命题逻辑的推理理论
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命题逻辑的推理理论,证明方法
31
⑨p
前提引入
⑩ pp
⑧⑨合取
推理正确, q是有效结论
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唐存琛 刘峰
32
课堂实训
应用实例1 分析下列事实“如果我有很高的收 入，那么我就能资助许多贫困学生；如果我能资 助许多贫困学生，那么我很高兴；但我不高兴， 所以我没有很高的收入。”试指明前提和结论， 并给予证明。
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唐存琛 刘峰
20
归谬法(反证法)的说明
欲证明
前提：A1, A2, … , Ak 结论：B
将B加入前提, 若推出矛盾, 则得证推理正确.
理由: A1A2…AkB (A1A2…Ak)B (A1A2…AkB)
括号内部为矛盾式当且仅当 (A1A2…AkB)为重言式
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12
一、自然推理系统P的定义（续）
3. 推理规则 (1) 前提引入规则 (2) 结论引入规则 (3) 置换规则 (4) 假言推理规则 (5) 附加规则 (6) 化简规则
(7) 拒取式规则 (8) 假言三段论规则 (9) 析取三段论规则 (10)构造性二难推理
规则 (11) 破坏性二难推理
规则 (12) 合取引入规则
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唐存琛 刘峰
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（5）分情况证明法
为了证明 A1 A2 An B , 只需证明对任意的 i (1 i n) ，均有 Ai B 。
（6）附加前提证明法
为了证明 A1 A2 An A B ,
只需证明 A1 A2 An A B
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武汉大学国际软件学院唐存琛 刘峰
命题逻辑原理
命题逻辑原理
命题逻辑是一种数学模型，用于对逻辑表达式的真假进行推理。
其基本原理包括使用逻辑运算符（如AND、OR和非NOT）来构建代表“命题”的公式，并允许某些公式构成“定理”，有一套形式“证明规则”。
在命题逻辑中，原子命题是最基本的单位，它们不能进一步被分解为更简单的命题。
原子命题通过逻辑运算符可以组合成更复杂的命题。
基本的逻辑运算符包括“与”AND、“或”OR和非NOT。
在命题逻辑中，一个重要的概念是“有效性”。
一个逻辑公式被称为有效的，当且仅当它对于所有的解释都为真。
在逻辑学中，有效性是通过演绎推理来确定的。
此外，命题逻辑的适用范围也相当广泛。
它被用于计算机科学中的许多领域，如电路设计、编程语言和系统设计（如Prolog语言）。
在更近的时代里，
命题逻辑也用于人工智能和机器学习等领域。
以上内容仅供参考，如需更全面准确的信息，可查阅命题逻辑相关的教材或论文。
27 命题逻辑的推理讲解
解：该公式的命题变元为：p, q
q ( p q) q ( p q) q p q
(q ( p p)) ( p (q q)) (q ( p p))
(q p) (q p) ( p q) ( p q) (q p) (q p)
所以，正确推理不一定推出正确结论，只是（逻辑）有效结论。 因为前提不一定正确。 如果前提正确，那么正确推理一定推出正确结论。
2. 要证明“由前提A1, A2 , … , An 推结论B 的推理”是否有效， 只要证明 A1 A2 … An B 是否为重言式即可。
3.以下说法是同一个意思：
（1）“由前提A1, A2 , … , An 推结论B 的推理”是有效推理。 （2）“由前提A1, A2 , … , An 推结论B 的推理”是正确推理。 （3）公式 A1 A2 … An B 是重言式。 （4）B 是 A1, A2 , … , An 的逻辑结论。 （5）B 是 A1, A2 , … , An 的有效结论。 （6）A1 A2 … An B （7）A1, A2 , … , An B （8）B 可由 A1, A2 , … , An 逻辑推出。 4.证明 A1 A2 … An B 是重言式的方法，常用的
( p q) (p q) ( p q) ( p q) ( p q) (p q)
m10 m00 m11 m10 m11 m01 m10 m00 m11 m01 m00 m01 m10 m11
有四种：真值表法、等值演算法、主范式法、形式证明法
（也称推理规则推导法）。到目前为止，我们学会了三种：
真值表法、等值演算法和主范式法。
q ( p q) q ( p q) q p q
(q ( p p)) ( p (q q)) (q ( p p))
(q p) (q p) ( p q) ( p q) (q p) (q p)
所以，正确推理不一定推出正确结论，只是（逻辑）有效结论。 因为前提不一定正确。 如果前提正确，那么正确推理一定推出正确结论。
2. 要证明“由前提A1, A2 , … , An 推结论B 的推理”是否有效， 只要证明 A1 A2 … An B 是否为重言式即可。
3.以下说法是同一个意思：
（1）“由前提A1, A2 , … , An 推结论B 的推理”是有效推理。 （2）“由前提A1, A2 , … , An 推结论B 的推理”是正确推理。 （3）公式 A1 A2 … An B 是重言式。 （4）B 是 A1, A2 , … , An 的逻辑结论。 （5）B 是 A1, A2 , … , An 的有效结论。 （6）A1 A2 … An B （7）A1, A2 , … , An B （8）B 可由 A1, A2 , … , An 逻辑推出。 4.证明 A1 A2 … An B 是重言式的方法，常用的
( p q) (p q) ( p q) ( p q) ( p q) (p q)
m10 m00 m11 m10 m11 m01 m10 m00 m11 m01 m00 m01 m10 m11
有四种：真值表法、等值演算法、主范式法、形式证明法
（也称推理规则推导法）。到目前为止，我们学会了三种：
真值表法、等值演算法和主范式法。
3第三章 命题逻辑的推理理论
从语言角度, 推理分为语义和语法两种。 从语言角度, 推理分为语义和语法两种。 语义(semantics)推理注重内涵的正确性 也就是从真 语义(semantics)推理注重内涵的正确性, 也就是从真 推理注重内涵的正确性, 要推出真的结论来, 的前提出发要推出真的结论来 推理过程考虑得少, 的前提出发要推出真的结论来, 推理过程考虑得少,关 心的是结论的正确性。 心的是结论的正确性。 语法推理则注重形式上的有效, 注重推理过程是否符 语法推理则注重形式上的有效, 注重推理过程是否符 则注重形式上的有效 合某些事先规定的逻辑规则, 结论是严格遵循规则 合某些事先规定的逻辑规则, 若结论是严格遵循规则 有效的 得到的, 那便是有效 得到的, 那便是有效的。 数理逻辑主要采用语法推理, 数理逻辑主要采用语法推理, 它关心的是结论的有效 不关心前提的实际真值, 性，而不关心前提的实际真值, 当然语法推理作为一 种推理方法, 种推理方法, 它必须能反映客观事物中真实存在的逻 辑关系, 语法推理必须保证语义上的正确性 必须保证语义上的正确性。 辑关系, 即 语法推理必须保证语义上的正确性。
3、2.1节给出的24个等值式中的每个都可以 2.1节给出的 个等值式中的每个都可以 节给出的24 派生出两条推理定律。 派生出两条推理定律。 例如：双重否定律 A⇔¬¬A ⇔¬¬A 例如： 可以产生两条推理定律 A⇒¬¬A ¬¬A ¬¬A ¬¬A ⇒A
§3.2 自然推理系统P 自然推理系统P
由上一节知识可知，可以利用真值表法、等值演算法 由上一节知识可知，可以利用真值表法、 真值表法 和主析取范式法三种方法来判断推理是否正确。 和主析取范式法三种方法来判断推理是否正确。 三种方法来判断推理是否正确 但是，当推理中包含的命题变项较多时，以上三种 命题变项较多时 但是，当推理中包含的命题变项较多 方法的演算量太大。因此对于由前提A1, A2,…,Ak推 方法的演算量太大。因此对于由前提A B的正确推理应给出严谨的证明。 正确推理应给出严谨的证明。 证明是一个描述推理过程的命题公式序列， 证明是一个描述推理过程的命题公式序列，其中的每 是一个描述推理过程的命题公式序列 个公式是已知前提或者是由某些前提应用推理规则得 个公式是已知前提或者是由某些前提应用推理规则得 已知前提或者是 到的结论。 到的结论。
