八种经典线性规划例题最全总结(经典)

线性规划常见题型及解法

由已知条件写出约束条件，并作出可行域，进而通过平移直线在可行域内求 线性目标函数的最优解是最常见的题型，除此之外，还有以下六类常见题型。

一、求线性目标函数的取值范围

XE2

例1、 若X 、y 满足约束条件y 乞2 ，则z=x+2y 的取值范围是

()

X y -2

解：如图，作出可行域，作直线 l : x+2y = 0，将 l 向右上方平移，过点 A (2,0 )时，

有最小值 2,过点B (2,2 )时，有最大值6,故选A

二、求可行域的面积

Rx + y® °

例2、不等式组｛x + y-3兰°表示的平面区域的面积为

解：如图，作出可行域，△ ABC 的面积即为所求，由梯形OMBC 勺面积减去梯形

A [2,6]

B 、[2,5]

C 、[3,6]

D ( 3,5]

X + y =2

y k

()

\ \

A 4

B 、1

C 、5

D 、无穷大

X + y - 3 = °

\\B

M Av

O

c\

y =2

—►

X -6= 0

OMAC

y 2 A

O

X

X =2

B

y =2

门2

2X + y =5

的面积即可，选B

三、求可行域中整点个数

例3、满足|x| + |y| w 2的点（x , y ）中整点（横纵坐标都是整数）有（

）

四、求线性目标函数中参数的取值范围

工x y _5 例4、已知x 、y 满足以下约束条件

x-y 5汕

x^3

z=x+ay （a>0）取得最小值的最优解有无数个，则 值为

（）

A 、一 3

B 3

C 、一 1

D 、1

解：如图，作出可行域，作直线 l : x+ay = 0,要使目标函数z=x+ay （a>0）取得最

A 9 个

B 、10 个

C 、13 个

解：|x| + |y|

w 2等价于

上十y 乞

2

x-y <2 \

-x y - 2

D 14个

(X — 0,y 一 0) (x —0,yY0) (x 0,y —0)

作出可行域如右图，是正方形内部（包括边界）

,使

a 的

小值的最优解有无数个，则将I 向右上方平移后与直线 x+y = 5重合，故a=1, 选D

五、求非线性目标函数的最值

'2x + y -2 K0

例5、已知X 、y 满足以下约束条件丿x —2y+4王0

3x - y - 3 二 0

分别是（） B 、 13， 2 D 、 13，◎

5

解：如图，作出可行域，x2+y2是点（x ，y ）到原点的距离的平方，故最大值为点 A （ 2,3 ）到原点的距离的平方，即|AO|2=13，最小值为原点到直线 2x + y -2=0的 距离的平方，即为4，选C

5

六、求约束条件中参数的取值范围

解：1“-

y +m i v 3 等价于｛2：「y ：m ：3；0

例6、已知|2x — y + m|v 3表示的平面区域包

y 和（一1,1 ），则m 的取值范围是 （）

'2x -y + 3 = 0

A 、(-3,6 )

B 、(0,6 )

C 、 (0,3 )

D 、

/

/ 2x -y = 0

77

含点(0,0)

(-3,3 )

，则z=x2+y2的最大值和最小值

A 、13，1 C 、13，4

5 -2= 0

由右图可知m 3 3 ,故O v m< 3,选C

m -3 cO

七、比值问题

当目示函数形如Z 竟时,可把z 看作是动点P （x ，y ）与定点Q （b ，a ）连线的斜率, 这样目标函数的最值就转化为 PQ 连线斜率的最值。

9 y

最小值5；当直线OM 过点（1, 6）时，x 取得最大值6.答案A 八、线性规划应用

例1、某工厂利用两种燃料生产三种不同的产品 A 、B 、C ,每消耗一吨燃料与 产品

A 、

B 、

C 有下列关系：

X

口

产品A 产品B 产品C

燃料甲

10（吨） 7（吨） 5〔吨｝ 磁料乙

5(吨)

9（吨）

13(吨)

现知每吨燃料甲与燃料乙的价格之比为 2:3，现需要三种产品A 、B 、C 各50吨、 63吨、65吨.问如何使用两种燃料，才能使该厂成本最低？ 分析：由于该厂成本与两种燃料使用量有关，而产品

A 、

B 、

C 又与这两种燃料

有关，且这三种产品的产量也有限制，因此这是一道求线性目标函数在线性约 束条件下的最小值问题，这类简单的线性规划问题一般都可以利用二元一次不

已知变量x , y 满足约束条件

x — y + 2< 0, x > 1, 则 x + y — 7W 0,

x 的取值范围是（ (A ) 9 [5, 6]

(B )(—汽 5] U [6 , +~)

(C ) (―汽 3] U [6 ,+心 解析

X 是可行域内的点M （x , y ） 与原点 (D ) [3 , O

5

（0, 0）连线的斜率，当直线 OM 过点

（㊁, y

取得

6]