数学论文【不等式的证明方法】(汉)
不等式的证明方法论文1413
不等式的证明方法论文不等式的证明方法摘要不等式的形式与结构多种多样，其证明方法繁多，技巧性强，也没有通法，所以研究范围极广，难度极大．目前国内外研究者已给出很多不等式的证明方法，已有文献分别就不等式的性质、各种证明方法及应用作了论述．论文以现有研究成果为基础，整理和归纳了常用的不等式证明方法，包括构造几何图形、构造复数、构造定比分点、构造主元、构造概率模型、构造方差模型、构造数列、构造向量、构造函数、代数换元、三角换元、放缩法、数学归纳法，让每一种方法兼具理论与实践性．旨在使学生对不等式证明问题有一个较为深入的了解，进而在解决相关不等式证明问题时能融会贯通、举一反三，达到事半功倍的效果，同时为从事教育的工作者提供参考．关键词：不等式；证明；方法Methods for Proving InequalityAbstract：The form of structure of inequality is diversity, and the proving methods of it are various which requires lots of skills, and there is no common way, so it is a extremely difficult study. Researchers have been given a lot of inequality proof methods at home and abroad, the existing literature, respectively, the nature of inequality, certificate of various methods and application are discussed. The paper on the basis of existing research results and summarizes the commonly used methods of inequality proof, including structural geometry, structure complex, the score point, tectonic principal component, structure, tectonic sequence probability model, structure of variance model, vector construction, constructor, algebra in yuan, triangle in yuan, zoom method, mathematical induction, making every kind of method with both theory and practice. The aim is to make the student have a more thorough understanding on the inequality problems , and in solving the problem of relative inequality proof can digest the lines, to achieve twice the result with half the effort, at the same time provide a reference for engaged in education workers.Key words: inequality; proof; method目录1 引言 (1)2 文献综述 (1)2．1 国内外研究状况 (1)2．2 国内外研究评价 (1)2．3 提出问题 (1)3 构造法 (1)3．1 构造几何图形 (1)3．2 构造复数 (2)3．3 构造定比分点 (2)3．4 构造主元，局部固定 (3)3．5 构造概率模型 (3)3．6 构造方差模型 (3)3．7 构造数列 (4)3．8 构造向量 (4)3．9 构造函数 (4)4 换元法 (5)4．1 代数换元 (6)4．2 三角换元 (6)5 放缩法 (6)5．1 添加或舍弃一些正项（或负项） (6)5．2 先放缩再求和（或先求和再放缩） (7)5．3 先放缩，后裂项（或先裂项再放缩） (7)5．4 放大或缩小因式 (7)5．5 固定一部分项，放缩另外的项 (8)5．6利用基本不等式放缩 (8)6 数学归纳法 (8)7 结论 (9)7．1主要发现 (9)7．2启示 (9)7．3 局限性 (9)7．4 努力方向 (9)参考文献 (10)1引言不等式具有丰富的内涵和突出的地位，并且它与数学理论、现实生活、科学研究有着紧密的联系．加之，不等式的形式与结构多种多样，其证明方法繁多，技巧性强，有些不等式用一般的方法（如比较法、分析法、综合法）很难证出来，或者是论证过程很冗长，亦或根本证不出来[1]．于是，人们追寻不等式与其它知识的相互联系，构造新颖巧妙的组合，在不同知识体系的交汇处探究问题，逐步提高知识的“整合”能力，把需证明的不等式加以转换，使之以特殊的行之有效的方法得以证明，在此基础上还要注意从不同角度去分析不等式的结构与特征，应用联系、变化、对立统一的观点恰当地将问题转化，从而使不等式的证明化难为易[10]．探讨不等式证明的不同方法是一项有意义的工作，下文通过典型的例题，揭示了一些不等式证明方法在解题中的应用，旨在进一步拓宽人们证明不等式的能力．2文献综述2．1国内外研究状况国内许多专家、学者研究过不等式的证明方法．在其一般方法（比较法、分析法、综合法）的基础上．早在1987年，闻厚贵就在文[1]编著了不等式证法，该书将不等式的证明方法整理归类．1990年，严镇军在文[2]中编著了不等式，该书归纳了不等式的性质、证明技巧以及应用．1987年，易康畏在文[3]中编著了不等式的图解、证明及演绎，该论著利用图解的形式详细的分析证明了不同的不等式． 2009年，刘美香在文[4]中讨论了构造概率模型证明不等式．2003年，赵会娟、尹洪武在文[5]中研究了不等式证明的几种特殊方法．2004年，李文标在文[6]中浅谈了证明不等式的几种非常规方法；朱胜强在文[7]中探讨了不等式证明的几类非常规方法．2008年余焌瑞在文[8]中研究了构造法在不等式中的运用．2002王廷文、王瑞在文[9]中讨论了构造函数证明不等式．1997年，王廷文在文[10]中总结了构造法证明不等式．2007年，常椒凤在文[11]中讨论了数学解题中的图形构造法；同年，王保国在文[12]中介绍了不等式证明的六种非常规方法；黄俊峰在文[13]中介绍了利用向量的性质证明不等式． 2008年，谭景宝在文[14]中介绍用构造法证明不等式；在文[15]中周燕华就利用转换视角、构造主元证明不等式的方法给出了系统、详尽的举例论证．2008年，耿道永在文[16]中提出了有关不等式的几种新颖构造性证法．2．2国内外研究评价从查到的国内外文献来看，国内外研究者对不等式证明方法介绍了很多，文献[1-17]分别就不等式的性质、不同证明方法及应用作了论述，文献中阐述一种或几种不等式证明方法，一些文献写理论较多，一些文献写例子较多，理论很少，而且许多方法有名称不一而本质一样的情形，如判别式法、构造函数法在形式上都是根据二次函数的性质来进行分解求解的，因此可以归为构造函数法．所以，有必要重新整理和归纳不等式证明方法，让每一种方法兼具理论与实践性．2．3提出问题不等式的证明问题，就其方法而言，没有定法可套，有较大的灵活性和技巧性．而且不等式证明历来是中学、特别是高中数学教学的一个重点和难点．因此在前人研究不等式证明方法的基础上，试图完整地整理出常用的几类方法，使之系统化，并在此基础上探寻新的证明方法．3构造法所谓构造法，就是指通过对条件和结论充分细致的分析，抓住问题的特征，联想熟知的数学模型，然后变换命题，恰当地构造辅助元素，它可以是图形、函数、方程、或其等价命题等，以此架起一座连接条件和结论的桥梁，从而使问题得以解决的数学方法．构造法本质上是化归思想的运用，但它常常表现出简捷、明快、精巧、新颖等特点，使数学解题突破常规，具有很强的创造性．3．1构造几何图形有些不等式若是按常规的代数方法证明，则繁难无比．若是能揭去不等式抽象的面纱，恰当地赋予几何意义，并构造出相应的几何图形，将题设条件及数量关系直接在图形中得到体现，使条件与结论的关系明朗化，就能直观揭露出不等式问题的内在实质，由此获得具体、形象、简洁的证明方法．构造几何图形证明不等式，关键是构造出恰当的几何图形，把不等式由图形来表示出来．常用到 “两点间直线段最短”，“三角形中大边对大角”，“三角形两边之和大于第三边”，“直角三角形斜边大于直角边”等几何知识．例1已知正数111a b c a b c ,,,,,满足条件111a a b b c c k +=+=+=,求证：2111ab bc ca k ++<．2k 看作边长为k 的正方形的面积，从中构分析：如果我们把1ab ，1bc ，1ca 均看作三个矩形的面积，造出前面的这三个矩形．DF a =，1DG AH b ==，AG BH b ==，证明：构造边长为k 的正方形ABCD (如图１)，且令1BE c =，1CF a =，并作出相应的矩形Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ．2111ab bc ca k ++<．图1 由ABCD S S S S I II III>++，可得利用数形结合解题的关键是理解代数式的几何意义，把已知条件或要证不等式中的代数量直观化为某个图形中的几何量，即构造出一个符合条件的几何图形，便可应用该图形的性质及相应的几何知识证明不等式．因此，对于函数的图象和常见曲线要熟记，以便在应用时，能够得心应手，信手拈来．3．2构造复数复数之间不存在大小关系，但复数的模、实部、虚部作为实数，它们之间是可以比较大小的，因此复数的模、实部、虚部各自或彼此之间存在一系列不等关系．构造复数证明不等式的思路是，根据待证不等式和已知条件构造复数，然后代入复数模的不等式中，再把模的不等式化为无理不等式或线段不等式．当求证的不等式中出现“平方和的算术根”的形式的时候很容易联想到复数的模．从而可通过构造复数并利用复数模的性质121212Z Z Z Z Z Z +≥+≥-来证明不等式．例2 设a ，b ，c ∈R ，求证：()2222222a b b c c a a b c +++++≥++． 分析：根据求证式的结构特点，联想复数模的性质121212Z Z Z Z Z Z +≥+≥-． 证明：构造复数1Z a bi =+，2Z b ci =+，3Z c ai =+，则221Z a b =+， 222Z b c =+， 223Z c a =+， ()()123Z Z Z a b c b c a i ++=+++++()22a b c a b c =++≥++，而123123Z Z Z Z Z Z ++≥++，所以()2222222a b b c c a a b c +++++≥++．构造复数证明不等式有很大的局限性，只有当不等式出现“平方和算术根”时，我们才考虑构造复数．3．3构造定比分点设1P ，2P 是直线l 上的两点，点P 是l 上不同于1P ，2P 的任意一点，则存在一个实数λ使21PP P P λ=，λ叫做点P 分有向线段21P P 所成的比．显然，当点P 在线段12PP 上时，λ>0；当点P 在线段12PP 或21P P 的延长线上时，λ<0．如果这条直线l 就是x 轴，且1P ，P ，2P 在x 轴上的实数分别为1p ，p ，2p (其中12p p <)，则12p p p <<的充要条件是λ>0．这样，我们就可以将证明一个不等式的问题转化为对一个实数的符号的判断问题．例3求证：()()()()222341221x x x x ---≤≤++． 分析：此题我们通常用判别式法去证．如果设4-，()()()()2223221x x x x --++，1分别是有向线段上的三点，则可通过定比λ的值确定内、外分点来证得．证明：设4-，()()()()2223221x x x x --++，1分别对应数轴上的点1P ，P ，2P ，P 分有向线段12PP 所成的比为λ，则 ()()()()()()()()()()222222234221312321221x x x x x x x x x x λ--++++==--+-++，所以，0λ≥或λ不存在，故点P 不是21P P 的外分点；当0λ>时，()()()()222341221x x x x ---<<++；当0λ=时，()()()()2223221x x x x --=-4++；当λ不存在时，()()()()22231221x x x x --=++． 综上所述，可知 ()()()()222341221x x x x ---≤≤++． 3．4构造主元，局部固定一些不等式的证明，若从整体上考虑很难入手，则当条件或结论中出现多个变量时，我们可以选取其中一个变量为主元局部固定，抓住这个主元逐一证明不等式．通常是先暂时固定某些变量，而考查个别变量的变化、结果，然后再确定整个问题的结果．例4 设1a ≤，函数()2f x ax x a =+-，求证：当1x ≤时，()54f x ≤． 分析：该问题一般是通过绝对值不等式的几次放缩来证明，但我们若换一个视角，以a 为主元，将题中关于x 的函数看成a 的一次函数，则原命题的陈述方式可改为：一次函数()()21g a x a x =-+的最值不超过54． 证明：设()()21g a x a x =-+，[]1,1a ∈-，[]1,1x ∈-．当210x -=，即1x =±时，()1g a =±．显然()()54f x g a =≤成立． 当210x -≠时，()g a 是a 的一次函数，故只需证明()514g ±≤．因为()22151124g x x x ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭，所以()5114g -≤≤，即()11g ≤；而()22151124g x x x ⎛⎫-=-++=--+ ⎪⎝⎭，所以()5114g -≤-≤，即()514g -≤．综上所述， ()54g a ≤，即()54f x ≤． 3．5构造概率模型概率论是研究随机现象的一门数学分支，它既有其独特的概念和方法，又与其它学科分支有着密切的联系．因此在解答有关数学问题时，若能依据题设条件构建概率模型，可使这些数学问题简捷巧妙解决．构造概率模型解题，关键在于要找到恰当的概率模型．一旦运用成功，它能从某些方面体现出问题的本质规律和数学的内在美，往往给人以耳目一新的感觉．例5 已知0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求证：4sin 2214x x π+≥⎛⎫++ ⎪⎝⎭． 分析：原式即42sin cos 21sin cos x xx x+≥++，由条件知0sin 1x ≤≤，0cos 1x ≤≤．于是只需证2sin cos 1sin cos x x x x +≥++，亦只需证sin cos sin cos 1x x x x +-≤成立，显然利用概率模型来证极为简单．证明：设两独立事件A 和B ，即()sin P A x =，()cos P B x =， 则 ()()()()P A B P A P B P AB +=+-sin cos sin cos 1x x x x =+-≤， 于是 2sin cos 1sin cos x x x x +≥++．因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故sin 0x ≥，cos 0x ≥．即得42sin cos 21sin cos x x x x +≥++，所以4sin 2214x x π+≥⎛⎫+ ⎪⎝⎭． 对于一类涉及0与1的不等式，常可考虑利用概率性质()01P A ≤≤及加法公式()()()()P A B P A P B P AB +=+-，或()()()()()()()()P A B c P A P B P C P AB P BC P AC P ABC ++=++---+来证．其关键是求证式要符合概率加法公式的基本形式．3．6构造方差模型方差()()()222122n x x x x x xSn-+-++-=(其中x 是n 个数据1x ，2x ，，n x 的平均数)，是用于描述数据波动情况的一个量．方差的表达式可以写成()()222212122n n x x x xx x nS n++++++-=．显然有20S ≥(当且仅当12n x xx x ====时等号成立)．利用方差这一变式，我们可以通过构造方差来解决一类有关n 个实数的和与其平方和之间的关系问题．例6 设352x ≤≤，证明：．(2003年全国高中联赛试题) 证明:设原不等式的左边为u （0u >）22222244u S +++-=()21114044x u⎡⎤=+-≥⎢⎥⎣⎦，（352x ≤≤） 所以u ≤≤== 故u <,原不等式成立．通过构造方差模型，使得复杂的无理不等式的证证明问题得以简捷解决．3．7构造数列一个不等式有时涉及多个变量．如果能根据题设条件将某些变量看成是数列的项．则可借助数列中项之间的关系来沟通变量间的联系，使问题获解．通过构造等比数列或等差数列．将不等式中出现的多个变量都用公比或公差来表示．实现了化多元为一元．从而简化了不等式证明的难度．有些不等式中含有与自然数有关的变量，这时如果将这一变量看成是某一数列的项数，构造数列，则可结合数列的知识来证明不等式．例7 求证：131212654321+<-⋅⋅n n n ．分析：这是一道不等式的证明题，若我们总是在不等式的圈子里转悠，问题不能圆满的解决．