ch03命题逻辑推理理论
合集下载
命题逻辑ppt课件
解 令 p：王晓用功，q：王晓聪明，则 (1) p∧q (2) p∧q (3) p∧q.
9
例 (续)
(4) (p)∧q. 令 r : 张辉是三好学生，s :王丽是三好学生
(5) r∧s. (6) 令 t : 张辉与王丽是同学，t 是简单命题 .
说明: (1)~(4)说明描述合取式的灵活性与多样性. (5) 中“与”联结的是句子的主语成分，因而(5)
命题的真值: 判断的结果 真值的取值: 真与假 二者取一 真命题: 真值为真的命题 假命题: 真值为假的命题
注意: 感叹句、祈使句、疑问句都不是命题 陈述句中的悖论以及判断结果不惟一确定的也不是命题
3
例 下列句子中那些是命题？ (1) 2是无理数. (2) 2 + 5 ＝8. (3) x + 5 ＞ 3. (4) 你有铅笔吗？ (5) 这只兔子跑得真快呀！ (6) 请不要讲话！ (7) 我正在说谎话.
这就产生了矛盾。
5
命题的分类
简单命题(原子命题)： 简单陈述句构成的命题
复合命题： 由简单命题用联结词联结而成的命题
6
简单命题符号化
在本书中用小写英文字母 p, q, r, … ,pi,qi,ri (i≥1）表示简单命题，将 表示命题的符号放在该命题的前面，称为命题符号化。 用“1”表示真，用“0”表示假 对简单命题而言，它的真值是确定的，因而又称为命题常项或命题常元。
表达。 3：命题公式 层次 成真赋值 成假赋值 真值表的定义 4：构造真值表的具体步骤，重言式 矛盾式 可满足式 定
义
29
上节知识复习
1:定义：命题 真(假)命题 命题常(变)项 2:五个联结词定义及取值情况，对应的
语言表达 3:复合命题符号化的步骤 4:命题公式 命题公式的层次定义及判断 5:成真赋值 成假赋值 重言式 矛盾式
9
例 (续)
(4) (p)∧q. 令 r : 张辉是三好学生，s :王丽是三好学生
(5) r∧s. (6) 令 t : 张辉与王丽是同学，t 是简单命题 .
说明: (1)~(4)说明描述合取式的灵活性与多样性. (5) 中“与”联结的是句子的主语成分，因而(5)
命题的真值: 判断的结果 真值的取值: 真与假 二者取一 真命题: 真值为真的命题 假命题: 真值为假的命题
注意: 感叹句、祈使句、疑问句都不是命题 陈述句中的悖论以及判断结果不惟一确定的也不是命题
3
例 下列句子中那些是命题？ (1) 2是无理数. (2) 2 + 5 ＝8. (3) x + 5 ＞ 3. (4) 你有铅笔吗？ (5) 这只兔子跑得真快呀！ (6) 请不要讲话！ (7) 我正在说谎话.
这就产生了矛盾。
5
命题的分类
简单命题(原子命题)： 简单陈述句构成的命题
复合命题： 由简单命题用联结词联结而成的命题
6
简单命题符号化
在本书中用小写英文字母 p, q, r, … ,pi,qi,ri (i≥1）表示简单命题，将 表示命题的符号放在该命题的前面，称为命题符号化。 用“1”表示真，用“0”表示假 对简单命题而言，它的真值是确定的，因而又称为命题常项或命题常元。
表达。 3：命题公式 层次 成真赋值 成假赋值 真值表的定义 4：构造真值表的具体步骤，重言式 矛盾式 可满足式 定
义
29
上节知识复习
1:定义：命题 真(假)命题 命题常(变)项 2:五个联结词定义及取值情况，对应的
语言表达 3:复合命题符号化的步骤 4:命题公式 命题公式的层次定义及判断 5:成真赋值 成假赋值 重言式 矛盾式
命题逻辑的推理理论,证明方法
31
⑨p
前提引入
⑩ pp
⑧⑨合取
推理正确, q是有效结论
.
武汉大学国际软件学院
唐存琛 刘峰
32
课堂实训
应用实例1 分析下列事实“如果我有很高的收 入，那么我就能资助许多贫困学生；如果我能资 助许多贫困学生，那么我很高兴；但我不高兴， 所以我没有很高的收入。”试指明前提和结论， 并给予证明。
.
武汉大学国际软件学院
.
武汉大学国际软件学院
唐存琛 刘峰
20
归谬法(反证法)的说明
欲证明
前提：A1, A2, … , Ak 结论：B
将B加入前提, 若推出矛盾, 则得证推理正确.
理由: A1A2…AkB (A1A2…Ak)B (A1A2…AkB)
括号内部为矛盾式当且仅当 (A1A2…AkB)为重言式
.
