误差分析与数据处理
数据处理与误差分析报告
数据处理与误差分析报告1. 简介数据处理是科学研究和实验中不可或缺的一部分。
在进行实验和收集数据后，常常需要对数据进行处理和分析，从而揭示数据背后的规律和意义。
本报告将对数据处理的方法进行介绍，并分析误差来源和处理。
2. 数据处理方法2.1 数据清洗数据清洗是数据处理的第一步，用于去除无效数据、异常数据和重复数据。
通过筛选和校对，确保数据的准确性和一致性。
2.2 数据转换数据转换是将数据转化为适合分析的形式，通常包括数据的格式转换、单位转换和数据归一化等。
这样可以方便进行后续的分析和比较。
2.3 数据归约数据归约是对数据进行压缩和简化，以便于聚类、分类和预测分析。
常见的数据归约方法包括维度约简和特征选择等。
2.4 数据统计数据统计是对数据进行整体分析和总结，通常采用统计学的方法，包括均值、方差、标准差、相关系数等。
通过统计分析，可以从整体上了解和描述数据的特征和分布情况。
3. 误差来源和分析3.1 观测误差观测误差是由于测量和观测过程中的不确定性引起的误差。
观测误差可以分为系统误差和随机误差两种类型。
系统误差是由于仪器偏差、人为因素等引起的，通常具有一定的规律性；随机误差是由于种种不可预测的因素引起的，通常呈现为无规律的波动。
3.2 数据采集误差数据采集误差包括采样误差和非采样误差。
采样误差是由于采样过程中的抽样方法和样本大小等因素引起的误差；非采样误差是由于调查对象的选择、问卷设计的不合理等因素引起的误差。
采取合理的抽样策略和数据校正方法，可以减小这些误差。
3.3 数据处理误差数据处理误差是由于处理方法和算法的选择、参数设置的不合理等因素引起的误差。
不同的处理方法和算法可能会导致不同的结果，因此需要进行误差分析和对比，选择最合适的方法。
3.4 模型误差如果使用数学模型对数据进行分析和预测，模型误差是不可避免的。
模型误差主要是由于模型的简化、假设条件的不严谨等因素引起的。
通过对模型进行误差分析和验证，可以评估模型的可靠性和精度。
误差分析与数据处理.
误差分析与数据处理.《误差分析与数据处理》在我们的日常生活和各种科学研究、工程实践中，数据无处不在。
然而，数据往往并非绝对准确，总是存在着一定的误差。
理解误差的来源、性质，并掌握有效的数据处理方法，对于获取准确可靠的信息至关重要。
误差，简单来说，就是测量值与真实值之间的差异。
它的产生可能源于多个方面。
首先，测量工具本身就可能存在精度限制。
比如，我们用一把尺子去测量物体的长度，如果这把尺子的刻度不够精细，那么测量结果就可能存在误差。
其次，测量的环境条件也会影响结果。
例如，温度、湿度、压力等环境因素的变化，可能导致测量对象的性质发生改变，从而引入误差。
再者，测量者的操作水平和方法也不容忽视。
测量时的读数不准确、测量姿势不正确等，都可能导致误差的产生。
误差可以分为系统误差和随机误差两大类。
系统误差是指在相同条件下，多次测量同一量时，误差的大小和符号保持恒定，或者按照一定规律变化的误差。
这种误差通常是由于测量仪器的不完善、测量方法的不正确或者测量环境的影响等原因造成的。
例如，使用未经校准的仪器进行测量，每次测量都会得到偏大或偏小的结果，这就是系统误差。
与之相对的是随机误差，也称为偶然误差。
它是指在相同条件下，多次测量同一量时，误差的大小和符号以不可预知的方式变化的误差。
随机误差是由许多微小的、独立的、不可控的因素共同作用产生的。
比如，测量时的微小震动、电源电压的波动等。
虽然随机误差的具体值无法预测，但从大量的测量数据来看，随机误差的分布通常遵循一定的统计规律，比如正态分布。
了解了误差的类型，接下来我们要探讨如何进行误差分析。
误差分析的第一步是识别误差的来源。
这需要我们对测量过程进行仔细的观察和思考，找出可能导致误差的各个环节。
然后，通过对测量数据的统计分析，可以定量地评估误差的大小。
常用的误差分析方法包括计算平均值、标准差、相对误差等。
平均值是一组数据的算术平均值，它可以反映数据的集中趋势。
但平均值并不能完全反映数据的离散程度，这时候就需要用到标准差。
实验误差分析及数据处理
u + Δu = f (x + Δx, y + Δy,z + Δz)
由泰勒公式，并略去误差的高次项，得
115
地球物理实验
u + Δu = f (x, y,z) + ∂f Δx + ∂f Δy + ∂f Δz
∂x ∂y ∂z
或
Δu = ∂f Δx + ∂f Δy + ∂f Δz
∂x ∂y ∂z
该式即为误差传递公式。 例如我们通过直接测量圆柱形试件的直径D及高H来计算试件的体积V。
前面提到测量值=真值+误差，这里误差包含了系统误差和偶然误差，则测量值=真值+
系统误差+偶然误差，当系统误差修正后，误差主要即是偶然误差。在多次测量中，偶然误
差是一随机的变量，那么测量值也就是一随机变量，我们则可用算术平均值和标准误差来
描述它。
算术平均值 X ：
X
=
1 n
n
∑
i =1
xi
式中xi为第i次测量的测量值，n为测量次数，当n→∞时， X →xt（真值），但是当n增加到 一定程度时， X 的精度的提高就不显着了，所以一般测量中n只要大于10就可以了。
明误差在 ± 1.96s 以外的值都要舍去，这里
1.96s=1.96×1.12=2.19
