数学奥林匹克初中训练题及答案(三)201343

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初中数学奥林匹克竞赛题及答案奥数题一一、选择题（每题 1 分，共 10 分）1．如果 a，b 都代表有理数，并且a＋b=0 ，那么 ( ) A．a，b 都是 0B．a，b 之一是 0C．a，b 互为相反数D． a，b 互为倒数答案： C解析：令 a=2 ， b= － 2，满足 2+( － 2)=0 ，由此 a、b 互为相反数。

2．下面的说法中正确的是( )A．单项式与单项式的和是单项式B．单项式与单项式的和是多项式C．多项式与多项式的和是多项式D．整式与整式的和是整式答案： D3都是单项式．两个单项式33A。

两个单项式解析： x2， x x ， x2之和为 x +x 2是多项式，排除x2， 2x2之和为3x2是单项式，排除 B。

两个多项式x3+x2 与 x3－x2之和为2x3 是个单项式，排除 C，因此选 D。

3．下面说法中不正确的是( )A.有最小的自然数B．没有最小的正有理数Word资料C．没有最大的负整数D．没有最大的非负数答案： C解析：最大的负整数是-1 ，故 C 错误。

4．如果 a，b 代表有理数，并且a＋b 的值大于 a－ b 的值，那么( ) A．a，b 同号B．a，b 异号C．a＞0D． b＞ 0答案： D5．大于－π并且不是自然数的整数有( )A．2 个B．3 个C．4 个D．无数个答案： C解析：在数轴上容易看出：在－π右边0的左边（包括0 在）的整数只有－3，－ 2，－1 ，0 共 4 个．选 C。

6．有四种说法：甲．正数的平方不一定大于它本身；乙．正数的立方不一定大于它本身；丙．负数的平方不一定大于它本身；丁．负数的立方不一定大于它本身。

Word资料这四种说法中，不正确的说法的个数是( )A．0 个B．1 个C．2 个D． 3 个答案： B解析：负数的平方是正数，所以一定大于它本身，故 C 错误。

7．a 代表有理数，那么， a 和－ a 的大小关系是( )A．a 大于－ aB．a 小于－ aC．a 大于－ a 或 a 小于－ aD． a 不一定大于－ a答案： D解析：令 a=0 ，马上可以排除A、 B、 C，应选 D。

数学奥林匹克初中训练题(6套)

数学奥林匹克初中训练题(1)第一试一. 选择题.(每小题7分,共42分)( )1.已知33333a b c abc a b c++-=++,则22()()()()a b b c a b b c -+-+--的值为: (A)1 (B)2 (C)3 (D)4( )2.规定”Δ”为有序实数对的运算,如果(,)a b Δ(,)(,).c d ac bd ad bc =++如果对任意实数,a b 都有(,)a b Δ(,)(,),x y a b =则(,)x y 为:(A)(0,1) (B)(1,0) (C)(1,0)- (D)(0,1)-( )3.在ΔABC 中,211a b c=+,则∠A: (A)一定是锐角 (B)一定是直角 (C)一定是钝角 (D)非上述答案( )4.下列五个命题:①若直角三角形的两条边长为3与4,则第三边长是5;②2;a =③若点(,)P a b 在第三象限,则点1(,1)P a b --+在第一象限;④连结对角线垂直且相等的四边形各边中点的四边形是正方形;⑤两边及其第三边上的中线对应相等的两个三角形全等.其中正确的命题的个数是:(A)2个 (B)3个 (C)4个 (D)5个( )5.设P 为等腰Rt ΔABC 斜边AB 上或其延长线上一点,22S AP BP =+,那么:(A)22S CP (B)22S CP = (C)22S CP (D)不确定 ( )6.满足方程222()x y x y xy +=++的所有正整数解有:(A)一组 (B)二组 (C)三组 (D)四组二. 填空题.(每小题7分,共28分)1.一辆客车,一辆货车和一辆小轿车在同一条直线上朝同一方向行驶,在某一时刻,货车在中,客车在前,小轿车在后,且它们的距离相等.走了10分钟,小轿车追上了货车;又走了5分钟,小轿车追上了客车.问再过分钟,货车追上了客车.2.若多项式2228171642070P a ab b a b =-+--+,那么P 的最小值是 .3.如图1, ∠AOB=30O , ∠AOB 内有一定点P,且OP=10.在OA 上有一点Q,OB 上有一点R.若ΔPQR 周长最小,则最小周长是 .4.已知二次函数2(1)y ax a =≥的图象上两点A,B 的横坐标分别为1,2-,O 是坐标原点,如果ΔAOB 是直角三角形,则ΔAOB 的周长为 .第二试一.(20分)已知实数,,a b c 满足不等式,a b c b c a ≥+≥+,c a b ≥+,求a b c ++的值.二.(25分)如图2,点D 在ΔABC 的边BC 上,且与B,C 不重合,过点D 作AC 的平行线DE 交AB 于E,作AB 的平行线DF 交AC 于点F.又知BC=5.(1) 设ΔABC 的面积为S.若四边形AEFD 的面积为25S .求BD 长.(2) 若,AC 且DF 经过ΔABC 的重心G,求E,F 两点的距离.三.(25分)已知定理:”若三个大于3的质数,,a b c 满足关系式25a b c +=,则a b c ++是整数n 的倍数.”试问:上述定理中整数n 的最大可能值是多少?并证明你的结论.数学奥林匹克初中训练题(2)第一试一. 选择题.(每小题7分,共42分)( )1.有铅笔,练习本,圆珠笔三种学习用品.若购铅笔3支,练习本7本,圆珠笔1支共需3.15元;若购铅笔4支,练习本10本,圆珠笔1支共需4.2元.现购铅笔,练习本,圆珠笔各1件,共需:(A)1.2元 (B)1.05元 (C)0.95元 (D)0.9元( )2.三角形的三边,,a b c 都是整数,且满足7abc bc ca ab a b c ++++++=,则此三角形的面积等于:(A)2 (B)4 (C)4 (D)2( )3.如图1,ΔABC 为正三角形,PM ⊥AB,PN ⊥AC.设四边形AMPN, ΔABC 的周长分别是,m n ,则有: (A)1325m n (B)2334m n (C)80%83%m n (D)78%79%mn( )4.满足22(3)(3)6x y -+-=的所有实数对(,)x y ,使y x取最大值,此最大值为:(A)3+4+5+ (D)5( )5.设p .其中,,,a b c d 是正实数,且满足1a b c d +++=.则p 满足: (A)p ＞5(B)p ＜5 (C)p ＜2 (D)p ＜3( )6.如图2,点O 是正六边形ABCDEF 的中心,OM ⊥CD,N为OM 的中点.则:ABN BCN S S 等于:(A)9:5 (B)7:4 (C)5:3 (D)3:2二. 填空题.(每小题7分,共28分)1.若实数,x y 满足(1x y =,则x y += .2.如图3,CD 为直角ΔABC 斜边AB 上的高,DE ⊥AC.设ΔADE,ΔCDB,ΔABC 的周长分别是12,,p p p .当12p p p + 取最大值时,∠A= .3.若函数2543kx y kx kx +=++中自变量的取值范围是一切实数,则实数k 的取值范围是 .4.如图4所示,线段AB 与CD 都是⊙O 中的弦,其中108,,36,O O AB AB a CD CD b ====,则⊙O 的半径R= .第二试一.(共20分)n 是一个三位数,b 是一个一位数,且22,1a a b b ab ++都是整数,求a b +的最大值与最小值.二.(共25分)如图5,在ΔABC 中,∠A=60O ,O,I,H 分别是它的外心,内心,垂心.试比较ΔABC 的外接圆与ΔIOH 的外接圆的大小,证明你的论断.三.(共25分)求方程组33333x y z x y z ++=⎧⎨++=⎩的所有整数解.参考答案一.1.(B)数学奥林匹克初中训练题(四)第一试三. 选择题.(每小题7分,共42分)( )1.在11,,0.2002,7223πn 是大于3的整数)这5个数中,分数的个数为: (A)2 (B)3 (C)4 (D)5( )2.如图1,正方形ABCD 的面积为256,点F 在AD上,点E 在AB 的延长线上,Rt ΔCEF 的面积为200,则BE 的长为:(A)10 (B)11 (C)12 (D)15( )3.已知,,a b c 均为整数,且满足2223a b c +++＜32ab b c ++.则以,a b c b +-为根的一元二次方程是:(A)2320x x -+= (B)2280x x +-=(C)2450x x --= (D)2230x x --=( )4.如图2,在Rt ΔABC 中,AF 是高,∠BAC=90O ,且BD=DC=FC=1,则AC 为:( )5.若222a b c a b c k c b a+++===,则k 的值为: (A)1 (B)2 (C)3 (D)非上述答案( )6.设0,0,26x y x y ≥≥+=,则224363u x xy y x y =++--的最大值是: (A)272(B)18 (C)20 (D)不存在四. 填空题.(每小题7分,共28分)1.方程222111013x x x x++=+的实数根是 . 2.如图3,矩形ABCD 中,E,F 分别是BC,CD 上的点,且2,3,4A B E C E F A D F S S S ===,则AEF S = .3.已知二次函数2(1)y x a x b =+++(,a b 为常数).当3x =时,3;y =当x 为任意实数时,都有y x ≥.则抛物线的顶点到原点的距离为 .4.如图4,半径为2cm ,圆心角为90O 的扇形OAB 的AB 上有一运动的点P.从点P 向半径OA 引垂线PH 交OA 于点H.设ΔOPH 的内心为I,当点P 在AB 上从点A 运动到点B 时,内心I 所经过的路径长为 .第二试一.(20分)在一个面积为1的正方形中构造一个如下的小正方形;将单位正方形的各边n 等分,然后将每个顶点和它相对应顶点最接近的分点连结起来,如图5所示.若小正方形的面积恰为13281,求n 的值. 二.(25分)一条笔直的公路l 穿过草原,公路边有一卫生站A,距公路30km 的地方有一居民点B,A,B 之间的距离为90km .一天某司机驾车从卫生站送一批急救药品到居民点.已知汽车在公路上行驶的最快速度是60/km h ,在草地上行驶的最快速度是30/km h .问司机应以怎样的路线行驶,所用的行车时间最短?最短时间是多少?三.(25分)从1，2，3，……，3919中任取2001个数。