武汉大学国际软件学院
12
一、自然推理系统P的定义（续）
3. 推理规则 (1) 前提引入规则 (2) 结论引入规则 (3) 置换规则 (4) 假言推理规则 (5) 附加规则 (6) 化简规则
(7) 拒取式规则 (8) 假言三段论规则 (9) 析取三段论规则 (10)构造性二难推理
规则 (11) 破坏性二难推理
规则 (12) 合取引入规则
.
武汉大学国际软件学院
唐存琛 刘峰
16
（5）分情况证明法
为了证明 A1 A2 An B , 只需证明对任意的 i (1 i n) ，均有 Ai B 。
（6）附加前提证明法
为了证明 A1 A2 An A B ,
只需证明 A1 A2 An A B
.
武汉大学国际软件学院
武汉大学国际软件学院唐存琛 刘峰
命题逻辑的推理理论课件(离散数学)
21
一、自然推理系统P
自然推理系统P由三个部分组成：
1.
字母表：命题变项符号；联结词符号；括
号和逗号。
2.
命题公式。
3.
推理规则。
22
二、推理规则
(1) 前提引入规则 (2) 结论引入规则 (3) 置换规则 (4) 假言推理规则 AB A \B (5) 附加规则 A \AB (6) 化简规则 AB \A (7) 拒取式规则 AB B \A (8) 假言三段论规则 AB BC \AC
30
四、附加前提证明法
例6：用附加前提证明法构造证明下面的推
理： 2是素数或合数。若2是素数，则 2 是 无理数。若 2 是无理数，则4不是素数。所 以，如果4是素数，则2是合数。
31
四、附加前提证明法
解： 设 p：2是素数， q：2是合数，
r： 2 是无理数，s：4是素数 推理形式结构 前提：pq, pr, rs 结论：sq
40
五、归谬法
解：命题符号化
p：小张守第一垒 q：小李向B队投球
r：A队取胜
s：A队成为联赛第一名
推理的形式结构如下：
( p q ) r , r s , s , p 结论： q
前提：
41
五、归谬法
证一：归谬法（略） 证二：直接法 ① r s 前提引入
② s
③r
前提引入
5
前提是有限个公式的集合，而不是序列 。
二、推理的有效性
A1A2… Ak
0 0
B
0 1
推理的有效性 有效 有效
1
1
0
有效
无效
6
二、推理的有效性
定义：若对于每组赋值，当 A1A2…Ak
一、自然推理系统P
自然推理系统P由三个部分组成：
1.
字母表：命题变项符号；联结词符号；括
号和逗号。
2.
命题公式。
3.
推理规则。
22
二、推理规则
(1) 前提引入规则 (2) 结论引入规则 (3) 置换规则 (4) 假言推理规则 AB A \B (5) 附加规则 A \AB (6) 化简规则 AB \A (7) 拒取式规则 AB B \A (8) 假言三段论规则 AB BC \AC
30
四、附加前提证明法
例6：用附加前提证明法构造证明下面的推
理： 2是素数或合数。若2是素数，则 2 是 无理数。若 2 是无理数，则4不是素数。所 以，如果4是素数，则2是合数。
31
四、附加前提证明法
解： 设 p：2是素数， q：2是合数，
r： 2 是无理数，s：4是素数 推理形式结构 前提：pq, pr, rs 结论：sq
40
五、归谬法
解：命题符号化
p：小张守第一垒 q：小李向B队投球
r：A队取胜
s：A队成为联赛第一名
推理的形式结构如下：
( p q ) r , r s , s , p 结论： q
前提：
41
五、归谬法
证一：归谬法（略） 证二：直接法 ① r s 前提引入
② s
③r
前提引入
5
前提是有限个公式的集合，而不是序列 。
二、推理的有效性
A1A2… Ak
0 0
B
0 1
推理的有效性 有效 有效
1
1
0
有效
无效
6
二、推理的有效性
定义：若对于每组赋值，当 A1A2…Ak
离散数学结构第3章命题逻辑的推理理论复习
离散数学结构第3章命题逻辑的推理理论复习第3章命题逻辑的推理理论主要内容1. 推理的形式结构：①推理的前提②推理的结论③推理正确④有效结论2. 判断推理是否正确的⽅法：①真值表法②等值演算法③主析取范式法3. 对于正确的推理，在⾃然推理系统P中构造证明4. ①⾃然推理系统P的定义②⾃然推理系统P的推理规则：前提引⼊规则、结论引⼊规则、置换规则、假⾔推理规则、附加规则、化简规则、拒取式规则、假⾔三段式规则、构造性⼆难规则、合取引⼊规则。
