数学建模 自习室管理系统

一．问题重述：近年来，大学用电浪费比较严重，集中体现在学生上晚自习上，一种情况是去某个教室上自习的人比较少，但是教室的灯却全部打开，第二种情况是晚上上自习的总人数比较少，但是开放的教室比较多，这要求提供一种最节约、最合理的管理方法。

根据题目所给出的数据，有以下问题。

数据见表。

1．假如学校有8000名同学，每个同学是否上自习相互独立，上自习的可能性为0.7.要使需要上自习的同学满足程度不低于95%，开放的教室满座率不低于4/5，同时尽量不超过90%。

问该安排哪些教室开放，能达到节约用电的目的。

2．在第一问基础上，假设这8000名同学分别住在10个宿舍区，现有的45个教室分为9个自习区，按顺序5个教室为1个区，即1,2,3,4,5为第1区，…，41,42,43,44,45为第9区。

这10个宿舍区到9个自习区的距离见表2。

学生到各教室上自习的满意程度与到该教室的距离有关系，距离近则满意程度高，距离远则满意程度降低。

假设学生从宿舍区到一个自习区的距离与到自习区任何教室的距离相同。

请给出合理的满意程度的度量，并重新考虑如何安排教室，既达到节约用电目的，又能提高学生的满意程度。

另外尽量安排开放同区的教室。

3．假设临近期末，上自习的人数突然增多，每个同学上自习的可能性增大为0.85，要使需要上自习的同学满足程度不低于99%，开放的教室满座率不低于4/5，同时尽量不超过95%。

这时可能出现教室不能满足需要，需要临时搭建几个教室。

假设现有的45个教室仍按问题2中要求分为9个区。

搭建的教室紧靠在某区，每个区只能搭建一个教室，搭建的教室与该区某教室的规格相同（所有参数相同），学生到该教室的距离与到该区任何教室的距离假设相同。

问至少要搭建几个教室，并搭建在什么位置，既达到节约用电目的，又能提高学生的满意程度。

表格见附录1。

需要研究的问题：1．统计出上自习的人数和所需要的座位数2．把节约用电作为问题一的约束条件求解3．根据宿舍区到自习区的距离（附录1表2）构造学生上自习满意程度的函数4．在解决问题一的基础上，同时考虑节约用电和满意程度配置开放自习教室，进行多目标规划。

5．改变约束条件，重新计算上自习人数和所需要的座位数6．考虑搭建若干个教室提供足够座位给期末时上自习人数，同时兼顾提高满意度和节约用电的要求二．模型设计和求解：（一）．模型假设：1．每个同学上自习相互独立，且概率相同2．每个同学随机选择自习教室，不受距离、楼层等因素的干扰3．计算过程中，座位数和教室数满足整数的要求4．满意度只与学生区到自习区的距离有关5．情况1：学生人数共8000人，学生区不对总人数进行平均分配即不考虑10个学生区人数的居住分配情况情况2：10个学生区，每个区域平均配置即居住有学生800名6．问题3中在未搭建临时教室之前10个学生区中没有座位的人数相同7．若某教室开放，则此教室所有灯管全部打开8．不考虑搭建临时教室的成本问题（二）．符号说明：（三）．解题思路及过程：问题1基于题目情况，根据题目所给的表格，运用概率统计的相关知识，分析和计算学生上自习的人数以及所需要的座位数目。

然后根据节约用电的原则，把耗电最小作为教室选择的约束条件，得到结果。

具体步骤如下：（1）．计算所需座位数此问题符合概率统计中的二项分布。

由于样本值较大，则可以用正态分布对二项分布进行近似计算。

应用“棣莫弗一拉普拉斯( De Moivre-Laplace)定理”进行样本计算。

将满足程度不低于95％理解为上自习得同学有95％都有自习座位坐。

即每个上自习人能够正常上自习的概率为0.95。

由此可以计算出上自习所需座位数。

再由开放教室的满座率求得座位数的上限和下限。

计算过程：样本容量n=8000, 所需座位数为r有10i X ⎧=⎨⎩， 上自习， 不上自习(i=1,2,…8000)80001i i X X ==∑ 表示上自习的人数，~(8000,0.7)X B 。

要使得{}800018000100.70.30.95kk k i P X k r C -=≤=≤=≥∑由棣莫弗一拉普拉斯( De Moivre- Laplace )中心极限定理，有{}0P X r P ≤≤=≤≤≈Φ-Φ≈Φ-Φ0.95≈Φ≥查正态分布表得，1.64= 解得 5667.25668r =≈由满座率介于80％至90％之间，求得座位上限56680.87085=÷= 座位下限56680.96298=÷≈ 由所有教室总座位数 4516884i i q h ===∑， 所以座位上限是虚约束。

（2）．优化选择教室 方法一：由于教室的选择只有两种方式：选择与不选择。

顾此部分采用0，1整数规划方法。

i z 为抉择变量，有0,1i z ⎧=⎨⎩不选择该教室， 选择该教室()1,2,...45i =i i i c a b =⨯设目标函数：45min i i if c z =∑，即开放教室用电总功率的最小值。

