大一高数试题及答案

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大专大一高数试题及答案

大专大一高数试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 函数f(x)=x^2-4x+3的零点是：A. 1B. -1C. 3D. 1和3答案：D2. 极限lim(x→2) (x^2-4)/(x-2)的值是：A. 0B. 4C. 8D. 不存在答案：C3. 以下哪个函数是奇函数：A. f(x) = x^2B. f(x) = x^3C. f(x) = xD. f(x) = -x答案：B4. 曲线y=x^3在点(1,1)处的切线斜率是：A. 0B. 1C. 3D. 27答案：C二、填空题（每题5分，共20分）1. 微分dy=f'(x)dx表示函数y=f(x)在x处的变化量是______。

答案：f'(x)dx2. 函数y=x^2+1的导数是______。

答案：2x3. 定积分∫(0,1) x^2 dx的值是______。

答案：1/34. 函数y=ln(x)的不定积分是______。

答案：xln(x) - x + C三、解答题（每题10分，共60分）1. 求函数y=x^3-6x^2+9x+1的极值点。

答案：首先求导数：y'=3x^2-12x+9令y'=0，解得x=1或x=3。

检查二阶导数：y''=6x-12当x=1时，y''=-6<0，所以x=1是极大值点。

当x=3时，y''=6>0，所以x=3是极小值点。

2. 求曲线y=x^2与直线y=2x-1的交点坐标。

答案：联立方程组：\begin{cases}y = x^2 \\y = 2x - 1\end{cases}解得x^2=2x-1，即x^2-2x+1=0，解得x=1。

将x=1代入任一方程得y=1。

因此交点坐标为(1, 1)。

3. 计算定积分∫(0,2) (2x+3) dx。

答案：∫(0,2) (2x+3) dx = [x^2 + 3x](0,2) = (2^2 + 3*2) - (0^2 + 3*0) = 4 + 6 = 10。

大一高数试题及解答

大一高数试题及答案一、填空题〔每题１分，共１０分〕________ １１．函数ｙ＝ａｒｃｓｉｎ√１－ｘ2＋────── 的定义域为_________√１－ｘ2_______________。

２．函数ｙ＝ｘ＋ｅx上点〔０，１〕处的切线方程是______________。

ｆ〔Xo＋２h〕－ｆ〔Xo－３h〕３．设ｆ〔X〕在Xo可导且ｆ'〔Xo〕＝Ａ，则ｌｉｍ───────────────h→o h＝ _____________。

４．设曲线过〔０，１〕，且其上任意点〔Ｘ，Ｙ〕的切线斜率为２Ｘ，则该曲线的方程是____________。

ｘ５．∫─────ｄｘ＝_____________。

１－ｘ4１６．ｌｉｍＸｓｉｎ───＝___________。

x→∞ Ｘ７．设ｆ〔ｘ，ｙ〕＝ｓｉｎ〔ｘｙ〕，则ｆx〔ｘ，ｙ〕＝____________。

_______R √R2－ｘ2８．累次积分∫ ｄｘ∫ ｆ〔Ｘ2＋Ｙ2〕ｄｙ化为极坐标下的累次积分为____________。

0 0ｄ3ｙ３ｄ2ｙ９．微分方程─── ＋──〔─── 〕2的阶数为____________。

ｄｘ3ｘｄｘ2∞ ∞１０．设级数∑ ａn发散，则级数∑ ａn _______________。

n=1 n=1000二、单项选择题〔在每题的四个备选答案中，选出一个正确的答案，将其码写在题干的〔〕内，１～１０每题１分，１１～２０每题２分，共３０分〕〔一〕每题１分，共１０分１１．设函数ｆ〔ｘ〕＝── ，ｇ〔ｘ〕＝１－ｘ，则ｆ［ｇ〔ｘ〕］＝〔〕ｘ１１１①１－── ②１＋── ③ ──── ④ｘｘｘ１－ｘ１２．ｘ→0 时，ｘｓｉｎ──＋１是〔〕ｘ①无穷大量②无穷小量③有界变量④无界变量３．以下说法正确的选项是〔〕①假设ｆ〔 X 〕在 X＝Xo连续，则ｆ〔 X 〕在X＝Xo可导②假设ｆ〔 X 〕在 X＝Xo不可导，则ｆ〔 X 〕在X＝Xo不连续③假设ｆ〔 X 〕在 X＝Xo不可微，则ｆ〔 X 〕在X＝Xo极限不存在④假设ｆ〔 X 〕在 X＝Xo不连续，则ｆ〔 X 〕在X＝Xo不可导４．假设在区间〔ａ，ｂ〕内恒有ｆ'〔ｘ〕〈０，ｆ"〔ｘ〕〉０，则在〔ａ，ｂ〕内曲线弧ｙ＝ｆ〔ｘ〕为〔〕①上升的凸弧②下降的凸弧③上升的凹弧④下降的凹弧５．设Ｆ'(x) ＝Ｇ'(x)，则〔〕① Ｆ(X)＋Ｇ(X) 为常数② Ｆ(X)－Ｇ(X) 为常数③ Ｆ(X)－Ｇ(X) ＝０ｄｄ④ ──∫Ｆ〔ｘ〕ｄｘ＝──∫Ｇ〔ｘ〕ｄｘｄｘｄｘ1６．∫ │ｘ│ｄｘ＝〔〕-1① ０② １③ ２④ ３７．方程２ｘ＋３ｙ＝１在空间表示的图形是〔〕①平行于ｘｏｙ面的平面②平行于ｏｚ轴的平面③过ｏｚ轴的平面④直线ｘ８．设ｆ〔ｘ，ｙ〕＝ｘ3＋ｙ3＋ｘ2ｙｔｇ── ，则ｆ〔ｔｘ，ｔｙ〕＝〔〕ｙ①ｔｆ〔ｘ，ｙ〕②ｔ2ｆ〔ｘ，ｙ〕１③ｔ3ｆ〔ｘ，ｙ〕④ ──ｆ〔ｘ，ｙ〕ｔ2ａn＋１∞９．设ａn≥０，且ｌｉｍ───── ＝ｐ，则级数∑ａn〔〕n→∞ ａ n=1①在ｐ〉１时收敛，ｐ〈１时发散②在ｐ≥１时收敛，ｐ〈１时发散③在ｐ≤１时收敛，ｐ〉１时发散④在ｐ〈１时收敛，ｐ〉１时发散１０．方程ｙ'＋３ｘｙ＝６ｘ2ｙ是〔〕①一阶线性非齐次微分方程②齐次微分方程③可别离变量的微分方程④二阶微分方程〔二〕每题２分，共２０分１１．以下函数中为偶函数的是〔〕①ｙ＝ｅx②ｙ＝ｘ3＋１③ｙ＝ｘ3ｃｏｓｘ④ｙ＝ｌｎ│ｘ│１２．设ｆ〔ｘ〕在〔ａ，ｂ〕可导，ａ〈ｘ1〈ｘ2〈ｂ，则至少有一点ζ∈〔ａ，ｂ〕使〔〕①ｆ〔ｂ〕－ｆ〔ａ〕＝ｆ'〔ζ〕〔ｂ－ａ〕②ｆ〔ｂ〕－ｆ〔ａ〕＝ｆ'〔ζ〕〔ｘ2－ｘ1〕③ｆ〔ｘ2〕－ｆ〔ｘ1〕＝ｆ'〔ζ〕〔ｂ－ａ〕④ｆ〔ｘ2〕－ｆ〔ｘ1〕＝ｆ'〔ζ〕〔ｘ2－ｘ1〕１３．设ｆ〔X〕在 X＝Xo 的左右导数存在且相等是ｆ〔X〕在 X＝Xo 可导的〔〕①充分必要的条件②必要非充分的条件③必要且充分的条件④既非必要又非充分的条件ｄ１４．设２ｆ〔ｘ〕ｃｏｓｘ＝──［ｆ〔ｘ〕］2，则ｆ〔０〕＝１，则ｆ〔ｘ〕＝〔〕ｄｘ①ｃｏｓｘ②２－ｃｏｓｘ③１＋ｓｉｎｘ④１－ｓｉｎｘ１５．过点〔１，２〕且切线斜率为４ｘ3的曲线方程为ｙ＝〔〕①ｘ4②ｘ4＋ｃ③ｘ4＋１④ｘ4－１１ x１６．ｌｉｍ─── ∫ ３ｔｇｔ2ｄｔ＝〔〕x→0 ｘ3 0１① ０② １③ ── ④ ∞３ｘｙ１７．ｌｉｍｘｙｓｉｎ───── ＝〔〕x→0 ｘ2＋ｙ2y→0① ０② １③ ∞ ④ ｓｉｎ１１８．对微分方程ｙ"＝ｆ〔ｙ，ｙ'〕，降阶的方法是〔〕① 设ｙ'＝ｐ，则ｙ"＝ｐ'ｄｐ② 设ｙ'＝ｐ，则ｙ"＝───ｄｙｄｐ③ 设ｙ'＝ｐ，则ｙ"＝ｐ───ｄｙ１ｄｐ④ 设ｙ'＝ｐ，则ｙ"＝── ───ｐｄｙ∞ ∞１９．设幂级数∑ ａnｘn在ｘo〔ｘo≠０〕收敛，则∑ ａnｘn在│ｘ│〈│ｘo│〔〕n=o n=o①绝对收敛②条件收敛③发散④收敛性与ａn有关ｓｉｎｘ２０．设Ｄ域由ｙ＝ｘ，ｙ＝ｘ2所围成，则∫∫ ─────ｄσ＝〔〕D ｘ1 1 ｓｉｎｘ① ∫ ｄｘ∫ ───── ｄｙ0 x ｘ__1 √y ｓｉｎｘ② ∫ ｄｙ∫ ─────ｄｘ0 y ｘ__1 √x ｓｉｎｘ③ ∫ ｄｘ∫ ─────ｄｙ0 x ｘ__1 √x ｓｉｎｘ④ ∫ ｄｙ∫ ─────ｄｘ0 x ｘ三、计算题〔每题５分，共４５分〕___________／ｘ－１１．设ｙ＝／────── 求ｙ' 。

大一高等数学考卷及答案

专业课原理概述部分一、选择题（每题1分，共5分）1.若函数f(x)在x=a处可导，则f'(a)等于（）A.f(a)B.f(a+h)-f(a)/h(h趋于0)C.lim(f(a+h)-f(a))/h(h趋于0)D.f(a+h)-f(a)2.下列函数中，在x=0处连续但不可导的是（）A.y=|x|B.y=x^2C.y=x^3D.y=1/x3.若函数f(x)在区间I上单调递增，则f'(x)在I上（）A.必大于0B.必小于0C.可以为0D.不存在4.设函数f(x)在区间(a,b)内可导，且f'(x)>0，则f(x)在(a,b)内（）A.单调递增B.单调递减C.有极值点D.无极值点5.设函数f(x)在x=a处连续，且lim(f(x)-f(a))/(x-a)=L，则f(x)在x=a处（）A.可导，f'(a)=LB.可导，f'(a)不存在C.不可导D.无法确定二、判断题（每题1分，共5分）1.若函数f(x)在x=a处可导，则f(x)在x=a处一定连续。

