特殊行列式的计算 guotao

特殊行列式的计算

摘 要： 运用行列式的定理、性质及推论对一些复杂、特殊行列式进行化简，总结出了一些特殊行列式的计算方法及公式，改变了以往遇到行列式总是通过初等变化按其某行（或某列）展开进行逐次降阶化成阶梯型行列式或依据Laplace 定理进行行列式计算的方法；使行列式的计算更为简洁、灵活，并使得特殊行列式的计算公式化.

关键词： 行列式；行列式的计算；特殊可列阶行列式

1 预备知识

面对一些复杂而又特殊行列式的计算我们往往会不知所措、无从下手，更不知道应该用什么方法去进行化简或计算，就像一只无头的苍蝇只能用各种方法去进行试探.为此我们多么希望一些特殊的可列阶行列式的计算能像一元二次方程一般有其计算公式和特殊的化简方法，从而提高特殊、复杂的行列式的计算效率，简化其计算步骤，改变其算法的冗长性，使之公式化、方法化.现就有关知识做以预习.

定理1.1（Laplace 定理） 设在行列式D 中任意取定了)11(-≤≤n k k 个行，由这k 行元素所组成的一切k 级子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式D . 性质1.1 行列式与其转置行列式相等.

性质1.2 交换行列式的某两行（或某两列）行列式改变符号.

性质1.3 把行列式某一行（或某一列）的所有元素都乘以一个数k ，等于以k 乘以该行列式.

性质1.4 把行列式的某一行（或某一列）的所有元素乘以同一个数k 后加到另一行或另一列的对应元素上行列式值不变.

性质1.5 如果行列式中有两行（或两列）元素相同,行列式值为0.

性质1.6 行列式中某一行（或某一列）中所有元素的公因子可以提到行列式的外边.

性质1.7 行列式中如果有一行(或一列)的元素全为零,则行列式为0.

性质1.8 如果行列式中有两行（或两列）的元素对应成比例,则行列式等于0. 引理1.1 行列式的任一个子式M 与它的代数余子式A 的乘积中的每一项都是行列式D 的展开式中的项，而且符号也一致.

2 特殊行列式的计算

2.1 二条线型行列式的计算

定义2.1.1 形如1D =n

n n a c

b a b a b a 11

22

11

--

（或2D =

c

a a

b a b a b n

n n 1

12

2

1

1--

）的行

列式称为二线型行列式.其可按第一列（或最后一列）展开进行计算得出

))

1()

1(()

1(1

1

2

)

2)(1(1

2

3

221

1

1

1

12

∏∏∏∏-=--=+--=+=-+-=-+=

n i i n n n

i i

n n n i i n n

i i

b c a

D b c a

D

例2.1.1 列式1D =

10

20

10n

n -

和2D =

n

n 0

10

2

1-

的值.

解 观察行列式1D =

10

20

10n

n -

和2D =

n

n 0

10

2

1-

可知它是

二线型行列式，且由定义知其中),,2,1(n i a i =全为0.故代入公式可得出

1D !)

1()

1(1

1

1

1

1

n b c a

n n i i n n

i i

+-=+=-=-+=

∏∏

2D !)

1()

1()

1(2

)

2)(1(1

1

2

)

2)(1(1

2

3

22

n b c a

n n n i i n n n

i i

n n ---=--=+--=-+-=∏∏

类似的二条线型行列式还有=

A ,=

B ,=

C 和=

D （其中定义中

给出的的二线型行列式为1D =

,2D =

，在简记中实线处均为非零元素其它地方元素

为零），它们均可以按定义2.1中的方法进行计算展开进行降阶，再利用三角或次三角型行

列式总结出相应的计算公式.

2.2 三对角型和次三对角型行列式的计算

定义 2.2.2 形如=

1

D 和=

2

D 的行列式称为三对角或次三对角型行列

式（在简记中实线处均为非零元素其它地方元素为零），其行列式的值等于按第1行（或第1列）或按第n 行(或第n 列)展开，从而得到两项的递推关系式以导出其计算公式.

例2.2.2 计算n 级行列式=

n D 2

1

120000021000121

00012------

的值.

解 观察行列式=n D 2

1

1200000210

0121

00012------

可知其为定义2.2.2中所定义的三线型行列式，则可以按照定义给出的方法按其第一行展开知

=n D 2

11)

1)(1(2+---+n D 2

1

120000021000120

00011------

212---=n n D D

直接递推不易得到结果（阶较低阶时则可以）,变形得

-n D 1-n D =

-=-=--1221D D D D n n 122

1

12=---

于是有

=n D 1)1(21121+=-+=+=+--n n D D D n n

同理可知行列式θθθθcos 210001cos 2000001cos 21

0001cos =

n

D 的计算公式为

θ

θθθcos 21

1cos 2000001cos 21

0001cos

=

n

D

]sin )1sin(cos )1[cos(cos )1cos(2αααααα-+---=n n n

ααααsin )1sin(cos )1cos(---=n n

αcos =

也可得出行列式=

n D β

ααββαβααββααββα+++++1

0000010001

000

的公式为