简谐振动

v A sin(t ) a 2 A cos( t )
x
A
= 2
O -A
ຫໍສະໝຸດ Baidu
t

相位差
x1 A1 cos(1t 1 ) x2 A2 cos( 2t 2 )
(2t 2 ) (1t 1 )
k1 k2 m2 O
振幅相同不同频率的简谐振动的合成
分振动 : 合振动 :
x1 A cos 1t x2 A cos 2t
x x1 x2 A cos 1t A cos 2t 2 1 2 1 2 A cos( ) t cos( )t 2 2
2 - 1 2 + 1 ，令
tan
A1 sin 1 A2 sin 2 A1 cos 1 A2 cos 2
结论：合振动 x 仍是简谐振动
2. 旋转矢量法 分振动

A2
x1 A1 cos( t 1 ) x2 A2 cos( t 2 )
合振动
2
O

x2
A 2 1 A1
讨论:
2 A A12 A2 2 A1 A2 cos(2 1 )
(1)若两分振动同相,即
2 1=2k
(k=0,1,2,…)
则 A=A1+A2 , 两分振动相互加强， 当 A1=A2 时 , A=2A1 (2)若两分振动反相,即
2 1=(2k+1)
(k=0,1,2,…)
周期和角频率为：T 2
JZ mgh
mgh JZ
12.2.3 扭摆 以圆盘为研究对象 在 （扭转角）不太大时， 圆盘受到的力矩为
z
金属丝
M z D
D J Z
（D为金属丝的扭转系数） （刚体绕定轴转动定律）

x
y
D 0 JZ
D 令 JZ
3. 机械能
EP
1 2 E Ek E p kA 2
（简谐振动系统机械能守恒）
Ek
−A
O
A x
例 如图所示，一质点作简谐振动，在一个周期内相继通过距 离为12cm的两点A和B，历时2s，并且在A，B两点处具有 相同的速度；再经过2s后，质点又从另一方向通过B点。
求 质点运动的周期和振幅。
x r - r0
F ( F ) r r0
F (
dF 1 d2F ( ) r r0 x ( 2 ) r r0 x 2 dr 2 dr （在平衡位处置幂级数展开）
（对于微小振动，高阶小量可略去）
dF ) r r0 x dr
dF 2a 3b a4 ( ) r r0 ( 3 4 ) b 3 dr r r ra b
A
特点:直观方便.
t

a
x(t ) A cos(t ) v A sin(t )
A cos( t ) 2 Av cos( t v )
v o
·
x
·
t=0 x
a 2 A cos( t ) Aa cos( t a )
m1 x1 x2
2 1 （当2 1时）
若 2 1 2kπ
A1
A2 - A2 - A1
若 2 1 (2k 1) π
A1 x A2
x
x1 x2
T
x1
T
o
t
o
- A2 - A1
x2
t
两振动步调相同,称同相。
两振动步调相反 , 称反相。
求 合振动的振动方程。 解
C Rε π n 2 2
n ε A ε
ε
x xn A cos(t )
2 sin n / 2 Aa sin / 2 a 2 R sin
O a

ε
ε P x

n A 2 R sin 2 1 1 n 1 ( π ) ( π n ) 2 2 2
当 2 1 时 ,
x A(t ) cos t
其中 A(t ) 2 A cos(
随 t 缓变
2 1
2
t)
cos t cos(
2 1
2
t)
随 t 快变
结论：合振动 x 可看作是振幅缓变的简谐振动。
2 ) 8 2

A 6 2 cm
§12.2 简谐振动的实例分析
主要内容：
1. 单摆 2. 复摆
3. 扭摆
4. 双原子分子内原子的振动
12.2.1 单摆 以小球为研究对象，作受力分析. P 重力, T 绳的拉力. 设 角沿逆时针方向为正.

T
l
P T ma（牛顿第二定律）
12.2.2 复摆（物理摆） 以物体为研究对象 设 角沿逆时针方向为正
O( z )

h
mgh sin J Z
（刚体绕定轴转动定律）
C m
P
小角度时
mgh 0 JZ
2 令
mgh JZ
2 0
结论: 小角度摆动时，复摆的运动是谐振动.
O a

ε
12.3.2 同方向不同频率谐振动的合成 拍 分振动 : 合振动 :
x1 A1 cosω1 t x2 A2 cosω2t x x1 x2
ω2
合振动的振幅
A A12 A22 2 A1 A2 cos(2 1 )t
当 (ω2 ω1 ) t 2kπ 时, A 有最大值: A A1 A2 当 (ω2 ω1 ) t (2k 1) π
n sin 2 cos[t (n 1) ] x A cos(t ) a 2 sin 2
讨论:
极大值:
2k π
A na
C Rε π n 2 2
极小值:
2k ' π ，k ' nk n
n ε A ε ε ε P x
A0
次极大: … …
2
2 0
结论: 在扭转角不太大时，扭摆的运动是谐振动. 周期和角频率为： T 2 J Z
D