我们以算术平均值代表真值，表中第4个测量值的偏差 di 为2.4，在 ± 2.19 以外，应当舍
去，再计算其余9个数据的算术平均值和标准误差，有
m = ∑ mi = 416.0 = 46.2
n
9
∑ s =
d
2 i
偶然误差是一种不规则的随机的误差，无法予测它的大小，其误差没有固定的大小和 偏向。
误差与分析数据的处理
误差与分析数据的处理概述在科学研究和实验中，我们常常会遇到误差。
误差是指观测值与真实值之间的差异，是由各种不确定性引起的。
正确地处理误差并分析数据是科学研究和实验的重要环节。
本文将介绍误差的分类以及分析数据时常用的方法和技巧。
误差分类根据误差的来源和性质，可以将误差分为以下几类：1.系统误差：系统误差是由于实验仪器、测量方法或操作者的偏差引起的误差。
例如，仪器的不准确性、测量方法的局限性以及操作者的技术水平都可能导致系统误差。
系统误差在实验过程中是相对固定的，可以通过校正或调整仪器、改进测量方法和提高操作技巧来减小。
2.随机误差：随机误差是由于各种无法预测和无法避免的因素引起的误差。
例如，环境条件的变化、仪器的漂移以及实验中的偶然因素都可能导致随机误差。
随机误差在实验过程中是随机出现的，并且不具有固定的方向和大小。
减小随机误差的方法包括增加样本量、重复实验以及使用统计方法对数据进行分析。
数据处理方法在分析数据时，我们常常需要采用一些方法来处理误差和提取有用的信息。
下面是一些常用的数据处理方法和技巧：1.平均值：平均值是最基本的数据处理方法之一。
通过将多个观测值相加并除以观测值的个数，可以得到平均值。
平均值可以反映数据的总体趋势，但在存在较大偏差或异常值的情况下不具有代表性。
2.方差和标准差：方差和标准差是衡量数据分散度的指标。
方差是观测值与平均值之间差异的平方的平均值，标准差是方差的平方根。
较大的方差和标准差表示数据较为分散，较小的方差和标准差表示数据较为集中。
3.置信区间：置信区间是对数据的估计范围。
通过计算平均值和标准差，可以得到数据的置信区间。
较大的置信区间表示数据的估计范围较大，较小的置信区间表示数据的估计范围较小。
4.线性回归：线性回归是一种用于量化数据之间关系的方法。
通过将数据拟合到一条直线上，可以得到数据之间的线性关系和相关性。
线性回归可以帮助我们预测和预测数据。
数据分析技巧在进行数据分析时，我们还需要一些技巧和策略来处理误差和解释数据。
数据处理及误差分析
数据处理及误差分析1. 引言数据处理及误差分析是科学研究和工程实践中一个至关重要的领域。
在收集和处理数据的过程中，往往会受到各种因素的干扰和误差的影响。
因此，正确地处理这些数据并进行误差分析，对于准确得出结论和进行科学决策至关重要。
2. 数据处理数据处理是指对收集到的数据进行整理、分析和解释的过程。
它包括了数据清洗、数据转换、数据提取和数据集成等步骤。
2.1 数据清洗数据清洗是指对原始数据进行筛选、剔除异常值和填充缺失值等处理。
清洗后的数据更加可靠和准确，能够更好地反映实际情况。
2.2 数据转换数据转换主要是将原始数据转化为符合分析需求的形式。
比如，将连续型数据离散化、进行数据标准化等。
2.3 数据提取数据提取是指从庞大的数据集中挑选出有意义和相关的数据进行分析。
通过合理选择变量和提取特征，可以提高数据分析的效率和准确性。
2.4 数据集成数据集成是指将来自不同数据源的数据进行整合和合并，以满足分析需求。
通过数据集成，可以获得更全面、更综合的数据集，提高分析结果的可信度。
3. 误差分析误差分析是对数据处理过程中产生的误差进行评估和分析。
误差可以分为系统误差和随机误差两种类型。
3.1 系统误差系统误差是由于数据收集和处理过程中的系统性偏差导致的。
它们可能是由于仪器精度不高、实验环境变化等原因引起的。
系统误差一般是可纠正的，但要确保误差产生的原因被消除或减小。
3.2 随机误差随机误差是由于抽样误差、观察误差等随机因素导致的。
它们是不可预测和不可消除的，只能通过多次重复实验和统计方法进行分析和控制。
4. 误差分析方法误差分析通常采用统计学和数学方法进行。
其中，常用的方法有误差传递法、误差平均法、误差椭圆法等。
4.1 误差传递法误差传递法是将各个步骤中产生的误差逐步传递，最终计算出整个数据处理过程中的总误差。
它能够帮助我们了解每个步骤对最终结果的影响程度，并找出影响结果准确性的关键因素。
4.2 误差平均法误差平均法是通过多次实验重复测量，并计算平均值来减小随机误差的影响。
物理实验中的数据处理与误差分析
物理实验中的数据处理与误差分析在物理实验中，数据处理与误差分析是非常重要的环节。
准确地处理实验数据并分析误差，可以提高实验结果的可靠性和准确性。
本文将介绍一些常见的数据处理方法和误差分析技巧，帮助读者更好地理解和应用这些知识。
一、数据处理方法1.平均值的计算在实验中，经常需要多次测量同一物理量，然后将测量结果求平均值。
计算平均值可以减小测量误差的影响，提高结果的准确性。
求平均值的方法很简单，只需要将所有测量结果相加，然后除以测量次数即可。
2.误差的传递在物理实验中，往往需要通过测量一些基本物理量来计算其他物理量。
当存在多个物理量的测量误差时，需要对误差进行传递计算。
常见的误差传递公式有乘法、除法和幂函数的误差传递公式。
3.直线拟合与斜率的计算在一些实验中，我们需要通过实验数据拟合一条直线来获得一些重要信息，如斜率、截距等。
