高数 弧微分与曲率
高数弧微分与曲率
若曲线 y f (x) 在点M处的曲率K不为零，称
1
R K
为曲线在点M处的曲率半经。
8
例2 求曲线 x4 y4 2在点M (1,1) 处的曲率半径。
解 方程两边同时对x求导，整理得
x3 y3 y 0 (1)
两边再对x求导，整理得
3x2 3y2 y2 y3 y 0 (2)
将点 M (1,1) 代人（1）得 y (1,1) 1;
将点M (1,1), y (1,1) 1 代人（2）得 y (1,1) 6
故曲线在点 M (1,1) 处的曲率半径
3
(1 y2 )2
2
R
(1,1)
y
(1,1) 3 .
9
例3. 我国铁路常用立方抛物线 y 1 x3 作缓和曲线, 6Rl
其中R是圆弧弯道的半径, l 是缓和曲线的长度, 且 l << R.
求此缓和曲线在其两个端点
处的曲率.
点击图片任意处播放\暂停
说明: 铁路转弯时为保证行车 平稳安全, 离心力必须 连续变化 , 因此铁道的 曲率应连续变化 .
10
例3. 我国铁路常用立方抛物线 y 1 x3 作缓和曲线, 6Rl
K
s
点 M 处的曲率
K lim d
s0 s
ds
M M s
注意: 直线上任意点处的曲率为 0 !
5
例1. 求半径为R 的圆上任意点处的曲率 .
解: 如图所示 ,
s R K lim 1
s0 s R
M
s
R M
可见: R 愈小, 则K 愈大 , 圆弧弯曲得愈厉害 ;
x
高等数学-第七版--3-9曲率介绍
k
| y | [1 ( y ) ]
3 2 2
2
6 (4 sin t 9 cos t )
2 3 2
6 (4 5 cos 2 t )
3 2
要使k最大，必有( 4 5 cos t ) 最小，
2
3 2
3 此时k最大， t , 2 2
人有了知识，就会具备各种分析能力， 明辨是非的能力。 所以我们要勤恳读书，广泛阅读， 古人说“书中自有黄金屋。 ”通过阅读科技书籍，我们能丰富知识， 培养逻辑思维能力； 通过阅读文学作品，我们能提高文学鉴赏水平， 培养文学情趣； 通过阅读报刊，我们能增长见识，扩大自己的知 有许多书籍还能培养我们的道德情操， 给我们巨大的精神力量， 鼓舞我们前进。
第九讲
曲率
曲 率
一、弧微分
二、曲率及其计算公式
三、曲率圆与曲率半径
曲 率
一、弧微分
二、曲率及其计算公式
三、曲率圆与曲率半径
有向弧段的值 设函数f(x)在(a,b)上具有连续导数 M0(x0，y0) M(x，y) 规定： 度量基点 曲线上任一点
y
M0
o
x0
M
x
x
(1) 曲线的正向与x增大的方向一致
三、曲率圆与曲率半径
背景 描述曲线局部性质（弯曲程度）
1
M2
M1
2
S 2
S1
M3
M
S1
N
M
S 2 N
弧段弯曲程度越大转角越大
转角相同,弧段越短弯曲程度越大
定义 M M'
| MM || s |
切线转角:
y
C
M. S
高等数学《曲率》
为零,并且当 l 很小 R
( l 1) 时，在终端 R A的曲率近似为 1 .
R
y
B
R
l
A( x0 , y0 )
o
C( x0 ,0)
x
证 如图
y
B
x的负半轴表示直道，
OA是缓冲段, AB是圆弧轨道.
在缓冲段上,
y 1 x2 , y 1 x.
2Rl
Rl
R
l
A( x0 , y0 )
o
C( x0 ,0)
o
C( x0 ,0)
x
l 1, R
略去二次项 l2 4R2
,
得
kA
1. R
三、曲率圆与曲率半径
定义 设曲线 y f ( x) 在点 y
M( x, y) 处的曲率为k(k 0). 在点 M 处的曲线的法线上,
D 1
k
y f (x)
在凹的一侧取一点D, 使 DM
o
1 .以 D 为圆心, 为半径
二、k cos x , sec x .
三、k 2 . 3a sin 2t0
五、( ,1)处曲率半径有最小值 1. 2
六. ( 1 ln 2, 1 ), 3 3 .
2
2
2
3、0.
的曲率突然改变,容易发生事故，为了行驶平 稳，往往在直道和
弯道之间接入一段
缓冲段(如图),使曲 率连续地由零过渡
到 1 (R为圆弧轨道 R
的半径).