跳出这个圈子，我们不难发现这是一个自然数有关的命题，那么，解决它的方法不外乎两种，一是利用数学归纳法；二是构造数列．我们来构一个数列{}n a ．证明： 令=n a 132********+⋅-⋅⋅n nn ， 则()()()()431213222221+⋅++⋅+=⎪⎭⎫⎝⎛+n n n n a a n n =1419281242028122323>++++++n n n n n n 所以，n n a a >+1，从而有，1121=>>>>--a a a a n n n ．因此原不等式得证．3．8构造向量向量这部分知识由于独有的形与数兼备的特点，使得向量成了数形结合的桥梁．对于某些不等式的证明，若能依据不等式的条件和结论，将其转化为向量形式，利用向量和及数量积关系式n m n m⋅≤⋅，往往避免复杂的凑配技巧，使证明过程直观而又容易理解．例8 已知,a b R +∈，1a b +=证明：设()1,1=m，(2n a =+，则2m n a ⋅=+2m =，2n=．由m n m n ⋅≤⋅，得≤构造向量时，要充分考虑待证不等式的结构特征，才能有的放矢．3．9构造函数函数揭示了变量之间的对应关系，同样也蕴含着变量之间的不等关系．我们常常利用一次函数的线性性质、二次函数的最值以及函数的单调性等性质证明某些不等式问题．如果能根据题目的条件与所证的不等式的结构特征．合理构造函数，常可使原本复杂的证明变得简便易行．构造函数证明不等式．其关键在于寻找恰当的函数模型．这往往需要将所证的不等式直接改造成函数关系式，或者将其看成某一函数解析式中的系数满足的关系．来探求函数解析式． 3．9．1构造一次函数由一次函数b kx y +=的图像可知，如果()0f m >,()0f n >，则对一切(,)x m n ∈均有()0f x >．我们将这一性质称为一次函数的保号性．利用一次函数的保号性可以证明一些不等式．例9 已知1a <、1b <、1c <,求证:2abc a b c +>++. 分析：首先将不等式化为20abc a b c +--->并整理得(1)20bc a b c -+-->，可将其看成是关于a 的一次函数式.证明:构造函数()(1)2f x bc x b c =-+--,这里1b <、1c <、1x <,则1bc <. 因为(1)12(1)(1)(1)0f bc b c bc b c -=-+--=-+-+->，(1)12(1)(1)0f bc b c b c =-+--=-->，所以,一次函数()(1)2f x bc x b c =-+--,当(1,1)x ∈-时,图象在x 轴的上方.这就是说,当1a <、1b <、1c <时,有(1)20bc a b c -+-->,即2abc a b c +>++.从上例的证明可以看出,构造一次函数证明不等式时,可按下列步骤进行: ⑴将不等式先移项使右边为零;⑵将不等号左边的式子整理成关于某一未知数x 的一次式()0f x >;⑶根据x 的取值范围(,)m n ,确定()f m 与()f n 的符号,确定当(,)x m n ∈时()f x 的符号进而证得不等式.构造一次函数证明不等式,其实质是将一个不等式的证明问题转化为确定解析式某个变量在两个特殊值处的符号问题,从而收到了以简驭繁的效果. 3．9．2构造二次函数通过对所证不等式的观察、分析，构造出二次方程．证明中借助于二次方程的判别式，从而使不等式得证．),0(x f 2>++=a c bx ax ）（设二次函数则02≥++c bx ax 恒成立的充要条件是，0ac 4-b 2≤=∆，根据这一等价关系，我们可以将关于其中一个不等式的证明转化为对另一个不等式的证明．例10 若b a 10<<，求证：112+<-a b b . 分析：结论即0112>++-a b b ，可将左式看成是以b 为主元的二次函数（其中a a 10<<），再予以证明. 证明：令x b =，由b a 10<<，得)1,0(a b x ∈=.构造二次函数)1,0(,11)(2a x a x x x f ∈++-=.其对称轴为21=x . ⑴当211≤a ，即2≥a 时，f(x)在(0，a1)上单调递减.于是 ）（x f >）（a 1f =)1(1111122+=++-a a a a a >0⑵当211>a ，即20<<a 时， 有 041-11)21()(>+=〉a f x f 综上，当)1,0(a x ∈时，011)(2>++-=a x x x f 恒成立,即不等式112+<-a b b 成立.4换元法通过对所证不等式添设辅助元素，使原来的未知量（或变量）变换成新的未知量（或变量），从而更容易达到证明的目的，这种证明不等式的方法称之为换元法．换元法多用于条件不等式的证明，换元法分为代数换元和三角换元．此法证明不等式的一般步骤是：(1)认真分析不等式，合理换元；(2)证明换元后的不等式；(3)得证后，导出原不等式．4．1代数换元对于那些具有一定结构特点的代数式，可以巧设某些代数式换元，把冗长而又复杂的不等式化为简单明了的代数式，则可简洁明快的解决问题．例11 设,,,+∈R c b a 求证:()()()c b a b a c a c b abc -+⋅-+⋅-+≥.分析:经过观察,我们发现,把c b a ,,中的两个互换,不等式不变,说明这是一个对称不等式,如果我们令=-+=y a c b x ,,b a c -+,c b a z -+=则原不等式可化为:()()()xyz x z z y y x 8≥+⋅+⋅+.这是一个较简单而且容易与已知不等式联系的不等式,因而可以按上述换元证明不等式． 证明:令c b a z b a c y a c b x -+=-+=-+=,,,则()z y a +=21,(),21z x b +=()y x c +=21. ,,,+∈R c b a 0<∴xyz 当时,有()()()xyz x z z y y x 8≥+⋅+⋅+；当0>xyz 时,有+∈R z y x ,,(否则z y x ,,中必有两个不为正值,不妨设0≤x ,0≤y ,则0≤c ,这与0>c 矛盾),因此02>≥+xy y x ,,02>≥+yz z y ,02>≥+zx x z()()()xyz x z z y y x 8≥+⋅+⋅+,综上所述,恒有，()()()xyz x z z y y x 8≥+⋅+⋅+把z y x ,,代入上式得: ()()()c b a b a c a c b abc -+⋅-+⋅-+≥4．2三角换元三角换元除了要正确换元外，还要熟练掌握三角函数的诱导公式以及三角函数的有界性等必要知识．对于含有根式的不等式或带有绝对值符号的不等式，可用三角换元法．把问题变成了熟悉的求三角函数值域．为什么会想到如此设，其中主要应该是发现值域的联系，又有去根号的需要．如变量x 、y 适合条件）（0r r y x 222>=+时，则可作三角代换θrcos x =、θrsin y =化为三角问题．例12 若,122≤+y x 求证:2222≤-+y xy x .分析:由,122≤+y x 知点()y x ,在圆122=+y x 的内部或边界上,因此可以考虑变换:,sin θr x =θcos r y = ()πθ20,10<≤≤≤r . 证明:设,sin θr x =θcos r y = ()πθ20,10<≤≤≤r , 则222y xy x -+θθ2sin 2cos 2+=r ⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤42cos 22πθr 22r ≤2≤.5放缩法在不等式证明中，经常用“舍掉一些正（负）项”而使不等式的各项变小（大），或在分式中利用放大或缩小分式的分子、分母，从而达到证明的目的．这种证明不等式的方法称之为放缩法．在证明过程中，适当地进行放缩，可以化繁为简、化难为易，达到事半功倍的效果．但放缩的范围较难把握，常常出现放缩后得不出结论或得到相反的现象．因此，使用放缩法时，如何确定放缩目标尤为重要．要想正确确定放缩目标，就必须根据欲证结论，抓住题目的特点．掌握放缩技巧，真正做到弄懂弄通，并且还要根据不同题目的类型，采用恰到好处的放缩方法．5．1添加或舍弃一些正项（或负项）若多项式中加上一些正的值，多项式的值变大，多项式中加上一些负值，多项式的值变小．由于证明不等式的需要，有时需要舍去或添加一些项，使不等式一边放大或缩小，利用不等式的传递性，达到证明的目的．例13 已知*21().n n a n N =-∈求证：*122311...().23n n a a an n N a a a +-<+++∈证明：111211111111.,1,2,...,,2122(21)2 3.222232k k k k k kk k a k n a +++-==-=-≥-=--+- 1222311111111...(...)(1),2322223223n n n n a a a n n n a a a +∴+++≥-+++=-->-*122311...().232n n a a a n nn N a a a +∴-<+++<∈ 本题在放缩时就舍去了22k -，使分式值变小，从而使和式得到化简．5．2先放缩再求和（或先求和再放缩）若分子, 分母同时存在变量, 要设法使其中之一变为常量．分式的放缩对于分子分母均取正值的分式，如需放大，则只要把分子放大或分母缩小即可；如需缩小，则只要把分子缩小或分母放大即可．具体可根据题目特征，选择先放缩再求和（或先求和再放缩）．例14 函数f （x ）=xx 414+，求证：f （1）+f （2）+…+f （n ）>n +)(2121*1N n n ∈-+． 分析：此题不等式左边不易求和,此时根据不等式右边特征, 先将分子变为常数，再对分母进行放缩，从而对左边可以进行求和． 证明：由f (n )=nn 414+=1-1111422n n>-+⋅ 得f （1）+f （2）+…+f （n ）>n22112211221121⋅-++⋅-+⋅-)(2121)2141211(41*11N n n n n n ∈-+=++++-=+- .评注：本题通过左边的合理变形和放缩，最终和右边式子的结构特征一致，轻松得到了所证结果．5．3先放缩，后裂项（或先裂项再放缩）若不等式证明中涉及较复杂的分式，可根据题目特征，对分式作适当的放缩，以便于裂项化简分式（或先裂项再放缩），达到证明目的．例15 已知a n =n ，求证：∑n k=1 k a 2k＜3． 证明：∑nk=12ka =∑nk=1＜1＋∑nk=21(k －1)k (k ＋1)＜１＋∑nk=22(k －1)(k ＋1) ( k ＋1 ＋k －1 ) =1nk =+=1＋ ∑n k=2 (1(k －1) －1(k ＋1)) =1＋1＋2－1(n ＋1) ＜2＋2＜3．评注：本题先采用减小分母的两次放缩，再裂项，最后又放缩，有的放矢，直达目标．5．4放大或缩小因式若因式中存在变量时，可以选择适当放缩使其中一部分变为常量，具体可根据题目特征选择放大或缩小因式．例16 已知数列{}n a 满足2111,0,2n na a a +=<≤求证：1211().32nk k k k a a a ++=-<∑证明22112131110,,,.2416n n a a a a a a +<≤=∴=≤≤2311,0,16k k a a +∴≥<≤≤当时 1211111111()()().161632nn k k k k k n k k a a a a a a a ++++==∴-≤-=-<∑∑评注：本题通过对因式2k a +放大，而得到一个容易求和的式子11()nk k k a a +=-∑，最终得出证明．例17 设)1(433221+++⨯+⨯+⨯=n n a n求证：2)1(2)1(2+<<+n a n n n 证明：∵ n n n n =>+2)1( 212)21()1(2+=+<+n n n n ∴ 212)1(+<+<n n n n ∴ 2)12(31321++++<<++++n a n n ， ∴2)1(2)1(2+<<+n a n n n评注：本题利用212n n +<，对n a 中每项都进行了放缩，从而得到可以求和的数列，达到化简的目的． 5．5固定一部分项，放缩另外的项一些不等式的证明，如若从整体考虑很难入手，通常可以先暂时固定某些项，而通过放缩个别项来达到化简和证明的目的． 例18 求证：2222111171234n ++++< 证明：21111(1)1n n n n n <=--- 2222211111111151171()().1232231424n n n n ∴++++<++-++-=+-<- 评注：此题采用了从第三项开始拆项放缩的技巧，放缩拆项时，不一定从第一项开始，须根据具体题型分别对待，即不能放的太宽，也不能缩的太窄，真正做到恰倒好处．5．6利用基本不等式放缩针对一些特殊形式的不等式，我们可以运用基本不等式（例：m n a a +）进行放缩求解．例19 已知54n a n =-1对任何正整数m n ，都成立.1，只要证 51mn m n a a a >++因为 54mn a mn =-，(54)(54)2520()16m n a a m n mn m n =--=-++，故只要证 5(54)12520()16mn mn m n ->+-+++即只要证 202037m n +->因为558m n a a m n +=+-558(151529)m n m n <+-++-202037m n =+-，所以命题得证.评注：本题通过化简整理之后，再利用基本不等式由m n a a +放大即可.6数学归纳法一个与自然数n 有关的数学命题，如果：（1）能证明当0k n =（0k 是使命题成立的最小整数）时，命题成立；（2）假设当k n =（0k k ≥的任意正整数）时，命题成立，证明当1k n +=时，命题成立．那么可以断言，这个数学命题对所有自然数n 都成立．这种证明不等式的方法称之为数学归纳法．例20 证明不等式n n 2131211<++++ (n ∈N)．证明：①当n =1时，左边=1，右边=2．左边<右边，不等式成立．②假设n =k 时，不等式成立，即k k 2131211<++++． 那么当n =k +1时，11131211++++++k k1112112+++=++<k k k k k ()()12112111+=++=++++<k k k k k k ．这就是说，当n =k +1时，不等式成立．综上所述：由①、②可知，原不等式对任意自然数n 都成立．评注：这里要注意，当n =k +1时，要证的目标是1211131211+<++++++k k k ，当代入归纳假设后，就是要证明： 12112+<++k k k ．7结论7．1主要发现不等式的证明问题，就其方法而言，没有定法可套，有较大的灵活性和技巧性．而且不等式证明历来是中学、特别是高中数学教学的一个重点和难点．本文系统地归纳整理了几大类不等式的证明方法．如若学生在掌握不等式的基础知识以后，能够灵活应用文中几类方法，以其为指导，不等式问题将能够迎刃而解，使得解决不等式问题时思路清晰，运算简便．尤其是应用构造法，架起一座连接条件和结论的桥梁，在解决一些非常规不等式时作用很大．7．2 启示从文中可以看出不等式与几何图形、复数、概率、方差、数列、向量、函数有着密切的联系，在处理不等式问题时，若能灵活运用这些思想与方法，则会取得事半功倍的效果．教师在讲解具体数学内容和方法时，应该高度重视不等式方法的挖掘和渗透，重视理论和实践的结合，让学生切实领悟其价值，滋生应用的意识．同时学生在解题和学习的过程中也应认真思考，发现和归纳不等式的新方法．7．3局限性本文把理论和实践相结合，归纳了几类不等式证明的方法在解题中的应用，其中主要工作属归结概括，在一些方面存在局限性，一是在不同知识体系间寻求“交汇”跨度大、难度高，不易发现其中的本质联系；二是由于本文整理归纳了较多不等式的证明方法，多则不精，广而不深．7．4努力方向不等式的证明方法种类繁多，不同知识体系间的跨度大、难度高．在教学实践中，并不是短时间可以全部学习掌握的，需要长期学习并积累，而对于不等式的证明方法新的研究与发展，则要在大量的实践中不断摸索．。
中学数学不等式的证明方法 毕业论文
