yang 1.5.1二项式定理

3
a 3a b 3ab b
3 2 2
(a b)(a ab ba b ) 2 2 3 2 a a b aba ab ba 3 2 bab b a b
2 2
3
上述过程可以看出, (a b) 展开式中的每一 项都是(a b)(a b)(a b) 的每个括号里 各取一个字母的乘积.
0 3 3 1 2 3 2 3 2 3 3 3
a
3
ab
2
ab
2
b
3
C
0 3
C
1 3
C
2 3
C
3 3
尝试二项式定理的发现:
4
（a b) (a b)(a b)(a b) a b) （
C a C a b C a b C ab C b
0 4 4 1 3 4 2 2 2 4 3 4 3 4 4 4
n n n n n 2 n n-2 2 2 n 1 n n-1 1 n 0 n n 0 n
( a b) C a C a b C a b C b (n N )
0 n n n n n
1 n 1 n
r nr r n

这个公式就叫做二项式定理,右边的多项式叫做(a+b) 的二项展开式,它一共有n+1项,其中C a b 叫做二项 展开式的第r+1项,(也称通项),用Tr+1表示,即 Tr+1 C a b
由多项式乘法则可以知道: (a+b) a 2ab b
2 2 3 3 2 4 4 3 2 2 3 3 4
(a b) a 3a b 3ab b
2 2 n
(a b) a 4a b 6a b 4ab b
你能写出(a+b)(n N )的展开式吗 ?
3
一般地,由 (a b) (a b)(a b) (a b)
n n个 ( a b )
可知, 其展开式是从每个括号各取一个字母的一切可能乘积的和
n 可见,(a+b)的展开式中的项都具有a n-r b(r=0,1,2,,n)的形式,
其系数就是在(a+b)(a+b)(a+b)的n个括号中选r个取b的 方法种数.
具体地, 每个都不取b的情况有1种,即C 种,所以a 的系数是C ; 恰有1个取b的情况有C 种,所以a b的系数是C ; 恰有2个取b的情况有C 种,所以a b 的系数是C ; 恰有r个取b的情况有Cr 种,所以a n-r br的系数是Cr n n n个括号都取b的情况有C 种,所以b 的系数是C 因此,
a
4
ab
C
1 4
3
ab
C
1 n
2 2
ab
3
b
C
4
2 4
4 4 n n
（a b)
n
C、
C 、C
n -1 n
探求得:
1 0 （a b) C1 a1 C1b1 1
（a b) C a C ab C b
2
0 2 2
1 2
2 2 2
2 3 2 3 3 3
（a b) C a C a b C ab C b
3
0 3 3
1 2 3
4 （a b) C0a4 C1 a3b C2a2b2 C3ab3 C4b4 4 4 4 4 4
r （a b) C0an C1 an-1b Cnan-rbr Cn bn n n n
n
(a b) (a b)(a b)(a b)
r n r nr r n r nr r n
n
C (r=0,1,,n)叫做第r+1项的二项式系数.
例1 展开下列个式 ：
(1) a b
6
1 例1(2)、展开（1+ x ）4.
例2: 求（1+2x）7的展开式的第4项 的系数
1 的二项式中的常数项。 例3 求 x 2x
问题: 50 今天是星期三,那ห้องสมุดไป่ตู้从今天算起,第 50 天 是星期几?
二项式定理
学习目标: 掌握二项式定理和二项展开式的通项公 式,能用它们解决与二项展开式有关的简单问题.
自学指导:
1.课本上是通过什么方法得到二项式定理的? 2.二项展开式有何特征?有多少项?它的通项公式是什 么?有什么特点?它是第几项? 3.二项展开式某项的二项式系数与这项的系数相同吗? 自主检测:P32练习1、2
6
分层训练: 必做题:P32练习3、4、5、6 选做题： P36习题7
作业：P36习题1（1）、6
小 结 ：
1.主要学习了二项式定理的探求极其 简单的应用。 2.两种题型 ①求展开式;
②求某一项的二项式系数和系数 或某一项（有理项、常数项等）。
谢 谢
尝试二项式定理的发现:
（a b) a b
1
（a b) a 2ab b
2 2
2
(a b) a 3a b 3ab b
3 3 2 2
3
尝试二项式定理的发现:
3
（a b) (a b)(a b)(a b)
C a C a b C ab C b