数学的逻辑推理
数学的逻辑推理数学作为一门科学，其独特之处在于严谨的逻辑推理。
通过逻辑推理，数学家们能够建立起一套完整的数学体系，从而证明各种数学理论和定理。
本文将介绍数学的逻辑推理，并探讨其在数学研究中的重要性。
一、命题逻辑命题逻辑是逻辑推理的基础，它将语言中的各种陈述转化为逻辑上的命题，并定义了一系列的逻辑运算。
在命题逻辑中，命题可以是真或假，通过逻辑运算可以得到新的命题。
最常见的逻辑运算有合取（∧）、析取（∨）和否定（¬）等。
例如，在某次实验中，我们有两个命题 P 和 Q，P 表示实验成功，Q 表示实验有效。
我们可以用合取运算将这两个命题联结起来，得到一个新的命题 P ∧ Q，表示实验既成功又有效。
类似地，析取运算可以表示“实验成功或有效”，即 P ∨ Q。
而否定运算则可以表示实验失败 ¬P 或者实验无效 ¬Q。
通过命题逻辑的运算，我们可以根据已知的命题推导出新的命题，进而进行更深入的数学推理。
二、谓词逻辑命题逻辑只能处理简单的命题，而在实际数学推理中，我们通常需要处理更复杂的命题形式。
谓词逻辑则提供了处理复杂命题的工具。
谓词逻辑引入了谓词符号，它可以用来表示关于对象的属性或者关系。
通过引入量词，谓词逻辑还可以推理全称量化和存在量化的命题。
例如，在集合论中，我们常常需要考虑全称量化的命题，如对于所有的自然数 n，命题 P(n) 成立。
我们可以用∀符号表示全称量化，即∀n P(n)。
类似地，存在量化命题可以用∃符号表示，如存在一个自然数 n，使得命题 P(n) 成立。
谓词逻辑的引入使得数学推理可以更加灵活和强大，能够处理更复杂的数学问题。
三、演绎推理演绎推理是数学中最常用的推理方法之一，它基于逻辑推理规则，通过前提的逻辑连接得出结论。
演绎推理分为直接推理与间接推理两种形式。
直接推理是通过一系列逻辑步骤，从已知命题推导出结论命题。
例如，根据已知的命题 P 和 P ⇒ Q，我们可以通过演绎推理得到结论 Q。
离散数学--第二章 命题逻辑的推理理论
1 2 k
Dr Chen Guangxi
第二章 命题逻辑的推理理论
(4)构造证明法 构造证明法 当前提与结论中命题变项较多时，前几种方法 的工作量太大，不方便，而构造证明法较为方 便。构造证明法必须在给定的推理规则下进行。 常用的推理规则有以下11条： (1)前提引入规则：在证明的任何步骤上，都可 以引入前提。 (2)结论引入规则：在证明的任何步骤上，所得 中间结果都可以作为后继证明的前提。 (3)置换规则：在证明的任何步骤上的公式中的 子公式均可用与之等值的公式置换。
离散数学
Discrete Mathematics
Chen Guangxi
School of Mathematics and Computing Science
第二章 命题逻辑的推理理论
目标:
掌握推理形式结构 熟练运用构造推理方法 了解命题逻辑归结证明
学习建议:
与初中平面几何证明进行对比 勤做练习
Dr Chen Guangxi
第二章 命题逻辑的推理理论
(8)假言三段论 ：
A→B B→C ∴A→C
(9)析取三段论规则： A∨ B A∨ B ¬A ¬B 或者 ∴B ∴A
Dr Chen Guangxi
第二章 命题逻辑的推理理论
(10)构造性二难推理规则：
A → B C → D A∨C ∴B∨ D
(11)合取引入规则：
A B ∴A∧ B
Dr Chen Guangxi
第二章 命题逻辑的推理理论
是重言式类似， 与用 A ⇔ B 表示 A ↔ B是重言式类似，用 A ⇒ B表示A → B 是重言式， 不是联结词 是重言式， ⇒ 符。 推出B的推理正确 的推理正确， 若 A , A ,⋯, A 推出 的推理正确，则记作 ( A1 ∧ A2 ∧ ⋯ ∧ Ak ) ⇒ B 为蕴涵式。 称A⇒B为蕴涵式。 ⇒ 为蕴涵式
Dr Chen Guangxi
第二章 命题逻辑的推理理论
(4)构造证明法 构造证明法 当前提与结论中命题变项较多时，前几种方法 的工作量太大，不方便，而构造证明法较为方 便。构造证明法必须在给定的推理规则下进行。 常用的推理规则有以下11条： (1)前提引入规则：在证明的任何步骤上，都可 以引入前提。 (2)结论引入规则：在证明的任何步骤上，所得 中间结果都可以作为后继证明的前提。 (3)置换规则：在证明的任何步骤上的公式中的 子公式均可用与之等值的公式置换。
离散数学
Discrete Mathematics
Chen Guangxi
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第二章 命题逻辑的推理理论
目标:
掌握推理形式结构 熟练运用构造推理方法 了解命题逻辑归结证明
学习建议:
与初中平面几何证明进行对比 勤做练习
Dr Chen Guangxi
第二章 命题逻辑的推理理论
(8)假言三段论 ：
A→B B→C ∴A→C
(9)析取三段论规则： A∨ B A∨ B ¬A ¬B 或者 ∴B ∴A
Dr Chen Guangxi
第二章 命题逻辑的推理理论
(10)构造性二难推理规则：
A → B C → D A∨C ∴B∨ D
(11)合取引入规则：
A B ∴A∧ B
Dr Chen Guangxi
第二章 命题逻辑的推理理论
是重言式类似， 与用 A ⇔ B 表示 A ↔ B是重言式类似，用 A ⇒ B表示A → B 是重言式， 不是联结词 是重言式， ⇒ 符。 推出B的推理正确 的推理正确， 若 A , A ,⋯, A 推出 的推理正确，则记作 ( A1 ∧ A2 ∧ ⋯ ∧ Ak ) ⇒ B 为蕴涵式。 称A⇒B为蕴涵式。 ⇒ 为蕴涵式
命题逻辑的推理理论
10:44:53
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直接证明法
(2) 写出证明的形式结构
前提：(pq)r, rs, s
结论：pq (3) 证明 ① r s ② s ③ r ④ (p q) r 前提引入 前提引入 ①②拒取式 前提引入
⑤ (p q)
⑥ pq
③④拒取式
⑤置换
10:44:53
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附加前提证明法
可见，推理的有效性是一回事，前提与结论的 真实与否是另一回事。所谓推理有效，指它的结 论是它的前提的合乎逻辑的结果，也即，如果它 的前提都为真，那么所得结论也必然为真，而并 不是要求前提或结论一定为真或为假。如果推理 是有效的话，那么不可能它的前提都为真时而它 的结论为假。
10:44:53
4
推理的形式结构
10:44:53
25
练习1解答
方法二：主析取范式法， (pq)qp ((pq)q)p pq M2 m0m1m3 未含m2, 不是重言式, 推理不正确.
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26
10:44:53
27
练习1解答
(2) 前提：qr, pr 结论：qp 解 推理的形式结构： (qr)(pr)(qp) 用等值演算法
附加前提证明法: 适用于结论为蕴涵式
欲证
前提：A1, A2, …, Ak
结论：CB 前提：A1, A2, …, Ak, C 结论：B
等价地证明
理由：(A1A2…Ak)(CB) ( A1A2…Ak)(CB) ( A1A2…AkC)B
(A1A2…AkC)B
10:44:53
8
推理定律——重言蕴涵式
1. A (AB)
附加律
2. (AB) A
3. (AB)A B 4. (AB)B A
命题逻辑推理理论
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三、归谬法(反证法)
欲证明 前提：A1, A2, … , Ak 结论：B 将B加入前提, 若推出矛盾, 则得证推理正确. 理由: A1A2…AkB (A1A2…Ak)B (A1A2…AkB) 括号内部为矛盾式当且仅当 (A1A2…AkB)为重言式
4
实例
例1 判断下面推理是否正确: (1) 若今天是1号, 则明天是5号. 今天是1号. 所以, 明天是5号. 解 设 p: 今天是1号, q: 明天是5号 推理的形式结构为 (pq)pq 证明 用等值演算法 (pq)pq ((pq)p)q ((pq)p)q pqq 1 得证推理正确
思考：格式中应包含哪些？ 1) 步骤号 2) 给定前提或得出的结论 3) 推理时所用规则 4) 此结论是从哪几步得到 的及所用公式
14
实例
例3 构造推理的证明: 若明天是星期一或星期三, 我就有 课. 若有课, 今天必需备课. 我今天下午没备课. 所以, 明天 不是星期一和星期三.