【标题】中学数学不等式的证明方法【作者】涂玲玲【关键词】中学数学不等式证明方法【指导老师】程支明【专业】数学与应用数学【正文】1引言众所周知，在自然界中存在着大量的不等量的关系，不等关系是基本的数学关系.们在数学研究和数学应用中起着重要的作用，因此，研究不等式的证明方法显得非常重要，许多前辈在此领域内取得了非常好的成就，得出了许多证明不等式的方法，在他们的成就基础之上，本文对各种方法进行归纳与总结.不等式是高中数学的重要内容之一，纵观最近10年来的数学高考题，每年都涉及到不等式的证明，特别是最近几年的数学高考题，最后一道压轴题目往往就是不等式的证明.然而，不等式的证明既是中学学习的重点，也是难点，无论是求最值，还是确定参变量的取值范围，都要用到不等式，所以，有必要对不等式的证明方法作一个科学的，全面的，系统的归纳和总结本论文主要是对中学数学学习的不等式的证明方法进行归纳与总结.不等式的证明方法分为一般方法与特殊方法.一般的方法是指在一些特定的条件下,阐述论证过程,揭示内在规律的证明方法,其基本的方法有比较法、分析法、综合法、反证法、数学归纳法、放缩法等等.对于许多结构新颖、风格各异的不等式,用一般的方法难以奏效,者证明的过程十分繁琐,因此这种不等式证明通常用非特殊的证明方法,其主要的方法有构造法、向量法、求导法、换元法等等.2 预备知识2.1 不等式的概念：证明不等式是建立在不等式的概念之上的，所以我们有必要先看看不等式的概念，所谓不等式的概念，通常是指:对任意两个实数与，若与的差是正数（即- > ），则称A大于；若与的差是零（即），则称等于；若与的差是负数（即），则称小于.2.2 基本不等式( ) ( )( ) ≥( )3 证明不等式的方法3.1 比较法在不等式的证明方法中，比较法是最基本，最重要的证明方法，比较法有作差法与作商法两种途径.3.1.1 作差法作差比较：.作差比较的步骤:①作差：对要比较大小的两个数（或两个式子）作差.②变形：对差进行因式分解或配方成几个数（或两个式子）的完全平方和.③判断差的符号：结合变形的结果及题设条件判断差的符号.其中，作差是依据，变形是手段，判断符号是目的，变形的目的在于判断符号，而不在于值的多少.变形的方法一般有配方法、通分的方法与因式分解法等，为此，有时把差变形为一个常数，或者变形为一个常数与一个数（几个数）的平方和的形式，或者变形为一个分式，或者变形为几个因式的积的形式，总之，能判断出差的符号即可.注意：若两个正数作差比较有困难，可以通过它们的平方差来比较大小.例3.1 已知都是正数，并且，求证：.证明：== ? = （）= .因为都是正数，所以>0, ,又因为，所以. 所以.即: .例3.2[2] 已知, ,求证：.证明：,因为, , , ,于是,所以.于是：.因此，不等式成立.例3.3 设,求证: .证明: ( )= ( + )= .所以，≥，当时等号成立．3.1.2 作商法作商法又称比值法，是根据两个正数比较是大于1还是小于1来判别大小的，作商法一般用于不等式两边符号相同的不等式.例3.4 ，求证：.证明：作商：，当时，；当时，；当时，；所以.例3.5[2]比较与的大小（）.解：= ,= ㏒(n+2)(n+2) ，只须比较与的大小．，，因为> , ，所以. ,所以.3.2 综合法综合法是利用已证明过的不等式和不等式的性质推导出所要证明的不等式成立的方法通常叫综合法.言之，综合法是由因导果，即从已知条件或已知的真命题出发一步步推出结论成立.综合法证明不等式的逻辑思路是：A B1 B2 … B n B 利用综合法证明不等式，就要揭示条件与结论之间的因果关系，为此，要着力于分析已知与求证之间的差异与联系，不等式左右两端的差异与联系，在分析差异与联系后，关键在于对已知条件或结论的变形，分析．例3.6 若正数, 满足，求证．证明：由公式得，所以，．例3.7[8] 若是不全相等的正数.求证：.分析：根据本题的条件及要证明的结论，用综合法可以证明．因为，, >0 , .又因为是不全相等的正数，故有﹒﹒.所以，( ﹒﹒) ( ).即：．3.3 分析法分析法是从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题.能肯定这些充分条件确已具备，那么就可以判定原不等式成立，这种方法通常叫分析法．简言之，分析法是执果索因，即从结论开始一步步导出上一步成立的充分条件，直到得出一个真命题为止．当证明不知从何下手时，有时用分析法得以解决，特别是对于条件简单而结论复杂的证明，一般用分析法证明．例3.8 求证．证明：因为都是正数，所以为了证明．只需证明，展开得，即，因为成立，所以，成立．即证明了．例3.9[8] 若, ,求证：．分析：原不等式形式复杂，不宜直接由一端过度到另一端，故可作等价变形，用分析法证明．证明：要证，只要证明- ．即证：,也就是证明,也即证：，因为,只要证明,由题设条件，显然有, 所以，原不等式成立．3.4 反证法反证法：证明某个问题时，先假设它的结论的否定成立，然后从这个假设出发，根据命题的条件和已知的真命题，经过推理，得出与已知事实（条件，公理，定理，定义，法则，公式）相矛盾结果，这样，就证明了结论的否定命题不成立，从而间接地证明了原命题成立．反证法证明的步骤：①假设原命题不成立．②从这个结论出发，经过推理论证，得出矛盾．③由矛盾判断判断假设不正确，从而肯定或者否定原命题的正确性.当然，反证法有归谬法与穷举法两种：归谬法：原命题的否定只有一种情况，只要把这种情况推翻，就可以肯定原命题成立．穷举法：原命题的否定不止一种情况，那么就必须把几种情况都否定，才能肯定原命题成立．反证法一般实用的范围：①条件很少或者由已知结论能推得的结论很少．②命题的结论以否定的形式出现．③命题的形式以至多或者至少出现．④命题的结论以“唯一”的形式出现．⑤命题的结论以“无限”的形式出现．不等式证明题可看成一个数学命题，即：由原命题与逆否命题的等价关系，证明原命题为真即是证明其逆否命题成立，这就是反证法.反证法证明不等式的步骤是首先假定不等式不成立，其次根据已知条件推导出与假设矛盾，最后否定假设即原命题得证．在证明原命题为真困难时常用反证法证明.例3.10 已知求证：．证明：由知，假设，则，又因为，所以，即，从而，与已知矛盾．所以假设不成立，从而．同理，可证．例3.11若，求证：．证明：假设，则，即．因为，所以．故，又，，即．所以，即，这显然不成立.故假设不成立，即．例3.12设均为小于1的正数，求证：，不能同时大于．证明：假设同时大于，即，，．则由，可得，同理，.三个同向不等式两边分别相加，得，这显然不成立.所以原结论成立．3.5 放缩法[7]放宽或者缩小不等式的范围的方法，常用在多项式中“舍掉一些正（负）项”而使不等式各项之和变小（大），或者“在分式中放大或缩小分式的分子分母”，或者“在乘积中用较大或较小的因式代替”等方法，而达到证明的目的.缩的技巧是：欲证明A≤B，欲寻找一个（或多个）中间变量C，使A≤C≤B，由A到C叫做“放”，由B到C叫做“缩”．放缩法是证明不等式的重要方法．应用哪些方法放缩，向哪个方向放缩，放缩到什么程度是使用该方法证明不等式的关键及难点，基本思想是利用不等式的传递性强化命题．常用的技巧去掉式子中某些正项式负项，或将不等式的一边用较大或较小的式子代换，或将不等式的常数放缩为式子或转化为与另一边具有相同结构的式子，或应用真分数的性质，或利用正余弦的有界性．例3．13 已知：, .求：．解：因为（当且仅当时，等号成立），同理（当且仅当时，等号成立），（当且仅当时，等号成立）．所以.（当且仅当时，等号成立）因为由已知可得，所以．例3.14设是三角形的边长，求证：．证明：由不等式的对称性，不防设，则左式－右式．因为是三角形的边长，,所以，又因为.所以.因此，原命题成立．3.6 数学归纳法[6]用数学归纳法证明有关自然数的不等式，须用两个步骤完成：第一步，验证取第一个值时不等式成立；第二步，假定取某一个自然数时，不等式成立；第三步，当时，不等式成立.数学归纳法证明不等式的重点及难点是从时不等式成立推出时不等式也成立的过程，往往要运用一些技巧，特别是放缩技巧，所以这两种方法是紧密相连的．例3．15 求证：．证明：1）当时，右边，显然不等式成立．2）假设当时命题成立，即．3) 当时,.故当时，不等式也成立．综上由1）与2）可知，原不等式对一切均成立．本题的关键在由到时的推证过程，首先要注意分析清楚命题的结构特征，即由到时不等式左端项数的增减情况,再利用假设来推证，针对问题的特点,巧妙合理地利用放缩技巧，即，使问题获得简捷的证明.例3.16 公式为，将数列中的第项依次取出，按原来的顺序组成一个新数列，记其前项和为，当时，证明．证明：因为所以.因此:因为．要证，只需证明，即要证：．用数学归纳法来证明：1)当时，成立．2)假设当时，结论成立，就是．则当时，．因为，所以.即就是时，也成立．综上（1）和（2）知，对, 都成立．3.7 换元法对所证不等式的题设和结论中的字母作适当的变换，以达到化难为易的目的，这种方法叫换元法.换元的目的就是减少不等式中变量，以使问题化难为易，化繁为简，常用的换元有三角换元、代数换元与均值换元．3.7.1三角换元法利用三角换元可以把代数的问题转化为三角函数式，再利用三角函数的性质来解题.例3.17设且，求证：.证明：, , , , ∈(0,).于是，所以①，②,③,④.上面①②③④四个式子相乘，整理化简可得.因此．3.7.2代数换元[11]例3.18设是三角形的三边长, 是三角形的半周长，求证：.( 年瑞士数学竞赛)证明:令, 其中，, 则,所以不等式等价于．因为，上述三式相成，得.故原不等式得证．例3.19[4] 设为正实数，求证：．令则可以得出从而-17 2 4 8-17 2 -17 12 .可以算出，对任何的正实数,只要, 就可以取到等号.3.7.3均值换元例 3.20 [9] 若,且,求证：.证明：令.因为, 又因为,所以.即：.3．8用函数的性质证明不等式（函数的最值、极值、单调性等）如果在区间的最小值,且，则.如果的最大值且,则.当的符号有正有负时，可以求出的零点,并求出,如，则证明了.（如果在所给的区间上函数有几个驻点或不可导点，应按求区间上函数最值的方法处理）最值法[9]：要证,只须证明，反之，，只须证明.例 3.21 设, 且,求证：对于任意的实数,有成立.证明：令.因为,所以，，.所以，.又因为,所以，.因此，,即是：.例3.22 证明不等式证明：将原不等式变形为.设，则,当时，，所以.即, 因此在区间单调增加.又，于是当时，,亦即，因此.例3.23 设，求证：.证明：.当时，取最大值,当时，取最小值,故.3．9 向量法证明不等式[5]例3.24 设均为正数，求证.证明：构造向量，，由得：.例3.25 若，求证：.证明：构造向量，, ,则.于是由,有,得.例3.26 设a，b为不等的正数，求证：.证明：构造向量，，则:.因为为不相等的正数，所以.即和，所以.3.10 构造法在我们的学习过程中，常遇到一些不等式的证明，看似简单，但却无从下手，很难找到切入点，几种常用的证法一一尝试，均难以凑效.这时我们不妨变换一下思维角度，从不等式的结构和特点出发，在已学过的知识的基础上进行广泛的联想，构造一个与不等式相关的数学模型，实现问题的转化，从而使不等式得到证明（即构造法）[3],下面通过举例加以说明.3.10.1 构造向量证明不等式例3.27 证明：，并指出等号成立的条件.证明：不等式左边可看成与和与两两乘积的和，从而联想到数量积的坐标表示，将左边看成向量,与的数量积，又，所以.当且仅当时等号成立，故由得：, ，即时,等号成立.例3.28 求证：.证明：不等式左边的特点，使我们容易联想到空间向量模的坐标表示，将左边看成模的平方，又,为使为常数，根据待定系数法又可构造.于是,.所以,即.3.10.2 构造复数证明不等式例3.29 求证：.证明：从不等式左边的结构特点容易联想到复数的模，将左边看成复数, ，，模的和，又注意到，于是由可得不等式3.10.3构造几何图形证明不等式例3.30 已知：,求证：，当且仅当时取等号.证明：从三个根式的结构特点容易联想到余弦定理，于是可构造如下图形：作，，如图（3.1）则，,由几何知识可知：所以当且仅当三点共线时等号成立，此时有，即.故当且仅当时取等号.例3.31 已知锐角满足,求证: .证明：如图（3.2）所示，构造长方体，其长，宽，高分别为其一对角线B1D与棱BB1,A1B1,B1C1的夹角分别为.所以.所以.因为, , ，所以.因为, , ，所以.说明：数形结合的思想非常重要，在用数形结合时要记住一些常有的结论.3.10.4 构造曲线证明不等式例3.32 求证：.证明：的结构特点，使我们联想到椭圆方程及数形结合思想.于是令，则其图象是椭圆的上半部分，设，于是只需证明, 因为直线在轴上的截距，由图可知：当直线过点时，有最小值为；当直线与椭圆上半部分相切时有最大值.由得：.令△=得：或（舍）,即的最大值为，故，即.3.10.5 构造方程证明不等式例3.33 已知, ,求证: .证明：设记为（*）①,因为,所以，不等式成立．②当时，,所以是方程（*）的根.所以.所以.说明：形如型不等式的证明可以尝试构造二次方程的方法来解.3.10.6 构造函数证明不等式[1]函数揭示了变量之间的对应关系，同样也蕴涵着变量之间的不等关系，如果能根据题目的条件与所证的不等式的结构特征，合理构造函数，常可使原本复杂的证明变得简便易行.3.10.6.1 构造一次函数我们要证明的不等式的两端表达式中含有一次的字母,可以把一个一个字母看成函数的自变量,从而构造一次函数,再利用一次函数的性质证明不等式.例 3.34 , , , 求证: .分析: ),可联想到构造函数,因为, ,须证明.证明: 设,当,因为,所以, ,因此, ,即: ,也就是.当, , ,所以当时, ，所以, .3.10.6.2 构造二次函数所证不等式的两端表达式中含字母的次数是2次,可将字母当成函数的变量,构造二次函数,利用二次函数的性质证明不等式.例3.35 为任意三角形的三个内,求证: .分析：要证明式子整理为的二次函数式.证明: ，因为= .所以,故.例3.36 已知,求证：.证明：题知条件可化为,即: 非零且与异号.设, 则, 所以与异号，当时，抛物线开口向上，而此时,则抛物线必与轴有两个交点，从而,即,当时，同理可证，综合之，即可证明原不等式.3.10.6.3 构造单调函数例3.37 求证：≤+ .此题若运用绝对值不等式的性质去证明, 学生一时无从下手.这时, 引导学生整体思维, 即在思考问题时, 把注意力和着眼点放在问题的整体上, 全面的收集和获取信息, 对问题作出整体判断, 从高层次上寻找捷径, 化难为易, 从而诱发灵感, 获得问题的简捷解法.证明:构造函数,并证在上为增函数.因为+ ，所以+ + .3.10.6.4 构造奇偶函数例3.38 证明不等式(x≠0),则f(-x)=-x( )= ( - )= = ( ) ( )= - =f(x).所以是偶函数，当时，,所以,因此,即有,由偶函数的性质知，当,即：当,恒有，所以.3.10.6.5 构造三角函数例3.39 已知,且,证明:当且时, .分析:把条件转化为,根据这一特征,可引入三角变换.证明:因为,所以,设, , , 则.因为,所以<1, ,所以当时, ,所以.即( ,又,所以.3.10.6.5 构造对偶式证明不等式例3.40 对任意自然数，求证：.证明：设=构造对偶式：.,，,即: , ,所以.所以，即：.以上可以看出：（1）构造法不仅是证明不等式的重要思想方法，也是解不等式，求函数值域或者最值的重要思想方法.（2）运用构造法解题，必须对基础知识掌握的非常熟练，必须有丰富的联想和敢于创新的精神.（3）不时机地运用构造法，定能激发和培养学生的探索精神与创新能力.3.10.7造数列证明不等式例3.41 设都大于且同号，求证：.证明：构造数列：，则[ . .若，则易知；若则，又，故.因此，对一切有但,所以，对一切从而原不等式成立.说明：涉及与自然数有关的不等式的证明时，可以用数学归纳法，但若用构造递增(或递减)数列的方法，有时会更简便一些.例3.42已知，，且，求证：.证明：因为，据已知条件或知成等差数列，于是可以设,其中，代入上式右边，整理得.3.11 导数法应用导数证明不等式是导数的一个重要应用,是不等式证明的一种新方法.导数法证明不等式就是根据原不等式的结构特点,构造适当的函数,进而通过求导考察函数的单调性或最值,再利用函数的单调性或最值来证明不等式,导数法证明不等式的关键是构造函数.例3.43 (1)设,求证: ；(2)若, ,且,则. (1983 年全国高考题)证明:依条件? > .构造函数,则.(1) 当时, ,所以在上是减函数.又,所以,即.(2) 当时, ,所以在上是增函数.由, 得,则,从而,所以.若, ,即;若,则,即,这都与,故.注意:本题(2)利用反证法把等式的证明转化为不等式的证明.例3.44[10]证明不等式: .证明: 设函数,则: .所以,函数f(x) 在上单调递增.当时, ,即: .例3.45[10] 证明不等式: , .证明: 设函数,+ )- = .令,得驻点.当时, ；当时,所以是函数f(x)的唯一的极小值点,即最小值点.当时,恒有, 即: .。
不等式证明毕业论文
不等式证明毕业论文本篇论文主要研究不等式的证明，介绍了不等式的基本概念和证明方法，并详细阐述了几种常用不等式的证明过程，并对证明过程中需要注意的细节进行了分析。
一、不等式的基本概念不等式是数学中的一类常见且极其重要的结论形式，它与等式类似，都是表示一个值与另一个值之间的关系，但不等式却不一定要求这两个值相等，而只需要它们满足一定的大小关系。
常见的不等式有单变量不等式、双变量不等式、多变量不等式等。
二、不等式的证明方法证明不等式的方法一般分为数学归纳法、数学分析法、构造法、反证法、代数法、几何法等多种，而选择不同的证明方法往往取决于不同的不等式性质。
1. 数学归纳法数学归纳法是一种非常常用的证明方法，它通过证明一个基本条件成立，再证明该基本条件成立时下一步也成立，反复循环这个过程最终达到证明整个结论的目的。
这种证明方法对于很多不等式问题非常有效，因为它可以将整个证明过程分成逐步推进的几个步骤，每个步骤都是简单且显然成立的。
例如，我们考虑证明以下的不等式：$$1+2+3+...+n\\leq\\frac{n(n+1)}{2}(n\\in N^*)$$首先，我们将该式子称之为P(n)，即需要证明P(n)成立。
接着，我们通过证明P(1)为真来展开证明，即证明1的结论成立：$$1\\leq\\frac{1(1+1)}{2}$$证明上述结论后，我们进入下一步，假设P(k)成立，即$$1+2+3+...+k\\leq\\frac{k(k+1)}{2}$$接下来，我们考虑P(k+1)成立，即$$1+2+3+...+k+(k+1)\\leq\\frac{(k+1)(k+2)}{2}$$将等式两边加上(k+1)即可得到$$1+2+3+...+k+(k+1)\\leq\\frac{(k+1)(k+2)}{2}$$于是，我们通过数学归纳法证明了该不等式。
2. 数学分析法数学分析法通常适用于一些比较复杂的不等式，该方法能够通过对数学表达式的一些基本性质进行分析，从而推导出结论。
不等式证明论文
不等式证明论文摘要：不等式是数学中的一个重要课题，揭示了现实世界中广泛存在的量与量之间的不等关系，在现实生活和生产活动中有着重要的应用。