③附加前提证明法④归谬法学习要求1. 理解并记住推理的形式结构的三种等价形式，即①{A1,A2,…,A k}├B②A1∧A2∧…∧A k→B③前提与结论分开写：前提：A1,A2,…,A k结论：B在判断推理是否正确时，⽤②；在P系统中构造证明时⽤③。
2. 熟练掌握判断推理是否正确的三种⽅法（真值表法，等值演算法，主析取范式法）。
3. 牢记P系统中的各条推理规则。
4. 对于给定的正确推理，要求在P系统中给出严谨的证明序列。
5. 会⽤附加前提证明法和归谬法。
3.1 推理的形式结构定义3.1设A1,A2,…,A k和B都是命题公式，若对于A1,A2,…,A k和B中出现的命题变项的任意⼀组赋值，或者A1∧A2∧…∧A k为假，或者当A1∧A2∧…∧A k为真时，B也为真，则称由前提A1,A2,…,A k推出B的推理是有效的或正确的，并称B是有效结论。
⼆、有效推理的等价定理定理3.1命题公式A1,A2,…,A k推B的推理正确当且仅当(A1∧A2∧…∧A k )→B为重⾔式。
A k为假，或者A1∧A2∧…∧A k和B同时为真，这正符合定义3.1中推理正确的定义。
由此定理知，推理形式：前提：A1,A2,…,A k结论：B是有效的当且仅当(A1∧A2∧…∧A k)→B为重⾔式。
(A1∧A2∧…∧A k)→B称为上述推理的形式结构。
从⽽推理的有效性等价于它的形式结构为永真式。
于是，推理正确{A1,A2,…,A k} B可记为A1∧A2∧…∧A k B其中同⼀样是⼀种元语⾔符号，⽤来表⽰蕴涵式为重⾔式。
第2篇数理逻辑ch3命题逻辑
析取词“或”
条件词“如果……，那么……”
双条件词“当且仅当”
(1)否定（negation ）
定义3-2.1 设P为一命题，P的否定是一 个新命题，记作“┐P”。若P为T， ┐P为F； 若P为F， ┐P为T。联结词“ ┐ ”表示自然 语言中的“并非”（not ）。 表3-2.1 否定词“┐”的意义
p
命题称为复合命题（compositive
propositions or compound statements） （自然语言中的复句）。
命题的符号化（标示符）： 可以用以下两种形式将命题符号化： .用（带下标的）大写字母； 例如：P：今天下雨。 .用数字。 例如：[12]：今天下雨。 上例中的“P”和“[12]”称为命题标示 符。 命题常元（proposition constants）
E14 E15 E16 E17 E18 E19 E20 E21 E22 E23 E24 E25
A→B┐A∨B A B (A→B)∧(B→A) A∨tt 1律 A∧tA A∨fA 0律 A∧ff A∨┐At 排中律 A∧┐Af 矛盾律 ┐tf, ┐ft 否定律 A∧B→CA→(B→C) A→B ┐B→┐A 逆否律 (A→B)∧(A→┐B) ┐A
关于等价式和蕴涵式的性质： （1）AB当且仅当 AB （2）AB当且仅当 A→B
（3）若AB，则BA （4）若AB，BC，则AC （5）若AB，则┐B┐A （6）若AB，BC，则AC （7）若AB，AA„，BB‟，则A„B‟ （8）若AB，CB，则A∨CB （9）若AB，AC，则AB∧C
定义3-4.2„ （ 等价公式的另一种定义）当命题 公式AB为重言式时，称A逻辑等价于B，记为 A B，它又称为逻辑等价式
（logically equivalent
条件词“如果……，那么……”
双条件词“当且仅当”
(1)否定（negation ）
定义3-2.1 设P为一命题，P的否定是一 个新命题，记作“┐P”。若P为T， ┐P为F； 若P为F， ┐P为T。联结词“ ┐ ”表示自然 语言中的“并非”（not ）。 表3-2.1 否定词“┐”的意义
p
命题称为复合命题（compositive
propositions or compound statements） （自然语言中的复句）。
命题的符号化（标示符）： 可以用以下两种形式将命题符号化： .用（带下标的）大写字母； 例如：P：今天下雨。 .用数字。 例如：[12]：今天下雨。 上例中的“P”和“[12]”称为命题标示 符。 命题常元（proposition constants）
E14 E15 E16 E17 E18 E19 E20 E21 E22 E23 E24 E25
A→B┐A∨B A B (A→B)∧(B→A) A∨tt 1律 A∧tA A∨fA 0律 A∧ff A∨┐At 排中律 A∧┐Af 矛盾律 ┐tf, ┐ft 否定律 A∧B→CA→(B→C) A→B ┐B→┐A 逆否律 (A→B)∧(A→┐B) ┐A