解 设 p:明天是星期一, q:明天是星期三，
1. A (AB) 附加律 2. (AB) A 化简律 3. (AB)A B 假言推理 4. (AB)B A 拒取式 5. (AB)B A 析取三段论 6. (AB)(BC) (AC) 假言三段论 7. (AB)(BC) (AC) 等价三段论 8. (AB)(CD)(AC) (BD) 构造性二难 9. (AB)(AB) B 构造性二难(特殊形式) 10. (AB)(CD)( BD) (AC) 破坏性二难
8
实例(续)
(6)某女子在某日晚归家途中被杀害，据多方调查确证， 凶手必为王某或陈某，但后又查证，作案之晚王某在 工厂值夜班，没有外出，根据上述案情可得 前提： 1.凶手为王某或陈某。 P∨Q 2.如果王某是凶手，则他在作案当晚必外出 P→R 3.王某案发之晚并未外出。 ┐R 结论：陈某是凶手。 Q 则可描述为： (P→R)┐R┐P (拒取式) (P∨Q)┐PQ (析取三段论)
三、归谬法(反证法)
欲证明 前提：A1, A2, … , Ak 结论：B 将B加入前提, 若推出矛盾, 则得证推理正确. 理由: A1A2…AkB (A1A2…Ak)B (A1A2…AkB) 括号内部为矛盾式当且仅当 (A1A2…AkB)为重言式
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实例
例1 判断下面推理是否正确: (1) 若今天是1号, 则明天是5号. 今天是1号. 所以, 明天是5号. 解 设 p: 今天是1号, q: 明天是5号 推理的形式结构为 (pq)pq 证明 用等值演算法 (pq)pq ((pq)p)q ((pq)p)q pqq 1 得证推理正确
思考：格式中应包含哪些？ 1) 步骤号 2) 给定前提或得出的结论 3) 推理时所用规则 4) 此结论是从哪几步得到 的及所用公式
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实例
例3 构造推理的证明: 若明天是星期一或星期三, 我就有 课. 若有课, 今天必需备课. 我今天下午没备课. 所以, 明天 不是星期一和星期三.
解 设 p:明天是星期一, q:明天是星期三，
1. A (AB) 附加律 2. (AB) A 化简律 3. (AB)A B 假言推理 4. (AB)B A 拒取式 5. (AB)B A 析取三段论 6. (AB)(BC) (AC) 假言三段论 7. (AB)(BC) (AC) 等价三段论 8. (AB)(CD)(AC) (BD) 构造性二难 9. (AB)(AB) B 构造性二难(特殊形式) 10. (AB)(CD)( BD) (AC) 破坏性二难
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实例(续)
(6)某女子在某日晚归家途中被杀害，据多方调查确证， 凶手必为王某或陈某，但后又查证，作案之晚王某在 工厂值夜班，没有外出，根据上述案情可得 前提： 1.凶手为王某或陈某。 P∨Q 2.如果王某是凶手，则他在作案当晚必外出 P→R 3.王某案发之晚并未外出。 ┐R 结论：陈某是凶手。 Q 则可描述为： (P→R)┐R┐P (拒取式) (P∨Q)┐PQ (析取三段论)
3第三章命题逻辑的推理理论
他去网吧了。 设 p：小李去网吧。q：小李去教室。则
前提：p ∨ q , q 结论：p 推理的形式结构： ((p ∨ q) ∧ q) p
2020/4/7
9
（1）真值表
p q p∨q q (p∨q)∧q
00 0 1
0
01 1 0
0
10 1 1
1
11 1 0
0
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((p∨q)∧q) p 1 1 1 1
p q p∧(pq) q p∧(qp) q
00 0
00
0
01 0
10
1
10 0
01
0
11 1
11
1
结论: (1) 式正确. (2)式推理不正确.
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7
定理3.1 命题公式A1，A2，…Ak 推 B 的推理正确当 且仅当 (A1 ∧ A2 ∧ … ∧ Ak) B为重言式。
（证明参见课本）
前提：p (qr), s q, p s 结论：r
2020/4/7
23
两种特殊的证明方法——附加前提证明法
适用于此类蕴涵式的证明 (A1 ∧ A2 ∧ … ∧ Ak ) (A B ) (*)
欲证明(*)式，只需证明 (A1 ∧ A2 ∧ … ∧ Ak ∧ A ) B
即可，因为
2020/4/7
所以，推理正确，即((p∨q)∧q) p
2020/4/7
12
例：判断下列推理是否正确。 2、若a能被4整除，则天下雨。现在天下雨，所以a能
被4整除。 设 p： a能被4整除。q：天下雨。则， 前提：p q , q 结论：p 推理的形式结构： ((p q) ∧ q) p
答案： 此推理不正确
前提：p ∨ q , q 结论：p 推理的形式结构： ((p ∨ q) ∧ q) p
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（1）真值表
p q p∨q q (p∨q)∧q
00 0 1
0
01 1 0
0
10 1 1
1
11 1 0
0
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((p∨q)∧q) p 1 1 1 1
p q p∧(pq) q p∧(qp) q
00 0
00
0
01 0
10
1
10 0
01
0
11 1
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结论: (1) 式正确. (2)式推理不正确.
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定理3.1 命题公式A1，A2，…Ak 推 B 的推理正确当 且仅当 (A1 ∧ A2 ∧ … ∧ Ak) B为重言式。
（证明参见课本）
前提：p (qr), s q, p s 结论：r
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两种特殊的证明方法——附加前提证明法
适用于此类蕴涵式的证明 (A1 ∧ A2 ∧ … ∧ Ak ) (A B ) (*)
欲证明(*)式，只需证明 (A1 ∧ A2 ∧ … ∧ Ak ∧ A ) B
即可，因为
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所以，推理正确，即((p∨q)∧q) p
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例：判断下列推理是否正确。 2、若a能被4整除，则天下雨。现在天下雨，所以a能
被4整除。 设 p： a能被4整除。q：天下雨。则， 前提：p q , q 结论：p 推理的形式结构： ((p q) ∧ q) p
答案： 此推理不正确
命题演算的推理理论
离散结构命题演算的推理理论教学目标基本要求（1）有效推理；（2）有效推理的等价定理；（3）重言蕴含式；重点难点重言蕴含式的应用。
有效推理数理逻辑的主要任务是用数学的方法来研究推理。
推理:是指从前提出发推出结论的思维过程，前提:是已知命题公式集合(A1，A2，…，An)结论:是从前提出发应用推理规则推出的命题公式B怎样推理是有效的？有效推理定义设A1，A2，…，An，B 都是命题公式，称推理“A1，A2，…，An推出B”是有效的（或正确的），(｛A1, A2, …,A n｝⇒ B )如果对A1，A2，…，An，B中出现的命题变项的任一指派，若A1，A2，…，An都真，则B亦真，并称B是有效结论。
即当各前提的合取式为真时，结论必为真。
否则，称“由A1，A2，…，An推出B”是无效的或不合理的。
注意：1.推理形式的有效与否与前提中命题公式的排列次序无关。
2.推理的有效性和结论的真实性是不同的；3.推理的有效性在于形式不在于内容；4.推理过程的正确性与前提和结论是否真实无关。