直线拟合可以通过最小二乘法来完成，根据实验数据点与拟合直线的最小距离来确定直线的参数。
而斜率的计算可以通过拟合得到的直线参数来得出。
二、误差分析技巧1.随机误差与系统误差在物理实验中，误差通常分为随机误差和系统误差。
随机误差是由实验条件不完全相同或测量仪器精度的限制造成的，它的值在一定范围内变化。
系统误差是由于实验条件的固有缺陷或仪器的固有误差造成的，它的值通常是恒定的。
在误差分析中，需要分别考虑和处理这两种误差。
2.误差的类型与来源误差可以分为绝对误差和相对误差。
绝对误差是指测量结果与真实值之间的差值，而相对误差是指绝对误差与测量结果之间的比值。
误差的来源主要有仪器误差、人为误差和环境误差等。
3.误差的评估与控制误差的评估是确定测量结果可靠性和准确性的重要步骤。
通常可以采用标准差、百分误差和置信区间等方法来评估误差。
同时，通过合理地控制实验条件、使用精密的仪器和注意操作技巧等措施，可以降低误差的产生。
三、实例分析为了更好地理解数据处理与误差分析的应用，我们以一次重力实验为例进行分析。
物理实验中的数据处理和误差分析方法
物理实验中的数据处理和误差分析方法在物理实验中，数据处理和误差分析是非常重要的环节。
准确地处理实验数据和分析误差有助于提高实验结果的可靠性和准确性，进而为科学研究提供可靠的依据。
本文将介绍一些常用的数据处理和误差分析方法。
一、数据处理方法1. 数据整理在开始数据处理之前，首先需要整理实验数据。
将实验数据按照一定的规则进行排列，比如按照实验的不同条件进行分类、按照时间顺序排列等。
这样有助于我们对数据进行更加有效的处理。
2. 数据可视化将实验数据进行可视化处理是数据处理中常用的方法之一。
通过绘制图表，可以直观地展示数据的分布和趋势。
常用的图表包括折线图、柱状图、散点图等。
通过观察图表可以更好地理解数据，找出其中的规律。
3. 数据拟合数据拟合是将实验数据与某种数学模型相拟合的过程。
通过拟合可以得到更加精确的结果。
常用的拟合方法包括线性拟合、最小二乘法拟合等。
通过拟合得到的模型参数可以更好地描述实验数据，并用于预测未知数据。
二、误差分析方法1. 绝对误差与相对误差绝对误差是指实际测量值与真实值之间的差别，可以通过多次测量取平均值来减小。
相对误差是绝对误差与测量值的比值，可以用来评估测量结果的精度。
在误差分析中，我们通常关注相对误差。
2. 系统误差与随机误差系统误差是由于实验装置、测量仪器等固有原因导致的误差，可以通过校正来减小。
随机误差是由于实验中不可预测的因素引起的误差，可以通过多次测量取平均值来减小。
3. 方差分析方差分析是一种常用的误差分析方法。
通过对不同因素引起的误差进行方差分析，可以确定各个因素对误差的贡献程度，进而找出影响实验结果的主要因素。
4. 不确定度分析不确定度是描述测量结果的范围的指标，用来表示测量结果的可靠程度。
不确定度分析是通过对测量过程中各种因素进行综合考虑，计算实验结果的不确定度。
常用的不确定度分析方法包括合成不确定度法、最小二乘法不确定度分析等。
5. 能力指标分析能力指标分析是对实验结果质量进行评估的方法。
实验数据误差分析和数据处理
实验数据误差分析和数据处理数据误差分析是首要的步骤，它通常包括以下几个方面：1.随机误差：随机误差是指在重复实验的过程中，由于个体差异等原因引起的测量结果的离散性。
随机误差是不可避免的，并且符合一定的统计规律。
通过进行多次重复测量，并计算平均值和标准差等统计指标，可以评估随机误差的大小。
2.系统误差：系统误差是由于仪器、测量方法或实验条件所引起的，使得测量结果与真实值的偏离。
系统误差可能是由于仪器刻度的不准确、环境温度的变化等原因导致的。
通过合理校准仪器、控制环境条件等方式可以减小系统误差。
在数据误差分析的基础上，进行数据处理是必不可少的步骤。
数据处理的目的是通过对实验结果的合理处理，得到更为准确的结论。
1.统计处理：统计方法是最常用的数据处理方法之一、通过使用统计学中的概率分布、假设检验、方差分析等方法，可以对实验数据进行科学、客观的分析和处理。
2.回归分析：回归分析是一种通过建立数学模型来研究变量之间关系的方法。
通过对实验数据进行回归分析，可以确定变量之间的数学关系，并预测未知数据。
3.误差传递与不确定度评定：在实验中，不同参数之间的误差如何相互影响，以及这些误差如何传递到最终结果中，是一个重要的问题。
通过不确定度评定方法，可以定量评估各个参数的不确定度，并估计最终结果的不确定度。
4.数据可视化和图表展示：通过绘制合适的图表，可以更直观地展示实验数据的分布规律、趋势以及变化情况。
例如，折线图、散点图、柱状图等可以有效地展示数据的分布和相关关系。
综上所述，实验数据误差分析和数据处理是进行科学研究的重要环节。
准确评估和处理数据误差可以提高实验结果的可靠性和准确性，为研究结果的正确性提供基础。
通过合理选择和应用适当的数据处理方法，可以从实验数据中得出有意义的结论，并为进一步研究提供指导。
误差分析与数据处理
误差分析与数据处理在我们的日常生活和各种科学研究、工程实践中，数据的获取和处理是至关重要的环节。
然而，由于各种因素的影响，我们所获得的数据往往存在一定的误差。
这些误差可能会对我们的分析结果产生误导，甚至导致错误的决策。
