菱形性质习题精选(含答案)
中考试题精选《菱形的性质》(含答案)
中考试题精选《菱形的性质》（2013.3.21），则△ABC的周长等于（）2．（2012•孝感）如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，E、F分别是AB，AD的中点，DE、BF相交于点G，连接BD，CG．有下列结论：①∠BGD=120°；②BG+DG=CG；③△BDF≌△CGB；④S△ABD=AB2其中正确的结论有（）4．（2012•陕西）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，OE⊥AB，垂足为E，5．（2012•山西）如图，已知菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别为6cm、8cm，AE⊥B*6．（2012•恩施州）如图，菱形ABCD和菱形ECGF的边长分别为2和3，∠A=120°，则B8．（2012•本溪）在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AB=5，AC=6，过点D10．（2011•聊城）已知一个菱形的周长是20cm，两条对角线的比是4：3，则这个菱形的面，则这个菱形的周长为_________．14．（2012•西宁）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC=12，BD=16，E为AD中点，点P在x轴上移动，小明同学写出了两个使△POE为等腰三角形的P点坐标（﹣5，0）和（5，0）．请你写出其余所有符合这个条件的P点坐标_________．15．（2012•鄂尔多斯）如图，将两张长为4，宽为1的矩形纸条交叉并旋转，使重叠部分成为一个菱形．旋转过程中，当两张纸条垂直时，菱形周长的最小值是4，那么菱形周长的最大值是_________．16．（2011•綦江县）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC=8，BD=6，过点O作OH丄AB，垂足为H，则点0到边AB的距离OH=_________．17．（2011•鞍山）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB=13，AC=10，过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E，则△BDE的周长为_________．*18．（2012•自贡）如图所示，在菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=120°，△AEF为正三角形，点E、F分别在菱形的边BC、CD上滑动，且E、F不与B、C、D重合．（1）证明不论E、F在BC、CD上如何滑动，总有BE=CF；（2）当点E、F在BC、CD上滑动时，分别探讨四边形AECF和△CEF的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值．19．（2012•重庆）已知：如图，在菱形ABCD中，F为边BC的中点，DF与对角线AC交于点M，过M作ME⊥CD于点E，∠1=∠2．（1）若CE=1，求BC的长；（2）求证：AM=DF+ME．20．（2012•西藏）如图，四边形ABCD是菱形，AE⊥BC交CB的延长线于点E，AF⊥CD 交CD的延长线于点F．求证：AE=AF．21．（2012•南通）菱形ABCD中，∠B=60°，点E在边BC上，点F在边CD上．（1）如图1，若E是BC的中点，∠AEF=60°，求证：BE=DF；（2）如图2，若∠EAF=60°，求证：△AEF是等边三角形．22．（2012•江西）如图，已知两个菱形ABCD、CEFG，其中点A、C、F在同一直线上，连接BE、DG．（1）在不添加辅助线时，写出其中的两对全等三角形；（2）证明：BE=DG．23．（2012•嘉兴）如图，已知菱形ABCD的对角线相交于点O，延长AB至点E，使BE=AB，连接CE．（1）求证：BD=EC；（2）若∠E=50°，求∠BAO的大小．*24．（2012•佳木斯）在菱形ABCD中，∠ABC=60°，E是对角线AC上一点，F是线段BC 延长线上一点，且CF=AE，连接BE、EF．（1）若E是线段AC的中点，如图1，易证：BE=EF（不需证明）；（2）若E是线段AC或AC延长线上的任意一点，其它条件不变，如图2、图3，线段BE、EF有怎样的数量关系，直接写出你的猜想；并选择一种情况给予证明．*25．（2012•葫芦岛）如图1和2，四边形ABCD是菱形，点P是对角线AC上一点，以点P为圆心，PB为半径的弧，交BC的延长线于点F，连接PF，PD，PB．（1）如图1，点P是AC的中点，请写出PF和PD的数量关系：_________；（2）如图2，点P不是AC的中点，①求证：PF=PD．②若∠ABC=40°，直接写出∠DPF的度数．26．（2011•广州）如图，AC是菱形ABCD的对角线，点E、F分别在边AB、AD上，且AE=AF．求证：△ACE≌△ACF．27．（2011•广安）如图所示，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，DE∥AC交BC的延长线于点E．求证：DE=BE．28．（2010•扬州）如图，四边形ABCD是菱形，点G是BC延长线上一点，连接AG，分别交BD、CD于点E、F，连接CE．（1）求证：∠DAE=∠DCE；（2）当AE=2EF时，判断FG与EF有何等量关系？并证明你的结论．29．（2010•清远）如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，E、F分别是AD、CD上的两点，且AE=DF．求证：△ABE≌△DBF．30．（2010•宁洱县）如图，四边形ABCD是菱形，BE⊥AD、BF⊥CD，垂足分别为E、F．（1）求证：BE=BF；（2）当菱形ABCD的对角线AC=8，BD=6时，求BE的长．《菱形的性质》练习题参考答案与试题解析CG BG=AB AB BE=AB=AB BAC=BAO=∠BAD=×CO=BO==5cm=×cm，∴==，解得×，×=××××．故选AB=×BO==4=9.A10．B11.C12.C13.2014．（8，0）或（，0）．OA=AC=OD=BD=OE=AD=OA=3：OP=，∴，）或（，）或（，x=×．故答案为：．16．OH=．AO AB．故答案为：．OB=BC BC=4，﹣×．BF=CF=BC中，∵中，∵中，中∵∠，，BEBE，∴=∴菱形的边长为×BE=。
八年级数学下册《菱形的性质与判定》练习题及答案解析
八年级数学下册《菱形的性质与判定》练习题及答案解析1．若菱形的两条对角线长分别是6和8，则它的周长为（）A．20B．24C．40D．482．菱形的面积为12cm2，一条对角线是6cm，那么菱形的另一条对角线长为（）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm3．如图，在菱形ABCD中，AC＝AB，则∠ABC＝（）A．30°B．45°C．60°D．75°4．在下列条件中，能够判定四边形是菱形的是（）A．两条对角线相等B．两条对角线相等且互相垂直C．两条对角线互相垂直D．两条对角线互相垂直平分5．如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为菱形，需要添加的条件是（）A．AB＝CD B．AD＝BC C．AC＝BD D．AB＝BC6．如图，要使平行四边形ABCD变为菱形，需要添加的条件是（）A．AC＝BD B．AD＝BC C．AB＝CD D．AB＝BC7．从下列条件中选择一个条件添加后，还不能判定平行四边形ABCD是菱形，则这个条件是（）A．AC⊥BD B．AC＝BD C．AB＝BC D．AD＝CD8．菱形的周长为52，一条对角线长为10，则此菱形的面积为．9．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC＝24，BD＝10，DE⊥BC，垂足为点E，则DE＝．10．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC＝8，BD＝6，过点O作OH⊥AB于点H，则OH 的长为．11．如图，点E，F分别在菱形ABCD的边BC，CD上，且∠BAE＝∠DAF．求证：AE＝AF．12．如图，在平行四边形ABCD中，添加一个条件使平行四边形ABCD是菱形．13．要使▱ABCD是菱形，你添加的条件是．（写出一种即可）14．如图，四边形ABCD是对角线互相垂直的四边形，且OB＝OD，请你添加一个适当的条件，使四边形ABCD是菱形．（只需添加一个即可）15．如图，AE∥BF，AC平分∠BAE，且交BF于点C，BD平分∠ABF，且交AE于点D，AC与BD相交于点O，连接CD．（1）求∠AOD的度数；（2）求证：四边形ABCD是菱形．16．已知：如图，在▱ABCD中，点E、F分别在AD、BC上，且BE平分∠ABC，EF∥AB．求证：四边形ABFE是菱形．17．如图，在▱ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，连接DE、BF、BD．（1）求证：四边形DEBF为平行四边形；（2）当∠ADB＝90°时，求证：四边形DEBF是菱形．18．如图，已知平行四边形ABCD，点E在AC的延长线上，连接BE、DE，过点D作DF∥EB交CA的延长线于点F，连接FB（1）求证：△DAF≌△BCE；（2）如果四边形ABCD是菱形，求证：四边形BEDF是菱形．19．如图，BD是△ABC的角平分线，过点D作DE∥BC交AB于点E，DF∥AB交BC于点F．（1）求证：四边形BEDF是菱形；（2）若∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，CD＝6，求菱形BEDF的边长．20．如图，在菱形ABCD中∠ABC＝60°，E为对角线AC上一点，F是BC延长线上一点，连接BE，DE，AF，DF，∠EDF＝60°．（1）求证：AE＝CF；（2）若点G为BE的中点，连接AG，求证：AF＝2AG．21．如图，在菱形ABCD中，AC，BD相交于点O．已知BC＝2OC，BF＝EF，G为CE中点，连接FG，AG（1）若CE＝8，∠ACE＝∠ACB，求AB；（2）求证：FG＝AG．参考答案与解析1．解：如图所示，根据题意得AO＝×8＝4，BO＝×6＝3，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝DA，AC⊥BD，∴△AOB是直角三角形，∴AB＝＝＝＝5，∴此菱形的周长为：5×4＝20．故选：A．2．解：设另一条对角线长为xcm，则×6•x＝12，解得x＝4．故选：B．3．解：在菱形ABCD中，AB＝BC，∵AC＝AB，∴AB＝BC＝AC，∴△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝60°．故选：C．4．解：菱形的判定方法有三种：①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四边相等；③对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故选D．5．解：需要添加的条件是AB＝BC；理由如下：∵四边形ABCD的对角线互相平分，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AB＝BC，∴平行四边形ABCD是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）；故选：D．6．解：因为一组邻边相等的平行四边形是菱形，对角线互相垂直平分的四边形是菱形，那么可添加的条件是：AB＝BC．故选：D．7．解：A、对角线垂直的平行四边形是菱形．不符合题意；B、对角线相等的平行四边形是矩形．符合题意；C、邻边相等的平行四边形是菱形．不符合题意；D、邻边相等的平行四边形是菱形，不符合题意；故选：B．8．解：如图所示∵菱形的周长为52，即4AB＝52，∴AB＝13，∵AC＝10，∴AO＝AC＝5，∵AC⊥BD，在Rt△AOB中，由勾股定理得BO＝12，∴BD＝2BO＝24，∴菱形的面积＝×10×24＝120．故答案为：120．9．解：∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝BC，AC⊥BD，AO＝OC，DO＝BO，∵AC＝24，BD＝10，∴AO＝12，OD＝5，由勾股定理得：AD＝13，∴BC＝13，∴S菱形ABCD＝AC•BD＝BC×DE，∴×24×10＝13×DE，解得：DE＝，故答案为：．10．解：∵四边形ABCD是菱形，AC＝8，BD＝6，∴BO＝3，AO＝4，AO⊥BO，∴AB＝＝＝5．∵OH⊥AB，∴AO•BO＝AB•OH，∴OH＝，故答案为：．11．证明：∵四边形ABCD是菱形，∴∠B＝∠D，AB＝AD，在△ABE和△ADF中，，∴△ABE≌△ADF（ASA），∴AE＝AF．12．解：当AB＝BC或AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形．故答案为AB＝BC或AC⊥BD．13．解：∵四边形ABCD是平行四边形，AD＝AB，∴平行四边形ABCD是菱形，故答案为：AD＝AB（答案不唯一）．14．解：OA＝OC，∵OB＝OD，OA＝OC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AC⊥BD，∴平行四边形ABCD是菱形，故答案为：OA＝OC．15．解：（1）∵AC、BD分别是∠BAD、∠ABC的平分线，∴∠DAC＝∠BAC，∠ABD＝∠DBC，∵AE∥BF，∴∠DAB+∠CBA，＝180°，∴∠BAC+∠ABD＝（∠DAB+∠ABC）＝×180°＝90°，∴∠AOD＝90°；（2）证明：∵AE∥BF，∴∠ADB＝∠DBC，∠DAC＝∠BCA，∵AC、BD分别是∠BAD、∠ABC的平分线，∴∠DAC＝∠BAC，∠ABD＝∠DBC，∴∠BAC＝∠ACB，∠ABD＝∠ADB，∴AB＝BC，AB＝AD∴AD＝BC，∵AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AD＝AB，∴四边形ABCD是菱形．16．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，又∵EF∥AB，∴四边形ABFE是平行四边形，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠FBE，∵AD∥BC，∴∠AEB＝∠EBF，∴∠ABE＝∠AEB，∴AB＝AE，∴平行四边形ABFE是菱形．17．（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∵E、F分别为边AB、CD的中点，∴EB＝DF，EB∥DF，∴四边形DEBF为平行四边形；（2）证明：∵∠ADB＝90°，E为边AB的中点，∴DE＝AB＝EB，∵四边形DEBF为平行四边形，∴四边形DEBF为菱形．18．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝CB，AD∥CB，∴∠DAC＝∠BCA，∴∠DAF＝∠BCE，∵DF∥EB，∴∠DF A＝∠BEC，在△DAF和△BCE中，，∴△DAF≌△BCE（AAS）；（2）证明：连接BD，如图所示：由（1）得：△DAF≌△BCE，∴DF＝BE，又∵DF∥BE，∴四边形BEDF是平行四边形，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，即EF⊥BD，∴四边形BEDF是菱形．19．证明：（1）∵DE∥BC，DF∥AB，∴四边形DEBF是平行四边形，∵DE∥BC，∴∠EDB＝∠DBF，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBF＝∠ABC，∴∠ABD＝∠EDB，∴DE＝BE，又∵四边形BEDF为平行四边形，∴四边形BEDF是菱形；（2）如图，过点D作DH⊥BC于H，∵DF∥AB，∴∠ABC＝∠DFC＝60°，∵DH⊥BC，∴∠FDH＝30°，∴FH＝DF，DH＝FH＝DF，∵∠C＝45°，DH⊥BC，∴∠C＝∠HDC＝45°，∴DC＝DH＝DF＝6，∴DF＝2，∴菱形BEDF的边长为2．20．证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，∴AB＝BC＝AD＝CD，∠ADC＝∠ABC＝60°，∴△ADC是等边三角形，∴AD＝AC＝AB＝BC，∴△ACB是等边三角形，∴∠ACB＝∠ACD＝60°，∴∠ACF＝120°，∵∠ADC＝∠EDF＝60°，∴∠ADE＝∠CDF，∵∠EDF+∠ECF+∠DEC+∠DFC＝360°，∴∠DEC+∠DFC＝180°，∵∠DEC+∠AED＝180°，∴∠AED＝∠DFC，在△ADE和△CDF中，∴△ADE≌△CDF（AAS），∴AE＝CF；（2）如图，过点B作BH∥AC，交AG的延长线于点H，∵BH∥AC，∴∠H＝∠GAE，∠ABH+∠BAC＝180°，∴∠ABH＝120°＝∠ACF，∵点G为BE的中点，∴BG＝GE，在△AGE和△HGB中，，∴△AGE≌△HGB（AAS），∴AE＝BH＝CF，AG＝GH＝AH，在△ABH和△ACF中，，∴△ABH≌△ACF（SAS），∴AF＝AH，∴AF＝2AG．21．（1）解：延长EF与BC交于点K∵菱形ABCD，∴AC⊥BD，∵BC＝2OC∠OBC＝30°，∴∠EBF＝30°，∴∠BEF＝30°，∠ABC＝60°，∠EKB＝90°，∠ACB＝60°∠ACE＝∠ACB＝×60°＝15°，∠ECK＝45°，在Rt△CKE中，EK＝CK＝CE＝，在Rt△EKB中，BK＝∴BC＝，即AB＝；（2）证明：延长FG至点H，使GH＝FG，连接CH，AH．∵G为CE中点，∴EG＝GC，在△EFG与△CHG中，，△EFG≌△CHG（SAS），∴EF＝CH，∠CHG＝∠EFG，∴CH＝BF，CH∥EF，由（1）可知∠EBC＝60°，∠EKB＝90°，∠BCD＝120°，∴∠HCB＝90°，∠ACH＝∠BCD﹣∠HCB＝120°﹣90°＝30°，∴∠ABF＝∠ACH，在△AFB与△AHC中，△AFB≌△AHC（SAS），∴AF＝AH，∠BAF＝∠CAH∵FG＝GH，∴AG⊥FG，∴∠F AG＝∠HAG∵∠BAC＝∠BAF+∠F AC＝60°，∴∠CAH+∠F AC＝60°，即∠F AH＝60°，∴∠F AG＝∠HAG＝30°，∴。
(完整版)菱形练习题(含答案),推荐文档
A
H KG
E
F
B
DC
中点∴AE=CF , △≌AE△D CFB(SAS) ．