有效推理的等价定理定理命题公式A1, A2, …, A n推出B的正确推理当且仅当(A1∧A2∧…∧An) →Ｈ为重言式（永真公式。
）“⇒”与“→”的不同1.“→”仅是一般的蕴涵联结词，G→H的结果仍是一个公式，而“⇒”却描述了两个公式G，H之间的一种逻辑蕴涵关系，G ⇒ H的“结果”，是非命题公式；2. 用计算机来判断G ⇒ H是办不到的。
然而计算机却可“计算”公式G→H是否为永真公式。
要求A=｛A1, A2, …,A n｝A⇒ B也就是A1∧A2∧…∧A n→B 为永真公式因而真值表法、等值演算和主范式例: 判断下面推理是否正确：（1）若a能被4整除，则a能被2整除；a能被4整除。
所以a能被2整除。
（2）若a能被4整除，则a能被2整除；a能被2整除。
所以a能被4整除。
（3）下午张林或去看电影或去游泳；她没有看电影。
所以，她去游泳了。
离散数学 第3章 命题逻辑的推理理论
例 构造下面推理的证明 2 是素数或合数. 若 2 是素数，则 2 是无理数. 若 2 是无理数，则 4 不是素数. 所以，如果 4 是素数，则 2 是合数. 用附加前提证明法构造证明 （1）设 p：2 是素数，q：2 是合数， r： 2 是无理数，s：4 是素数 （2）形式结构 前提：pq, pr, rs 结论：sq
结论（不正确）是对的 方法四 直接观察出 10 是成假赋值
解（2）答案：推理正确 方法一 方法二 方法三 方法四 真值表法（自己做） 等值演算法（自己做） 主析取范式法（自己做） P 系统中构造证明 ① pr ② rp ③ qr ④ qp （前提引入） （①置换） （前提引入） （③②假言三段论）
（8） 假言三段论规则： AB BC AC （9） 析取三段论规则： AB B A （10） 构造性二难推理规则： AB CD AC BD
(11) 破坏性二难推理规则： AB CD BD AC （12）合取引入规则： A B AB
三、P 中的证明 例 在自然推理系统 P 中构造下面推理的证明： (1)前提：p∨q,q→r,p→s,┐s 结论：r∧(p∨q) (2)前提：┐p∨q, r∨┐q ,r→s 结论：p→s 解 (1)证明： ① p→s 前提引入 ② ┐s 前提引入 ③ ┐p ①②拒取式 ④ p∨q 前提引入 ⑤ q ③④析取三段论 ⑥ q→r 前提引入 ⑦ r ⑤⑥假言推理 ⑧ r∧(p∨q) ⑦④合取 此证明的序列长为 8，最后一步为推理的结论，所以推理正确，r∧(p∨q) 是有效结论。
例
判断下面推理是否正确：
(1)若 a 能被 4 整除，则 a 能被 2 整除；a 能被 4 整除。所以 a 能被 2 整除。 (2)若 a 能被 4 整除，则 a 能被 2 整除；a 能被 2 整除。所以 a 能被 4 整除。 (3)下午马芳或去看电影或去游泳；她没有看电影。所以，她去游泳 了。 (4)若下午气温超过 30℃，则王小燕必去游泳；若她去游泳，她就不 去看电影了。所以王小燕没有去看电影，下午气温必超过了 30℃。
命题逻辑的推理理论
5
实例 (续) 续
(2) 若今天是 号，则明天是 号. 明天是 号. 所以今天是 号. 若今天是1号 则明天是5号 明天是5号 所以今天是1号 解 设p：今天是 号，q：明天是 号. ：今天是1号 ：明天是5号 证明的形式结构为: 证明的形式结构为 (p→q)∧q→p → ∧ → 证明（用主析取范式法） 证明（用主析取范式法） (p→q)∧q→p → ∧ → ⇔ (¬p∨q)∧q→p ¬ ∨ ∧ → ⇔ ¬ ((¬p∨q)∧q)∨p ¬ ∨ ∧ ∨ ⇔ ¬q∨p ∨ ∧¬q)∨ ∧¬ ∧¬q)∨ ∧¬ ∧¬q)∨ ∧ ⇔ (¬p∧¬ ∨(p∧¬ ∨ (p∧¬ ∨(p∧q) ¬ ∧¬ ⇔ m0∨m2∨m3 结果不含m 是成假赋值， 结果不含 1, 故01是成假赋值，所以推理不正确 是成假赋值 所以推理不正确.
18
(9) 析取三段论规则 A∨B ∨ ¬B ∴A (10)构造性二难推理 构造性二难推理 规则 A→B → C→D → A∨C ∨ ∴B∨D ∨ (11) 破坏性二难推理 规则 A→B → C→D → ∨¬D ¬B∨¬ ∨¬ ∨¬C ∴¬A∨¬ ∨¬ (12) 合取引入规则 A B ∴A∧B ∧
10
构造证明——直接证明法 直接证明法 构造证明
1.6 命题逻辑的推理理论
推则 构造证明法
1
推理的形式结构—问题的引入 推理的形式结构 问题的引入
推理: 推理 从前提出发推出结论的思维过程
前提是指已知的命题公式， 前提是指已知的命题公式，结论是推出的命题公式 如果天气凉快，小王就不去游泳 天气凉快 如果天气凉快，小王就不去游泳.天气凉快.所以小王 没有去游泳. 没有去游泳. p:天气凉快，q:小王去游泳 天气凉快， 小王去游泳 天气凉快 前提： → 前提： (p→ ¬ q)∧p ∧ 结论： 结论： ¬ q
实例 (续) 续
(2) 若今天是 号，则明天是 号. 明天是 号. 所以今天是 号. 若今天是1号 则明天是5号 明天是5号 所以今天是1号 解 设p：今天是 号，q：明天是 号. ：今天是1号 ：明天是5号 证明的形式结构为: 证明的形式结构为 (p→q)∧q→p → ∧ → 证明（用主析取范式法） 证明（用主析取范式法） (p→q)∧q→p → ∧ → ⇔ (¬p∨q)∧q→p ¬ ∨ ∧ → ⇔ ¬ ((¬p∨q)∧q)∨p ¬ ∨ ∧ ∨ ⇔ ¬q∨p ∨ ∧¬q)∨ ∧¬ ∧¬q)∨ ∧¬ ∧¬q)∨ ∧ ⇔ (¬p∧¬ ∨(p∧¬ ∨ (p∧¬ ∨(p∧q) ¬ ∧¬ ⇔ m0∨m2∨m3 结果不含m 是成假赋值， 结果不含 1, 故01是成假赋值，所以推理不正确 是成假赋值 所以推理不正确.
18
(9) 析取三段论规则 A∨B ∨ ¬B ∴A (10)构造性二难推理 构造性二难推理 规则 A→B → C→D → A∨C ∨ ∴B∨D ∨ (11) 破坏性二难推理 规则 A→B → C→D → ∨¬D ¬B∨¬ ∨¬ ∨¬C ∴¬A∨¬ ∨¬ (12) 合取引入规则 A B ∴A∧B ∧
10
构造证明——直接证明法 直接证明法 构造证明
1.6 命题逻辑的推理理论
推则 构造证明法
1
推理的形式结构—问题的引入 推理的形式结构 问题的引入
推理: 推理 从前提出发推出结论的思维过程
前提是指已知的命题公式， 前提是指已知的命题公式，结论是推出的命题公式 如果天气凉快，小王就不去游泳 天气凉快 如果天气凉快，小王就不去游泳.天气凉快.所以小王 没有去游泳. 没有去游泳. p:天气凉快，q:小王去游泳 天气凉快， 小王去游泳 天气凉快 前提： → 前提： (p→ ¬ q)∧p ∧ 结论： 结论： ¬ q
第一章命题逻辑(3)
解: 解上述类型的推理问题，首先应该将简单命题符号 化.然后分别写出前提、结论、推理的形式结构，接着 进行判断. (1)若a能被4整除，则a能被2整除；a能被4 整除.所以a能被2整除. (1)设 p：a能被4整除. q: a能被2整除. 前提：p→q，p 结论：q 推理的形式结构：(p→q)∧p→q
主要内容
1.推理的形式结构 (1)推理前提 (2)推理结论 (3)推理正确 (4)有效推理 2.判断推理正确的方法 (1)真值表 (2)等值演算 (3)主析取范式 3.自然推理系统中的证明 4. (1)自然推理系统的定义 (2)自然推理系统的推理规则 (3)前提附加法 (4)归谬法
判断推理 1.理解并记住推理形式结构的三种等价形式 是否正确 (1) {A1,A2,…,Ak} |=B (2) A1∧A2∧…∧Ak→B P系统中 (3) 前提: A1,A2,…,Ak 证明时 结论: B 2.熟练掌握判断推理是否正确的三种方法(用 真值表, 等值演算,析取范式) 3.牢记P系统中的各种推理规则 4.对正确的推理,在P系统中给出严谨的证明序列 5.会用附加前提法和归谬法证明
例1.6.2 在自然推理系统P中构造下面推理的证明： (1)前提：p∨q,q→r,p→s,┐s 结论：r∧(p∨q) (2)前提：┐p∨q, r∨┐q ,r→s 结论：p→s 解 : (1)证明： ① p→s 前提引入 ② ┐s 前提引入 ③ ┐p ①②拒取式 ④ p∨q 前提引入 ⑤q ③④析取三段论 ⑥ q→r 前提引入 ⑦r ⑤⑥假言推理 ⑧ r∧(p∨q) ⑦④合取
设p:小张守第一垒. q:小李向B队投球. r:A队取胜. s:A队获得联赛第一名.
前提：(p∧q)→r,┐r∨s,┐s ,p 结论：┐q
前提：(p∧q)→r,┐r∨s,┐s ,p 结论：┐q 证明：用归谬法 ①q 结论的否定引入 ② ┐r∨s 前提引入 ③ ┐s 前提引入 ④ ┐r ②③析取三段论 ⑤(p∧q)→r 前提引入 ⑥ ┐(p∧q) ④⑤拒取式 ⑦ ┐p∨┐q ⑥置换 ⑧p 前提引入 ⑨ ┐q ⑦⑧析取三段论 ⑩ q∧┐q ①⑨合取
第3章命题逻辑的推理理论
(9)析取三段论规则： A∨B ┐B _________ ∴A (10)构造性二难推理规则： A→B C→D A∨C _________
∴ B∨D
28
定义3.3(续)
(11)破坏性二难推理规则： A→B C→D ┐B∨┐D _________ ∴┐A∨┐C (12)合取引入规则： A B _________ ∴ A ∧B
∴B
25
定义3.3(续)
(5)附加规则： A _________
∴ A∨B (6)化简规则： A∧B _________
∴A
26
定义3.3(续)
(7)拒取式规则： A→B ┐B _________ ∴ ┐A (8)假言三段论规则： A→B B→C _________
∴ A→C
27
定义3.3(续)
(2)设 p: a能被4整除 q: a能被2整除 前提： p→q, q 结论： p 推理的形式结构：(p→q)∧q→p 01是上式的成假赋值，此推理不正确
13
例3.2 的解
(3)设 p:马芳下午去看电影 q:马芳下午去游泳 前提： p∨q, ┐p 结论： q 推理的形式结构：((p∨q)∧┐p)→q
7
推理结构的等价形式
推理正确 {A1, A2, …, Ak}╞B 转换成 A1∧A2∧…∧AkB 推理不正确 {A1, A2, …, Ak} | B 转换成 A1∧A2∧…∧Ak B
8
推理的形式结构
本书中规定，用 (A1∧A2∧…∧Ak)→B (3.2) 做为推理的形式结构，并且用下述形式写出推理 的形式结构： 前提： A1,A2, …,Ak 结论： B 然后论证推理是否正确，即证(3.2)是否为重言式
∴ B∨D
28
定义3.3(续)
(11)破坏性二难推理规则： A→B C→D ┐B∨┐D _________ ∴┐A∨┐C (12)合取引入规则： A B _________ ∴ A ∧B
∴B
25
定义3.3(续)
(5)附加规则： A _________
∴ A∨B (6)化简规则： A∧B _________
∴A
26
定义3.3(续)
(7)拒取式规则： A→B ┐B _________ ∴ ┐A (8)假言三段论规则： A→B B→C _________
∴ A→C
27
定义3.3(续)
(2)设 p: a能被4整除 q: a能被2整除 前提： p→q, q 结论： p 推理的形式结构：(p→q)∧q→p 01是上式的成假赋值，此推理不正确
13
例3.2 的解
(3)设 p:马芳下午去看电影 q:马芳下午去游泳 前提： p∨q, ┐p 结论： q 推理的形式结构：((p∨q)∧┐p)→q
7
推理结构的等价形式
推理正确 {A1, A2, …, Ak}╞B 转换成 A1∧A2∧…∧AkB 推理不正确 {A1, A2, …, Ak} | B 转换成 A1∧A2∧…∧Ak B
8
推理的形式结构
本书中规定，用 (A1∧A2∧…∧Ak)→B (3.2) 做为推理的形式结构，并且用下述形式写出推理 的形式结构： 前提： A1,A2, …,Ak 结论： B 然后论证推理是否正确，即证(3.2)是否为重言式
命题逻辑的推理理论ch
命题逻辑的符号体系
命题逻辑使用特定的符号来表示命题 和推理规则，这些符号包括逻辑联结 词（如∧、∨、→、¬等）、量词（如 ∀、∃）和括号等。
通过这些符号，命题逻辑能够精确地 表示命题之间的逻辑关系，并建立严 密的推理体系。
命题逻辑的基本概念
命题
命题是具有真假值的陈述句，它 描述了某个事物的性质或关系。 在命题逻辑中，每个命题都有一 个与之对应的真值，即真或假。
02
03
析取式推理
如果一个命题A的真，导致命题B或C 的真，那么我们可以从A推导出B或C。
推理规则的应用
01
逻辑推理
通过应用直接和间接推理规则， 我们可以推导出新的命题或验证 现有命题的真假。
演绎推理
02
03
归纳推理
通过应用直接和间接推理规则， 我们可以从一般到特殊推导出结 论。
通过应用直接和间接推理规则， 我们可以从特殊到一般推导出结 论。
规划与决策
03
基于逻辑推理的规划算法，用于机器人行动规划、智
能控制等领域。
在法律领域的应用
法律推理
利用逻辑推理对法律案例进行推理和分析，辅 助法官进行裁决。
法律知识表示
将法律知识表示为逻辑命题，构建法律知识库， 用于法律咨询、案例检索等。
法律证据分析
利用逻辑推理对法律证据进行分析和推理，辅助律师进行辩护。
方式，结论不是必然的，只是一种可能性。
02
归纳推理可以采用不同的方法，如简单枚举归纳、科
学归纳等。
03
归纳推理在科学研究、数据分析等领域中广泛应用，
可以帮助人们从大量数据中找出规律和趋势。
04 命题逻辑的推理方法
演绎推理方法
定义
命题逻辑的推理理论
第三章 命题逻辑的推理理论
▪ 推理的形式结构 ▪ 自然推理系统P
精品课件
关于“推理”
推理：指从前提出发推出结论的思维过程，
前提是已知命题公式集合， 结论是从前提出发应用推理规则推出的命 题公式。
数理逻辑的主要任务是用数学的方法来研究数 学中的推理。
精品课件
推理的形式结构—问题的引入
推理举例: (1) 正项级数收敛当且仅当部分和上有界.
结论； 否则推理不正确（错误）.
精品课件
说明（1）：
由前提A1，A2 ，…，Ak推结论B的推理是否正确
与诸前提的排列次序无关。 因而前提中的公式不一定是序列，而是一个有限
公式集合，记为 Г。 可将由Г推B的推理记为Г┞B，若推理是正确的，
则记为Г|=B，否则记为 Г| B。 这里可以称Г┞B 和{A1，A2 ，…，Ak} ┞B 为
其中Þ是一种元语言符号，表示蕴涵式为重言式。
精品课件
判断推理是否正确的方法
• 真值表法 • 等值演算法 • 主析取范式法 • 构造证明法
说明：当命题变项比较少时，用前3个方法比较方
便, 此时采用形式结构“ A1ÙA2Ù…ÙAk®B” . 而
在
构B造”证. 明时，采用“前提精品:课A件 1, A2, … , Ak, 结论:
A Þ (AÚB)
附加律
(AÙB) Þ A
化简律
(A®B)ÙA Þ B
假言推理
(A®B)ÙØB Þ ØA
拒取式
(AÚB)ÙØB ®C) Þ (A®C)
假言三段论
(A«B)Ù(B«C) Þ (A«C)
等价三段论
(A®B)Ù(C®D)Ù(AÚC) Þ (BÚD)
难
构造性二
▪ 推理的形式结构 ▪ 自然推理系统P
精品课件
关于“推理”
推理：指从前提出发推出结论的思维过程，
前提是已知命题公式集合， 结论是从前提出发应用推理规则推出的命 题公式。
数理逻辑的主要任务是用数学的方法来研究数 学中的推理。
精品课件
推理的形式结构—问题的引入
推理举例: (1) 正项级数收敛当且仅当部分和上有界.
结论； 否则推理不正确（错误）.
精品课件
说明（1）：
由前提A1，A2 ，…，Ak推结论B的推理是否正确
与诸前提的排列次序无关。 因而前提中的公式不一定是序列，而是一个有限
公式集合，记为 Г。 可将由Г推B的推理记为Г┞B，若推理是正确的，
则记为Г|=B，否则记为 Г| B。 这里可以称Г┞B 和{A1，A2 ，…，Ak} ┞B 为
其中Þ是一种元语言符号，表示蕴涵式为重言式。
精品课件
判断推理是否正确的方法
• 真值表法 • 等值演算法 • 主析取范式法 • 构造证明法
说明：当命题变项比较少时，用前3个方法比较方
便, 此时采用形式结构“ A1ÙA2Ù…ÙAk®B” . 而
在
构B造”证. 明时，采用“前提精品:课A件 1, A2, … , Ak, 结论:
A Þ (AÚB)
附加律
(AÙB) Þ A
化简律
(A®B)ÙA Þ B
假言推理
(A®B)ÙØB Þ ØA
拒取式
(AÚB)ÙØB ®C) Þ (A®C)
假言三段论
(A«B)Ù(B«C) Þ (A«C)
等价三段论
(A®B)Ù(C®D)Ù(AÚC) Þ (BÚD)
难
构造性二
《离散数学》课件-第3章命题逻辑的推理理论
判断方法一：真值表法
真值表的最后一列全为1，所以（（p∨q）∧┐p） →q为重言式。因而推理正确。
判断方法二：等值演算法
（（p∨q）∧┐p）→q ⇔ （（p∧┐p）∨（q∧┐p））→q ⇔ （ q∧┐p ）→q ⇔ ┐q∨p∨q ⇔1
因为（（p∨q）∧┐p）→q为重言式，所 以推理正确。
判断方法三：主析取范式法
★ ★★
可见，如果能证明★★是重言式，则★也是重言式。 在★★中，原来的结论中的前件A已经变成前提了，称A为 附加前提。称这种将结论中的前件作为前提的证明方法为 附加前提法。
例：在自然推理系统P中构造下面推理的证明 如果小张和小王去看电影，则小李也去看电影。小
赵不去看电影或小张去看电影。小王去看电影。所 以，当小赵去看电影时，小李也去。
前提引入
② ┐s
前提引入
③ ┐p
①②拒取式（A→B）∧┐B⇒┐A
④ p∨q
B）∧┐B⇒A
⑥ q→r
前提引入
⑦r
⑤⑥假言推理（A→B）∧A⇒B
⑧ r∧（p∨q） ⑦④合取引入
（2）前提：┐p∨q，r∨┐q，r→s 结论：p→s
证明：
① ┐p∨q 前提引入
② p→q
①置换
（A→B）∧（C→D）∧（┐B∨┐D） ⇒（┐A∨┐C）
（12）合取引入规则：若证明的公式序列中出现过 A和B，则A∧B是A和B的有效结论。
推理规则（12个）
（1）前提引入规则 （2）结论引入规则（隐规则） （3）置换规则：等值置换 （4）假言推理规则：（A→B）∧A⇒B （5）附加规则：A⇒（A∨B） （6）化简规则：A∧B ⇒A （7）拒取式规则：（A→B）∧┐B⇒┐A （8）假言三段论规则：（A→B）∧（B→C）⇒（A→C） （9）析取三段论规则：（A∨B）∧┐B⇒A （10）构造性二难推理规则 （11）破坏性二难推理规则 （12）合取引入规则
第1章 命题逻辑_逻辑推理
判断推理是否有效(正确)
• 主析取范式法
• 构造证明法
证明推理有效(正确)
说明：用前3个方法时采用形式结构
“ A1A2…AkB” . 用构造证明时, 采用
“前提: A1, A2, … , Ak, 结论: B”.
8
真值表技术
9
真值表技术判断
10
实例
例 判断下面推理是否正确 (1) 若今天是1号，则明天是5号. 今天是1号. 所 以明天是5号. 解 设 p：今天是1号，q：明天是5号.
解 设 p：2是素数，q：2是合数， r： 2是无理数，s：4是素数
推理的形式结构 前提：pq, pr, rs 结论：sq
23
附加前提证明法 (续)
证明
①s
附加前提引入
② pr
前提引入
③ rs
前提引入
④ ps
②③假言三段论
⑤ p
①④拒取式
⑥ pq
前提引入
⑦q
⑤⑥析取三段论
请用直接证明法证明之
24
构造证明之三——归谬法(反证法)
32
作业
2.应用题 某公司有甲、乙、丙、丁、戊五位职员，大家商量假日的值班问题， 有如下四条意见： （1）如果甲来值班，那么乙或丙也来值班。 （2）如果乙来值班，那么丁也来值班。 （3）如果丙来值班，那么丁也来值班。 （4）只有甲来值班，戊才来值班。 （5）戊是来值班的。 问：丁是不是来值班？说明在推导过程中的每一步用的是什么推理过 程。
（不正确、错误）.
“A1, A2, …, Ak 推B” 的推理正确 当且仅当 A1A2…AkB为重言式.
推理的形式结构: A1A2…AkB 或 前提： A1, A2, … , Ak 结论： B
命题逻辑的推理规则与方法
命题逻辑的推理规则与方法命题逻辑是一种研究命题之间关系的逻辑学分支。
在命题逻辑中，推理规则和方法是非常重要的，它们帮助我们理解和分析命题之间的逻辑关系，从而做出正确的推理和判断。
本文将探讨命题逻辑的推理规则和方法，并分析其在实际生活中的应用。
首先，命题逻辑的推理规则和方法主要包括三大类：前提-结论推理、等价推理和归谬推理。
前提-结论推理是最常见的推理方式，它基于命题之间的因果关系或前提与结论之间的逻辑关系。
例如，如果前提是“所有人都会死亡”，那么结论可以是“我也会死亡”。
这种推理方式在日常生活中非常常见，我们可以根据已知的前提来得出结论。
其次，等价推理是基于命题之间的等价关系进行推理的方法。
等价关系指的是两个命题具有相同的真值，即它们要么同时为真，要么同时为假。
通过等价推理，我们可以将一个复杂的命题转化为更简单的形式，从而更容易进行推理。
例如，如果我们知道命题A等价于命题B，而命题B又等价于命题C，那么我们可以得出命题A等价于命题C的结论。
最后，归谬推理是一种通过反证法来推理的方法。
它基于命题之间的否定关系进行推理。
当我们无法直接证明一个命题的真值时，我们可以假设它的否定命题为真，然后通过逻辑推理得出矛盾的结论，从而证明原命题的真值。
这种推理方法在数学和科学领域中经常被使用，它帮助我们发现并排除错误的推理和假设。
命题逻辑的推理规则和方法在实际生活中有着广泛的应用。
它们帮助我们进行科学研究、法律判断、决策分析等方面的推理和判断。
例如，在科学研究中，我们可以根据已有的实验数据和理论知识，运用命题逻辑的推理规则和方法来验证或推导新的科学理论。
在法律领域，法官和律师们可以运用命题逻辑的推理规则和方法来分析证据，判断被告人的罪责。
在日常生活中，我们也可以运用命题逻辑的推理规则和方法来解决问题，做出正确的决策。
然而，命题逻辑的推理规则和方法也存在一些局限性。
首先，命题逻辑只能处理命题之间的逻辑关系，而无法处理更复杂的语义关系。
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构造证明：
（1）将简单命题符号化： 设 p:小张去看电影。
例题
（2） 形式结构：
前提：(p∧q)→r,┐s∨p,q 结论：s→r
（3）证明：用附加前提证明法
①s
附加前提引入
② ┐s∨p
前提引入
③p 段论
①②析取三
④ (p∧q)→r
前提引入
⑤q
前提引入
⑥ p∧q
③⑤合取
例题
例3.6 在自然推理系统P中构造下面推理的证明。
构造形式结构A1A2…Ak B 的推理的书写 方法： 前提： A1,A2,…,Ak 结论： B
证明方法：
直接证明法
附加前提法
归谬法（或称反证法）
命题逻辑推理的难点
1. 弄清楚蕴涵式P→Q的逻辑关系及其真值 ，这里Q是P的必要条件。无论蕴涵关系 如何表述，都要仔细地区分出蕴涵式的前 件和后件。
3、某女子在某日晚归家途中被杀害，据多方
调查确证，凶手必为王某或陈某，但后又查
证，作案之晚王某在工厂值夜班，没有外出
，根据上述案情可得前提：
1.凶手为王某或陈某。
P∨Q
2.如果王某是凶手，则他在作案当晚必外出P→R
3.王某案发之晚并未外出。
┐R
结论：陈某是凶手。
Q
则可描述为：P→R，┐R┐P (否定后件式)
r：到圆明园玩。
s：颐和园游人太多。
