中考试题中的方案设计问题
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当日可 获得最大利润160元．
[来源:Z*xx*k.Com]
批发单价（元）
5
[来源:学&科&网Z&X&X&K]
4
①
②
日最高销量（kg）
80
（6，80）
40
（7，40）
O 20 60
批发量（kg）
[来源:学科网ZXXK]
第23题图（1）
O
2
4
6
8 零售价（元）
第23题图（2）
经调查，某经销商销 售该种水果的日最高销量与零售价之间的函数关系如图（2）所 示，该经销商拟每日售出60kg以上该种水果，且当日零售价不变，请你帮助该经销商设计 进货和销售的方案，使得当日获得的利润最大．
（1）求 w 与 x 的函数关系式及自变量 x 的取值范围；
（2）请你计算一下，如果购买这三种奖品所花的总钱数最少？最少是多少元？
解：（1） 12x 10(2x 10) 5[50 x (2x 10)]
17x 200 ．
x 0 2x 10 0 [50 x (2x 10)] 0 由 5[50 x (2x 10)]≤1.510(2x 10)
中考试题中的方案设计问题
近几年来全国各地的中考数学试题中，贴近生活关注社会热点的应用性试题逐年增 多，其中不少是关于方案设计问题，体现了新课程的理念。 以中考题为例，谈谈这类试题 的解法。
一、用方程组的非负整数解的组数确定方案种数 例1： 一宾馆有二人间，三人间，四人间三种客房供游客租住。某旅行团20人准备同 时租住这三种客房共7间，问：每一个房间都 住满，租房方案有（ ）。 A : 4种 B： 3种 C： 2种 D：1种 分析：题设中存在两个等量关系，启示我们应用方程组的知识来求解。 解：设需二人间X间，三人间Y间，四人间Z间
例3 为迎接 国庆六十周年，某校团委组织了“歌唱祖国”有奖征文活动，并设立了
一、二、三等奖．学校计划派人根据设奖情况买50件奖品，其中二等奖件数比一等奖件数 的2倍还少10件，三等奖所花钱数不超过二等奖所花钱数的1.5倍．各种奖品的单价如下表
所示．如果计划一等奖买 x 件，买50件奖品的总钱数是 w 元．
（2）若搭配一个A种造型的成本是800元，搭配一个B种造型的成本是960元，试说 明（1）中哪种方案成本最低？最低成本是多少元？
分析：题设中隐含两个不等关系：甲种花卉不超过3490盒，乙种花卉不超过2950 盒，从而列出不等式组求解。
解 ：设搭配A种造型x个，则B种造型为 (50 x) 个，
80x 50(50 x) ≤ 3490
得10 ≤ x 20
∴自变量的取值范围是10 ≤ x 20 ，且 x 为整数． [来源:Zxxk.Com]
（2）∵ k 17 0 ，∴ 随 x 的增大而增大，当 x 10 时，有 最小值． 最小值为 17 10 200 370 ．
答：一等奖买10件，二等奖买10件，三等奖买30件时，所花的钱数最少， 最少钱数是370元． 四、用二次函数的最值确定最佳方案 例4： 已知某种水果 的批发单价与批发量的函数关系如图（1）所示．
解：设当日零售价为x元，由图可得日最高销量 w 320 40m 当m＞60时，x＜6.5[来源:Z|xx|k.Com] 由题意，销售利润 为 y (x 4)(320 40m) 40[(x 6)2 4] 当x＝6时， y最 大 值 160 ，此时m＝80 即经销商应批发80kg该种水果，日零 售价定为6元/kg，
x ≤ 33
依题意，得：
40x
90(50
x)
≤
2950
解得：
x
≥
31
，∴
31≤
x
33
wenku.baidu.com
∵ x是整数，x可取31、32、33， ∴可设计三种搭配方案：①A种园艺造型31个，B种园艺造型19个；②A种园艺造型32 个，B种园艺造型18个；③A种园艺造型33个，B种园艺造型17个． 方案①需成本：31×800+19×960=4 3040（元）； 方案②需成本：32×800+18×960=42880（元）； 方案③需成本：33×800+17×960=42720（元）； ∴应选择方案③，成本最低，最低成本为42720元． 三、用一次函数的增减性确定最佳方案
例2： 迎接大运，美化深圳，园林部门决定利用现有的3490盆甲种花卉和2950盆乙 种花卉 搭配A、B两种园艺造型共50个摆放在迎宾大道两侧，已知搭配一个A种造型需甲 种花卉80盆，乙种花卉40盆，搭配一个B种造型需甲种花卉50盆，乙种花卉90盆．
（1）某校九年级（1）班课外活动小组承接了这个园艺造型搭配方案的设计，问符 合题意的搭配方案有几种？请你帮助设计出来．
x y z 7 由题意可知 2x 3y 4z 20
消去X得：y－2z=6即y=6－2z
由y ，z为非负整数可知：z=0，1，2，3四个 值，则对应的x，y，z的值如下：
x 1
y
6
x 0
x 2 x 3
y
4
y
2
z 1 z 2
x 4
y
0
z 3
∵y，z不为零，则有两种方案，故选C。 二、应 用不等式组的正整数解确定最佳方案