（）2.若函数f(x)在区间I上单调递增，则f'(x)在I上一定大于0。

（）3.若函数f(x)在区间I上有极值点，则f'(x)在I上一定存在零点。

（）4.若函数f(x)在区间I上连续，则f(x)在I上一定可积。

（）5.若函数f(x)在区间I上可导，则f(x)在I上一定连续。

（）三、填空题（每题1分，共5分）1.函数f(x)=x^3-3x在x=1处的导数为______。

2.函数f(x)=e^x在x=0处的导数为______。

3.函数f(x)=lnx在x=1处的导数为______。

4.函数f(x)=sinx在x=π/2处的导数为______。

5.函数f(x)=cosx在x=0处的导数为______。

四、简答题（每题2分，共10分）1.简述导数的定义。

2.简述连续与可导的关系。

3.简述罗尔定理。

4.简述拉格朗日中值定理。

大一高数试题及答案

大一高数试题及答案一、选择题（每题4分，共20分）1. 函数f(x)=x^2在区间(-∞, +∞)上的单调性是：A. 单调递增B. 单调递减C. 先减后增D. 先增后减答案：A2. 极限lim(x→0) (sin x)/x的值是：A. 0B. 1C. -1D. ∞答案：B3. 函数f(x)=x^3-3x+1的极值点是：A. x=1B. x=-1C. x=0D. x=2答案：A4. 曲线y=x^2在点(1,1)处的切线斜率是：A. 0B. 1C. 2D. -2答案：C5. 曲线y=e^x与直线y=ln x的交点个数是：A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B二、填空题（每题4分，共20分）1. 函数f(x)=x^2-4x+3的最小值是________。

答案：-12. 极限lim(x→∞) (x^2-3x+2)/(x^3+2x^2-5)的值是________。

答案：03. 函数f(x)=x^3+2x^2-5x+1的驻点是________。

答案：x=-3或x=14. 曲线y=ln x在点(1,0)处的切线方程是________。

答案：y=x-15. 曲线y=e^x与y=x^2的交点坐标是________。

答案：(0,1)和(1,e)三、计算题（每题10分，共30分）1. 求极限lim(x→0) [(x^2+1)/(x-1)]。

答案：-12. 求函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6的极值。

答案：极小值点x=1，极小值f(1)=0；极大值点x=3，极大值f(3)=4。

3. 求曲线y=x^2-4x+3在x=2处的切线方程。

答案：y=-x+1四、证明题（每题15分，共15分）证明：函数f(x)=x^3在区间(-∞, +∞)上是单调递增的。

答案：略五、应用题（每题15分，共15分）1. 某工厂生产一种产品，其成本函数为C(x)=0.01x^2+0.5x+100，其中x为生产量（单位：千件）。

求该产品的成本最低时的生产量。

大一(第一学期)高数期末考试题及答案

页眉内容大一上学期高数期末考试一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )(0),sin (cos )(　处有则在设=+=x x x x x f .（A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导.2. ）时（　，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x xx βα.（A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小；（B ）()()x x αβ与是等价无穷小；（C ）()x α是比()x β高阶的无穷小；（D ）()x β是比()x α高阶的无穷小.3. 若()()()02xF x t x f t dt=-⎰，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且'>()0f x ，则（）.（A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值；（B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值；（C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点；（D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。

4.)()( , )(2)( )(1=+=⎰x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设（A ）22x （B ）222x +（C ）1x - （D ）2x +.二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. =+→xx x sin 2)31(l i m .6. ,)(cos 的一个原函数是已知x f xx=⋅⎰x xxx f d cos )(则.7.lim(cos cos cos )→∞-+++=22221n n nnnn ππππ .8. =-+⎰21212211arcsin －dx xx x .三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）9. 设函数=()y y x 由方程sin()1x ye xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 10. .d )1(177x x x x ⎰+-求11. ．　求，，设⎰--⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤=1 32)(1020)(dx x f x x x x xe x f x12. 设函数)(x f 连续，=⎰10()()g x f xt dt，且→=0()limx f x A x ，A 为常数. 求'()g x 并讨论'()g x 在=0x 处的连续性.13. 求微分方程2ln xy y x x '+=满足=-1(1)9y 的解.四、解答题（本大题10分）14. 已知上半平面内一曲线)0()(≥=x x y y ，过点(,)01，且曲线上任一点M x y (,)00处切线斜率数值上等于此曲线与x 轴、y 轴、直线x x =0所围成面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程. 五、解答题（本大题10分）15. 过坐标原点作曲线x y ln =的切线，该切线与曲线x y ln =及x 轴围成平面图形D.(1) 求D 的面积A ；(2) 求D 绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积V .六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共8分）16. 设函数)(x f 在[]0,1上连续且单调递减，证明对任意的[,]∈01q ，1()()≥⎰⎰qf x d x q f x dx.17. 设函数)(x f 在[]π,0上连续，且)(0=⎰πx d x f ，cos )(0=⎰πdx x x f .证明：在()π,0内至少存在两个不同的点21,ξξ，使.0)()(21==ξξf f （提示：设⎰=xdxx f x F 0)()(）解答一、单项选择题(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1、D 2、A 3、C 4、C二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）5. 6e . 6.c x x +2)cos (21　.7. 2π. 8.3π.三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 解：方程两边求导(1)c o s ()()x ye y xy xy y +''+++= cos()()cos()x y x ye y xy y x e x xy +++'=-+0,0x y ==，(0)1y '=-10. 解：767u x x dx du == 1(1)112()7(1)71u du duu u u u -==-++⎰⎰原式 1(ln ||2ln |1|)7u u c =-++ 7712ln ||ln |1|77x x C =-++11. 解：101233()2x f x dx xe dx x x dx---=+-⎰⎰⎰123()1(1)xxd e x dx--=-+--⎰⎰00232cos (1sin )x x xe e d x πθθθ----⎡⎤=--+-=⎣⎦⎰　令3214e π=--12. 解：由(0)0f =，知(0)0g =。

大一高数试题及答案解析

大一高数试题及答案一、填空题（每小题１分，共１０分）________ １１．函数ｙ＝ａｒｃｓｉｎ√１－ｘ2＋────── 的定义域为_________√１－ｘ2_______________。

２．函数ｙ＝ｘ＋ｅx上点（０，１）处的切线方程是______________。

ｆ（Xo＋２h）－ｆ（Xo－３h）３．设ｆ（X）在Xo可导且ｆ'（Xo）＝Ａ，则ｌｉｍ───────────────h→o h＝ _____________。

４．设曲线过（０，１），且其上任意点（Ｘ，Ｙ）的切线斜率为２Ｘ，则该曲线的方程是____________。

ｘ５．∫─────ｄｘ＝_____________。

１－ｘ4１６．ｌｉｍＸｓｉｎ───＝___________。

x→∞ Ｘ７．设ｆ（ｘ，ｙ）＝ｓｉｎ（ｘｙ），则ｆx（ｘ，ｙ）＝____________。

_______R √R2－ｘ2８．累次积分∫ ｄｘ∫ ｆ（Ｘ2＋Ｙ2）ｄｙ化为极坐标下的累次积分为____________。

0 0ｄ3ｙ３ｄ2ｙ９．微分方程─── ＋──（─── ）2的阶数为____________。

ｄｘ3ｘｄｘ2∞ ∞１０．设级数∑ａn发散，则级数∑ａn _______________。

n=1 n=1000二、单项选择题（在每小题的四个备选答案中，选出一个正确的答案，将其码写在题干的（）内，１～１０每小题１分，１１～２０每小题２分，共３０分）（一）每小题１分，共１０分１１．设函数ｆ（ｘ）＝── ，ｇ（ｘ）＝１－ｘ，则ｆ［ｇ（ｘ）］＝（）ｘ１１１①１－── ②１＋── ③ ──── ④ｘｘｘ１－ｘ１２．ｘ→0 时，ｘｓｉｎ──＋１是（）ｘ①无穷大量②无穷小量③有界变量④无界变量３．下列说法正确的是（）①若ｆ（ X ）在 X＝Xo连续，则ｆ（ X ）在X＝Xo可导②若ｆ（ X ）在 X＝Xo不可导，则ｆ（ X ）在X＝Xo不连续③若ｆ（ X ）在 X＝Xo不可微，则ｆ（ X ）在X＝Xo极限不存在④若ｆ（ X ）在 X＝Xo不连续，则ｆ（ X ）在X＝Xo不可导４．若在区间（ａ，ｂ）内恒有ｆ'（ｘ）〈０，ｆ"（ｘ）〉０，则在（ａ，ｂ）内曲线弧ｙ＝ｆ（ｘ）为（）①上升的凸弧②下降的凸弧③上升的凹弧④下降的凹弧５．设Ｆ'(x) ＝Ｇ'(x)，则（）①Ｆ(X)＋Ｇ(X) 为常数②Ｆ(X)－Ｇ(X) 为常数③Ｆ(X)－Ｇ(X) ＝０ｄｄ④ ──∫Ｆ（ｘ）ｄｘ＝──∫Ｇ（ｘ）ｄｘｄｘｄｘ1６．∫ │ｘ│ｄｘ＝（）-1①０②１③２④３７．方程２ｘ＋３ｙ＝１在空间表示的图形是（）①平行于ｘｏｙ面的平面②平行于ｏｚ轴的平面③过ｏｚ轴的平面④直线ｘ８．设ｆ（ｘ，ｙ）＝ｘ3＋ｙ3＋ｘ2ｙｔｇ── ，则ｆ（ｔｘ，ｔｙ）＝（）ｙ①ｔｆ（ｘ，ｙ）②ｔ2ｆ（ｘ，ｙ）１③ｔ3ｆ（ｘ，ｙ）④ ──ｆ（ｘ，ｙ）ｔ2ａn＋１∞９．设ａn≥０，且ｌｉｍ───── ＝ｐ，则级数∑ａn（）n→∞ ａ n=1①在ｐ〉１时收敛，ｐ〈１时发散②在ｐ≥１时收敛，ｐ〈１时发散③在ｐ≤１时收敛，ｐ〉１时发散④在ｐ〈１时收敛，ｐ〉１时发散１０．方程ｙ'＋３ｘｙ＝６ｘ2ｙ是（）①一阶线性非齐次微分方程②齐次微分方程③可分离变量的微分方程④二阶微分方程（二）每小题２分，共２０分１１．下列函数中为偶函数的是（）①ｙ＝ｅx②ｙ＝ｘ3＋１③ｙ＝ｘ3ｃｏｓｘ④ｙ＝ｌｎ│ｘ│１２．设ｆ（ｘ）在（ａ，ｂ）可导，ａ〈ｘ1〈ｘ2〈ｂ，则至少有一点ζ∈（ａ，ｂ）使（）①ｆ（ｂ）－ｆ（ａ）＝ｆ'（ζ）（ｂ－ａ）②ｆ（ｂ）－ｆ（ａ）＝ｆ'（ζ）（ｘ2－ｘ1）③ｆ（ｘ2）－ｆ（ｘ1）＝ｆ'（ζ）（ｂ－ａ）④ｆ（ｘ2）－ｆ（ｘ1）＝ｆ'（ζ）（ｘ2－ｘ1）１３．设ｆ（X）在 X＝Xo 的左右导数存在且相等是ｆ（X）在 X＝Xo 可导的（）①充分必要的条件②必要非充分的条件③必要且充分的条件④既非必要又非充分的条件ｄ１４．设２ｆ（ｘ）ｃｏｓｘ＝──［ｆ（ｘ）］2，则ｆ（０）＝１，则ｆ（ｘ）＝（）ｄｘ①ｃｏｓｘ②２－ｃｏｓｘ③１＋ｓｉｎｘ④１－ｓｉｎｘ１５．过点（１，２）且切线斜率为４ｘ3的曲线方程为ｙ＝（）①ｘ4②ｘ4＋ｃ③ｘ4＋１④ｘ4－１１ x１６．ｌｉｍ─── ∫ ３ｔｇｔ2ｄｔ＝（）x→0 ｘ3 0１①０②１③ ── ④ ∞３ｘｙ１７．ｌｉｍｘｙｓｉｎ───── ＝（）x→0 ｘ2＋ｙ2y→0①０②１③ ∞ ④ｓｉｎ１１８．对微分方程ｙ"＝ｆ（ｙ，ｙ'），降阶的方法是（）①设ｙ'＝ｐ，则ｙ"＝ｐ'ｄｐ②设ｙ'＝ｐ，则ｙ"＝───ｄｙｄｐ③设ｙ'＝ｐ，则ｙ"＝ｐ───ｄｙ１ｄｐ④设ｙ'＝ｐ，则ｙ"＝── ───ｐｄｙ∞ ∞１９．设幂级数∑ａnｘn在ｘo（ｘo≠０）收敛，则∑ａnｘn在│ｘ│〈│ｘo│（）n=o n=o①绝对收敛②条件收敛③发散④收敛性与ａn有关ｓｉｎｘ２０．设Ｄ域由ｙ＝ｘ，ｙ＝ｘ2所围成，则∫∫ ─────ｄσ＝（）D ｘ1 1 ｓｉｎｘ① ∫ ｄｘ∫ ───── ｄｙ0 x ｘ__1 √y ｓｉｎｘ② ∫ ｄｙ∫ ─────ｄｘ0 y ｘ__1 √x ｓｉｎｘ③ ∫ ｄｘ∫ ─────ｄｙ0 x ｘ__1 √x ｓｉｎｘ④ ∫ ｄｙ∫ ─────ｄｘ0 x ｘ三、计算题（每小题５分，共４５分）___________／ｘ－１１．设ｙ＝／────── 求ｙ' 。

