初三圆的概念和性质

初三圆的概念和性质

令狐采学

【知识梳理】

1.圆的有关概念和性质

(1) 圆的有关概念

①圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做

圆，其中定点为圆心，定长为半径．

②弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧．

③弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径．

（2）圆的有关性质

①圆是轴对称图形；其对称轴是任意一条过圆心的直线；圆是

中心对称图形，对称中心为圆心．

②垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的

弧．

推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧．

③弧、弦、圆心角的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．推论：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；直径所对的圆周角是直角；90”的圆周角所对的弦

是直径．

④三角形的内心和外心

ⓐ：确定圆的条件：不在同一直线上的三个点确定一个圆．ⓑ：三角形的外心：三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心就是三角形三边的垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．

ⓒ：三角形的内心：和三角形的三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心

2.与圆有关的角

（1）圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角。圆心角的度数等于它所对的弧的度数．

（2）圆周角：顶点在圆上，两边分别和圆相交的角，叫圆周角。圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一

半．

（3）圆心角与圆周角的关系：

同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．

（4）圆内接四边形：顶点都在国上的四边形，叫圆内接四边形．

圆内接四边形对角互补，它的一个外角等于它相邻内角的对角．

【练习】

1.如图，A、B、C是⊙O上的三点，∠BAC=30°

则∠BOC的大小是（）

A．60○B．45○ C．30○D．15○

2.如图，MN所在的直线垂直平分弦A B，利用这样的工

具最少使用__________次，就可找到圆形工件的圆心．

3.如图，A、B、C是⊙O上三个点，当BC平分∠ABO时，

能得出结论_______（任写一个）．

4.如图是中国共产主义青年团团旗上的图案，点A、B、C、

D、E五等分圆，

则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数是（）

A．180° B．15 0° C．135° D．120°

5.如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A 、B，点C 在

⊙O上．如果∠P＝50○ ，那么∠ACB等于（）

A．40○ B．50○

C．65○D．130○

二：【经典考题剖析】

1.如图，在⊙O中，已知∠A CB＝∠CDB＝60○ ，AC＝3，

则△ABC的周长是____________.

2.“圆材埋壁”是我国古代《九章算术》中的问题：“今有

圆材，埋在壁冲，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，

间径几何”．用数学语言可表述为如图，CD为⊙O的直径，

弦

AB⊥CD 于点E ，CE ＝1寸，AB=10寸，则直径CD 的长为（ ）

A ．12．5寸

B ．13寸

C ．25寸

D ．26寸

3.如图，已知AB 是半圆O 的直径，弦AD 和BC 相交于点P ， 那么CD AB

等于（ ） A ．sin∠BPD B ．cos∠BPD C ．tan∠BPD

D ．cot∠BPD

4.⊙O 的半径是5，AB 、CD 为⊙O 的两条弦，且AB∥CD，AB=6，CD=8，

求 AB 与CD 之间的距离．

5.如图，在⊙M 中，弧AB 所对的圆心角为1200，已知圆的半径为2cm ，并建立如图所示的直角坐标系，点C 是y 轴与弧AB 的交点。

（1）求圆心M 的坐标；

（2）若点D 是弦AB 所对优弧上一动点，求四边形ACBD 的最大面积 6.如图，在⊙O 中，弦AB=1．8。m ，圆周角∠ACB=30○ ， 则 ⊙O 的直径等于_________cm ． 7.如图，C 是⊙O 上一点，O 是圆心．若∠=35°， 则∠AOB 的度数为（ ）

A ．35○B．70○ C．105○D．150○

C

D A B O M

Y X

8.如图，⊙O内接四边形ABCD中，AB=CD

则图中和∠1相等的角有______

9.在半径为1的圆中，弦AB、AC分别是3和2，

则∠BAC的度数为多少？

10.如图，弦AB的长等于⊙O的半径，点C在AMB上，

则∠C的度数是_______.

11.如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠BOD=100°，

则∠DAB的度数为（）

A．50° B．80° C．100° D．130°

12.如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，点E在CD的延长线上，如果∠BOD=120°，那么∠BCE等于（）A．30° B．60° C．90° D．120°

13.用直角钢尺检查某一工件是否恰好是半圆环形，

根据图所表示的情形，四个工件哪一个肯定是半圆环形（）

14.如图，⊙O的直径AB=10，DE⊥AB于点H，AH=2．

（1）求DE的长；

（2）延长ED到P，过P作⊙O的切线，切点为C，若PC=225，求PD的长．

15.某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂,维修人员为更换管

道,需确定管道圆形截面的半径,如图是水平放置的破裂管道有水部分的截面.