形象解说四元数

形象解说四元数By daode1212 2016-03-16前言:四元数（Quaternions）是由爱尔兰数学家哈密顿(William Rowan Hamilton,1805-1865）在1843年发明的数学概念。

复数、向量、矩阵都是数学中的基本要素，就如同编程中的数组、对象、集合那样。

四元数是一种超复数，是复数与三维向量的复合体。

四元数也有加法、减法、乘法、但是四元数的乘法不符合交换律（commutative law），即a*b <> b*a，而且，还有转置、规范化、共轭三种运算。

由于它在描述三维旋转、姿态方面的一些特有优点，所以在飞行器（飞机，火箭，导弹等），机器人姿态的控制中常用到。

数学手册中在代数结构的“群-环-域”中稍有点介绍，它属于不可交换的除环，称哈密顿四元数体。

以下是一些四元数运算的效果图：四元数理论创立人：William Rowan Hamilton,1805-1865一，四元数的几种表示形式:OpenTK中，为建立四元数提供了多种方式：public Quaternion(float x, float y, float z, float w)；public Quaternion(OpenTK.Vector3v, float w)；例如用Quaternion(float x, float y, float z, float w)：OpenTK.Quaternion q = new OpenTK.Quaternion(0.51f, -0.71f, 0.31f, 0.7071f);1, 四元数建构方式一：i^2=j^2=k^2=-1ij=-ji=k，jk=-kj=i，ki=-ik=jq=w+ix+jy+kz，i,j,k分别对应轴向量X(1,0,0),Y(0,1,0),Z(0,0,1)2, 四元数建构方式二：转动角之半+轴向量的方向余弦：3, 四元数建构方式三：转动角之半+单位球面上的点：二，四元数的模如q是四元数，OpenTK中有:1, q.Length;返回值是:2, q.LengthSquared;返回值是:，与点积（内积）q·q是一致的。

三，四元数的规范化[单位化]OpenTK.Quaternion q2= OpenTK.Quaternion.Normalize(q1); //单位化,使平方和等于1四元数建构方式二、方式三在这方面有明显优势。

四，四元数的共轭OpenTK.Quaternion q2= OpenTK.Quaternion.Conjugate(q1);//共轭,仅向量取反方向若q=w+(ix+jy+kz); p=w-(ix+jy+kz);则q,p称为共轭,记q=p*或p=q*;共轭为取四元数中的标量与向量提供了方便：1、四元数的标量部：S=(q+q*)/2；2、四元数的向量部：V=(q-q*)/2；五，四元数的转置OpenTK.Quaternion q2 = OpenTK.Quaternion.Invert(q1); //倒数,转置：方向相反，模互为倒数六，四元数的逻辑运算主要是相等，不相等的判断：q1 == q2, q1 != q2bool b = q2.Equals(q1);七，四元数的算术运算运算符有：+、-、*，对应有Add(q,p )、Sub(q,p )、 Multiply( q,*)加法的定义：public static OpenTK.Quaternion Add(OpenTK.Quaternion left, OpenTK.Quaternion right)减法的定义：public static OpenTK.Quaternion Sub(OpenTK.Quaternion left, OpenTK.Quaternion right)乘法有二种：public static OpenTK.Quaternion Multiply(OpenTK.Quaternion quaternion, float scale)public static OpenTK.Quaternion Multiply(OpenTK.Quaternion left, OpenTK.Quaternion right)注意，乘法没有交换律：q2*q1 != q1*q2乘法的定义和数学算法如下：例如：四元数与标量相乘，是对原四元数在正方向或反方向进行伸缩：OpenTK.Quaterniond q2 = OpenTK.Quaterniond.Multiply(q1, 0.5f); //q1*0.5四元数与四元数相乘，是两种旋转的叠加作用：OpenTK.Quaterniond q3 = OpenTK.Quaterniond.Multiply(q2, q1); //q2*q1q3 = q1·q2 =(a1a2-b1b2-c1c2-d1d2) +i(a1b2+b1a2+c1d2-d1c2) +j(a1c2+a2c1+b2d1-d2b1) +k(a1d2+d1a2+b1c2-c1b2)四元数与四元数相乘是不容易心算的游戏，就方向的变化也很难摸准，见下例：//向量连乘效果图：private void QuatMults() //向量连乘效果图{qs[0] = new OpenTK.Quaternion(.5f, -.6f, -.7f, .4f);DwQuat(qs[0], Color.FromArgb(255, 255, 0), 4f);qs[1] = new OpenTK.Quaternion(-.6f, -.5f, .4f, .6f);DwQuat(qs[1], Color.FromArgb(0, 255, 255), 4f);for (int i = 0; i < 255; i++){qs[i + 2] = OpenTK.Quaternion.Multiply(qs[i], qs[i + 1]); qs[i + 2] = OpenTK.Quaternion.Normalize(qs[i + 2]);DwQuat(qs[i + 2], Color.FromArgb(i, i, i), 2f);}}//表现四元数：private void DwQuat(OpenTK.Quaternion q,Color clr,float d){//画线段：GL.LineWidth(d);GL.Begin(BeginMode.Lines);GL.Color3((byte)clr.R, (byte)clr.G, (byte)clr.B);GL.Vertex3(0, 0, 0);GL.Vertex3(q.X, q.Y, q.Z);GL.End();//画球：GL.PushMatrix();GL.Translate(q.X, q.Y, q.Z);GL.Color3((byte)clr.R, (byte)clr.G, (byte)clr.B);Glu.Sphere(Glu.NewQuadric(), .05, 9, 9);//画球GL.PopMatrix();}三维效果如下：正是这一特点，可以让程序建构出很多艺术品出来。