高数a大一期末考试题简单及答案

高数a大一期末考试题简单及答案一、选择题（每题4分，共40分）1. 极限的定义中，如果对于任意的正数ε，存在正数δ，使得当0<|x-a|<δ时，有|f(x)-L|<ε，则称函数f(x)当x趋近于a时的极限为L。

以下哪个选项不是极限的定义？A. 函数f(x)在某点a处的极限B. 函数f(x)在某点a的左极限C. 函数f(x)在某点a的右极限D. 函数f(x)在某点a处的连续性答案：D2. 以下哪个函数是奇函数？A. f(x) = x^2B. f(x) = x^3C. f(x) = x^4D. f(x) = |x|答案：B3. 以下哪个函数是偶函数？A. f(x) = x^3B. f(x) = x^2C. f(x) = x^4D. f(x) = |x|答案：B4. 以下哪个函数在x=0处不可导？A. f(x) = x^2B. f(x) = |x|C. f(x) = x^3D. f(x) = x^4答案：B5. 以下哪个选项是正确的不定积分？A. ∫x dx = x^2 + CB. ∫x^2 dx = x^3 + CC. ∫1/x dx = ln|x| + CD. ∫e^x dx = e^x + C答案：C6. 以下哪个选项是正确的定积分？A. ∫[0,1] x dx = 1/2B. ∫[0,1] x^2 dx = 1/3C. ∫[0,1] x^3 dx = 1/4D. ∫[0,1] x^4 dx = 1/5答案：B7. 以下哪个选项是正确的微分方程的通解？A. y' = 2y => y = Ce^(2x)B. y' = 3y => y = Ce^(3x)C. y' = 4y => y = Ce^(4x)D. y' = 5y => y = Ce^(5x)答案：A8. 以下哪个选项是正确的二阶导数？A. y = x^3, y'' = 6xB. y = x^2, y'' = 2C. y = x^4, y'' = 12x^2D. y = x^5, y'' = 20x^3答案：B9. 以下哪个选项是正确的洛必达法则的应用？A. ∫0/0 型不定式，分子分母同时乘以分母的导数B. ∫∞/∞ 型不定式，分子分母同时乘以分子的导数C. ∫0/0 型不定式，分子分母同时除以分子的导数D. ∫∞/∞ 型不定式，分子分母同时除以分母的导数答案：D10. 以下哪个选项是正确的泰勒级数展开？A. e^x = 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + ...B. sin(x) = x - x^3/3! + x^5/5! - ...C. cos(x) = 1 - x^2/2! + x^4/4! - ...D. ln(1+x) = x - x^2/2 + x^3/3 - ...答案：A二、填空题（每题4分，共20分）11. 函数f(x) = x^2 + 3x + 2的导数是________。

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大一高数试题及答案一、填空题（每小题１分，共１０分）１．函数的定义域为______________________。

22111arcsin xx y -+-= ２．函数上点（０，１）处的切线方程是______________。

2e x y += ３．设ｆ（X ）在可导,且，则0x A (x)f'=hh x f h x f h )3()2(lim000--+→＝ _____________。

４．设曲线过（０，１），且其上任意点（x ，y ）的切线斜率为2x ，则该曲线的方程是____________。

５．_____________。

=-⎰dx xx41 ６．__________。

=∞→xx x 1sinlim ７．设f(x,y)=sin(xy),则fx(x,y)=____________。

９．微分方程的阶数为____________。

22233)(3dx y d x dxy d + ∞ ∞１０．设级数 ∑ ａn 发散，则级数 ∑ ａn _______________。

n=1 n=1000二、单项选择题。

(１～１０每小题１分，１１～２０每小题２分，共３０分）１．设函数则ｆ［ｇ（ｘ）］＝（） x x g xx f -==1)(,1)( ① ② ③ ④xx 11-x 11-x -11２．是（）11sin +xx ①无穷大量 ②无穷小量 ③有界变量 ④无界变量３．下列说法正确的是（）①若ｆ（ X ）在 X ＝Xo 连续，则ｆ（ X ）在X ＝Xo 可导 ②若ｆ（ X ）在 X ＝Xo 不可导，则ｆ（ X ）在X ＝Xo 不连续 ③若ｆ（ X ）在 X ＝Xo 不可微，则ｆ（ X ）在X ＝Xo 极限不存在 ④若ｆ（ X ）在 X ＝Xo 不连续，则ｆ（ X ）在X ＝Xo 不可导４．若在区间（ａ，ｂ）内恒有，则在0)(",0)('><x f x f （ａ，ｂ）内曲线弧ｙ＝ｆ（ｘ）为（）①上升的凸弧 ②下降的凸弧 ③上升的凹弧 ④下降的凹弧５．设，则（）)(')('x G x F = ① Ｆ(X)＋Ｇ(X) 为常数 ② Ｆ(X)－Ｇ(X) 为常数 ③ Ｆ(X)－Ｇ(X) ＝０ ④⎰⎰=dx x G dxddx x F dxd )()( 1 6.( )=⎰-dx x 11-1① ０ ② １ ③ ２ ④ ３７．方程２ｘ＋３ｙ＝１在空间表示的图形是（） ①平行于ｘｏｙ面的平面 ②平行于ｏｚ轴的平面 ③过ｏｚ轴的平面 ④直线８．设，则f(tx,ty)yx y x y x y x f tan),(233++==（）① ②),(y x tf),(2y x f t ③ ④ ),(3y x f t ),(12y x tａn ＋１ ∞９．设ａn ≥０，且ｌｉｍ ───── ＝ｐ，则级数 ∑ａn （） n→∞ ａ n=1 ①在ｐ〉１时收敛，ｐ〈１时发散 ②在ｐ≥１时收敛，ｐ〈１时发散 ③在ｐ≤１时收敛，ｐ〉１时发散 ④在ｐ〈１时收敛，ｐ〉１时发散１０．方程ｙ'＋３ｘｙ＝６ｘ2ｙ是（） ①一阶线性非齐次微分方程 ②齐次微分方程③可分离变量的微分方程 ④二阶微分方程（二）每小题２分，共２０分１１．下列函数中为偶函数的是（） ①ｙ＝ｅx ②ｙ＝ｘ3＋１③ｙ＝ｘ3ｃｏｓｘ ④ｙ＝ｌｎ│ｘ│１２．设ｆ（ｘ）在（ａ，ｂ）可导，ａ〈ｘ1〈ｘ2〈ｂ，则至少有一点ζ∈（ａ，ｂ）使（）①ｆ（ｂ）－ｆ（ａ）＝ｆ'（ζ）（ｂ－ａ） ②ｆ（ｂ）－ｆ（ａ）＝ｆ'（ζ）（ｘ2－ｘ1） ③ｆ（ｘ2）－ｆ（ｘ1）＝ｆ'（ζ）（ｂ－ａ） ④ｆ（ｘ2）－ｆ（ｘ1）＝ｆ'（ζ）（ｘ2－ｘ1）１３．设ｆ（X ）在 X ＝Xo 的左右导数存在且相等是ｆ（X ）在 X ＝Xo 可导的（）①充分必要的条件 ②必要非充分的条件 ③必要且充分的条件④既非必要又非充分的条件ｄ１４．设２ｆ（ｘ）ｃｏｓｘ＝──［ｆ（ｘ）］2，则ｆ（０）＝１，则ｆ（ｘ）＝（）ｄｘ①ｃｏｓｘ②２－ｃｏｓｘ③１＋ｓｉｎｘ④１－ｓｉｎｘ１５．过点（１，２）且切线斜率为４ｘ3的曲线方程为ｙ＝（）①ｘ4②ｘ4＋ｃ③ｘ4＋１④ｘ4－１１ x１６．ｌｉｍ───∫３ｔｇｔ2ｄｔ＝（）x→0ｘ3 0１①０②１③──④∞３ｘｙ１７．ｌｉｍｘｙｓｉｎ─────＝（）x→0ｘ2＋ｙ2y→0①０②１③∞④ｓｉｎ１１８．对微分方程ｙ"＝ｆ（ｙ，ｙ'），降阶的方法是（）①设ｙ'＝ｐ，则ｙ"＝ｐ'ｄｐ②设ｙ'＝ｐ，则ｙ"＝───ｄｙｄｐ③设ｙ'＝ｐ，则ｙ"＝ｐ───ｄｙ１ｄｐ④设ｙ'＝ｐ，则ｙ"＝─────ｐｄｙ∞∞１９．设幂级数 ∑ ａn ｘn 在ｘo （ｘo ≠０）收敛，则 ∑ ａn ｘn 在│ｘ│〈│ｘo│（）n=o n=o①绝对收敛 ②条件收敛 ③发散 ④收敛性与ａn 有关ｓｉｎｘ２０．设Ｄ域由ｙ＝ｘ，ｙ＝ｘ2所围成，则∫∫ ─────ｄσ＝（） D ｘ 1 1 ｓｉｎｘ① ∫ ｄｘ ∫ ───── ｄｙ 0 x ｘ__1 √y ｓｉｎｘ② ∫ ｄｙ ∫ ─────ｄｘ 0 y ｘ __1 √x ｓｉｎｘ③ ∫ ｄｘ ∫ ─────ｄｙ 0 x ｘ __1 √x ｓｉｎｘ④ ∫ ｄｙ ∫ ─────ｄｘ 0 x ｘ三、计算题（每小题５分，共４５分）１．设求ｙ’ 。