(整理)数学奥林匹克初中训练题13

数学奥林匹克初中训练题13姓名第一试一、选择题(每小题7分,共42分)1.已知a 2+b 2=1,b 2+c 2=2,c 2+a 2=2.则ab+bc+ca 的最小值为( ). (A)3 -21 (B)-3 +21 (C)-3 -212 (D) 3 +212.某次数学测验共有20道题.评分标准规定:每答对一题得5分,不答得0分,答错得-2分.已知这次测验中小强与小刚的累计得分相等,分数是质数.则小强与小刚答题的情况是( ). (A)两人答对的题数一样多 (B)两人答对的题数相差2 (C)两人答对的题数相差4 (D)以上三种情况都有可能3.在△ABC 中,AD 是边BC 上的中线,点M 、N 分别在边AB 、AC 上,且满足∠MDN=90°.如果BM 2+CN 2=DM 2+DN 2,那么,AD 2与AB 2+AC 2的关系是( ).(A)AD 2>AB 2+AC 2 (B)AD 2<AB 2+AC 2 (C)AD 2=AB 2+AC 2 (D)AD 2与AB 2+AC 2大小不确定4.有n 个数,从第二个数开始,每一个数都比它前面相邻的数大3,即4,7,…,3n+1,且它们相乘的积的末尾恰有32个0.则n 的最小值为( ).(A)125 (B)126 (C)127 (D)1285.图为某三岔路口交通环岛的简化模型.在某高峰时段,单位时间进出路口A 、B 、C 的机动车辆数如图所示,图中的x 1、x 2、x 3分别表示该时段单位时间通过路段弧AB 、BC 、CA 的机动车辆数(假设单位时间内,在上述路段中,同一路段上驶入与驶出的车辆数相等).则( ).(A)x 1>x 2>x 3 (B)x 1>x 3>x 2 (C)x 2>x 3>x 1 (D)x 3>x 2>x 16.已知四个互不相等的实数x 1、x 2、x 3、x 4(x 1<x 2,x 3<x 4).又a 为实数,函数y 1=x 2-4x+a 与x 轴交于(x 1,0)、(x 2,0)两点,函数y 2=x 2+ax-4与x 轴交于(x 3,0)、(x 4,0)两点.若这四个交点从左到右依次标为A 、B 、C 、D,且AB=BC=CD,则a 的值为( ).(A)a=-3 (B)a 小于0 (C)a=0 (D)a 大于0二、填空题(每小题7分,共28分)1.如图,AD ∥BC,梯形ABCD 的面积是180,E 是AB 的中点,F是边BC 上的点,且AF ∥DC,AF 分别交ED 、BD 于点G 、H.设BC/AD=m(m ∈N).若△GHD 的面积为整数,则m 的值为 .2.将自然数1,2,…,k 2列成正方形数表(如表1),然后从表中任意选定1个数,随后删掉该数所在的行和列,再对剩下的(k-1)2个数的正方形数表作同样处理,如此下去,共作k 次选数程序.则被选中的k 个数之和3.如图,设AB 、CD 是以O 为圆心、r 为半径的圆的两条互相垂直的弦,且将圆分成的四个部分(每一部分允许退化为一个点)依顺时针顺序记为X 、Y 、Z 、W.则WY Z X S S S S ++的最大值(其中,S U 表示U 的面积)为 .4.一个人掷骰子,把每次掷得的数字加起来,如果超过20就停止.那么,当他停下来的时候,他最有可能掷得数字的总和是 .第二试一、(20分)已知二次函数y=x2+2mx-n2.(1)若此二次函数的图像经过点(1,1),且记m,n+4两数中较大者为P,试求P的最小值;(2)若m、n变化时,这些函数的图像是不同的抛物线,如果每条抛物线与坐标轴都有三个不同的交点,则过这三个交点作圆,证明:这些圆都经过同一定点,并求出该定点的坐标.二、(25分)如图4,过圆外一点P作圆的两条切线PA、PB,A、B为切点,再过点P作圆的一条割线分别交圆于点C、D,过点B作PA的平行线分别交直线AC、AD于点E、F.求证:BE=BF.三、(25分)设1≤a1<a2<…<a n≤21是n个任意的整数.若其中总有4个不同的数a数a i、a j、a k、a m满足a i+a m=a j+a k(1≤i<j<k<m≤n),则称数组(a1,a2,…,a n)的阶数n为“好数”.(1)n=7是否为好数?说明理由;(2)n=8是否为好数?说明理由.数学奥林匹克初中训练题13参考答案第一试一、1.B.注意到2(ab+bc+ca)=(a+b+c)2-(a 2+b 2+c 2) 故只须考虑|a+b+c|的最小值即可. 为了让|a+b+c|最小,可取a=b=-21,c=23.于是,ab+bc+ca 的最小值为213+-.2.D.根据题意,依次枚举答对20道题、19道题、……的各种可能发现: (1)小强与小刚可能都答对17题、答错1题、未答其余2题同得83分;(2)小刚与小强可能同得53分,不过一人答对13题、答错6题、1题未答,另一人答对11题、答错1题、其余各题未答;(3)小刚与小强也可能同得23分,其中一人答对9题,其余各题答错,另一人答对5题、答错1题、其余各题未答. 3.B.如图,过点B 作AC 的平行线交ND 的延长线于点E.联结ME.由BD=DC,知ED=DN,有△BED ≌△CND.于是,BE=CN.显然,MD 为EN 的中垂线,则有EM=MN. 由BM 2+BE 2=BM 2+CN 2=DM 2+DN 2=MN 2=EM 2,知△BEM 为直角三角形,∠MBE=90°. 因此,∠ABC+∠ACB=∠ABC+∠EBC=90°. 于是,∠BAC=90°. 所以,AD 2=41(AB 2+AC 2).4.D.因为(1+3n)÷5=2+3(n-3)÷5,所以,这n 个数中,只有第3,8,13,18,…个数是5的倍数,它们是5×2,5×5,5×8,5×11,….它们每5个中恰有1个是25的倍数,每25个中恰有1个是125的倍数,…….易见(5×2)×(5×5)×(5×8)×…×(5×77)=532×A,其中,A 不是5的倍数.所以,5×77=3n+1.故n=128. 5.C.依题意有x 1=50+x 3-55=x 3-5,则x 1<x 3.同理,x 1<x 2,x 3<x 2. 6.C.x 1<x 2<x 3<x 4,x 1<x 3<x 2<x 4,x 1<x 3<x 4<x 2, x 3<x 4<x 1<x 2,x 3<x 1<x 4<x 2,x3<x 1<x 2<x 4.上述6种情况中,第3、6种情况不可能出现(否则,两个函数的对称轴相同,故a=-4.从而,x 1=x 3,x 2=x 4,这与题意不符).