因此，误差分析与数据处理就成为了确保数据质量和可靠性的关键步骤。
首先，我们需要了解误差的来源。
误差大致可以分为两类：系统误差和随机误差。
系统误差是由于测量仪器的不准确、测量方法的不完善或者环境因素的恒定影响等原因导致的，其特点是误差的大小和方向具有一定的规律性。
例如，使用未经校准的温度计测量温度，每次测量结果都会偏高或偏低一个固定的值，这就是系统误差。
随机误差则是由一些不可预测的偶然因素引起的，其特点是误差的大小和方向没有明显的规律。
比如，在测量物体的长度时，由于人的读数瞬间的差异，每次测量结果可能会有所不同，这就是随机误差。
在进行误差分析时，我们需要对误差的大小和性质进行评估。
常用的误差衡量指标包括绝对误差、相对误差和标准误差等。
绝对误差是测量值与真实值之间的差值，它直接反映了误差的大小。
相对误差则是绝对误差与真实值的比值，能够更直观地反映测量的准确度。
标准误差则用于衡量多次测量结果的离散程度。
为了减小误差，我们可以采取多种措施。
在测量前，要对测量仪器进行校准和调试，选择合适的测量方法，并控制好测量环境。
在测量过程中，要严格按照操作规程进行操作，多次测量取平均值可以有效地减小随机误差。
此外，还可以采用更先进的测量技术和设备来提高测量的精度。
数据处理是对测量得到的数据进行整理、分析和计算的过程。
在数据处理中，我们需要对异常数据进行识别和处理。
异常数据是指与其他数据明显不符的数据点，可能是由于测量错误或者特殊情况导致的。
对于异常数据，我们不能简单地将其舍去，而需要进行仔细的分析和判断。
如果确定是由于测量错误导致的异常数据，应该予以剔除；如果异常数据是真实存在的，我们需要对其原因进行研究，并在后续的分析中给予适当的考虑。
误差分析与数据处理ppt课件.ppt
老化、机械零件内应力变化引起的。由于它有不平稳随机 过程的特点，误差值在单调缓慢变化，因此不能象对系统 误差那样引进一次修正量即能校正，又不能象对一般随机 误差那样按平稳随机过程的特点来处理，因而常需不断进 行校正，测量准确度与对仪器仪表的校正周期有关。
1） 直间接测量：从一个或几个直接测
或量具就可直接得到被测量 量结果按一定的函数关系计算出来
值的测量；
的过程，称为间接测量。
➢例如：用直尺测量长度；
以表计时间；
天平称质量；
M
安培表测电流。
d
V hd 2
h
4
M V
4M
d 2h
1
2）等精度测量和非等精度测量
2
1.2真值、代表值与误差
1.2.1真值
指在某一时刻和某一位置的某个物理量客观存在的真实值。严 格地讲，真值是无法测得的，只能测得真值的近似值。实际应 用中真值是指测量次数无限多时的平均值作为真值。
➢理论真值：理论上证明过的某些已知的固定量值，如三角 形之和为180º。
➢约定真值：国际计量组织通过决议规定的某些计量单位的 量值，如规定铂铱合金的国际千克原器为1kg的质量单位。 光在真空中1s时间内传播距离的1/299792485为1米。
仪器
天平不等臂
6
➢系统误差的分类
1）按系统误差产生的原因分 ➢设备误差：由于测量仪器、工具的不准确或安装不正确造成的，如 仪器的零位不准，空行程、不水平、不垂直、导线的影响等。 ➢环境误差：由于测量环境条件变化的影响，如温度、压力、外电磁 场的影响。 ➢人员误差：由测量人员自身造成的，如读数的偏大、偏小、测量的 超前或滞后等。 ➢方法误差：由于测量方法不完善，计算公式的近似简化引起的。
误差分析和数据处理
误差分析、数据处理和物理实验不同，电子电路基础实验通常采用的是单次测量，对误差处理要求相对较低。
１.误差绝对误差设被测量量的真值为Ａo，测量仪器的示值为X，则绝对值为△X＝X－Ａo在某一时间及空间条件下，被测量量的真值虽然是客观存在的，但一般无法测得，只能尽量逼近它。
故常用高一级标准测量仪器的测量值Ａ代替真值Ａo，则△X＝X－Ａ相对误差是用绝对误差△X与被测量的实际值A的比值的百分数来表示的相对误差。
在电子电路一般的实验中，由于已经可以利用已有的公式计算，所以一般直接用理论值代替真值A，然后进行误差计算。
２.测量数据处理1.测量结果的数据处理（1）有效数字由于存在误差，所以测量资料总是近似值，它通常由可靠数字和欠准数字两部分组成。
例如，由电流表测得电流为12.6mA，这是个近似数，12是可靠数字，而末位6为欠准数字，即12.6为三位有效数字。
有效数字对测量结果的科学表述极为重要。
对有效数字的正确表示，应注意以下几点：①与计量单位有关的"0"不是有效数字，例如，0.054A与54mA这两种写法均为两位有效数字。
②小数点后面的"0"不能随意省略，例如，18mA与18.00mA是有区别的，前者为两位有效数字，后者则是四位有效数字。
③对后面带"0"的大数目数字，不同写法其有效数字位数是不同的，例如，3000如写成30×10 2，则成为两位有效数字；若写成3×103，则成为一位有效数字；如写成3000±1，就是四位有效数字。
④如已知误差，则有效数字的位数应与误差所在位相一致，即：有效数字的最后一位数应与误差所在位对齐。
如；仪表误差为±0.02V，测得数为3.2832V，其结果应写作3.28V。
因为小数点后面第二位"8"所在位已经产生了误差，所以从小数点后面第三位开始后面的"32"已经没有意义了，写结果时应舍去。
误差分析与数据处理
