设计技巧
TP SHUAI
2
其他参考书目
Nonlinear Programming - Theory and Algorithms
TP SHUAI
11
1. 食谱问题
我每天要求一定量的两种维生素，Vc和Vb。 假设这些维生素可以分别从牛奶和鸡蛋中得到。
维生素
Vc(mg) Vb(mg) 单价(US$)
奶中含量
2 3 3
蛋中含量
4 2 2.5
每日需求 40 50
需要确定每天喝奶和吃蛋的量， 目标以便以最低可能的花费购买这些食物， 而满足最低限度的维生素需求量。
TP SHUAI
9
电子计算机----------最优化
1930年代，康托诺维奇：线性规划 1940年代，Dantzig：单纯形方法，
冯 诺依曼：对策论 1950年代，Bellman：动态规划，最优性原理；
KKT条件； 1960年代：Zoutendijk,Rosen,Carroll,etc.非线性规划算
TP SHUAI
23
6.结构设计问题
p1
p2
h
2p
2L
B
d
受力分析图
圆杆截面图
2p
h
2L
桁杆示意图
TP SHUAI
24
6.结构设计问题
解：桁杆的截面积为 ： S dB
桁杆的总重量为：W 2dB L2 h2
TP SHUAI
1
提纲
使用教材：
最优化理论与算法 陈宝林
参考书 ：
数学规划 黄红选， 韩继业 清华大学出版社
1. 线性规划 对偶定理
2. 非线性规划 K-K-T 定理
3. 组合最优化 算法设计技巧
TP SHUAI
2
其他参考书目
Nonlinear Programming - Theory and Algorithms
TP SHUAI
11
1. 食谱问题
我每天要求一定量的两种维生素，Vc和Vb。 假设这些维生素可以分别从牛奶和鸡蛋中得到。
维生素
Vc(mg) Vb(mg) 单价(US$)
奶中含量
2 3 3
蛋中含量
4 2 2.5
每日需求 40 50
需要确定每天喝奶和吃蛋的量， 目标以便以最低可能的花费购买这些食物， 而满足最低限度的维生素需求量。
TP SHUAI
9
电子计算机----------最优化
1930年代，康托诺维奇：线性规划 1940年代，Dantzig：单纯形方法，
冯 诺依曼：对策论 1950年代，Bellman：动态规划，最优性原理；
KKT条件； 1960年代：Zoutendijk,Rosen,Carroll,etc.非线性规划算
TP SHUAI
23
6.结构设计问题
p1
p2
h
2p
2L
B
d
受力分析图
圆杆截面图
2p
h
2L
桁杆示意图
TP SHUAI
24
6.结构设计问题
解：桁杆的截面积为 ： S dB
桁杆的总重量为：W 2dB L2 h2
最优化及最优化方法讲稿
最优化及最优化方法讲稿ppt xx年xx月xx日CATALOGUE目录•最优化问题概述•线性规划问题及其求解方法•非线性规划问题及其求解方法•动态规划问题及其求解方法•最优化算法的收敛性分析•最优化算法的鲁棒性分析•最优化算法的应用举例 - 解决生产调度问题01最优化问题概述最优化问题是一个寻找某个或多个函数的特定输入，以使该函数的输出达到最小或最大的问题。
定义根据不同的分类标准，可以将最优化问题分为线性规划、非线性规划、多目标规划、约束规划等。
分类最优化问题的定义与分类描述所追求的最小或最大值的函数。
目标函数约束条件数学模型限制搜索范围的约束条件。
目标函数和约束条件的数学表达。
03最优化问题的数学模型0201最优化问题的求解方法牛顿法利用目标函数的Hessian矩阵（二阶导数矩阵）进行搜索。
梯度下降法迭代搜索，逐步逼近最优解。
混合整数规划将整数变量引入优化模型中，求解整数规划问题。
模拟退火算法以概率接受劣质解，避免陷入局部最优解。
进化算法模拟生物进化过程的启发式搜索算法。
02线性规划问题及其求解方法线性规划问题定义：在一组线性约束条件下，求解一组线性函数的最大值或最小值的问题。
数学模型：将实际问题转化为线性规划模型，包括决策变量、目标函数和约束条件。
线性规划问题的求解方法 - 单纯形法基本概念：介绍单纯形法的相关概念，如基、可行解、最优解等。
单纯形法步骤：阐述单纯形法的基本步骤和算法流程，包括初始基可行解的求解、最优解的迭代搜索和最终最优解的确定。