在其他4种情况中,都有|x 2-x 1|=|x 4-x 3|. 因此,有16-4a=a 2+16.解得a=0或-4(舍去).经检验a=0满足题意. 二、1.2或5.如图,作BK ∥AF 交ED 于点K,则 △KEB ≌△GEA.故GH/AG=GH/BK=HD/BD=FC/BC=AD/BC=1/m. 于是,有S △ABD =11+m S 四边形ABCD =180/(m+1),S △AHD =m1S △ABD =1)m(m 180+,S △GHD =11+m S △AHD =21)m(m 180+易知21)m(m 180+为整数,所以,(m+1)2|180.又因180=22×32×5,所以m+1=2,3或6. 经验证,m+1=3或6. 2.21 k(k 2+1).把表1分成下面的两个数表:容易看出,表1中每个数等于分成的表2和表3中处于同样位置的两数之和.因而,所选的k 个数由于既不同行又不同列,其和恰为 S=(1+2+…+k)+[0+k+…+(k -1)k]= 21k(k+1)+21k 2(k-1)=21k(k 2+1).3.2-2ππ+.不妨设圆心落在如图7(a)的Z 中.当弦AB 向上平移时,图7(b)中的阴影部分面积大于它左边无阴影部分的面积,所以,SX+SZ 增加,而SY+SW 在减少(注意X 、Y 、Z 、W 的面积之和是定值πr 2).因而,比值WY Z X S S S S ++增加.于是,当点A 与点C 重合时,它才有可能取到最大值.在图7(c)中,Rt △ABD 的斜边BD 是直径,则△ABD 在OA 为高时面积最大,此时,S Z 最大,S X +S Z 也最大,其值为21 πr 2+r 2.而S Y +S W 最小,其值为21 πr 2-r 2.所以,S X +S Z S Y +S W 的最大值是4.21.考虑超过20那一次的前一次掷骰子结束后,得到的数值是x.若x=15,则只能掷6得到21; 若x=16,则只能掷5或6得到21或22,每个数字出现的可能都是1/2;若x=17,则只能掷4、5或6得到21,22或23,每个数字出现的可能都是1/3; 若x=18,则只能掷3,4,5或6得到21,22,23或24,每个数字出现的可能都是1/4; 若x=19,则只能掷2,3,4,5或6得到21,22,23,24或25,每个数字出现的可能都是1/5; 若x=20,则掷1,2,3,4,5或6得到21,22,23,24,25或26,每个数字出现的可能都是1/6. 所以,出现21的可能性大于出现其他数字的可能性.故21是最有可能掷得数字的总和. 第二试一、(1)由二次函数过点(1,1)得m=n 2/2. 注意到m-(n+4)= n 2/2-(n+4) =21 (n 2-2n-8)=21 (n-4)(n+2),所以,P= n 2/2, n≤-2或n≥4; P=n+4, -2<n<4.再利用函数图像可知,当n=-2时,Pmin=2.(2)图像与坐标轴有三个不同的交点,可设交点坐标为A(x 1,0)、B(x 2,0)、C(0,-n 2). 又x 1x 2=-n 2,若n=0,则与三个交点不符,故x 1x 2=-n 2<0.所以,x 1、x 2分在原点左右两侧. 又|x 1x 2|=n 2×1,所以,存在点P 0(0,1)使得|OA|·|OB|=|OP 0|·|OC|. 故A 、B 、C 、P0四点共圆,即这些圆必过定点P 0(0,1).二、如图,联结BC 、BA 、BD.所以,∠ABC=∠PAC=∠E.则△ABC ∽△AEB.从而,BE/BC=AB/AC,即BE=AB·BC/AC.① 又∠ABF=∠PAB=∠ADB, 所以,△ABF ∽△ADB.从而,BF/BD=AB/AD,即BF=AB·BD/AD.②另一方面,又因△PBC ∽△PDB,△PCA ∽△PAD,所以,BC/BD=PC/PB,AC/AD=PC/PA. 而PA=PB,所以,BC/BD=AC/AD.于是,BC/AC=BD/AD.③ 由式①、②、③即知BE=BF.三、(1)n=7时,{1,2,3,5,8,13,21}不满足要求,故n=7不是好数. (2)只须证明:对任意的8个整数1≤a 1<a 2<…<a 8≤21,其中总有4个不同的数a i<a j<a k<a m满足a i+am=aj+ak,即a j-a i=a m-a k(1≤i<j<k<m≤8).首先,8个正整数可产生8×72=28个差a j-a(1≤i<j≤8),由于这8个数均为1至21之间的整数,因此,1≤a j-a i≤20(1≤i<j≤8),最多只有20个不同的差值.故由抽屉原理知,其中至少有8对差相等.(i)若这8对相等的差中,存在1对其中的4个数互不相同,即aj-a i=am-ak(1≤i<j<k<m≤8).此时原题成立.(ii)若这8对相等的差中,每一对的4个数中至少有2个数相同,则这4个数中恰有2个数相同(因为a j-a i=a m-a k中至多有a j=a k或a i=a m之一成立).于是,每对这样的差对应一个三元数组(a i,a j,a k),且满足2aj=a i+ak(1≤i<j(1≤i<j≤8),由于这8个数均为1至21之间的整数,因此,1≤aj-a i≤20(1≤i<j≤8),最多只有20个不同的差值.故由抽屉原理知,其中至少有8对差相等.(i)若这8对相等的差中,存在1对其中的4个数互不相同,即aj-a i=am-ak(1≤i<j<k<m≤8).此时原题成立.(ii)若这8对相等的差中,每一对的4个数中至少有2个数相同,则这4个数中恰有2个数相同(因为aj-a i=am-ak中至多有aj=ak或a i=am之一成立).于是,每对这样的差对应一个三元数组(a i,a j,a k),且满足2a j=a i+ak(1≤i<j<k≤8).不妨设这8对差对应的8个不同的三元数组为(a i1,a j1,a k1),(a i2,a j2,a k2),…,(a i8,a j8,a k8),其中,2a jl=a il+a kl(l=1,2,…,8).由于a1与a8不能作为三元数组的中间项,故中间项至多有6种不同的取法.再由抽屉原理,知上述8个不同的三元数组中必有2个三元数组的中间项相等,不妨设为a j1=a j2.则a i1+a k1=2a j1=2a j2=a i2+a k2,其中,a i1、a k1、a i2、a k2两两不同(否则它们为同一个三元数组,矛盾).综合(i)、(ii)知,n=8是好数.。

初一数学奥林匹克竞赛题(含标准答案)