误差分析与数据处理物理化学实验是研究物质的物理性质以及这些物理性质与其化学反应间关系的一门实验科学。
在实验研究工作中，一方面要拟定实验的方案，选择一定精度的仪器和适当的方法进行测量；另一方面必须将所测得的数据加以整理归纳，科学地分析并寻求被研究变量间的规律。
但由于仪器和感觉器官的限制，实验测得的数据只能达到一定程度的准确性。
因此，在着手实验之前要了解测量所能达到的准确度以及在实验以后合理地进行数据处理，都必须具有正确的误差概念，在此基础上通过误差分析，选用最合适的仪器量程，寻找适当的实验方法，得出测量的有利条件。
下面首先简要介绍有关误差等几个基本概念。
一、一、基本概念1．误差。
在任何一种测量中，无论所用仪器多么精密，方法多么完善，实验者多么细心，所得结果常常不能完全一致而会有一定的误差或偏差。
严格地说，误差是指观测值与真值之差，偏差是指观测值与平均值之差。
但习惯上常将两者混用而不加区别。
根据误差的种类、性质以及产生的原因，可将误差分为系统误差、偶然误差和过失误差三种。
系统误差：这种误差是由于某种特殊原因所造成的恒定偏差，或者偏大或者偏小，其数值总可设法加以确定，因而一般说来，它们对测量结果的影响可用改正量来校正。
系统误差起因很多，例如：(1)仪器误差。
这是由于仪器构造不够完善，示数部分的刻度划分得不够准确所引起，如天平零点的移动，气压表的真空度不高，温度计、移液管、滴定管的刻度不够准确等。
(2)测量方法本身的限制。
如根据理想气体方程式测量某蒸汽的相对分子质量时，由于实际气体对理想气体有偏差，不用外推法求得的相对分子质量总较实际的相对分子质量为大。
(3)个人习惯性误差。
这是由于观测者有自己的习惯和特点所引起，如记录某一信号的时间总是滞后、有人对颜色的感觉不灵敏、滴定等当点总是偏高等。
系统误差决定测量结果的准确度。
它恒偏于一方，偏正或偏负，测量次数的增加并不能使之消除。
通常是用几种不同的实验技术或用不同的实验方法或改变实验条件、调换仪器等以确定有无系统误差存在，并确定其性质，设法消除或使之减少，以提高准确度。
误差分析与数据处理
产生原因－人操作上的粗心大意，外界的强大干扰。
消除方法－当发现粗大误差时，应予以剔除。 结论：在进行误差分析时，粗差剔除，系统误差和随机误 差要用适当的方法进行处理和估算。
课堂提问：
1.请举出生话中的系统误差、随机误差、粗大误差的 实例。 2.第1章讲过一些仪表性能指标，其中就涉及哪个误 差概念？
系统误差： 与真值之差。 随机误差：某一测量值与 的差值。 2.对称性:xi大致地分布于 两侧。 剩余误差（残差）Vi＝ xi － 残差基本互相抵消。残差总和：
3.有界性：在一定的条件下， xi有一定的分布范围，超过这个范围的可能性很 小，一般作为粗大误差处理。
当n→∞时，测量列xi的算术平均值 可认为是测量值的最可信值，但无 法表达出测量值的误差范围和精度高低。一般用下式表示存在随机误差时的 测量结果：
解： 1.按照测量读数的顺序列成表格。 2.计算测量列xi的算术平均值： ＝（633.97/16）＝39.623 mm。 3.算出每个测量读数的残差Vi ，填写在xi的右边。并验证了 。 4.在每个残差旁算出 和 必须的中间过程值 ， 然后求出 ＝2.140mm2 5.计算出方均根误差 ＝0.378mm
2.2.1随机误差的统计特性
单次测量具有随机性，但多次测量其总体误差具有规律性特征。 测量列：保持测量条件不变，对同一测量对象进行多次重复测量得到一系列包含 随机误差的读数x1、x2、…，xn。 统计直方图：以测得的数据为横坐标，出现的次数为纵坐标。 正态分布曲线（随机误差的概率密度，高斯误差）：当测量次数n→∞ 时，则无 限多的直方图的顶点中线的连线就形成一条光滑的连续曲线。有如下规律： 1.集中性：大量的测量值集中分布于算术平均值 附近。
2.随机误差－在同一条件下，多次测量同一被测量，有时 会发现测量值时大时小，机误差。随机误差反映了测 量值离散性的大小。 产生原因（随机效应）－随机误差是测量过程中许多独立 的、微小的、偶然的因素引起的综合结果。 消除方法－单个测量值误差是随机的，难以消除或修正； 但误差的整体服从正态分布统计规律，因此可以增加测量 次数，并对测量结果进行数据统计处理。 3.粗大误差－明显偏离真值的误差称为粗大误差（过失误 差）。
误差分析与数据处理
第一章 误差分析与数据处理1-1 误差分析的意义何在？1-2 误差有几种类型？总结系统误差与随机误差的异同点。
1-3 试验数据的准确度和精密度如何表示，它们之间有何关系？ 1-4 什么叫有效数字，有效数字的误差如何计算？ 1-5 数据有几种表示方法，各有何优缺点？ 1-6 可疑观测值的取舍有哪些方法？简述其步骤。
1-7 测得某三角块的三个角度之和为180º00′02″，试求测量的绝对误差和相对误差。
1-8 在万能测长仪上，测量某一被测件的长度为50 mm ，已知其最大绝对误差为1 m ，试问该被测件的真实长度为多少?1-9 在测量某一长度时，读数值为2.31 m ，其最大绝对误差为20 m ，试求其最大相对误差。
1-10 使用凯特摆时，g 由公式2212/)(4T h h g +=π给定。
今测出长度(h 1+h 2)为(1.04230±0.00005) m ，振动时间T 为(2.0480±0.0005) s 。