单纯形法改进：介绍一些改进的单纯形法，如简化单纯形法、对偶单纯形法等。
线性规划问题的定义与数学模型通过一个具体的生产计划问题，说明如何建立线性规划模型并进行求解。
生产计划问题通过一个配货问题，说明如何运用线性规划模型解决实际问题。
配货问题通过一个投资组合优化问题，说明如何运用线性规划进行风险和收益的平衡。
投资组合优化问题线性规划问题的应用举例03非线性规划问题及其求解方法非线性规划问题定义：非线性规划问题是一类求最优解的问题，其中目标函数和约束条件均为非线性函数。
数学建模～最优化模型(课件ppt)
用Matlab编程求解程序如下：
[X,FVAL,EXITFLAG,OUTPUT] = LINPROG(f,A,b) f = -[10 5]; A = [0.3 0.4;0.5 0.2]; B = [9;8];
[X,FVAL,EXITFLAG,OUTPUT] = LINPROG(f,A,b)
X= 10.0000
2
建立无约束优化模型为：min y =- ( 3 2 x ) x ， 0< x <1.5
2
先编写M文件fun0.m如下: function f=fun0(x) f=-(3-2*x).^2*x; 主程序为wliti2.m: [x,fval]=fminbnd('fun0',0,1.5); xmax=x fmax=-fval
控制，计划聘请两种不同水平的检验员.一级检验员的标准为： 速度25件/小时，正确率98%，计时工资4元/小时；二级检验员 的标准为：速度15件/小时，正确率95%，计时工资3元/小时.检 验员每错检一次，工厂要损失2元.为使总检验费用最省，该工 厂应聘一级、二级检验员各几名？
解 设需要一级和二级检验员的人数分别为x1、x2人, 则应付检验员的工资为：
综上得，
函数f(x)在x=4取得在[-3,4]上得最大值f(4)=142，在 x=1处取得在[-3,4]上取得最小值f(1)=7
用MATLAB解无约束优化问题
1. 一元函数无约束优化问题: min f ( x )
常用格式如下： （1）x= fminbnd (fun,x1,x2) （2）x= fminbnd (fun,x1,x2 ，options) （3）[x，fval]= fminbnd（…） （4）[x，fval，exitflag]= fminbnd（…）
无约束最优化的直接方法 最优化理论与算法 教学PPT课件
若f ( y( j) jd ( j) ) f ( y( j) ),则令
y( j1) y( j)
j:= j
3. 若j<n,则置j:=j+1,转步2,否则,进行步4.
22
2. Rosenbrock算法
4.若f ( y(n1) ) f (x(k) ),则令 y(1)= y(n+1)
置j=1,转步2.若 f ( y(n1) ) f ( y(1) ),则进行步5.
24
24
12
1 模式搜索法
j x(k )
y( j) f (y( j))
x(2) 0 (1,1) 0 1 (1,1) 0
2 (1,1)
y( j) + ej f ( y( j) + ej) y( j) - ej f ( y( j) - e j)
(5 ,1) 1165 1.64 4 256
( 3 ,1) 1 5 1.02 4 256
给定初始点x(1),放大因子 1,缩减因子 (1,0)
给定初始搜索方向和步长.
14
2. Rosenbrock算法
设第k次迭代的初始点为x(k) ,搜索方向
d (1) , d (2) ,..., d (n)
它们是单位正交方向,沿各方向的步长为
1, 2 ,..., n
每轮探测的起点和终点用y(1) 和y(n+1) 表示. 令y(1) = x(k) ,开始第1轮探测移动
y(2) y(1) e1
并从y(2)出发,沿e2进行探测.
(1.2)
5
1.模式搜索法
若f ( y(1) e1) f ( y(1) ),则沿 - e1方向的探测失败,令
y(2) y(1)
(1.3)
y( j1) y( j)
j:= j
3. 若j<n,则置j:=j+1,转步2,否则,进行步4.
22
2. Rosenbrock算法
4.若f ( y(n1) ) f (x(k) ),则令 y(1)= y(n+1)
置j=1,转步2.若 f ( y(n1) ) f ( y(1) ),则进行步5.