初一数学奥林匹克竞赛题（含答案）初一奥数题一甲多开支100元，三年后负债600元．求每人每年收入多少？S的末四位数字的和是多少？4．一个人以3千米/小时的速度上坡，以6千米/小时的速度下坡，行程12千米共用了3小时20分钟，试求上坡与下坡的路程．5．求和：6．证明：质数p除以30所得的余数一定不是合数．8．若两个整数x，y使x2+xy+y2能被9整除，证明：x和y能被3整除．9．如图1－95所示．在四边形ABCD中，对角线AC，BD的中点为M，N，MN的延长线与AB边交于P点．求证：△PCD的面积等于四边形ABCD的面积的一半．解答：所以x=5000(元)．所以S的末四位数字的和为1＋9＋9＋5=24．3．因为a-b≥0，即a≥b．即当b≥a＞0或b≤a＜0时，等式成立．4．设上坡路程为x千米，下坡路程为y千米．依题意则有由②有2x+y=20，③由①有y=12-x．将之代入③得 2x+12-x=20．所以x=8(千米)，于是y=4(千米)．5．第n项为所以6．设p=30q＋r，0≤r＜30．因为p为质数，故r≠0，即0＜r＜30．假设r 为合数，由于r＜30，所以r的最小质约数只可能为2，3，5．再由p=30q＋r 知，当r的最小质约数为2，3，5时，p不是质数，矛盾．所以，r一定不是合数．7．设由①式得(2p-1)(2q-1)=mpq，即(4-m)pq+1=2(p+q)．可知m＜4．由①，m＞0，且为整数，所以m=1，2，3．下面分别研究p，q．(1)若m=1时，有解得p=1，q=1，与已知不符，舍去．(2)若m=2时，有因为2p-1=2q或2q-1=2p都是不可能的，故m=2时无解．(3)若m=3时，有解之得故 p＋q=8．8．因为x2+xy+y2=(x-y)2+3xy．由题设，9｜(x2+xy＋y2)，所以3｜(x2＋xy ＋y2)，从而3｜(x-y)2．因为3是质数，故3｜(x-y)．进而9｜(x-y)2．由上式又可知，9｜3xy，故3｜xy．所以3｜x或3｜y．若3｜x，结合3(x-y)，便得3｜y；若3｜y，同理可得，3｜x．9．连结AN，CN，如图1－103所示．因为N是BD的中点，所以上述两式相加另一方面，S△PCD=S△CND＋S△CNP＋S△DNP．因此只需证明S△AND＝S△CNP＋S△DNP．由于M，N分别为AC，BD的中点，所以S△CNP=S△CPM-S△CMN=S△APM-S△AMN=S△ANP．又S△DNP=S△BNP，所以S△CNP＋S△DNP=S△ANP+S△BNP=S△ANB=S△AND．初一奥数题二1．已知3x2-x=1，求6x3+7x2-5x＋2000的值．2．某商店出售的一种商品，每天卖出100件，每件可获利4元，现在他们采用提高售价、减少进货量的办法增加利润，根据经验，这种商品每涨价1元，每天就少卖出10件．试问将每件商品提价多少元，才能获得最大利润？最大利润是多少元？3．如图1－96所示．已知CB⊥AB，CE平分∠BCD，DE平分∠CDA，∠1＋∠2=90°．求证：DA⊥AB．4．已知方程组的解应为一个学生解题时把c抄错了，因此得到的解为求a2＋b2＋c2的值．5．求方程｜xy｜-｜2x｜+｜y｜=4的整数解．6．王平买了年利率7.11％的三年期和年利率为7.86％的五年期国库券共35000元，若三年期国库券到期后，把本息再连续存两个一年期的定期储蓄，五年后与五年期国库券的本息总和为47761元，问王平买三年期与五年期国库券各多少？(一年期定期储蓄年利率为5.22％)7．对k，m的哪些值，方程组至少有一组解？8．求不定方程3x＋4y＋13z=57的整数解．9．小王用5元钱买40个水果招待五位朋友．水果有苹果、梨子和杏子三种，每个的价格分别为20分、8分、3分．小王希望他和五位朋友都能分到苹果，并且各人得到的苹果数目互不相同，试问他能否实现自己的愿望？解答：1．原式=2x(3x2-x)+3(3x2-x)-2x+2000 =2x×1＋3×1-2x+2000=2003．2．原来每天可获利4×100元，若每件提价x元，则每件商品获利(4＋x)元，但每天卖出为(100-10x)件．如果设每天获利为y元，则y ＝(4＋x)(100-10x)=400＋100x-40x-10x2=-10(x2-6x＋9)＋90＋400=-10(x-3)2＋490．所以当x=3时，y最大=490元，即每件提价3元，每天获利最大，为490元．3．因为CE平分∠BCD，DE平分∠ADC及∠1＋∠2=90°(图1－104)，所以∠ADC＋∠BCD=180°，所以AD∥BC．①又因为 AB⊥BC，②由①，②AB⊥AD．4．依题意有所以a2+b2+c2=34．5．｜x｜｜y｜-2｜x｜+｜y｜=4，即｜x｜(｜y｜-2)+(｜y｜-2)=2，所以(｜x｜+1)(｜y｜-2)=2．因为｜x｜＋1＞0，且x，y都是整数，所以所以有6．设王平买三年期和五年期国库券分别为x元和y元，则因为y=35000-x，所以 x(1＋0.0711×3)(1＋0.0522)2+(35000-x)(1+0.0786×5)=47761，所以 1.3433x＋48755-1.393x=47761，所以 0.0497x=994，所以 x=20000(元)，y=35000-20000=15000(元)．7．因为 (k－1)x＝m-4，①m为一切实数时，方程组有唯一解．当k=1，m=4时，①的解为一切实数，所以方程组有无穷多组解．当k=1，m≠4时，①无解．所以，k≠1，m为任何实数，或k=1，m=4时，方程组至少有一组解．8．由题设方程得z＝3m-y．x=19-y-4(3m-y)-m=19+3y-13m．原方程的通解为其中n，m取任意整数值．9．设苹果、梨子、杏子分别买了x，y，z个，则消去y，得12x-5z=180．它的解是x=90-5t，z=180-12t．代入原方程，得y=-230＋17t．故x=90-5t，y=-230+17t，z=180-12t．x=20，y=8，z=12．因此，小王的愿望不能实现，因为按他的要求，苹果至少要有1＋2＋3+4＋5＋6=21＞20个．初一奥数题三1．解关于x的方程2．解方程其中a＋b＋c≠0．3．求(8x3-6x2+4x-7)3(2x5-3)2的展开式中各项系数之和．4．液态农药一桶，倒出8升后用水灌满，再倒出混合溶液4升，再用水灌满，这时农药的浓度为72％，求桶的容量．5．满足[-1.77x]=-2x的自然数x共有几个？这里[x]表示不超过x的最大整数，例如[-5.6]=-6，[3]=3．6．设P是△ABC一点．求：P到△ABC三顶点的距离和与三角形周长之比的取值围．7．甲乙两人同时从东西两站相向步行，相会时，甲比乙多行24千米，甲经过9小时到东站，乙经过16小时到西站，求两站距离．8．黑板上写着三个数，任意擦去其中一个，将它改写成其他两数的和减1，这样继续下去，最后得到19，1997，1999，问原来的三个数能否是2，2，2？9．设有n个实数x1，x2，…，x n，其中每一个不是+1就是-1，且求证：n是4的倍数．解答：1．化简得6(a-1)x=3-6b+4ab，当a≠1时，2．将原方程变形为由此可解得x=a＋b+c．3．当x=1时，(8-6+4-7)3(2-1)2=1．即所求展开式中各项系数之和为1．依题意得去分母、化简得7x2-300x+800=0，即7x-20)(x-40)=0，5．若n为整数，有[n＋x]=n＋[x]，所以[-1.77x]=[-2x＋0.23x]=-2x+[0.23x]．由已知[-1.77x]=-2x，所以-2x=-2x+[0.23x]，所以 [0.23x]=0．又因为x为自然数，所以0≤0.23x＜1，经试验，可知x可取1，2，3，4，共4个．6．如图1－105所示．在△PBC中有BC＜PB＋PC，①延长BP交AC于D．易证PB＋PC＜AB＋AC．②由①，②BC＜PB＋PC＜AB+AC，③同理 AC＜PA＋PC＜AC＋BC，④AB＜PA＋PB＜AC＋AB．⑤③＋④＋⑤得AB＋BC＋CA＜2(PA＋PB＋PC)＜2(AB＋BC＋CA)．所以7．设甲步行速度为x千米/小时，乙步行速度为y千米/小时，则所求距离为(9x+16y)千米．依题意得由①得16y2=9x2，③由②得16y=24＋9x，将之代入③得即 (24＋9x)2=(12x)2．解之得于是所以两站距离为9×8＋16×6=168(千米)．8．答案是否定的．对于2，2，2，首先变为2，2，3，其中两个偶数，一个奇数．以后无论改变多少次，总是两个偶数，一个奇数(数值可以改变，但奇偶性不变)，所以，不可能变为19，1997，1999这三个奇数．。

初中数学奥林匹克竞赛题及答案

初中数学奥林匹克竞赛题及答案初中数学奥林匹克竞赛题及答案奥数题一一、选择题（每题1分，共10分）1．如果a，b都代表有理数，并且a＋b=0，那么 ( )A．a，b都是0B．a，b之一是0C．a，b互为相反数D．a，b互为倒数答案：C解析：互为相反数。

b，由此a、－2，满足2+(－2)=0令a=2，b=2．下面的说法中正确的是 ( )A．单项式与单项式的和是单项式B．单项式与单项式的和是多项式C．多项式与多项式的和是多项式D．整式与整式的和是整式答案：D33222解析：3是多项式，排除A+x之和为xx，x。

两个单项都是单项式．两个单项式x，x22223之和为2x3x是个单－之和为3xx是单项式，排除B。

两个多项式x3+x2式x2x，与。

，因此选D项式，排除C3．下面说法中不正确的是 ( )A. 有最小的自然数B．没有最小的正有理数C．没有最大的负整数D．没有最大的非负数答案：C解析：错误。

C最大的负整数是-1，故4．如果a，b代表有理数，并且a＋b的值大于a－b的值，那么 ( )A．a，b同号B．a，b异号C．a＞0D．b＞0答案：D5．大于－π并且不是自然数的整数有 ( )A．2个B．3个C．4个D．无数个答案：C解析：在数轴上容易看出：在－π右边0的左边（包括0在内）的整数只有－3，－2，13/ 1初中数学奥林匹克竞赛题及答案。

个．选C0共4－1，6．有四种说法：甲．正数的平方不一定大于它本身；乙．正数的立方不一定大于它本身；丙．负数的平方不一定大于它本身；丁．负数的立方不一定大于它本身。

这四种说法中，不正确的说法的个数是 ( )A．0个B．1个C．2个D．3个答案：B解析：负数的平方是正数，所以一定大于它本身，故C错误。

7．a代表有理数，那么，a和－a的大小关系是 ( )A．a大于－aB．a小于－aC．a大于－a或a小于－aD．a不一定大于－a答案：D解析：。

，应选D、B、C，马上可以排除令a=0A8．在解方程的过程中，为了使得到的方程和原方程同解，可以在原方程的两边( )A．乘以同一个数B．乘以同一个整式C．加上同一个代数式D．都加上1答案：D解析：对方程同解变形，要求方程两边同乘不等于0的数，所以排除A。

数学奥林匹克初中训练题

数学奥林匹克初中训练题(3)第一试一、选择题(每小题7分,共42分)1. 给出如下4个命题:①若m 、n 为已知数,单项式2x 5y n- 2与(m+5) x | m- n+4|y 的和为单项式,则m+ n 的值为- 3或7. ②若M 、N 都是只含有一个字母x 的多项式,M 、N 的次数分别为6次、3次,则M-N 2是次数不超过6的多项式.③若m 为自然数,则关于x 的方程 (- x) m+1 (- x) 2m- 2 (- x) 3m+ 1=x x+1x6m- 1的解是x= -1,0 ,1. ④已知AM 、DN 分别是△AB C 、△DEF 的高,AB=DE,AC=DF,AM=DN. 若∠BAC=40°, ∠AB C= 35°,则∠DFE= 105°，其中,错误命题的个数是( )个.(A)0 (B)1或2 (C)3 (D)42. 如图1,AB CD 是边长为1的正方形,图1对角线AC所在的直线上有两点M 、N,使∠MBN= 135°. 则MN的最小值是( ).3. 已知实数a 、b 、c 满足()211104b c b c a a ⎧⎫⎧⎫+++-=⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭.则代数式ab+ac 的值是( ). (A) – 2 (B) - 1 (C)1 (D)23. 如图4,四边形AB CD 的对角线AC 、BD 相交于点O, E 、F 、G 分别是AB 、OC 、OD 的中点, OA=AD, OB=B C, CD= 3AB. 则∠FEG 的度数是.4. 如图5所示的四边形AB CD 是一片沙漠地的示意图,点A 、B 在x 轴上, E(2,6) , F(3,4). 折线OFE 是流过这片沙漠的水渠,水渠东边的沙漠由甲承包绿化,水渠西边的沙漠由乙承包绿化.现甲乙两人协商:在绿化规划中需将流经沙漠中的水渠取直,并且要保持甲乙两人所承包的沙漠地的面积不变.若准备在AB 上找一点P,使得水渠取直为EP,则点P 的坐标为________.。

初中数学奥林匹克竞赛题及答案

初中数学奥林匹克竞赛题及答案Company Document number：WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998初中数学奥林匹克竞赛题及答案奥数题一一、选择题（每题1分，共10分）1．如果a，b都代表有理数，并且a＋b=0，那么 ( )A．a，b都是0B．a，b之一是0C．a，b互为相反数D．a，b互为倒数答案：C解析：令a=2，b=－2，满足2+(－2)=0，由此a、b互为相反数。

2．下面的说法中正确的是 ( )A．单项式与单项式的和是单项式B．单项式与单项式的和是多项式C．多项式与多项式的和是多项式D．整式与整式的和是整式答案：D解析：x2，x3都是单项式．两个单项式x3，x2之和为x3+x2是多项式，排除A。

两个单项式x2，2x2之和为3x2是单项式，排除B。

两个多项式x3+x2与x3－x2之和为2x3是个单项式，排除C，因此选D。

3．下面说法中不正确的是 ( )A. 有最小的自然数B．没有最小的正有理数C．没有最大的负整数D．没有最大的非负数答案：C解析：最大的负整数是-1，故C错误。

4．如果a，b代表有理数，并且a＋b的值大于a－b的值，那么 ( ) A．a，b同号B．a，b异号C．a＞0D．b＞0答案：D5．大于－π并且不是自然数的整数有 ( )A．2个B．3个C．4个D．无数个答案：C解析：在数轴上容易看出：在－π右边0的左边（包括0在内）的整数只有－3，－2，－1，0共4个．选C。

这四种说法中，不正确的说法的个数是 ( )A．0个B．1个C．2个D．3个答案：B解析：负数的平方是正数，所以一定大于它本身，故C错误。

7．a代表有理数，那么，a和－a的大小关系是 ( )A．a大于－aB．a小于－aC．a大于－a或a小于－aD．a不一定大于－a答案：D解析：令a=0，马上可以排除A、B、C，应选D。

