高中数学线性规划题型总结
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高考线性规划归类解析
一、已知线性约束条件,探求线性目标关系最值问题
例1、设变量x 、y 满足约束条件⎪⎩
⎪⎨⎧≥+-≥-≤-1122y x y x y x ,则y x z 32+=的最大值为 。
解析:如图1,画出可行域,得在直线2x-y=2与直
线x-y=-1的交点A(3,4)处,目标函数z 最大值为18
点评:本题主要考查线性规划问题,由线性约束条件画出
可行域,然后求出目标函数的最大值.,是一道较为简单的送
分题。数形结合是数学思想的重要手段之一。
二、已知线性约束条件,探求非线性目标关系最值问题
例2、已知1,10,220x x y x y ≥⎧⎪-+≤⎨⎪--≤⎩
则22x y +的最小值是 .
解析:如图2,只要画出满足约束条件的可行域,而22x y +表
示可行域内一点到原点的距离的平方。由图易知A (1,2)是满
足条件的最优解。22x y +的最小值是为5。
点评:本题属非线性规划最优解问题。求解关键是在挖掘目
标关系几何意义的前提下,作出可行域,寻求最优解。
三、约束条件设计参数形式,考查目标函数最值范围问题。 例3、在约束条件0
024x y y x s
y x ≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩下,当35s ≤≤时,目标函数32z x y =+的最大值的变化范围是()
A.[6,15]
B. [7,15]
C. [6,8]
D. [7,8]
解析:画出可行域如图3所示,当34s ≤<时, 目标函数
32z x y =+在(4,24)B s s --处取得最大值, 即
max 3(4)2(24)4[7,8)z s s s =-+-=+∈;当45s ≤≤时, 目标函数
32z x y
=+在点
(0,4)E 处取得最大值,即max 30248z =⨯+⨯=,故[7,8]z ∈,从而选D; 点评:本题设计有新意,作出可行域,寻求最优解条件,然后转化为目标函数Z 关于S 的函数关系是求解的关键。
四、已知平面区域,逆向考查约束条件。
例4、已知双曲线22
4x y -=的两条渐近线与直线3x =围成一个三
角形区域,表示该区域的不等式组是() (A)0003x y x y x -≥⎧⎪+≥⎨⎪≤≤⎩ (B)
0003x y x y x -≥⎧⎪+≤⎨⎪≤≤⎩ (C) 0003x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪≤≤⎩
(D) 图2
图
C
0003x y x y x -≤⎧⎪+≥⎨⎪≤≤⎩
解析:双曲线22
4x y -=的两条渐近线方程为y x =±,与直线3x =围成一个三角形区域(如图4所示)时有00
03x y x y x -≥⎧⎪+≥⎨⎪≤≤⎩。 点评:本题考查双曲线的渐近线方程以及线性规划问题。验证法或排除法是最效的方法。
五、已知最优解成立条件,探求目标函数参数范围问题。
例5已知变量x ,y 满足约束条件1422x y x y ≤+≤⎧⎨
-≤-≤⎩
。若目标函数z ax y =+(其中0a >)仅在点(3,1)处取得最大值,则a 的取值范围为 。
解析:如图5作出可行域,由z ax y y ax z =+⇒=-+其表
示为斜率为a -,纵截距为z的平行直线系, 要使目标函数
z ax y =+(其中0a >)仅在点(3,1)处取得最大值。则直线
y ax z =-+过A点且在直线4,3x y x +==(不含界线)之间。
即1 1.a a -<-⇒>则a 的取值范围为(1,)+∞。
点评:本题通过作出可行域,在挖掘a z -与的几何意义的条件下,借助用数形结合利用各直线间的斜率变化关系,建立满足题设条件的a 的不等式组即可求解。求解本题需要较强的基本功,同时对几何动态问题的能力要求较高。
六、设计线性规划,探求平面区域的面积问题
例6在平面直角坐标系中,不等式组20
200x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩
表示的
平面区域的面积是()(A)42 (B)4 (C) 22 (D)2
解析:如图6,作出可行域,易知不等式组20
200x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩
表
示的平面区域是一个三角形。容易求三角形的三个顶点坐标为A(0,2),B(2,0),C(-2,0).于是三角形的面积为:11||||42 4.22
S BC AO =⋅=⨯⨯=从而选B。
点评:有关平面区域的面积问题,首先作出可行域,探求平面区域图形的性质;其次利用面积公式整体或部分求解是关键。
七、研究线性规划中的整点最优解问题
例7、某公司招收男职员x 名,女职员y 名,x 和y 须满足约束条件⎪⎩
⎪⎨⎧≤≥+-≥-.112,932,22115x y x y x 则1010z x y =+的最大值是(A)80
(B) 85 (C) 90 (D)95
解析:如图7,作出可行域,由101010z z x y y x =+⇒=-+
,它表示为斜率为1-,纵截距为10
z 的平行直线系,要使1010z x y =+最得最大值。当直线
1010z x y =+通过119(
,)22
A z 取得最大值。因为,x y N ∈,故A点不是最优整数解。于是考虑可行域内A点附近整点B(5,4),C(4,4),经检验直线经过B点时,max 90.Z = 点评:在解决简单线性规划中的最优整数解时,可在去掉限制条件求得的最优解的基础上,调整优解法,通过分类讨论获得最优整数解。