24
24
12
1 模式搜索法
j x(k )
y( j) f (y( j))
x(2) 0 (1,1) 0 1 (1,1) 0
2 (1,1)
y( j) + ej f ( y( j) + ej) y( j) - ej f ( y( j) - e j)
(5 ,1) 1165 1.64 4 256
( 3 ,1) 1 5 1.02 4 256
给定初始点x(1),放大因子 1,缩减因子 (1,0)
给定初始搜索方向和步长.
14
2. Rosenbrock算法
设第k次迭代的初始点为x(k) ,搜索方向
d (1) , d (2) ,..., d (n)
它们是单位正交方向,沿各方向的步长为
1, 2 ,..., n
每轮探测的起点和终点用y(1) 和y(n+1) 表示. 令y(1) = x(k) ,开始第1轮探测移动
y(2) y(1) e1
并从y(2)出发,沿e2进行探测.
(1.2)
5
1.模式搜索法
若f ( y(1) e1) f ( y(1) ),则沿 - e1方向的探测失败,令
y(2) y(1)
(1.3)
Mastercam课件教案第5章最优化理论概述
5.2.3 MATLAB实现
• 使用优化工具箱时，由于优化函数要求目 标函数和约束条件满足一定的格式，所以 需要用户在进行模型输入时注意以下几个 问题：
• 1.目标函数最小化 • 2.约束非正 • 3.避免使用全局变量
5.1.2 最优化问题基本模型
• 当目标函数和约束函数都是线性函数时， 问题称为线性规划。当目标函数和约束函 数中至少有一个是变量x的非线性函数时， 问题称为非线性规划问题。
5.1.3 最优化问题举例
• 线性规划问题 • 二次规划 • 最小二乘问题
5.2 最优化问题的实现
• 建立数学模型 • 数学求解
5.2.1 古老实现方法
• 远古以来，人类就显示出认识世界和改造 世界的能力。在自然发展的过程中，人类 又逐渐形成了进行最有效活动的思维方法， 导致了新发现、新发明和新改革。它们给 人类带来的巨大的利益、进步和挑战。
5.2.2 计算机实现
• 电子计算机出现后，最优化问题受到科学 家们的重视，电子计算机的特点是存储量 大，计算速度快，能准确地长期不间断工 作，这些特点为最优化问题的实现提供了 一片崭新的天地。不同的目标函数、不同 的约束条件、计算机算法的发展促使数学 规划的内容日趋庞大，从而逐渐出现许多 分支。
第5章 最优ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ理论概述
5.1 最优化理论及其应用
• 5.1.1 最优化理论发展概述 • 最优化是一门研究如何科学、合理、迅速
地确定可行方案并找到其中最优方案的学 科。 • 作为20世纪应用数学的重要研究成果，最 优化理论在工业生产与管理、计算机和信 息科学、系统科学、国民经济等许多领域 产生很大效益。
最优化理论与算法完整版课件
Convex Analysis R. T. Rockafellar Princeton Landmarks in Mathematics and Physics, 1996.
Optimization and Nonsmooth Analysis
Frank H. Clarke
SIAM, 1990.
TP SHUAI
TP SHUAI
11
1. 食谱问题
我每天要求一定量的两种维生素，Vc和Vb。 假设这些维生素可以分别从牛奶和鸡蛋中得到。
维生素
Vc(mg) Vb(mg) 单价(US$)
奶中含量
2 3 3
蛋中含量
4 2 2.5
每日需求 40 50
需要确定每天喝奶和吃蛋的量， 目标以便以最低可能的花费购买这些食物， 而满足最低限度的维生素需求量。
称为可行点,全体可行点组成的集合称为 可行集或可行域.如果一个问题的可行域 是整个空间,则称此问题为无约束问题.
TP SHUAI
28
基本概念
• 最优化问题可写成如下形式:
min f (x)
xRn
---目标函数
s.t. gi (x) 0,i I
hj (x) 0, j E
TP SHUAI
TP SHUAI
21
5 负载平衡(2)
min L
(1)
s.t.