关于等价式和蕴涵式的性质： （1）AB当且仅当 AB （2）AB当且仅当 A→B
（3）若AB，则BA （4）若AB，BC，则AC （5）若AB，则┐B┐A （6）若AB，BC，则AC （7）若AB，AA„，BB‟，则A„B‟ （8）若AB，CB，则A∨CB （9）若AB，AC，则AB∧C
定义3-4.2„ （ 等价公式的另一种定义）当命题 公式AB为重言式时，称A逻辑等价于B，记为 A B，它又称为逻辑等价式
（logically equivalent
命题逻辑的推理理论,证明方法演示课件
(2) P 1 (P2 P 1) (3) (P 1 P2) (P 1 P 1)
L1 MP规L2则
L1 (1)、(2)，MP L1 (3)、(4)，MP
38
例10 证明 ├L AA
[证] (1) (A((AA)A))((A(AA))(AA))
(2) A((AA)A) (3) (A(AA))(AA) (4) A(AA) (5) AA
• 课堂实训
应用实例1 分析下列事实“如果我有很高的收 入，那么我就能资助许多贫困学生；如果我能资 助许多贫困学生，那么我很高兴；但我不高兴， 所以我没有很高的收入。”试指明前提和结论， 并给予证明。
33
应用实例2 将下列条件作为前提，验证所得结论是 否有效：
(a) 明天或是天晴，或是下雨； (b) 如果是天晴，我去公园； (c) 如果我去公园，我就不看书。 结论：如果我在看书，则天下雨。
39
3、演绎定理
例11 证明 A ,B (A C )├L (BC)
[证] (1) B (A C)
假设
(2) (B (A C)) ((B A) (B C)) L2
(3) (B A) (B C)
(1)、(2)，MP
(4) A (B A) (5) A (6) (B A) (7) (B C)
30
例8 构造下面推理的证明
前提: (pq)r, rs, s, p ；结论: q
证明：用归缪法
①q
结论否定引入
② rs
前提引入
③ s
前提引入
④ r
②③拒取式
⑤ (pq)r
前提引入
⑥ (pq)
④⑤析取三段论
⑦ pq
⑥置换
⑧ p
①⑦析取三段论
离散数学课件-3-命题逻辑的推理理论
第三章 命题逻辑的推理理论§1 推理的形式结构推理：从前提出发推出结论的思维过程。
前提：已知命题公式集合。
结论：从前提出发应用推理规则推出的命题公式。
定义设A1, A2, …, A k, B都是命题公式，若命题公式A1∧A2∧…∧A k→B是重言式，则称由前提A1, A2, …, A k推出结论B的推理是有效的或正确的，并称B是有效的结论。
推理的形式结构记为{A1,A2,…,A k}A B推理正确，记为{ A1,A2,…,A k }⊨B推理无效，记为{ A1,A2,…,A k }⊭B注①推理正确，结论未必为真。
②推理只注重结构。
例判断下述推理的正确性。
(1) {p, p→q}⊢ q(2) {p, q→p}⊢ q解 (1) p∧(p→q)→q⇔p∧(¬p∨q)→q⇔(p∧¬p)∨(p∧q)→q⇔p∧q→q⇔¬ (p∧q)∨q⇔¬p∨(¬q∨q)⇔¬p∨1⇔1故{p, p→q }⊨ q(2) p∧(q→p)→q让q =0，可得q→p =1，再取p =1可得p∧(q→p)=1 由此得p∧(q→p)→q有成假赋值1 0，故{ p, q→p }⊭ q判断推理正确性：1．真值表法。
2．等值演算法。
3．主析取范式法。
4．构造证明。
例判断下述推理是否正确？（1）若a能被4整除，则a能被2整除。
a能被4整除。
所以a能被2整除。
（2）若下午气温超过30℃，则王小燕必去游泳。
若她去游泳，则她就不去看电影了。
所以，若王小燕没去看电影，则下午气温必超过了30℃。
解(1) p：a能被4整除q：a能被2整除前提：p→q，p结论：q推理的形式结构：{p→q，p} A q前面已证此推理正确。
(2) p：下午气温超过30℃q：王小燕去游泳r：王小燕去看电影前提：p→q, q→¬r结论：¬ r→p推理的形式结构：{p→q，q→¬r} A(¬r→p)因为，(p→q)∧(q→¬ r)→(¬r→p)⇔m1∨m3∨m4∨m5∨m6∨m7主析取范式显然不是重言式，故推理不正确。
3第三章 命题逻辑的推理理论