试求g 及其最大相对误差。
如果(h 1+h 2)测出为(1.04220±0.0005) m ，为了使g 的误差能小于0.001 m/s 2，T 的测量必须精确到多少?1-11 检定2.5级（即引用误差为2.5%）、量程为100 V 的电压表，发现50 V 刻度点的示值误差2 V 为最大误差，问该电压表是否合格?1-12 为什么在使用微安表等各种电表时，总希望指针在全量程的2/3范围内使用?1-13用两种方法测量L 1=50 mm ，L 2=80 mm ，测量结果为50.004 mm ，80.006 mm 。
试评定两种方法测量精度的高低。
1-14 多级弹导火箭的射程为10000 km 时，其射击偏离预定点不超过0.1 km ，优秀射手能在距离50 m 远处准确地射中直径为2 cm 的靶心，试评述哪一个射击精度高?1-15 测量某物体重量共8次，测得数据(单位为g)为236.45，236.37，236.51，236.34，236.39，236.48，236.47，236.40。
误差分析和数据处理
精心整理误差和分析数据处理1数据的准确度和精度在任何一项分析工作中，我们都可以看到用同一个分析方法，测定同一个样品，虽然经过多少次测定，但是测定结果总不会是完全一样。
这说明在测定中有误差。
为此我们必须了解误差产生的原因及其表示方然而对我们工程实验而言，观察的次数都是有限的，故用有限观察次数求出的平均值，只能是近似真值，或称为最佳值。
一般我们称这一最佳值为平均值。
常用的平均值有下列几种：（1）算术平均值这种平均值最常用。
凡测量值的分布服从正态分布时，用最小二乘法原理可以证明：在一组等精度的测量中，算术平均值为最佳值或最可信赖值。
式中：n x x x 21、——各次观测值；n ――观察的次数。
（2）均方根平均值（3）加权平均值设对同一物理量用不同方法去测定，或对同一物理量由不同人去测缺点是不能充分利用数据。
1.2准确度与误差准确度与误差是指测定值与真实值之间相符合程度。
准确度的高低常以误差的大小来衡量。
即：误差越小，准确度越高；误差越大，准确度越低。
误差有两种表示方法：绝对误差和相对误差。
1、绝对误差（E）某物理量在一系列测量中，某测量值与其真值之差称绝对误差。
实际工作中常以最佳值代替真值，测量值与最佳值之差称残余误差，习惯上也称为绝对误差。
绝对误差（E）＝测定值（x）-真实值（T）2、相对误差（RE）1.3密度的大小用偏差表示，偏差愈小说明精密度愈高。
（一）偏差偏差有绝对偏差和相对偏差。
x绝对偏差（d）=x相对偏差是指单次测定值与平均值的偏差。
相对偏差=%100⨯-x x x相对偏差是指绝对偏差在平均值中所占的百分率。
绝对偏差和相对偏差都有正负之分，单次测定的偏差之和等于零。
对多次测定数据的精密度常用算术平均偏差表示。
（二）算术平均偏差在数理统计中常用标准偏差来衡量精密度。
1、总体标准偏差总体标准偏差是用来表达测定数据的分散程度，其数学表达式为：总体标准偏差n x i 2)()(μσ-∑=2、样本标准偏差一般测定次数有限，μ值不知道，只能用样本标准偏差来表示精密度，其数学表达式为：样本标准偏差1)( )(2 --∑=n xxS i上式中（n-1）在统计学中成为自由度，意思是在n次测定中，只有（n-1）个独立可变的偏差，因为n个绝对偏差之和等于零，所以只要知道（n-1）个绝对偏差，就可以确定第n个的偏差。
实验数据误差分析与数据处理
实验数据误差分析与数据处理实验数据误差分析主要包括两个方面：系统误差和随机误差。
系统误差是由于实验仪器、实验方法或实验条件等产生的固定的、有方向性的误差，它的大小和方向在一定范围内是恒定的。
而随机误差是由于实验过程中的偶然性因素导致的误差，其大小和方向是随机的。
对于系统误差，我们可以通过改进实验仪器或实验方法来减小其影响；对于随机误差，我们可以通过多次实验取平均值或者进行统计处理来减小其影响。
在数据处理中，我们常用的方法有拟合曲线、计算平均值和标准差等。
拟合曲线方法主要用于实验数据呈现出一定的规律性和趋势性时，通过曲线拟合来找到其中的关系式，并预测出实验数据在其他条件下的取值。
计算平均值和标准差方法主要用于对大量实验数据进行统计处理。
平均值可以反映实验结果的集中趋势，而标准差则可以反映实验结果的离散程度。
当我们得到一组实验数据时，可以计算其平均值和标准差，并通过比较不同组数据的平均值和标准差，来判断实验结果的可靠性和误差的大小。
另外，还有一些常用的统计学方法和误差分析方法可以用于数据处理，例如方差分析法、卡方检验法、t检验法等。
方差分析法适用于多组实验数据之间的比较，可以通过分析组间和组内的方差来判断实验结果是否显著。
卡方检验法适用于对分类数据的处理，可以通过比较实际观测频数和理论计算频数的差异来判断数据是否符合其中一种假设。
t检验法适用于小样本数据的处理，可以通过比较样本均值和总体均值之间的差异来判断数据是否显著。
在进行数据处理之前，我们还需要对实验数据进行合理的选择和处理。
首先，要注意选择适当的实验方法和仪器，以确保实验数据的准确性和可靠性。
其次，要注意采样的代表性，即所选样本应该具有一定的代表性，能够反映出总体的特征。
此外，还要注意避免数据中的异常值或者异常结果对数据处理的影响，可以通过排除异常值或者重新进行实验来解决。