L Li,j
s,d
Fsd ij
,
(i,j) E
(2)
Fsd ij
0, or
s,d ,
(i,j) E (3)
Fsd i ij
Fsd
k jk
s,sd,d,
, if if
Optimization and Nonsmooth Analysis
Frank H. Clarke
SIAM, 1990.
TP SHUAI
TP SHUAI
11
1. 食谱问题
我每天要求一定量的两种维生素，Vc和Vb。 假设这些维生素可以分别从牛奶和鸡蛋中得到。
维生素
Vc(mg) Vb(mg) 单价(US$)
奶中含量
2 3 3
蛋中含量
4 2 2.5
每日需求 40 50
需要确定每天喝奶和吃蛋的量， 目标以便以最低可能的花费购买这些食物， 而满足最低限度的维生素需求量。
称为可行点,全体可行点组成的集合称为 可行集或可行域.如果一个问题的可行域 是整个空间,则称此问题为无约束问题.
TP SHUAI
28
基本概念
• 最优化问题可写成如下形式:
min f (x)
xRn
---目标函数
s.t. gi (x) 0,i I
hj (x) 0, j E
TP SHUAI
TP SHUAI
21
5 负载平衡(2)
min L
(1)
s.t.
L Li,j
s,d
Fsd ij
,
(i,j) E
(2)
Fsd ij
0, or
s,d ,
(i,j) E (3)
Fsd i ij
Fsd
k jk
s,sd,d,
, if if
最优化理论与算法完整版课件
n
xij ai
j
m
s.t xij bj
i1
xij 0
i 1, 2, , m
j 1, 2, n i 1, 2, , m j 1, 2, n
TP SHUAI
15
3 税下投资问题
• 以价格qi 购买了si份股票i,i=1,2,…,n
• 股票i的现价是pi
TP SHUAI
12
1. 食谱问题（续）
令x表示要买的奶的量，y为要买的蛋的量。食谱问题可以写 成如下的数学形式：
Min 3x +2.5y s.t. 2x + 4y 40
3x + 2y 50 x, y 0.
极小化目标函数
可行区域（单纯形） 可行解
运筹学工作者参与建立关于何时出现最小费用 （或者最大利润）的排序，或者计划，早期被标示为programs。 求最优安排或计划的问题，称作programming问题。
29
基本概念
Df 1. 1 设f(x)为目标函数，S为可行域，x0S,若对 每一个x S,成立f(x)f(x0),则称x0为极小化问题min f(x),
x S的最优解（整体最优解）
Df 1.2 设f(x)为目标函数，S为可行域，
若存在x0的邻域 N (x0 ) {x | x x0 , 0} 使得对每个x S N (x0),成立f (x) f (x0)
称为可行点,全体可行点组成的集合称为 可行集或可行域.如果一个问题的可行域 是整个空间,则称此问题为无约束问题.
TP SHUAI
28
基本概念
• 最优化问题可写成如下形式:
min f (x)
《最优化理论》课件
递归法
递归地求解子问题，并存 储子问题的解以避免重复
计算。
备忘录法
使用备忘录存储子问题的 解，以避免重复计算，同 时避免因重复计算而导致
的内存消耗。
迭代法
通过迭代的方式求解子问 题，并逐渐逼近最优解。
动态规划的应用
生产计划问题
在生产过程中，需要制定生产计 划以满足市场需求，同时最小化 生产成本。动态规划可以用于求 解此类问题。
线性规划问题具有形式化 的特征，包括决策变量、 目标函数和约束条件。
线性规划问题通常用于解 决资源分配、生产计划、 运输和分配等问题。
线性规划的解法
线性规划的解法有多种，包括 单纯形法、椭球法、分解算法
等。
单纯形法是最常用的线性规 划解法，它通过迭代过程寻 找最优解，每次迭代都使目
标函数值减小。
椭球法和分解算法也是常用的 解法，但它们在处理大规模问
谢谢您的聆听
THANKS
线性规划问题
在目标函数和约束条 件均为线性时，寻找 最优解的问题。
非线性规划问题
在目标函数或约束条 件为非线性时，寻找 最优解的问题。
整数规划问题
在变量取整数值且约 束条件为整数时，寻 找最优解的问题。
最优化问题的求解方法
牛顿法
通过构造一个二次函数近似目 标函数，并利用牛顿公式求解 最优解。