四元数的除法，如果按乘法的逆运算是除法这一法则去找因数1、因数2，要解一个4X4的联列方程组，可参考下面的矩阵：先用克莱姆法则判断一下，它的解可能唯一，可能无解，也可能有无数多组解。

设：q3 = q1*q2（q1:左四元数因子，q2:右四元数因子），如果把左、右因子分别叫作左、右商，我们可以自己构造函数进行计算：//除法1: 求左商,右商:OpenTK.Quaternion q= QuaternionDiv(qs[1], qs[0], 1); // LR=1:返回右商OpenTK.Quaternion q1 = QuaternionDiv(qs[1], qs[0], -1); // LR=-1:返回左商//除法2: 以qs[0]的转置乘qs[1]OpenTK.Quaternion q2 = OpenTK.Quaternion.Multiply(qs[2], qs[1]);实际计算表明，两种除法不一致，所以不应该用转置来替代除法。

四元数连除三维图为了测试255次连续相除，设计算法如下:进行12次迭代后制作了下图之前另一算法的效果图:八，“轴+角”方式转四元数public static OpenTK.Quaternion FromAxisAngle(OpenTK.Vector3axis, float angle)其中OpenTK.Vector3axis 是轴向量，float angle 是以弧度表示的角如：OpenTK.Quaternion q3 = OpenTK.Quaternion.FromAxisAngle(new Vector3(0.4f, 0.4f, 0.8f), PI / 2f); 九，四元数转“轴+角”方式1，public OpenTK.Vector4ToAxisAngle()2，public void ToAxisAngle(out OpenTK.Vector3axis, out float angle)其中OpenTK.Vector4 形如（float x, float y, float z, float angle）float angle是以弧度表示的角。