就知识间的内在联系而论，不等式是进一步学习函数、方程等知识必不可少的基础，不少数学问题的解决，都将直接或间接地用到不等式的有关知识。
下面就来看一下不等式的证明以及它的简单应用一、不等式的证明问题不等式的证明问题，是中学数学的重点和难点问题，是解决函数最值问题、应用题的常用工具，也是学好其他方面数学知识的基础。
因此，学好、掌握不等式的证明将会给我们以后在处理一些数学问题解决方面带来便捷和帮助。
下面我将就这个问题谈一下自己的体会和心得。
在证明不等式时，应从条件入手，从不同的思维角度去探求多种证明方法，并努力做到举一反三，总结出简捷的解法。
二、不等式的几种证明方法总结以往我们所学的数学知识不难发现不等式的证明方法多种多样，它可以和许多其他的数学内容相结合，如数列，函数，三角函数，二次曲线，方程等等。
因此证明时，除应用不等式性质外，还要用到其他数学知识的技能和技巧，在方法上有比较法、分析法、综合法、反证法、换元法、数学归纳法、放缩法等等。
问题：已知a，b∈R+且a+b=1，求证：a4+b4≥18下面我将就上面这个具体的不等式证明问题来简单介绍一下不等式证明证明的几种方法。
1.分析法：就是从寻求使结论成立的充分条件入手，逐步寻求需条件成立的充分条件，直到所需的条件已知正确为止。
证明a4+b4≥18就是证明（a2+b2）2-2a2b2≥18即证明（1-2ab）2-2a2b2≥18即2a2b2-4ab+78≥0也就是证明（ab-74）（ab-14）≥0∵a，b∈R+，a+b=1∴0由a+b≥2ab得ab≤（a+b2）2=14∴（ab-74）（ab-14）≥0成立∴a4+b4≥182.综合法：就是从已知或证明过的不等式出发根据不等式性质推导出要证明的不等式。
综合法往往是分析法证明的逆过程，表述简单，条理清楚。
不等式的证明方法
不等式的证明方法【摘要】不等式是数学中的重要工具，不等式的证明方法比较多，本文给出了不等式的常规证法，同时结合导数与积分知识给出两种证明不等式的方法。
【关键词】不等式证明；常用证明方法；函数单调性；定积分不等式是高中数学的重要组成部分，也是数学中的一个重要工具，而不等式的证明是高中数学中难点之一。
由于其题型广泛，涉及面广，技巧性强，证法灵活，本文通过一些例子，归纳整理了一些证明不等式时的常用方法和技巧，并且结合高等数学知识，来证明一些比较困难的不等式，使之过程更加简洁、易懂。
一、初等数学中常用来证明不等式的方法1.比较法。
这是一种证明不等式的最基本的方法，具体有“作差法”和“作商法”两种。
此法体现了化归的思想方法，其基本证明思想是把难以比较的式子变成其差与0比较大小，或者其商与1比较大小。
一般情况下，若求证的不等式两端是分式时，常用作差法；若求证的不等式两端是乘积形式或幂指数形式时，常用作商法来比较。
2.综合法。
由已知条件出发，借助某些已经证明过的不等式和不等式的性质及其有关定力，经过逐步的逻辑推理，到处所要证明的不等式成立。
此法的特点是“由因导果”，即从“已知”看“已知”，逐步推向“未知”。
3.分析法。
从结论出发，寻找命题成立的充分条件，知道这个条件是可以证明或已经证明的不等式，或者是已经成立的结论，由此便可推到出原不等式成立。
此法的特点是“执果索因”，常用的形式是“欲证…，只需证…”。
4.换元法。
这是一种使许多实际问题解决中祈祷化难为易，化繁为简作用的方法，有些问题直接证明较为困难，若通过换元的方法去解则很方便，常用于条件不等式的证明，常见的是“三角换元法”和“比值换元法”。
①三角换元法：这是一种常用的换元方法，在解决代数问题时，使用适当的三角函数进行换元，把代数问题转化为三角问题，再充分利用三角函数的性质去解决问题，常见的有如下几种形式：则令则令则令②比值换元法：此法对于在已知条件中含有许多个等比式的问题，通常可先设一个辅助未知数表示这个比值，然后代入要求证的式子即可。
证明不等式的方法论文
证明不等式的方法李婷婷摘要： 在我们数学学科中，不等式是十分重要的内容。
如何证明不等式呢？在本文中，我主要介绍了不等式概念、基本性质和一些从初等数学中总结出的证明不等式的常用方法，分别有比较法、综合法、放缩法、数学归纳法、换元法、判别式法、分解法方法。
证明不等式的方法多种多样，在这里我就只例举这些方法。
证明不等式方法因题而异，灵活多变，技巧性强。
通过学习这些证明方法，使我们进一步掌握不等式证明，可以帮我们解决生活中的许多实际问题。
关键字：不等式；数学归纳法；函数；单调性不等式作为一个重要的分析工具和分析的手段，在数学中具有举足轻重的地位，不等式的证明可分为推理性问题和探索性问题，推理性问题是指在特定条件下，阐释证明过程，解释内在规律，基本方法有比较法,综合法；探索性问题大多是与自然数有关的证明问题，常采用观察—归纳—猜想—证明的方法思路，以数学归纳法完成证明，不等式证明还有其他方法：换元法，放缩法等。
不等式的证明没有固定的程序，证法因题而易，技巧性强。
希望通过这些方法的学习。
我们可以很好的认识数学的一些特点，从而开扩我们的数学视野。
1不等式概念及基本性质1.1不等式的概念：表示不相等关系的式子。
实数集内的任意两个数b a ,总是可以比较大小的，如果b a -是正数，则b a >;如果b a -是零，则b a =；如果b a -是负数，则b a <。
反过来也对。
即有a ≧b 0≥-⇔b a 这里符号⇔表示等价于。
这个定义虽然简单，实际它反映不等式的性质。
许多不等式的证明，是从这个定义出发。
首先，根据不等式的定义，容易证明下述不等式的简单性质，这些性质是证明其他不等式的基本工具。
1.2不等式基本性质1.2.1b a >a b <⇔(对称性)1.2.2若b a >,c b >,则c a >(传递性)1.2.3若b a >,则c b b a +>+(加法保序性)1.2.4若b a >,0>c ，则bc ac >(乘正数保序性)1.2.5若b a >,d c >,则.a c b d +>+若b a >,d c <,d b c a ->-.0>>b a ,0>>d c ,则bd ac >.1.2.6若b a >,0>ab ,则.11b a <1.2.7若0>>b a ,0>>c d ,则.d b c a >1.2.8若0>>b a ,.,N n n n n b a b a n >>∈，则1.2.9若0>>b a ,m ,.,N nm n m n m n m b a b an --<>∈，则 1.2.10含绝对值的不等式 ()()()........4.3.0)2((1)1212222n n a a a a a b a b a b a a x a x a x a a x ba xb a a b x ax a a x a x ++≤++++≤±≤--≤≥⇔≥⇔>≥-≤≤--⇔≤+<<-⇔<⇔≤或1.2.11若，R ,∈b a 则().0,022≥-≥b a a 1.2.12若，+∈R ,b a 则.2ab b a ≥+符号当且仅当b a =时成立。
不等式证明方法的探毕业论文究
不等式证明方法的探毕业论文究目录一．不等式的概念：................................... - 1 - 二．不等式的证明方法................................. - 1 -1.比较法：........................................ - 1 -2.综合法：........................................ - 2 -3.分析法: ......................................... - 3 -4.数学归纳法: ..................................... - 4 -5.反证法: ......................................... - 6 -6.换元法: ......................................... - 7 -7.放缩法: ......................................... - 7 -8.利用单调函数法：................................ - 9 -9.利用微分中值定理：.............................. - 9 -10、利用不等式定理：............................. - 10 -11、利用泰勒公式：............................... - 11 -12、利用函数的极值法：........................... - 11 -13、中值定理法：................................. - 12 -14.利用函数的凹凸性：............................ - 12 -15.利用定积分理论：.............................. - 13 - 小结: ............................................... - 14 - 参考文献：.......................................... - 15 -一．不等式的概念：用不等号把两个数学式子连结起来而得到的式子叫做不等式。
不等式的证明方法-毕业论文
XX师X大学数学与信息科学学院学士学位论文不等式的证明方法Method to prove inequality姓名：学号：学院：数学与信息科学学院专业：数学与应用数学指导老师：完成时间：2013年3月9日不等式的证明方法***【摘要】不等式证明在数学中有着举足轻重的作用和地位，是进行计算、推理、数学思想方法渗透的重要题材，是数学内容的重要组成部分，在不等式的证明过程中需要用到诸多的数学思想，结合了许多重要的数学内容。
在本论文中，我总结了一些数学中证明不等式的方法.在初等数学不等式的证明中经常用到的有比较法、作商法、分析法、综合法、数学归纳法、反证法、放缩法、换元法、判别式法、函数法、几何法等等.在高等数学不等式的证明中经常利用中值定理、泰勒公式、拉格朗日函数、以及一些著名不等式，如：均值不等式、柯西不等式、詹森不等式、赫尔德不等式等等.从而使不等式的证明方法更加的完善，有利于我们进一步的探讨和研究不等式的证明. 通过学习这些证明方法，可以帮助我们解决一些实际问题，培养逻辑推理论证能力和抽象思维的能力以及养成勤于思考、善于思考的良好学习习惯。
【关键词】不等式比较法数学归纳法函数Method to prove inequality*******【Abstract】That inequalities in mathematics was very important role and status and is evaluated, reasoning, mathematical way of thinking is important to infiltrate into the subject is math content of the important ponent of the inequalities in the process needs to be used in many mathematical thought, with many important mathematical content。
不等式证明的方法
不等式证明的方法作者：王菲来源：《赢未来》2018年第22期摘要：证明不等式的方法多种多样，对于不同的不等式，采用合适的证明方法，可以快捷地解决不等式问题。
研究和探讨证明不等式的方法，对于进一步了解和研究不等式有十分重要的意义，同时为研究不等式应用提供理论基础和学术指导。
关键词：不等式；证明；函数1.1、利用单调性，函数构造法函数构造法是证明不等式常用的一种方法，构造相关函數，利用函数的单调性，通过判别函数的单调性，比较具体函数值的大小，从而证明不等式成立。
如果未知函数具体形式的不等式，则不能用求导的方法来证明，这时我们就可以运用函数单调性和奇偶性来解决问题，同时还可以结合函数图形，更直观地证明不等式。
对于一些可以转化为函数问题的不等式，通过构造辅助函数，判别函数单调性和奇偶性来解答不等式。
1.2、数形结合法数形结合法是通过数与形的相互转化，通过图形将复杂或抽象的数量关系，直接形象地翻译出来，使数学问题获得简捷的解法。
数形结合法是一种比较常用的证明不等式的方法，与其他证明方法相比，往往更直接更容易明白，解题更快。
1.3、比较法、综合法和分析法比较法是一种比较常用的证明不等式的方法。
比较法是通过观察和分析，找出研究问题的相同之处和不同之处。
比较法一般分为作差比较和作商比较。
作差比较法，顾名思义，就是两式相减与零比较大小。
作商比较法，就是两式相比的结果与1比较大小。
比较法运用比较广泛，很多定理性质都要用到比较法。
比较法是证明不等式的最基本的方法，采用作差法还是作商法，关键在于所证不等式的结构和条件，其目的在于作差或坐商后，是否易于解决问题。
比较法一般用于证明常数不等式。
综合法是由因及果，分析所证不等式的两边，得出结果。
分析法是由果及因，从所证不等式一步一步分析，化简后的不等式明显成立。
1.4、放缩法放缩法是根据不等式的传递性将不等式的一边适当地放大或缩小，从而使不等式简单明了，进而证明不等式成立。
放缩法关键是放大或者缩小，放缩过程是一个逐步放大或者缩小的过程，要根据式子的特点来掌握放缩程度。
高等数学中不等式的证明方法
高等数学中不等式的证明方法第一篇：高等数学中不等式的证明方法高等数学中不等式的证明方法摘要：各种不等式就是各种形式的数量和变量之间的相互比较关系或制约关系，因此，不等式很自然地成为分析数学与离散数学诸分支学科中极为重要的工具，而且早已成为专门的研究对象。
高等数学中存在大量的不等式证明，本文主要介绍不等式证明的几种方法，运用四种通法，利用导数研究函数的单调性，极值或最值以及积分中值定理来解决不等式证明的问题。
我们可以通过这些方法解决有关的问题，培养我们的创新精神，创新思维，使一些较难的题目简单化、方便化。
关键词：高等数学；不等式；极值；单调性；积分中值定理Abstract: A variety of inequality is the various forms of high-volume and variable comparison between the relationship or constraints.Therefore, Inequality is natural to be a very important tool in Analysis of discrete mathematics and various bran（毕业论文参考网原创论文）ches of mathematics.It has been a special study.Today there are a large number of inequalities in higher mathematics.This paper introduces the following methods about Proof of Inequality ,such as the using of several general methods, researching monotone function by derivative, using extreme or the most value and Integral Mean Value Theorem.We can resolvethe problems identified through these methods.It can bring up our innovative spiritand thinking and some difficult topics may be more easy and Convenient,Keyword: Higher Mathematics;Inequality;Extreme value Monotonicity;Integral Mean ValueTheorem【摘要】不等式证明是高等数学学习中的一个重要内容，通过解答考研数学中出现的不等式试题，对一些常用的不等式证明方法进行总结。
不等式证明的若干种方法毕业论文
本科生毕业论文题目不等式证明的若干种方法院系_____________ 数学系_____________ 专业数学与应用数学2013年5月本科生毕业设计（论文♦创作）声明本人重声明：所呈交的毕业设计，是本人在指导教师指导下，进行研究工作所取得的成果。
除文中已经注明引用的容外，本设计的研究成果不包含任何他人创作的、已公开发表或没有公开发表的作品容。
对本论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集体，均已在文中以明确方式标明。
本设计创作声明的法律责任由本人承担。
作者签名：年月日本人声明：该毕业设计是本人指导学生完成的研究成果，已经审阅过毕业设计的全部容，保证题目、关键词、摘要部分中英文容的一致性和准确性，并通过一定检测手段保证毕业设计未发现违背学术道德诚信的不端行为。
指导教师签名：年月日不等式证明的若干种方法高银梅（师学院数学系数学与应用数学2009级）摘要：无论在初等数学还是高等数学中，不等式都是十分重要的容。
而不等式的证明则是不等式知识的重要组成部分。
在本文中，我总结了一些数学中证明不等式的方法。
在初等数学不等式的证明中经常用到的有比较法、综合法、分析法、换元法、增量代换法'反证法、放缩发、构造法、数学归纳法、判别式法等等。
