天体运动与人造卫星运动的两个基本模型

天体运动与人造卫星运动的两个基本模型

随着我国探月卫星的成功发射以及天宫一号与神舟八号的成功对接，显示了我国在空间探索方面的强大实力，极大地增强了中国人的民族自豪感。天体及卫星的运动问题也是高考的热点问题，从近几年全国各地的高考试题来看，透彻理解两个基本模型是关键。

一、环绕模型

环绕模型的基本思路是：①把天体、卫星的环绕运动近似看做是匀速圆周运动；②万有

引力提供天体、卫星做圆周运动的向心力：G Mm r 2＝m v 2r ＝m ω2r ＝m ⎝ ⎛⎭

⎪⎫2πT 2r ＝m(2πf)2r= ma 其中r 指圆周运动的轨道半径；③在地球表面，若不考虑地球自转，万有引力等于重力：由

G Mm R 2＝mg 可得天体质量M ＝R 2g G

，这往往是题目中重要的隐含条件。 1、围绕一个中心天体运转

例一：用m 表示同步卫星的质量，h 表示它离地面的高度，表示地球半径，表示地球表面处的重力加速度，

表示地球的自转的角速度，则通讯卫星受到地球对它的万有引力

大小为 A. B. C. D. 分析：依万有引力定律公式，其中，所以，选项A 错误，选项B 正确。因为万有引力提供向心力，所以

，故选项D 正确。同步

卫星距地心为，则有，其中，解得

，又，代入整理得

，选项C 正确。

点评：解答此类问题应牢记两条线索：一是围绕星球旋转的物体，根据万有引力等于向心力列方程；二是静止在星球表面上的物体，根据万有引力等于重力列方程。

2、围绕两个中心天体运转

例二：已知地球同步卫星离地面的高度约为地球半径的6倍。若某行星的平均密度为地球平均密度的一半，它的同步卫星距其表面的高度是其半径的2.5倍，则该行星的自转周期约为

A ．6小时

B ．12小时

C ．24小时

D ．36小时

分析：设地球或行星的半径为r ，根据万有引力提供向心力，对地球或行星的同步卫星

有G Mm r ＋h 2＝m ⎝ ⎛⎭

⎪⎫2πT 2(r ＋h)，M ＝ρ43πr 3，得T ＝ 3πr ＋h 3G ρr 3，有T 1T 2＝ r 1＋h 13r 3

2ρ2r 2＋h 23r 31ρ1

，其中T 1＝24 h ，h 1＝6r 1，h 2＝2.5r 2，ρ1＝2ρ2，代入上式得T 2＝12 h 点评：两个天体的同步卫星运动遵循相同的规律，解决这类问题的关键是写出待求量的通式，然后根据比例关系求解。

3、围绕一个公共点运转

例三：天文学家将相距较近、仅在彼此的引力作用下运行的两颗恒星称为双星．双星系统在银河系中很普遍．利用双星系统中两颗恒星的运动特征可推算出它们的总质量．已知某双星系统中两颗恒星围绕它们连线上的某一固定点分别做匀速圆周运动，周期均为T ，两颗恒星之间的距离为r ，试推算这个双星系统的总质量．(引力常量为G)

分析：设两颗恒星的质量分别为m1、m2，做圆周运动的半径分别为r1、r2，角速度分别是ω1、ω2.

根据题意有ω1＝ω2＝2πT

，r 1＋r 2＝r. 根据万有引力定律和牛顿第二定律有：

G m 1m 2r 2＝m 1ω21r 1， G m 1m 2r 2＝m 2ω22r 2. 联立以上各式解得m 1＋m 2＝4π2T 2G

r 3. 点评：对此类问题要把握双星运动的特点：(1)彼此间的万有引力是双星各自做圆周运动的向心力； (2)双星始终与它们共同的圆心在同一条直线上；(3) 双星具有共同的角速度。

二、变轨模型

若卫星所受万有引力等于做匀速圆周运动的向心力，将保持匀速圆周运动；当卫星由于某种原因速度突然改变时(开启或关闭发动机或空气阻力作用)，万有引力就不再等于向心力，卫星将做变轨运行。①当v 增大时，所需向心力增大，即万有引力不足以提供向心力，卫星将做离心运动，脱离原来的圆轨道，轨道半径变大，但卫星一旦进入新的轨道运行，由v =r GM 知其运行速度要减小，但重力势能、机械能均增加。②当卫星的速度突然减小时，所需向心力减小，即万有引力大于卫星所需的向心力，因此卫星将做向心运动，同样会脱离原来的圆轨道，轨道半径变小，进入新轨道运行时由v =r GM 知运行速度将增大，但重力势能、机械能均减少。

例四：2009年5月，航天飞机在完成对哈勃空间望远镜的维修任务后，在A 点从圆形轨道Ⅰ进入椭圆轨道Ⅱ，B 为轨道Ⅱ上的一点，如图4－4－2所示．关于航天飞机的运动，下列说法中正确的有

A ．在轨道Ⅱ上经过A 的速度小于经过

B 的速度

B ．在轨道Ⅱ上经过A 的动能小于在轨道Ⅰ上经过A 的动能

C．在轨道Ⅱ上运动的周期小于在轨道Ⅰ上运动的周期

D．在轨道Ⅱ上经过A的加速度小于在轨道Ⅰ上经过A的加速度

分析：在椭圆轨道上，近地点的速度最大，远地点的速度最小，A选项正确。由万有引力定律可知飞机在A点受到的引力是个定值，由此结合牛顿第二定律可知飞机在A点的加速度是个定值，故D项错误。飞机从A点进入轨道Ⅱ相对于轨道Ⅰ可看成向心运动，则可知飞机在轨道Ⅱ上A点速度小于轨道Ⅰ上A点速度，再结合动能定义式可知B选项正确。由开普勒定律R3/T2= K可知，在轨道Ⅱ上的周期小于轨道Ⅰ上的周期，选项C正确。

点评：对于变轨问题的分析，把握住万有引力与所需要的向心力之间的“供”“求”关系进行分析是关键。

练习：2007年10月24日，“嫦娥一号”卫星星箭分离，卫星进入绕地球轨道。在绕地运行时，要经过三次近地变轨：12小时椭圆轨道①→24小时椭圆轨道②→48小时椭圆轨道③→地月转移轨道④。11月5日11时，当卫星经过距月球表面高度为h的A点时，再一次实施变轨，进入12小时椭圆轨道⑤，后又经过两次变轨，最后进入周期为T的月球极月圆轨道⑦。如图所示，已知月球半径为R。

（1）请回答：“嫦娥一号”在完成第三次近地变轨时需要加速还是减速？

（2）写出月球表面重力加速度的表达式。