共轭梯度法
要点二
详细描述
在生产领域，整数规划可以用于生产计划、资源分配等问 题，如安排生产线的生产计划、分配原材料等资源。在管 理领域，整数规划可以用于物流调度、车辆路径等问题， 如优化物流配送路线、制定车辆行驶计划等。在经济领域 ，整数规划可以用于投资组合、风险管理等问题，如优化 投资组合以实现最大收益或最小风险。
递归地求解子问题，并存 储子问题的解以避免重复
计算。
备忘录法
使用备忘录存储子问题的 解，以避免重复计算，同 时避免因重复计算而导致
的内存消耗。
迭代法
通过迭代的方式求解子问 题，并逐渐逼近最优解。
动态规划的应用
生产计划问题
在生产过程中，需要制定生产计 划以满足市场需求，同时最小化 生产成本。动态规划可以用于求 解此类问题。
线性规划问题具有形式化 的特征，包括决策变量、 目标函数和约束条件。
线性规划问题通常用于解 决资源分配、生产计划、 运输和分配等问题。
线性规划的解法
线性规划的解法有多种，包括 单纯形法、椭球法、分解算法
等。
单纯形法是最常用的线性规 划解法，它通过迭代过程寻 找最优解，每次迭代都使目
标函数值减小。
椭球法和分解算法也是常用的 解法，但它们在处理大规模问
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THANKS
线性规划问题
在目标函数和约束条 件均为线性时，寻找 最优解的问题。
非线性规划问题
在目标函数或约束条 件为非线性时，寻找 最优解的问题。
整数规划问题
在变量取整数值且约 束条件为整数时，寻 找最优解的问题。
最优化问题的求解方法
牛顿法
通过构造一个二次函数近似目 标函数，并利用牛顿公式求解 最优解。
共轭梯度法
要点二
详细描述
在生产领域，整数规划可以用于生产计划、资源分配等问 题，如安排生产线的生产计划、分配原材料等资源。在管 理领域，整数规划可以用于物流调度、车辆路径等问题， 如优化物流配送路线、制定车辆行驶计划等。在经济领域 ，整数规划可以用于投资组合、风险管理等问题，如优化 投资组合以实现最大收益或最小风险。
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2
模拟退火法
模拟退火其实也是一种贪心算法，但是它
的搜索过程引入了随机因素。模拟退火算
法以一定的概率来接受一个比当前解要差
的解，因此有可能会跳出这个局部的最优
解，达到全局的最优解。
.
10
.
11
P(dE)expd(E) kT
冶金学中，退火是将材料加热后再经特定速率冷却，目的是增大晶粒的体积，并且减少晶格中 的缺陷。材料中的原子原来会停留在使内能有局部最小值的位置，加热使能量变大，原子会离开原 来位置，而随机在其他位置中移动。退火冷却时速度较慢，使得原子有较多可能可以找到内能比原 先更低的位置。
初始化空种群newPop
do
{
根据适应度以比例选择算法从种群Pop中选出2个个体
if ( random ( 0 , 1 ) < Pc )
{
对2个个体按交叉概率Pc执行交叉操作
}
if ( random ( 0 , 1 ) < Pm )
{
对2个个体按变异概率Pm执行变异操作
}
将2个新个体加入种群newPop中
其中k是一个常数，exp表示自然指数，且dE<0。温度越高，出现一次能量差为dE的降温的概率 就越大；温度越低，则出现降温的概率就越小。又由于dE总是小于0，因此dE/kT < 0 ，所以P(dE)的 函数取值范围是(0,1) 。
关于爬山算法与模拟退火，有一个有趣的比喻： 爬山算法：兔子朝着比现在高的地方跳去。它找到了不远处的最高山峰。但是这座山不一定是
珠穆朗玛峰。这就是爬山算法，它不能保证局部最优值就是全局最优值。 模拟退火：兔子喝醉了。它随机地跳了很长时间。这期间，它可能走向高处，也可能踏入平地。
但是，它渐渐清醒了并朝最高方向跳去。这就是模拟退火。
.
12
算法描述
若J( Y(i+1) )>= J( Y(i) ) (即移动后得到更优解)，则总是接 受该移动
} until ( M个子代被创建 )
用newPop取代Pop
}until ( 任何. 染色体得分超过Tf， 或繁殖代数超过G )
8
模拟退火法
2 Simulate Anneal Arithmetic
.