数学奥林匹克初中训练题3

数学奥林匹克初中训练题3第一试一、选择题(每小题7分，共42分)1.给出如下4个命题:①若m 、n 为已知数，单项式2x 5y n-2与(m+5)x |m-n+4|y 的和为单项式，则m+n 的值为-3或7.②若M 、N 都是只含有一个字母x 的多项式，M 、N 的次数分别为6次、3次，则M-N 2是次数不超过6的多项式.③若m 为自然数，则关于x 的方程(-x)m+1(-x)2m-2(-x)3m+1=x x+1x 6m-1的解是x=-1，0，1.④已知AM 、DN 分别是△ABC 、△DEF 的高，AB=DE ，AC=DF ，AM=DN.若∠BAC=40°，∠ABC=35°，则∠DFE=105°.其中，错误命题的个数是( )个.(A)0 (B)1或2 (C)3 (D)42.如图，ABCD 是边长为1的正方形，对角线AC 所在的直线上有两点M 、N ，使∠MBN=135°.则MN 的最小值是( ).(A)1+2 (B)2+2 (C)3+2 (D)223.已知实数a 、b 、c 满足0c)-(b 41c)a 1b)(a 1(2=+++.则代数式ab+ac 的值是( ). (A)-2 (B)-1 (C)1 (D)2 4.如图，在△ABC 中，∠BAC=60°，BC=18，D 是AB 上一点，AC=BD ，E 是CD 的中点.则AE 的长是( ).(A)12 (B)9 (C)9 3 (D)以上都不对5.已知实数a 、b 、c 、d 满足2 005a 3=2 006b 3=2 007c 3=2 008d 3，3333322222008200720062005008d 2007c 2006b 2005a 2+++=+++则a -1+b -1+c -1+d -1的值为( ).(A)1 (B)0 (C)-1 (D)±16.已知在平面直角坐标系xOy 中，直线y=2kx+3-4k 与x 轴正半轴、y 轴正半轴分别交于点A 、B ，P 是线段AB 上一点，PM ⊥x 轴于点M ，PN ⊥y 轴于点N.则矩形OMPN 面积的最大值至少为( ).(A)3 (B)4 (C)6 (D)8二、填空题(每小题7分，共28分)1.如图，AD是△ABC的角平分线，∠C=2∠B，AB=a2-4b+4，AC=8c-27-2b2，CD=9+4a-c2.则BC= .2.已知实数a、b、c满足a-b+c=7，①ab+bc+b+c2+16=0.②则(a-1-b-1)abc(a+b+c)a+b+c的值为.3.如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E、F、G分别是AB、OC、OD的中点，OA=AD，OB=BC，CD=3AB.则∠FEG的度数是.4.如图所示的四边形ABCD是一片沙漠地的示意图，点A、B在x轴上，E(2，6)，F(3，4).折线OFE是流过这片沙漠的水渠，水渠东边的沙漠由甲承包绿化，水渠西边的沙漠由乙承包绿化.现甲乙两人协商:在绿化规划中需将流经沙漠中的水渠取直，并且要保持甲乙两人所承包的沙漠地的面积不变.若准备在AB上找一点P，使得水渠取直为EP，则点P的坐标为.第二试一、(20分)现有三个圆柱型的容器M、N、P，其轴截面如图(a)、(b)、(c)所示，内底面积分别为S1cm2、S2cm2、S3cm2，内高分别为h1cm、h2cm、h3cm，容积分别为V1cm3、V2cm3、V3cm3(V1>V2>V3).这三个圆柱型容器M、N、P可以拼成六个不同形状的容器(将三个容器从上至下依次拼接为PNM、NPM、PMN、MPN、NMP、MNP)，其容积为M、N、P的容积之和.现向这6个容器均匀注水，注水速度相同，直至注满为止.其中有三个容器的水深h(cm)与注水时间t(s)的变化规律如图7、8、9所示.(1)图7、8、9所反映的规律分别是这6个容器中的哪一个?(2)求h 1、h 2、h 3的值及S 1∶S 2∶S 3的比值;(3)若V 3= 4.1254m m 92++cm 3，注水速度为34562+++n n n cm 3／s ，其中m 、n 为常数，求M 、P 、N 这三个容器的容积之和.二、(25分)如图10，两条平行线l 1、l 2之间的距离为6，l 1、l 2间有一半径为1的定圆⊙O 切直线l 2于点A ，P 是直线l 1上一动点.过P 作⊙O 的两条切线PB 、PC ，切点分别为B 、C ，分别交直线l 2于点M 、N.试问AM·AN 是一个定值吗?若是，求出该定值;若不是，说明理由.三、(25分)已知k 为常数，关于x 的一元二次方程(k 2-2k)x 2+(4-6k)x+8=0的解都是整数.求k 的值.数学奥林匹克初中训练题3参考答案第一试一、1.D.(1)当m=-5，n>2时，单项式2x 5y n-2与0的和2x 5y n-2还是单项式.此时，m+n 可为大于-3的所有整数，故命题①错.(2)当M=x 6+1，N=x 3+1时，M-N 2=-2x 3.而-2x 3是三次单项式，故命题②错.(3)当m=0时，x=0使得(-x)2m-2和x 6m-1无意义，此时，x=0不是原方程的解，故命题③错.(4)当DN 在△DEF 的内部时(如图11).易证Rt △AMC ≌Rt △DNF.所以，∠DFE=∠ACM=∠BAC+∠ABC=75°.故命题④错.2.B.设AM=x.易证△ABM ∽△CNB.所以，AB/CN=AM/CB ，即1/CN=x/1，亦即CN=1/x.故MN=AM+AC+CN=22222)1(2+≥+-x x3.A.题设等式化为4(ab+1)(ac+1)+(ab-ac)2=0，即 (ab+ac)2+4(ab+ac)+4=0，亦即[(ab+ac)+2]2=0.故ab+ac=-2.4.B.如图，延长AC 至点F ，使CF=AD.联结BF ，过点C 作CG ∥AB 交BF 于点G ，联结DG 、AG.因为AC=DB ，CF=AD ，所以，AC+CF=DB+AD ，即AF=AB又∠BAC=60°，所以，△ABF 为等边三角形.故AF=BF ，∠F=60°.因为CG ∥AB ，所以，△CFG 为等边三角形.故CF=FG=CG.易知△AGF ≌△BCF ，有AG=BC=18.又CG 平行且相等 AD ，故四边形ACGD 是平行四边形.因此，CD 与AG 互相平分，即E 为AG 的中点.故AE=21 AG=21×18=9.5.D.设x=1/a+1/b+1/c+1/d ，2 005a 3=2 006b 3=2 007c 3=2 008d 3=k 3.显然，a 、b 、c 、d 、k 同号且不为零，则由已知的第二个等式得于是，有3x =x.所以，x=0，x=-1，x=1.因a 、b 、c 、d 同号，则x≠0.故x=a -1+b -1+c -1+d -1=±1.6.C.设点P 的坐标为(x 0，y0)，矩形OMPN 的面积为S.