从语言角度, 推理分为语义和语法两种。 从语言角度, 推理分为语义和语法两种。 语义(semantics)推理注重内涵的正确性 也就是从真 语义(semantics)推理注重内涵的正确性, 也就是从真 推理注重内涵的正确性, 要推出真的结论来, 的前提出发要推出真的结论来 推理过程考虑得少, 的前提出发要推出真的结论来, 推理过程考虑得少,关 心的是结论的正确性。 心的是结论的正确性。 语法推理则注重形式上的有效, 注重推理过程是否符 语法推理则注重形式上的有效, 注重推理过程是否符 则注重形式上的有效 合某些事先规定的逻辑规则, 结论是严格遵循规则 合某些事先规定的逻辑规则, 若结论是严格遵循规则 有效的 得到的, 那便是有效 得到的, 那便是有效的。 数理逻辑主要采用语法推理, 数理逻辑主要采用语法推理, 它关心的是结论的有效 不关心前提的实际真值, 性，而不关心前提的实际真值, 当然语法推理作为一 种推理方法, 种推理方法, 它必须能反映客观事物中真实存在的逻 辑关系, 语法推理必须保证语义上的正确性 必须保证语义上的正确性。 辑关系, 即 语法推理必须保证语义上的正确性。
3、2.1节给出的24个等值式中的每个都可以 2.1节给出的 个等值式中的每个都可以 节给出的24 派生出两条推理定律。 派生出两条推理定律。 例如：双重否定律 A⇔¬¬A ⇔¬¬A 例如： 可以产生两条推理定律 A⇒¬¬A ¬¬A ¬¬A ¬¬A ⇒A
§3.2 自然推理系统P 自然推理系统P
由上一节知识可知，可以利用真值表法、等值演算法 由上一节知识可知，可以利用真值表法、 真值表法 和主析取范式法三种方法来判断推理是否正确。 和主析取范式法三种方法来判断推理是否正确。 三种方法来判断推理是否正确 但是，当推理中包含的命题变项较多时，以上三种 命题变项较多时 但是，当推理中包含的命题变项较多 方法的演算量太大。因此对于由前提A1, A2,…,Ak推 方法的演算量太大。因此对于由前提A B的正确推理应给出严谨的证明。 正确推理应给出严谨的证明。 证明是一个描述推理过程的命题公式序列， 证明是一个描述推理过程的命题公式序列，其中的每 是一个描述推理过程的命题公式序列 个公式是已知前提或者是由某些前提应用推理规则得 个公式是已知前提或者是由某些前提应用推理规则得 已知前提或者是 到的结论。 到的结论。
离散数学CH03_谓词逻辑(1)
3.1 个体、谓词和量词
实例
• 符号化下列命题： 1）所有的人都是要呼吸的。 2）每个学生都要参加考试。 3）所有的人都要呼吸，并且每个学生都要考试。
解
(2) (1) (3) P(x): M(x):x x 是学生， 是人， x(M(x) →H(x)) Q(x): H(x):x x要呼吸， 要参加考试， x(P(x) →Q(x)) ( ( x) x) (P(x) (M(x) → →Q(x)). H(x)).
3.1 个体、谓词和量词
个体词
• 设 R(x) ：“ x 是大学生”， • 如果 x 的个体域为： – “某大学里的学生”，则 R(x) 是永真式。 – “某单位里的职工”，则 R(x) 对一些人为 真，对另一些人为假。
3.1 个体、谓词和量词
谓词
• 谓词——表示个体词性质或相互之间关系的词。 谓词常项：表示具体性质或关系的谓词，如 F(a) ：a是人。 谓词变项：表示抽象的、泛指的性质或关系的谓词 ，如 F(x)：x具有性质F。
为止，认为原子命题是不能再分解的，仅仅研
究以原子命题为基本单位的复合命题之间的逻 辑关系和推理。这样，有些推理用命题逻辑就 难以确切地表示出来。
谓词逻辑研究内容
• 在命题逻辑中, 命题演算的基本单位是命题, 不再对原子命题进行分解, 故无法研究命题的 语法结构、成分和内在的逻辑特性。
例： p：人总是要死的 q：苏格拉底是人 r：苏格拉底是要死的 p q → r不是重言式
3.1 个体、谓词和量词
对于给定的命题，当用表示其个体的小写字母和表示其 谓词的大写字母来表示时，规定把小写字母写在大写字 母右侧的圆括号( )内。 例如，在命题“张明是位大学生”中，“张明”是个体 ，“是位大学生”是谓词，它刻划了“张明”的性质。 设S：是位大学生，c：张明，则“张明是位大学生”可 表示为S(c)，或者写成S(c)：张明是位大学生。又如， 在命题“武汉位于北京和广州之间”中，武汉、北京和 广州是三个个体，而“„位于„和„之间”是谓词，它 刻划了武汉、北京和广州之间的关系。设P：„位于„ 和„之间，a：武汉，b：北京，c：广州，则P(a，b， c)：武汉位于北京和广州之间。
命题逻辑的推理理论
精品课件
精品课件
实例
例 判断下面推理是否正确 (1) 若今天是1号，则明天是5号. 今天是1号. 所 以明天是5号.