构造约束条件：4562987085i i ih z ≤≤∑由Lingo 软件实现（见附录2）。

得到结果：开放2，3，4，5，6，7，8，9，10，12，13，14，17，18，19，20，21，22，23，24，25，26，27，28，29，30，31，32，34，35，36，37，38，39，40，41，42，43号自习教室；关闭1，11，15，16，33，44，45号自习教室。

由题目所提供表1确定：共提供座位6301个，消耗总功率为80577瓦。

方法二：方法二采用穷举法。

顾名思义，穷举法就是把所有的可能情况一一列出来，进行验算。

穷举法用时间上的牺牲换来了解的全面性保证，尤其是随着计算机运算速度的飞速发展，穷举法的形象已经不再是最低等和原始的无奈之举。

此题，可以通过穷举法进行计算。

根据题意，要使自习教室提供的座位在6298到7085之间，则设变量i z0i z ⎧=⎨⎩ 不开放该教室1 开放该教室 (1,2,...,45)i =设单行矩阵Z=i z单列矩阵C=1245...c c c ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦则耗电总功率f Z C =•＝[]12123444545......c c z z z z z c ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⨯⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦让[]0...0Z =按二进制递增到[]1...1，取f 的最小值就是所求的最小耗电总功率。

现按照单位座位耗电功率进行排序，见下表：其中i c ()1,2,...45i =为已知，Z 矩阵具有452可能情况。

穷举次数过多，计算机运算时间过长，因此需要减少穷举次数。

观察此表，当排到如表所示的临界点时，已经包括座位数6283个，要达到6298个的座位下限，12号教室单位座位的消耗功率为13.664W ，7号教室单位座位的消耗功率为14.4W ，差别较大。

因此，只对上表所列的后13个教室进行穷举，即次序为33～45号的教室开放情况进行穷举（13个教室已经远大于临界点后的7个教室，完全可以实现对教室耗电总功率的最小配置，即这里的局部最优解就是全局最优解）。

此时，次序号1～32号的教室全部座位综合为5603个，消耗功率68557W。

即次序号1～32号教室的iz全部为1。

则单行矩阵Z=[]72142253341114445216151z z z z z z z z z z z z z单列矩阵C=72142253341114445216151 c cccccc ccc ccc ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦则耗电总功率(68557+f Z C=•)W，f Z C=•取最小值。

由Matlab软件编程得：ticmin=100000;for i=0:2^13-1xi=dec2bin(i);xi=xi*1-48;l=length(xi);xishu=zeros(1,13);for j=(13-l+1):13if(j~=13)xishu(j)=xi(13-j+1); end endfenliang=[120;120;150;70;70;150;64;70;120;88;85;70;64];dan=[14.4;14.4;15.36;15.429;15.429;16.667;16.875;17.857;18;19.;19.765;24;26.25];sum=69557+xishu*(fenliang.*dan); zuo=5603+xishu*fenliang; if(zuo>6297&&sum<min) min=sum; z=xishu; azuo=zuo; end end toc解得 []1111010001000Z =0i z =，则此教室关闭。

解得需要关闭的教室号为33，11，44，45，16，15，1。

其余教室开放。

此时共提供座位6301个，消耗总功率为80577瓦。

与方法一同解。

问题1两种方法的比较：方法一是在考虑选择问题时的规解法，考虑抉择变量和约束条件即可，具有通用性和普遍性。

方法二在很多领域也都可以用到，但是此题的穷举次数是相当庞大的，因此需要选取好的局部最优解来实现全局最优解。

所以第二种方法的重点是放在如何选取好的局部最优解来减少穷举次数。

但穷举法具有的通俗性以及其通过计算机的易实现的特点是其优势。

问题2方法一：使用分层序列法实现双目标规划由题目可知，问题2可以在问题1的基础上构建，再考虑分区问题和满意度问题。

在此，采用多目标规划方法中的分层序列法。

所谓分层序列法，就是把多目标规划问题中的p 个目标按其重要程度排出一个次序，假设1()f x 最重要，2()f x 次之，3()f x 再次之，最后一个目标为()p f x 。

先求出以第一个目标1()f x 为目标函数。

这里把节约用电作为首要目标，即以问题1作为第一目标函数。

问题1解得的所开放教室为最节约用电时的选择。

由于该目标函数的最优解已在问题1中求得，在此只考虑满意程度的问题（第二目标函数），即分配区域让上自习学生获得最大满意度。

（1） 由表2构造满意度矩阵由题目可知，自习的满意程度只和从学生区到自习区的距离有关系，则可以利用距离关系构造满意度矩阵，为目标规划确定满意系数。

此处采用线性构造方法，能够直观体现满意程度和距离的关系。

由表2可以得到，学生区距离自习区最近的路程为305米，最远的路程为696米。

设距离305米时，满意度为1 距离696米时，满意度为0构造线性方程组 69603051a b a b +=⎧⎨+=⎩解二元一次方程得 1391696391a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩得满意度计算公式： ij ij ad b θ=+ 1696391391ij d =-+由此计算公式得到满意度矩阵（2） 采用分层序列法，在问题1结果基础上考虑满意度实现多目标规划设目标函数 109max ij ij ij g x θ=∑∑ (1,2,...10;1,2,...9)i j ==即所有上自习学生总的满意程度 条件1：情况1：不考虑10个学生区的人数平均分配情况，即可能出现一个学生区上自习的人数为0的情况。