第四章 可测函数

第四章 可测函数

教学目的：

1.熟练掌握可测函数的定义及其基本性质，可测函数的一些重要性质.

2.掌握通过Egoroff 定理证明Lusin 定理,它表明Lebesgue 可测函数可以用性质较好的连续函数逼近.

3.掌握几乎处处收敛,依测度收敛和几乎一致收敛，以及几种收敛性之间的蕴涵关系.通过学习使学生对可测函数列的几种收敛性和相互关系有一个较全面的了解. 重点难点：

1.可测函数有若干等价的定义.它是一类范围广泛的函数,并且有很好的运算封闭性.

2.可测函数可以用简单函数逼近,这是可测函数的构造性特征.

3.引进的几种收敛是伴随测度的建立而产生的新的收敛性.一方面, L 可测集上的连续函数是可测的,另一方面,Lusin 定理表明, Lebesgue 可测函数可以用连续函数逼近. Lusin 定理有两个等价形式.

4.依测度收敛是一种全新的收敛,与熟知的处处收敛有很大的差异.Egoroff 定理和Riesz 定理等揭示了这几种收敛之间的关系.Riesz 定理在几乎处处收敛和较难处理的依测度收敛之间架起了一座桥梁.

§4.1 可测函数及相关性质

由于建立积分的需要，我们还必须引进一类重要的函数——

Lebesgue 可测函数，并讨论其性质和结构.

设f 是可测集D 上的函数,若对任何R ∈∀α,{}α>∈)(:x f D x 记

=α

D 是可测集,则称f 是可测集D 上的可测函数.

我们知道,f 在D 上连续⇔R ∈∀α,{}α>∈)(:x f D x 、{}α<∈)(:x f D x 都是开集.所以由可测函数的定义,区间D 上的连续函数f 是可测函数.

又如:设E 是D 的可测子集.则E 上的特征函数为

=)(x f )(x E λ⎩⎨⎧=0

1

E D x E x -∈∈

由于 {}αα>∈=)(:x f D x D

⎪⎩

⎪

⎨⎧=D E φ

0101<<≤≥ααα

是可测集,所以E λ是D 上的可测函数.即

定理4.1.1 可测集的特征函数是可测的.

今后,在不致混淆时,将{}α>∈)(:x f D x 简记为{}α>f .类似, {}α≥f 、

{}α≥f 、{}αf 可否换成α

定理4.1.2 设函数f 定义在可测集D 上,则下面四件事等价. (i)f 在D 上可测;

(ii)对任何R ∈α,{}α≥f 可测; (iii)对任何R ∈α,{}α

其证明就是利用集合的运算. 证明:

(i)⇒(ii) {}α≥f ⎭

⎬⎫⎩

⎨⎧->=∞

=n f n 11

αI ,由(i), ⎭

⎬⎫⎩

⎨⎧

->n f 1α可测,从而⎭⎬⎫⎩⎨⎧

->∞

=n f n 11αI 可测,即{}α≥f 可测.

(ii)⇒(iii){}α

(iii)⇒(iv){}α≤f ⎭

⎬⎫⎩⎨⎧+<=∞=n f n 11αI (iv)⇒(i) {}α>f -=D {}α≤f

定理4.1.3 设函数f 和g (i){}λ=f 、{}βα<是可测集.

证明: (i)先设λ是实数,则{}λ=f {}λ≥=f {}λ>-f 是可测集;

若∞=λ,则{}∞=f {}n f n >=∞

=1I 可测;

若-∞=λ,则{}-∞=f {}n f n -<=∞

=1

I 可测.

可见, 对任何广义实数λ,{}λ=f 是可测集.

对于其它集的可测性由定理3.1.2与集合的运算立即可得.

(ii)分析:⇒>g f x ∃,使)()(x g x f >,若∞=)(x f ,则∞≠)(x g ,可∞-,不管怎样,f 、g 之间可以插进有理数.即:若{}1≥n n r 是有理数全体,则

{}g f

>{}{}{}g r r f n n n >>=∞

=I Y 1

再利用函数f 和g 都是可测函数,可得右侧为可测集,即{}g f >是可测集.

在数学分析中,我们已经知道连续函数对于极限运算不封闭,即连续函数的极限可能不是连续函数,只有一致收敛的连续函数列的极限函数连续,否则未必. 如:n n x x f =)(,]1,0[∈x .

)()(x f x f n →⎩

⎨⎧=01

101<≤=x x

不连续.而可测函数对于极限运算是封闭的,这点也体现了它的优越

性.

定理 4.1.4 设{}1)(≥n n x f 是可测集D 上的一列可测函数,则函数)(sup 1

x f n n ≥、)(inf 1

x f n n ≥、)(lim x f n n ∞

→、)(lim x f n n ∞

→都是可测函数. 证明:任取R ∈α,则})({sup 1

α>≥x f n n })({1

α>=∞

=x f n n Y 可测.(此等式表明

至少有一个α>)(x f n ,否则都α≤,就说明α为上界,由上确界是最小上界,便会得出α≤≥)(sup 1

x f n n )

})(inf {1

α<≥x f n n })({1

α<=∞

=x f n n Y 可测.

(至少有一个α<)(x f n ,否则都α≥,α为下界,其最大下界α≥≥)(inf 1

x f n n )

再由)(lim x f n n ∞→)(sup inf 1x f k n

k n ≥≥=、)(lim x f n n ∞

→)(inf sup 1

x f k n

k n ≥≥=知)(lim x f n n ∞→、)(lim x f n n ∞

→都是可测函数.

(n x 的上极限k n

k n n n x x ≥≥∞→=sup inf lim

1

,k n

k x ≥sup ↓;n x 的下极限k n

k n n n x x ≥≥∞

→=inf sup lim 1,k n

k x ≥inf ↑)

实变函数的第一个“差不多”是可测集与开集、闭集差不多;第

二个“差不多”就是可测函数与连续函数差不多. 为研究实变函数中的第二个“差不多”,前述内容中最重要的是定理4.1.4—可测函数对极限运算封闭.

§4.2 可测函数的其它性质

设D 是可测集,)(x p 是一个与D 中每一点有关的命题.若除了D 的一个零测子集E 外,使)(x p 对每一E D x -∈都成立,则称)(x p 在D 上几乎

01x y