大一高等数学试题及答案

大一高等数学试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 下列函数中，不是周期函数的是（）。

A. y = sin(x)B. y = cos(x)C. y = e^xD. y = tan(x)2. 函数f(x) = x^2 + 3x - 2的零点个数是（）。

A. 0B. 1C. 2D. 33. 极限lim(x→0) (sin(x)/x)的值是（）。

A. 0B. 1C. 2D. 无穷大4. 曲线y = x^3 - 2x^2 + 3在x = 1处的切线斜率是（）。

A. -1B. 0C. 1D. 25. 以下哪个不是微分方程dy/dx = y/x的解（）。

A. y = x^2B. y = x^3C. y = x^(-1)D. y = x6. 定积分∫(0,1) x^2 dx的值是（）。

A. 1/3B. 1/4C. 1/2D. 17. 函数f(x) = ln(x)在区间[1, e]上的值域是（）。

A. [0, 1]B. [1, e]C. [0, e]D. [1, 2]8. 以下哪个是复合函数f(g(x))的导数（）。

A. f'(g(x)) * g'(x)B. f(g(x)) * g'(x)C. f'(x) * g'(x)D. f(x) * g'(x)9. 以下哪个是泰勒级数展开的公式（）。

A. f(x) = ∑[n=0 to ∞] (f^(n)(a) / n!) * (x - a)^nB. f(x) = ∑[n=1 to ∞] (f^(n)(a) / n!) * (x - a)^nC. f(x) = ∑[n=0 to ∞] (f^(n)(a) / (n+1)!) * (x - a)^nD. f(x) = ∑[n=1 to ∞] (f^(n)(a) / (n+1)!) * (x - a)^n10. 以下哪个是拉格朗日中值定理的条件（）。

A. f(x) 在区间[a, b]上连续B. f(x) 在区间(a, b)上可导C. f(x) 在区间[a, b]上可导D. f(x) 在区间(a, b)上连续且可导答案：1-5 C B B C A 6-10 B A A D D二、填空题（每题2分，共10分）1. 若f(x) = x^3 - 4x^2 + 5x - 6，则f'(x) = __________。

大学大一高数试题及答案

大学大一高数试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 设函数f(x)=x^2-4x+3，若f(a)=0，则a的值为（）。

A. 1B. 3C. -1D. 2答案：B2. 极限lim(x→0) (sin x)/x的值为（）。

A. 0B. 1C. ∞D. -1答案：B3. 若函数f(x)在点x=a处可导，则（）。

A. f(x)在x=a处连续B. f(x)在x=a处不可导C. f(x)在x=a处不连续D. f(x)在x=a处的导数为0答案：A4. 设数列{a_n}满足a_1=1，a_{n+1}=2a_n+1，n∈N*，则a_3的值为（）。

A. 5B. 7C. 9D. 11答案：C二、填空题（每题5分，共20分）1. 计算定积分∫(0到1) x^2 dx的值为______。

答案：1/32. 若矩阵A=\[\begin{pmatrix}1 & 2\\3 & 4\end{pmatrix}\]，则A 的行列式det(A)为______。

答案：-23. 设函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6，f'(x)=3x^2-12x+11，则f'(1)的值为______。

答案：24. 函数y=ln(x)的反函数为______。

答案：e^y三、解答题（每题10分，共60分）1. 求函数f(x)=x^3-3x^2+4x-12在x=2处的切线方程。

答案：首先计算f'(x)=3x^2-6x+4，代入x=2得到f'(2)=6，然后计算f(2)=0，所以切线方程为y-0=6(x-2)，即y=6x-12。

2. 计算级数∑(1到∞) (1/n^2)的和。

答案：该级数为π^2/6。

3. 已知函数f(x)=x^3-3x^2+2，求f(x)的极值点。

答案：首先求导f'(x)=3x^2-6x，令f'(x)=0，解得x=0或x=2。

然后计算二阶导数f''(x)=6x-6，代入x=0和x=2，得到f''(0)<0，f''(2)>0，所以x=0是极大值点，x=2是极小值点。

大一高数试题及答案

大一高数试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 设函数f(x)=x^3-3x，求f'(x)的值。

A. 3x^2-3B. x^2-3C. 3x^2+3D. x^3-3答案：A2. 求极限lim(x→0) (sinx/x) 的值。

A. 0B. 1C. 2D. -1答案：B3. 设曲线y=x^2+1与直线y=2x+3相交于点A和点B，求交点的横坐标。

A. -2, 1B. 1, 2C. -1, 2D. 1, -2答案：C4. 计算定积分∫(0,1) x^2 dx。

A. 1/3B. 1/2C. 2/3D. 1/4答案：B二、填空题（每题5分，共20分）5. 设函数f(x)=x^2-4x+3，求f(2)的值。

答案：-16. 求不定积分∫(1/x) dx。

答案：ln|x|+C7. 设函数f(x)=e^x，求f'(x)的值。

答案：e^x8. 计算定积分∫(0,π) sinx dx。

答案：2三、解答题（每题10分，共60分）9. 求函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6的极值点。

解：首先求导数f'(x)=3x^2-12x+11，令f'(x)=0，解得x=1或x=11/3。

当x<1或x>11/3时，f'(x)>0，函数单调递增；当1<x<11/3时，f'(x)<0，函数单调递减。

因此，x=1为极大值点，x=11/3为极小值点。

10. 求曲线y=x^3-3x^2+2在点(1,0)处的切线方程。

解：首先求导数y'=3x^2-6x，代入x=1得y'|_(x=1)=-3。

切线方程为y-0=-3(x-1)，即y=-3x+3。

11. 计算二重积分∬D (x^2+y^2) dxdy，其中D是由x^2+y^2≤4所围成的圆域。

解：将二重积分转换为极坐标系下的形式，即∬D (x^2+y^2) dxdy = ∫(0,2π) ∫(0,2) (ρ^2) ρ dρ dθ = 8π。

大一(第一学期)高数期末考试题及答案

大一上学期高数期末考试一、单项选择题 (本大题有 4 小题 , 每题 4 分,共 16分)1. 设 f ( x )cos x ( x sin x ), 则在 x0处有() .（ A ） f (0)2（B ）f(0)1（ C ） f (0)（D ）f ( x )不行导 .2. 设 ( x)1 x， ( x ) 3 33 x ，则当 x 1时（） 1 x.（A ） ( x)与 (x) 是同阶无量小，但不是等价无量小；（B ） ( x)与 (x)是等价无量小；（C ） ( x)是比(x)高阶的无量小；（D ）( x)是比(x)高阶的无量小 .F ( x ) x ( 2t x ) f ( t ) dt3. 0，此中 f ( x) 在区间上 ( 1,1) 二阶可导且若f ( x ) 0 ，则（） .（A ）函数 F ( x)必在 x 0 处获得极大值；（B ）函数 F ( x)必在 x 0 处获得极小值；（C ）函数 F ( x) 在 x 0 处没有极值，但点 (0, F (0)) 为曲线 yF ( x) 的拐点；（D ）函数F ( x) 在 x 0 处没有极值，点 (0, F (0)) 也不是曲线 yF ( x) 的拐点。

设 f ( x )是连续函数，且 f ( x )x21)4. f ( t )dt , 则 f ( x ) (x 2x 22（A ） 2（B ）2（D ） x 2.（C ）x 1二、填空题（本大题有 4 小题，每题25.lim ( 13 x ) sin xx06. 已知cos x是 f ( x ) 的一个原函数 ,x.4 分，共 16 分）.则 f ( x )cos xd xxlim(cos 2 cos 2 2L cos 2 n 1 )7.nnnnn12x 2 arcsin x 1dx－ 11 x28..2三、解答题（本大题有 5 小题，每题 8 分，共 40 分）9. 设函数 y y(x) 由方程 ex ysin( xy )1确立，求y ( x )以及1 x 710.求x(1 x 7 ) dx ..y (0) .设 f ( x )xex，x求 1 f ( x )dx ．2 xx 2， 0 x1311.1lim f ( x)f (x)g( x )f ( xt ) dtA12.设函数连续，，且xx，为常数. 求Ag (x)并议论g ( x)在 x处的连续性 .y(1)113. 求微分方程xy2 y x ln x 知足 9的解.四、解答题（本大题10 分），过点(01,)，且曲线上任一点14. 已知上半平面内一曲线yy( x )( x 0) M ( x 0 , y 0 ) 处切线斜率数值上等于此曲线与x 轴、 y 轴、直线x x所围成面积的 2 倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程 .五、解答题（本大题 10 分）15. 过坐标原点作曲线ylnx的切线，该切线与曲线yln x及 x 轴围成平面图形 D.(1) 求 D 的面积 A ；(2) 求 D 绕直线 x = e 旋转一周所得旋转体的体积V.六、证明题（本大题有 2 小题，每题 4 分，共 8 分）16. 设函数 f ( x ) 在 0,1上连续且单调递减，证明对随意的 q [ 0,1] ，q1 f ( x ) d xq f ( x)dx.17. 设函数f ( x )在0,f ( x ) d xf ( x ) cos x dx 0上连续，且 0，0 .证明：在 0, 内起码存在两个不一样的点1 ,2，使f ( 1 ) f ( 2 ) 0.（提x F ( x )f ( x )dx示：设）解答一、单项选择题 (本大题有 4 小题, 每题 4 分, 共 16分)1、 D2、 A3、 C4、C二、填空题（本大题有4 小题，每题 4 分，共 16 分）5. e 61 ( cos x )2 c 3..6. 2 x .7.2. 8. 三、解答题（本大题有5 小题，每题 8 分，共 40 分） 9. 解：方程两边求导e x y (1 y ) cos( xy )( xyy) 0y ( x )e x yy cos(xy )exy x cos(xy )x0, y0 ， y (0)110. 解：ux 7 7 x 6 dx du原式1 (1 u ) du 1 ( 12 )du 7 u(1 u) 7 u u 112ln | u 1|)c(ln | u |71ln | x 7|2ln |1 x 7 | C771f ( x )dxxe1 2x x 2dx11. 解：xdx33xd ( e x)12dx1 ( x 1)3xexex0 0cos2d (令 x1 sin )324 2e 3 112. 解：由f (0)0 ，知 g(0)0。