（2）若 AD⊥BD，则四边形 BFDE 是菱形． 证明： AD BD ，△ABD 是 Rt△ ， 且 AB 是斜边（或 ADB 90 ）, E 是 AB 的中点， DE 1 AB BE ．由题意可 EB ∥ DF 且 EB DF ，
∴
∴
．
4.如图，平行四边形 ABCD 的对角线 AC 的垂直平分线与边 AD、BC 分别相交于点 E、F．求证：四边形 AFCE 是菱形． 证明：∵AE∥FC．∴∠EAC=∠FCA．又∵∠AOE=∠COF，AO=CO，∴△AOE≌△COF． ∴EO=FO．又 EF⊥AC，∴AC 是 EF 的垂直平分线． ∵EF 是 AC 的垂直平分线．∴四边形 AFCE 为菱形
2 四边形 BFDE 是平行四边形，四边形 BFDE 是菱形．
实战演练
1.一菱形周长是 20cm，两条对角线的比是 4∶3，则这菱形的面积是（ B ） A.12cm2
B.24cm2 C.48cm2
D.96cm2
2.如图，已知长方形 ABCD，AB=3cm，AD=4cm，过对角线 BD 的中点 O 做 BD 的垂直平分线 EF，分别交 AD、BC 于
5.在 ABCD 中， E，F 分别为边 AB，CD 的中点，连接 DE，， BF BD ． （1）求证： △≌AD△E CBF ． （2）若 AD BD ，则四边形 BFDE 是什么特殊四边形？请证明你的结论．
菱形的性质与判定复习题含答案
菱形的性质1、菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ）A. 对角相等B. 对边相等C. 对角线互相垂直D. 对角线相等2、 菱形的周长为100cm ，一条对角线长为14cm ，它的面积是（ ） A. 168cm 2B. 336cm 2C. 672cm 2D.84cm 23、下列语句中，错误的是（ ）A. 菱形是轴对称图形，它有两条对称轴B. 菱形的两组对边可以通过平移而相互得到C. 菱形的两组对边可以通过旋转而相互得到D. 菱形的相邻两边可以通过旋转而相互得到4、菱形的两条对角线分别是6 cm ，8 cm ，则菱形的边长为_____，面积为______．5、四边形ABCD 是菱形，点O 是两条对角线的交点，已知AB ＝5, AO ＝4，求对角线BD 和菱形ABCD 的面积.6、如图，在菱形ABCD 中，∠ADC=120°，则BD ：AC 等于（ ）．（A ）：2 （B ）：3 （C ）1：2 （D ）：17、菱形ABCD 的周长为20cm ，两条对角线的比为3∶4，求菱形的面积。
8、如左下图，菱形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，且AC ＝16cm ，BD ＝12cm ，求菱形ABCD 的高DH 。
3339、如右上图，在菱形ABCD中,∠BAD＝80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，E为垂足，连接DF，则∠CDF的度数为．10、在菱形ABCD中，∠A与∠B的度数比为1：2，周长是48cm．求：（1）两条对角线的长度；（2）菱形的面积．11、如图所示，在平面直角坐标系中，菱形MNPO的顶点P的坐标是（3，4），则顶点M、N的坐标分别是（）A．M（5，0），N（8，4） B．M（4，0），N（8，4）C．M（5，0），N（7，4） D．M（4，0），N（7，4）12、（2010•襄阳）菱形的周长为8cm，高为1cm，则该菱形两邻角度数比为（）A．3：1 B．4：1 C．5：1 D．6：113、如左下图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC=8，BD=6，过点O作OH丄AB，垂足为H，则点0到边AB的距离OH= _________ ．14、如右上图，菱形ABCD的边长是2cm，E是AB的中点，且DE丄AB，则菱形ABCD的面积为cm2．15、【提高题】如图，在菱形ABCD中，顶点A到边BC、CD的距离AE、AF都为5，EF＝6，那么，菱形ABCD的边长是菱形的判定1、能够判别一个四边形是菱形的条件是（）A. 对角线相等且互相平分B. 对角线互相垂直且相等C. 对角线互相平分D. 一组对角相等且一条对角线平分这组对角2、平行四边形ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O, AB=5, AO=2, OB=1. 四边形ABCD 是菱形吗？为什么？3、如左下图，AD是△ABC的角平分线。
菱形的性质专项练习30题(有答案)ok
菱形的性质专项练习30题（有答案)1．如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，过点A作AH⊥BC，交BD于E，垂足为H，已知CH=4，AH=8（1）求菱形的周长；（2）求OE的长度．2．如图，菱形ABCD中，两条对角线AC和BD相交于点O，AC=6cm，BD=8cm．（1）求菱形ABCD的面积；（2）求菱形ABCD的周长．3．如图，菱形对角线AC，BD相交于一点O，且AC=12cm，BD=16cm．求这个菱形的周长和面积．4．如图，已知菱形ABCD的边长是2cm，BAD=120°．（1）试说明：△ABC是等边三角形；（2）求菱形两条对角线的长．5．如图，菱形ABCD的两条对角线AC与BD相交于点O，AB=5，OA=3．（1）求菱形ABCD的周长；（2）求菱形ABCD的面积．6．如图，菱形ABCD的周长为200cm，对角AC与BD交于点O，且AC=60cm，试求菱形ABCD的面积．7．已知：菱形ABCD的两条对角线AC与BD相交于点O，且AC=6，BD=8，求菱形的周长和面积．8．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，DE∥AC，AE∥BD．试判断四边形AODE的形状，并说明理由．9．如图，O为菱形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD．（1）试判断四边形OCED的形状，并说明理由；（2）若AC=6，BD=8，求线段OE的长．10．如图，四边形ABCD是菱形，过AB的中点E作AC的垂线EF，交AD于点M，交CD的延长线于点F．（1）证明：AM=DM；（2）若DF=2，求菱形ABCD的周长；（3）在没有辅助线的前提下，图中共有_________对相似三角形．11．菱形ABCD中，∠B=60°，一块三角板的60°角的顶点绕点A转动，两边分别交BC、CD于点E、F．（1）说明△ABC、△ACD都是等边三角形．（2）判断△AEF的形状，说明理由？（3）如果AB=2，写出△CEF的周长的最小值．12．如图，O是菱形ABCD的对角线的交点，作DE∥AC，CE∥BD，DE，CE交于点E．（1）求证：四边形OCED是矩形；（2）若菱形ABCD的周长为20，矩形OCED的周长为14，求菱形ABCD的面积．13．如图，点E、F分别在菱形ABCD的边BC、AD上，且AF=CE，∠BAE=25°，∠BCD=130°，求∠AFC的度数．14．如图，平行四边形ABCD中，AE是BC边上的高，AE是BC沿BC方向平移，使点E与点C重合，得△GFC．（1）求证：BE=DG：（2）若四边形ABFG是菱形，且AB：BC=2：3，求∠B的度数．15．如图，菱形ABCD中，AE⊥BC，垂足为点E，BE=CE，求∠BAD的度数．16．如图，已知一四边形菜地ABCD为菱形，点E，F分别位于边AB，BC上，AD=6，AE=5BE，BF=5CF，若△DEF 为等边三角形．（1）求∠A的度数；（2）求菱形ABCD的面积．17．如图，已知菱形ABCD，∠B=60°，△ADC内一点M满足∠AMC=120°，若直线BA与CM交于点P，直线BC 与AM交于点Q，求证：P，D，Q三点共线．18．已知：如图，菱形ABCD的对角线交于点O，且AO、BO的长分别是方程x2﹣（2m﹣1）x+4（m﹣1）=0的两根，菱形ABCD的周长为20，求m的值．19．如图所示，在菱形ABCD中，点E，F分别在CD，BC上，且CE=CF，求证：AE=AF．20．已知：菱形ABCD中，对角线AC=16cm，BD=12cm，BE⊥DC于点E，求菱形ABCD的面积和BE的长．21．如图，菱形ABCD中，E是AD中点，EF⊥AC交CB的延长线于点F．（1）DE和BF相等吗？请说明理由．（2）连接AF、BE，四边形AFBE是平行四边形吗？说明理由．22．已知：如图，菱形ABCD中，E、F分别是CB、CD上的点，BE=DF．若AE垂直平分BC，AF垂直平分CD．求证：（1）AE=AF；（2）△AEF为等边三角形．23．如图，在菱形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足E为BC的中点，连接DE，F为DE上一点，且∠AFE=∠B．（1）求证：△ADF∽△DEC；（2）若AB=4，求DE和AF的长．24．如图，边长为a的菱形ABCD中，∠A=60°，过C任作直线分别交AB、AD的延长线于E、F，连接DE、BF 交于M，若△BEM和△DFM外接圆的半径分别是R1、R2，求证：R1•R2为定值，并求这个定值．25．如图，四边形ABCD为菱形，已知A（0，6），D（﹣8，0）．（1）求点C的坐标；（2）设菱形ABCD对角线AC、BD相交于点E，求经过点E的反比例函数解析式．26．如图，菱形ABCD中，点P是AB的中点，延长DP交CB的延长线于E点．求证：BE=CD．27．已知：如图，菱形ABCD中，E、F分别是CB、CD上的点，BE=DF．（1）求证：AE=AF；（2）若AE垂直平分BC，AF垂直平分CD，求证：△AEF为等边三角形．28．如图，在菱形ABCD中，P是AB上的一个动点（不与A，B重合），连接DP交对角线AC于E，连接EB．求证：∠APD=∠EBC．29．如图，在菱形ABCD中，E是BC延长线上一点，连接AE，使得∠E=∠B，过D作DH⊥AE于H．（1）若AB=10，DH=6，求HE的长；（2）求证：AH=CE+EH．30．如图，已知点O在菱形ABCD内，过点O分别作OE⊥AB于E，OF⊥AD于F，且OE=OF．（1）求证：OB=OD；（2）把菱形换成矩形、平行四边形、等腰三角形，上述结论仍成立吗？（写出结论，不证明）参考答案:1．（1）设AB=x，则BC=x，BH=BC﹣CH=x﹣4，在Rt△ABH中，AH2+BH2=AB2，∴82+（x﹣4）2=x2，解得x=10，∴菱形周长为40．（2）∵AH=8，CH=4，∴AC==4，∴CO=AO=AC=2，∵BC=10，CO=2，∴BO==4∵∠BHE=∠BOC=90°，∠EBH=∠CBO，∴△BHE∽△BOC，∴，∴，∴EH=3，∴AE=AH﹣EH=8﹣3=5，∴OE==2．（1）菱形的对角线为AC=6cm，BD=8cm，则菱形的面积为AC•BD=×6×8=24cm2；（2）菱形对角线互相垂直平分，∴BO=OD=4cm，AO=OC=3cm，∴AB==5cm，故菱形的周长为20cm，答：菱形的周长为20cm，面积为24cm2．3．∵在菱形ABCD中，AC=12cm，BD=16cm，∴S菱形ABCD =×AC×BD=×12×16=96（cm2）．∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA=AC=6cm，OB=BD=8cm，∴AB==10cm，∴菱形ABCD的周长为：4×10=40（cm）．故这个菱形的周长为40cm，面积为96cm24．（1）∵四边形ABCD是菱形，∠BAD=120°，∴AB=BC，∠BAC=∠BAD=60°，∴△ABC是等边三角形；（2）∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∵∠BAC=60°，AB=2cm，∴∠ABO=30°，∴OA AB=1（cm），∴OD==（cm），∴AC=2OA=2cm，BD=2OD=2cm．5．（1）∵四边形ABCD是菱形，AB=5，∴菱形ABCD的周长等于5×4=20；（2）∵四边形ABCD是菱形，∴OA=OC，OB=OD，AC⊥BD，在Rt△AOB中，∠AOB=90°，根据勾股定理，得：OB=，==4，∴AC=2OA=6，BD=2OB=8，∴S菱形ABCD=×AC×BD=×6×8=246．菱形周长为200cm，则AB=50cm，∵AC=60cm，∴AO=30cm，菱形对角线互相垂直，∴△AOB为直角三角形，在Rt△AOB中，BO==40cm，∴BD=2BO=80cm，∴菱形ABCD的面积为S=×60cm×80cm=2400cm2，答：菱形ABCD的面积为2400cm2．7．由菱形对角线性质知，AO=AC=3，BO=BD=4，且AO⊥BO，∴AB=5，∴周长L=4AB=20；∵菱形对角线相互垂直，∴菱形面积是S=AC×BD=24．综上可得菱形的周长为20、面积为24．8．四边形AODE是矩形．∵DE∥AC，AE∥BD，∴四边形AODE是平行四边形，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD∴∠AOD=90°，∴四边形AODE是矩形9．（1）四边形OCED是矩形．理由如下：∵DE∥AC，CE∥BD，∴四边形OCED是平行四边形，∵四边形ABCD是菱形，∴∠COD=90°，∴四边形OCED是矩形；（2）在菱形ABCD中，∵AC=6，BD=8，∴OC=AC=×6=3，OD=BD=×8=4，∴CD===5，在矩形OCED中，OE=CD=510．1）证明：连接BD，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∵EM⊥AC，∴EM∥BD，∵E为AB的中点，∴M为AD的中点，∴AM=DM；（2）解：∵EB∥FD，EM∥BD，∴四边形FDBE是平行四边形，∴FD=BD，∵DF=2，∴BE=2，∴AB=2BE=2×2=4，∴菱形ABCD的周长=4AB=4×4=16；（3）设ME与AC的交点为G，相似三角形有：△AGE∽△AGM，△AGE∽△CGF，△AGM∽△CGF，△AEM∽△DFM，△ABC∽△ADC共5对．11．（1）∵菱形ABCD中，AB=BC，AD=CD，∠B=∠D=60°，∴△ABC和△ACD都是等边三角形．（2）∵∠B=∠ACD=60°，AB=AC，∴△ABC是等边三角形，∴∠BAC=∠EAF=60°，∴∠BAE=∠CAF，∴△ABE≌△ACF，∴AE=AF，又∠EAF=60°，∴△AEF是等边三角形；（3）∵EC+CF=BE+EC=BC=2，△AEF是等边三角形，∴EF=AE，∴△CEF的周长=2+AE，由“垂线段最短”，当AE⊥BC时，AE最短，AE=，∴△CEF的周长=2+12．（1）∵DE∥AC，CE∥BD∴四边形OCED为平行四边形，∵AC，BD为菱形的对角线，∴AC⊥BD，即∠COD=90°，∴平行四边形OCED为矩形．（2）菱形ABCD的周长为20，则菱形的边长为5，即=5，矩形OCED的周长为14，则OC+OD=7，解题OC=3，OD=4，∴AC=6，BD=8，∴菱形的面积为×6×8=24．答：菱形ABCD的面积为2413．由菱形ABCD，得∠BAD=∠BCD=130°，∠BAE=25°，∴∠EAF=105°，又∵AF=CE，AD∥BC，∴四边形AECF是平行四边形，则∠AFC=180°﹣∠EAF=180°﹣105°=75°．14．（1）∵∠ABE=∠CDG，∠AEB=∠CGD，AE=CG，∴△ABE≌△CDG，∴BE=DG，（2）四边形ABFG是菱形，则BF=AB，∵AB：BC=2：3∴FC=AB，∵AE是BC沿BC方向平移，使点E与点C重合，得△GFC．∴BE=FC，∴AB=2BE，∴直角△ABE中，∠BAE=30°，∴∠ABE=60°15．∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC，AD∥BC，∵AE⊥BC，BE=CE，∴AB=AC，∴AB=AC=BC，即△ABC是等边三角形，∴∠B=60°，又∵AD∥BC，∴∠BAD=180°﹣∠B=120°16．（1）如图，过E作AD，BC的垂线交AD和CB的延长线于H，G．∵AD∥CB，∴△BGE∽△AHE，∵AB=AD=6，∴AE=BF=5，CF﹣BE=1，令BG=x，GE=y，则EH=5y，AH=5x，在△FGE 中，，在△DEH 中，，根据EF=ED，BE=1，易得EF2=ED2，即有，解得，，∴tan∠A=，∴∠A=60°；（2）由以上求得知，EH=AEsin60°=，，故．17．连接PD，DQ，由已知∠PAC=120°，∠QCA=120°，∴△PAC∽△AMC，△AMC∽△ACQ．∴，．∴AC2=PA•QC，又AC=AD=DC．∴，又∠PAD=∠DCQ=60°，∴△PAD∽△DCQ，∴∠APD=∠CDQ．∴∠PDA+∠ADC+∠CDQ=180°，∴P，D，Q三点共线．18．∵菱形ABCD的周长为20，∴菱形的边长AB=5，由直角三角形的三边关系可得：AO2+BO2=25，又有根与系数的关系可得：AO+BO=2m﹣1，AO•BO=4（m﹣1），∴AO2+BO2=（AO+BO）2﹣2AO•BO=（2m﹣1）2﹣2×4（m﹣1）=25，整理得：4m2﹣12m+9=25，解得：m=4或﹣1（舍去）．故m=419．∵四边形ABCD为菱形，∴AD=AB=CD=CB，∠B=∠D．又∵CE=CF，∴CD﹣CE=CB﹣CF，即DE=BF．∴△ADE≌△ABF．∴AE=AF20．菱形ABCD的面积S=×16×12=96，∵AC⊥BD，∴AB=10，∴CD=AB=10，∴×CD×BE=48，∴BE=cm，所以菱形ABCD的面积为96cm2，BE 的长为cm21．（1）DE=BF．理由如下：如图，设AB、EF相交于G，连接BD，在菱形ABCD中，BD⊥AC，∵EF⊥AC，∴EG∥BD，∵E是AD中点，∴EG是△ABD的中位线，∴AG=BG，又∵AD∥BC，∴∠AEG=∠BFG，在△AEG和△BFG 中，，∴△AEG≌△BFG（AAS），∴AE=BF，∵E是AD中点，∴AE=DE，∴DE=BF；（2）四边形AFBE是平行四边形．理由如下：∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∴AE∥BF，又∵AE=BF，∴四边形AFBE是平行四边形22．（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AB=CB=CD=AD，∠B=∠D，∵BE=DF∴△ABE≌△ADF（SAS），∴AE=AF；（2）连接AC，∵AE垂直平分BC，AF垂直平分CD．∴AB=AC=AD，∴AB=AD=BC=CD=AC，∴∠B=60°，∴∠BCD=120°，∴∠EAF=60°，∴△AEF为等边三角形．23．（1）证明：∵∠B+∠C=180°，∠AFE+∠AFD=180°，∠AFE=∠B，∴∠C=∠AFD．∵AD∥BC，∴∠ADF=∠DEC．∵AD=DC，∴△ADF∽△DEC．（2）解：∵AB=4，E为BC的中点，∴BE=2，AE=，DE=．∵△ADF∽△DEC，∴．∴AF=．24．△BEC∽△DCF，∴．∴△BED∽△DBF．∴∠BED=∠DBM．∴∠BME=∠BDM+∠DBM=∠BDM+∠BED=∠ABD= 60°．∴由正弦定理得：2R1=，2R2=．∴R1•R2=•==．25．（1）∵A（0，6），D（﹣8，0），∴OA=6，OD=8，∴由勾股定理可得AD=10，∵四边形ABCD为菱形∴CD=AD=10，∴OC=2，∴C（2，0），（2）∵A（0，6）C（2，0），∴E（1，3），设经过点E 的反比例函数解析式为，将E（1，3）代入求得k=3∴反比例函数解析式为：26．∵点P是AB的中点，∴AP=BP，∵四边形ABCD是菱形，∴AD=DC，AD∥BC，∴∠A=∠PBE，∵在△ADP和△BEP中，，∴△ADP≌△BEP（ASA），∴BE=AD，∵AD=CD，∴BE=CD27．（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AB=AD，∠B=∠D，又∵BE=DF，∴△ABE≌△ADF，∴AE=AF；（2）连接AC，∵AE垂直平分BC，AF垂直平分CD，∴AB=AC=AD．∵AB=BC=CD=DA，∴△ABC和△ACD都是等边三角形．∴∠CAE=∠BAE=30°，∠CAF=∠DAF=30°．∴∠EAF=∠CAE+∠CAF=60°又∵AE=AF，∴△AEF是等边三角形．28．∵四边形ABCD是菱形，∴BC=CD，AC平分∠BCD，在△BCE和△DCE 中，，∴△BCE≌△DCE（SAS），∴∠EBC=∠EDC，又AB∥DC，∴∠APD=∠EDC，∴∠EBC=∠APD29．（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AD=AB=10，∵DH⊥AE，∴∠AHD=90°，在Rt△ADH中，AH===8，∵∠E=∠B，∴AE=AB=10，∴HE=AE﹣AH=10﹣8=2；证明：（2）过点D作DF⊥BC的延长线于点F，连接DE，∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，AD∥BC，AD=CD，∴∠1=∠B，∠2=∠3，∵∠B=∠2，∴∠1=∠3，∵DH⊥AE，DF⊥CF，∴∠4=∠F，在△ADH和△CDF中，，∴△ADH≌△CDF（AAS），∴AH=CF，DH=DF，∴在Rt△DEH和Rt△DEF中，，∴Rt△DEH≌Rt△DEF（HL），∴EH=EF，∵CF=CE+EF，∴AH=CE+EH30．（1）证明：连接OA、AC、BD，∵OE⊥AB，OF⊥AD，且OE=OF，∴∠BAO=∠DAO，∵菱形ABCD，∴AC⊥BD，MB=MD，∠BAC=∠DAC，∴O在AC上，∴OB=OD．（2）解：矩形和平行四边形时，结论不成立，等腰三角形时，结论成立，因为：矩形和平行四边形的对角线不一定平分对角，而等腰三角形的三线合一性质，能得出结论成立菱形的性质--11。