在高等数学不等式的证明中经常利用中值定理、泰勒公式♦拉格朗日函数以及一些箸名不等式，如：柯西不等式、蔭森不等式、施瓦茨不等式、赫尔德不等式等等。
从而使不等式的证明方法更加完善，有利于我们进一步探讨和研究不等式的证明。
通过学习这些证明方法，可以帮助我们解决一些实际问题，培养逻辑推理论证能力和抽象思维的能力以及养成勤于思考、善于思考的良好学习习惯。
关键词：不等式，证明方法，常用，特殊Abstract: both in elementary mathematics and higher mathematics, the inequality is very important content・ Inequality and the proof is an important part of knowledge・ In this article, I suniniarized some mathematical proof of the method of inequality. Inequality in elementary matheinatics analyst is often used with comparison method, synthesis, analysis, change element method, incremental substitution method, the reduction to absurdity, zooming, construction method, mathematical induction, discriminant method and so on. Inequality in higher mathematics analyst often use of mean value theorem, Taylor formula, Lagrange function, and some well-known inequalities, such as cauchy inequality, Jensen，s inequality, inequality Schwartz, held, and so on. So that the inequality proof method more perfect, good for our further discussion and study of inequality proof・ By studying these proofs, can help us to solve some practical problems, to cultivate logical reasoning ability and abstract thinking ability and the students to form good learning habits of thinking, good at thinking・Keywords: inequality, the proof method, commonly used, special目录1前言 (6)2利用常用方法证明不等式 (7)2. 1比校法 (7)2. 2综合法 (7)2. 3分析法 (8)2. 4换元法 (8)2. 5增量代换法 (8)2. 6反证法 (9)2. 7放缩法 (9)2. 8构造法 (10)2. 9数学归纳法 (10)2.10判别式法。
函数不等式的几种证明方法数学系毕业论文
毕业论文学 院统计与应用数学学院班 级 数学一班学 号姓 名论文题目 函数不等式的几种证明方法分析 指导教师（姓名及职称） 讲师[总评成绩： ]函数不等式几种证明方法分析Analysis of methods in proving function inequalities统计与应用数学学院数学与应用数学专业2010 （1）班2010720066指导老师：内容摘要：不等式在数学中有非常重要的地位，对于不等式的考察可以体现学生的基础知识水平和严密的逻辑思维。
在高中我们就学过比较法和构造函数法来解决不等式问题，在高等学府学习过数学分析，微积分等等以后，了解到还有许多方法来证明不等式，比如说设置辅助函数，考察新函数单调性；考察函数的极值或者是最大最小值；有微分中值定理；函数的凹凸性；泰勒公式；积分性质；积分中值定理；变限积分；柯西中值定理；导数的性质；导数的定义，不等式的放缩等等方法。
本文将逐一介绍这些解题方法，每种方法都会通过一些例题，来验证一些解题的思想和步骤，给出简洁的证明过程，使得大家在碰到数学不等式证明方面更为得心应手，也显示出数学分析思想在不等式领域中的地位。
关键词：不等式；泰勒级数；函数单调性；中值定理；定积分Abstract:：Inequality holds the extremely important status in mathematics, it can inspect students’basic knowledge level and strict logical thinking. In high school we learned comparative method and construct assistant function to solve the inequality problem, after learning mathematical analysis or calculus at university, ,we know there are many other methods to prove inequality, for example setting auxiliary function, considering the monotonicity of the new function; using the function’s extreme value and maximum or minimum values; differential mean value theorems; the concavity or convexity of functions; Taylor formula; integral; integral mean value theorem; variable limit integral derivative; definition of inequality and so on. This paper will introduce the above methods, through some examples to verify the ideas and steps of each methed furthermore we give a concise proof to prove thses inequalities, let everybody can prove mathematical inequalities more handy, and shows the important of mathematical analysis in the inequality field.Keywords: Inequality；Taylor’s series；Monotone function；Mean value theorem ;Definite目录一引言 0二解题思想和方法 01导数法 02中值定理法 (6)3其他证明方法 (9)三总结 (12)参考文献 (13)一 引言不等式是数学非常重要的组成部分，使我们了解量之间的大小关系，在数学中起着很重要的用处。
本科毕业论文不等式的几种证明方法及简单应用
本科毕业论文不等式的几种证明方法及简单应用姓名院系数学与计算机科学学院专业数学与应用数学班级学号指导教师答辩日期成绩及简单应用不等式的几种证明方法摘要我们在数学的学习过程中,不等式很重要. 其中不等式的证明方法在不等式基础理论中非常重要.文中总结了部分证明不等式的常用方法：作差法、分析法、作商法、综合法、反证法、数学归纳法、放缩法等，和不等式的证明经常会利用函数极值、拉格朗日中值定理等，以及部分著名不等式，比如：均值不等式、柯西不等式等.进而使不等式证明方法变的更加的多样化，研究不等式证明、探索不等式的证明使不等式证明更加完善.【关键词】：不等式，常用方法，函数，著名不等式Method and application of several simple proof of inequalityAbstractWe are in the proces of learning mathamatics, inequallty is very importent which method Inequality Inequality Basic theory is very importent paper sumnarizes the common methods section proves inequallty: for differemce method, analysis, For Law, and Inequality synthesis method, contradiction, mathematical inductian, scaling methed often benefit With function extreme, Lagrange mean value theoren, as well as same well-knawn inequallties, such as: mean inequality, Ceuchy inequallty, eta. and thus make inequality proof becames more divorse, researah inequallty praved prabe Proof cable inequality makes inequality proved to be more perfect.【Key Words】:inequality, the commonly used method, function, famous inequalities目录一、常用方法 (1)（一）比较法 (1)（二）分析法 (2)（三）综合法 (3)（四）反证法 (3)（五）迭合法 (4)（六）放缩法 (4)（七）数学归纳法 (5)（八）换元法 (5)（九）增量代换法 (6)（十）三角代换法 (6)（十一）判别式法 (7)（十二）等式法 (7)（十三）分解法 (8)（十四）构造函数法 (8)（十五）构造向量法 (8)（十六）构造几何不等式 (9)（十七）构造方程法 (9)（十八）“1”的代换型 (10)（十九）排序不等式 (10)二、利用函数证明不等式 (11)（一）函数极值法 (11)（二）单调函数法 (11)（三）泰勒公式法 (12)（四）优函数法 (13)（五）拉格朗日中值定理法 (14)三、利用著名不等式证明 (15)（一）利用均值不等式 (15)（二）利用柯西不等式 (15)（三）琴生（Jensen）不等式 (16)（四）切比雪夫不等式 (17)（五）赫尔德（Holder）不等式 (18)（六）伯努利不等式 (19)（七）三角形不等式 (20)小结 (20)参考文献 (21)致谢 (22)及简单应用 不等式的几种证明方法:学生姓名 指导老师：引 言不等式是数学中较为重要的一部分内容，为帮助数学爱好者掌握这方面的知识， 故论述几种简单的证明方法. 在实际生活中，不等式的运用要比等式更加常见，而 人们对不等式的了解要相对晚一点.在17世纪后，不等式才被深入发觉，建立相应 的理论，真正进入数学理论部分.从不等式的探究过程可以发现，在生活中有重要的作用，例如：不等式性 质、证明方法、解法.在本文中，介绍部分证明不等式常用方法、函数证明不等式 和用一些著名不等式证明不等式.在学习证明不等式中，可以更加深刻了解数学学科 的特点，培养数学逻辑思维论证能力，为以后深入研究数学中不等式提供帮助，增 加数学认知能力.进而使不等式证明方法变的更加的多样化，研究不等式证明、探索 不等式的证明使不等式证明更加完善.一、常用方法（一）比较法]1[1.作差法两个实数a 和b 的大小，可由b a -的正负比较判断.,0>-b a 如果,那么b a >；,0<-b a 如果,那么b a <;,0=-b a 如果,那么b a =.例题1： 若两个角0<α<2π，0<β<2π，求证： sin （α+β）<sin α+sin β.证：sin （α+β）-(sin α+sin β)=sin α·cos β+cos αsin β-sin α-sin β=sin α（cos β-1)+sin β(cos α-1).因为α、β都是正锐角，所以sin α>0且sin β>0，cos β-1<0,且cos α-1<0 于是sin α（cos β-1）<0，sin β（cos α-1）<0.所以sin α（cos β-1)+sin β(cos α-1)<0即sin （α+β）-(sin α+sin β)<0所以sin （α+β）<sin α+sin β.2.作商法作商法证明不等式时，一般0>a ，0>b ，如果1<ba 时，则a<b ；如果b a >1时；则a>b ；如果b a =1时，则a=b. 例题2 设a ， b ，c+R ，求证：a b b a b a b a ab b a ≥≥+2)( 证：作商：2222)()(b a a b b a a b ba ba b a b a ab ---+== 当a = b 时，1)(2=-b a b a当a > b > 0时，1)(,02,12>>->-b a ba b a b a 当b > a > 0时，1)(,02,102><-<<-b a b a b a b a故得1)(2≥-a b b a b a ab即a b b a b a ab ≥+2)( （剩余同理可证）（二）分析法]1[ 在证不等式题的过程中分析法是从结论入手，一步步的向上推导，探索下去， 进而证明已知的题设条件，在证明的过程中， 推导的每一步都要可逆.例题3：已知：a 、b 、c 为互不相等的实数.求证：ca bc ab c b a ++>++222.证明：要证ca bc ab c b a ++>++222成立，即证明0222>---++ca bc ab c b a 成立，需要证022*******>---++ca bc ab c b a 成立，即0)()()(222>-+-+-a c c b b a 成立,c b a ≠≠因为()0a 2>-b 所以， ()0b 2>-c ，()0c 2>-a由此逆推，即可证明ca bc ab c b a ++>++222 （三）综合法]1[综合法，就是由命题的条件证明题设条件.例题4：设1a ，2a ，……，n a 都是正数，并且它们的乘积1a 2a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅1=n a . 求证：n n a a a 2)1()1)(1(21≥+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅++.证明：因为111121a a a =⋅≥+， 所以11a +12a ≥. 同理可知 11a +12a ≥ 21a +22a ≥. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11a +12a ≥.因为1a ，2a ，……，n a 都是正数，根据性质把不等式的两边相乘，得 n n n n a a a a a a 22)1()1)(1(2121=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅≥+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅++.因为在1=i a 的时候，i i a a 21≥+取等号，所以原式只在121==⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅==n a a a 的时候取等号.（四）反证法]2[反正法就是要证明与命题相对立的结论，可以先假设一个错误的结论，应用所 学的知识证明出假设错误.例题5： 已知a ，b ，c 为实数，0>++c b a ，0>++ca bc ab ，0>abc ，求证： 0>a ，0>b ，0>c .证明：假设a ，b ，c 不全是正数，即其中至少有一个不是正数.可以假设0≤a .分为0=a 和0<a 证明.（1）如果0=a ，则0=abc ，与0>abc 矛盾.所以0=a 不可能.（2）如果0<a ，那么由0>abc 可得0<bc .由因为0>++c b a ，所以0>->+a c b .这和已知0>++ca bc ab 相矛盾.因此，也不可能.综上所述，0>a .同理可证0>b ，0>c .所原命题成立.（五）迭合法通过简单命题的成立，利用不等式性质，将简单不等式合成复杂不等式而证明结 论的过程就是迭合法.例题6：已知：n a a a n =+⋅⋅⋅⋅⋅⋅++22221，n b b b n =+⋅⋅⋅⋅⋅⋅++22221，求证： n b a b a b a n n ≤+⋅⋅⋅⋅⋅⋅++2211.