解 设 p：今天是1号，q：明天是5号. 证明的形式结构为: (p®q)Ùp®q
证明（用等值演算法）
(p®q)Ùp®q Û Ø((ØpÚq)Ùp)Úq Û ØpÚØqÚq Û 1
得证推理正确
A Þ (AÚB)
附加律
(AÙB) Þ A
化简律
(A®B)ÙA Þ B
假言推理
(A®B)ÙØB Þ ØA
拒取式
(AÚB)ÙØB Þ A
论
析取三段
(A®B)Ù(B®C) Þ (A®C)
假言三段论
(A«B)Ù(B«C) Þ (A«C)
等价三段论
(A®B)Ù(C®D)Ù(AÚC) Þ (BÚD)
难
构造性二
推理的形式结构。
精品课件
说明（2）
设任一A1组，赋A2值，a…1a，2…Aka，n （B中ai＝共0出或现1n，个命i＝题1变，项2，，…对n于），
前提和结论的取值情况有以下四种：
（1） A1ÙA2Ù…ÙAk 为0，B为0； （2） A1ÙA2Ù…ÙAk 为0，B为1； （3） A1ÙA2Ù…ÙAk 为1，B为0； （4） A1ÙA2Ù…ÙAk 为1，B为1。
AB
(12) 合取引入规则
CD
课件
构造证明——直接证明法
例3.3 在自然推理系统P中构造下面推理的证明；
（1） 前提：p Ú q， q ® r， p ® s ， Ø s 结论：r Ù （p Ú q）
（2）前提： Ø p Ú q， r Ú Ø q ，r ® s 结论：p ® s
精品课件
精品课件
实例
例 判断下面推理是否正确 (1) 若今天是1号，则明天是5号. 今天是1号. 所 以明天是5号.
解 设 p：今天是1号，q：明天是5号. 证明的形式结构为: (p®q)Ùp®q
证明（用等值演算法）
(p®q)Ùp®q Û Ø((ØpÚq)Ùp)Úq Û ØpÚØqÚq Û 1
得证推理正确
A Þ (AÚB)
附加律
(AÙB) Þ A
化简律
(A®B)ÙA Þ B
假言推理
(A®B)ÙØB Þ ØA
拒取式
(AÚB)ÙØB Þ A
论
析取三段
(A®B)Ù(B®C) Þ (A®C)
假言三段论
(A«B)Ù(B«C) Þ (A«C)
等价三段论
(A®B)Ù(C®D)Ù(AÚC) Þ (BÚD)
难
构造性二
推理的形式结构。
精品课件
说明（2）
设任一A1组，赋A2值，a…1a，2…Aka，n （B中ai＝共0出或现1n，个命i＝题1变，项2，，…对n于），
前提和结论的取值情况有以下四种：
（1） A1ÙA2Ù…ÙAk 为0，B为0； （2） A1ÙA2Ù…ÙAk 为0，B为1； （3） A1ÙA2Ù…ÙAk 为1，B为0； （4） A1ÙA2Ù…ÙAk 为1，B为1。
AB
(12) 合取引入规则
CD
课件
构造证明——直接证明法
例3.3 在自然推理系统P中构造下面推理的证明；
（1） 前提：p Ú q， q ® r， p ® s ， Ø s 结论：r Ù （p Ú q）
（2）前提： Ø p Ú q， r Ú Ø q ，r ® s 结论：p ® s
精品课件
ch03命题逻辑的推理理论.ppt
牢记 P 系统中各条推理规则 熟练掌握构造证明的直接证明法、附加前提证明
法和归谬 法
会解决实际中的简单推理问题
24
13:25:11
练习1：判断推理是否正确
1. 判断下面推理是否正确: (1) 前提：pq, q 结论：p
解 推理的形式结构: (pq)qp 方法一：等值演算法
(pq)qp
((pq)q)p
7
13:25:11
推理实例
例2 判断下面推理是否正确 如果小张和小王去看电影，则小李也去看电影。小赵不去 看电影或小张去看电影。小王也去看电影。所以，当小赵 去看电影时，小李必定也去。