菱形性质习题精选（含答案）
菱形性质习题精选（含答案）菱形性质习题精选一．填空题（共26小题）1．（2015?模拟）如图，在菱形ABCD中，点E是AB上的一点，连接DE交AC于点O，连接BO，且∠AED=50°，则∠CBO=度．2．（2015?模拟）如图，在四边形ABCD中，AB=6，∠ABC=90°，E在CD上，连接AE，BE，∠DAE=75°，若四边形ABED 是菱形，则EC的长度为．3．（2015?模拟）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，其中AC=8，BD=6，以OC、OB为边作矩形OBEC，矩形OBEC 的对角线OE、BC交于点F，再以CF、FE为边作第一个菱形CFEG，菱形CFEG的对角线FG、CE交于点H，如此继续，得到第n个菱形的周长等于．4．（2015?州市校级模拟）己知菱形相邻两角的度数比为1：5，且它的面积为8，则这个菱形的周长为．5．（2015?模拟）如图，在菱形ABCD中，∠A=45°，DE⊥AB，垂足为E，若CD=4cm，则菱形ABCD的面积是．6．（2015?模拟）如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，H为AD边中点，菱形ABCD的周长为40，则OH的长等于．7．（2014?）菱形ABCD中，若对角线长AC=8cm，BD=6cm，则边长AB=cm．8．（2014?）菱形的周长为20cm，两个相邻的角的度数之比为1：2，则较长的对角线长度是cm．9．（2014?）如图，菱形ABCD中，AC、BD相交于点O，若∠BCO=55°，则∠ADO=．10．（2014?宿迁）如图，在平面直角坐标系xOy中，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（﹣3，0），（2，0），点D在y 轴上，则点C的坐标是．11．（2014?眉山）如图，菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD 的中点，过点E作EG⊥AD 于G，连接GF．若∠A=80°，则∠DGF的度数为．12．（2014春?期末）如图在菱形ABCD中，∠B=∠EAF=60°，∠BAE=20°，则∠CEF的大小为．13．（2014?模拟）如图，在菱形ABCD中，∠B=60°，AB=2，E、F分别是BC、CD的中点，连接AE、EF、AF，则△AEF的周长为．14．（2014?江都市二模）已知菱形ABCD的对角线相交于点O，AC=6cm，BD=8cm，则菱形的高AE为cm．15．（2014?简阳市模拟）如图，边长为a的正方形发生形变后成为边长为a的菱形，如果这个菱形的一组对边之间的距离为h，记=k，我们把k叫做这个菱形的“形变度”．若变形后的菱形有一个角是60°，则形变度k=．16．（2014?淮区一模）如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，BC=1cm，以DC为边在菱形的外部作正三角形CDE，连接AE，则AE=cm．17．（2014?惠安县二模）如图，菱形ABCD的边长是2cm，∠A=60°，点E、F分别是边AB、CD上的动点，则线段EF的最小值为cm．18．（2013秋?海陵区期末）如图，将菱形纸片ABCD折叠，使点A恰好落在菱形的对称中心O处，折痕为EF．若菱形ABCD的边长为4cm，∠A=120°，则EF=cm．19．（2014春?仙游县校级期末）如图，以菱形AOBC的顶点O 为原点，对角线OC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，若OB=，点C的坐标为（4，0），则点A的坐标为．20．（2014春?期末）如图，在菱形ABCD中，AB=13cm，BC 边上的高AH=5cm，那么对角线AC的长为cm．21．（2014春?泰兴市校级期末）如图，菱形ABCD的周长为16cm，BC的垂直平分线EF 经过点A，则对角线BD长为cm．22．（2014春?建湖县期末）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E在BD的延长线上，且△EAC是等边三角形，若AC=8，AB=5，则ED的长等于．23．（2014春?玄武区期末）如图，在菱形ABCD中，BE⊥AD，垂足为E，且E为AD为中点．则∠ADC=°．24．（2014春?定县期末）如图，菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，E是AB的中点，P 是对角线AC上的一个动点，当P移动到AC的中点时，则PE+PB的值是．25．（2014春?顺义区期末）如图，菱形ABCD中，∠BAD=120°，CF⊥AD于点E，且BC=CF，连接BF交对角线AC于点M，则∠FMC=度．26．（2014秋?武进区期中）如图，依次连结第一个矩形各边的中点得到第一个菱形，再依次连结所得菱形各边的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去．已知第一个矩形的面积为2，则第2013个菱形的面积为．二．解答题27．（2014?县模拟）如图，四边形ABCD是菱形，CE⊥AB交AB延长线于E，CF⊥AD交AD延长线于F，求证：CE=CF．28．（2014?江都市模拟）如图，在菱形ABCD中，点M是对角线AC上一点，且MC=MD．连接DM并延长，交边BC于点F．（1）求证：∠1=∠2；（2）若DF⊥BC，求证：点F是边BC的中点．29．（2014春?期末）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=5，∠C=30°．点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（t＞0）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE、EF．（1）求证：AE=DF；（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由．30．（2014春?高淳县校级期末）如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠B=60°，点P、Q分别是边BC、CD上的动点（不与端点重合），且BP=CQ．（1）图中除了△ABC与△ADC外，还有哪些三角形全等，请写出来；（2）点P、Q在运动过程中，四边形APCQ的面积是否变化，如果变化，请说明理由；如果不变，请求出面积；（3）当点P在什么位置时，△PCQ的面积最大，并请说明理由．31．（2013秋?东海县月考）如图，在菱形ABCD中，点E是AD 边的中点，点M是AB边上的一个动点（不与点A重合），延长ME 交CD的延长线于点N，连接MD，AN．（1）求证：四边形AMDN是平行四边形．（2）若∠DAB=60°，当点M位于何处时，四边形AMDN是矩形？并说明理由．（请在备用图中画出符合题意的图形）32．（2012秋?鼓楼区校级期末）如图所示，在矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm、点P从点D出发向点A运动，同时点Q从点B 出发向点C运动，点P、Q的速度都是1cm/s．（1）在运动过程中，四边形AQCP可能是菱形吗？如果可能，那么经过多少秒后，四边形AQCP是菱形？（2）分别求出菱形AQCP的周长、面积．参考答案1．50 2．3 3． 4．16 5．8cm 2 6．5 7．5 8．5 9．35° 10．（5，4） 11．50° 12．20°13．3 14．4.8 15． 16．17． 18．2 19．（2，1）20． 21．4 22．4-3 23．120 24．2 25．105 26．27、证明：四边形ABCD 是菱形CE ⊥AE,CF ⊥AF∠DAB=∠CBB,∠DAB=∠FDC,∴∠CBE=∠FDC又 BC=DC,∴Rt △BEC ≌Rt △DFC,∴CE=CF.28、证明：（1）∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ∥CD ，∴∠1=∠ACD ，∵MC=MD ，∴∠ACD=∠2，∴∠1=∠2；（2）连接BD ，∵四边形ABCD 是菱形，∴∠ACB=∠ACD ，BC=CD ，∵∠ACD=∠2，∴∠ACB=∠ACD=∠2，∵DF ⊥BC ，∴3∠2=90°，∴∠2=30°，∴∠BCD=∠ACB+∠ACD=60°，∴△BCD 是等边三角形，∴BF=CF ，即点F 是边BC 的中点．29、（1）在△DFC 中，∠DFC =90°，∠C =30°，DC =2t ，∴DF =t .又∵AE=t ，∴AE=DF（2）能.理由如下：∵AB ⊥BC ，DF ⊥BC ，∴AE ∥DF .又AE =DF ，∴四边形AEFD 为平行四边形.∵AB =21AC BC=35 222AC BC AB =+∴()2223521AC AC =+??? ?? ∴AC=1010 2.AD AC DC t ∴=-=-若使AEFD 为菱形，则需10.102,.3AE AD t t t ==-=即即当103t =时，四边形AEFD 为菱形30、（1）△ABP ≌△ACQ ，△APC ≌△AQD ；（2）∵△ACP ≌△ADQ ，∴S △ACP =S △ADQ ，即S 四边形APCQ =S △ACD =3221??；(3为菱形的高) （3）∵△PAQ 是等边三角形，点P 是BC 的中点时，AP 垂直于BC ，AP 最小，∴当AP ⊥BC 时，三角形APQ 的面积最小，故在四边形APCQ 的面积一定，△APQ 面积最小时，△PCQ 的面积最大. 此时BP=1，31、证明：∵四边形ABCD 是菱形∴∠DNM=∠AMN又∵DE=AE ，∠NDE=∠MAE∴△NDE=△MAE∴ND=AM∴ND ∥AM∴四边形ANDM 是平行四边形（2）当点M 是AB 的中点时，四边形AMDN 是矩形证明：如图所示∵四边形AMDN 是矩形，∠DAB=60o∴∠ADM=30o∴AM=AD 21 ∵AD=AB ∴AM=AB 21 即M 是AB 的中点32、解：（1）经过x 秒后，四边形AQCP 是菱形∴DP=X cm AP=CP=AD-DP=(8-X)cm∵DP 2+CD 2=PC 2∴16+X 2=(8-X) 2 解得x=3即经过3秒后四边形是菱形（2）由（1）得菱形的边长为5∴菱形AQCP的周长=5×4=20（㎝）菱形AQCP的面积=5×4=20（㎝2）。
初中数学菱形的性质菱形的判定练习题(附答案)
初中数学菱形的性质菱形的判定练习题一、单选题1.已知,□ABCD 中,若∠A+∠C=120°,则∠B 的度数是( )A.100°B.120°C.80°D.60°2.四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，下列四组条件中，一定能判定四边形ABCD 为平行四边形的是( )A.//AD BCB.OA OC =,OB OD =C.//AD BC ，AB DC = D .AC BD ⊥3.正方形具有而矩形不一定具有的性质是( )A.四个角都相等B.四条边相等C.对角线相等D.对角线互相平分4.如图,在菱形ABCD 中,AC=8,BD=6,则△ABD 的周长等于( )A.18B.16C.15D.145.菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是( )A.对边相等B.对角相等C.对角线互相平分D.对角线互相垂直6.如图,已知四边形ABCD 是平行四边形,要使它成为菱形,那么需要添加的条件可以是( )A.AC⊥BDB.AB=ACC.∠ABC=90°D.AC=BD二、证明题7.如图，四边形ABCD 是菱形，DE AB ⊥交BA 的延长线于点,E DF BC ⊥交BC 的延长线于点F.求证:DE DF =.三、填空题8.如图，平行四边形ABCD 中，AC 、BD 相交于点O ，若=6AD ，=16AC BD +，则BOC △的周长为 ．9.如图，在菱形ABCD 中，对角线6,10AC BD ==.则菱形ABCD 的面积为 .10.如图,四边形ABCD 的对角线,AC BD 交于点O ,有下列条件:①,?AO CO BO DO ==;②AO BO CO DO ===.其中能判断ABCD 是矩形的条件是__________(填序号)11.如图,E 是正方形ABCD 边BC 延长线上一点,CE=AC,AE 交CD 于F,则∠AFC 的度数为__________。
菱形的性质练习题及其详解
菱形的性质01 基础题知识点1 菱形的性质1．(2016·莆田)菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是(D)A ．对边相等B ．对角相等C ．对角线互相平分D ．对角线互相垂直2．如图，在菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，下列说法错误的是(B )A ．∠ADB ＝∠CDB B ．AC ＝BD C ．AC ⊥BD D ．AB ＝AD第2题图 第3题图3．如图，已知菱形ABCD 的边长等于2，∠DAB ＝60°，则对角线BD 的长为(C ) A ．1 B .3 C ．2 D ．234．菱形的两条对角线长分别是6和8，则此菱形的边长是(D )A ．10B ．8C ．6D ．55．如图，菱形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，AC 的中点，若EF ＝2，则菱形ABCD 的周长是16．6．如图，在菱形ABCD 中，E ，F 分别是BC ，CD 的中点，连接AE ，AF.AE 和AF 有什么样的数量关系？说明理由．解：AE ＝AF.理由：∵四边形ABCD 是菱形， ∴AB ＝AD ，∠B ＝∠D ，BC ＝CD. 又∵E ，F 分别为BC ，CD 的中点， ∴BE ＝12BC ，DF ＝12CD.∴BE ＝DF.∴△ABE ≌△ADF(SAS )． ∴AE ＝AF.知识点2 菱形的面积7. (2016·宁夏)如图，菱形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，E ，F 分别是AD ，CD 边的中点，连接EF.若EF ＝2，BD ＝2，则菱形ABCD 的面积为(A)A ．2 2 B. 2 C ．6 2 D ．82第7题图 第8题图8．(2017·宜宾)如图，在菱形ABCD 中，若AC ＝6，BD ＝8，则菱形ABCD 的面积是24． 9．如图，四边形ABCD 是菱形，对角线AC ，BD 相交于点O ，且∠ACD ＝30°，BD ＝4，求菱形ABCD 的面积．解：∵四边形ABCD 是菱形，BD ＝4，∴OA ＝OC ＝12AC ，OB ＝OD ＝12BD ＝2，AC ⊥BD.∵在Rt △OCD 中，∠OCD ＝30°，∴CD ＝2OD ＝4，OC ＝CD 2－OD 2＝42－22＝2 3. ∴AC ＝2OC ＝4 3.∴S 菱形ABCD ＝12AC·BD ＝12×43×4＝8 3.02 中档题10．如图，已知某广场菱形花坛ABCD 的周长是24米，∠BAD ＝60°，则花坛对角线AC 的长等于(A )A ．63米B ．6米C ．33米D ．3米第10题图 第11题图11．如图，在菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，E 为AD 边的中点，菱形ABCD 的周长为28，则OE 的长等于(A )A ．3.5B ．4C ．7D ．1412．如图，在菱形ABCD 中，M ，N 分别在AB ，CD 上，且AM ＝CN ，MN 与AC 交于点O ，连接BO.若∠DAC ＝28°，则∠OBC 的度数为(C )习题解析A ．28°B ．52°C ．62°D ．72°13．(2017·南充)已知菱形的周长为45，两条对角线的和为6，则菱形的面积为(D)A ．2 B.5 C ．3 D ．4 14．(2017·东营)如图，已知菱形ABCD 的周长为16，面积为83，E 为AB 的中点，若P为对角线BD 上一动点，则EP ＋AP 的最小值为15．如图，在菱形ABCD 中，∠A ＝60°，AB ＝4，O 为对角线BD 的中点，过O 点作OE ⊥AB ，垂足为E.(1)求∠ABD 的度数； (2)求线段BE 的长．解：(1)∵在菱形ABCD 中，AB ＝AD ，∠A ＝60°， ∴△ABD 为等边三角形． ∴∠ABD ＝60°.(2)由(1)可知BD ＝AB ＝4，又∵O 为BD 的中点，∴OB ＝2. 又∵OE ⊥AB ，∠ABD ＝60°， ∴∠BOE ＝30°. ∴BE ＝12OB ＝1.16．(2016·苏州)如图，在菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，过点D 作对角线BD 的垂线交BA 的延长线于点E.(1)求证：四边形ACDE是平行四边形；(2)若AC＝8，BD＝6，求△ADE的周长．解：(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，AC⊥BD.∴AE∥CD.又∵DE⊥BD，∴DE∥AC.又∵AE∥CD，∴四边形ACDE是平行四边形．(2)∵四边形ABCD是菱形，AC＝8，BD＝6，∴AO＝4，DO＝3，AD＝CD＝AO2＋DO2＝5.∵四边形ACDE是平行四边形，∴AE＝CD＝5，DE＝AC＝8.∴C△ADE＝AD＋AE＋DE＝5＋5＋8＝18.03综合题17．在菱形ABCD中，∠B＝60°，点E在边BC上，点F在边CD上．(1)如图1，若E是BC的中点，∠AEF＝60°，求证：BE＝DF；(2)如图2，若∠EAF＝60°，求证：△AEF是等边三角形．证明：(1)连接AC，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD.∵∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形．∵E是BC的中点，∴AE⊥BC.∵∠AEF＝60°，∴∠FEC＝90°－60°＝30°.又∵∠C＝180°－∠B＝120°，∴∠EFC＝30°.∴∠FEC＝∠EFC.∴CE＝CF.又∵BC＝CD，∴BC－CE＝CD－CF，即BE＝DF.(2)连接AC，由(1)，得△ABC是等边三角形，∴AB＝AC.∵∠BAE＋∠EAC＝60°，∠EAF＝∠CAF＋∠EAC＝60°，∴∠BAE＝∠CAF.∵四边形ABCD是菱形，∠B＝60°，∴∠ACF＝12∠BCD＝60°＝∠B.∴△ABE≌△ACF.∴AE＝AF.又∵∠EAF＝60°，∴△AEF是等边三角形．。