证明 ： 因为n a a a n =+⋅⋅⋅⋅⋅⋅++22221，n b b b n =+⋅⋅⋅⋅⋅⋅++22221 所以n a a a n =+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅++22221，n b b b n =+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅++22221，由柯西不等式≤+⋅⋅⋅⋅⋅⋅++n n b a b a b a 2211 22221n a a a +⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅++n n n b b b n =⨯=+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅++⨯22221所以原不等式获证.（六）放缩法]3[放缩法是依据不等式式的性质而衍生得到的一种方法，利用一些著名的不等式 寻找中间量，又或者是别的方法，但最重要的是可以丢弃某些不重要的部分，得到所要 著证明的结论命题.例题7 求证：n n 2131211<+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+++. 证明：当1>i 时，i i i 21<-+，从而有)1(21--<i i i故 <+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+++n131211)1(2)23(2)12(21--+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-+-+n n n n 212≤-=所以原不等式获证.（七）数学归纳法]1[数学归纳法是在证明含)(N n n ∈的不等式，能否在)(N n k n ∈=成立的条件下， 证明1+=k n 时成立.（n 取第一个值时不等式命题成立）证明8： 求证： 12)1(1)122()32)(12(⨯⨯⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅≥--⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅--n n n n n n .（n 是正整数） 证明： 左边和右边都有n 个因数， 当1≥n 的时候， 112≥-n ， 2132≥-n ， . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . nn n 1122≥--. 上述n 个不等式相互累乘， 12)1(1)122()32)(12(⨯⨯⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅≥--⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅--n n n n n n . 故原不等式成立（八）换元法]4[在部分不等式证题过程中，通过变量代换，可以使不等式证明过程更加简单， 选择适当的辅助未知数，代替原方程的部分式子，而证明命题.例题9 ： 已知a ，b ，c 是小于1的正数，求证：2<-++abc c b a证明：设p a +=11，qb +=11，rc +=11， 由假设可知，0>p ，0>q ，0>rabc c b a -++ r q p +++++=111111)1)(1)(1(1r q p +++- 通分后以)1)(1)(1(r p q +++为分母时，则，分子1)1)(1()1)(1()1)(1(-++++++++=q p p r r q =)()(22pq rp qr r q p ++++++又)1)(1)(1(2r p q +++)(2)(22pq rp qr r q p ++++++=pqr 2+因为是的优函数，所以将、除以正数)1)(1)(1(r p q +++得r q p +++++1111112)1)(1)(1(1<+++-r q p 即，2<-++abc c b a . （九）增量代换法]5[增量代换法就是在证明不等式时，通过增加一个中间量而使在计算的过程中减 少运算量的方法在证明比较复杂的不等式时经常使用的手法 ． 例题10 ：已知a ，b ∈R ，且a ＋b = 1，求证：(a ＋2)2＋(b ＋2)2≥225． 证明：因为a ，b ∈R ，且a ＋b = 1，∴设a =21＋t ，b =21－t ， (t ∈R)则(a ＋2)2＋(b ＋2)2= (21＋t ＋2)2＋(21－t ＋2)2= (t ＋25)2＋(t －25)2=2t 2＋225≥225．所以(a ＋2)2＋(b ＋2)2≥225． （十）三角代换法]1[例题11 ： 解不等式15+--x x ＞21 解：因为22)1()5(++-x x =6，故可令 x -5 =6 sin θ，1+x ＝6 cos θ，θ∈［0，2π］则原不等式化为 6 sin θ－6 cos θ ＞21所以6 sin θ ＞21+6cos θ 由θ∈［0，2π］知21+6 cos θ＞0，将上式两边平方并整理，得48 cos 2θ+46 cos θ－23＜0解得0≤cos θ＜246282-所以x ＝62cos θ－1＜124724-，且x ≥－1，故原不等式的解集是｛x|-1≤x ＜124724-} . （十一）判别式法]6[学习一元二次方程时，可以用判别式来判断有无实根，而有些特殊题目中， 可以通过判别式证明所要证明的命题.例题 12 A 、B 、C 为ABC ∆的内角，x 、y 、z 为任意实数，求证：A yz z y x cos 2222≥++C xy B xz cos 2cos 2++.证明：构造函数，判别式法令)cos 2cos 2cos 2()(222C xy B xz A yz z y x x f ++-++= )cos 2()cos cos (2222A yz z y C y B z x x -+++⋅-=为开口向上的抛物线)cos 2(4)cos cos (4222A yz z y C y B z -+-+=∆ )cos 2cos cos 2sin sin (42222A yz C B yz C y B z ++--=)]sin sin cos (cos 2cos cos 2sin sin [42222C B C B yz C B yz C y B z -+-+-= ]sin sin 2sin sin [42222C B yz C y B z -+-= 0)cos sin (42≤--=C y B z 无论y 、z 为何值，0≤∆ 所以 R x ∈ 0)(≥x f 所以，命题真 （十二）等式法由学过的公式、定理，巧妙的变形为一些不等式，而证明命题的方法. 例题 13： c b a ,,为ABC ∆的三边长，求证：444222222222c b a c b c a b a ++>++.证明 由海伦公式))()((c p b p a p p S ABC ---=∆，其中)(21c b a p ++=.两边平方，移项整理得4442222222222)(16c b a c b c a b a S ABC ---++=∆而0>∆ABC S ,所以 444222222222c b a c b c a b a ++>++.（十三）分解法把复杂命题转化为简单易解的基本命题，而一一解决，各个击破，而去证明不等式.例题14 ： 2≥n ，且N n ∈，求证：)11(131211-+>++++n n n n. 证明： 因为 ⎪⎭⎫⎝⎛+++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=+++++11131121)11(131211n n nn n n n nn n n n 1134232134232+⨯=+⨯⨯⨯⨯⨯>+++++= . 所以 )11(131211-+>++++n n n n. （十四）构造函数法]4[例题15： 设0≤a 、b 、c ≤2，求证：4a ＋b 2＋c 2＋a b c ≥2a b ＋2b c ＋2c a ． 证明：构造一次函数f （x ）= 4a ＋b 2＋c 2＋a b c －2a b －2b c －2c a =(b c －2b －2c ＋4)a ＋(b 2＋c 2－2b c )，（a 为自变量）由0≤a ≤2， 知表示一条线段．又)0(f = b 2＋c 2－2b c = (b －c )2≥0， )2(f = b 2＋c 2－4b －4c ＋8 = (b －2)2＋(c －2)2≥0， 可见上述线段在横轴及其上方，所以函数≥0， 即4a 2＋b 2＋c 2＋a b c ≥2a b ＋2b c ＋2c a ． （十五）构造向量法构造向量法主要是不等式与向量形式之间的相互转换，利用→m ·→n ≤|→m |·|→n |， 证明一些具有和积结构代数的不等式命题．例题16 ： 设a 、b ∈R +，且a ＋b =1，求证：(a ＋2)2＋(b ＋2)2≥225． 证明：构造向量→m =(a ＋2，b ＋2)，→n = (1，1)．设→m 和→n 的夹角为α，其中0≤α≤π．因为|→m | =22)2()2(+++b a ，|→n | =2，所以→m ·→n = |→m |·|→n |cos α=22)2()2(+++b a ·2·cos α；另一方面，→m ·→n = (a ＋2)·1＋(b ＋2)·1 = a ＋b ＋4 = 5，而0≤|cos α|≤1， 所以22)2()2(+++b a ·2≥5，从而(a ＋2)2＋(b ＋2)2≥225．（十六）构造几何不等式将不等式两边与图形建立联系，则可以化数为形，利用图像的性质，解决不等 式的方法就是构造几何不等式．例题17：设a ＞0，b ＞0，a ＋b = 1，求证：12+a ＋12+b ≤22．证明：所证不等式变形为：21212+++b a ≤2．这可认为是点A(12+a ，12+b )到直线0y x =+的距离．但因(12+a )2＋(12+b )2= 4，故点A 在圆x 2＋y 2= 4 (x ＞0，y ＞0)上． 如图所示，AD ⊥BC ，半径AO ＞AD ，即有：21212+++b a ≤2，所以12+a ＋12+b ≤22． （十七）构造方程法例题18 ： 已知实数a , b ,c ，满足a + b + c = 0和a b c = 2， 求证：a , b ,c 中至少有一个不小于2证明：由题设a, b, c 其中必含有一个正数，假设a > 0，则⎪⎩⎪⎨⎧=-=+a bc a c b 2 即b, c 是二次方程022=++a ax x 的两个实根所以082≥-=∆aa ⇒a ≥2（十八）“1”的代换型]6[ 例题19：.9111 ,1 ,,,≥++=++∈+c b a c b a R c b a 求证：且已知策略：做“1”的代换. 证明：c cb a bc b a a c b a cb a ++++++++=++111922233=+++≥⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++=c b b c c a a c b a a b . （十九）排序不等式如()且n i R b R a i i ≤≤∈∈1,n n b b b a a a ≤≤≤≤≤≤ 2121, 则n n b a b a b a +++ 2211n j n j j b a b a b a +++≥ 21211111b a b a b a n n n +++≥-n j j j n ,,2,1,,,21 是的任一排列.当且仅当n a a a === 21或n b b b === 21时等号成立.例20：已知n n n a a a a a a aa a R a a a +++≥+++∈+ 211232222121,求证不妨假设n a a a 21,有次序即n a a a ≤≤≤ 21，那么na a a 11121 ≥≥ 由于+∈R a a a n 21,，所以22221n a a a ≤≤≤由排序不等式可知nnn n a a a a a a a a a a a a a a a +++=⋅++⋅+⋅≥+++ 21222212112322221111 得证.二、利用函数证明不等式（一）函数极值法]1[通过某些变换，把问题转形为求函数的极值，实现证明不等式. 例题21 ： 证明，0>∀x ，有不等式,01≤-+-αααx x 10<<α证明：讨论函数1)(-+-=αααx x x f在区间),0(+∞的最大值.)1()(11-=-='--αααααx x x f令0)(='x f ,解得唯一定点1，它在区间),0(+∞分成两个区间)1,0(与),1(+∞，列表如下：1=x 时是函数)(x f 极大点，极大值0)1(=f . 由此表可得1=x 时是函数)(x f 在定义域中的最大值， 故0>∀x ，使)1()(f x f ≤ 或 01≤-+-αααx x . 所以原不等式得证 （二）单调函数法当x 属于定义域，有0)(≥'x f ，则（21x x ≤）)()(21x f x f ≤；若0)(≤'x f ，则)()(21x f x f ≥.若要证明)()(x g x f ≤，只须要证)()(a g a f =及)),((),()(b a x x g x f ∈'≤'.例题22：设1<x ，且0≠x ，试证：1)1ln(11<-+x x证明：令)1ln()1ln()1ln(1)1ln(11)(x x x x x x x x x f ---+-=--+=， 分子)1ln()1ln()(x x x x x g ---+=，对)(x g 求导得)1ln()(x x g --='， 分两种情况来讨论：（1）当10<<x 时，0)(<'x g ，因此)(x g 单调递增. 由0)0(=g ，故0)(>x g ，分母0)1ln(<-x x ，所以0)(<x f 即原不等式成立.（2）当0<x 时，0)(<'x g ，因此)(x g 单调递减. 由0)0(=g ，0)(>x g 得，0)1ln(<-x x 分母，故知0)(<x f ， 所以原不等式成立.综合（1）（2）即得结论成立. （三）泰勒公式法]1[定义 若函数)(x f 在a 存在n 阶导数，则)(a U x ∈∀，有])[()()(n n a x o x T x f -+=称为函数)(x f 在a （展开）的泰勒公式.其中，n n n a x n a f a x a f a x a f a f x T )(!)()(!2)()(!1)()()()(2-++-''+-'+= 例题23 证明：若函数)(x f 在],[b a 上有n 阶导数，且1,,2,1,0)()()()(-===n i b f a f i i ，则存在),(b a c ∈，有)()()(!2)(1)(a f b f a b n c fnn n --⋅≥-证明：将函数)(x f 在点a 和点b 分别展开，即],[b a x ∈∀，有n n a x n f a x a f a f x f )(!)()(!1)()()(1)(-++-'+=ξn n b x n f b x b f b f x f )(!)()(!1)()()(2)(-++-'+=ξ由已知条件，令2ba x +=，则分别有 nn a b n f a f b a f ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫⎝⎛+2!)()(21)(ξ，21b a a +<<ξ， nn b a n f b f b a f ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫⎝⎛+2!)()(22)(ξ，b b a <<+22ξ， 以上两式相减，有02!)(2!)()()(1)(2)(=⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-nn n n a b n f b a n f a f b f ξξ或nn n n b a n f a b n f a f b f ⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-2!)(2!)()()(2)(1)(ξξ，nn nn ab n fa b n fb f a f 2!)(2!)()()(2)(1)(-+-≤-ξξ令 })(,)(max{)(2)(1)()(ξξn n n f fc f=，则有2)(!)(2)()()(nn a b n c f b f a f -⋅≤-， 即)()()(!2)(1)(a f b f a b n c fnn n --⋅≥- （四）优函数法]4[当),(y x f 是),(y x g 的优函数时， ),(),(0,0b a g b a f b a ≥→≥≥例题24 ： 已知a ，b ，c 是小于1的正数，求证： 2<-++abc c b a 证明：设p a +=11，qb +=11，r c +=11，由假设可知，0>p ，0>q ，0>r abc c b a -++r q p +++++=111111)1)(1)(1(1r q p +++-通分后以)1)(1)(1(r p q +++为分母时，则， 分子1)1)(1()1)(1()1)(1(-++++++++=q p p r r q =)()(22pq rp qr r q p ++++++又)1)(1)(1(2r p q +++)(2)(22pq rp qr r q p ++++++=pqr 2+因为是的优函数，所以将、除以正数)1)(1)(1(r p q +++得r q p +++++1111112)1)(1)(1(1<+++-r q p 即，2<-++abc c b a （五）拉格朗日中值定理法]3[定理： 函数)(x f 满足，闭区间],[b a 连续、开区间),(b a 可导. 则函数在开区间),(b a 内至少c 存在一点，使ab a f b fc f --=')()()(如果)(c f '介于两个数m 与M 之间，则有下面的不等式：证明ab a f b f --)()(形式不等式，可用拉格朗日中值定理法法.