二次函数的对称性的应用

2、已知抛物线 y= a(x-1)2+h(a≠0)与x 轴 交于A(x1,0)、B(3,0) 两点，则线段AB的长度 为（ D ） A． 1 B． 2 C． 3 D． 4
x1 3 1, x1 1 2
(三)求代数式的值(函数值) 1、抛物线 y=ax2+bx+c(a>0)的对称轴是 直线 x=1 ，且经过点 P（3，0），则a－b+c 的值为 ( A ) A. 0 B. －1 C. 1 D. 2
4、若已知抛物线与轴相交的其中一个交点是
A(x1,0)，且其对称轴是x=m，则另一个交点B的坐
标可以用x1、m表示出来（注：应由A、B两点处
在对称轴的左右情况而定，在应用时要画出图象）
x1 x 2 m 2
x2=2m-x1 x2=2m-x1
5、抛物线上两个不同点P1(x1,y1)，P2(x2,y2)， 若有y1=y2，则P1，P2两点是关于抛物线对称轴 对称的点，0与x1+x2关于 对称轴 对称 如图：
1 2 5 函数解析式为 y 2 x 2 x 。 2
2、已知二次函数的图像经过A（-1,0）、 B（3,0），且函数有最小值-8，试求 二次函数解析式. y=2x2-4x-6 对称轴x=1 设解析式为y=a(x+1)(x-3) 或y=a(x-1)2-8
(五)比较函数值的大小 1、小颖在二次函数y=2x2+4x+5的图象上， 依横坐标找到三点(-1，y1),(0.5，y2 ),(-3.5，y3) 则你认为y1，y2，y3的大小关系应为（ D ） A、y1>y2>y3 B、y2>y3>y1 C、y3>y1>y2 D、y3>y2>y1 离对称轴越近 函数值越小
1 2
m
∴y>m
a
1
2、老师出示了小黑板上的题后(如图)，小华说： 过点(3，0)；小彬 说：过点(4，3)；小明说：a=1； 小颖说：抛物线被x轴截 得的线段长为2．你认为 四人的说法中，正确的有( C ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 已知抛物线 y=ax2+bx+3 与x轴交于(1,0).试添加 一个条件，使它的对称 轴为直线x=2.
若将对称轴改为直线x=2，其余条件不变， 则 a+b+c= 0 . 2、若y=ax2+5 与x轴两交点分别为（x1 ,0), (x2 ,0) ，则当x=x1 +x2时，y值为____ 5
(四)求函数解析式 1、已知抛物线y=ax² +bx+c的对称轴为直线 x=2，且经过点（1，4）和点（5，0），则该 抛物线与x轴相交的另一个交点坐标为(-1,0) _____;
b 2a x 1 2a 2a
4、已知A(x1,2013),B(x2,2013)是二次函数 y=ax2+bx+5(a≠0)的图象上两点,则当x=x1+x2时, 二次函数的值是( D )
2 b2 2 b A. 5－ B、5+ 4a a x2 x2 A( ,0 ) 2 B(x1+x2,0)
二次函数图象对称性在解题中的应用
基础知识点回顾
二次函数y=ax² +bx+c(a,b,c为常数且a≠0)
b x ①此函数的对称轴为直线_________ （用a、b表示） 2a
②若函数图象与x轴相交于点A（1，0）、B( 5，0)， 则对称轴可表示为直线 x=3 ；
③若函数图象与x轴相交于点A（x1，0）， x1 x2 B（ x2，0），则对称轴可表示为直线 x 2 ； ④若点(x1, n),( x2 ,n)在抛物线上，则抛物线
b ( x1 x 2 ) 0 x 2a 2
巧用“对称性”
化繁为简
抛物线y=a(x+1)2+2的一部分如图所示,该抛物线 在y轴右侧部分与x轴交点的坐标是 ______ (1,0)
(一)求点的坐标(函数值)
1、如图,抛物线的对称轴是x=1,与x轴交于A、B两点，
B的坐标为（
( 2 3 ,0) 3 ，0），则点A的坐标是______
C. 2013
D. 5
点O与点B关于点A对称 b 即：0与x1+x2关于 对称。 2a
A B
5、若二次函数y=ax2+c ，当 x 取x1 ，x2 （x1 ≠x2 ）时，函数值相等，则当x取 x1 +x2 时，函数值为（ D ） A、a+c B、a－c C、－c D、 c
b 0与x1+x2关于 对称。 2a
几个重要结论：
1、抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线：
2、若抛物线与轴的两个交点是A(x1,0)，B(x2,0)， 则抛物线的对称轴是：
x1 x2 x 2
3、抛物线上两个不同点P1(x1,y1)，P2(x2,y2)， 若有y1=y2，则P1，P2两点是关于抛物线对称轴 对称的点，且这时抛物线的对称轴是直线： x1 x2 x 2
在抛物线的对称轴上是否存在点Q， 使得△ACQ周长最小？
在抛物线对称轴上是否存在一点P，使点P到 B、C两点距离之差最大？
4、求抛物线 y=2x2-4x-5绕着 顶点旋转180° 得到的抛物线
化为顶点式： y=2(x-1)2-7
顶点坐标（1，-7） 开口相反，顶点不变
y=2x2-4x-5绕着 顶点旋转180°得到的抛物线为
y=-2(x-1)2-7
“将军饮马”
问题
唐朝诗人李欣的诗《古从军行》开头两句说：
“ 白日登山望峰火，黄昏饮马傍交河．”
抛物线过(1,0),(3,0) ∴(1+3) ÷2=2.小华正确 a=1时， 0=1+b+3,b=-4 b 2 小明正确 2a 被x轴截 得的线段长为2 ∴抛物线过(1,0)、(-1,0) 或过(1,0)、(3,0) 小颖错误
抛物线过(0,3),(4,3) ∴(0+4) ÷2=2.小彬正确
巧用“对称性” 化线为点
在抛物线上，点D与点C关于对称轴 对称，点D的坐标是( 6-x, -(x-3)2+4）
x1 x 3 2
明察秋毫
x … -5 -3 -2
快速反应
0 3 5 6
如图是二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的 函数值y与自变量x的对应值.