解：令 p: 小张去看电影； q: 小王去看电影； r: 小李去看电 影； s: 小赵去看电影。 推理的形式结构: 前提： (p ∧ q) →r, ┐s∨p, q 结论： s → r 推理的形式结构: ( (p ∧ q) →r) ∧ ( ┐s∨p) ∧ q → (s → r)
AB CD AC ∴BD
(12) 合取引入规则 A B
∴AB
AB CD BD ∴AC
14
13:25:11
在自然推理系统P中构造证明 设前提A1, A2,, Ak,结论B及公式序列C1, C2,, Cl.如果每一个Ci(1il)是某个Aj, 或者 可由序列中前面的公式应用推理规则得到, 并且Cl =B, 则称这个公式序列是由A1, A2,, Ak推出B的证明
16
13:25:11
直接证明法
(2) 写出证明的形式结构
前提：(pq)r, rs, s
结论：pq
(3) 证明
① rs
前提引入
② s
前提引入
③ r
①②拒取式
④ (pq)r 前提引入
命题逻辑的推理理论
5
实例 (续) 续
(2) 若今天是 号，则明天是 号. 明天是 号. 所以今天是 号. 若今天是1号 则明天是5号 明天是5号 所以今天是1号 解 设p：今天是 号，q：明天是 号. ：今天是1号 ：明天是5号 证明的形式结构为: 证明的形式结构为 (p→q)∧q→p → ∧ → 证明（用主析取范式法） 证明（用主析取范式法） (p→q)∧q→p → ∧ → ⇔ (¬p∨q)∧q→p ¬ ∨ ∧ → ⇔ ¬ ((¬p∨q)∧q)∨p ¬ ∨ ∧ ∨ ⇔ ¬q∨p ∨ ∧¬q)∨ ∧¬ ∧¬q)∨ ∧¬ ∧¬q)∨ ∧ ⇔ (¬p∧¬ ∨(p∧¬ ∨ (p∧¬ ∨(p∧q) ¬ ∧¬ ⇔ m0∨m2∨m3 结果不含m 是成假赋值， 结果不含 1, 故01是成假赋值，所以推理不正确 是成假赋值 所以推理不正确.
18
(9) 析取三段论规则 A∨B ∨ ¬B ∴A (10)构造性二难推理 构造性二难推理 规则 A→B → C→D → A∨C ∨ ∴B∨D ∨ (11) 破坏性二难推理 规则 A→B → C→D → ∨¬D ¬B∨¬ ∨¬ ∨¬C ∴¬A∨¬ ∨¬ (12) 合取引入规则 A B ∴A∧B ∧
10
构造证明——直接证明法 直接证明法 构造证明
1.6 命题逻辑的推理理论
推则 构造证明法
1
推理的形式结构—问题的引入 推理的形式结构 问题的引入
推理: 推理 从前提出发推出结论的思维过程
前提是指已知的命题公式， 前提是指已知的命题公式，结论是推出的命题公式 如果天气凉快，小王就不去游泳 天气凉快 如果天气凉快，小王就不去游泳.天气凉快.所以小王 没有去游泳. 没有去游泳. p:天气凉快，q:小王去游泳 天气凉快， 小王去游泳 天气凉快 前提： → 前提： (p→ ¬ q)∧p ∧ 结论： 结论： ¬ q
实例 (续) 续
(2) 若今天是 号，则明天是 号. 明天是 号. 所以今天是 号. 若今天是1号 则明天是5号 明天是5号 所以今天是1号 解 设p：今天是 号，q：明天是 号. ：今天是1号 ：明天是5号 证明的形式结构为: 证明的形式结构为 (p→q)∧q→p → ∧ → 证明（用主析取范式法） 证明（用主析取范式法） (p→q)∧q→p → ∧ → ⇔ (¬p∨q)∧q→p ¬ ∨ ∧ → ⇔ ¬ ((¬p∨q)∧q)∨p ¬ ∨ ∧ ∨ ⇔ ¬q∨p ∨ ∧¬q)∨ ∧¬ ∧¬q)∨ ∧¬ ∧¬q)∨ ∧ ⇔ (¬p∧¬ ∨(p∧¬ ∨ (p∧¬ ∨(p∧q) ¬ ∧¬ ⇔ m0∨m2∨m3 结果不含m 是成假赋值， 结果不含 1, 故01是成假赋值，所以推理不正确 是成假赋值 所以推理不正确.