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误差分析与数据处理物理化学实验是研究物质的物理性质以及这些物理性质与其化学反应间关系的一门实验科学。
在实验研究工作中，一方面要拟定实验的方案，选择一定精度的仪器和适当的方法进行测量；另一方面必须将所测得的数据加以整理归纳，科学地分析并寻求被研究变量间的规律。
但由于仪器和感觉器官的限制，实验测得的数据只能达到一定程度的准确性。
因此，在着手实验之前要了解测量所能达到的准确度以及在实验以后合理地进行数据处理，都必须具有正确的误差概念，在此基础上通过误差分析，选用最合适的仪器量程，寻找适当的实验方法，得出测量的有利条件。
下面首先简要介绍有关误差等几个基本概念。
—、一、基本概念1.误差。
在任何一种测量中，无论所用仪器多么精密，方法多么完善，实验者多么细心，所得结果常常不能完全一致而会有一定的误差或偏差。
严格地说，误差是指观测值与真值之差，偏差是指观测值与平均值之差。
但习惯上常将两者混用而不加区别。
根据误差的种类、性质以及产生的原因，可将误差分为系统误差、偶然误差和过失误差三种。
系统误差：这种误差是由于某种特殊原因所造成的恒定偏差，或者偏大或者偏小，其数值总可设法加以确定，因而一般说来，它们对测量结果的影响可用改正量来校正。
系统误差起因很多，例如：(1)仪器误差。
这是由于仪器构造不够完善，示数部分的刻度划分得不够准确所引起，如天平零点的移动，气压表的真空度不高，温度计、移液管、滴定管的刻度不够准确等。
(2)测量方法本身的限制。
如根据理想气体方程式测量某蒸汽的相对分子质量时，由于实际气体对理想气体有偏差，不用外推法求得的相对分子质量总较实际的相对分子质量为大。
(3 )个人习惯性误差。
这是由于观测者有自己的习惯和特点所引起，如记录某一信号的时间总是滞后、有人对颜色的感觉不灵敏、滴定等当点总是偏高等。
系统误差决定测量结果的准确度。
它恒偏于一方，偏正或偏负，测量次数的增加并不能使之消除。
通常是用几种不同的实验技术或用不同的实验方法或改变实验条件、调换仪器等以确定有无系统误差存在，并确定其性质，设法消除或使之减少，以提高准确度。
偶然误差：在实验时即使采用了完善的仪器，选择了恰当的方法，经过了精细的观测，仍会有一定的误差存在。
这是由于实验者的感官的灵敏度有限或技巧不够熟练、仪器的准确度限制以及许多不能预料的其他因素对测量的影响所引起的。
这类误差称为偶然误差。
它在实验中总是存在的，无法完全避免，但它服从几率分布。
偶然误差是可变的，有时大，有时小，有时正，有时负。
但如果多次测量，便会发现数据的分布符合一般统计规律。
这种规律可用图I一1中的典型曲线表示，此曲线称为误差的正态分布曲线，此曲线的函数形式为:y= y =式中：h称为精确度指数，b为标准误差，h与b的关系为：h= 。
自图I 一1中的曲线可以出：(1)误差小的比误差大的出现机会多，故误差的几率与误差大小有关。
个别特别大的误差出现的次数极少。
(2)由于正态分布曲线与y轴对称，因此数值大小相同，符号相反的正、负误差出现的机率近于相等。
如以m代表无限多次测量结果的平均值，在没有系统误差的情况下，它可以代表真值。
b为无限多次测量所得标准误差。
由数理统计方法分析可以得出，误差在土1 b内出现的几率是68.3%，在土2 b内出现的几率是95.5%，在土3占内出现的几率是99.7%，可见误差超过土3b的出现几率只有0.3%。
因此如果多次重复测量中个别数据的误差之绝对值大于3 b，则这个极端值可以舍去。
偶然误差虽不能完全消除。
但基于误差理论对多次测量结果进行统计处理，可以获得被测定的最佳代表值及对测量精密度作出正确的评价。
在基础物理化学实验中的测量次数有限，若要采用这种统计处理方法进行严格计算可查阅有关参考书。
过失误差：这是由于实验过程中犯了某种不应有的错误所引起的，如标度看错、记录写错、计算弄错等。
此类误差无规则可寻，只要多方警惕，细心操作，过失误差是可以完全避免的。
2.准确度和精密度。
准确度是表示观测值与真值接近程度；精密度是表示各观测值相互接近的程度。
精密度高又称再现性好。
在一组测量中，尽管精密度很高，但准确度不一定很好；相反，若准确度好，则精密度一定高。
准确度与精密度的区别，可用图I 一2加以说明。
例如甲乙丙三人同时测定某一物理量，各分析四次，其测定结果图中以小圈表示。
从图I 一2上可见，甲的测定结果的精密度很高，但平均值与真值相差较大，说明其准确度低。
乙的测定结果的精密度不高，准确度也低。
只有丙'1' 的测得结果的精密度和准确度均高。
必须指出的是在科学测量中，只有设想的真值，通常是以运用正丙确测量方法并用校正过的仪器多次测量所得的算术平均值或载之文献手册的公认值来代替的。
3.绝对误差与相对误差。
绝对误差是观测值与真值之差。
相对误差是指误差在真值中所占的百分数。
它们分别可用下列两式表图］一2甲咼丙三人的观崗毎果示直囲示：绝对误差=观测值一真值相对误差=绝对误差/真值X 100%绝对误差的表示单位与被测量是相同的，而相对误差是无因次的。
因此不同物理量的相对误差可以相互比较。
这样，无论是比较各种测量的精密度或是评定测量结果的准确度，采用相对误差更为方便。
4•平均误差和标准误差。
为了说明测量结果的精密度，一般以单次测量结果的平均误差表示，即式中：d“ d2、，、d n为第1、2、，、n次测量结果的绝对误差。