22.3菱形的性质常考题(含详细的解析)
22.3菱形的性质常考题一、选择题（共18小题）1、（2009•长春）菱形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．∠AOC=45°，OC=，则点B的坐标为（）A、（，1）B、（1，）C、（+1，1）D、（1，+1）2、（2010•盐城）如图：在菱形ABCD中，AC=6，BD=8，则菱形的边长为（）A、5B、10C、6D、83、（2010•南通）如图，在菱形ABCD中，AB=5，∠BCD=120°，则对角线AC等于（）A、20B、15C、10D、54、（2010•北京）菱形的两条对角线的长分别是6和8，则这个菱形的周长是（）A、24B、20C、10D、55、（2009•河池）已知菱形的边长和一条对角线的长均为2cm，则菱形的面积为（）A、3cm2B、4cm2C、cm2D、2cm26、（2009•杭州）如图，在菱形ABCD中，∠A=110°，E，F分别是边AB和BC的中点，EP⊥CD于点P，则∠FPC=（）A、35°B、45°C、50°D、55°7、（2008•台州）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E为AB的中点，且OE=a，则菱形ABCD的周长为（）A、16aB、12aC、8aD、4a8、（2008•江汉区）如图，四边形ABCD是菱形，过点A作BD的平行线交CD的延长线于点E，则下列式子不成立的是（）A、DA=DEB、BD=CEC、∠EAC=90°D、∠ABC=2∠E9、（2007•嘉兴）如图，在菱形ABCD中，不一定成立的是（）A、四边形ABCD是平行四边形B、AC⊥BDC、△ABD是等边三角形D、∠CAB=∠CAD10、（2005•扬州）如图是一个利用四边形的不稳定性制作的菱形晾衣架．已知其中每个菱形的边长为20cm，墙上悬挂晾衣架的两个铁钉A、B之间的距离为20cm，则∠1等于（）A、90°B、60°C、45°D、30°11、（2005•济宁）已知菱形的边长为6cm，一个内角为60°，则菱形较短的对角线长是（）A、6cmB、cmC、3cmD、cm12、（2004•重庆）如图，在菱形ABCD中，∠BAD=80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，点E为垂足，连接DF，则∠CDF为（）A、80°B、70°C、65°D、60°13、在菱形ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，且E，F分别为BC，CD的中点，那么∠EAF的度数为（）A、75°B、60°C、45°D、30°14、菱形的周长等于高的8倍，则此菱形的较大内角是（）A、60°B、90°C、120°D、150°15、在菱形ABCD中，AC与BD相交于点O，则下列说法不正确的是（）A、AO⊥BOB、∠ABD=∠CBDC、AO=BOD、AD=CD16、菱形的周长为20cm，两邻角的比为1：2，则较长的对角线长为（）A、4.5cmB、4cmC、5cmD、4cm17、已知菱形的两条对角线长分别为4cm和10cm，则菱形的边长为（）A、116cmB、29cmC、cmD、cm18、菱形的周长为20cm，两邻角的比为1：3，则菱形的面积为（）A、25cm2B、16cm2C、cm2D、cm2二、填空题（共12小题）19、（2006•泉州）菱形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长是方程x2﹣7x+12=0的一个根，则菱形ABCD的周长为_________．20、（2008•陕西）如图，菱形ABCD的边长为2，∠ABC=45°，则点D的坐标为_________．21、（2009•临沂）如图，在菱形ABCD中，∠ADC=72°，AD的垂直平分线交对角线BD于点P，垂足为E，连接CP，则∠CPB=_________度．22、（2008•肇庆）边长为5cm的菱形，一条对角线长是6cm，则另一条对角线的长是_________cm．23、（2003•盐城）已知菱形ABCD的对角线AC=6cm，BD=8cm，则菱形的边长是_________cm．24、如图，在由12个边长都为1且有一个锐角为60°的小菱形组成的网格中，点P是其中的一个顶点，以点P为直角顶点作格点直角三角形（即顶点均在格点上的三角形），请你写出所有可能的直角三角形斜边的长_________．25、（2011•长沙）已知菱形的两条对角线长分别是6cm和8cm，则周长是_________cm．26、（2009•江西）如图，一活动菱形衣架中，菱形的边长均为16cm，若墙上钉子间的距离AB=BC=16cm，则∠1= _________度．27、（2009•本溪）如图所示，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，H为AD边中点，菱形ABCD的周长为24，则OH的长等于_________．28、（2008•镇江）如图所示，两个全等菱形的边长为1厘米，一只蚂蚁由A点开始按ABCDEFCGA的顺序沿菱形的边循环运动，行走2008厘米后停下，则这只蚂蚁停在_________点．29、（2008•温州）如图，菱形ABCD中，∠A=60°，对角线BD=8，则菱形ABCD的周长等于_________．30、（2008•恩施州）已知菱形的两对角线长分别为6cm和8cm，则菱形的面积为_________cm2．答案与评分标准一、选择题（共18小题）1、（2009•长春）菱形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．∠AOC=45°，OC=，则点B的坐标为（）A、（，1）B、（1，）C、（+1，1）D、（1，+1）考点：坐标与图形性质；菱形的性质。
2020—2021年新人教版初中数学八年级下册菱形的性质练习题及答案精品试卷.docx
《菱形的性质》练习一、选择——基础知识运用1．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E为CD 的中点，则下列式子中不一定成立的是（）A．BC=2OE B．CD=2OE C．CE=OE D．OC=OE2．菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别为4和2，若直线l满足：①点A到直线l的距离为√3；②B、D两点到直线l的距离相等．则符合题意的直线l的条数为（）A．1 B．2 C．3 D．43．如图，菱形ABCD中，BE⊥AD，BF⊥CD，F、F为垂足，AE=ED，则∠EBF等于（）A．75°B．60°C．50°D．45°4．如图，在菱形ABCD中，AB=5，对角线AC=6，过A作AE⊥BC，垂足为E，则AE的长是（）A．24 B．36 C．48 D．4.85．在菱形ABCD中，M，N分别是边BC，CD上的点，且AM=AN=MN=AB，则∠C的度数为（）A．120°B．100° C．80°D．60°6．菱形OACB在平面直角坐标系中的位置如图所示，点C的坐标是（6，0），点A的纵坐标是1，则点B的坐标是（）A．（3，1）B．（3，-1）C．（1，-3）D．（1，3）二、解答——知识提高运用7．菱形ABCD的周长为20，面积为24，则较长的对角线的长度为。
8．如图，菱形ABCD中，E、F分别为BC、CD上的点，△AEF的三边长和菱形边长相等，求∠BAD的大小。
9．如图，菱形花坛ABCD的边长为20m，DE=CE，AE⊥CD，沿对角线修建了两条小路AC和BD，求两条小路的长和花坛的面积。
10．如图所示，菱形ABCD的周长为32cm，菱形的相邻两内角之比为1：2，求菱形的面积。
11．菱形ABCD的边长为24厘米，∠A=60°，质点P从点A出发沿着AB-BD-DA作匀速运动，质点Q从点D同时出发沿着线路DC-CB-BD作匀速运动。
九年级数学菱形的性质(基础)(含答案)
菱形的性质（基础）一、单选题(共10道，每道10分)1.下列说法错误的是( )A.菱形的对边互相平行B.菱形的对角相等C.菱形的对角线相等D.菱形的每一条对角线平分一组对角答案：C解题思路：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形，则菱形的对边互相平行，对角相等，故A，B正确菱形是轴对称图形，对角线所在直线为它的对称轴，则菱形的每一条对角线平分一组对角，故D正确菱形的对角线互相垂直且平分，故C错误试题难度：三颗星知识点：略2.菱形具有而平行四边形不具有的性质是( )A.对角线互相平分B.邻角互补C.每条对角线平分一组对角D.对角相等答案：C解题思路：平行四边形的对角线互相平分，邻角互补，对角相等，且菱形具有平行四边形的全部性质，故A，B，D选项错误菱形是轴对称图形，对角线所在直线为它的对称轴，则菱形的每一条对角线平分一组对角，故C正确试题难度：三颗星知识点：略3.如图，菱形ABCD的对角线AC，BD的长分别为6和8，则这个菱形的周长是( )A.20B.24C.40D.48答案：A解题思路：∵四边形ABCD是菱形∴AO=AC=3，BO=BD=4，AC⊥BD在Rt△AOB中，∴这个菱形的周长L=4AB=20试题难度：三颗星知识点：略4.一个菱形的边长为6，面积为28，则该菱形的两条对角线的长度之和为( )A.8B.12C.16D.32答案：C解题思路：如图所示，∵四边形ABCD是菱形∴AO=CO=AC，DO=BO=BD，AC⊥BD∵菱形面积为28∴AC·BD=2AO·DO=28①∵菱形的边长为6∴AO2+DO2=62②联立①②两式可得，(AO+DO)2=AO2+2AO·DO+DO2=36+28=64∴AO+DO=8∴AC+BD=2(AO+DO)=16，该菱形的两条对角线的长度之和为16试题难度：三颗星知识点：略5.如图，菱形ABCD中，∠D=150°，则∠1=( )A.30°B.25°C.20°D.15°答案：D解题思路：∵四边形ABCD是菱形，∠D=150°∴AB=BC，∠B=∠D=150°在△ABC中，AB=BC，∠B=150°∴∠1=15°试题难度：三颗星知识点：略6.如图，已知E是菱形ABCD的边BC上一点，且∠DAE=∠B=80°，则∠CDE的度数为( )A.30°B.25°C.20°D.35°答案：A解题思路：∵AD∥BC∴∠AEB=∠DAE=∠B=80°∴AE=AB=AD在△DAE中，AE=AD，∠DAE=80°∴∠ADE=50°又∵∠B=80°∴∠ADC=80°∴∠CDE=∠ADC-∠ADE=30°试题难度：三颗星知识点：略7.如图，在菱形ABCD中，∠ADC=50°，AD的垂直平分线交对角线BD于点P，垂足为E，连接CP，则∠CPB的度数为( )A.40°B.50°C.60°D.80°答案：B解题思路：如图，连接PA∵四边形ABCD是菱形∴∠ADP=∠CDP=∠ADC=25°，BD所在直线是菱形的对称轴∴PA=PC∵AD的垂直平分线交对角线BD于点P∴PA=PD∴PC=PD∴∠PCD=∠CDP=25°∴∠CPB=∠PCD+∠CDP=50°试题难度：三颗星知识点：略8.如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列结论：①AC⊥BD；②OA=OB；③∠ADB=∠CDB；④△ABC是等边三角形．其中一定成立的是( )A.①②B.③④C.②③D.①③答案：D解题思路：根据菱形的对角线互相垂直平分可知，①正确，②错误根据菱形的性质可知，BD所在直线是菱形的对称轴，则∠ADB=∠CDB，③正确根据AB=BC可知，△ABC是等腰三角形，不一定是等边三角形，④错误试题难度：三颗星知识点：略9.如图，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为(3，0)，(-2，0)，点D在y轴上，则点C的坐标是( )A.(-5，4)B.(4，-5)C.(-5，3)D.(3，-5)答案：A解题思路：∵菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为(3，0)，(-2，0)，点D在y轴上∴CD=AD=AB=5，OA=3∴在Rt△OAD中，∴点C的坐标是(-5，4)试题难度：三颗星知识点：略10.如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形OABC的边长为2，点A在第一象限，点C在x轴正半轴上，∠AOC=60°，若将菱形OABC绕点O顺时针旋转75°，得到四边形OA′B′C′，则点B的对应点B′的坐标为( )A.(，)B.(2，-2)C.(，-3)D.(，)答案：D解题思路：如图，连接OB，OB′，作B′H⊥x轴于点H∵四边形OABC是菱形∴OB平分∠AOC∴∠COB=30°又∵菱形OABC的边长为2∴OB=∵菱形OABC绕点O顺时针旋转75°，得到四边形OA′B′C′∴∠BOB′=75°，OB′=OB=∴∠COB′=∠BOB′-∠COB=45°∴△OB′H为等腰直角三角形∴OH=B′H=∴点B′的坐标为(，) 试题难度：三颗星知识点：略。
菱形性质经典练习题(详细答案)
菱形性质经典练习题一．选择题（共4小题）1．（2011•衡阳）如图所示，在平面直角坐标系中，菱形MNPO的顶点P的坐标是（3，4），则顶点M、N的坐标分别是（）A．M（5，0），N（8，4） B．M（4，0），N（8，4） C．M（5，0），N（7，4）D．M（4，0），N（7，4）2．（2010•肇庆）菱形的周长为4，一个内角为60°，则较短的对角线长为（）A．2 B．C．1 D．3．（2010•襄阳）菱形的周长为8cm，高为1cm，则该菱形两邻角度数比为（）A．3：1 B．4：1 C．5：1 D．6：14．（2010•宜昌）如图，菱形ABCD中，AB=15，∠ADC=120°，则B、D两点之间的距离为（）A．15 B．C．7.5 D．二．填空题（共15小题）5．（2011•铜仁地区）已知菱形的两条对角线长分别为2cm，3cm，则它的面积是_________cm2．6．（2011•綦江县）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC=8，BD=6，过点O作OH丄AB，垂足为H，则点0到边AB的距离OH=_________．7．（2011•南京）如图，菱形ABCD的边长是2cm，E是AB的中点，且DE丄AB，则菱形ABCD的面积为cm2．6题图7题图8题图9题图8．（2011•鞍山）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB=13，AC=10，过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E，则△BDE的周长为_________．9．（2010•嘉兴）如图，已知菱形ABCD的一个内角∠BAD=80°，对角线AC、BD相交于点O，点E在AB上且BE=BO，则∠BEO=_________度．10．（2009•江西）如图，一活动菱形衣架中，菱形的边长均为16cm，若墙上钉子间的距离AB=BC=16cm，则∠1= _________度．10题图12题13题图14题图11．（2009•朝阳）已知菱形的一个内角为60°，一条对角线的长为，则另一条对角线的长为_________．12．（2009•安顺）如图所示，两个全等菱形的边长为1米，一个微型机器人由A点开始按A﹣＞B﹣＞C﹣＞D﹣＞E﹣＞F﹣＞C﹣＞G﹣＞A的顺序沿菱形的边循环运动，行走2009米停下，则这个微型机器人停在_________点．13．（2008•长沙）如图，P为菱形ABCD的对角线上一点，PE⊥AB于点E，PF⊥AD于点F，PF=3cm，则P点到AB的距离是_________cm．14．（2006•云南）已知：如图，菱形ABCD中，∠B=60°，AB=4，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为_________．15．（2005•黄石）已知菱形的周长为40cm，两条对角线之比为3：4，则菱形的面积为_________cm2．16．（2005•新疆）已知菱形的周长是52cm，一条对角线长是24cm，则它的面积是_________cm2．17．（2004•贵阳）如图，菱形ABCD的对角线的长分别为2和5，P是对角线AC上任一点（点P不与点A、C重合），且PE∥BC交AB于E，PF∥CD交AD于F，则阴影部分的面积是_________．17题图18题图19题图18．（2003•温州）如图：菱形ABCD中，AB=2，∠B=120°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值是_________．19．如图：点E、F分别是菱形ABCD的边BC、CD上的点，且∠EAF=∠D=60°，∠FAD=45°，则∠CFE=_________度．三．解答题（共7小题）20．（2011•南昌）如图，四边形ABCD为菱形，已知A（0，4），B（﹣3，0）．（1）求点D的坐标；（2）求经过点C的反比例函数解析式．21．（2011•广安）如图所示，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，DE∥AC交BC的延长线于点E．求证：DE=BE．22．（2010•益阳）如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，AB=4，O为对角线BD的中点，过O点作OE⊥AB，垂足为E．（1）求∠ABD的度数；（2）求线段BE的长．23．（2010•宁洱县）如图，四边形ABCD是菱形，BE⊥AD、BF⊥CD，垂足分别为E、F．（1）求证：BE=BF；（2）当菱形ABCD的对角线AC=8，BD=6时，求BE的长．24．（2009•贵阳）如图，在菱形ABCD中，P是AB上的一个动点（不与A、B重合），连接DP交对角线AC于E 连接BE．（1）证明：∠APD=∠CBE；（2）若∠DAB=60°，试问P点运动到什么位置时，△ADP的面积等于菱形ABCD面积的，为什么？25．（2006•大连）已知：如图，四边形ABCD是菱形，E是BD延长线上一点，F是DB延长线上一点，且DE=BF．请你以F为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新的线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等（只须证明一组线段相等即可）．（1）连接_________；（2）猜想：_________=_________；（3）证明：（说明：写出证明过程的重要依据）26．如图所示，在矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm、点P从点D出发向点A运动，同时点Q从点B出发向点C 运动，点P、Q的速度都是1cm/s．（1）在运动过程中，四边形AQCP可能是菱形吗？如果可能，那么经过多少秒后，四边形AQCP是菱形？（2）分别求出菱形AQCP的周长、面积．答案与评分标准一．选择题（共4小题）1．（2011•衡阳）如图所示，在平面直角坐标系中，菱形MNPO的顶点P的坐标是（3，4），则顶点M、N的坐标分别是（）A．M（5，0），N（8，4） B．M（4，0），N（8，4） C．M（5，0），N（7，4） D．M（4，0），N（7，4）考点：菱形的性质；坐标与图形性质。