例25： 证明，当x ＞0时，有1-x e ＞x .证明：由原不等式，因为x ＞0，可改写为11>-x e x 的形式，或改写为100>--x e e x 的形式，这里t e t f =)(，区间为[0, x ]，用拉格朗日中值定理，Mab a f b f m ≤--≤)()(令t e t f =)(，∈t [0, x ]，则)(t f 满足拉格朗日中值定理的条件，于是存在∈ξ[0,x ]，00--x e e x ＝ξe ＞1所以，有不等式 1-x e ＞x .三、利用著名不等式证明（一）利用均值不等式]1[ 设na a a ,,,21 是个正n 实数，则nnn a a a na a a 2121≥+++，当且仅当n a a a === 21时取等号.例题26：求证：n x x x 221+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+++n x n )12(+≥（x 为正数） 证：由算数平均值与几何平均值不等式，得1222221121+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅≥++⋅⋅⋅⋅⋅+++n n n x x x n x x x ， 又等差数列求和为 n 2321+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+++=2)12(2+n n =)12(+n n , 故12221+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅n n x x x =12)12(++n n n x =n x ， 所以n x x x 221+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+++n x n )12(+≥. (二)利用柯西不等式]2[定理：设()n i R b a i i 2,1,=∈则 ()22211nn b a b a b a ++≤()()2222122221n n b b b a a a++⋅++等号成立当且仅当()n i ka b i i ≤≤=1.. 例题27：证明不等式 )(21n x x x +⋅⋅⋅⋅⋅⋅++)111(21nx x x +⋅⋅⋅⋅⋅⋅++2n ≥ （其中1x ，2x ，⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅，1x 均为正数）. 证明：若令121x a =，121x a =，⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅，121x a =； 1211x b =，2221x b =，⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅，n n x b 12=.根据柯西——布雅可夫斯基不等式，则有2121)(n x x x +⋅⋅⋅⋅⋅⋅++2121)111(n x x x +⋅⋅⋅⋅⋅⋅++nn x x x x x x 1112211⋅+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅+⋅≥ =n ，将上式两边平方后，得)(21n x x x +⋅⋅⋅⋅⋅⋅++)111(21nx x x +⋅⋅⋅⋅⋅⋅++2n ≥. （三）琴生（Jensen ）不等式]1[设()()x f n i R p i ,2,1 =∈+是区间D 上的严格的凸函数，则对任意()()()n n n n n n n p p p x f p x f p x f p p p p x p x p x p f D x x x ++++++≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++∈ 21221121221121,有， 当且仅当时n x x x === 21，等号成立. 特别地，另(),2,11n n n p i ==则有()()()n x f x f x f n x x x f n n +++≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+++ 2121 例题28：若+∈R x i （n i ≤≤1），∑=ni i x 1=1，求证：（111x x +） （221x x +）⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅（nn x x 1+）≥n n n )1(+证明：对于，∑=ni i x 1=1，0>i x ，不妨设 )1ln()(x x x f +=，考虑证明对a ∀，)1,0(∈b 有)22ln(2)1ln()1ln(ba b a b b a a +++≥+++ 即证2)22()1)(1(ba b a b b a a +++≥++， 即证2)2(1)2(122++++≥+++b a b a a b b a ab ab ，又2≥+a b b a ，2)2(b a ab +≤且y =x x 1+在（0,1）为减函数，22)2(1)2(1b a b a ab ab +++≥+综上2)2(1)2(122++++≥+++b a b a a b b a ab ab ，即 )1ln()(x x x f +=，在（0 ,1 ）内是凸函数，又Jensen 不等式得所以)1ln()ln(])1ln([1111nn x n n x x x n n i ini i n i i i +=+≥+∑∑∑===所以（111x x +）（221x x +）⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅（nn x x 1+）≥n n n )1(+（四）切比雪夫不等式由于n a a a ≤⋅⋅⋅⋅⋅⋅≤≤21，n b b b ≤⋅⋅⋅⋅⋅⋅≤≤21，则⎪⎭⎫ ⎝⎛≥⋅≥⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑∑∑=-+===n i i n i ni in i i n i i i b a n n b n a b a n 1111111例题29 : 已知：e d c b a ≤≤≤≤，1=++++e d c b a 求证：51≤++++ea be cb dc ad证明：先看bc ad +，由于d c b a ≤≤≤， 由切比雪夫不等式，4))((d c b a d c b a da cb bc ad ++++++≤+++，因此8)1(8)1(22a e ea be cb dc ad -+-≤++++ 下面只需要518)1(8)1(22≤-+-a e ， 即588)1()1(22≤+-+-ac a e ，视a 为主元，记22)28(8)1()1()(2222+-+-+=+-+-=e e a e a ae a e a f ， 对称轴为e 41-，由已知条件e d c b a ≤≤≤≤及1=++++e d c b a知5141≤≤-a e ，)(a f 在定义域内单调递增，因此)51()(f a f ≤.取等条件是51=a ，因此51=====e d c b a ， 故58)51()(=≤f a f ， 综上， 51≤++++ea be cb dc ad ，当且仅当51=====e d c b a 时取等号（五）赫尔德（Holder ）不等式]3[设()n i b a i i ≤≤1,是2n 个正实数，,1,0,0=+>>βαβα则βαβα⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛≤∑∑∑===ni i ni i n i i i b a b a 111. 例题30：设,2,0,,⎪⎭⎫ ⎝⎛∈∈+πx R q p 求函数()xq x p x f cos sin +=的最小值.解：取,5,45==βα 于是 .111=+βα由Holder 不等式有：5252545252545454)(cos )(cos )(sin )(sin x x qx x pq p +=+512254)cos (sin )cos sin (x x xqx p ++≤， )(x f =xq x p cos sin +455454)(q p +≥，当且仅当x x xq x p22cos sin cos sin =， 52)(tan qpx =时，等号成立.所以)(x f 的最小值是455454)(q p +.（六）伯努利不等式]1[ 设1->x ，则（ⅰ）当10<<α时，有x x αα+≤+1)1(；（ⅱ）当1>α或0<α时，有x x αα+≥+1)1(，上两式当且仅当0=x 时等号成立.例题31：证明不等式1)1(321111++<+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+++<+++αααααααn n n .（α>0） 证：因为α>0，所以α+1>1 伯努利不等式，得n n αα++>⎪⎭⎫ ⎝⎛++11111， nn αα+->⎪⎭⎫⎝⎛-+11111， 将上述两个不等式的俩边同乘以α+1n ，得 ()()ααααn n n ++>+++1111，()()ααααn n n +->-++1111，从这两个不等式中，令n =1，2，3，⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅，n ，则有ααα+-<<++1121111 ， αααααα+-<<+-+++1232112111， . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .ααααααα+-+<<+--++++1)1(1)1(1111n n n n n ，相加后，得ααααααα+-+<+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+++<+++11)1(321111n n n αα++<+1)1(1n ，所以1)1(321111++<+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+++<+++αααααααn n n .（七）三角形不等式定理 对于任意实数 i a 和 ),,2,1(n i b i = ，有211221122112)(⎥⎦⎤⎢⎣⎡+≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑∑===ni i i ni i ni i b a b a 当且仅当),,2,1(n i kb a i i == 时取等号.例题32 用三角不等式证明：当直角三角形的斜边为 c 时，两直角边的和小于或等于c 2证明：设两个角边为y x ,. 则222c y x =+.根据三角不等式，有222222)()(c c y x y c x c +≥++-+-，即 c y c x c )12()()(22-≥-+-c cy y c cx x c )12(222222-≥-++-+c y x c c )12()(232-≥+-222223)(23c c y x c c -≥+- c y x 2≤+小结通过学习初等与高等数学中证明不等式的几种简单的证明方法，了解到证明不 等式方法的多样化，从而可以更加深刻的认识到学习不等式的用途，不等式在各种数学 问题中的应用，希望读者可以受到启发，而找到不同的的证明方法使不等式证明更加完善，同时可以利用不等式解决生活中的一部分实际问题，培养读者的逻辑思维论 证能力，在以后形成良好的学习思考能力. 不等式是数学中较为重要的一部分内容， 为帮助数学爱好者掌握这方面的知识，故论述几种简单的证明方法.可以更加深刻了解 数学学科的特点，培养数学逻辑思维论证能力.在学习证明不等式中，可以更加深刻了 解数学学科的特点，培养数学逻辑思维论证能力，为以后深入研究数学中不等式提供 帮助，增加数学认知能力.进而使不等式证明方法变的更加的多样化，研究不等式证明、 探索不等式的证明使不等式证明更加完善.【参考文献】[M.北京：科学普及出版社，1983.9—73[1]吴德风.不等式与线性规划初步][2]张驰.不等式[M].上海：上海教育出版社，1963.48—72[3]科罗夫琴.不等式[M].北京：中国青年出版社，1951.5—24[4]茂木勇.方程与不等式[M].北京：文化教育出版社，1984.168—180[5]蒋邕平.常见的不等式问题解题思路[J].中学教学参考.2012,(25):86-87[][]()40证明问题之巧思妙解于发智.高考中不等式J6-：377，.广东教育.2009。
关于不等式证明方法的探讨 毕业论文
关于不等式证明方法的探讨摘要：不等式是高中数学中一个极为重要的内容，几乎贯穿整个高中数学的所有内容；人们在实际生活中也经常运用到它的一些知识，例如最常见的超市商场进货方案设计、旅店宾馆租赁方案设计、娱乐消费购买方案设计等。
然而在本文中，我总结了比较法、分析综合法、反证法、放缩法、换元法、数学归纳法、判别式法、函数单调性法、几何证法、面积体积比较法等较常见的证明方法。
对证明方法的学习，可以帮助我们解决一些实际问题，增强对逻辑推理能力、抽象思维和思维能力的培养，并养成善于思考的良好学习习惯。
关键字：不等式；高中数学；方案设计；比较法；几何证明；函数。
The Discussion about A Lot of Methods about Inequality Proof Abstract:Inequality is a very important high school mathematics content, almost all of the content throughout the entire high school math; people in real life are often applied to some of its knowledge, such as supermarkets, shopping malls stocking the most common design, Inns hotel rental program design, entertainment, consumer purchase program design. However, as we use Inequality Inequality provided strong evidence. Therefore, the discussion of research on inequality proof considerable practical significance. In this article, I summarize the comparative method, analysis and comprehensive method, reductio ad absurdum, scaling law, change element method, the more common method of proof by mathematical induction, parabola method, geometric proofs, monotonic function, extremes and so on. By learning these proven methods that can help us solve some practical problems, the ability to develop logical reasoning and abstract thinking ability and develop diligent in thinking, good at thinking of good study habits .Keywords:inequality; school mathematics; program design; comparative law; geometric proof; function.前言不等式的在实际生活中的应用非常广泛,社会生活和生产的各个方面都有应用。
数学论文【关于平面几何不等式】(汉)
关于平面几何不等式的证明方法麦盖提县库尔玛乡中学教师买合木提·买买提2012年12月30日1关于平面几何不等式的证明方法我们在实际生活中，常常遇到关于利用几何不等式来解决的一些问题。
几何不等式涉及的内容丰富，处理问题的方法与技巧灵活多变。
本文中主要介绍应用基本几何不等式，代数和三角法来解决常遇到的一些几何不等式。
关键词：基本几何不等式，代数法，三角法。
一.几何不等式的概念和基本几何不等式含有几何元素（线段，角，面积）的不等式称为几何不等式。
几何中的最大值和最小值与几何不等式有密切联系，凡是属于几何不等式，就抓住几何图形的特征，挖掘其中所蕴含的基本几何不等式，是解决几何不等式的重要方法。
