分式方程的增根与无解[1]

例谈分式方程的增根与无解

分式方程的增根与无解是分式方程中常见的两个概念，同学们在学习分式方程后，常常会对这两个概念混淆不清，认为分式方程无解和分式方程有增根是同一回事，事实上并非如此．

分式方程有增根，指的是解分式方程时，在把分式方程转化为整式方程的变形过程中，方程的两边都乘了一个可能使分母为零的整式，从而扩大了未知数的取值范围而产生的未知数的值；而分式方程无解则是指不论未知数取何值，都不能使方程两边的值相等．它包含两种情形：（一）原方程化去分母后的整式方程无解；（二）原方程化去分母后的整式方程有解，但这个解却使原方程的分母为0，它是原方程的增根，从而原方程无解．现举例说明如下：

例1 解方程2

344222+=---x x x x ． ① 解：方程两边都乘以（x+2）（x-2），得2（x+2）-4x=3（x-2）．②

解这个方程，得x=2．

经检验：当x=2时，原方程无意义，所以x=２是原方程的增根．

所以原方程无解．

【说明】显然，方程①中未知数x 的取值范围是x ≠2且x ≠-2．而在去分母化为方程②后，此时未知数x 的取值范围扩大为全体实数．所以当求得的x 值恰好使最简公分母为零时，x 的值就是增根．本题中方程②的解是x ＝2，恰好使公分母为零，所以x ＝2是原方程的增根，原方程无解．

例2 解方程22321++-=+-x

x x x ． 解：去分母后化为x －1＝3－x ＋2（2＋x ）．

整理得0x ＝8．

因为此方程无解，所以原分式方程无解．

【说明】此方程化为整式方程后，本身就无解，当然原分式方程肯定就无解了．由此可见，分式方程无解不一定就是产生增根．

例3（2007湖北荆门）若方程

32x x --=2m x

-无解，则m=——————． 解：原方程可化为32x x --=－2m x -． 方程两边都乘以x －2，得x －3=－m ．

解这个方程，得x=3－m ．

因为原方程无解，所以这个解应是原方程的增根．即x=2，

所以2=3－m ，解得m=1．

故当m=1时，原方程无解．

【说明】因为同学们当前所学的是能化为一元一次方程的分式方程，而一元一次方程只有一个根，所以如果这个根是原方程的增根，那么原方程无解．但是同学们并不能所以认为有增根的分式方程一定无解，随着以后所学知识的加深，同学们便会明白其中的道理，此处不再举例．

例4当a 为何值时，关于x 的方程223242

ax x x x +=--+①会产生增根？ 解：方程两边都乘以（x+2）（x-2），得2（x ＋2）＋ax ＝3（x －2）

整理得（a －1）x ＝－10 ②

若原分式方程有增根，则x ＝2或－2是方程②的根．

把x ＝2或－2代入方程②中，解得，a ＝－4或6．

【说明】做此类题首先将分式方程转化为整式方程，然后找出使公分母为零的未知数的值即为增根，最后将增根代入转化得到的整式方程中，求出原方程中所含字母的值．

若将此题“会产生增根”改为“无解”，即：

当a 为何值时，关于x 的方程223242

ax x x x +=--+①无解？ 此时还要考虑转化后的整式方程（a －1）x ＝－10本身无解的情况，解法如下： 解：方程两边都乘以（x+2）（x-2），得2（x ＋2）＋ax ＝3（x －2）

整理得（a －1）x ＝－10 ②

若原方程无解，则有两种情形：

（1）当a－1＝0（即a＝1）时，方程②为0x＝－10，此方程无解，所以原方程无解。

（2）如果方程②的解恰好是原分式方程的增根，那么原分式方程无解．原方程若有增根，增根为x＝2或－2，把x＝2或－2代入方程②中，求出a＝－4或6．综上所述，a＝1或a＝一４或a＝6时，原分式方程无解．

结论：弄清分式方程的增根与无解的区别和联系,能协助我们提升解分式方程的准确性,对判断方程解的情况有一定的指导意义．