菱形性质测试题及答案
菱形性质测试题及答案
一、选择题
1. 下列哪个选项不是菱形的性质？
A. 对角线互相垂直
B. 四边相等
C. 对角线平分每一组对角
D. 内角和为180°
2. 菱形的对角线将菱形分成几个全等的三角形？
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
3. 如果菱形的一条对角线长为10，另一条对角线长为8，那么菱形的边长是多少？
A. 4√2
B. 6√2
C. 8√2
D. 10√2
二、填空题
4. 菱形的对角线互相________。
5. 菱形的面积可以通过________来计算。
三、简答题
6. 请简述菱形的判定定理。
四、计算题
7. 已知菱形ABCD的对角线AC=8cm，BD=6cm，求菱形ABCD的边长。
五、证明题
8. 已知菱形ABCD中，E、F分别是边AB和CD上的点，且AE=CF，证明：△AED≅△CFB。
答案：
一、选择题
1. D
2. D
3. A
二、填空题
4. 垂直且平分
5. 对角线乘积的一半
三、简答题
6. 菱形的判定定理包括：四边相等的四边形是菱形；对角线互相垂直且平分的四边形是菱形。
四、计算题
7. 根据菱形的性质，对角线互相平分，所以AO=CO=4cm，BO=DO=3cm。
根据勾股定理，边长AB=√(AO²+BO²)=√(4²+3²)=5cm。
五、证明题
8. 证明：由于AE=CF，且AD=CD（菱形的四边相等），根据SAS（边角边）相似定理，我们可以得出△AED≅△CFB。
初中数学菱形的判定及性质练习题(附答案)
一. 单选题 1•如图，正方形ABCD 的边长为4,点E 在对角线BD 匕且ZBAE = 225。
，EF 丄初，垂足为F ,则EF 的长为（ ）B. √2C. 4-2√2D. 3∖∕2-42. 如图,点P 是矩形ABCD 的边AD 上的一个动点,矩形的两条边AB . BC 的长分别为3和4,那 么点P 到矩形的两条对角线AC. 3D 的距离之和是（D.不确左3.如图，下列条件之一能使平行四边形ABCD 是菱形的为（ φAC±BD ② ZBAD 二 90° ®AB=BC ④ AC=BD4•如图,在菱形ABCD 中，AB = 2, ZBAD = 60?, E 是A3的中点，P 是对角线AC 上的一个动A. 1B. √3C. 2D. √55.菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（） A. 对边相等C.对角线互相平分 初中数学菱形的判定及性质练习丿B.24TA.①③B.②®C.③④D. φ(≡X3)B •对角相等 D •对角线互相垂直56.如图，四边形ABCD的对角线互相平分,要使它成为矩形,那么需要添加的条件是（）B ------------------- 汽A.AB = CDB.AD = BCC.AB = BCD.AC = BD7.小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题，从下列四个条件：（DAB = BC;②ZABC = 90°：®AC = BD i④AC丄BD中选两个作为补充条件，使口ABCD为正方形（如图），现有下列四种选法，你认为其中错误的是（）A.αχ2) B •②③ C •①③ D •②④8•如图，在菱形ABCD中，对角线AUBD相交于点QH为AD边的中点，菱形ABCD的周长为28,则OH的长等于（）A. 3.5B. 4C.7D.149.下列说法中正确的是（）A.两条对角线垂直的四边形是菱形B.对角线垂直且相等的四边形是正方形C.两条对角线相等的四边形是矩形D.两条对角线相等的平行四边形是矩形10•如图,⅛ΔABC中，点D、E、F分别在BC. AB、CA上,且DE∕∕CA, DF//BA,则下列三种说法:①如果ZBAC=90° ,那么四边形AEDF是矩形;②如果AD平分ZBAC,那么四边形AEDF是菱形；③如果AD丄BC且AB二AC,那么四边形AEDF是菱形。
专题02 菱形的性质与判定(重难题型)(解析版)
专题02 菱形的性质与判定(重难题型)1．如图，在菱形ABCD 中，60ABC Ð=°，连接AC 、BD ，则AC BD的值为（ ）A ．12B C D 【答案】D【分析】设AC 与BD 的交点为O ，由题意易得1,2ABD CBD ABC AB BC Ð=Ð=Ð=，,,AC BD BO DO AO CO ^==，进而可得△ABC 是等边三角形，BO =，然后问题可求解．【详解】解：设AC 与BD 的交点为O ，如图所示：∵四边形ABCD 是菱形，∴1,2ABD CBD ABC AB BC Ð=Ð=Ð=，,,AC BD BO DO AO CO ^==，∵60ABC Ð=°，∴△ABC 是等边三角形，∴30,ABO AB AC Ð=°=，∴12AO AB =，∴OB ==，∴,2BD AC AO ==，∴AC BD ==故选D ．【点睛】本题主要考查菱形的性质、含30°角的直角三角形的性质及勾股定理，熟练掌握菱形的性质、含30°角的直角三角形的性质及勾股定理是解题的关键．2．如图，已知点P 是菱形ABCD 的对角线AC 延长线上一点，过点P 分别作AD 、DC 延长线的垂线，垂足分别为点E 、F ．若120ABC Ð=°，2AB =，则PE PF -的值为（ ）A ．32B C ．2D ．52【答案】B【分析】根据菱形的基性质，得到∠PAE =30°，,利用勾股理求出AC =，则AP =+PC ，PE =12AP =12PC ，由∠PCF =∠DCA =30°，得到PF =12PC ，最后算出结果．【详解】解：∵四边形ABCD 是菱形且∠ABC =120°，AB =2，∴AB=BC =CD =DA =2，∠BAD =60°，AC ⊥BD ，∴∠CAE =30︒，∵AC ⊥BD ，∠CAE =30°，AD =2，∴AC =∴AP =+PC ，在直角△AEP 中，∵∠PAE =30°，AP =+PC ，∴PE =12AP +12PC ，在直角△PFC 中，∵∠PCF =30°，∴PF =12PC ，∴PE PF -+12PC -12PC ，故选：B ．【点睛】本题主要考查了菱形的基本性质、勾股定理的应用以及在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，关键会在直角三角形中应用30°．3．如图，菱形ABCD 边长为4，60BAD Ð=°，E 是AD 上一动点（不与A 、D 重合），F 是CD 上一动点，4AE CF +=，则BEF V 面积的最小值为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【详解】如解图，连接BD ．∵菱形ABCD 的边长为4，60BAD Ð=°，∴ABD △和BCD △均为等边三角形，∴60FDB EAB Ð=Ð=°，∵4AE CF +=，4DF CF +=，∴AE DF =，∵AB BD =，∴BAE BDF @△△，∴BE BF =，ABE DBF Ð=Ð，∴60EBF ABD Ð=Ð=°，∴BEF V 是等边三角形，∴当BE AD ^时，BEF V 的面积最小，此时BE =，BEF V 2=．4．如图，点P 是边长为1的菱形ABCD 对角线AC 上的一个动点，M 、N 分别是AB 、BC 边上的中点，则MP PN +的最小值是（ ）A ．6B ．52C ．1D ．12【答案】C【详解】如解图，作点N 关于AC 的对称点E ，连接ME ，PE ，则PN PE =，∴MP PN MP PE ME +=+³，∴当M 、P 、E 三点共线时，MP PN +最小，最小值为ME 的长．∵四边形ABCD 是菱形，N 是BC 的中点，∴E 是CD 的中点，∵M 是AB 的中点，∴//DE AM ，DE AM =，∴四边形AMED 是平行四边形，∴1ME AD ==，即MP PN +的最小值为1．5．如图，在菱形ABCD 中，60DAB Ð=°，点E ，F 将对角线AC 三等分，且6AC =，连接DE ，DF ，BE ，BF ．若P 是菱形ABCD 的边上的点，则满足PE PF +=的点P 的个数为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】D【详解】如解图，不妨假设点P 在线段AD 上，作点E 关于AD 的对称点'E ，连接'FE 交AD 于点P ，连接'AE ，此时PE PF +的值最小．∵四边形ABCD 是菱形，6AC =，点E 、F 将AC 三等分，60DAB Ð=°，∴1302DAC DAB Ð=Ð=°，2AE EF ==，∵点'E 为点E 关于AD 的对称点，∴'2AE AE ==，'23060E AE Ð=´°=°，∴'E AE △为等边三角形，∴'2E E EF ==，∴''30FE E E FE Ð=Ð=°，∴'90AE F Ð=°，∴'E F =∴PE PF +的最小值为，当点P 由A 运动到D 时，PE PF +的值由最大值6减小到4，∵PE PF +=，4<<，∴线段AD 上存在两个点P ，满足PE PF +=∴根据对称性可知：菱形ABCD 的边上的存在8个点P 满足条件．6．如图，已知Rt ABC V 中，90B Ð=°，3AB =，4BC =，D 、E 、F 分别是三边AB 、BC 、CA 上的点，则DE EF FD ++的最小值为（ ）A ．143B ．245C ．103D ．125【答案】B【详解】如解图，作点F 关于AB 、BC 的对称点'F 、''F ，连接'''F F ，'F D ，''F E ，由对称的性质得'FD F D =，''FE F E =，''''''DE FD EF DE F D F E F F ++=++³，可知当F 固定时，'''DE F D F E ++的最小值就是线段'''F F 的长．作AC 关于AB 、BC 的对称线段'AC 、'A C ，连接''A C ，可以发现'F 、''F 是一个菱形对边上的关于中心B 对称的对称点． '''F F 的最短距离就是菱形对边的距离，也就是菱形的高．∵90ABC Ð=°，3AB =，4BC =，∴'248CC =´=，'326AA =´=，5AC =．设菱形的高为x ，则''16852ACA C S x =´´=菱形，解得245x =，故DE EF FD ++的最小值为245．7．如图，在矩形片ABCD 中，边4AB =，2AD =，将矩形片ABCD 沿EF 折叠，使点A 与点C 重合，折叠后得到的图形是图中阴影部分．给出下列结论：①四边形AECF 是菱形；②BE 的长是1.5；③EF ④图中阴影部分的面积为5.5，其中正确的结论有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】D【分析】根据矩形、折叠性质即可得出CF =C E = AE =AF ，则证明结论①正确；设DF =x ，故DF = BE =x ，在Rt △ADF 中，利用勾股定理即可求解结论②正确；过点F 作FH ⊥AB 于点H ，利用矩形判定与性质并结合勾股定理求得EF 的长，则可推出结论③正确；由DF =BE 可知阴影部分的面积为矩形ABCD 面积的一半与△CGF 面积的和，利用面积公式即可求得结果，证明结论④正确．【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ∥CD ，∴∠AEF =∠CFE ，由折叠性质可知：AE =CE ，AF =CF ，∠AEF =∠CEF ，∴∠CFE =∠CEF ，∴CF =CE ，∴CF =CE = AE =AF ，∴四边形AECF 是菱形；故①正确；∵四边形AECF 是菱形，∴CF =AE ，∵四边形ABCD 是矩形，4AB =，2AD =，∴AB =CD =4，∠D =90°，∴AB -CF =CD -AE ，即DF=BE，设DF=x，则CF = AF=4-x，在Rt△ADF中，DF2+AD2= AF2，即x2+22=（4-x）2解得x=1.5，即BE的长是1.5；故②正确；过点F作FH⊥AB于点H，∴四边形ADFH是矩形，∴FH=AD=2，AH=DF=1.5，∵AE=AB-BE=2.5，∴HE=AE-AH=1，由勾股定理得EF===③正确；∵DF=BE，AD=GC=2，DF=GF=32，∴S阴影部分=S四边形BCFE+S△CGF，=12S矩形ABCD+S△CGF，=12AB•AD+12CG•GF，=12×4×2+12×2×32，=4+3 2=112；故④正确．故选：D．【点睛】本题考查了四边形的综合问题，熟练掌握菱形的判定与性质、矩形的判定与性质及折叠的性质等知识是解题的关键．8．如图，在平行四边形ABCD 中，2AB AD =，F 是CD 的中点，作BE AD ^于点E ，连接EF 、BF ，则下列结论错误的是（ ）A ．CBF ABFÐ=ÐB ．FE FB =C ．2EFB DEBCS S =四边形△D ．3BFE DEFÐ=Ð【答案】D【分析】延长EF 交BC 的延长线于G ，取AB 的中点H 连接FH ．想办法证明EF FG =，^BE BG ，四边形BCFH 是菱形即可解决问题．【详解】解：如图延长EF 交BC 的延长线于G ，取AB 的中点H ，连接FH ．∵2AB AD =，∴2CD AD =，∵F 是CD 的中点，∴DF FC =，∴CF CB =，∴CFB CBF Ð=Ð，∵//CD AB ，∴CFB ABF Ð=Ð，∴CBF ABF Ð=Ð，故A 正确，∵//DE CG ，∴D FCG Ð=Ð，∵DF FC =，DFE CFG Ð=Ð，∴DFE FCG ≌△△()AAS ，∴FE FG =，∵BE AD ^，∴90AEB =°∠，∵//AD BC ，∴90AEB EBG Ð=Ð=°，∴BF EF FG ==，故B 正确，∵DFE CFG S S =△△，∴2EBG BEF DEBC S S S ==四边形△△ ，故C 正确，∵AH HB =，DF CF =，AB CD =，∴CF BH =，∵//CF BH ，∴四边形BCFH 是平行四边形，∵CF BC =，∴四边形BCFH 是菱形，∴BFC BFH Ð=Ð，∵FE FB =，//FH AD ，BE AD ^，∴FH BE ^，∴BFH EFH DEF Ð=Ð=Ð，∴3EFC DEF Ð=Ð，故D 错误，故选：D ．【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定、菱形的判定和性质、直角三角形斜边中线的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．9．如图，在ABC V 中，,BD CE 分别是边,AC AB 上的中线，BD CE ^于点O ，点F 是OB的中点，若8,6OB OC ==，则EF 的长是（ ）A ．7B ．5C ．4D ．3【答案】B【分析】如图（见解析），取OC 的中点G ，连接,,DE DG FG ，先利用勾股定理可得10BC =，再根据三角形中位线定理可得15,//2DE BC DE BC ==，15,//2FG BC FG BC ==，然后根据菱形的判定与性质即可得．【详解】解：如图，取OC 的中点G ，连接,,DE DG FG ，8,6,OB OC BD CE ==^Q ，10BC \==，,BD CE Q 分别是边,AC AB 上的中线，DE \是ABC V 的中位线，15,//2DE BC DE BC ==\，同理可得：15,//2FG BC FG BC ==，5,//DE FG DE FG \==，\四边形DEFG 是平行四边形，又BD CE ^Q ，\平行四边形DEFG 是菱形，5EF DE \==，故选：B ．【点睛】本题考查了三角形中位线定理、菱形的判定与性质等知识点，通过作辅助线，利用到三角形中位线定理是解题关键．10．在学习菱形时，几名同学对同一问题，给出了如下几种解题思路，其中正确的是（ ）已知：如图，四边形ABCD 是菱形，E 、F 是直线AC 上两点，AF =CE ．求证；四边形FBED 是菱形．甲：利用全等，证明四边形FBED 四条边相等，进而说明该四边形是菱形；乙：连接BD ，利用对角线互相垂直的平行四边形是菱形，判定四边形FBED 是菱形；丙：该题目错误，根据已知条件不能够证明该四边形是菱形．A ．甲、乙对，丙错B ．乙、丙对，甲错C ．三个人都对D ．