t：到动物园玩。
（2）前提：p(qr), sq, p, s
结论：rt
（3）证明： ① p(qr) ②p ③ qr ④ sq ⑤s ⑥ q ⑦r
论 ⑧ rt
前提引入 前提引入 ①②假言推理 前提引入 前提引入 ④⑤假言推理 ③⑥ 析 取 三 段
⑦附加
小节结束
例子(续1)
方法三 主析取范式法（自己做）
方法四 P系统中构造证明
证明： （直接证明法）
① pr
（前提引入）
② rp
（①置换）
③ qr
（前提引入）
④ qp
（③② 假 言 三
2、在P系统中构造下面推理的证明：
如果今天是周六，我们就到颐和园或
圆明园玩。 如果颐和园游人太多，就不去
颐和园。 今天是周六，并且颐和园游人太 构（1造多）证。设明p：：所今以天我是周们六去。圆明园q或：动到颐物和园园玩玩。。
00
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1
1
1
1
有效推理的等价定理
定理3.1 命题公式A1,A2,…,Ak推B的推理正确当且仅当 (A1∧A2∧…∧Ak )→B 为重言式。
说 明
该定理是判断推理是否正确的另一种方法。
定理3.1的证明
(1)证明必要性。若A1,A2,…,Ak推B的推理正确， 则对于A1,A2,…,Ak,B中所含命题变项的任意一组
自然推理系统的定义
（4）假言推理规则 AB A
B
（4）若今天下雪,则将去滑 雪。今天下雪，所以去滑 雪。
（5）附加规则 A
AB
（5）现在气温在冰点以下。 因此，要么现在气温在冰 点以下，要么现在下雨。
（6）化简规则 AB A
（6）现在气温在冰点以下并 且正在下雨。因此，现在 气温在冰点以下。
自然推理系统的定义
2. 推理过程中推理规则、基本等值式和逻辑 蕴涵式的引用要适当，逻辑思维要清晰。
3. 弄清楚几种推理方法的区别与联系，对于 命题逻辑推理而言，任何一个问题的推理 ，都可以采取三种推理方法中的任何一种 来证明，针对不同的问题选用不同的推理
例题
例3.3 在自然推理系统P中构造下面推理 的证明：
前提：┐p∨q, r∨┐q ,r→s 结论：p→s
结论：┐q
（3）证明：用归谬法
例题
①q
结论的否定引入
② ┐r∨s
前提引入
③ ┐s
前提引入
④ ┐r
②③析取三段论
⑤ (p∧q)→r
前提引人
⑥ ┐(p∧q)
④⑤拒取式
⑦ ┐p∨┐q
⑥置换
⑧p
前提引入
⑨ ┐q
⑦⑧析取三段论
⑩ q∧┐q
①⑨合取
由于最后一步为矛盾式，所以推理正确。
小节结束
本章主要内容
推理的形式结构： 推理的前提 推理的结论 推理正确
(2) A1A2…AkB
(3)
前提： 结论：
A1, B
A2,
…
,
Ak
说 当推理）记为A1A2…AkB。 表示蕴涵式为重言式。
判断有效结论的常用方法
要求
Г=｛G1, G2, …,Gn｝ Г H
也就是 G1∧G2∧…∧Gn→Ｈ 为永真公式
因而 真值表技术、演绎法和 间接证明方法
① ┐p∨q
前提引入
② p→q
①置换
③ r∨┐q
前提引入
④ q→r
③置换
⑤ p→r
②④假言三段论
⑥ r→s
前提引入
例题
例3.3 在自然推理系统P中构造下面推理 的证明：
前提：p→（q→r）, p∧q 结论： ┐r→s
① p→（q→r）
前提引入
② p∧q
前提引入
③p
②化简
④q
②化简
⑤ q→r
①③假言推理
中国地质大学本科生课程
离散数学
第3章 命题逻辑的推理理论
本章说明
本章的主要内容
–推理的形式结构
–自然推理系统P
本章与后续各章的关系
–本章是第五章的特殊情况和先行准备
3.1 推理的形式结构
3.2 自然推理系统P
本章小结
习题
作业
3.1 推理的形式结构
数理逻辑的主要任务是用数学的方法来研究数学中的 推理。
熟练掌握判断推理是否正确的三种方法（真值 小节结束
习题
1、用不同的方法验证下面推理是否正确。对于正确的推理还 要在P系统中给出证明。
（1） 前提：pq, q
结论：p
（2） 前提：qr, pr
结论：qp
（1）不正确。 验证答案，只需证明(pq)qp不是重
言式。 方法一 等值演算
(pq)qp ((pq)q)p (pq)qp ((pq)(qq))p pq 易知10是成假赋值，故(pq)qp不是
（7）拒取式规则 AB B
A
（8） 假言三段论规则 AB BC
AC
（9）析取三段论规则 AB B
A
（10）构造性二自难然推理推规理则系统的定义
AB CD AC BD
（11）破坏性二难推理规则 AB CD BD
AC
（12） 合取引入规则 A B
AB
在自然推理系统P中构造证明
P中构造证明就是由一组P中公式作为前提，利用 P中的规则，推出结论。
(3) (A→B)∧A B 推理
(4) (A→B)∧┐B ┐A 式
(5) (A∨B)∧┐B A 三段论
附加 化简 假言 拒取 析取
关于推理定律的几点说明
A,B,C为元语言符号，代表任意的命题公式。 若一个推理的形式结构与某条推理定律对应的蕴涵
式一致，则不用证明就可断定这个推理是正确的。 2.1节给出的24个等值式中的每一个都派生出两条推
推理是指从前提出发推出结论的思维过程。 前提是已知命题公式集合。 结论是从前提出发应用推理规则推出的命题公式。 证明是描述推理正确或错误的过程。 要研究推理，首先应该明确什么样的推理是有效的或
正确的。
命题逻辑的推理理论
概念
描述问题 的句子
判断
对概念的肯 定与否定的 判断
推理
从一个或多 个前提推出 结论的思维 过程
关于有效推理的说明
由前提A1，A2，…，Ak推结论B的推理是否正确与 诸前提的排列次序无关。
由＝{推A1B，的A推2，理…记，为Ak}┣B 若推理是正确的，记为 ╞ B 若推理是不正确的，记为 B
关于有效推理的说明
设A1，A2，…，Ak，B中共出现n个命题变项，对于任何 一组赋值α1α2…αn(αi=0或者1，i=1,2,…,n)，前提 和结论的取值情况有以下四种： (1) A1∧A2 ∧…∧Ak为0，B为0。 (2) A1∧A2 ∧…∧Ak为0，B为1。 (3) A1∧A2 ∧…∧Ak为1，B为0。 (4) A1∧A2 ∧…∧Ak为1，B为1。
理定律。例如双重否定律A A产生两条推理定 律A A和 AA。 由九条推理定律可以产生九条推理规则,它们构成了 推理系统中的推理规则。
小节结束
3.2 自然推理系统P
判断推理是否正确的三种方法：真值表法、等值演 算法和主析取范式法。
当推理中包含的命题变项较多时，上述三种方法演 算量太大。
对于由前提A1,A2,…,Ak推B的正确推理应该给出严谨 的证明。
结论： q
推理的形式结构： ((p∨q)∧┐p)→q
((p∨q)∧┐p)→q
┐((p∨q)∧┐p) ∨ q
((┐p∧┐q)∨p) ∨ q
((┐p∨p )∧(┐q∨p)) ∨ q
(┐q∨p) ∨ q 1
由定理 3.1可知，
推理正确。
推理定律--重言蕴含式
(1) A (A∨B) 律
(2) (A∧B) A 律
判断推理是否正确的方法
真值表法 等值演算法 主析取范式法
说 明
当命题变项较少时,这三种方法比较方便。
思 考
是否有其他的证明方法？
例题
例3.2 判断下列推理是否正确。（等值演算法）
（1） 下午马芳或去看电影或去游泳。她没去看
解：电设前影去p提:，游马：芳所泳p下∨以了午q，，。去┐看她p电影，q:马芳下午去游泳。
（1）将简单命题符号化： 设 p:小张去看电影。
例题
（2） 形式结构：
前提：(p∧q)→r,┐s∨p,q 结论：s→r
（3）证明：用附加前提证明法
①s
附加前提引入
② ┐s∨p
前提引入
③p 段论
①②析取三
④ (p∧q)→r
前提引入
⑤q
前提引入
⑥ p∧q
③⑤合取
例题
例3.6 在自然推理系统P中构造下面推理的证明。
构造形式结构A1A2…Ak B 的推理的书写 方法： 前提： A1,A2,…,Ak 结论： B
证明方法：
直接证明法
附加前提法
归谬法（或称反证法）