ห้องสมุดไป่ตู้
...
y
…
27
7
0
-8
-5
7
16
…
找出抛物线上关于对称轴对称的两点 (-3,7)、(5,7) 。 写出抛物线的对称轴 x=1 。 抛物线与x轴的交点坐标是(-2,0)、(4,0) 。 (2-m, n) 。 抛物线上一点 (m,n) 关于对称轴对称的点为：
2、求抛物线y=2x2-4x-5关于y轴对称的抛物线。
在抛物线上任取一点(x,y)，
(x,y)关于y轴对称的点为(-x,y)
y=2x2-4x-5关于y轴对称的抛物线位 y=2× (-x)2-4×(-x)-5 即：y=2 x2+4x-5
3、求抛物线y=2x2-4x-5关于原点成 中心对称的抛物线。 在抛物线上任取一点(x,y)， (x,y)关于原点对称的点为(-x,-y) y=2x2-4x-5关于原点对称的抛物线为 -y=2× (-x)2-4×(-x)-5 即：y=-2 x2-4x+5
作点A关于河流的对称点A′ A′B交河流于点P 则AP+BP=A′B最短
巧用“对称性” 求距离和差最值
如图,抛物线y＝0.5x2＋bx－2与x轴交于A，B两 点，与y轴交于C点，顶点为D,且A(－1，0).若点 M（m,0)是x轴上的一个动点，当MC＋MD的值 最小时，求m的值．
若点N(n,0)是对称轴上的一个动点，当NA＋NC 的值最小时，求n的值.
2、设A(－2, y1)、B(1, y2)、C(2, y3)是抛物线 y= －(x+1)2+m上的三点，则 y1、y2、y3的大小 关系为( A ) A.y1>y2>y3 B. y1>y3 >y2 C. y3>y2>y1 D. y3>y1>y2
离对称轴越近 函数值越大
离对称轴越近 函数值越小
(六)判断命题的真伪 1、如图函数 y=x2－x+m(m为常数)的图象 如图，如果x= a 时，y＜0；那么x= a－1时， 函数值（ C ） A． y ＜ 0 B．0＜y＜m C． y ＞ m D．y=m ∴a-1<0
x1 x2 的对称轴可表示为_______ x 2
温故知新
探究总结
1、抛物线的顶点坐标为（0，4），与x轴的一个
交点坐标为M（－2，0），请写出抛物线与x轴的 另一个交点坐标N( 2,0 ) y=-x2+4
若抛物线上有一点A的坐标为( -1 ，3)，在抛物线 上与A关于对称轴对称的点B的坐标是( 1,3 ). 如果有一点C的横坐标为x，则C点坐标怎么表示？ 2+4 x,-x C（ ） . 在抛物线上与C点关于对称轴对称的点D的坐 标是D（ -x,-x2+x ）
在抛物线 y=ax2+bx+c上任取一点(x,y) 点（x,y)关于x轴的对称点为(x,-y)
∴抛物线 y=ax2+bx+c关于x轴对称的抛物线 的解析式为：-y=ax2+bx+c
∴ y=-ax2-bx-c ∴抛物线y=2x2-4x-5关于x轴对称的 抛物线解析式为：y=-2x2+4x+5
若原抛物线是顶点形式：选用方法一简便 若原抛物线是一般形式：选用方法二简便
6、抛物线y=ax² +bx+c经过点A(-2,7), B(6,7),C(3,-8),则该抛物线上纵坐标为-8 的另一点坐标是(1 ____ ，-8)