甲、丙对，乙错【答案】A【分析】先利用菱形ABCD 的性质证明,FOB FOD V V ≌可得,FB FD =再同理可得 ,,FD ED ED EB == 从而判断甲正确；连接BD 交AC 于O ， 利用四边形ABCD 是菱形，可得AC ⊥BD ，AO =CO ，BO =DO ， 再证明OF =OE ，即可判断乙正确，从而可得丙判断错误．【详解】解：Q 菱形,ABCD,,,,AB BC CD AD AC BD OA OC OB OD \===^==90,FOB FOD \Ð==Ð=°,FO FO =Q,FOB FOD \V V ≌,FB FD \=同理可得：,,FD ED ED EB ==,FB FD DE BE \===∴四边形FBED 是菱形．故甲正确；连接BD 交AC 于O ，∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，AO =CO ，BO =DO ，∵AF =CE ，∴OF =OE ，∴四边形FBED 是菱形．故乙正确；由甲，乙正确，可得丙的说法不正确；故选：.A 【点睛】本题考查的是菱形的判定与性质，掌握菱形的判定方法是解题的关键．11．如图，菱形ABCD 的边长为10，对角线AC ＝16，点E F 、分别是边CD BC 、的中点，连接EF 并延长与AB 的延长线相交于点G ，则EG 长为（ ）A ．13B ．10C ．12D ．5【答案】C【分析】连接对角线BD ，交AC 于点O ，证四边形BDEG 是平行四边形，得EG =BD ，利用勾股定理求出OD 的长，BD =2OD ，即可求出EG ．【详解】解：连接BD ，交AC 于点O ，如图：∵菱形ABCD 的边长为10，点E 、F 分别是边CD 、BC 的中点，∴AB ∥CD ，AB =BC =CD =DA =10，EF ∥BD ，∵AC 、BD 是菱形的对角线，AC =16，∴AC ⊥BD ，AO =CO =8，OB =OD ，又∵AB ∥CD ，EF ∥BD ，∴DE ∥BG ，BD ∥EG ，∴四边形BDEG 是平行四边形，∴BD =EG ，在△COD 中，∵OC ⊥OD ，CD =10，CO =8，∴OB =OD 6=，∴BD =2OD =12，∴EG =BD =12；故选：C ．【点睛】本题主要考查了菱形的性质，平行四边形的判定与性质及勾股定理等知识；熟练掌握菱形、平行四边形的性质和勾股定理是解题的关键．12．如图，菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，过点D 作DH AB ^于点H ，连接OH ，若3OA =，2OH =．则菱形ABCD 的面积为（ ）A ．12B ．10C ．6D ．24【答案】A【分析】由Rt △BHD 中，点O 是BD 的中点，根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，OH =2，则，BD =4，由菱形对角线的性质可得AC =6，应用菱形的面积等于两条对角线乘积的一半，即可得出答案．【详解】解：∵四边形ABCD 是菱形，∴OA OC =，OB OD =，AC BD ^，∵DH AB ^，∴90BHD Ð=°，∴2BD OH =，∵2OH =，∴4BD =，∵3OA =，∴6AC =，∴菱形ABCD 的面积11641222AC BD =´=´´=．故选：A ．【点睛】本题主要考查了菱形的性质和面积及直角三角形的性质，合理利用菱形的性质及直角三角形的性质进行计算是是解决本题的关键．13．如图，已知在菱形ABCD 中，30A Ð=°，以点,A B 为圆心，取大于12AB 的长为半径，分别作弧相交于,M N 两点，作直线MN 交AD 边于点E （作图痕迹如图所示），连结,BE BD ，若2AE =，则下列结论错误的是（ ）A ．45DBE Ð=°B ．2BE =C ．菱形ABCD 的面积为D ．2ED =-【答案】C【分析】由作法知，MN 是线段AB 的垂直平分线，根据菱形的性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理可作出判断．【详解】由作法知，MN 是线段AB 的垂直平分线∴BE =AE =2故选项B 正确∵BE =AE ，∠A =30゜∴∠EBA =∠A =30゜∵四边形ABCD 是菱形∴AB =AD∴∠ABD =∠ADB =12(180゜−∠A )=75゜∴∠DBE =∠ABD −∠EBA =45゜故选项A 正确设MN 交AB 于点F ，如图∵MN ⊥AB ，∠A =30゜∴EF =12AE =1由勾股定理得：AF ==∴AD =AB =2AF =∴ED =AD −AE ==−2故选项D 正确如图，过点D 作DG ⊥AB 于点G在Rt △ADG 中，∠A =30゜，则12DG AD ==∴6ABCD S AB DG =´==菱形从而选项C 错误故选：C ．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的作法、菱形的性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理等知识点，关键是判断题中的作图是作线段AB 的垂直平分线．14．如图，在菱形ABCD 中，,M N 分别是边,CD BC 的中点，P 是对角线BD 上一动点，已知菱形边长为5，对角线AC 长为6，则PMN V 周长的最小值是（ ）A ．11B ．10C ．9D ．8【答案】C【分析】作点M 关于BD 的对称点M ¢，连接M N ¢交BD 于点P ¢．根据轴对称、菱形的性质可知点M ¢为AD 的中点．再根据题意即可证明M N ¢经过点O ，即点O 与点P ¢重合．即当P ¢点为P 点时，PM PN +最小为M N ¢长，即此时PMN V 的周长最小．根据勾股定理可求出28BD DO ==，再利用中位线的性质即可求出MN 长，最后由M N AB ¢=，求出9N M N M ¢+=即为PMN V 的周长最小值．【详解】如图，作点M 关于BD 的对称点M ¢，连接M N ¢交BD 于点P ¢．根据对称的性质和菱形的性质可知点M ¢为AD 的中点．又∵点N 为BC 中点，∴M N ¢经过点O ，即点O 与点P ¢重合．∵P M P M ¢¢¢=，∴根据两点直线线段最短可知，当P ¢点为P 点时，PM PN +最小为M N ¢长，即此时PMN V 的周长最小．∵AC =6，∴132AO AC == ．在Rt AOD △中，4DO ===，∴28BD DO ==．∵点M ，N 分别为DC ，BC 的中点，∴142MN BD ==．∵点M ¢，N 分别为AD ，BC 的中点，∴AM BN ¢=，又∵//A N M B ¢，∴四边形ABNM ¢为平行四边形．∴5M N AB ¢==，∴549M N MN =+¢=+，即PMN V 的周长最小值为9．故选：C ．【点睛】本题考查菱形的性质，轴对称变换，三角形中位线的性质以及勾股定理．作出辅助线并理解当P ¢点为P 点时，PMN V 的周长最小是解答本题的关键．15．已知，如图，在菱形ABCD 中．根据以下作图过程及所作图形，判断下列结论中错误的是（ ）（1）分别以C ，D 为圆心，大于12CD 长为半径作弧，两弧分别交于点E ，F ；（2）作直线EF ，且直线EF 恰好经过点A ，且与边CD 交于点M ；（3）连接BM ．A．∠ABC＝60°B．如果AB＝2，那么BM＝4C．BC＝2CM D．S△ADM12=S△ABM【答案】B【分析】利用基本作图得到EF垂直平分CD，则AD＝AC，CM＝DM，∠AMD＝90°，再根据菱形的性质得到AB＝BC＝AD，则可判断△ABC为等边三角形，从而可对A选项进行判断；当AB＝2，则CM＝DM＝1，在计算出AM BM，则可对B选项进行判断；利用BC＝CD＝2CM可对C选项进行判断；利用AB∥CD，AB＝2DM和三角形面积公式可对D选项进行判断．【详解】解：由作法得EF垂直平分CD，∴AD＝AC，CM＝DM，∠AMD＝90°，∵四边形ABCD为菱形，∴AB＝BC＝AD，∴AB＝BC＝AC，∴△ABC为等边三角形，∴∠ABC＝60°，所以A选项的结论正确；当AB＝2，则CM＝DM＝1，∵∠D＝60°，∴AM在R t V ABM中，BM=，所以B选项的结论错误；∴BC＝CD＝2CM，所以C选项的距离正确；∵AB//CD，AB＝2DM，∴S△ADM12=S△ABM，所以D选项的结论正确．故选：B ．【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了线段垂直平分线的性质和菱形的性质．16．如图，菱形ABCD 的对角线的长分别为2和5，P 是对角线AC 上任一点（点P 不与点A ，C 重合），且//PE BC 交AB 于E ，//PF CD 交AD 于F ，则阴影部分的面积是（ ）A ．10B ．7.5C ．5D ．2.5【答案】D【分析】根据题意可得阴影部分的面积等于△ABC 的面积，因为△ABC 的面积是菱形面积的一半，根据已知可求得菱形的面积则不难求得阴影部分的面积．【详解】设AP 与EF 相交于O 点．∵四边形ABCD 为菱形，∴BC //AD ，AB //CD ．∵PE //BC ，PF //CD ，∴PE //AF ，PF //AE ．∴四边形AEFP 是平行四边形．∴S △POF=S △AOE ．即阴影部分的面积等于△ABC 的面积．∵△ABC 的面积等于菱形ABCD 的面积的一半，菱形ABCD 的面积=12AC •BD =5，∴图中阴影部分的面积为12×5=2.5．故选：D ．【点睛】本题主要考查了菱形的面积的计算方法，根据菱形是中心对称图形，得到阴影部分的面积等于菱形面积的一半是解题的关键．17．如图，菱形ABCD 的面积为24，对角线AG 与BD 交于点O ，E 是BC 边的中点，EF BD ^于点F ，EG AC ^于点G ，则四边形EFOG 的面积为（ ）A ．3B ．5C ．6D ．8【答案】A【分析】由菱形的性质得出OA OC =，OB OD =，AC BD ^，12S AC BD =´，证出四边形EFOG 是矩形，//EF OC ，//EG OB ，得出EF 、EG 都是OBC D 的中位线，则1124EF OC AC ==，1124EG OB BD ==，由矩形面积即可得出答案．【详解】解：Q 四边形ABCD 是菱形，12OA OC AC \==，12OB OD BD ==，AC BD ^，EF BD ^Q 于F ，EG AC ^于G ，\四边形EFOG 是矩形，//EF OC ，//EG OB ，Q 点E 是线段BC 的中点，EF \、EG 都是OBC V 的中位线，1124EF OC AC \==，1124EG OB BD ==，\矩形EFOG 的面积116EF EG AC BD =´=g ；又∵菱形ABCD 的面积为=1242AC BD =g ，∴48AC BD =g ∴矩形EFOG 的面积=12438´=．故选：A ．【点睛】本题考查了菱形的性质、矩形的判定与性质、三角形中位线定理等知识；熟练掌握菱形的性质和矩形的性质是解题的关键．18．如图，将矩形ABCD 沿对角线AC 剪开，再把△ACD 沿CA 方向平移得到△A 1C 1D 1，连结AD 1，BC 1．若∠ACB ＝30°，AB ＝1，CC 1＝x ，△ACD 与△A 1C 1D 1重叠部分的面积为s ，则下列结论：①△A 1AD 1≌△CC 1B ②当x ＝1时，四边形ABC 1D 1是菱形 ③当x ＝2时，△BDD 1为等边三角形 ④s x ﹣2）2（0＜x ＜2），其中正确的有（ ）A ．1 个B ．2 个C ．3 个D ．4 个【答案】C【分析】根据平移前后两图形全等得到∠DAC =∠111D A C ,根据平移的性质得到C 1C =A 1A ，根据矩形的性质得到A 1D =BC ，再根据SAS 证明两三角形全等．①正确；根据30°的直角三角形的性质可得△ABC 1是等边三角形，再由平移的性质得出四边形ABC 1D 1是菱形．②正确；根据当x ＝2时，点C 1与点A 重合，根据平移的性质,CC 1=DD 1=2,矩形的对角线相等，BD =AC ，证明BD ＝DD 1，∠BDD 1＝60°得出△BDD 1为等边三角形．③正确；利用含30°的直角三角的性质得出AC 1，再根据三角形的面积公式计算即可判定④错误；【详解】解：∵AC ＝A 1C 1，∴AA 1＝CC 1∵BC ＝D 1A 1，∠AA 1D 1＝∠BCC 1，∴△A 1AD 1≌△CC 1B ，故①正确，在Rt △ABC 中，∵∠ACB ＝30°，AB ＝1，∴AC ＝A 1C 1＝2，当x ＝1时，AC 1＝CC 1＝1，∴AC 1＝AB ，∵∠BAC ＝60°，∴△ABC 1是等边三角形，同法可证：△AD 1C 1是等边三角形，∴AB ＝BC 1＝AC 1＝AD 1＝C 1D 1，∴四边形ABC 1D 1是菱形，故②正确，当x ＝2时，BD ＝AC ＝2，DD 1＝2，∠BDD 1＝60°，∴△BDD 1是等边三角形，故③正确，当0＜x ＜2时，S ＝12 •12 （2﹣x ）（2﹣x （2﹣x ）2，故④错误．故选：C ．【点睛】本题考查矩形的性质、等边三角形的判定和性质、菱形的判定、平移变换等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．19．如图，四边形ABCD 为菱形，70ABC Ð=°，延长BC 到E ，在DCE Ð内作射线CM ，使得15ECM Ð=°，过点D 作DF CM ^，垂足为F ，若DF =，则对角线BD 的长为______．（结果保留根号）【答案】【分析】先由菱形的性质得出70DCE Ð=°，求得55DCF Ð=°，再根据直角三角形两锐角互余得35CDF Ð=° ,连接AC 交BD 于点O ，根据菱形的性质得90DOC Ð=°，35BDC Ð=°，根据AAS 证明CDO CDF D @D 可得DO DF ==，从而可求出BD =．【详解】解：连接AC ，如图，∵四边形ABCD 是菱形，∴AB //CD ，90DOC Ð=°，BD =2DO∴70DCE ABC Ð=Ð=°∵15ECM Ð=°∴55DCM Ð=°∵DF CM^∴35CDF Ð=°∵四边形ABCD 是菱形，∴113522CDB ADC ABC Ð=Ð=Ð=° ∴CDF CDO Ð=Ð在CDO D 和CDF D 中，90CDO CDF COD CFD CD CD Ð=ÐìïÐ=Ð=°íï=î∴CDO D ≌CDFD∴DO DF ==∴2BD DO ==故答案为：【点睛】此题主要考查了菱形的性质以及全等三角形的判定与性质，连接AC 并证明CDO D ≌CDF D 是解答此题的关键．20．如图，菱形ABCD 中，60ABC Ð=°，边长为3，P 是对角线BD 上的一个动点，则12BP PC +的最小值是______．【分析】求两条线段之和的最小值问题，通常转化为两点之间的距离，在平面中，两点间的距离最短．【详解】解：如图所示：过点P 作PE AB ^交AB 于点E ，过点C 作CF AB ^交AB 于点F ，Q 四边形ABCD 是菱形，60ABC Ð=°，∴∠ABP =30°，12PE BP \=，12BP PC PE PC \+=+，由垂线段最短可知，PE PC +的最小值为CF 的长，sin 3sin 60CF BC ABC \=´Ð=´°=即12BP PC +，【点睛】本题考查了动点中的最短路径问题，解题的关键是：通过等量代换，转化为两点之间的距离．21．如图，四边形ABCD 是菱形，对角线AC ，BD 相交于点O ，8AC =，6BD =，点E 是CD 上一点，连接OE ，若OE AE =，则OE 的长为______．【答案】52【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分求出OA ，OD ，AC ⊥BD ，再利用勾股定理列式求出AD ，然后根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，求解即可．【详解】解：∵菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，∴OD ＝12BD ＝12×6＝3，OC ＝12AC ＝12×8＝4，AC ⊥BD ，由勾股定理得，CD 5=，∵OE ＝AE ，∴∠DAC ＝∠EOA ，∵四边形ABCD 是菱形，∴AD ＝CD ，∴∠DCA ＝∠DAC ，∴∠EOA ＝∠DCA ，∴OE //CD ，∵AO ＝OC ，∴OE 是△ADC 的中位线，∴OE ＝12CD ＝12×5＝52，故答案是：52．【点睛】本题考查了菱形的性质，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，勾股定理，推出OE 是△ADC 的中位线，是解题的关键．22．如图，在菱形ABCD 中，E ，F 是对角线AC 上的两点，且AE CF =．（1）求证：ABE △≌CDF V ；（2）证明四边形BEDF 是菱形．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】(1)利用SAS 证明即可；(2)从对角线的角度加以证明即可.【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 为菱形，∴AB CD =，且BAE DCF Ð=Ð，又∵AE CF =，∴ABE △≌CDF V ．（2）证明：连接BD 交AC 于点O ，∵四边形ABCD 为菱形，∴AC BD ^，且O 为AC ，BD 中点，又∵AE CF =，∴EO FO =∴BD 与EF 互相垂直且平分，故四边形BEDF 是菱形．【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，三角形的全等判定和性质，熟练掌握三角形全等判定的基本原理,菱形判定基本方法和性质是解题的关键．23．如图，在菱形ABCD 中，对角线AC BD 、相交于点O ，8cm,60AB ACB =Ð=°，点M 从点A 出发沿AD 方向以1cm/s 的速度匀速运动，至点D 时停止运动，连接MO 并延长交BC 于点N ，设点M 的运动时间为s t ．（1）求证：DM BN =；（2）当四边形ABOM 的面积为2时，求t 的值；（3）求当t 为何值时，AOM V 的外心在它的边上．【答案】（1）见解析；（2）4；（3）2或8【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 为菱形，∴,//OB OD AD BC =，∴MDO NBO Ð=Ð．又∵DOM BON Ð=Ð，∴()DOM BON ASA V V ≌，∴DM BN =；（2）解：如解图①，分别过点A 、O 作BC AD 、的垂线，垂足分别为点E 、F ，例题解图①∵8cm,60,AB ACB AB BC =Ð=°=，∴ABC V 是等边三角形，∴AE =，∴12OF AE ==．