如：OpenTK.Vector4 v4 = q3.ToAxisAngle();十，四元数到欧拉角的转换//四元数转欧拉角,欧拉角的球面RGB(用自定义类实现):private void QuaternionToEulerAngle_BallRGB(){//声明类与结构:Eular EL = new Eular();Quaternion q = new Quaternion();EulerAngle ea = new EulerAngle();//利用三角式生成四元数:double PI = 3.1416;//double a = PI / 8; double b = PI / 2; double c = 0; //转轴:Y轴,转动角:PI/4//double a = PI / 2; double b = 0; double c = 0;//转轴:X轴,转动角:PI//double a = PI / 2; double b = PI / 2; double c = 0;//转轴:Y轴,转动角:PI//double a = PI / 2; double b = 0; double c = PI / 2;//转轴:Z轴,转动角:PIdouble a = PI/2; //转动角:2a(=PI)double b = PI / 2;double c = 0;for (b = -PI; b < PI; b += .1){for (c = -PI/2; c < PI/2; c += .1){q.w = Math.Cos(a);q.x = Math.Cos(b) * Math.Cos(c) * Math.Sin(a);q.y = Math.Sin(b) * Math.Cos(c) * Math.Sin(a);q.z = Math.Sin(c) * Math.Sin(a);//四元数转欧拉角:ea = EL.QuaternionToEulerAngle(q);byte R = (byte)(255 * (PI + ea.pitch) / (2 * PI));byte G = (byte)(255 * (PI + ea.yaw) / (2 * PI));byte B = (byte)(255 * (PI + ea.roll) / (2 * PI));GL.Color3(0f, 0f, 0f);GL.LineWidth(4f);GL.Begin(BeginMode.Lines);GL.Vertex3(0, 0, 0);GL.Color3(R, G, B);GL.Vertex3(q.x, q.y, q.z);GL.End();}}}四元数转欧拉角,欧拉角的球面RGB四元数转欧拉角的数学算法如下，不同的坐标系可能要作适当的调整：如果分别为绕Z轴、Y轴、X轴的旋转角度，则有：十一，欧拉角到四元数的转换private void EulerAngleToQuaternion(){double A = Math.PI / 6; double B = Math.PI / 4; double C = Math.PI / 2;double c1 = Math.Cos(A / 2);double s1 = Math.Sin(A / 2);double c2 = Math.Cos(B / 2);double s2 = Math.Sin(B / 2);double c3 = Math.Cos(C / 2);double s3 = Math.Sin(C / 2);double w = c1 * c2 * c3 - s1 * s2 * s3;double x = s1 * s2 * c3 + c1 * c2 * s3;double y = s1 * c2 * c3 + c1 * s2 * s3;double z = c1 * s2 * c3 - s1 * c2 * s3;//窗体标题栏显示：this.Parent.Text = "W,X,Y,Z=" + w+","+x+","+y+","+z;}欧拉角转四元数的数学算法如下，不同的坐标系可能要作适当的调整：十二，向量绕四元数旋转//向量绕四元数旋转,就是用四元数作用于向量：private void VectorRotByQuaternion(){//======================================Vector3 v01 = new Vector3(1f, 0f, -1f);double PI = 4.1416;float x = (float)(Math.Sin(PI / 8) * Math.Cos(PI / 4) * (float)Math.Cos(PI / 9)); float y = (float)(Math.Sin(PI / 8) * Math.Cos(PI / 4) * (float)Math.Sin(PI / 9)); float z = (float)(Math.Sin(PI / 8) * Math.Sin(PI / 9));float w = (float)Math.Cos(PI / 8);OpenTK.Quaternion q = new OpenTK.Quaternion(x, y, z, w);Vector3 v5 = OpenTK.Vector3.Transform(v01, q);GL.PointSize(6f);GL.LineWidth(4f);GL.Begin(BeginMode.Lines);GL.Color3(.0f, 0f, .5f);GL.Vertex3(0, 0, 0);GL.Vertex3(v01);//深蓝色：原来的向量GL.Color3(.5f, 0f, .0f);GL.Vertex3(0, 0, 0);GL.Vertex3(v5);//深红色：旋转后的V01GL.Color3(1f, 1f, 1f);GL.Vertex3(0, 0, 0);GL.Vertex3(5 * x, 5 * y, 5 * z); //白色：四元数GL.End();//======================================}见下图(深蓝色：原来的向量,深红色：旋转后的向量, 白色：四元数)十三，二个给定的向量的线性混合:private void LineLerp(){//======================================Vector3 v1 = new Vector3(1f, 0f, 2f);Vector3 v2 = new Vector3(0f, 2f, 1f);GL.PointSize(6f);GL.LineWidth(4f);GL.Begin(BeginMode.Lines);for (float f = 0; f < 1; f += 0.1f){GL.Color3(1f, f, 1 - f);GL.Vertex3(0, 0, 0);Vector3 vf = OpenTK.Vector3.Lerp(v1, v2, f); GL.Vertex3(vf);}GL.End();//======================================}十四，2个给定的向量的球面插值:private void BallLerp(){//======================================Vector3 v1 = new Vector3(.7f, 1f, -.2f);Vector3 v2 = new Vector3(-1f, .2f, .7f);double PI = 3.1416;GL.PointSize(6f);GL.LineWidth(4f);GL.Begin(BeginMode.Lines);for (float f = 0.01f; f < 1; f += 0.01f){GL.Color3(1f, f, 1 - f);GL.Vertex3(0, 0, 0);//余弦式球面插值:Vector3 vMul_1 = OpenTK.Vector3.Multiply(v1, (float)(Math.Cos(f)));Vector3 vMul_2 = OpenTK.Vector3.Multiply(v2, (float)(Math.Cos(1 - f)));Vector3 vAdd = OpenTK.Vector3.Add(vMul_1, vMul_2);////指数式插值://Vector3 vMul_1 = OpenTK.Vector3.Mult(v1, (float)( Math.Exp( -f*f)));//Vector3 vMul_2 = OpenTK.Vector3.Mult(v2, (float)( Math.Exp(f*f-1)));//Vector3 vAdd = OpenTK.Vector3.Add(vMul_1, vMul_2);////正弦式球面插值://v1 = OpenTK.Vector3.Normalize(v1);//v2 = OpenTK.Vector3.Normalize(v2);//double g =Math.Acos(OpenTK.Vector3.Dot(v1, v2));//Vector3 vMul_1 = OpenTK.Vector3.Multiply(v1, (float)(Math.Sin(f * g)/Math.Sin(g))); //Vector3 vMul_2 = OpenTK.Vector3.Multiply(v2, (float)(Math.Sin((1-f)*g)/Math.Sin(g))); //Vector3 vAdd = OpenTK.Vector3.Add(vMul_1, vMul_2);GL.Vertex3(vAdd);}GL.End();//======================================}余弦式球面插值十五，四元数对飞行姿态的控制当运用高阶、多元偏微后，可模拟各种姿态的，各种加速度效果的空间运动。