则x 0>0，y0>0，S=x 0y0.因为点P(x 0，y0)在y=2kx+3-4k 上，所以，y 0=2kx 0+3-4k.故S=x 0(2kx 0+3-4k)=2kx 20+(3-4k)x 0.因此，S 最大=2k44k)-(3-02k 42⨯⨯⨯，即16k 2-(24-8S 最大)k+9=0. 因为k 为实数，则有Δ=[-(24-8S 最大)]2-4×16×9≥0.故|24-8S 最大|≥24.解得S 最大≥6或S 最大≤0(舍去).当S 最大=6时，k=-3/4.二、1.7/3.延长AC 至点E ，使CE=CD ，联结DE.则有∠E=∠CDE=21∠ACD=∠B. 因为AD 是∠BAC 的平分线，则∠BAD=∠EAD ，AB/BD=AC/CD.所以，△ABD ≌△AED.故AB=AE=AC+CE=AC+CD.因为AB=a 2-4b+4，AC=8c-27-2b 2，CD=9+4a-c 2，则a 2-4b+4=(8c-27-2b 2)+(9+4a-c 2)，即 (a-2)2+2(b-1)2+(c-4)2=0.所以，a=2，b=1，c=4.从而，AB=4，AC=3，CD=1.易知BD=4/3，因此，BC=BD+CD=7/3.2.-1.由式①得(-b)+(a+c+1)=8.③由式②得(a+c+1)(-b)=c 2+16.④所以，a+c+1、-b 是方程x 2-8x+c 2+16=0的两个根.于是，有Δ=(-8)2-4(c 2+16)≥0.从而，c 2≤0.易知c=0.进而x 1=x 2=4，即a+c+1=4，-b=4，亦即a=3，b=-4.故(a -1-b -1)abc(a+b+c)a+b+c=(3-1+4-1)0[3+(-4)+0]3-4+0=-1.3.120°.如图，联结AG 、BF 、FG ，过点E 作EP ⊥FG 于点P.设AB=2a ，则CD= 3AB=2 3a.因为OA=AD ，G 是OD 的中点，于是，AG ⊥OD.所以，∠AGB=90°.同理，∠AFB=90°.因此，A 、B 、F 、G 四点共圆，其直径为AB 、圆心为E.又F 、G 分别是OC 、OD 的中点，所以，FG=21CD= 3a=2asin 21∠FEG.故21∠FEG=60°，∠FEG=120°.4.(5/3，0) .如图，联结OE ，过点F 作FP ∥OE 交AB 于点P ，联结EP 交OF于点G .因OE ∥PF ，则S △OEF =S △OEP .故S △OEF -S △OEG =S △OEP -S △OEG ，即 S △EFG =S △OGP .所以，EP 为水渠取直路线，点P 即为所求.易求直线OE 的解析式为y=3x.因为OE ∥PF ，于是，直线PF 的解析式可设为y=3x+b.又F(3，4)，则有4=3×3+b，即b=-5.所以，直线PF的解析式为y=3x-5.当y=0时，3x-5=0，x=5/3.因此，点P的坐标为(5/3，0) .第二试一、(1)从图7知注满M、N、P三个容器共需60 s，从图8知注满M、N、P三个容器中的两个容器需要54 s，于是，注满图8所示的容器的最上面一个容器需要60-54=6(s).同理，注满图9所示的容器的最上面一个容器需要60-24=36(s).由此可知，注满第三个容器需要60-6-36=18(s).因为注水速度一定，且V1>V2>V3，所以，注满M、N、P三个容器分别需要36 s、18 s、6 s.因此，图7、8、9所反映的规律分别是NPM、PMN、MNP三种形式的容器.(2)设注水速度为Vcm3／s.由图7、8、9及第(1)问的结果知h1+h3=24，h2+h1=30，h2+h3=18;V1+V2+V3=60V，V2+V1=54V，V3+V2=24V.解得h1=18，h2=12，h3=6;V1=36V，V2=18V，V3=6V.所以，S1=V1/h1=36V/18=2V，S2=V2h2=18V/12=32V，S3=V3h3=6V/6=V.故S1∶S2∶S3=2V∶32V∶V=4∶3∶2.(3)因为m2+4m+4.125=(m+2)2+0.125，所以，当m= -2时，m2+4m+4.125的最小值为0.125.因此，V3≤72.因注水速度V=3n 456n n2+++，即n2+(6-V)n+(45-3V)=0，故Δ=(6-V)2-4×1×(45-3V)≥0.从而，V≥12或V≤-12(舍去).当n=3时，V的最小值为12.由(2)知，V3=6V.又V3≤72，6V≥72，则V3=6V=72.此时，m=-2，n=3.于是，V=12.故V1+V2+V3=60V=60×12=720(cm3).因此，所求的容积之和为720 cm3.二、如图，过点P作PD⊥l2于点D，联结OA、OB、OC、OM、ON、OP.则PD=6，OA=OB=OC=1.设AM=m ，AN=n ，PC=p ，DN=x ，则DM=m+n-x.由题意知，⊙O 是△PMN 的内切圆，所以，BM=AM=m ，CN=AN=n ，PB=PC=p; OA ⊥MN ，OB ⊥PM ，OC ⊥PN.又S △PMN =S △OMN +S △ONP +S △OPM =21MN·OA+21PN·OC+21PM·OB =21 (MN+PN+PM)=m+n+p ， S △PMN =21MN·PD=3(m+n)，则m+n+p=3(m+n).故p=2m+2n.①在Rt △PDN 和Rt △PDM 中，由勾股定理得PD 2+DN 2=PN 2，PD 2+MD 2=PM 2，即 62+x 2=(p+n)2， ②62+(m+n-x)2=(m+p)2. ③②-③得(m+n)(2x-m-n)=(n-m)(m+n+2p)=5(n-m)(m+n)，即 x=3n-2m.④把式④代入式②得36+(3n-2m)2=(2m+3n)2，即 36=24mn.从而，mn=1.5，即AM·AN=1.5.因此，AM·AN 为定值，且定值为1.5.三、当k=0时，原方程化为4x+8=0，解得x=-2.故当k=0时，原方程的解都是整数. 当k=2时，原方程化为-8x+8=0，解得x=1.故当k=2时，原方程的解都是整数. 当k≠0或2时，原方程化为(kx-2)[(k-2)x-4]=0.解得x 1=2/k ，x 2=2-k 4. 由x 1=2/k ，得k=2/x 1. 把k=2/x 1代入x 2=2-k 4中，得x 1x 2+2x 1-x 2=0.故(x1-1)(x2+2)=-2=1×(-2)=2×(-1).因为x1、x2为整数，所以，x1-1、x2+2也均为整数.于是，有x1-1=1，x2+2=-2 或x1-1=-2，x2+2=1或x1-1=2，x2+2=-1 或x1-1=-1，x2+2=2.分别解得x1=2，x2=-4或x1=-1，x2=-1或x1=3，x2=-3或x1=0，x2=0(舍去). 故k=1，-2，2/3.综上，k的值为-2，0，1，2或2/3.。