命题逻辑推理的难点
1. 弄清楚蕴涵式P→Q的逻辑关系及其真值 ，这里Q是P的必要条件。无论蕴涵关系 如何表述，都要仔细地区分出蕴涵式的前 件和后件。
3、某女子在某日晚归家途中被杀害，据多方
调查确证，凶手必为王某或陈某，但后又查
证，作案之晚王某在工厂值夜班，没有外出
，根据上述案情可得前提：
1.凶手为王某或陈某。
P∨Q
2.如果王某是凶手，则他在作案当晚必外出P→R
3.王某案发之晚并未外出。
┐R
结论：陈某是凶手。
Q
则可描述为：P→R，┐R┐P (否定后件式)
r：到圆明园玩。
s：颐和园游人太多。
t：到动物园玩。
（2）前提：p(qr), sq, p, s
结论：rt
（3）证明： ① p(qr) ②p ③ qr ④ sq ⑤s ⑥ q ⑦r
论 ⑧ rt
前提引入 前提引入 ①②假言推理 前提引入 前提引入 ④⑤假言推理 ③⑥ 析 取 三 段
⑦附加
小节结束
例子(续1)
方法三 主析取范式法（自己做）
方法四 P系统中构造证明
证明： （直接证明法）
① pr
（前提引入）
② rp
（①置换）
③ qr
（前提引入）
④ qp
（③② 假 言 三
2、在P系统中构造下面推理的证明：
如果今天是周六，我们就到颐和园或
圆明园玩。 如果颐和园游人太多，就不去
颐和园。 今天是周六，并且颐和园游人太 构（1造多）证。设明p：：所今以天我是周们六去。圆明园q或：动到颐物和园园玩玩。。
00
0
0
0
0
0
1
0
1
0
1
10
0
0
1
0
11
1
1
1
1
有效推理的等价定理
定理3.1 命题公式A1,A2,…,Ak推B的推理正确当且仅当 (A1∧A2∧…∧Ak )→B 为重言式。
说 明
该定理是判断推理是否正确的另一种方法。
定理3.1的证明
(1)证明必要性。若A1,A2,…,Ak推B的推理正确， 则对于A1,A2,…,Ak,B中所含命题变项的任意一组
自然推理系统的定义
（4）假言推理规则 AB A
B
（4）若今天下雪,则将去滑 雪。今天下雪，所以去滑 雪。
（5）附加规则 A
AB
（5）现在气温在冰点以下。 因此，要么现在气温在冰 点以下，要么现在下雨。
（6）化简规则 AB A
（6）现在气温在冰点以下并 且正在下雨。因此，现在 气温在冰点以下。
自然推理系统的定义
2. 推理过程中推理规则、基本等值式和逻辑 蕴涵式的引用要适当，逻辑思维要清晰。
3. 弄清楚几种推理方法的区别与联系，对于 命题逻辑推理而言，任何一个问题的推理 ，都可以采取三种推理方法中的任何一种 来证明，针对不同的问题选用不同的推理
例题
例3.3 在自然推理系统P中构造下面推理 的证明：
前提：┐p∨q, r∨┐q ,r→s 结论：p→s
结论：┐q
（3）证明：用归谬法
例题
①q
结论的否定引入
② ┐r∨s
前提引入
③ ┐s
前提引入
④ ┐r
②③析取三段论
⑤ (p∧q)→r
前提引人
⑥ ┐(p∧q)
④⑤拒取式
⑦ ┐p∨┐q
⑥置换
⑧p
前提引入
⑨ ┐q
⑦⑧析取三段论
⑩ q∧┐q
①⑨合取
由于最后一步为矛盾式，所以推理正确。
小节结束
本章主要内容
推理的形式结构： 推理的前提 推理的结论 推理正确
(2) A1A2…AkB
(3)
前提： 结论：
A1, B
A2,
…
,
Ak
说 当推理）记为A1A2…AkB。 表示蕴涵式为重言式。
判断有效结论的常用方法
要求
Г=｛G1, G2, …,Gn｝ Г H
也就是 G1∧G2∧…∧Gn→Ｈ 为永真公式
因而 真值表技术、演绎法和 间接证明方法
① ┐p∨q
前提引入
② p→q
①置换
③ r∨┐q
前提引入
④ q→r
③置换
⑤ p→r
②④假言三段论
⑥ r→s
前提引入
例题
例3.3 在自然推理系统P中构造下面推理 的证明：
前提：p→（q→r）, p∧q 结论： ┐r→s
① p→（q→r）
前提引入
② p∧q
前提引入
③p
②化简
④q
②化简
⑤ q→r
①③假言推理
中国地质大学本科生课程
离散数学
第3章 命题逻辑的推理理论
本章说明
本章的主要内容
–推理的形式结构
–自然推理系统P
本章与后续各章的关系
–本章是第五章的特殊情况和先行准备
3.1 推理的形式结构
3.2 自然推理系统P
本章小结
习题
作业
3.1 推理的形式结构
数理逻辑的主要任务是用数学的方法来研究数学中的 推理。
熟练掌握判断推理是否正确的三种方法（真值 小节结束
习题
1、用不同的方法验证下面推理是否正确。对于正确的推理还 要在P系统中给出证明。
（1） 前提：pq, q
结论：p
（2） 前提：qr, pr
结论：qp
（1）不正确。 验证答案，只需证明(pq)qp不是重
言式。 方法一 等值演算
(pq)qp ((pq)q)p (pq)qp ((pq)(qq))p pq 易知10是成假赋值，故(pq)qp不是
（7）拒取式规则 AB B
A
（8） 假言三段论规则 AB BC
AC
（9）析取三段论规则 AB B
A
（10）构造性二自难然推理推规理则系统的定义
AB CD AC BD
（11）破坏性二难推理规则 AB CD BD
AC
（12） 合取引入规则 A B
AB
在自然推理系统P中构造证明
P中构造证明就是由一组P中公式作为前提，利用 P中的规则，推出结论。
(3) (A→B)∧A B 推理
(4) (A→B)∧┐B ┐A 式
(5) (A∨B)∧┐B A 三段论
附加 化简 假言 拒取 析取
关于推理定律的几点说明
A,B,C为元语言符号，代表任意的命题公式。 若一个推理的形式结构与某条推理定律对应的蕴涵
式一致，则不用证明就可断定这个推理是正确的。 2.1节给出的24个等值式中的每一个都派生出两条推
推理是指从前提出发推出结论的思维过程。 前提是已知命题公式集合。 结论是从前提出发应用推理规则推出的命题公式。 证明是描述推理正确或错误的过程。 要研究推理，首先应该明确什么样的推理是有效的或
正确的。
命题逻辑的推理理论
概念
描述问题 的句子
判断
对概念的肯 定与否定的 判断
推理
从一个或多 个前提推出 结论的思维 过程
关于有效推理的说明
由前提A1，A2，…，Ak推结论B的推理是否正确与 诸前提的排列次序无关。
由＝{推A1B，的A推2，理…记，为Ak}┣B 若推理是正确的，记为 ╞ B 若推理是不正确的，记为 B
关于有效推理的说明
设A1，A2，…，Ak，B中共出现n个命题变项，对于任何 一组赋值α1α2…αn(αi=0或者1，i=1,2,…,n)，前提 和结论的取值情况有以下四种： (1) A1∧A2 ∧…∧Ak为0，B为0。 (2) A1∧A2 ∧…∧Ak为0，B为1。 (3) A1∧A2 ∧…∧Ak为1，B为0。 (4) A1∧A2 ∧…∧Ak为1，B为1。
理定律。例如双重否定律A A产生两条推理定 律A A和 AA。 由九条推理定律可以产生九条推理规则,它们构成了 推理系统中的推理规则。
小节结束
3.2 自然推理系统P
判断推理是否正确的三种方法：真值表法、等值演 算法和主析取范式法。
当推理中包含的命题变项较多时，上述三种方法演 算量太大。
对于由前提A1,A2,…,Ak推B的正确推理应该给出严谨 的证明。
结论： q
推理的形式结构： ((p∨q)∧┐p)→q
((p∨q)∧┐p)→q
┐((p∨q)∧┐p) ∨ q
((┐p∧┐q)∨p) ∨ q
((┐p∨p )∧(┐q∨p)) ∨ q
(┐q∨p) ∨ q 1
由定理 3.1可知，
推理正确。
推理定律--重言蕴含式
(1) A (A∨B) 律
(2) (A∧B) A 律
判断推理是否正确的方法
真值表法 等值演算法 主析取范式法
说 明
当命题变项较少时,这三种方法比较方便。
思 考
是否有其他的证明方法？
例题
例3.2 判断下列推理是否正确。（等值演算法）
（1） 下午马芳或去看电影或去游泳。她没去看
解：电设前影去p提:，游马：芳所泳p下∨以了午q，，。去┐看她p电影，q:马芳下午去游泳。