9
爬山算法与模拟退火法
1
爬山算法
爬山算法是一种简单的贪心搜索 算法，该算法每次从当前解的临 近解空间中选择一个最优解作为 当前解，直到达到一个局部最优 解。
5
简单说来就是：繁殖过程， 会发生基因交叉，基因突变 ，
适应度低的个体会被逐步淘 汰，而适应度高的个体会越 来越多。那么经过N代的自
然选择后，保存下来的个体 都是适应度很高的，其中很 可能包含史上产生的适应度 最高的那个个体。
.
6
遗传算法的三个最基本操作
1
2
选择
常用的选择策略是 “比 例选择”，也就是个体 被选中的概率与其适应 度函数值成正比。
若J( Y(i+1) )< J( Y(i) ) (即移动后的解比当前解要差)，则以 一定的概率接受移动，而且这个概率随着时间推移逐渐降低 （逐渐降低才能趋向稳定）
.
13
/* * J(y)：在状态y时的评价函数值 * Y(i)：表示当前状态 * Y(i+1)：表示新的状态 * r：ห้องสมุดไป่ตู้用于控制降温的快慢 * T： 系统的温度，系统初始应该要处于一个高温的状态 * T_min ：温度的下限，若温度T达到T_min，则停止搜索 */ while( T > T_min ) {
表示一个与基因在串中的位
置称为基因位置（基因位），
基因地点 基因位置在串中由左向右计 （位置） 算。eg：在串S=1011中，0的
基因位置是3 .
特征值
在用串表示整数时， 基因的特征值与二进 制的权一致。eg：在 S=1011中基因位置3中 的1特征值是2，基因 位置1中的1特征值是8.
适应度
各个个体对环境的适应程 度叫做适应度。为了体现 染色体的适应能力，引入 了对问题中的每一个染色 体都能进行度量的函数， 叫适应度函数。 这个函 数是计算个体在群体中被 使用的概率。
交叉前：
交叉
00000|011100000000|10000
11100|000001111110|00101
交叉后：
00000|000001111110|10000
.
11100|011100000000|00101
3
变异
变异前： 000001110000000010000 变异后： 000001110000100010000
最优化理论
——三大经典算法
.
1
三大经典算法
NO.1 遗传算法 NO.2 模拟退火法 NO.3 神经网络算法
.
2
遗传算法
1 GeneticAlgorithm
.
3
遗传算法是一类借鉴生物界的进化规律（优胜劣汰，
适者生存）演化而来的随机化搜索方法。广泛应用于函数 优化和组合优化领域。 1.函数优化：许多被构造出的各种复杂形式的测试函数 “连续函数或离散函数，凹函数或凸函数，单峰函数或多 峰函数等”，非线性多模型多目标的优化问题遗传算法可 以方便得到较好的结果。 2.组合优化：随着问题规模的增大，组合优化问题的搜索
基本遗传算法伪代码
/* * Pc：交叉发生的概率 * Pm：变异发生的概率 * M：种群规模 * G：终止进化的代数 * Tf：进化产生的任何一个个体的适应度函数超过Tf，则可以终止进化过程 */ 初始化Pm，Pc，M，G，Tf等参数。随机产生第一代种群Pop
do
{
计算种群Pop中每一个体的适应度F(i)。
空间也增大，有时枚举法很难求出最优解，人们意识到应 该把精力主要放在寻求满意解上，遗传算法是最佳工具之 一。
.
4
生物学术语说明
染色体
染色体又可以叫做基因型 个体，一定数量的个体组 成了群体，群体中个体的 数量叫做群体大小
基因
基因是串中的元素，基因用于表 示个体的特征。eg：有一个串 S=1011，则其中的1,0,1,1分别称 为基因，它们的值称为等位基因
7
选择
轮盘赌算法
/* * 按设定的概率，随机选中一个个 体 * P[i]表示第i个个体被选中的概率 */ int RWS() { m =0; r =Random(0,1); //r为0至1的随机 数 for(i=1;i<=N; i++) { /* 产生的随机数在m~m+P[i]间则 认为选中了i * 因此i被选中的概率是P[i] */ m = m + P[i]; if(r<=m) return i; } }