几种特殊类型行列式及其计算(修正版)

引言

行列式不仅是高等代数的重要内容之一，也是学习其它学科的基础，成为很多学科和领域相当重要的工具，例如在物理学、化学、运筹学等探讨最优化方案时，正是因为成功的应用了行列式来解方程组，才使得问题简单化了，由此可见行列式的计算是一个重要的问题，但同时它也是个比较复杂的问题，特别是高阶行列式，是工程计算中不可或缺的一部分，所以有必要深入研究和归纳高级行列式的计算方法.

对这一重要问题，很多文献资料已经做了一些讨论，并给出了相应的结论，如文献[3]讨论了行列式的基本计算方法和技巧，给出了“化零”和“降阶”的基本思想，即先利用行列式的性质做恒等变形化简，使行列式中出现较多零元素，文献[1][10]等具体概括了一些有相同规律的行列式的计算方法，如三线型行列式、两三角型行列式、范德蒙德行列式等.文献[2][9]等通过一些实例的研究，给出了一些重要方法如化三角形法、降阶法、加边法、递推法、数学归纳法等.大部分行列式可以通过变换化为具有某种特点的行列式，进而用相对简便的方法进行计算.

本文在上述文献的基础上，首先根据行列式的形态特征对行列式进行分类，总结出几种有某种特点的特殊行列式，再根据不同类型行列式的特点给出相应的计算方法.这样使高阶行列式的计算得到进一步的归纳总结.具有一定的理论意义及应用价值.

特别声明:本文是根据原文档修正而来，只为弥补前人的一点笔误，不涉及版权问题；另外本人从各种线性代数资料对比发现，此文档特别适合解决江西高校出版社出版的第一版线性代数教材的第一章课后习题

修正人：刘传钦

学习单位：东华理工大学

修正时间：2017年9月17日

1 行列式的定义及性质

1.1 定义[3]

n 级行列式

11121212221

2

n n n n nn

a a a a a a a a a

等于所有取自不同行不同列的个n 元素的乘积12

12n j j nj a a a (1)的代数和,这里12

n j j j 是

1,2,

,n 的一个排列,每一项(1)都按下列规则带有符号:当12n j j j 是偶排列时,(1)带正号，

当12n j j j 是奇排列时,(1)带有负号.这一定义可写成

()

()

121212

1112121222121

2

1n n n

n j j j n j j nj j j j n n nn

a a a a a a a a a a a a τ=

-∑

这里

12

n

j j j ∑

表示对所有n 级排列求和.

1.2 性质[4]

性质1.2.1 行列互换,行列式的值不变.

性质1.2.2 某行(列)的公因子可以提到行列式的符号外.

性质1.2.3 如果某行(列)的所有元素都可以写成两项的和,则该行列式可以写成两行列式的和;这两个行列式的这一行(列)的元素分别为对应的两个加数之一,其余各行(列)与原行列式相同.

性质1.2.4 两行(列)对应元素相同,行列式的值为零. 性质1.2.5 两行(列)对应元素成比例,行列式的值为零.

性质1.2.6 某行(列)的倍数加到另一行(列)对应的元素上,行列式的值不变. 性质1.2.7 交换两行(列)的位置,行列式的值变号.

2 行列式的分类及其计算方法

2.1 箭形（爪形）行列式

这类行列式的特征是除了第1行(列)或第n 行(列)及主(次)对角线上元素外的其他元素均为零，对这类行列式可以直接利用行列式性质将其化为上(下)三角形行列式来计算.即利用对角元素或次对角元素将一条边消为零.

例1 计算n 阶行列式

()1

23231111001

0001

n n

n

a a D a a a a a =≠.

解 将第一列减去第二列的

21a 倍，第三列的3

1a 倍第n 列的

1

n

a 倍，得

1

223

111110

000

000

n n n

a a a a D a a ⎛⎫---

⎪⎝

⎭

=

1221n

n

i i i i a a a ==⎛⎫

=- ⎪⎝

⎭

∑

∏. 2.2 两三角型行列式

这类行列式的特征是对角线上方的元素都是c ,对角线下方的元素都是b 的行列式，初看，这一类型似乎并不具普遍性，但很多行列式均是由这类行列式变换而来，对这类行列式，当

b c =时可以化为上面列举的爪形来计算，当b c ≠时则用拆行(列)法[9]来计算.

例2 计算行列式

123n n

a c c c

b a

c c D b

b a

c b

b

b

a =.

解 当b c =时

123n n

a b b b b a b b D b

b a b b

b

b

a =. 将第2行到第行n 都减去第1行，则n D 化为以上所述的爪形，即

1121

31

00000

n n a b b b b a a b D b a a b b a a b

--=----.

用上述特征1的方法，则有

()112

12131

100000000

n

i i n n a b b

a a

b

b a a b D b a a b b a a b

=-----=

----∑

()()(

)()

()

11

11

1

n

n

i i i n i i a b b a b a b a b a b

-+===-+--

--∑

∏. 当b c ≠时，用拆行(列)法[9]，则

1

12233000n n

n x a a a x a a a b x a a b

x a a D b

b x a b b x a b b b x b

b b b x b ++==++

-

1

12233000n x a a x a a a b x a b x a a

b b x b b x a b

b

b

x b

b

b

b

b

=+-