大一高等数学复习题（含答案）

复习题一、单项选择题：1、5lg 1)(-=x x f 的定义域是（的定义域是（ D ）A 、()),5(5,+¥¥-B 、()),6(6,+¥¥-C 、()),4(4,+¥¥-D 、())5,4(4, ¥- ()),6(6,5+¥2、如果函数f(x)的定义域为[1，2]，则函数f(x)+f(x 2)的定义域是（的定义域是（ B ） A 、[1，2] B 、[1，2] C 、]2,2[- D 、]2,1[]1,2[ --3、函数)1lg()1lg(22x x x x y -++++=( D ) A 、是奇函数，非偶函数、是奇函数，非偶函数 B 、是偶函数，非奇函数、是偶函数，非奇函数 C 、既非奇函数，又非偶函数、既非奇函数，又非偶函数 D 、既是奇函数，又是偶函数、既是奇函数，又是偶函数解：定义域为R ，且原式=lg(x 2+1-x 2)=lg1=0 4、函数)10(1)(2££--=x x x f 的反函数=-)(1x f（ C ）A 、21x - B 、21x --C 、)01(12££--x x D 、)01(12££---x x 5、下列数列收敛的是（、下列数列收敛的是（ C ）A 、1)1()(1+-=+n n n f n B 、ïîïíì-+=为偶数为奇数n n n n n f ,11,11)(C 、ïîïíì+=为偶数为奇数n n n n n f ,11,1)( D 、ïïîïíì-+=为偶数为奇数n n n f n n nn ,221,221)(解：选项A 、B 、D 中的数列奇数项趋向于1，偶数项趋向于-1，选项C 的数列极限为0 6、设1111.0个n n y =，则当¥®n 时，该数列（时，该数列（ C ）A 、收敛于0.1 B 、收敛于0.2 C 、收敛于91D 、发散、发散解：)1011(91101101101111.02nn ny -=+++==7、“f(x)在点x=x 0处有定义”是当x ®x 0时f(x)有极限的（有极限的（D ） A 、必要条件、必要条件 B 、充分条件、充分条件 C 、充分必要条件、充分必要条件 D 、无关条件、无关条件8、下列极限存在的是（、下列极限存在的是（ A ）A 、2)1(lim x x x x +¥®B 、121lim -¥®xx C 、xx e 1lim ® D 、xx x 1lim2++¥® 解：A 中原式1)11(lim =+=¥®xx 9、x x xx x x sin2sin 2lim 22+-+¥®=（ A ） A 、21B 、2 C 、0 D 、不存在、不存在解：分子、分母同除以x2，并使用结论“无穷小量与有界变量乘积仍为无穷小量”得，并使用结论“无穷小量与有界变量乘积仍为无穷小量”得10、=--®1)1sin(lim 21x x x （ B ）A 、1 B 、2 C 、21D 、0 解：原式=21)1sin()1(lim 221=--×+®x x x x 11、下列极限中结果等于e 的是（的是（ B ）A 、x x x x x sin 0)sin 1(lim +® B 、xxx x x sin )sin 1(lim +¥® C 、xxx xxsin )sin 1(lim -¥®- D 、xxx xxsin 0)sin 1(lim +®解：A 和D 的极限为2， C 的极限为1 12、函数||ln 1x y =的间断点有（的间断点有（ C ）个）个 A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 解：间数点为无定义的点，为-1、0、1 13、下列函灵敏在点x=0外均不连续，其中点x=0是f(x)的可去间断点的是（的可去间断点的是（ B ） A 、xx f 11)(+= B 、x xx f sin 1)(=C 、xe xf 1)9= D 、ïîïíì³<=0,0,)(1x e x e x f xx解：A 中极限为无穷大，所以为第二类间断点中极限为无穷大，所以为第二类间断点B 中极限为1，所以为可去间断点，所以为可去间断点C 中右极限为正无穷，左极限为0，所以为第二类间断点，所以为第二类间断点D 中右极限为1，左极限为0，所以为跳跃间断点，所以为跳跃间断点 14、下列结论错误的是（、下列结论错误的是（ A ）A 、如果函数f(x)在点x=x 0处连续，则f(x)在点x=x 0处可导处可导B 、如果函数f(x)在点x=x 0处不连续，则f(x)在点x=x 0处不可导处不可导C 、如果函数f(x)在点x=x 0处可导，则f(x)在点x=x 0处连续处连续D 、如果函数f(x)在点x=x 0处不可导，则f(x)在点x=x 0处也可能连续处也可能连续15、设f(x)=x(x+1)(x+2)(x+3),则f ‟(0)=( A ) A 、6 B 、3 C 、2 D 、0 16、设f(x)=cosx ，则=D D --®D xx a f a f x )()(lim 0（ B ）A 、a sinB 、a sin -C 、a cosD 、a cos -解：因为原式=)()()(lim 0a f x x a f a f x ¢=D-D --®D17、x y 2cos 2=，则=dy （ D ）A 、dx x x )2()2(cos 22¢¢ B 、x d x 2cos )2(cos 22¢C 、xdx x 2sin 2cos 2-D 、x xd 2cos 2cos 218、f(x)在点x=x 0处可微，是f(x)在点x=x 0处连续的（处连续的（C ） A 、充分且必要条件、充分且必要条件 B 、必要非充分条件、必要非充分条件C 、充分非必要条件、充分非必要条件D 、既非充分也非必要条件、既非充分也非必要条件 19、设x ne x y 2-+=，则=)0()(n y （ A ）A 、nn )2(!-+ B 、n! C 、1)2(!--+nn D 、n!-2 20、下列函数在给定区间上满足罗尔定理条件的是（、下列函数在给定区间上满足罗尔定理条件的是（ A ） A 、y=x 2-5x+6 [2，3] B 、2)1(1-=x y [0，2] C 、xxe y -= [0，1] D 、îíì³<+=5,15,1x x x y [0，5] 21、求下列极限能直接使用洛必达法则的是（、求下列极限能直接使用洛必达法则的是（ B ）A 、x x x sin lim ¥®B 、x x x sin lim 0®C 、x x x 3sin 5tan lim 2p ® D 、xx x x sin 1sinlim 20® 22、设232)(-+=xx x f ，则当x 趋于0时（时（ B ）A 、f(x)与x 是等价无穷小量是等价无穷小量B 、f(x)与x 是同阶非等价无穷小量是同阶非等价无穷小量C 、f(x)是比x 较高阶的无穷小是较高阶的无穷小是D 、f(x)是比x 较低阶的无穷小量较低阶的无穷小量解：利用洛必达法则解：利用洛必达法则13ln 2ln 13ln 32ln 2lim 232lim )(lim 00000¹+=+-+=®®®xx x x x x x x x x f 23、函数xxee xf -+=)(在区间（-1，1）内（）内（ D ）A 、单调增加、单调增加B 、单调减少、单调减少C 、不增不减、不增不减D 、有增有减、有增有减 24、函数21x xy -=在（-1，1）内（）内（ A ）A 、单调增加、单调增加B 、单调减少、单调减少C 、有极大值、有极大值D 、有极小值、有极小值25、函数y=f(x)在x=x 0处取得极大值，则必有（处取得极大值，则必有（D ） A 、f ‟(x 0)=0 B 、f ”(x 0)<0 C 、f …(x 0)=0且f “(x 0)<0 D 、f …(x 0)=0或f …(x 0)不存在不存在 26、f …(x0)=0，f “(x0)>0是函数f(x)在点x=x0处以得极小值的一个（处以得极小值的一个（ B ） A 、必要充分条件、必要充分条件 B 、充分非必要条件、充分非必要条件 C 、必要非充分条件、必要非充分条件 D 、既非必要也非充分条件、既非必要也非充分条件27、函数y=x 3+12x+1在定义域内（在定义域内（ A ） A 、单调增加、单调增加 B 、单调减少、单调减少 C 、图形上凹、图形上凹 D 、图形下凹、图形下凹 28、设函数f(x)在开区间（a ，b ）内有f …(x)<0且f “(x)<0，则y=f(x)在(a ，b)内（内（ C ） A 、单调增加，图形上凹、单调增加，图形上凹 B 、单调增加，图形下凹、单调增加，图形下凹 C 、单调减少，图形上凹、单调减少，图形上凹 D 、单调减少，图形下凹、单调减少，图形下凹29、对曲线y=x 5+x 3，下列结论正确的是（，下列结论正确的是（D ） A 、有4个极值点个极值点 B 、有3个拐点个拐点 C 、有2个极值点个极值点 D 、有1个拐点个拐点 30、若ò+=C e x dx x f x 22)(，则f(x)=（ D ）A 、ze x 22 B 、zxe 24 C 、x e x 222 D 、)1(22x xe x+31、已知x y 2=¢，且x=1时y=2，则y=( C ) A 、x 2 B 、x 2+C C 、x 2+1 D 、x 2+2 32、=òx d arcsin（ B ）A 、x arcsinB 、x arcsin +C C 、x arccosD 、x arccos +C 33、设)(x f ¢存在，则[]=¢ò)(x df （ B ）A 、f(x) B 、)(x f ¢C 、f(x)+C D 、)(x f ¢+C 34、若ò+=C x dx x f 2)(，则=-òdx x xf )1(2（ D ）A 、C x +-22)1(2 B 、C x +--22)1(2C 、C x +-22)1(21D 、C x +--22)1(21解：C x x d x f dx x xf +--=---=-òò22222)1(21)1()1(21)1(35、设ò+=C x dx x f sin )(，则=-òdx x x f 21)(arcsin （ D ）A 、arcsinx+C B 、C x +-21sin C 、C x +2)(arcsin 21D 、x+C 解：原式=ò+=+=C x c x x d x f )sin(arcsin arcsin )(arcsin36、设x e x f -=)(，则=¢òdx xx f )(ln （ C ）A 、C x+-1 B 、C x +-ln C 、C x+1 D 、lnx+C 解：原式=C xC e C x f x d x f x +=+=+=¢ò-1)(ln ln )(ln ln 37、设ò+=C x dx x xf arcsin )(，则ò=dx x f )(1（ B ）A 、C x +--32)1(43B 、C x +--32)1(31 C 、C x +-322)1(43 D 、C x +-322)1(32解：对ò+=C x dx x xf arcsin )(两端关于x 求导得求导得211)(xx xf -=，即211)(xx x f -=，所以C x x d x dx x x dx x f +--=---=-=òòò22222)1(31)1(1211)(1 38、若sinx 是f(x)的一个原函数，则ò=¢dx x f x )(（ A ） A 、xcosx-sinx+C B 、xsinx+cosx+C C 、xcosx+sinx+C D 、xsinx-cosx+C 解：由sinx 为f(x)的一个原函数知f(x)=cosx ，则使用分部积分公式得，则使用分部积分公式得39、设x e f x+=¢1)(，则f(x)=（ B ）A 、1+lnx+C B 、xlnx+C C 、C x x ++22D 、xlnx-x+C 40、下列积分可直接使用牛顿—莱布尼茨公式的是（、下列积分可直接使用牛顿—莱布尼茨公式的是（ A ） A 、dx x x ò+5231B 、dx x dx ò--1121C 、ò-40223)5(x xdxD 、ò11ln e x x xdx解：选项A 中被积函数在[0，5]上连续，选项B 、C 、D 中被积函数均不能保证在闭区间上连续连续 41、¹ò-22|sin |pp dx x （ A ）A 、0 B 、ò2|sin |2p dx x C 、ò--02)sin (2p dx x D 、ò2sin 2pxdx42、使积分ò=+-202232)1(dx xkx 的常数k=（ C ）A 、40 B 、-40 C 、80 D 、-80 解：原式=325202)11(2)1()1(2220222==+-=++ò-k x kx d x k43、设îíì££-<£-+=10,101,12)(x x x x f x，则，则 =ò-11)(dx x f （ B ） A 、312ln 21+B 、352ln 21+C 、312ln 21-D 、352ln 21-解：352ln 2101)1(3210)22ln 1(1)12()(2312111+=---+=-++=òòò--x x dx x dx dx x f xx44、ò+-=xdt t t y 02)2()1(，则==0x dx dy（ B ） A 、-2 B 、2 C 、-1 D 、1 解：dy/dx=(x+1)2(x+2) 45、下列广义积分收敛的是（、下列广义积分收敛的是（ B ）A 、ò10x dxB 、ò10xdx C 、ò10x x dx D 、ò103x dx解：四个选项均属于ò1px dx ，该广义积分当p<1时收敛，大于等于1时发散时发散二、填空题1、ò=+dx exe x（））解：原式解：原式==xx xex e e x e de e dx e e ==×òò+C2、已知一函数的导数为211)(x x f -=，且当x=1时，函数值为p 23，则此函数F(x)=( p +x arcsin )解：pp =\=+=+=-=\=¢òC C F Cx dx x x F x f x F ,231arcsin )1(arcsin 11)()()(23、曲线2xx ey -=的上凸区间是（的上凸区间是（（（22,22-）））解：22,)12(2,2222±=\-=¢¢-=¢--x ex y xe y x x4、=+ò-xdx x x 322cos )sin (22p p （ 8p ））解：òòòò--=-===\222020222222323824cos 1212sin 412cos sin 0cos cos p p p pp p pdx x xdx xdx x xdx x ，x 为奇函数5、若f(x)f(x)的一个原函数是的一个原函数是sinx sinx，则，则ò=¢¢dx x f )(（ -sinx+C -sinx+C ））解：x x f x x f x x x f cos )(,sin )(,cos )(sin )(-=¢¢-=¢=¢= 6、设2222)ln()(a x a x x x x f +-++=，其中0¹a ，则=¢¢)0(f （a1 ））解：222222222222222221)0(1)2211(1)()ln(221)2211()ln()(a f ax a x xa x x x f a x x a x xa x x a x x x a x x x f =¢¢+=+×+++=¢¢++=+×-+×++++++=¢7、曲线ò+=+=t y tt x sin 1cos cos 2上对应于4p =t 的点外的法线斜率为（的点外的法线斜率为（21+ ）） 8、设)2(2x f y =，而x x f tan )(=¢，则==8p x dy （ p 2 ））解：)2tan(4)2()2(222x x x x f dxdy =¢×¢=9、=++++++¥®)2211(lim 222n n n n n n （ 21 ））1010、设、设1)1(lim)(2+-=¥®nx xn x f n ，则f(x)f(x)的间断点为的间断点为x=x=（（ 0 0 ））解：解：x x 不等于0时，xn x n n x x f n 1111lim)(2=-+-=¥® X=0时，时，f(x)=f(0)=0,f(x)=f(0)=0,f(x)=f(0)=0,显然显然x 不等于0时，时，f(x)=1/x f(x)=1/x f(x)=1/x 连续，又连续，又)0()(lim 0f x f x ¹¥=®三、计算题1、求极限2222sin 112lim x x xx x +-+®参考答案：参考答案：原式原式==81)(81lim )](81211[12lim 4440444220=-=+-+-+®®x x o x x x o x x x x x2、求极限)1ln()13()1(11320limx e x x xxx +----+® 参考答案：参考答案：利用等价无穷小：x x x x a x a x e xx a a ~1)1(,~)1ln(,ln ~1,~1-++--原式原式= =3ln 32lim 31lim 3ln 1)1(lim 11lim 3ln 1)3(ln )1(11lim 202202023202320-=÷÷÷÷øöççççèæ´-=÷÷øöççèæ---+=×---+®®®®®x x x x x x e x x x x e x x x x xx x xx3、设îíì-=-=)cos 1()sin (t a y t t a x ，求22dx y d 参考答案：参考答案：)cos 1(sin t a ta x y dx dy t t -=¢¢= 23222)cos 1(1)cos 1(1cos )cos 1(1)cos 1(sin sin )cos 1(cos )(t a t a t t a t t t t t dx dt dx dy dt d dx dx dyd dx y d --=--=-×-×--=×÷øöçèæ==4、求由方程yxe y +=1所确定隐函数的二阶导数22dxyd参考答案：参考答案：把原方程两边对自变量x 求导，得求导，得dxdy xe e dx dy y y ×+= 解得y e xe e dx dy yy y -=-=21 则32222)2()3()2()()2()2(y e y y dxdy e y dx dy e ye dx d dx y d yyyy-×-=----×=-=5、近似计算数e 的值，使误差不超过10-2参考答案：参考答案：nxx n x x e !1!2112++++»令x=1)!1(!1!2111++++++=Þn e n e q要使误差310-<n R ，只需210)!1(3-<+£n R n经计算，只需取n=5,n=5,所以所以所以72.27167.20083.00417.01667.05.2!51!2111»=+++=++++» e 6、讨论函数)1()(3x x x f -=的凸性与相应曲线拐点的凸性与相应曲线拐点参考答案：参考答案：函数的定义为R3243)(x x x f -=¢)21(6126)(2x x x x x f -=-=¢¢由0)(=¢¢x f 可得x=0,1/2 列表如下：列表如下：x(-(-∞，∞，∞，0) 0)0 （0，1/21/2））1/2 （1/21/2，，+∞）)(x f ¢¢ - 0 + 0 - )(x f凹拐点拐点凸拐点拐点凹所以凹区间为),21()0,(+¥È-¥ 凸区间为凸区间为)21,0( 拐点为（拐点为（00，0）和)161,21(7、求函数22y x x=+的单调区间、极值点的单调区间、极值点参考答案：定义域为(,0)(0,)-¥È+¥．由3222122x y x x x-¢=-=，令0y ¢=得驻点1x =，列表给出单调区间及极值点：，列表给出单调区间及极值点：x(,0)-¥(0,1)１ (1,)+¥y ¢ －—０＋()f x极小值3所以，函数的单调递减区间为(,0)-¥，(0,1]，单调递增区间为[1,)+¥，极小值点为(1,3) 8、求由,,2y x y x x ===所围图形的面积所围图形的面积参考答案：120174()d (d )233A x x x x x x =-+-=-蝌9、设210()0x x x f x ex -ì+£=í>î，求31(2)d f x x -ò．参考答案：方法一：先作变量代换先作变量代换2310121110(2)d ()d (1)d d x tt f x x f t t t t e t -=----==++òòòò 3011110147[]1333tt t e e e ----=+-=-+=-．方法二：先给出2(2)1(2)2(2)2x x x f x e x --ì+-£-=í>î，于是，于是 3232(2)11127(2)d [1(2)]d d 3x f x x x x ex e ----=+-+=-òòò1010、求曲线、求曲线33)1(x x y -+=在A （-1-1，，0），B （2，3），C （3，0）各点处的切线方程）各点处的切线方程参考答案：参考答案：323323)3(1313)1()3(31)1(3x x x x x x y -+--=-×-×++-=¢- 在A （-1-1，，0）点处，34)1(=-¢=y k 所以在A 点处的切线方程为)1(43+=x y而在B （2，3）点处，0)2(=¢=y k所以在B 点处的切线方程为y-3=0又在C （3，0）点处，)3(y k ¢=不存在，即切线与x 轴垂直轴垂直所以C 点处的切线方程为x=311、在区间úûùêëé2,0p 上，曲线x y sin =与直线0,2==y x p 所围成的图形分别绕x 轴和y 轴所产生的放置体的体积。

大一(第一学期)高数期末考试题及答案(完整版).doc

大一上学期高数期末考试一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )(0),sin (cos )(　处有则在设=+=x x x x x f .（A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导.2. ）时（　，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x xx βα.（A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小；（B ）()()x x αβ与是等价无穷小；（C ）()x α是比()x β高阶的无穷小；（D ）()x β是比()x α高阶的无穷小.3. 若()()()02xF x t x f t dt=-⎰，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且'>()0f x ，则（）.（A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值；（B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值；（C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点；（D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。

4.)()( , )(2)( )(1=+=⎰x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设（A ）22x （B ）222x+（C ）1x - （D ）2x +.二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. =+→xx x sin 2)31(lim .6. ,)(cos 的一个原函数是已知x f xx=⋅⎰x xxx f d cos )(则.7.lim(cos cos cos )→∞-+++=22221n n nnnn ππππ .8. =-+⎰21212211arcsin －dx xx x .三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）9. 设函数=()y y x 由方程sin()1x ye xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 10. .d )1(177x x x x ⎰+-求11. ．　求，，设⎰--⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤=1 32)(1020)(dx x f x x x x xe x f x12. 设函数)(x f 连续，=⎰10()()g x f xt dt，且→=0()limx f x A x ，A 为常数. 求'()g x 并讨论'()g x 在=0x 处的连续性.13. 求微分方程2ln xy y x x '+=满足=-1(1)9y 的解.四、解答题（本大题10分）14. 已知上半平面内一曲线)0()(≥=x x y y ，过点(,)01，且曲线上任一点M x y (,)00处切线斜率数值上等于此曲线与x 轴、y 轴、直线x x =0所围成面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程. 五、解答题（本大题10分）15. 过坐标原点作曲线x y ln =的切线，该切线与曲线x y ln =及x 轴围成平面图形D.(1) 求D 的面积A ；(2) 求D 绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积V .六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共8分）16. 设函数)(x f 在[]0,1上连续且单调递减，证明对任意的[,]∈01q ，1()()≥⎰⎰qf x d x q f x dx.17. 设函数)(x f 在[]π,0上连续，且0)(0=⎰πx d x f ，0cos )(0=⎰πdx x x f .证明：在()π,0内至少存在两个不同的点21,ξξ，使.0)()(21==ξξf f （提示：设⎰=xdxx f x F 0)()(）解答一、单项选择题(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1、D 2、A 3、C 4、C二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）5. 6e . 6.c x x +2)cos (21　.7. 2π. 8.3π.三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 解：方程两边求导(1)cos()()0x y e y xy xy y +''+++= cos()()cos()x y x ye y xy y x e x xy +++'=-+0,0x y ==，(0)1y '=-10. 解：767u x x dx du == 1(1)112()7(1)71u du duu u u u -==-++⎰⎰原式 1(ln ||2ln |1|)7u u c =-++ 7712ln ||ln |1|77x x C =-++11. 解：1033()x f x dx xe dx ---=+⎰⎰⎰03()x xd e --=-+⎰⎰0232cos (1sin )x x xe e d x πθθθ----⎡⎤=--+-=⎣⎦⎰　令3214e π=--12. 解：由(0)0f =，知(0)0g =。

大一高数a1期末试题及答案

大一高数a1期末试题及答案一、选择题（每题4分，共20分）1. 已知函数f(x)=x^2-4x+4，求f(2)的值。

A. 0B. 4C. 8D. 12答案：A2. 计算极限lim(x→0) (sin x / x)。

A. 0B. 1C. 2D. ∞答案：B3. 求不定积分∫(3x^2-2x+1)dx。

A. x^3 - x^2 + x + CB. x^3 + x^2 - x + CC. x^3 - x^2 + x - CD. x^3 + x^2 + x - C答案：A4. 判断以下级数是否收敛：∑(n=1 to ∞) (1/n^2)A. 收敛B. 发散答案：A5. 求函数y=ln(x)的导数。

A. 1/xB. xC. ln(x)D. x^2答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 已知等差数列的首项为2，公差为3，求第5项的值：______。

答案：172. 计算定积分∫(0 to 1) x^2 dx的值：______。

答案：1/33. 求函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6的极值点。

答案：x=1, x=24. 判断函数f(x)=x^3-3x+1的单调性。

答案：在区间(-∞, 1)上单调递增，在区间(1, +∞)上单调递减。

三、解答题（共60分）1. 求函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6的极值点，并说明极值类型。

（15分）答案：函数f(x)的导数为f'(x)=3x^2-12x+11，令f'(x)=0，解得x=1, x=2。

通过二阶导数测试，f''(x)=6x-12，f''(1)=-6<0，f''(2)=6>0，所以x=1处为极大值点，x=2处为极小值点。

2. 计算定积分∫(0 to 2) (x^2-2x+1) dx，并求出原函数。

（15分）答案：原函数为F(x)=1/3x^3-x^2+x，定积分值为F(2)-F(0)=8/3-4+2=2/3。

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C. 2(x 1) 2x
D. 2(x 1) x
2.已知 f(x)=ax+b,且 f(-1)=2,f(1)=-2,则 f(x)=（）
A.x+3
B.x-3
C.2x
D.-2x
3. lim ( x ) x （） x x 1
A.e
B.e-1
C.
D.1
4.函数 y
x 3 的连续区间是（）
４．若在区间（ａ，ｂ）内恒有 f ' ( x) 0, f "( x) 0 ，则在
（ａ，ｂ）内曲线弧ｙ＝ｆ（ｘ）为（）
①上升的凸弧
②下降的凸弧
③上升的凹弧
④下降的凹弧
５．设 F ' ( x) G' ( x) ，则（）
① Ｆ(X)＋Ｇ(X) 为常数 ② Ｆ(X)－Ｇ(X) 为常数 ③ Ｆ(X)－Ｇ(X) ＝０
１．（－１，１）
２．２ｘ－ｙ＋１＝０
４．ｙ＝ｘ2＋１
5.
1 2
arctan x 2
c
７．ｙｃｏｓ（ｘｙ）
３．５Ａ６．１
π/2 π ８．∫ ｄθ ∫ ｆ（ｒ2）ｒｄｒ
0
0
９．三阶
பைடு நூலகம்
１０．发散
二、单项选择题（在每小题的四个备选答案中，选出一个正确的答案，将其码写在题干的（）内，１～１０每小题１分，１１～２０每小题２分，共３０分）
B.x5+C
C. 2 x 3 C 3
x5 D.
C
15
13.
8
3
e
x
dx
（）
8
A.0
B. 2
8
3
e
x

大一高数试题及答案

大一高数试题及答案一、选择题1. 设函数 f(x) = x^2 + 3x + 2，下面哪个选项是其导函数？A. f'(x) = 2x + 3B. f'(x) = 2x + 6C. f'(x) = x^2 + 3x + 2D. f'(x) = 3x^2 + 2x + 32. 已知函数 f(x) 连续，则 f(x) = 3x 的解集为：A. x ∈ RB. x = 3C. x = 0D. x = -33. 设函数 y = x^3 - 2x^2 + 3x + 4，求其极值点。

A. (1, 6)B. (-1, -3)C. (0, 4)D. (2, 2)二、计算题1. 求函数 f(x) = 2x^2 + 5x - 3 的两个零点。

2. 求函数 f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x - 4 在 x = 2 处的导数值。

三、解答题1. 求函数 f(x) = x^2 + 3x + 2 的顶点坐标及对称轴方程。

2. 求函数 f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x - 4 在整个定义域上的单调区间。

答案解析：一、选择题1. A解析：由 f(x) = x^2 + 3x + 2，对 x 进行求导得到 f'(x) = 2x + 3。

2. A解析：由 f(x) = 3x，函数 f(x) 直接写出，解集为整个实数集 R。

3. B解析：求导得到 f'(x) = 3x^2 - 4x + 3，令 f'(x) = 0 解得 x = -1，代入原函数求得 y = -3，故极值点为 (-1, -3)。

二、计算题1. 首先，通过求根公式或配方法可得到两个零点 x1 = 1 和 x2 = -1.5。

2. 对函数 f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x - 4 进行求导得到 f'(x) = 3x^2 - 6x + 2，将 x = 2 代入得到 f'(2) = 8。

大一第二学期高数期末考试题(含答案)

大一第二学期高数期末考试一、单项选择题(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分）1.。

(A）（B)（C）(D)不可导.2.。

（A)是同阶无穷小，但不是等价无穷小；（B）是等价无穷小；（C）是比高阶的无穷小; (D）是比高阶的无穷小。

3.若，其中在区间上二阶可导且，则（）.（A）函数必在处取得极大值；（B）函数必在处取得极小值;(C）函数在处没有极值，但点为曲线的拐点；（D）函数在处没有极值，点也不是曲线的拐点。

（A）(B）（C）（D）。

二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）4.。

5..6..7..三、解答题（本大题有5小题，每小题8分,共40分)8.设函数由方程确定，求以及.9.设函数连续，，且，为常数. 求并讨论在处的连续性.10.求微分方程满足的解。

四、解答题（本大题10分）11.已知上半平面内一曲线，过点，且曲线上任一点处切线斜率数值上等于此曲线与轴、轴、直线所围成面积的2倍与该点纵坐标之和,求此曲线方程。

五、解答题（本大题10分)12.过坐标原点作曲线的切线，该切线与曲线及x轴围成平面图形D.(1)求D的面积A;(2）求D绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积V。

六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共8分）13.设函数在上连续且单调递减，证明对任意的，.14.设函数在上连续，且，.证明：在内至少存在两个不同的点，使（提示：设）解答一、单项选择题（本大题有4小题, 每小题4分，共16分）1、D2、A3、C4、C二、填空题（本大题有4小题,每小题4分，共16分）5.。

6。

.7. . 8.。

三、解答题(本大题有5小题,每小题8分,共40分）9.解:方程两边求导,10.解：11.解:12.解:由，知。

，在处连续。

13.解：，四、解答题（本大题10分）14.解：由已知且，将此方程关于求导得特征方程：解出特征根:其通解为代入初始条件，得故所求曲线方程为:五、解答题(本大题10分）15.解：（1）根据题意，先设切点为，切线方程：由于切线过原点，解出，从而切线方程为：则平面图形面积（2)三角形绕直线x = e一周所得圆锥体体积记为V1,则曲线与x轴及直线x = e所围成的图形绕直线x = e一周所得旋转体体积为V2 D绕直线x = e旋转一周所得旋转体的体积六、证明题(本大题有2小题，每小题4分，共12分）16.证明：故有：证毕.证:构造辅助函数：.其满足在上连续，在上可导。

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２．函数ｙ＝ｘ＋ｅx上点（０，１）处的切线方程是______________。

ｆ（Xo＋２h）－ｆ（Xo－３h）３．设ｆ（X）在Xo可导且ｆ'（Xo）＝Ａ，则ｌｉｍ───────────────h→o h＝ _____________。

４．设曲线过（０，１），且其上任意点（Ｘ，Ｙ）的切线斜率为２Ｘ，则该曲线的方程是____________。

ｘ５．∫─────ｄｘ＝_____________。

１－ｘ4１６．ｌｉｍＸｓｉｎ───＝___________。

x→∞ Ｘ７．设ｆ（ｘ，ｙ）＝ｓｉｎ（ｘｙ），则ｆx（ｘ，ｙ）＝____________。

_______R √R2－ｘ2８．累次积分∫ ｄｘ∫ ｆ（Ｘ2＋Ｙ2）ｄｙ化为极坐标下的累次积分为____________。

0 0ｄ3ｙ３ｄ2ｙ９．微分方程─── ＋──（─── ）2的阶数为____________。

ｄｘ3ｘｄｘ2∞ ∞１０．设级数∑ ａn发散，则级数∑ ａn _______________。

n=1 n=1000二、单项选择题（在每小题的四个备选答案中，选出一个正确的答案，将其码写在题干的（）内，１～１０每小题１分，１１～２０每小题２分，共３０分）（一）每小题１分，共１０分１１．设函数ｆ（ｘ）＝── ，ｇ（ｘ）＝１－ｘ，则ｆ［ｇ（ｘ）］＝（）ｘ１１１①１－── ②１＋── ③ ──── ④ｘｘｘ１－ｘ１２．ｘ→0 时，ｘｓｉｎ──＋１是（）ｘ①无穷大量②无穷小量③有界变量④无界变量３．下列说法正确的是（）①若ｆ（ X ）在 X＝Xo连续，则ｆ（ X ）在X＝Xo可导②若ｆ（ X ）在 X＝Xo不可导，则ｆ（ X ）在X＝Xo不连续③若ｆ（ X ）在 X＝Xo不可微，则ｆ（ X ）在X＝Xo极限不存在④若ｆ（ X ）在 X＝Xo不连续，则ｆ（ X ）在X＝Xo不可导４．若在区间（ａ，ｂ）内恒有ｆ'（ｘ）〈０，ｆ"（ｘ）〉０，则在（ａ，ｂ）内曲线弧ｙ＝ｆ（ｘ）为（）①上升的凸弧②下降的凸弧③上升的凹弧④下降的凹弧５．设Ｆ'(x) ＝Ｇ'(x)，则（）① Ｆ(X)＋Ｇ(X) 为常数② Ｆ(X)－Ｇ(X) 为常数③ Ｆ(X)－Ｇ(X) ＝０ｄｄ④ ──∫Ｆ（ｘ）ｄｘ＝──∫Ｇ（ｘ）ｄｘｄｘｄｘ1６．∫ │ｘ│ｄｘ＝（）-1① ０② １③ ２④ ３７．方程２ｘ＋３ｙ＝１在空间表示的图形是（）①平行于ｘｏｙ面的平面②平行于ｏｚ轴的平面③过ｏｚ轴的平面④直线ｘ８．设ｆ（ｘ，ｙ）＝ｘ3＋ｙ3＋ｘ2ｙｔｇ── ，则ｆ（ｔｘ，ｔｙ）＝（）ｙ①ｔｆ（ｘ，ｙ）②ｔ2ｆ（ｘ，ｙ）１③ｔ3ｆ（ｘ，ｙ）④ ──ｆ（ｘ，ｙ）ｔ2ａn＋１∞９．设ａn≥０，且ｌｉｍ───── ＝ｐ，则级数∑ａn（）n→∞ ａ n=1①在ｐ〉１时收敛，ｐ〈１时发散②在ｐ≥１时收敛，ｐ〈１时发散③在ｐ≤１时收敛，ｐ〉１时发散④在ｐ〈１时收敛，ｐ〉１时发散１０．方程ｙ'＋３ｘｙ＝６ｘ2ｙ是（）①一阶线性非齐次微分方程②齐次微分方程③可分离变量的微分方程④二阶微分方程（二）每小题２分，共２０分１１．下列函数中为偶函数的是（）①ｙ＝ｅx②ｙ＝ｘ3＋１③ｙ＝ｘ3ｃｏｓｘ④ｙ＝ｌｎ│ｘ│１２．设ｆ（ｘ）在（ａ，ｂ）可导，ａ〈ｘ1〈ｘ2〈ｂ，则至少有一点ζ∈（ａ，ｂ）使（）①ｆ（ｂ）－ｆ（ａ）＝ｆ'（ζ）（ｂ－ａ）②ｆ（ｂ）－ｆ（ａ）＝ｆ'（ζ）（ｘ2－ｘ1）③ｆ（ｘ2）－ｆ（ｘ1）＝ｆ'（ζ）（ｂ－ａ）④ｆ（ｘ2）－ｆ（ｘ1）＝ｆ'（ζ）（ｘ2－ｘ1）１３．设ｆ（X）在 X＝Xo 的左右导数存在且相等是ｆ（X）在 X＝Xo 可导的（）①充分必要的条件②必要非充分的条件③必要且充分的条件④既非必要又非充分的条件ｄ１４．设２ｆ（ｘ）ｃｏｓｘ＝──［ｆ（ｘ）］2，则ｆ（０）＝１，则ｆ（ｘ）＝（）ｄｘ①ｃｏｓｘ②２－ｃｏｓｘ③１＋ｓｉｎｘ④１－ｓｉｎｘ１５．过点（１，２）且切线斜率为４ｘ3的曲线方程为ｙ＝（）①ｘ4②ｘ4＋ｃ③ｘ4＋１④ｘ4－１１ x１６．ｌｉｍ─── ∫ ３ｔｇｔ2ｄｔ＝（）x→0 ｘ3 0１① ０② １③ ── ④ ∞３ｘｙ１７．ｌｉｍｘｙｓｉｎ───── ＝（）x→0 ｘ2＋ｙ2y→0① ０② １③ ∞ ④ ｓｉｎ１１８．对微分方程ｙ"＝ｆ（ｙ，ｙ'），降阶的方法是（）① 设ｙ'＝ｐ，则ｙ"＝ｐ'ｄｐ② 设ｙ'＝ｐ，则ｙ"＝───ｄｙｄｐ③设ｙ'＝ｐ，则ｙ"＝ｐ───ｄｙ１ｄｐ④ 设ｙ'＝ｐ，则ｙ"＝── ───ｐｄｙ∞ ∞１９．设幂级数∑ ａnｘn在ｘo（ｘo≠０）收敛，则∑ ａnｘn在│ｘ│〈│ｘo│（）n=o n=o①绝对收敛②条件收敛③发散④收敛性与ａn有关ｓｉｎｘ２０．设Ｄ域由ｙ＝ｘ，ｙ＝ｘ2所围成，则∫∫ ─────ｄσ＝（）D ｘ1 1 ｓｉｎｘ① ∫ ｄｘ∫ ───── ｄｙ0 x ｘ__1 √y ｓｉｎｘ② ∫ ｄｙ∫ ─────ｄｘ0 y ｘ__1 √x ｓｉｎｘ③ ∫ ｄｘ∫ ─────ｄｙ0 x ｘ__1 √x ｓｉｎｘ④ ∫ ｄｙ∫ ─────ｄｘ0 x ｘ三、计算题（每小题５分，共４５分）___________／ｘ－１１．设ｙ＝／────── 求ｙ' 。

√ ｘ（ｘ＋３）ｓｉｎ（９ｘ2－１６）２．求ｌｉｍ─────────── 。

x→4/3 ３ｘ－４ｄｘ３．计算∫ ─────── 。

（１＋ｅx）2t 1 ｄｙ４．设ｘ＝∫（ｃｏｓｕ）ａｒｃｔｇｕｄｕ，ｙ＝∫（ｓｉｎｕ）ａｒｃｔｇｕｄｕ，求─── 。

0 t ｄｘ５．求过点Ａ（２，１，－１），Ｂ（１，１，２）的直线方程。

___６．设ｕ＝ｅx＋√ｙ＋ｓｉｎｚ，求ｄｕ。

x asinθ７．计算∫ ∫ ｒｓｉｎθｄｒｄθ 。

0 0ｙ＋１８．求微分方程ｄｙ＝（──── ）2ｄｘ通解。

ｘ＋１３９．将ｆ（ｘ）＝───────── 展成的幂级数。

（１－ｘ）（２＋ｘ）四、应用和证明题（共１５分）１．（８分）设一质量为ｍ的物体从高空自由落下，空气阻力正比于速度（比例常数为ｋ〉０）求速度与时间的关系。

___ １２．（７分）借助于函数的单调性证明：当ｘ〉１时，２√ｘ〉３－── 。

ｘ附：高数（一）参考答案和评分标准一、填空题（每小题１分，共１０分）１．（－１，１）２．２ｘ－ｙ＋１＝０３．５Ａ４．ｙ＝ｘ2＋１１５．──ａｒｃｔｇｘ2＋ｃ２６．１７．ｙｃｏｓ（ｘｙ）π/2 π８．∫ ｄθ ∫ ｆ（ｒ2）ｒｄｒ0 0９．三阶１０．发散二、单项选择题（在每小题的四个备选答案中，选出一个正确的答案，将其码写在题干的（）内，１～１０每小题１分，１１～２０每小题２分，共３０分）（一）每小题１分，共１０分１．③ ２．③ ３．④ ４．④ ５．②６．② ７．② ８．⑤ ９．④ １０．③（二）每小题２分，共２０分１１．④ １２．④ １３．⑤ １４．③ １５．③１６．② １７．① １８．③ １９．① ２０．②三、计算题（每小题５分，共４５分）１１．解：ｌｎｙ＝──［ｌｎ（ｘ－１）－ｌｎｘ－ｌｎ（ｘ＋３）］（２分）２１１１１１──ｙ'＝──（────－──－────）（２分）ｙ２ｘ－１ｘｘ＋３__________１／ｘ－１１１１ｙ'＝── ／──────（────－──－────）（１分）２√ ｘ（ｘ＋３）ｘ－１ｘｘ＋３１８ｘｃｏｓ（９ｘ2－１６）２．解：原式＝ｌｉｍ──────────────── （３分）x→4/3 ３１８（４／３）ｃｏｓ［９（４／３）2－１６］＝────────────────────── ＝８（２分）３１＋ｅx－ｅx３．解：原式＝∫───────ｄｘ（２分）（１＋ｅx）2ｄｘｄ（１＋ｅx）＝∫─────－∫─────── （１分）１＋ｅx（１＋ｅx）2１＋ｅx－ｅx１＝∫───────ｄｘ＋───── （１分）１＋ｅx１＋ｅx１＝ｘ－ｌｎ（１＋ｅx）＋───── ＋ｃ（１分）１＋ｅx４．解：因为ｄｘ＝（ｃｏｓｔ）ａｒｃｔｇｔｄｔ，ｄｙ＝－（ｓｉｎｔ）ａｒｃｔｇｔｄｔ（３分）ｄｙ－（ｓｉｎｔ）ａｒｃｔｇｔｄｔ所以─── ＝──────────────── ＝－ｔｇｔ（２分）ｄｘ（ｃｏｓｔ）ａｒｃｔｇｔｄｔ５．解：所求直线的方向数为｛１，０，－３｝（３分）ｘ－１ｙ－１ｚ－２所求直线方程为────＝────＝──── （２分）１０－３__ __６．解：ｄｕ＝ｅx +√y + sinzｄ（ｘ＋√ｙ＋ｓｉｎｘ）（３分）__一、D C A C A B C C B A D A B A D A D B D A二课程代码：00020一、单项选择题（本大题共20小题，每小题2分，共40分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1.设函数=-=)x 2(f 1x x)x 1(f ，则（）A.x211- B.x12- C.x 2)1x (2- D.x)1x (2- 2.已知f(x)=ax+b,且f(-1)=2,f(1)=-2,则f(x)=（） A.x+3 B.x-3 C.2x D.-2x 3.=+∞→xx )1x x (lim （）A.eB.e -1C.∞D.14.函数)1x )(2x (3x y -+-=的连续区间是（）A.),1()2,(+∞---∞B.),1()1,(+∞---∞C.),1()1,2()2,(+∞-----∞D.[)+∞,35.设函数⎩⎨⎧-=-≠++=1x a 1x )1x ln()1x ()x (f 2 ，　，在x=-1连续,则a=（）A.1B.-1C.2D.06.设y=lnsinx,则dy=（） A.-cotx dxB.cotx dxC.-tanx dxD.tanx dx7.设y=a x (a>0,a ≠1),则y (n)==0x （）A.0B.1C.lnaD.(lna)n8.设一产品的总成本是产量x 的函数C(x),则生产x 0个单位时的总成本变化率(即边际成本)是（） A.x)x (C B.x x x)x (C =C.dx)x (dC D.0x x dx )x (dC =9.函数y=e -x -x 在区间(-1,1)内（） A.单调减小 B.单调增加 C.不增不减 D.有增有减 10.如可微函数f(x)在x 0处取到极大值f(x 0),则（） A.0)x (f 0=' B.0)x (f 0>' C.0)x (f 0<'D.)x (f 0'不一定存在11.='+⎰dx )]x (f x )x (f [（） A.f(x)+C B.⎰dx )x (xf C.xf(x)+CD.⎰+dx )]x (f x [12.设f(x)的一个原函数是x 2,则⎰=dx )x (xf （） A.C 3x 3+B.x 5+CC.C x 323+D.C 15x 5+ 13.⎰-=88xdx e3（）A.0B.dx e28x3⎰C.⎰-22xdx eD.⎰-22x 2dx e x 314.下列广义积分中,发散的是（）A.⎰10xdx B.⎰1x dxC.⎰103xdxD.⎰-1x1dx15.满足下述何条件,级数∑∞=1n nU一定收敛（）A.有界∑=n1i iUB.0U lim n n =∞→C.1r U Ulim n1n n <=+∞→ D.∑∞=1n n|U|收敛16.幂级数∑∞=-1n n)1x (的收敛区间是（）A.(]2,0B.(0,2)C.[)2,0D.(-1,1)17.设yx 2ez -=,则=∂∂yz（） A.yx 2e-B.yx 222e yx -C.yx 2e yx 2--D.yx 2e y1--18.函数z=(x+1)2+(y-2)2的驻点是（） A.(1,2) B.(-1,2) C.(-1,-2) D.(1,-2) 19.=⎰⎰π≤≤π≤≤2y 02x 0ydxdy cos x cos （）A.0B.1C.-1D.220.微分方程x sin 1dxdy+=满足初始条件y(0)=2的特解是（） A.y=x+cosx+1 B.y=x+cosx+2 C.y=x-cosx+2 D.y=x-cosx+3二、简单计算题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 21.求极限 .1n )n 3n (lim n --+∞→22.设).1(y ,x y x1'=求23.求不定积分⎰+.dx xcos x sin 1x2cos24.求函数z=ln(1+x 2+y 2)当x=1,y=2时的全微分. 25.用级数的敛散定义判定级数∑∞=++1n .1n n 1的敛散性三、计算题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）26.设.y zy x z x,)u (F ,x y u ),u (xF xy z ∂∂+∂∂=+=求为可导函数 27.计算定积分 I ⎰=21.dx x ln x28.计算二重积分dxdy )y x cos(I D22⎰⎰+=,其中D 是由x 轴和2x 2y -π=所围成的闭区域.29.求微分方程0e y dxdyxx =-+满足初始条件y(1)=e 的特解. 四、应用题（本大题共2小题，每小题8分，共16分） 30.已知某厂生产x 件某产品的成本为C=25000+200x+　问.x 4012(1)要使平均成本最小,应生产多少件产品?(2)如产品以每件500元出售,要使利润最大,应生产多少件产品? 31.求由曲线x y =,直线x+y=6和 10.设函数y =ln x ,则它的弹性函数ExEy=_____________. 11.函数f (x )=x 2e -x 的单调增加区间为______________. 12.不定积分⎰+32d x x=__________________.13.设f (x )连续且⎰+=xx x t t f 022cos d )(，则f (x )=________________.14.微分方程x d y -y d x =2d y 的通解为____________________.15.设z=x e xy ,则yx z∂∂∂2=______________________.三、计算题（一）（本大题共5小题，每小题5分，共25分）16.设函数f(x)=⎩⎨⎧≤+>-0130e x x x k x 在x =0处连续，试求常数k .17.求函数f(x)=x x2sin e +x arctan x 的导数. 18.求极限xx x x x sin e lim 20-→.19.计算定积分⎰π202d 2sin x x .20.求不定积分⎰++211x x d x .四、计算题（二）（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 21.求函数f (x )=x 3-6x 2+9x -4在闭区间[0，2]上的最大值和最小值. 22.已知f (3x +2)=2x e -3x ,计算⎰52d )(x x f .23.计算二重积分⎰⎰Dy x y x d d 2，其中D 是由直线y =x ,x =1以及x 轴所围的区域.五、应用题（本大题9分）24.已知矩形相邻两边的长度分别为x,y ，其周长为4.将矩形绕其一边旋转一周得一旋转体（如图）.问当x,y各为多少时可使旋转体的体积最大？21 -3/222 -e^-123 x- arctgx + C24 3/225 y + 2 = 026 t^2f(x,y)27 -1/(2sqrt(x)sqrt(y))28 2pi/329 1/230 (c_1x + c_2 ) e^(4x)三四一、D C A C A B C C B A D A B A D A D B D A二21 -3/222 -e^-123 x- arctgx + C24 3/225 y + 2 = 026 t^2f(x,y)27 -1/(2sqrt(x)sqrt(y))28 2pi/329 1/230 (c_1x + c_2 ) e^(4x) 三四。