常用的基本几何不等式1）三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边； 2）三角形中，大边的对角较大，大角的对边较大； 3）垂线小于斜线；4）两个三角形中，若有两组边对应相等而夹角不等，则夹角大的第三边也大；反之，第三边大的夹角边也大；5）三角形中，大边上的中线较小； 6）三角形中，大边上的高较大；7）同圆或等圆中大弦到圆心的距离小于小弦到圆心的距离； 8）直角三角形中，斜边与其上的高之和大于两条直角边之和； 例1：已知ABC 中，AB AC =，P 是ABC 内一点，且PB PC <， 求证：APB APC ∠>∠；证明：在APB 和APC 中AB AC =，AP AP =， PB PC <故有12∠<∠ （1）；又在BPC 中，由PB PC <， 得PBC PCB ∠>∠，而ABC ACB ∠=∠，p4123CA B图（1）2故有34∠<∠ （2）；将（1），（2）相加，即得1324∠+∠<∠+∠()18013APB ∠=︒-∠+∠，()18024APC ∠=︒-∠+∠APB APC ∴∠>；例2：在锐角ABC 中，已知最长的高线AH 等于中线BM （图（2））， 求证：60B ∠≤︒证明：作MN BC ⊥于N ，则1122MN AH BM ==，故30MBC ∠=︒作B 关于M 的对称点D ，则AD BC =，30D MBC ∠=∠=︒，因为AH 是最长的高线。
数学分析中探讨不等式证明方法论文
本科毕业论文（设计）题目：数学分析中不等式证明的若干方法学生：陈晨学号：201140510531学院：数学与统计学院专业：数学与应用数学入学时间： 2011 年 9 月 17 日指导教师：刘敏职称：讲师完成日期： 2015 年 4 月 30 日诚信承诺我谨在此承诺：本人所写的毕业论文《数学分析中探讨不等式证明方法》的主要内容都由本人独立撰写，决无抄袭。
凡是参考的文献和材料，都一一作了注解，如果出现抄袭及侵犯他人知识产权的情形，愿意接受学校的批评和处罚。
承诺人年月日数学分析中探讨不等式证明方法摘要：不等式在数学分析中具有不可替代的作用，因此探讨数学分析中证明不等式的方法意义颇深。
本文探讨了用数学分析知识证明不等式的一些方法，主要有函数单调性法，函数极值法，微分中值定理法，函数凹凸性法，泰勒公式法，积分中值定理法，构造变限积分法，幂级数展开式法，以及常用不等式法，并通过典型例题加以分析验证，从中概括出一定的证明技巧。
关键词：不等式；证明策略；数学分析In mathematical analysis of inequality proof methodAbstract:Inequality plays an irreplaceable role in mathematical analysis, so the study in mathematical analysis to prove inequality method has deep meaning. This paper discusses some methods of proving inequalities in mathematical analysis, the main function is monotone method,function extremum method, differential mean value theorem, convex function method, Taylormethod, the mean value theorem of integral method, structure variable limit integral method,power series expansion method, and the commonly used inequality method, and analyzes the verified by typical examples, summarizes some proof techniques from.Key words:Inequality ；That strategy ；Mathematical analysis目录1. 引言 (1)2．证明不等式的几种方法 (1)2.1 函数单调性 (1)2.2 函数极值法 (1)2.3 微分中值定理 (2)2.4 函数凹凸性法................................. .. (3)2.5 泰勒公式法 (4)2.6 积分中值定理法 (5)2.7 构造变限积分法 (6)2.8 幂级数展开式法 (7)2.9 常用不等式法 (8)3. 结束语 (9)参考文献 (10)1.引言我们在学习初等数学时就接触到不等式的知识，并且在大学课程中的数学分析和高等数学中还继续研究不等式的证明，可见其在数学系统探究的过程当中一直拥有着不可逾越的地位。
关于不等式证明方法的探讨毕业论文
(此文档为word格式，下载后您可任意编辑修改！) 本科生毕业论文（设计）册学院：数学与信息科学学院专业：数学与应用数学专业班级：2010级B班学生：指导教师：河北师范大学本科毕业论文（设计）任务书论文（设计）题目：关于不等式证明方法的探讨学院：数学与信息科学学院专业：数学与应用数学班级：2010级B班1、论文（设计）研究目标及主要任务本文对比较法、分析综合法、反证法、放缩法、换元法、数学归纳法、判别式法、函数单调性法、几何证法、面积体积比较法等较常见的不等式证明方法进行总结，意在引发我们对不等式证明方法及其他问题证明方法的注意和思考，以致对整个数学问题的思考，并希望能为读者全面系统的总结不等式证明方法提供帮助和借鉴。
学习不等式的对证明方法，可以帮助我们解决一些实际问题，增强对逻辑推理能力、抽象思维和思维能力的培养，并养成善于思考的良好学习习惯，并为以后的教学奠定扎实的理论基础。
2、论文（设计）的主要内容对比较法、分析综合法、反证法、放缩法、换元法、数学归纳法、判别式法、函数单调性法、几何证法、面积体积比较法等较常见的不等式证明方法的概念、历史背景、书写步骤、运用情形、和基本分类等进行简单介绍，并对一些情况加以举例说明。
3、论文（设计）的基础条件及研究路线在不等式证明方法的研究不断改进和发展的形势下，总结前人的经验和研究成果，对几种常见证明方法进行探讨，同时对其进行改进和创新，发表自己独特的见解，并举例加以解释和说明。
4、主要参考文献[1]匡继昌.常用不等式[M].济南：山东科技出版社，2004：23-34.[4]胡炳生，吴俊.现代数学观点下的中学数学[M].北京：高等教育出版社，1998:45-50.指导教师: 年月日教研室主任: 年月日河北师范大学本科生毕业论文（设计）开题报告书本科生毕业论文设计关于不等式证明方法的探讨作者姓名：曾海辉指导教师：张硕所在学院：数学与信息科学学院专业（系）：数学与应用数学专业班级（届）：2014届数学B班二〇一四年四月三十日目录目录 (1)摘要、关键字 (2)1 问题提出 (3)1.1 在现实生活中的意义及前景 (3)1.2 在数学教学中的现状和问题 (3)2 常用证明方法 (5)2.1 比较法 (5)2.2 分析综合法 (6)2.3 反证法…………………………………………………………………………………72.4 放缩法…………………………………………………………………………………82.5 换元法…………………………………………………………………………………112.6 数学归纳法……………………………………………………………………………142.7 判别式法………………………………………………………………………………152.8 函数单调性法…………………………………………………………………………162.9 几何证法 (17)2.10 面积体积法 (18)2.11 极值法………………………………………………………………………………193 教学建议与思考 (20)3.1 内容综述与建议………………………………………………………………………193.2 问题总结与思考………………………………………………………………………22参考文献 (23)Abstract (24)关于不等式证明方法的探讨学院：数学与信息科学学院专业：数学与应用数学专业指导教师：张硕作者：曾海辉摘要：不等式及其证明的内容极为丰富，在高中数学中占据了相当关键的主体地位，它贯穿于高中数学的几乎每一个章节之中，同时，他又是我们实践生活应用甚为广泛的一种集理论和技巧于一身的格式化计算性工具。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
不等式的证明方法麦盖提县库尔玛乡中学买合木提·买买提2012年12月30日2不等式的证明方法不等式的证明方是中学数学的难点和重点，证明不等式的途径是利用不等式的性质进行代数变形，经常用到的证明不等式的主要方法有基本法 如：比较法，综合法，分析法。
其他方法：如反证法，放缩法，数学归纳法，涣元法，构造法和判别式法等。
1．证明不等式的基本方法1．1比较法比较法是证明不等式的方法之一，比较法除了比差法之外，还有比商法，它们的解题依据及步具步骤如下：比差法。
主要依据是实数的运算性质与大小顺序关系。
即 ，0,0,0a b a b a b a b a b a b ->⇔>-<⇔<-=⇔=基本解题步骤是：作差——变形——判断符号。
（1）作商比较法。
当欲证的不等式两端是乘积形式幂指数式可采用作商比较法。
当0b > 欲证a b >只需证1a b >欲证a b <只需证1a b <基本解题步骤是：作商——变形——判断。
（与1的大小）例1．求证： 222(2)5a b a b +≥--22224254250a b a b a b a b +≥--=>+-++≥22(44)(21)0a a b b -++++≥32,1a b ==-时等号成立。
所以222(2)5a b a b +≥--成立。
例2．已知,a b R +∈求证a b b a a b a b ≥证： ,a b R +∈ 又()aba b b aa ba ab b -=∴()1a b b aa b a a b a b b-≥⇔≥ （1）当a b >时，1ab >，0a b ->所以()1a ba b -> （2）当a b <时01,aa b o b <<-<所以()1a ba b -> （3）当a b =时不等式取等号。
所以（1），（2），（3）知，不等式a b b a a b a b ≥成立。
1.2．综合法综合法就是从已知式已证明过的不等式出发，根据不等式的性质推出，欲证的不等式，通过一系列已确定的命题（包含不等式的性质，已掌握的重要不等式）逐步推演，从而得到所要求证的不等式成立，这种方法叫做综合法。
几个重要不等式：2222()0,(),2,(,a b a b a b ab a b ->≠+≥ 为实数）/2(0,0),//2,(,a b a b a b b a a b +≥>>+≥同号）/3a b c ++≥a b c ==成立）例3．已知 a b ≠ 且 ,a b R +∈ 求证： 3322a b a b ab +>+4证： a b ≠ 所以222()020a b a ab b ->=>-+>22a ab b ab =>-+>两边同时乘 a b + 得22()()()a ab b a b ab a b -++>+即3322a b a b ab +>+∴ 原不等式成立。
1.3．分析法从求证的不等式出发，分析不等式成立的条件把证明这个不等式转化为判定使这个不等式成立的条件是否具备的问题，如果能够肯定这些条件都以具备那么就可以判定这个不等式成立，这种证明方法叫做分析法。
例4．求证：37+<+证即：因为00+>>因为为了证明原不等式成立，只顺证明2+< 即1515+<+即< 即 5456<所以原不等式成立。
2．证明不等式的其他方法。
2.1．反证法。
反证法是从假设结论不成立入手，推出与已知条件，假设公里，定理式显然成立的实相矛盾的结果，从而判定假设错误，结论成立，这种方法叫做反证法。
反证法属于间接证法，其主要步骤是： 1.作出与命题结论相反的假设。
2.在假设的基础上，经过合理的推理导出矛盾的结果。
53.肯定命题的正确性。
反证法的原理是《否定》之否定定于肯定。
例5.已知 332,(,)a b a b R +=∈ 求证 ： 2a b +≤ 证：假设2a b +>成立则3()8a b +>3322338a b a b ab +++> 332a b +=()2ab a b ∴+>2233()()2a b a ab b a b +-+=+=22()()()ab a b a b a ab b ∴+>+-+ 2a b +>22ab a ab b ∴>-+由此得2()0a b -<，这是不可能的 2a b ∴+≤2.2.放缩法放缩法是证明不等式的一种特殊的方法。
从不等式的一边入手，逐渐放大或缩小不等式，直到不等式的另一边，这种方法叫做.放缩法。
放缩是使用的主要方法有： 舍去或加上一些项： 如：22131()()242a a ++>+a >n >（2）将分母或分子放大（或缩小）例6.求证：222211112123n++++< *()n N ∈证：*,2k N k n ∈≤≤有21111(1)1kk k k k<=---222211111111111[()()()]12312231n n n∴++++<+-+-++--6111(1)22nn=+-=-<∴原不等式成立。
2.3.数学归纳法证明有关自然数n 的不等式，可以采用数学归纳法顺用两个步聚完成。
1. 验证n 取第一个数值0n 0(*)n N ∈时，不等式成立，2. 假设n 取某一自然数0()k k n ≥时，不等式成立。
（归纳假设），由此推演出n 取1k +时，此不等式成立。
例7．求证：1+++⋅⋅⋅+<*()n N ∈证：（1）当1n =时，左边=1，右边=2不等式显然成立。
（2）假设n k =时11k+++⋅⋅⋅+<，则1n k =+时 左边=11k+++⋅⋅⋅++<+(1)1k k +++<=∴ 1n k =+时不等式也成立。
由（1），（2）对于任意的*n N ∈，原不等式都成立。
2.4.换元法换元法是指对结构较为复杂的命题，通过恰当入变量代换原命题中的部分式子，简化原有结构，使其教化未便于研究的形式。
7例8．若 a b c >> 求证114a bb ca c+≥---证：已知条件a b c >> 令 a b x =+ ，c b y =- (0,0)x y >> 左端1111a bb cx y+=+-- 右端44a cx y=-+22114()4()()0()()x y xy x y xyx y xy x y xy x y +--+-==>+++即可知111xy xy+≥∴原不等式成立。
例9．已知2212x y ≤+≤ 求证： 22132x xy y ≤-+≤证：因为2212x y ≤+≤ ∴设 cos x r θ= ，sin y r θ= 其中1r ≤≤02θπ<≤ ∴222221cos sin (1sin 2)2x xy y r r r θθθ-+=-=-因为1131sin 2222θ<-≤ 22113(1sin 2)222r r θ∴-≤而21122r ≥，2332r ≤ ∴22132x xy y ≤-+≤2.5．构造法。
通常有构造函数，构造复数法，构造方程法。
（1）构造函数是将不等式的证明转化为函数的单调性问题利用函数的单调性建立不等关系，达到证明的目的。
8例10．已知,,a b m R +∈且 a b < 求证：a m ab mb+>+证：构造函数()11a x b x a ba b b a f x b xb xb xb x+++---===+=-++++函数()f x 在[)0,+∞上为增函数(0)a f b=∴()a m f m b m+=+ ()(0)f m f > ∴a m ab mb+>+∴原不等式成立。
（1） 构造复数法： 例11．已知01,a b <<<<求证：22(1)(1a b +-+证构造复数：1z a bi =+ ， 2(1)z a bi =-+ ，3(1)z a b i =+- ，4(1)(1)z a b i =-+-123422z z z z i +++=+=12341234z z z z z z z z +++≥+++=∴++≥（3），构造方程法。
例12．若 ,x y R ∈ 且 332x y += 证：02x y <+≤ 证： 333()3()2x y x y xy x y +=+-+= 令 x y k += 则9323k xy k-=构造方程 ,x y 为方程 32203k t kt k--+= 的两个根。
∴3324(2)8033k k k kk--∆=-=≥ 即 3(8)0k k -≥ 但 0k ≠ 即2(2)(24)0,(0)k k k k k -++≥≠ 由于 2240k k ++>∴(2)0k k -≤ (0)k ≠ ∴ 02k <≤ ∴02x y <+≤ ∴原不等式成立。
2.6．判别式法。
判别式法是根据已知的或构造出来的一元二次方程，一元二次不等式，二次函数的根，解集函数的性质等特征确定判别式所应满足的不等式，从而推出欲证的不等式的方程。
例13．设 ,,a b c R ∈ 求证：222a b c ab bc ca ++≥++证：222222()()()f a a b c ab bc ca a b c a b c bc =++---=-+++-2222()4()3()0b c b c bc b c ∆=+-+-=-+≤因为 2a 的系数为 10> ， ∴ ()0f a ≥ ∴ 原不等式成立。
不等式的证明涉及到代数，几何，三角等各方面知识，综合性较强，题型各样，一个不等式证明没有固定的模式，方法多变。
因此不等式的基本证明方法是非常必要的，枝巧性很强.叁考文献（1）高考完全解读：王兴旺，王先东，徐竟中国青年出版社（88-93页）（2）高中数学噢林匹克竞赛教程浙江教育学会中学数学教学分会编写，浙江教育出版社（118-127页）（3）高中数学教与练，伍健中，三环出版社，（213-244页）（4）基础数学（上册），万传良，李治明，新疆教育出版社（237-249页）（5）初等数学研究，李长明，周焕山高等教育出版社（253-262页）6）高中数学解难手册，张盛如出版社中国社会（61-77页）10。