单次测量结果的相对平均误差为：相对平均误差= X 10式中为算术平均值。
用数理统计方法处理实验数据时，常用标准误差来衡量精密度。
标准误差又称均方根误差，其定义为b = , I = 1, 2, 3, , , n。
当测量次数不多时，测量的标准误差b可按下式计算：b = =式中：d为X i -, 是n个观测值的算术平均值。
N —1称为自由度，是指独立测定的次数减去处理这些观测值时所用的外加关系条件的数目。
因此在有限观测次数时，计算标准误差公式中采用n —1的自由度就起了除去这个外加关系条件（等式）的作用。
用标准误差表示精密度要比用平均误差好，因为单次测量的误差平方之后，较大的误差更显著地反映出来，这就更能说明数据的分散程度。
例如甲乙二人打靶，每人两次，甲击中处离靶中心为1和3寸，乙击中处则为2和2寸。
这两人射击的平均误差都为2。
但乙的射击精密度要比甲的高些，因为按照最小二乘方原理，甲的误差乘方和是12 3+32= 10,而乙的是22+22= &甲的标准误差为，而乙的标准误差却为、因此化学工作者在精密地计算实验误差时，大多采用标准误差，而不用以百分数表示的算术平均误差。
5 •有效数字与运算法则。
在实验工作中，对任一物理量的测定，其准确度都是有限的，我们只能以某一近似值表示之。
因此测量数据的准确度就不能超过测量所允许的范围。
如果任意将近似值保留过多的位数，反而歪曲测量结果的真实性。
实际上有效数字的位数就指明了测量准确的幅度。
现将有关有效数字和运算法则简述如下：(1)记录测量数据时，一般只保留一位可疑数字。
有效数字是指该数字在一个数量中所代表的大小。
例如，一滴定管的读数为32.47,其意义为十位数为3,个位数上为2，十分位上为4,百分位上为7。
从滴定管上的刻度来看，我们都知道要读到千分位是不可能的，因为刻度只刻到十分之一，百分之一已为估计值。
故在末位上，上下可能有正负一个单位出入。
这末一位数可认为不准确的或可疑的，而其前边各数所代表的数值，则均为准确测量的。
通常测量时，一般均可估计到最小刻度的十分位，故在记录一数量时，只应保留一位不准确数字，其余数均为准确数字。
我们称此时所记的数字均为有效数字。
在确定有效数字时，要注意“0”这个符号。
紧接小数点后的0仅用来确定小数点的位置，并不作为有效数字。
例如0.00015g中小数点后三个0都不是有效数字。
而0.150g中的小数点后的0是有效数字，至于350mm中的0就很难说是不是有效数字，最好用指数来表示，以10的方次前面的数字表示。
如写成3.5 x 104mm，则表示有效数字为两位；写成3.50 2x5mm ,则有效数字为三位；其余类推。
(2)在运算中舍去多余数字时采用四舍五人法。
凡末位有效数字后面的第一位数大于5, 则在其前一位上增加1,小于5则舍去。
等于5时，如前一位为奇数，则增加1;如前一位为偶数则舍去。
例如，对27.0235取四位有效数字时，结果为27.02;取五位有效数字时，结果为27.024。
但将27.015与27.025取为四位有效数字时，则都为27.02。
(3)加减运算时，计算结果有效数字的末位的位置应与各项中绝对误差最大的那项相同。
或者说保留各小数点后的数字位数应与最小者相同。
例如13.75, 0.0084, 1.642三个数据相加，若各数末位都有土1个单位的误差，则13.75的绝对误差土0.01为最大的，也就是小数点后位数最少的是13.75这个数，所以计算结果的有效数字的末位应在小数点后第二位。
13.75 13.750.0084 舍去多余数后得0.01②对数的尾数有几个有效数字，则其反对数也应有几个有效数字。
如.3010= 1g0.2000 ; 0.652= 1g4.49(8)在整理最后结果时，要按测量的误差进行化整，表示误差的有效数字一般只取一位至多也不超过二位，例如 1.45±0.01。
当误差第一位数为8或9时，只须保留一位。
任何一个物理量的数据，其有效数字的最后一位，在位数上应与误差的最后一位相对应。
例如，测量结果为1223.78±0.054，化整记为1223.78±0.05。
又如，测量结果为14356±86，化整记为(1.436 ± 0.009) X 104。
(9)计算平均值时，若为四个数或超过四个数相平均，则平均值的有效数字位数可增加一位。
二、误差分析物理化学实验数据的测定工作中，绝大多数是要对几个物理量进行测量，代人某种函数关系式，然后加以运算，才能得到所需要的结果，这称为间接测量。
在间接测量中每个直接测量值的准确度都会影响最后结果的准确性。
例如在气体温度测量实验中，用理想气体方程式T = pV/nR测定温度T。
因此T是各直接测量量p、V和n的函数。
通过误差分析我们可以查明直接测量的误差对函数误差的影响情况，从而找出影响函数误差的主要来源，以便选择适当的实验方法，合理配置仪器，以寻求测量的有利条件。
因此误差分析是鉴定实验质量的重要依据。
误差分析限于对结果的最大可能误差而估计，因此对各直接测量的量只要预先知道其最大误差范围就+)1.642 +)1.6415.40281g 317.2 = 2.5013; 1g7.1 x 10 = 28.85够了。
当系统误差已经校正，而操作控制又足够精密时，通常可用仪器读数精密度来表示测量误差范围。