∵212AOB MOA ABC MOA ABOM S S S S S =+=+=V V V V 四边形，∴111222BC AE AM OF ´×+×=即t =4t =；（3）解：∵AOM V 的外心在它的边上，∴AOM V 为直角三角形，分以下两种情况讨论：①如解图②，当90AMO Ð=°时， AOM V 的外心在AO 上，例题解图②∵8cm,60AB ACB =Ð=°，∴1 4 cm 2AO AB ==，由（2）可知MO =，∴AM =，∴()2 t s =；②当90AOM Ð=°时， AOM V 的外心在AM 上，∵四边形ABCD 为菱形，∴AC BD ^，∴90AOD Ð=°，∴此时点M 运动到点D 处，∴()8 t s =；综上所述，当t 为2s 或8s 时， AOM V 的外心在它的边上．24．如图，ABCD Y 的对角线AC 、BD 相交于点O ，过点O 作EF AC ^，分别交AB 、DC 于点E 、F ，连接AF 、CE ．（1）若2OE =，求EF 的长；（2）判断四边形AECF 的形状，并说明理由．【答案】（1）4；（2）菱形，理由见解析【分析】（1）根据平行四边形的性质得//AB CD ，OD OB =，再证明DOF BOE ≌△△，进而即可得到答案；（2）先证明四边形AECF 是平行四边形，再证明平行四边形AECF 是菱形．【详解】（1）∵四边形ABCD 为平行四边形，∴//AB CD ，OD OB =，∵//AB CD ，∴DFO BEO Ð=Ð，FDO EBO Ð=Ð．∴DOF BOE ≌△△，∴OE OF =，∵2OE =，∴4EF =；（2）四边形AECF 是菱形，理由如下：∵ABCD Y 的对角线AC 、BD 相交于点O ，∴OA OC =，又∵OE OF =，∴四边形AECF 是平行四边形，∵EF AC^∴平行四边形AECF 是菱形．【点睛】本题主要考查平行四边形的性质以及菱形的判定定理，熟练掌握平行四边形的性质以及菱形的判定定理是解题的关键．25．四边形ABCD 为菱形，BD 为对角线，在对角线BD 上任取一点E ，连接CE ，把线段CE 绕点C 顺时针旋转得到线段CF ，使得ECF BCD Ð=Ð，点E 的对应点为点F ，连接DF ．（1）如图1，求证：BE DF =；（2）如图2，若2DFC DBC Ð=Ð，在不添加任何辅助线的前提下，请直接写出五对线段，使每对线段的和等于BD （BE 和DE 除外）．【答案】（1）见解析；（2）,BE BC ；,BE CF ；,DF DE ；,DF CE ；,DF CF【分析】（1）证明()BCE DCF SAS D @D ，可得结论．（2）证明ED EC =，结合全等三角形的性质，可得结论．【详解】解：（1）证明：Q 四边形ABCD 为菱形，BC CD \=，Q 把线段CE 绕点C 顺时针旋转得到线段CF ，CE CF \=，ECF BCD Ð=ÐQ ，BCE DCF \Ð=Ð，在BCE D 与DCF D 中，BC CD BCE DCF CE CF =ìïÐ=Ðíï=î，()BCE DCF SAS \D @D ，BE DF \=．（2）BCE DCF D @D Q ，BE DF \=，BEC DFC Ð=Ð，CB CD =Q ，CBD CDE \Ð=Ð，2DFC CBD Ð=ÐQ ，2BEC CDE \Ð=Ð，CEB CDE ECD Ð=Ð+ÐQ ，EDC ECD \Ð=Ð，ED EC CF \==，BD BE EC BE CF DF DE DF CE DF CF \=+=+=+=+=+．【点睛】本题考查菱形的性质，旋转变换，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．26．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使EF＝DE，连接CF，BF．（1）求证：四边形CFBD是菱形；（2）连接AE，若CF，DF＝2，求AE的长．【答案】（1）见解析；（2【分析】（1）证明四边形CFBD是平行四边形，再证明∠1＝90°，即可判定四边形CFBD是菱形．（2）根据菱形的性质求得EF＝1，再由勾股定理求得CE＝3，由三角形的中位线定理可得AC＝2，再由勾股定理即可求得AE=【详解】（1）证明：∵E是边BC的中点，∴BE＝EC，∵DE＝EF，BE＝EC，∴四边形CFBD是平行四边形，∵D是AB边中点，E是BC中点，∴DE∥AC，∴∠1＝∠ACB＝90°，∴四边形CFBD是菱形．（2）∵四边形CFBD是菱形，∴∠CEF＝90°．∵DF＝2，∴EF＝1，∵CF=，∴由勾股定理得，CE＝3，∵D，E分别是边AB，BC的中点，DE＝1，∴AC＝2，∵∠ACB＝90°，由勾股定理得AE=【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练运用相关知识是解决问题的关键．27．如图，已知菱形ABCD 中，分别以C 、D 为圆心，大于12CD 的长为半径作弧，两弧分别相交于M 、N 两点，直线MN 交CD 于点F ，交对角线AC 于点E ，连接BE 、DE ．（1）求证：BE CE =；（2）若72ABC Ð=°，求ABE Ð的度数．【答案】（1）见解析；（2）18°．【分析】（1）根据作图可知直线MN 是线段CD 的垂直平分线，根据垂直平分线的性质可得CE=DE ，根据菱形的性质，利用SAS 可证明BCE V ≌DCE V ，可得BE=DE ，即可得结论；（2）根据菱形及等腰三角形的性质可得BAC ACB Ð=Ð=54°，根据BE CE =可得54EBC ACB Ð=Ð=°，根据角的和差关系即可得答案．【详解】（1）由作图可知直线MN 是线段CD 的垂直平分线，∴CE DE=∵四边形ABCD 是菱形∴ACB ACD Ð=∠，BC CD=∵CE CE=∴BCE V ≌DCEV ∴BE DE=∴BE CE=（2）∵四边形ABCD 是菱形∴AB BC=∴BAC ACB Ð=Ð，∴180180725422ABC ACB -Ð-Ð===°°°°∵BE CE =∴54EBC ACB Ð=Ð=°∴725418ABE ABC EBC Ð=Ð-Ð=-=°°°．【点睛】本题考查菱形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质及线段垂直平分线的性质，熟练掌握相关判定定理及性质是解题关键．28．问题：如图，在ABCD Y 中，8AB =，5AD =，DAB Ð，ABC Ð的平分线AE ，BF 分别与直线CD 交于点E ，F ，求EF 的长．答案：2EF =．探究：（1）把“问题”中的条件“8AB =”去掉，其余条件不变．①当点E 与点F 重合时，求AB 的长；②当点E 与点C 重合时，求EF 的长．（2）把“问题”中的条件“8AB =，5AD =”去掉，其余条件不变，当点C ，D ，E ，F 相邻两点间的距离相等时，求AD AB的值．【答案】（1）①10；②5；（2）13，23，2【分析】（1）①利用平行四边形的性质和角平分线的定义先分别求出5DE AD ==，5BC CF ==，即可完成求解；②证明出EF CD =即可完成求解；（2）本小题由于E 、F 点的位置不确定，故应先分情况讨论，再根据每种情况，利用 DE AD =，CF CB =以及点 C ，D ，E ，F 相邻两点间的距离相等建立相等关系求解即可．【详解】（1）①如图1，四边形ABCD 是平行四边形，//AB CD \，DEA EAB \Ð=Ð．AE ∵平分DAB Ð，DAE EAB \Ð=Ð．DAE DEA \Ð=Ð．5DE AD \==．同理可得：5B C C F ==．Q 点E 与点F 重合，10AB CD \==．②如图2，点E 与点C 重合，同理可证5DE DC AD ===，∴▱ABCD 是菱形，5CF BC ==Q ，\点F 与点D 重合，5EF DC \==．（2）情况1，如图3，可得AD DE EF CF ===，13AD AB \=．情况2，如图4，同理可得，AD DE BC CF ==，，又DF FE CE ==Q ，23AD DE AB AB \==．情况3，如图5，由上，同理可以得到AD DE CB CF ==，，又FD DC CE ==Q ，2AD DE AB CD\==．综上：AD AB 的值可以是13，23，2．【点睛】本题属于探究型应用题，综合考查了平行四边形的性质、角平分线的定义、菱形的判定与性质等内容，解决本题的关键是读懂题意，正确画出图形，建立相等关系求解等，本题综合性较强，要求学生有较强的分析能力，本题涉及到的思想方法有分类讨论和数形结合的思想等．29．综合与实践问题情境在综合与实践课上，老师出示了这样一个问题，如图①，点P 是BC 的中点，分别以BP 、CP 为底边在BC 的同侧作等腰ABP △和等腰DCP V ，且120BAP CDP Ð=Ð=°，连接AC 、BD 交于点O ．求证：AC DB =．解决问题（1）请你解决老师提出的问题；合作交流创新小组受老师提出问题的启发继续进行深入探究．将图①中的DCP V 绕着点P 按顺时针方向旋到如图②所示的位置，连接OP ，创新小组发现AOP DOP Ð=Ð；（2）请你证明创新小组发现的结论；（3）如图③，将图①中的DCP V 绕着点P 按顺时针方向旋转至//AP BD 停止旋转．在不增加字母的情况下．请你选择已标注字母的四个点为顶点的四边形是特殊四边形，请你写出该四边形的名称，并说明理由．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）四边形AODP 是菱形（答案不唯一），理由见解析【详解】（1）证明：120BAP Ð=°Q ，ABP △是等腰三角形，BAP \Ð是等腰三角形的顶角．AB AP =∴．1801801203022BAP ABP APB °-а-°\Ð=Ð===°．同理得DP DC =，30DPC DCP Ð=Ð=°．∵P 是BC 的中点，BP CP \=．()ABP DCP ASA \△≌△．.AB DC AP DP \===180APC APB Ð+Ð=°Q ，18030150APC \Ð=°-°=°，同理得150DPB Ð=°，.APC DPB \Ð=Ð()APC DPB SAS \△≌△．AC DB \=；（2）证明：APB DPC Ð=ÐQ ，.APB BPC DPC BPC \Ð+Ð=Ð+Ð.APC DPB \Ð=Ð又.APC DPB \Ð=Ð，CP BP =，()APC DPB SAS \△≌△．.APC DPB S S \=△△如解图①，过点P 分别作PE AC ^，PF BD ^．垂足分别是E ，F ，1122AC PE DB PF \×=×，PE PF \=．OP ∴平分AOD Ð．即AOP DOP Ð=Ð；图①（3）解：四边形AODP 是菱形．（答案不唯一）理由如下：如解图②，记BD 与CP 的交点为L ，AP//BD Q ，AB PD =，120BAP Ð=°，60ABD PDB \Ð=Ð=°，120APD Ð=°，30CPD Ð=°Q ，180180603090PLD PDB CPD \Ð=°-Ð-Ð=°-°-°=°，即CP BD ^，CP AP \^，即90APC Ð=°，180903060CAP \Ð=°-°-°=°，60120180CAP APD \Ð+Ð=°+°=°，。
(完整版)菱形性质经典练习题(详细答案)
菱形性质经典练习题一．选择题（共4小题）1．（2011•衡阳）如图所示，在平面直角坐标系中，菱形MNPO的顶点P的坐标是（3，4），则顶点M、N的坐标分别是（）A．M（5，0），N（8，4） B．M（4，0），N（8，4） C．M（5，0），N（7，4）D．M（4，0），N（7，4）2．（2010•肇庆）菱形的周长为4，一个内角为60°，则较短的对角线长为（）A．2 B．C．1 D．3．（2010•襄阳）菱形的周长为8cm，高为1cm，则该菱形两邻角度数比为（）A．3：1 B．4：1 C．5：1 D．6：14．（2010•宜昌）如图，菱形ABCD中，AB=15，∠ADC=120°，则B、D两点之间的距离为（）A．15 B．C．7.5 D．二．填空题（共15小题）5．（2011•铜仁地区）已知菱形的两条对角线长分别为2cm，3cm，则它的面积是_________cm2．6．（2011•綦江县）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC=8，BD=6，过点O作OH丄AB，垂足为H，则点0到边AB的距离OH=_________．7．（2011•南京）如图，菱形ABCD的边长是2cm，E是AB的中点，且DE丄AB，则菱形ABCD的面积为cm2．6题图7题图8题图9题图8．（2011•鞍山）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB=13，AC=10，过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E，则△BDE的周长为_________．9．（2010•嘉兴）如图，已知菱形ABCD的一个内角∠BAD=80°，对角线AC、BD相交于点O，点E在AB上且BE=BO，则∠BEO=_________度．10．（2009•江西）如图，一活动菱形衣架中，菱形的边长均为16cm，若墙上钉子间的距离AB=BC=16cm，则∠1= _________度．10题图12题13题图14题图11．（2009•朝阳）已知菱形的一个内角为60°，一条对角线的长为，则另一条对角线的长为_________．12．（2009•安顺）如图所示，两个全等菱形的边长为1米，一个微型机器人由A点开始按A﹣＞B﹣＞C﹣＞D﹣＞E﹣＞F﹣＞C﹣＞G﹣＞A的顺序沿菱形的边循环运动，行走2009米停下，则这个微型机器人停在_________点．13．（2008•长沙）如图，P为菱形ABCD的对角线上一点，PE⊥AB于点E，PF⊥AD于点F，PF=3cm，则P点到AB的距离是_________cm．14．（2006•云南）已知：如图，菱形ABCD中，∠B=60°，AB=4，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为_________．15．（2005•黄石）已知菱形的周长为40cm，两条对角线之比为3：4，则菱形的面积为_________cm2．16．（2005•新疆）已知菱形的周长是52cm，一条对角线长是24cm，则它的面积是_________cm2．17．（2004•贵阳）如图，菱形ABCD的对角线的长分别为2和5，P是对角线AC上任一点（点P不与点A、C重合），且PE∥BC交AB于E，PF∥CD交AD于F，则阴影部分的面积是_________．17题图18题图19题图18．（2003•温州）如图：菱形ABCD中，AB=2，∠B=120°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值是_________．19．如图：点E、F分别是菱形ABCD的边BC、CD上的点，且∠EAF=∠D=60°，∠FAD=45°，则∠CFE=_________度．三．解答题（共7小题）20．（2011•南昌）如图，四边形ABCD为菱形，已知A（0，4），B（﹣3，0）．（1）求点D的坐标；（2）求经过点C的反比例函数解析式．21．（2011•广安）如图所示，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，DE∥AC交BC的延长线于点E．求证：DE=BE．22．（2010•益阳）如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，AB=4，O为对角线BD的中点，过O点作OE⊥AB，垂足为E．（1）求∠ABD的度数；（2）求线段BE的长．23．（2010•宁洱县）如图，四边形ABCD是菱形，BE⊥AD、BF⊥CD，垂足分别为E、F．（1）求证：BE=BF；（2）当菱形ABCD的对角线AC=8，BD=6时，求BE的长．24．（2009•贵阳）如图，在菱形ABCD中，P是AB上的一个动点（不与A、B重合），连接DP交对角线AC于E 连接BE．（1）证明：∠APD=∠CBE；（2）若∠DAB=60°，试问P点运动到什么位置时，△ADP的面积等于菱形ABCD面积的，为什么？25．（2006•大连）已知：如图，四边形ABCD是菱形，E是BD延长线上一点，F是DB延长线上一点，且DE=BF．请你以F为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新的线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等（只须证明一组线段相等即可）．（1）连接_________；（2）猜想：_________=_________；（3）证明：（说明：写出证明过程的重要依据）26．如图所示，在矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm、点P从点D出发向点A运动，同时点Q从点B出发向点C 运动，点P、Q的速度都是1cm/s．（1）在运动过程中，四边形AQCP可能是菱形吗？如果可能，那么经过多少秒后，四边形AQCP是菱形？（2）分别求出菱形AQCP的周长、面积．答案与评分标准一．选择题（共4小题）1．（2011•衡阳）如图所示，在平面直角坐标系中，菱形MNPO的顶点P的坐标是（3，4），则顶点M、N的坐标分别是（）A．M（5，0），N（8，4） B．M（4，0），N（8，4） C．M（5，0），N（7，4） D．M（4，0），N（7，4）考点：菱形的性质；坐标与图形性质。
《菱形的性质》练习及答案