18
(9) 析取三段论规则 A∨B ∨ ¬B ∴A (10)构造性二难推理 构造性二难推理 规则 A→B → C→D → A∨C ∨ ∴B∨D ∨ (11) 破坏性二难推理 规则 A→B → C→D → ∨¬D ¬B∨¬ ∨¬ ∨¬C ∴¬A∨¬ ∨¬ (12) 合取引入规则 A B ∴A∧B ∧
10
构造证明——直接证明法 直接证明法 构造证明
1.6 命题逻辑的推理理论
推则 构造证明法
1
推理的形式结构—问题的引入 推理的形式结构 问题的引入
推理: 推理 从前提出发推出结论的思维过程
前提是指已知的命题公式， 前提是指已知的命题公式，结论是推出的命题公式 如果天气凉快，小王就不去游泳 天气凉快 如果天气凉快，小王就不去游泳.天气凉快.所以小王 没有去游泳. 没有去游泳. p:天气凉快，q:小王去游泳 天气凉快， 小王去游泳 天气凉快 前提： → 前提： (p→ ¬ q)∧p ∧ 结论： 结论： ¬ q
命题逻辑的推理理论ch
命题逻辑的符号体系
命题逻辑使用特定的符号来表示命题 和推理规则，这些符号包括逻辑联结 词（如∧、∨、→、¬等）、量词（如 ∀、∃）和括号等。
通过这些符号，命题逻辑能够精确地 表示命题之间的逻辑关系，并建立严 密的推理体系。
命题逻辑的基本概念
命题
命题是具有真假值的陈述句，它 描述了某个事物的性质或关系。 在命题逻辑中，每个命题都有一 个与之对应的真值，即真或假。
02
03
析取式推理
如果一个命题A的真，导致命题B或C 的真，那么我们可以从A推导出B或C。
推理规则的应用
01
逻辑推理
通过应用直接和间接推理规则， 我们可以推导出新的命题或验证 现有命题的真假。
演绎推理
02
03
归纳推理
通过应用直接和间接推理规则， 我们可以从一般到特殊推导出结 论。
通过应用直接和间接推理规则， 我们可以从特殊到一般推导出结 论。
规划与决策
03
基于逻辑推理的规划算法，用于机器人行动规划、智
能控制等领域。
在法律领域的应用
法律推理
利用逻辑推理对法律案例进行推理和分析，辅 助法官进行裁决。
法律知识表示
将法律知识表示为逻辑命题，构建法律知识库， 用于法律咨询、案例检索等。
法律证据分析
利用逻辑推理对法律证据进行分析和推理，辅助律师进行辩护。
方式，结论不是必然的，只是一种可能性。
02
归纳推理可以采用不同的方法，如简单枚举归纳、科
学归纳等。
03
归纳推理在科学研究、数据分析等领域中广泛应用，
可以帮助人们从大量数据中找出规律和趋势。
04 命题逻辑的推理方法
演绎推理方法
定义
《离散数学》课件-第3章命题逻辑的推理理论
判断方法一：真值表法
真值表的最后一列全为1，所以（（p∨q）∧┐p） →q为重言式。因而推理正确。
判断方法二：等值演算法
（（p∨q）∧┐p）→q ⇔ （（p∧┐p）∨（q∧┐p））→q ⇔ （ q∧┐p ）→q ⇔ ┐q∨p∨q ⇔1
因为（（p∨q）∧┐p）→q为重言式，所 以推理正确。
判断方法三：主析取范式法
★ ★★
可见，如果能证明★★是重言式，则★也是重言式。 在★★中，原来的结论中的前件A已经变成前提了，称A为 附加前提。称这种将结论中的前件作为前提的证明方法为 附加前提法。
例：在自然推理系统P中构造下面推理的证明 如果小张和小王去看电影，则小李也去看电影。小
赵不去看电影或小张去看电影。小王去看电影。所 以，当小赵去看电影时，小李也去。
前提引入
② ┐s
前提引入
③ ┐p
①②拒取式（A→B）∧┐B⇒┐A
④ p∨q
B）∧┐B⇒A
⑥ q→r
前提引入
⑦r
⑤⑥假言推理（A→B）∧A⇒B
⑧ r∧（p∨q） ⑦④合取引入
（2）前提：┐p∨q，r∨┐q，r→s 结论：p→s
证明：
① ┐p∨q 前提引入
② p→q
①置换
（A→B）∧（C→D）∧（┐B∨┐D） ⇒（┐A∨┐C）
（12）合取引入规则：若证明的公式序列中出现过 A和B，则A∧B是A和B的有效结论。
推理规则（12个）
（1）前提引入规则 （2）结论引入规则（隐规则） （3）置换规则：等值置换 （4）假言推理规则：（A→B）∧A⇒B （5）附加规则：A⇒（A∨B） （6）化简规则：A∧B ⇒A （7）拒取式规则：（A→B）∧┐B⇒┐A （8）假言三段论规则：（A→B）∧（B→C）⇒（A→C） （9）析取三段论规则：（A∨B）∧┐B⇒A （10）构造性二难推理规则 （11）破坏性二难推理规则 （12）合取引入规则