D JZ
双原子分子 某些双原子分子中，原子间的相互作用力可以用为 a b F 2 3 （其中，r 为原子间的距离，a 和 b 均为正的常数） r r 证明原子在平衡位置附近的微振动是谐振动,并确定其周期. 证明: a b b 平衡位置 F 2 3 0 r0 r0 r0 a 设原子偏离平衡位置的位移为
x(t ) A cos(ω t )

x 是描述位置的物理量,如 y , z 或 等.
特点: (1)等幅振动 (2)周期振动 x(t ) x(t T ) 研究简谐振动的意义: O
m m x
x
Ⅰ
Ⅱ
O
T
2T t

谐振子 1. 受力特点 机械振动的力学特点
l0
x m
线性回复力
2. 动力学方程
4. 振幅和初相位的确定
x(t ) A cos(ω t ) v ω A sin(ω t )
2 v0
x0 A cos v 0 ω A sin
v0 arctan( ) x0
A x0
2
2
注意: 如何确定最后的 .
12.1.3 谐振动旋转矢量表示法
A
O
B
x
解 由题意可知，AB的中点为平衡位置，周期为 T = 42 = 8 (s) 设平衡位置为坐标原点，则 x A 6cm
xB 6cm
设 t = 0 时，质点位于平衡位置，则振动方程可写为
2π π x A cos(t ) A cos( t ) 8 2 2
t = 1 时, 质点位于B点, 所以 6 A cos(
1. 同方向同频率谐振动的合成 2. 同方向不同频率谐振动的合成 拍
3. 相互垂直谐振动的合成
12.3.1 同方向同频率谐振动的合成 1. 解析法
分振动 :
合振动 :
x1 A1 cos( t 1 ) x2 A2 cos( t 2 )
x x1 x2 A1 cos( t 1 ) A2 cos( t 2 )
A sin A cos x A cos cos t A sin sin t A cos( t )
A A A 2 A1 A2 cos(2 1 )
2 1 2 2
( A1 cos 1 A2 cos 2 ) cos t ( A1 sin 1 A2 sin 2 ) sin t
12.1.2 描述谐振动的特征量
1. 振幅 A
2. 周期T 和频率 v v = 1/T (Hz)
m O
x
3. 相位 (1) ( t + ) 是 t 时刻的相位
(2) 是 t =0 时刻的相位 —— 初相
相位的意义: x(t ) A cos(ω t )
相位确定了振动的状态. 相位每改变 2 振动重复一次,相位 2 范围内变化,状态不重复.
则A=|A1-A2|, 两分振动相互减弱， 当 A1=A2 时, A=0
3. n 个同方向同频率谐振动的合成 例 设有 n 个同方向、同频率、振幅 a 相同、初相差依次为一 常量ε的谐振动，它们的振动分别为
x1 a cos t x2 a cos(t )
x3 a cos(t 2 ) …… …… xn a cos[(t (n 1) ]
12.1.4 谐振动的能量(以水平弹簧振子为例)
1. 动能
1 2 1 Ek mv kA2 sin 2 ( t ) 2 2
1 t T 1 2 Ek t Ek dt kA T 4
2. 势能 O E
m
x
1 2 1 2 E p kx kA cos 2 ( t ) 2 2
dF a4 F ( ) r r0 x 3 x kx dr b
a4 其中 k 3 ，为等效劲度系数. b
结论: 原子在平衡位置附近的微振动是谐振动. 周期为：
m b3 T 2 2π 4 m k a
a4 角频率为： 3 bm
§12.3 谐振动的合成
主要内容：
A (ω ω ) t 2 1 ω1 ω2t A1 ω1t O x2 x x1 x x1 x2
A2
时， A有最小值: A A1 A2
结论： 合振动 x 不再是简谐振动, 合振动振幅的频率为 1 (ω2 ω1 ) T 2π v 2 v2 v1 2
1
x
x x1 x2 A cos( t )
2 A A12 A2 2 A1 A2 cos(2 1 )
x1 x x1 x2
A1 sin 1 A2 sin 2 tan A1 cos 1 A2 cos 2
结论：与解析法求得的结果一致，方法直观、简捷.
v l
m
P
沿切向方向的分量方程为
dv P sin m dt g 0 l
令
1 sin 3 （小角度时） 6
2
g l
2 0
g l
结论: 小角度摆动时，单摆的运动是谐振动.
l T 2 周期和角频率为： g
F kx
k
O
x
F kx ma
x(t ) A cos(ω t )
k 其中 为 固有角频率 ω m
3. 速度和加速度
d2 x 2 x0 2 dt
运动微分方程
v ω A sin(ω t ) ω A cos(ω t ) 2 a 2 A cos( t ) 2 A cos( t π)
第12章 机械振动
“喷水鱼洗”实质上是一个盆边带有双耳的铜盆. 当用手 摩擦盆边的双耳时，盆内的水会浪花飞溅.
§12.1 简谐振动
主要内容：
1. 什么是简谐振动？ 2. 简谐振动动力学和运动学特征
3. 用牛顿运动定理分析谐振子的运动规律 4. 简谐振动振动的旋转矢量表述
5. 谐振动振动的能量
12.1.1 简谐振动 定义: