八种经典线性规划例题最全总结(经典)
线性规划问题求解例题和知识点总结
线性规划问题求解例题和知识点总结线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛且方法较成熟的一个重要分支，它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法。
在实际生活中，很多问题都可以归结为线性规划问题，例如资源分配、生产计划、运输调度等。
下面我们将通过一些具体的例题来深入理解线性规划问题，并对相关知识点进行总结。
一、线性规划问题的基本概念线性规划问题是在一组线性约束条件下，求一个线性目标函数的最大值或最小值的问题。
其数学模型一般可以表示为：目标函数：＄Z ＝ c_1x_1 ＋ c_2x_2 ＋＼cdots ＋ c_nx_n$约束条件：＄＼begin{cases}a_{11}x_1 ＋ a_{12}x_2 ＋＼cdots ＋a_{1n}x_n ＼leq b_1 ＼＼ a_{21}x_1 ＋ a_{22}x_2 ＋＼cdots ＋a_{2n}x_n ＼leq b_2 ＼＼＼cdots ＼＼ a_{m1}x_1 ＋ a_{m2}x_2 ＋＼cdots ＋ a_{mn}x_n ＼leq b_m ＼＼ x_1, x_2, ＼cdots, x_n ＼geq0\end{cases}＄其中，＄x_1, x_2, ＼cdots, x_n$是决策变量，＄c_1, c_2, ＼cdots, c_n$是目标函数的系数，＄a_{ij}＄是约束条件的系数，＄b_1, b_2, ＼cdots, b_m$是约束条件的右端项。
二、线性规划问题的求解方法1、图解法对于只有两个决策变量的线性规划问题，可以使用图解法来求解。
其步骤如下：（1）画出约束条件所对应的可行域。
（2）画出目标函数的等值线。
（3）根据目标函数的优化方向，平移等值线，找出最优解所在的顶点。
例如，求解线性规划问题：目标函数：＄Z ＝ 2x ＋ 3y$约束条件：＄＼begin{cases}x ＋ 2y ＼leq 8 ＼＼ 2x ＋ y ＼leq 10＼＼ x ＼geq 0, y ＼geq 0\end{cases}＄首先，画出约束条件所对应的可行域：对于$x ＋ 2y ＼leq 8$，当$x ＝ 0$时，＄y ＝ 4$；当$y ＝ 0$时，＄x ＝8$，连接这两点得到直线$x ＋2y ＝8$，并取直线下方的区域。
线性规划经典例题
线性规划经典例题一、问题描述假设有一家生产玩具的工厂，该工厂生产两种类型的玩具：A型和B型。
工厂有两个车间可供使用，分别是车间1和车间2。
每一个车间生产一种类型的玩具，并且每一个车间每天的生产时间有限。
玩具A的生产需要1个小时在车间1和2个小时在车间2，而玩具B的生产需要3个小时在车间1和1个小时在车间2。
每一个车间每天的生产能力分别是8个小时和6个小时。
每一个玩具A的利润为100元，而玩具B的利润为200元。
现在的问题是，如何安排每一个车间每天的生产时间，以使得利润最大化？二、数学建模1. 定义变量：设x1为在车间1生产的玩具A的数量（单位：个）；设x2为在车间2生产的玩具A的数量（单位：个）；设y1为在车间1生产的玩具B的数量（单位：个）；设y2为在车间2生产的玩具B的数量（单位：个）。
2. 建立目标函数：目标函数为最大化利润，即：Maximize Z = 100x1 + 200y13. 建立约束条件：a) 车间1每天的生产时间限制：x1 + 3y1 ≤ 8b) 车间2每天的生产时间限制：2x1 + y1 ≤ 6c) 非负约束条件：x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, y1 ≥ 0, y2 ≥ 0三、求解线性规划问题使用线性规划求解器，可以求解出最优的生产方案。
1. 求解结果：根据线性规划求解器的结果，最优解为：x1 = 2, x2 = 0, y1 = 2, y2 = 0即在车间1生产2个玩具A，在车间2生产2个玩具B，可以实现最大利润。
2. 最大利润：根据最优解，可以计算出最大利润：Z = 100x1 + 200y1= 100(2) + 200(2)= 600元因此，在给定的生产时间限制下，最大利润为600元。
四、结果分析根据线性规划求解结果，我们可以得出以下结论：1. 最优生产方案：根据最优解，最优生产方案为在车间1生产2个玩具A，在车间2生产2个玩具B。
2. 最大利润：在给定的生产时间限制下，最大利润为600元。
线性规划问题求解例题和知识点总结
线性规划问题求解例题和知识点总结线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支，它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法。
在经济管理、交通运输、工农业生产等领域都有着广泛的应用。
下面我们通过一些具体的例题来深入理解线性规划问题，并对相关知识点进行总结。
一、线性规划的基本概念线性规划问题是在一组线性约束条件下，求一个线性目标函数的最大值或最小值的问题。
其数学模型一般可以表示为：目标函数：＄Z ＝ c_1x_1 ＋ c_2x_2 ＋＼cdots ＋ c_nx_n$约束条件：＄＼begin{cases}a_{11}x_1 ＋ a_{12}x_2 ＋＼cdots ＋a_{1n}x_n ＼leq b_1 ＼＼ a_{21}x_1 ＋ a_{22}x_2 ＋＼cdots ＋a_{2n}x_n ＼leq b_2 ＼＼＼cdots ＼＼ a_{m1}x_1 ＋ a_{m2}x_2 ＋＼cdots ＋ a_{mn}x_n ＼leq b_m ＼＼ x_1, x_2, ＼cdots, x_n ＼geq0\end{cases}＄其中，＄x_1, x_2, ＼cdots, x_n$是决策变量，＄c_1, c_2, ＼cdots, c_n$是目标函数的系数，＄a_{ij}＄是约束条件的系数，＄b_1, b_2, ＼cdots, b_m$是约束条件的右端项。
二、线性规划问题的求解方法常见的求解线性规划问题的方法有图解法和单纯形法。
1、图解法适用于只有两个决策变量的线性规划问题。
步骤如下：画出直角坐标系。
画出约束条件所对应的直线。
确定可行域（满足所有约束条件的区域）。
画出目标函数的等值线。
移动等值线，找出最优解。
例如，求解线性规划问题：目标函数：＄Z ＝ 2x ＋ 3y$约束条件：＄＼begin{cases}x ＋ 2y ＼leq 8 ＼＼ 2x ＋ y ＼leq 10 ＼＼ x ＼geq 0, y ＼geq 0\end{cases}＄首先，画出约束条件对应的直线：＄x ＋ 2y ＝ 8$，＄2x ＋ y ＝10$，以及$x ＝ 0$，＄y ＝ 0$。
线性规划经典例题
线性规划常见题型及解法由已知条件写出约束条件，并作出可行域，进而通过平移直线在可行域内求线性目标函数的最优解是最常见的题型，除此之外，还有以下六类常见题型。
一、求线性目标函数的取值范围例1、 若x 、y 满足约束条件222x y x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩，则z=x+2y 的取值范围是 （ ）A 、[2,6]B 、[2,5]C 、[3,6]D 、（3,5] 解：如图，作出可行域，作直线l ：x+2y ＝0，将l 向右上方平移，过点A （2,0）时，有最小值2，过点B （2,2）时，有最大值6，故选A二、求可行域的面积例2、不等式组260302x y x y y +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≤⎩表示的平面区域的面积为（ ）A 、4B 、1C 、5D 、无穷大解：如图，作出可行域，△ABC 的面积即为所求，由梯形OMBC 的面积减去梯形OMAC 的面积即可，选B三、求可行域中整点个数例3、满足|x|＋|y|≤2的点（x ，y ）中整点（横纵坐标都是整数）有（ ）A 、9个B 、10个C 、13个D 、14个解：|x|＋|y|≤2等价于2(0,0)2(0,0)2(0,0)2(0,0) x y x yx y x yx y x yx y x y+≤≥≥⎧⎪-≤≥⎪⎨-+≤≥⎪⎪--≤⎩ppp p作出可行域如右图，是正方形内部（包括边界），容易得到整点个数为13个，选D四、求线性目标函数中参数的取值范围例4、已知x、y满足以下约束条件5503x yx yx+≥⎧⎪-+≤⎨⎪≤⎩，使z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解有无数个，则a的值为（）A、－3B、3C、－1D、1解：如图，作出可行域，作直线l：x+ay＝0，要使目标函数z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解有无数个，则将l向右上方平移后与直线x+y＝5重合，故a=1，选D五、求非线性目标函数的最值例5、已知x、y满足以下约束条件220240330x yx yx y+-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则z=x2+y2的最大值和最小值分别是（）A、13，1 B、13，2C、13，45D、5解：如图，作出可行域,x2+y2是点（x，y）到原点的距离的平方，故最大值为点A（2,3）到原点的距离的平方，即|AO|2=13，最小值为原点到直线2x ＋y －2=0的距离的平方，即为45，选C 六、求约束条件中参数的取值范围例6、已知|2x －y ＋m|＜3表示的平面区域包含点（0,0）和（－1,1），则m 的取值范围是 （ ）A 、（-3,6）B 、（0,6）C 、（0,3）D 、（-3,3）解：|2x －y ＋m|＜3等价于230230x y m x y m -++>⎧⎨-+-<⎩由右图可知3330m m +>⎧⎨-<⎩ ,故0＜m ＜3，选C七·比值问题当目标函数形如y az x b-=-时,可把z 看作是动点(,)P x y 与定点(,)Q b a 连线的斜率，这样目标函数的最值就转化为PQ 连线斜率的最值。
线性规划例题和知识点总结
线性规划例题和知识点总结线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支，它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法。
在实际生活中，有很多问题都可以通过线性规划来解决，比如资源分配、生产计划、运输调度等。
下面我们通过一些具体的例题来深入理解线性规划，并对相关知识点进行总结。
一、线性规划的基本概念线性规划问题是在一组线性约束条件下，求一个线性目标函数的最大值或最小值。
线性规划的数学模型通常可以表示为：目标函数：＄Z ＝ c_1x_1 ＋ c_2x_2 ＋＼cdots ＋ c_nx_n$约束条件：＄＼begin{cases}a_{11}x_1 ＋ a_{12}x_2 ＋＼cdots ＋a_{1n}x_n ＼leq b_1 ＼＼ a_{21}x_1 ＋ a_{22}x_2 ＋＼cdots ＋a_{2n}x_n ＼leq b_2 ＼＼＼cdots ＼＼ a_{m1}x_1 ＋ a_{m2}x_2 ＋＼cdots ＋ a_{mn}x_n ＼leq b_m ＼＼ x_1, x_2, ＼cdots, x_n ＼geq0\end{cases}＄其中，＄x_1, x_2, ＼cdots, x_n$是决策变量，＄c_1, c_2, ＼cdots, c_n$是目标函数的系数，＄a_{ij}＄是约束条件的系数，＄b_i$是约束条件的右端项。
二、线性规划的解题步骤1、建立数学模型：根据实际问题，确定决策变量、目标函数和约束条件。
2、画出可行域：将约束条件在直角坐标系中表示出来，得到可行域。
3、求出最优解：在可行域内，通过寻找目标函数的等值线与可行域边界的交点，求出最优解。
三、例题分析例 1：某工厂生产甲、乙两种产品，已知生产 1 单位甲产品需要消耗 A 资源 2 单位，B 资源 3 单位，可获利 5 万元；生产 1 单位乙产品需要消耗 A 资源 3 单位，B 资源 2 单位，可获利 4 万元。
现有 A 资源12 单位，B 资源 10 单位，问如何安排生产，才能使工厂获得最大利润？解：设生产甲产品$x_1$单位，生产乙产品$x_2$单位。
线性规划经典例题
线性规划经典例题引言概述：线性规划是一种运筹学方法，用于解决线性约束条件下的最优化问题。
它在各个领域都有广泛的应用，包括生产计划、资源分配、运输问题等。
本文将介绍几个经典的线性规划例题，以帮助读者更好地理解和应用线性规划方法。
一、生产计划问题1.1 最大利润问题在生产计划中，一个常见的线性规划问题是最大利润问题。
假设一个公司有多个产品，每个产品的生产和销售都有一定的成本和利润。
我们需要确定每个产品的生产数量，以最大化整体利润。
1.2 生产能力限制另一个常见的问题是生产能力限制。
公司的生产能力可能受到设备、人力资源或原材料等方面的限制。
我们需要在这些限制下，确定每个产品的生产数量，以实现最大化的利润。
1.3 市场需求满足除了考虑利润和生产能力，还需要考虑市场需求。
公司需要根据市场需求确定每个产品的生产数量，以满足市场需求，并在此基础上最大化利润。
二、资源分配问题2.1 资金分配问题在资源分配中，一个常见的线性规划问题是资金分配问题。
假设一个公司有多个项目，每个项目需要一定的资金投入，并有相应的回报。
我们需要确定每个项目的资金分配比例，以最大化整体回报。
2.2 人力资源分配另一个常见的问题是人力资源分配。
公司的人力资源可能有限，而各个项目对人力资源的需求也不同。
我们需要在人力资源有限的情况下，确定每个项目的人力资源分配比例，以实现最大化的效益。
2.3 时间分配除了资金和人力资源，时间也是一种有限资源。
在资源分配中，我们需要合理安排时间，以满足各个项目的需求，并在此基础上实现最大化的效益。
三、运输问题3.1 最小成本运输问题在运输领域，线性规划可以用于解决最小成本运输问题。
假设有多个供应地和多个需求地，每个供应地和需求地之间的运输成本不同。
我们需要确定每个供应地和需求地之间的货物运输量，以实现最小化的总运输成本。
3.2 运输能力限制另一个常见的问题是运输能力限制。
运输公司的运输能力可能受到车辆数量、运输距离或运输时间等方面的限制。
最全线性规划题型总结
线性规划题型总结1. “截距”型考题在线性约束条件下，求形如(,)=+∈的线性目标函数的最值问z ax by a b R题，通常转化为求直线在y轴上的截距的取值. 结合图形易知，目标函数的最值一般在可行域的顶点处取得.掌握此规律可以有效避免因画图太草而造成的视觉误差.1．（2017•天津）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+y的最大值为（）A．B．1 C．D．3答案：D解：变量x，y满足约束条件的可行域如图：目标函数z=x+y结果可行域的A点时，目标函数取得最大值，由可得A（0，3），目标函数z=x+y的最大值为：3．2．（2017•新课标Ⅲ）若x，y满足约束条件，则z=3x﹣4y的最小值为．答案：﹣1．解：由z=3x﹣4y，得y=x﹣，作出不等式对应的可行域（阴影部分），平移直线y=x﹣，由平移可知当直线y=x﹣，经过点B（1，1）时，直线y=x﹣的截距最大，此时z取得最小值，将B的坐标代入z=3x﹣4y=3﹣4=﹣1，即目标函数z=3x﹣4y的最小值为﹣1．（2017•浙江）若x、y满足约束条件，则z=x+2y的取值范围是（）3．A．[0，6] B．[0，4] C．[6，+∞）D．[4，+∞）答案：D．解：x、y满足约束条件，表示的可行域如图：目标函数z=x+2y经过C点时，函数取得最小值，由解得C（2，1），目标函数的最小值为：4目标函数的范围是[4，+∞）．4．（2016•河南二模）已知x，y∈R，且满足，则z=|x+2y|的最大值为（）A．10 B．8 C．6 D．3答案：C．解：作出不等式组，对应的平面区域如图：（阴影部分）由z=|x+2y|，平移直线y=﹣x+z，由图象可知当直线y=﹣x﹣z经过点A时，z取得最大值，此时z最大．即A（﹣2，﹣2），代入目标函数z=|x+2y|得z=2×2+2=6。
5．（2016•湖南模拟）设变量x、y满足约束条件，则z=32x﹣y的最大值为（）A．B．C．3 D．9答案：D．解：约束条件对应的平面区域如图：令2x﹣y=t，变形得y=2x﹣t，根据t的几何意义，由约束条件知t过A时在y轴的截距最大，使t最小，由得到交点A（，）所以t最小为；过C时直线y=2x﹣t在y轴截距最小，t最大，由解得C（1，0），所以t的最大值为2×1﹣0=2，所以，故。
线性规划典型例题(老师)
二元一次不等式与简单的线性规划问题典型例题一例1 画出不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤+-≤-+≤-+-.0330402y x y x y x ，，表示的平面区域．分析：采用“图解法”确定不等式组每一不等式所表示的平面区域，然后求其公共部分．解：把0=x ，0=y 代入2-+-y x 中得0200<-+-∴ 不等式02≤-+-y x 表示直线02=-+-y x 下方的区域（包括边界）， 即位于原点的一侧，同理可画出其他两部分，不等式组所表示的区域如图所示． 说明：“图解法”是判别二元一次不等式所表示的区域行之有效的一种方法．典型例题二例2 画出332≤<-y x 表示的区域，并求所有的正整数解),(y x ．分析：原不等式等价于⎩⎨⎧≤->.3,32y x y 而求正整数解则意味着x ，y 还有限制条件，即求⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤->∈∈>>.3,32,,,0,0y x y z y z x y x ．解：依照二元一次不等式表示的平面区域，知332≤<-y x 表示的区域如下图：对于332≤<-y x 的正整数解，先画出不等式组．⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤->∈∈>>.3,32,,,0,0y x y z y z x y x 所表示的平面区域，如图所示．容易求得，在其区域内的整数解为)1,1(、)2,1(、)3,1(、)2,2(、)3,2(．说明：这类题可以将平面直角坐标系用网络线画出来，然后在不等式组所表示的平面区域内找出符合题设要求的整数点来．典型例题三例3 求不等式组⎪⎩⎪⎨⎧+-≤-+≥111x y x y 所表示的平面区域的面积．分析：本题的关键是能够将不等式组所表示的平面区域作出来，判断其形状进而求出其面积．而要将平面区域作出来的关键又是能够对不等式组中的两个不等式进行化简和变形，如何变形？需对绝对值加以讨论． 解：不等式11-+≥x y 可化为)1(-≥≥x x y 或)1(2-<--≥x x y ；不等式1+-≤x y 可化为)0(1≥+-≤x x y 或)0(1<+≤x x y ． 在平面直角坐标系内作出四条射线)1(-≥=x x y AB ：， )1(2-<--=x x y AC ： )0(1≥+-=x x y DE ：，)0(1<+=x x y DF ：则不等式组所表示的平面区域如图由于AB 与AC 、DE 与DF 互相垂直，所以平面区域是一个矩形．根据两条平行线之间的距离公式两平行直线距离公式d=|C1-C2|/根号(A^2+B^2)可得矩形的两条边的长度分别为22和223．所以其面积为23．典型例题四例4 若x 、y 满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+-≥+-≤-+.0104010230122y x y x y x ，，求y x z 2+=的最大值和最小值．分析：画出可行域，平移直线找最优解．解：作出约束条件所表示的平面区域，即可行域，如图所示．作直线z y x l =+2:，即z x y 2121+-=，它表示斜率为21-，纵截距为2z的平行直线系，当它在可行域内滑动时，由图可知，直线l 过点时，z 取得最大值，当l 过点B 时，z 取得最小值． ∴ 18822max =⨯+=z ∴ 2222min =⨯+-=z说明：解决线性规划问题，首先应明确可行域，再将线性目标函数作平移取得最值．典型例题五例5 用不等式表示以)4,1(A ，)0,3(-B ，)2,2(--C 为顶点的三角形内部的平面区域．分析：首先要将三点中的任意两点所确定的直线方程写出来，然后结合图形考虑三角形内部区域应怎样表示。
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线性规划常见题型及解法由已知条件写出约束条件，并作出可行域，进而通过平移直线在可行域内求 线性目标函数的最优解是最常见的题型，除此之外，还有以下六类常见题型。
一、求线性目标函数的取值范围XE2例1、 若X 、y 满足约束条件y 乞2 ，则z=x+2y 的取值范围是()X y -2解：如图，作出可行域，作直线 l : x+2y = 0，将 l 向右上方平移，过点 A (2,0 )时，有最小值 2,过点B (2,2 )时，有最大值6,故选A二、求可行域的面积Rx + y® °例2、不等式组｛x + y-3兰°表示的平面区域的面积为解：如图，作出可行域，△ ABC 的面积即为所求，由梯形OMBC 勺面积减去梯形A [2,6]B 、[2,5]C 、[3,6]D ( 3,5]X + y =2y k()\ \A 4B 、1C 、5D 、无穷大X + y - 3 = °\\BM AvOc\y =2—►X -6= 0OMACy 2 AOXX =2By =2门22X + y =5的面积即可，选B三、求可行域中整点个数例3、满足|x| + |y| w 2的点（x , y ）中整点（横纵坐标都是整数）有（）四、求线性目标函数中参数的取值范围工x y _5 例4、已知x 、y 满足以下约束条件x-y 5汕x^3z=x+ay （a>0）取得最小值的最优解有无数个，则 值为（）A 、一 3B 3C 、一 1D 、1解：如图，作出可行域，作直线 l : x+ay = 0,要使目标函数z=x+ay （a>0）取得最A 9 个B 、10 个C 、13 个解：|x| + |y|w 2等价于上十y 乞2x-y <2 \-x y - 2D 14个(X — 0,y 一 0) (x —0,yY0) (x 0,y —0)作出可行域如右图，是正方形内部（包括边界）,使a 的小值的最优解有无数个，则将I 向右上方平移后与直线 x+y = 5重合，故a=1, 选D五、求非线性目标函数的最值'2x + y -2 K0例5、已知X 、y 满足以下约束条件丿x —2y+4王03x - y - 3 二 0分别是（） B 、 13， 2 D 、 13，◎5解：如图，作出可行域，x2+y2是点（x ，y ）到原点的距离的平方，故最大值为点 A （ 2,3 ）到原点的距离的平方，即|AO|2=13，最小值为原点到直线 2x + y -2=0的 距离的平方，即为4，选C5六、求约束条件中参数的取值范围解：1“-y +m i v 3 等价于｛2：「y ：m ：3；0例6、已知|2x — y + m|v 3表示的平面区域包y 和（一1,1 ），则m 的取值范围是 （）'2x -y + 3 = 0A 、(-3,6 )B 、(0,6 )C 、 (0,3 )D 、// 2x -y = 077含点(0,0)(-3,3 )，则z=x2+y2的最大值和最小值A 、13，1 C 、13，45 -2= 0由右图可知m 3 3 ,故O v m< 3,选Cm -3 cO七、比值问题当目示函数形如Z 竟时,可把z 看作是动点P （x ，y ）与定点Q （b ，a ）连线的斜率, 这样目标函数的最值就转化为 PQ 连线斜率的最值。
9 y最小值5；当直线OM 过点（1, 6）时，x 取得最大值6.答案A 八、线性规划应用例1、某工厂利用两种燃料生产三种不同的产品 A 、B 、C ,每消耗一吨燃料与 产品A 、B 、C 有下列关系：X口产品A 产品B 产品C燃料甲10（吨） 7（吨） 5〔吨｝ 磁料乙5(吨)9（吨）13(吨)现知每吨燃料甲与燃料乙的价格之比为 2:3，现需要三种产品A 、B 、C 各50吨、 63吨、65吨.问如何使用两种燃料，才能使该厂成本最低？ 分析：由于该厂成本与两种燃料使用量有关，而产品A 、B 、C 又与这两种燃料有关，且这三种产品的产量也有限制，因此这是一道求线性目标函数在线性约 束条件下的最小值问题，这类简单的线性规划问题一般都可以利用二元一次不已知变量x , y 满足约束条件x — y + 2< 0, x > 1, 则 x + y — 7W 0,x 的取值范围是（ (A ) 9 [5, 6](B )(—汽 5] U [6 , +~)(C ) (―汽 3] U [6 ,+心 解析X 是可行域内的点M （x , y ） 与原点 (D ) [3 , O5（0, 0）连线的斜率，当直线 OM 过点（㊁, y取得6]等式求在可行域上的最优解.解：设该厂使用燃料甲X 吨，燃料乙y 吨，甲每吨2t 元， 则成本为z =2tx - 3ty =t （2x • 3y ）.因此只须求2x 3y 的最小值即可.1Ox + 5y 兰50, 7x 9y _63,又由题意可得x 、y 满足条件5x /3y_65. 作出不等式组所表示的平面区域（如图）"7x +9y =63, 由|5x+13y=65.得作直线1 ：x 3y =0，把直线1向右上方平移至可行域中的点 B 时，ZW2 117 3 70 •也23 23 23444 二最小成本为23 t .11770答：应用燃料甲 云吨，燃料乙23吨，才能使成本最低.说明：本题中燃料的使用不需要是整数吨，若有些实际应用问题中的解是整数 解，又该如何来考虑呢？例2、咖啡馆配制两种饮料，甲种饮料每杯含奶粉9克、咖啡4克、糖3克，乙种饮料每杯含奶粉4克、咖啡5克、糖10克.已知每天原料的使用限额为奶 粉3600克、咖啡2000克、糖3000克.如果甲种饮料每杯能获利 0.7元，乙种 饮料每杯能获利1.2元，每天在原料的使用限额内饮料能全部售出，每天应配B （乎为 JOx+5y =5QA （27 56）由［7x +9y =63.得诂’11 丿制两种饮料各多少杯能获利最大?分析：这是一道线性规划的应用题，求解的困难在于从实际问题中抽象出不等 式组.只要能正确地抽象出不等式组，即可得到正确的答案.解：设每天配制甲各饮料x 杯、乙种饮料y 杯可获得最大利润，利润总额为z 元. 由条件知：z =0.7x“.2y .变量x 、y 满足[3x+10y-3000 = 0, 4x +5y —2000 = 0.得A 点坐标A(2°°，24°)答：应每天配制甲种饮料 200杯，乙种饮料240杯方可获利最大.高考真题练习l x 3y -3一0,1. ( 2010年浙江理7)若实数x , y 满足不等式组2x-y-3^0,且x y 的最大值为9 ,x-my 1 _ 0,则实数m 二(A ) -2 (B ) -1 (C ) 1 (D ) 2解析：将最大值转化为 y 轴上的截距，将 m 等价为斜率的倒数，数形结合可知答A 点的位置时，z = 0.7xT.2y 取由方程组:作出不等式组所表示的可行域(如图)最大值.◎x +4y E3600,4x +5y 兰2000, 3x 10y _3000, x _0, y _0.案选C,本题主要考察了用平面区域二元一次不等式组， 以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题x y _ 12.（2009年陕西理11）若x,y 满足约束条件x — y_—1，目标函数z“x ・2y 仅在点（1，2x-y <20 ） 处取得最小值，则 a 的取值范围是 w.w.w.k.s.5.u.c.o.mw.w.w.k.s.5.u.c.o.m【解析】:不等式表示的平面区域如图所示阴影部分 ，当直线ax+by= z （ a>0, b>0）过直线x-y+2=0与直线3x-y-6=0的交点（4,6 ）时， 目标函数z=ax+by （a>0， b>0）取得最大12,即 4a+6b=12,即 2a+3b=6,而2+3=（2+3）空坐=匹+占+?）3^ + 2 = ^ 故选 Aa b a b 66 a b 66【命题立意】:本题综合地考查了线性规划问题和由基本不等式求函数的最值问题 要求能准确地画出不等式表示的平面区域，并且能够求得目标函数的最值，对于形 如已知2a+3b=6,求2 3的最小值常用乘积进而用基本不等式解答a b(A) ( -1,2)(B)(-4 ,2)(C)(-4,0](D)(-2,4)答案：B 解析：根据图像判断, 目标函数需要和 由图像知函数a 的取值范围是 （-4，2）3.（2009年山东理12）设x ，y 满足约束条件，3x_y 违兰0 x-y*护若目标函数z=ax+by 则-3的最小值为（a bA. 256B. 83(a>0, ).C.11 32D. 4x y _1，x_y+2= z=ax+bb>0）的值是最大值为 O3x_y_6=02x —y 空2平行,2 x4.【答案】4【解析】不等式表示的区域是一个四边形， 4个顶点是(0,0),(0, 2),(-,0),(1, 4)，易见目标函数在(1,4)取最大值8,2所以8二ab4=ab=4，所以，在a = b=2时是等号成立。
所以a b 的最小值为4. (2009年安徽理7)若不等式组 x-°为面积相等的两部分，则 (A ) 7(B ) 337x 3 y3 x U y k 的值是 (C ) 3 4所表示的平面区域被直线y = kx ・4分3< 4［解析］:不等式表示的平面区域如图所示阴影部分厶X 由?+3^4得 A (1,1),又 B (0, 4), C (0,3x y =43• I S △ ABC —(4 - 4) 1 = 4，设 y = kx 与 3x y = 4 的2 3 3父点为 D ,则由 S B CD = 1 S.；：ABC = 2 知 x D = 1 ,232二 5 二k 14,k=7选 A o(D ) 3高.考.资.源.网4ABC5.(2008年山东理12)设二元一次不等式组”x + 2y-19》0,x-y+8 > 0,所表示的平面区域为 M , 2x + y -14 W 0使函数y 二a x (a 0, a")的图象过区域M 的a 的取 值范围是( )A . [1 ,3] B. [2 , , 10] C . [2 ,9]D. [ '.10,9]解：C,区域M 是三条直线相交构成的三角形(如图) 显然a 1 ,只需研究过(1,9)、(3,8)两种情形，a 1辽9且a 3 -8即2 ^a 乞9.6.(2010年安徽理2x- y 2-13)设x, y 满足约束条件<8x-y-乍0,x^0 y >若目标函数z 二abx y a 0,b 0的最大值为8,则a b 的最小值为-■-。