数学竞赛资料-数学奥林匹克初中训练题（含答案）

数学奥林匹克初中训练题第一试一、选择题(每小题7分，共42分) 1.设z y x ++=+++6323，且x 、y 、z 为有理数.则xyz =(). (A)3／4 (B)5／6 (C)7／12(D)13／18 2.设二次函数f (x )=ax 2+ax +1的图像开口向下，且满足f (f (1))=f (3).则2a 的值为( ). (A)－3 (B)－5 (C)－7 (D)－9 3.方程|xy |+|x +y |=1的整数解的组数为(). (A)2 (B)4 (C)6(D)8 **、b 是方程x2+(m －5)x+7=0的两个根.则(a2+ma+7)(b2+mb+7)=( ). (A)365 (B)245 (C)210(D)175 5.如图，Rt △ABC 的斜边BC =4，∠ABC =30°，以AB 、AC 为直径分别作圆.则这两圆的公共部分面积为( ) (A)2332+π (B) 33265-π (C) 365-π(D) 332-π 6.从1，2，…，13中取出k 个不同的数，使这k 个数中任两个数之差既不等于5，也不等于8.则k 的最大值为(). (A)5 (B)6 (C)7 (D)8 二、填空题(每小题7分，共28分)1.若整系数一元二次方程x 2+(a +3)x +2a +3=0有一正根x 1和一负根x 2，且|x 1|<|x 2|，则a = .2.当x =2329-时，代数式x 4+5x 3－3x 2－8x +9的值是的值是. 3.给定两组数，A 组为:1，2，…，100;B 组为:12，22，…，1002.对于A 组中的数x ，若有B组中的数y ，使x +y 也是B 组中的数，则称x 为“关联数”.那么，A 组中这样的关联数有组中这样的关联数有个.4.已知△ABC 的三边长分别为的三边长分别为AB =2576a 2+，BC =62514a a 2++，AC =62514a -a 2+，其中a >7.则△ABC 的面积为面积为 .第二试一、(20分)解方程:(12x +5)2(6x －1)(x +1)=255.二、(25分)如图，四边形ABCD 中，∠ACB =∠ADB =90°，自对角线AC 、BD 的交点N 作NM ⊥AB 于点M ，线段AC 、MD 交于点E ，BD 、MC 交于点F ，P 是线段EF 上的任意一点证明:点P 到线段CD 的距离等于点P 到线段MC 、MD 的距离之和.三、(25分)矩形玻璃台板碎裂成一些小玻璃片，矩形玻璃台板碎裂成一些小玻璃片，每块碎片都是凸多边形，每块碎片都是凸多边形，每块碎片都是凸多边形，将其重新粘合成原将其重新粘合成原矩形后，有交结点30个，其中20个点在原矩形的周界上(包括原矩形的四个顶点)，其余10个点在矩形内部.在矩形的内部有45条粘缝(两个结点之间的线段算是一条粘缝，如图所示).试求该矩形台板所碎裂成的各种类型(指三角形、四边形、五边形等)的块数. 说明:若凸多边形的周界上有n 个点，就将其看成n 边形,例如,图中的多边形ABCDE 要看成五边形.数学奥林匹克初中训练题1参考答案参考答案第一试第一试1.A .两边平方得3+2 +3+6=x +y +z +2xy +2yz +2xz .根据有理数x 、y 、z 的对称性,可考虑方程组可考虑方程组 x +y +z =3,2xy =2,2yz =3,2xz = 6.解得x =1,y =1／2,z =3／2.此时,xyz =3/4.**.注意到f(1)=2a+1,f(3)=12a+1,f(f(1))=a(2a+1)2+a(2a+1)+1.由f(f(1))=f(3),得(2a +1)2+(2a +1)=12.所以,2a +1=3或－4.因a <0,故2a =－5. **.因x 、y 为整数,则|xy |、|x +y |为非负整数.于是,|xy |、|x +y |中一个为0,一个为1.分情形考虑得6组解. **.由ab =7,a 2+ma +7=5a ,b 2+mb +7=5b ,所以,(a 2+ma +7)(b 2+mb +7)=25ab =175. **.记两圆公共部分的面积为S .如图,易知S =S 扇形EAD +S 扇形F AD －S 四边形AEDF =5π／6－3 . **.将这13个数按照相邻两数的差为5或8排列于一个圆周上(如图5).若取出的数多于6个,则必有2个数在圆周上相邻.另一方面,可以取出适合条件的6个数(任取圆周上不相邻的6个数即可),因此,k 的最大值为6. 二、1.－2.因方程的两根不等,故Δ>0,即(a +3)2>4(2a +3).解得a >3或a <－1.又由题设条件知,方程的两根和与积皆负,即－(a +3)<0,2a +3<0.从而,a >－3,a <－3/2,即－3<a <－3/2.而a 为整数,则a =－2. 2. 32297-. x =2329-是方程x 2+3x －5=0的根, **.记x +y =a 2,y =b 2,则1≤b <a ≤100.而x =a 2－b 2=(a +b )(a －b )≤100,因a +b 、a －b 同奇偶,故a +b ≥(a －b )+2.(1)若a －b =1,则a +b 为奇数,且3≤a +b ≤99.于是,a +b 可取3,5,7,…,99,共49个值,这时,相应的x 也可取这49个值.(2)若a －b =2,则a +b 为偶数,且4≤a +b ≤50.于是,a +b 可取4,6,8,…,50,共24个值,这时,相应的x 可取8,12,16,…,100这24个值. 其他情况下所得的x 值均属于以上情形.若a －b =奇数,则a +b =奇数.而x =a 2－b 2≥a +b ≥3,归入(1).若a －b =偶数,则a +b =偶数.而x =(a －b )(a +b )为4的倍数,且a －b ≥2,a +b ≥4,故x ≥8,归入(2). 因此,这种x 共有49+24=73个. **.注意到AB 2=(2a )2+482,BC 2=(a +7)2+242,AC 2=(a －7)2+242.如图,以AB 为斜边,向△ABC 一侧作直角△ABD ,使BD =2a ,AD =48,∠ADB =90°=90°. . 在BD 上取点E ,使BE =a +7,ED =a －7,又取AD 的中点F ,作矩形EDFC 1.因BC 21=BE 2+EC 21=(a +7)2+242=BC 2,AC 21=C 1F 2+AF 2=(a －7)2+242=AC 2,故点C 与点C 1重合.而S △ABD =48a ,S △CBD =24a ,S △ACD =24(a －7),则S △ABC =S △ABD －S △CBD －S △ACD =168. 第二试第二试一、将原方程变形得(12x +5)2(12x －2)(12x +12)=660.令12x +5=t ,则t 2(t －7)(t +7)=660,即t 4－49t 2=660.解得t 2=60或t 2=－11(舍去). 由此得t =±=±2 15,2 15,即有12x +5=±+5=±2215.因此,原方程的根为x 1,2=1215 25- .二、如图,易知A 、B 、C 、D 四点共圆,B 、C 、N 、M 四点共圆,因此,∠ACD =∠ABD =∠MCN .故AC 平分∠DCM .同理,BD 平分∠CDM .如图,设PH ⊥MC 于点H ,PG ⊥MD 于点G ,PT ⊥CD 于点T ;过点P 作XY ∥MC ,交MD 于点X ,交AC 于点Y ;过点Y 作YZ ∥CD ,交MD 于点Z ,交PT 于点R ;再作YH 1⊥MC 于点H 1,YT 1⊥CD 于点T 1由平行线及角平分线的性质得PH =YH 1=YT 1=RT 为证PT =PG +PH ,只须证PR =PG 由平行线的比例性质得EP ／EF =EY ／EC =EZ ／ED .因此,ZP ∥DF .由于△XYZ 与△MCD 的对应边分别平行,且DF 平分∠MDC ,故ZP 是∠XZY 的平分线.从而,PR =PG .因此,所证结论成立.三、设全部碎片中,共有三角形a 3个,四边形a 4个,……,k 边形a k 个(a 3,a 4,…,a k 为非负整数).记这些多边形的内角和为S 角,于是,S 角=a 3×π+a 4×2π+…+a k (k －2)π.另一方面,矩形内部有10个结点,对于每个点,围绕它的多边形顶角和为2π,10个内结点共获得10×10×22π弧度;矩形边界上(不含4个顶点)共有16个结点,在每个这种结点处,各多边形的顶角在此汇合成一个平角,16个这种结点共获得16π弧度;而原矩形的4个顶点处,共获得多边形碎片的2π弧度.因此,S 角=20π+16π+2π=38π. 于是,a 3+2a 4+…+(k －2)a k =38.①记这些多边形的边数和为S 边.由于每个n 边形有n 条边,则S 边=3a 3+4a 4+…+ka k .另一方面,在矩形内部的45条粘缝,每条都是两个多边形的公共边,故都计算了两次;矩形周界上的20条线段各被计算了一次,因此,S 边=2×=2×45+20=110. 45+20=110. 于是,3a 3+4a 4+…+ka k =110.② ②－①得2(a 3+a 4+…+a k )=72.故a 3+a 4+…+a k =36.③ ①－③得a 4+2a 5+3a 6+…+(k －3)a k =2.因所有a i ∈N ,故a 6=a 7=…=a k =0,a 4+2a 5=2.所以,或者a 4=2,a 5=0;或者a 4=0,a 5=1.综上,本题的解共有两种情况,即全部碎片共36块,其中,或含有34个三角形,2个四边形;或含有35个三角形，1个五边形.。

数学奥林匹克初中训练题(3)含答案-

数学奥林匹克初中训练题(3)第一试一. 选择题.(每小题7分,共42分)( )1.在凸2005边形中,不大于111O 的内角最多有:(A)3个 (B)4个 (C)5个 (D)6个( )2.已知,a b 均为实数,且关于x 的不等式(2)21a x a b +-+的解集为13x -,则a b +的值为: (A)3或7 (B)3或13 (C)7或8 (D)8或13( )3.满足12005y x x =+++的正整数对(,)x y :(A)只有一对 (B)恰有两对 (C)至少有三对 (D)不存在( )4.如图1,A,B,C 为⊙O 上的三个定点,AB=AC,P 为⊙O 上的动点.则当点P 从点B 按逆时针方向向点C 运动的过程中,PB PC PA+的值: (A)保持不变 (B)先减小后增大(C)先增大后减小 (D)无法判断( )5.设12,x x 是方程2200320050x x -+=的两个实根,实数 ,a b 满足:200320032004200412122003,2004,ax bx ax bx +=+=则2005200512ax bx +的值为:(A)2005 (B)2003 (C)2005- (D)2003-( )6.在同一平面上,正方形ABCD 的四个顶点到直线l 的距离只取四个值,其中一个值是另一个值的3倍,这样的直线l 可以有:(A)4条 (B)8条 (C)12条 (D)16条二. 填空题.(满分28分,每小题7分)7.抛物线2y ax =与直线1,2,1,2x x y y ====组成的正方形有公共点, 则a 的取值范围是 .8.如图2,D 为ΔABC 的边BC 上一点,P 为线段AD 上一点,若若ΔAPB 的面积为9,ΔCPD 的面积为16,则ΔABC 面积的最小值是9.在由ΔABC 内的2005个点P 1,P 2,……P 2005及ΔABC 的三个顶点A,B,C 共2008个点所构成的三角形中,最多有个三角形,它们恰好将ΔABC 完全分割成无任何重叠的三角形.10.如果点P 将⊙O 的弦AB 和CD 分成的四条线段PA,PB,PC,PD 的长度恰好是四个互不相同的正整数,则称点P 为⊙O 的”整分点”.现已知M 是半径为5的⊙O 上一点,则在半径OM 上有个不同的整分点.第二试三. 解答题.(共70分)11.(满分20分)求所有的实数m,使得关于x的方程112121mx x x-=++-有且只有整数根.12.(满分25分)如图3,O,H分别是锐角ΔABC的外心和垂心,D是BC边上的中点.由H向∠A及其外角平分线作垂线,垂足分别是E,F.求证:D,E,F三点共线.13.(满分25分)能否将1,2,3……,12这12个正整数分成两组,使得其中第一组有3个数,第二组有9个数,并且第一组中3个数的积恰好等于第二组中9个数之和?若能,请给出所有的分组方法;若不能,请说明理由。

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