《菱形的性质》练习满分100分 80分过关 限时30分钟一．选择题（共4小题，每题10分，共40分）1．菱形的两条对角线的分别为60cm 和80cm ，那么边长是( )A ．60cmB ．50cmC ．40cmD ．80cm2．若菱形的一条边长为5cm ，则这个菱形的周长为( )A ．20cmB ．18cmC ．16cmD ．12cm3．菱形的对角线不一定具有的性质是( )A ．互相平分B ．互相垂直C ．每一条对角线平分一组对角D ．相等4．如图，已知菱形ABCD 对角线AC 、BD 的长分别为6cm 、8cm ，AE BC ⊥于点E ，则AE 的长是( )A ．53B ．25C ．245D ．485二．填空题（共4小题，每题10分，共40分）5．如图，在菱形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，若8AC =，6BD =，则菱形ABCD 的面积为 ．6．已知，菱形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，且60B EAF ∠=∠=︒，23BAE ∠=︒．则FEC ∠= 度．7．如图，菱形OABC 的顶点C 的坐标为(3,4)，顶点A 在x 轴的正半轴上．反比例函数(0)k y x x=>的图象经过顶点B ，则k 的值为 ．8．如图1，是一个三节段式伸缩晾衣架，如图2，是其衣架侧面示意图．MN 为衣架的墙体固定端，A 为固定支点，B 为滑动支点，四边形DFGI 和四边形EIJH 是菱形，且AF BF CH DF EH ====．点B 在AN 上滑动时，衣架外延钢体发生角度形变，其外延长度（点A 和点C 间的距离）也随之变化，形成衣架伸缩效果．伸缩衣架为初始状态时，衣架外延长度为42cm ．当点B 向点A 移动8cm 时，外延长度为90cm ．如图3，当外延长度为120cm 时，则BD 和GE 的间距PQ 长为 cm ．三．解答题（共2小题，每题10分，共20分）9．如图，菱形ABCD 的对角线AC 和BD 交于点O ，10AB =，60ABC ∠=︒，求AC 和BD 的长．10．【猜想】如图1，在平行四边形ABCD 中，点O 是对角线AC 的中点，过点O 的直线分别交AD ．BC 于点E ．F ．若平行四边形ABCD 的面积是8，则四边形CDEF 的面积是 ．【探究】如图2，在菱形ABCD 中，对角线相交于点O ，过点O 的直线分别交AD ，BC 于点E ，F ，若5AC =，10BD =，求四边形ABFE 的面积．【应用】如图3，在Rt ABC ∆中，90BAC ∠=︒，延长BC 到点D ，使DC BC =，连结AD ，若3AC =，210AD =ABD ∆的面积是 ．参考答案与试题解析一．选择题（共4小题）【分析】由菱形的性质以及两条对角线长可求出其边长．【解答】解：Q 菱形的两条对角线长分别为60cm 和80cm ，∴22304050+=，故选：B ．【点评】此题考查了菱形的性质与勾股定理．此题比较简单，注意掌握菱形的面积的求解方法是解此题的关键．【分析】根据菱形的四条边都相等，现在已知其一条边长为5cm，即可求出菱形的周长．【解答】解：Q菱形的四条边都相等，∴其边长都为5cm，∴菱形的周长4520cm=⨯=．故选：A．【点评】本题考查菱形的性质，属于基础题，比较简单，掌握菱形的四条边相等是解题关键．【分析】根据菱形的对角线性质，即可得出答案．【解答】解：Q菱形的对角线互相垂直平分，且每一条对角线平分一组对角，∴菱形的对角线不一定具有的性质是相等；故选：D．【点评】此题主要考查了菱形的对角线性质，熟记菱形的对角线互相垂直平分，且每一条对角线平分一组对角是解题的关键．【分析】首先利用菱形的性质结合勾股定理得出BC的长，再利用三角形面积求出答案．【解答】解：Q四边形ABCD是菱形，6AC cm=，8BD cm=，3AO CO cm∴==，4BO DO cm==，90BOC∠=︒，5()BC cm∴==，AE BC BO AC∴⨯=⨯故524AE=，解得：245AE=．故选：C．【点评】此题主要考查了菱形的性质以及勾股定理，正确得利用三角形面积求出AE的长是解题关键．二．填空题（共4小题）【分析】由菱形面积公式即可得出答案．【解答】解：Q四边形ABCD是菱形，AC BD∴⊥，8AC=Q，6BD=，∴菱形ABCD的面积为118624 22AC BD⨯=⨯⨯=；故答案为：24．【点评】本题考查了菱形的性质；熟记菱形面积公式是解题的关键．【分析】先连接AC ，证明ABE ACF ∆≅∆，然后推出AE AF =，证明AEF ∆是等边三角形，最后运用三角形外角性质，求出CEF ∠的度数．【解答】解：连接AC ，Q 四边形ABCD 是菱形，AB BC CD AD ∴===，60B EAF ∠=∠=︒Q ，ABC ∴∆是等边三角形，120BCD ∠=︒，AB AC ∴=，60B ACF ∠=∠=︒，BAE EAC FAC EAC ∠+∠=∠+∠Q ，BAE FAC ∴∠=∠，且AB AC =，B ACF ∠=∠()ABE ACF ASA ∴∆≅∆，AE AF ∴=，又60EAF D ∠=∠=︒Q ，AEF ∴∆是等边三角形，60AEF ∴∠=︒，又83AEC B BAE ∠=∠+∠=︒，836023CEF ∴∠=︒-︒=︒．故答案为：23【点评】本题主要考查菱形的性质、等边三角形的判定以及三角形的内角和定理的综合应用，解答本题的关键是正确作出辅助线，构造全等三角形．【分析】根据点C 的坐标以及菱形的性质求出点B 的坐标，然后利用待定系数法求出k 的值．【解答】解：(3,4)C Q ，22345OC ∴=+=，5CB OC ∴==，则点B 的横坐标为358+=，故B 的坐标为：(8,4)，将点B 的坐标代入k y x =得， 48k =， 解得：32k =．故答案为：32．【点评】本题考查了菱形的性质以及利用待定系数法求反比例函数解析式，解答本题的关键是根据菱形的性质求出点B 的坐标．【分析】三节段式伸缩晾衣架，相当于三个菱形构成，前半个和后半个组成一个整体，中间共有两个．本题需用到菱形的性质和勾股定理，根据横向对角线的长度等先计算出菱形的边长，然后根据菱形的面积公式容易求出结果．【解答】解：如图，作FK AB ⊥于K ，设2AB xcm =，由题意，7FK cm =，当(28)AB x cm =-时，15FK cm =．则有222227(4)15AF x x =+=-+，24()x cm ∴=，2272425()AF cm ∴=+=，如图，当20OF =时，在Rt DFO ∆中，22252015()OD cm =-=，PQ GI ⊥Q ，∴12FI DG DF PQ =g g g ， 14030224()25PQ cm ⨯⨯∴==．故答案为：24．【点评】本题考查菱形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．三．解答题（共2小题）【分析】依据菱形的性质可得Rt ABO ∆中30ABO ∠=︒，则可得AO 和BO 长，根据2AC AO =和2BD BO =可得结果．【解答】解：Q 四边形ABCD 是菱形，AC BD ∴⊥，1302ABD ABC ∠=∠=︒．………………………………………………4分 在Rt ABO ∆中，10AB =，5AO ∴=，BO =6分210AC AO ∴==，2BD BO ==10分【点评】本题主要考查了菱形的性质，解决菱形中线段的长度问题一般转化为在直角三角形中利用勾股定理求解．【分析】猜想：首先根据平行四边形的性质可得//AD BC ，OA OC =．根据平行线的性质可得EAO FCO ∠=∠，AEO CFO ∠=∠，进而可根据AAS 定理证明AEO CFO ∆≅∆，再根据全等三角形的性质可得结论；探究：根据菱形的性质得到//AD BC ，1 2.52AO CO AC ===，152BO BD ==，根据全等三角形的判定定理得到AOE COF ∆≅∆，由于AC BD ⊥，于是得到结果；应用：延长AC 到E 使3CE AC ==，根据全等三角形的判定定理得到ABC CDE ∆≅∆，由全等三角形的性质得到90E BAC ∠=∠=︒，根据勾股定理得到DE =，即可得到结论．【解答】解：猜想：Q 四边形ABCD 是平行四边形，//AD BC ∴，OA OC =．EAO FCO ∴∠=∠，AEO CFO ∠=∠，在AOE ∆和COF ∆中，EAO FCO AEO CFO AO CO ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AEO CFO AAS ∴∆≅∆，∴四边形CDEF 的面积12ACD S ABCD ∆==Y 的面积4=； 故答案为：4；…………………………………………………………………………2分探究：Q四边形ABCD是菱形，//AD BC ∴，12.52AO CO AC==，152BO BD==，90AOD∠=︒，……………………4分2255AB AC BO OA∴==+=，OAE OCF∠=∠，OEA OFC∠=∠，…………………6分在AOE∆于COF∆中，OAE OCFAEO CFOAO CO∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AOE COF AAS∴∆≅∆，……………………………………………………………………7分AC BD⊥Q，5525511522ABCABFES S AC BO∆∴==⋅=⨯⨯=四边形．…………………………………8分应用：延长AC到E使3CE AC==，在ABC∆与CDE∆中，AC CEACB DCEBC CD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABC CDE SAS∴∆≅∆，90E BAC∴∠=∠=︒，222DE AD AE∴=-=，1162622ABD ADES S AE DE∆∆∴===⨯⨯=g．故答案为：6 ………………………………………………………………………10分【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，菱形的性质，图形面积的计算，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．。
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菱形性质习题精选一．填空题（共26小题）1．（2015•温州模拟）如图，在菱形ABCD中，点E是AB上的一点，连接DE交AC于点O，连接BO，且∠AED=50°，则∠CBO=度．2．（2015•河北模拟）如图，在四边形ABCD中，AB=6，∠ABC=90°，E在CD上，连接AE，BE，∠DAE=75°，若四边形ABED是菱形，则EC的长度为．3．（2015•湖州模拟）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，其中AC=8，BD=6，以OC、OB为边作矩形OBEC，矩形OBEC的对角线OE、BC交于点F，再以CF、FE为边作第一个菱形CFEG，菱形CFEG的对角线FG、CE交于点H，如此继续，得到第n个菱形的周长等于．4．（2015•彭州市校级模拟）己知菱形相邻两角的度数比为1：5，且它的面积为8，则这个菱形的周长为．5．（2015•温州模拟）如图，在菱形ABCD中，∠A=45°，DE⊥AB，垂足为E，若CD=4cm，则菱形ABCD的面积是．6．（2015•广东模拟）如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，H为AD边中点，菱形ABCD的周长为40，则OH的长等于．7．（2014•宁夏）菱形ABCD中，若对角线长AC=8cm，BD=6cm，则边长AB=cm．8．（2014•宜宾）菱形的周长为20cm，两个相邻的内角的度数之比为1：2，则较长的对角线长度是cm．9．（2014•大连）如图，菱形ABCD中，AC、BD相交于点O，若∠BCO=55°，则∠ADO=．10．（2014•宿迁）如图，在平面直角坐标系xOy中，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（﹣3，0），（2，0），点D在y轴上，则点C的坐标是．11．（2014•眉山）如图，菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，过点E作EG⊥AD 于G，连接GF．若∠A=80°，则∠DGF的度数为．12．（2014春•鄂州期末）如图在菱形ABCD中，∠B=∠EAF=60°，∠BAE=20°，则∠CEF 的大小为．13．（2014•贵州模拟）如图，在菱形ABCD中，∠B=60°，AB=2，E、F分别是BC、CD 的中点，连接AE、EF、AF，则△AEF的周长为．14．（2014•江都市二模）已知菱形ABCD的对角线相交于点O，AC=6cm，BD=8cm，则菱形的高AE为cm．15．（2014•简阳市模拟）如图，边长为a的正方形发生形变后成为边长为a的菱形，如果这个菱形的一组对边之间的距离为h，记=k，我们把k叫做这个菱形的“形变度”．若变形后的菱形有一个角是60°，则形变度k=．16．（2014•秦淮区一模）如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，BC=1cm，以DC为边在菱形的外部作正三角形CDE，连接AE，则AE=cm．17．（2014•惠安县二模）如图，菱形ABCD的边长是2cm，∠A=60°，点E、F分别是边AB、CD上的动点，则线段EF的最小值为cm．18．（2013秋•海陵区期末）如图，将菱形纸片ABCD折叠，使点A恰好落在菱形的对称中心O处，折痕为EF．若菱形ABCD的边长为4cm，∠A=120°，则EF=cm．19．（2014春•仙游县校级期末）如图，以菱形AOBC的顶点O为原点，对角线OC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，若OB=，点C的坐标为（4，0），则点A的坐标为．20．（2014春•临沂期末）如图，在菱形ABCD中，AB=13cm，BC边上的高AH=5cm，那么对角线AC的长为cm．21．（2014春•泰兴市校级期末）如图，菱形ABCD的周长为16cm，BC的垂直平分线EF 经过点A，则对角线BD长为cm．22．（2014春•建湖县期末）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E在BD的延长线上，且△EAC是等边三角形，若AC=8，AB=5，则ED的长等于．23．（2014春•玄武区期末）如图，在菱形ABCD中，BE⊥AD，垂足为E，且E为AD为中点．则∠ADC=°．24．（2014春•定陶县期末）如图，菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，当P移动到AC的中点时，则PE+PB的值是．25．（2014春•顺义区期末）如图，菱形ABCD中，∠BAD=120°，CF⊥AD于点E，且BC=CF，连接BF交对角线AC于点M，则∠FMC=度．26．（2014秋•武进区期中）如图，依次连结第一个矩形各边的中点得到第一个菱形，再依次连结所得菱形各边的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去．已知第一个矩形的面积为2，则第2013个菱形的面积为．二．解答题27．（2014•缙云县模拟）如图，四边形ABCD是菱形，CE⊥AB交AB延长线于E，CF⊥AD 交AD延长线于F，求证：CE=CF．28．（2014•江都市模拟）如图，在菱形ABCD中，点M是对角线AC上一点，且MC=MD．连接DM并延长，交边BC于点F．（1）求证：∠1=∠2；（2）若DF⊥BC，求证：点F是边BC的中点．29．（2014春•宜春期末）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=5，∠C=30°．点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（t＞0）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE、EF．（1）求证：AE=DF；（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由．30．（2014春•高淳县校级期末）如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠B=60°，点P、Q分别是边BC、CD上的动点（不与端点重合），且BP=CQ．（1）图中除了△ABC与△ADC外，还有哪些三角形全等，请写出来；（2）点P、Q在运动过程中，四边形APCQ的面积是否变化，如果变化，请说明理由；如果不变，请求出面积；（3）当点P在什么位置时，△PCQ的面积最大，并请说明理由．31．（2013秋•东海县月考）如图，在菱形ABCD中，点E是AD边的中点，点M是AB边上的一个动点（不与点A重合），延长ME交CD的延长线于点N，连接MD，AN．（1）求证：四边形AMDN是平行四边形．（2）若∠DAB=60°，当点M位于何处时，四边形AMDN是矩形？并说明理由．（请在备用图中画出符合题意的图形）32．（2012秋•鼓楼区校级期末）如图所示，在矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm、点P从点D出发向点A运动，同时点Q从点B出发向点C运动，点P、Q的速度都是1cm/s．（1）在运动过程中，四边形AQCP可能是菱形吗？如果可能，那么经过多少秒后，四边形AQCP是菱形？（2）分别求出菱形AQCP的周长、面积．参考答案1．50 2．33．4．16 5．8cm26．5 7．5 8．59．35°10．（5，4）11．50°12．20°13．314．4.8 15．16．17．18．219．（2，1）20．21．422．4-3 23．120 24．2 25．105 26．27、证明：四边形ABCD是菱形CE⊥AE,CF ⊥AF∠DAB=∠CBB,∠DAB=∠FDC,∴∠CBE=∠FDC又 BC=DC,∴Rt△BEC≌Rt△DFC,∴CE=CF.28、证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，∴∠1=∠ACD，∵MC=MD，∴∠ACD=∠2，∴∠1=∠2；（2）连接BD，∵四边形ABCD是菱形，∴∠ACB=∠ACD，BC=CD，∵∠ACD=∠2，∴∠ACB=∠ACD=∠2，∵DF⊥BC，∴3∠2=90°，∴∠2=30°，∴∠BCD=∠ACB+∠ACD=60°，∴△BCD是等边三角形，∴BF=CF，即点F是边BC的中点．29、（1）在△DFC中，∠DFC=90°，∠C=30°，DC=2t，∴DF=t.又∵AE=t，∴AE=DF（2）能.理由如下：∵AB⊥BC，DF⊥BC，∴AE∥DF.又AE=DF，∴四边形AEFD为平行四边形.∵AB =21AC BC=35 222AC BC AB =+∴()2223521AC AC =+⎪⎭⎫ ⎝⎛ ∴AC=1010 2.AD AC DC t ∴=-=-若使AEFD 为菱形，则需10.102,.3AE AD t t t ==-=即 即当103t =时，四边形AEFD 为菱形 30、（1）△ABP ≌△ACQ ，△APC ≌△AQD ；（2）∵△ACP ≌△ADQ ，∴S △ACP =S △ADQ ，即S 四边形APCQ =S △ACD =3221⨯⨯；(3为菱形的高) （3）∵△PAQ 是等边三角形，点P 是BC 的中点时，AP 垂直于BC ，AP 最小，∴当AP ⊥BC 时，三角形APQ 的面积最小，故在四边形APCQ 的面积一定，△APQ 面积最小时，△PCQ 的面积最大. 此时BP=1，31、证明：∵四边形ABCD 是菱形∴∠DNM=∠AMN又∵DE=AE ，∠NDE=∠MAE∴△NDE=△MAE∴ND=AM∴ND ∥AM∴四边形ANDM 是平行四边形（2）当点M 是AB 的中点时，四边形AMDN 是矩形证明：如图所示∵四边形AMDN 是矩形，∠DAB=60º∴∠ADM=30º∴AM=AD 21 ∵AD=AB ∴AM=AB 21 即M 是AB 的中点32、解：（1）经过x秒后，四边形AQCP是菱形∴DP=X cm AP=CP=AD-DP=(8-X)cm∵DP²+CD²=PC²∴16+X²=(8-X)²解得x=3即经过3秒后四边形是菱形（2）由（1）得菱形的边长为5∴菱形AQCP的周长=5×4=20（㎝）菱形AQCP的面积=5×4=20（㎝²）。