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批发单价（元）
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①
②
日最高销量（kg）
80
（6，80）
40
（7，40）
O 20 60
批发量（kg）
[来源:学科网ZXXK]
第23题图（1）
O
2
4
6
8 零售价（元）
第23题图（2）
经调查，某经销商销 售该种水果的日最高销量与零售价之间的函数关系如图（2）所 示，该经销商拟每日售出60kg以上该种水果，且当日零售价不变，请你帮助该经销商设计 进货和销售的方案，使得当日获得的利润最大．
（1）求 w 与 x 的函数关系式及自变量 x 的取值范围；
（2）请你计算一下，如果购买这三种奖品所花的总钱数最少？最少是多少元？
解：（1） 12x 10(2x 10) 5[50 x (2x 10)]
17x 200 ．
x 0 2x 10 0 [50 x (2x 10)] 0 由 5[50 x (2x 10)]≤1.510(2x 10)
中考试题中的方案设计问题
近几年来全国各地的中考数学试题中，贴近生活关注社会热点的应用性试题逐年增 多，其中不少是关于方案设计问题，体现了新课程的理念。 以中考题为例，谈谈这类试题 的解法。
一、用方程组的非负整数解的组数确定方案种数 例1： 一宾馆有二人间，三人间，四人间三种客房供游客租住。某旅行团20人准备同 时租住这三种客房共7间，问：每一个房间都 住满，租房方案有（ ）。 A : 4种 B： 3种 C： 2种 D：1种 分析：题设中存在两个等量关系，启示我们应用方程组的知识来求解。 解：设需二人间X间，三人间Y间，四人间Z间
例3 为迎接 国庆六十周年，某校团委组织了“歌唱祖国”有奖征文活动，并设立了
一、二、三等奖．学校计划派人根据设奖情况买50件奖品，其中二等奖件数比一等奖件数 的2倍还少10件，三等奖所花钱数不超过二等奖所花钱数的1.5倍．各种奖品的单价如下表
所示．如果计划一等奖买 x 件，买50件奖品的总钱数是 w 元．
（2）若搭配一个A种造型的成本是800元，搭配一个B种造型的成本是960元，试说 明（1）中哪种方案成本最低？最低成本是多少元？
分析：题设中隐含两个不等关系：甲种花卉不超过3490盒，乙种花卉不超过2950 盒，从而列出不等式组求解。
解 ：设搭配A种造型x个，则B种造型为 (50 x) 个，
80x 50(50 x) ≤ 3490
得10 ≤ x 20
∴自变量的取值范围是10 ≤ x 20 ，且 x 为整数． [来源:Zxxk.Com]
（2）∵ k 17 0 ，∴ 随 x 的增大而增大，当 x 10 时，有 最小值． 最小值为 17 10 200 370 ．
答：一等奖买10件，二等奖买10件，三等奖买30件时，所花的钱数最少， 最少钱数是370元． 四、用二次函数的最值确定最佳方案 例4： 已知某种水果 的批发单价与批发量的函数关系如图（1）所示．
解：设当日零售价为x元，由图可得日最高销量 w 320 40m 当m＞60时，x＜6.5[来源:Z|xx|k.Com] 由题意，销售利润 为 y (x 4)(320 40m) 40[(x 6)2 4] 当x＝6时， y最 大 值 160 ，此时m＝80 即经销商应批发80kg该种水果，日零 售价定为6元/kg，
x ≤ 33
依题意，得：
40x
90(50
x)
≤
2950
解得：
x
≥
31
，∴
31≤
x
33
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∵ x是整数，x可取31、32、33， ∴可设计三种搭配方案：①A种园艺造型31个，B种园艺造型19个；②A种园艺造型32 个，B种园艺造型18个；③A种园艺造型33个，B种园艺造型17个． 方案①需成本：31×800+19×960=4 3040（元）； 方案②需成本：32×800+18×960=42880（元）； 方案③需成本：33×800+17×960=42720（元）； ∴应选择方案③，成本最低，最低成本为42720元． 三、用一次函数的增减性确定最佳方案
例2： 迎接大运，美化深圳，园林部门决定利用现有的3490盆甲种花卉和2950盆乙 种花卉 搭配A、B两种园艺造型共50个摆放在迎宾大道两侧，已知搭配一个A种造型需甲 种花卉80盆，乙种花卉40盆，搭配一个B种造型需甲种花卉50盆，乙种花卉90盆．
（1）某校九年级（1）班课外活动小组承接了这个园艺造型搭配方案的设计，问符 合题意的搭配方案有几种？请你帮助设计出来．
x y z 7 由题意可知 2x 3y 4z 20
消去X得：y－2z=6即y=6－2z
由y ，z为非负整数可知：z=0，1，2，3四个 值，则对应的x，y，z的值如下：
x 1
y
6
x 0
x 2 x 3
y
4
y
2
z 1 z 2
x 4
y
0
z 3
∵y，z不为零，则有两种方案，故选C。 二、应 用不等式组的正整数解确定最佳方案