点击图片任意处播放\暂停
通常用三次抛物线
y
1 6Rl
x 3，x
[0,
x0
]．作为
缓冲段 OA，其中 l 为 OA的长度，验证缓冲段
《弧微分与曲率》内容小结、题型、典型题与参考课件
《弧微分与曲率》内容小结、题型、典型题与参考课件一、弧微分弧微分ds：对弧长的近似描述. 等价于切线长度，也等价于割线长度. 即图中的三条线的长度在△x→0时，有从而在与极限相关的计算中，弧长可以近似为切线的长度，或者割线的长度.弧微分几何意义：弧微分ds等于自变量x的改变量△x相对应的切线的长.●当曲线由可微函数y=f(x)描述时，则(x,f(x))到(x+△x,f(x+△x))(△x>0)之间的弧长△s近似为弧微分ds，有●当曲线由参数方程x=x(t), y=y(t)描述时，●当曲线由极坐标方程ρ=ρ(ϴ)描述时，则有二、曲率曲率是刻划曲线的弯曲程度的一个量，很好地反映了曲线的弯曲程度.平均曲率：曲线弧上切线转角大小与对应弧长的比值.曲率：平均曲率的极限：●圆的曲率为圆的半径的倒数●直线的曲率等于0.三、曲率圆曲线上某点处的曲率圆与曲线，描述曲率圆的方程与描述曲线的函数的关系：●曲率圆经过该点(函数值相同)；●曲率圆位于曲线凹向的一侧(凹凸性相同)；●曲率圆的圆心(曲率中心)在曲线该点处的法线上；●圆的半径(曲率半径)为曲线在该点处曲率的倒数(具有相同的曲率)；●曲率圆与曲线具有共同的切线(一阶导数值相同)；●由上可推知二阶导数值相同.四、曲率圆方程求解步骤第一步：设曲率圆方程(x-ξ)2+(y-η)2=R2.第二步：借助隐函数求导方法对曲率圆方程两端求关于变量x的一阶、二阶导数(y为x的函数y(x)).第三步：对由曲率圆方程、一阶、二阶导数等式构成的方程组，代入函数y=f(x)在给定点的变量x的取值，函数f(x)、f’(x)、f’’(x)，解关于圆心坐标ξ，η和半径R的三元方程，得到圆心坐标和半径取值.【注】提倡使用以上方法计算曲率圆，如果记得公式，也可以直接由如下公式计算曲率中心坐标(ξ,η)和曲率圆半径R.参考课件节选。
高数大一下知识点总结弧线
高数大一下知识点总结弧线高数（高等数学）是大一学生所学的一门重要的数学课程。
下面我将总结高数大一下学期的几个重要知识点，特别是与弧线相关的内容。
一、弧线的概念与性质在几何学中，我们常常会涉及到曲线和弧线的概念。
弧线可以通过一段圆周上的一部分来定义。
弧线的长度可以通过弧长来衡量，而弧度则是用来表示弧线所夹的角度的单位。
弧长的计算方法是利用弧度角和半径之间的关系式：弧长 = 弧度 ×半径。
同时，弧线也具有平均变化率的概念，我们可以通过计算前后两个点的斜率来求得弧线的平均变化率。
二、极坐标系下的弧线方程在高数中，我们还学习了极坐标系的概念和相关知识。
极坐标系中，我们将点的位置通过极径和极角来描述。
对于弧线的方程，如果我们已知弧线上的任意一点的极坐标表示(r, θ)，那么我们可以通过r和θ的关系式来表示弧线的方程。
常见的弧线方程包括：极坐标方程、极坐标方程的参数方程、直纹面方程和柱面方程等。
这些方程形式各异，但它们都是用来描述弧线的方式。
三、弧微分和曲率在微积分中，我们学习了导数和微分的概念。
类似地，我们可以将这些概念应用于弧线上。
弧微分是指弧线上的微小弧长，它可以通过弧长微分来定义。
弧微分的计算通常需要用到导数和微分的知识。
曲率是衡量曲线转弯程度的指标。
对于弧线上的每一点，我们都可以计算其曲率。
曲率可以通过计算曲率半径的倒数来表示。
在实际应用中，曲率在工程、物理、生物等领域有着广泛的应用。
比如，曲率可以用来描述电缆的弯曲情况、汽车在弯道行驶时的稳定性等。
四、参数方程与弧线在高等数学中，我们学习了参数方程的概念和应用。
参数方程是用参数来表示一条曲线上的点，这些参数可以是时间、角度或其他量。
对于弧线的参数方程，我们可以通过参数的取值范围和参数与坐标的关系式来描述弧线上的点。
在物理学和计算机图形学中，参数方程是描述弧线和曲面的重要工具。
通过调整参数的取值，我们可以改变弧线的形状和位置。
总结：高等数学中的弧线知识点非常广泛，包括弧长的计算、弧线的方程、极坐标系下的弧线方程、弧微分和曲率、参数方程与弧线等。
曲率及其计算公式-高数中曲率的计算公式
K|2a| ．
讨论： 1．直线上任一点的曲率等于什么？ 提示：设直线方程为y=ax+b，则y =a， y = 0．于是 | y | K 0. 2 3 2 (1 y ) x j (t ) 2．若曲线由参数方程 给出，那么曲率如何计算？ y (t ) 提示：
§3．9 曲 率
一、弧微分
有向弧段的值、弧微分公式
二、曲率及其计算公式
曲率、曲率的计算公式
三、曲率圆与曲率半径
曲率圆曲率半径
一、弧微分
有向弧段 M0 M 的值 s(简称为弧s) ： s 的绝对值等于这弧段的长度，当有向弧段的方向与曲线的
正向一致时s>0，相反时s<0． 显然，弧 s 是 x 的函数：ss(x)，而且s(x)是x的单调增加函 数． y y (
(
Dy | MM | | MM | y， lim 因为 lim 1， 又 lim Dx0 Dx Dx 0 | MM | M M | MM | ds 2 因此 1 y ． dx ds ds 1 y2 ． 由于ss(x)是单调增加函数，从而 >0, dx dx
Da 为弧段 MM 的平均曲率． 我们称 K Ds 曲率： Da 为曲线C在点M处的曲率． 我们称 K lim Ds 0 Ds da Da da K lim 在 存在的条件下 ． Ds 0 Ds ds ds
C M Ds Da a+Da x
高等数学(上册)-第3章第6讲(弧微分与曲率)[19页]
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18
高等数学（上册）（慕课版）
学海无涯，祝你成功！
主讲教师 |
O
x0
y f (x)
M
•
x
x
4
一、弧微分
弧微分公式 ds ? ds s(x)dx 先求s s(x)的导数 d s lim s
d x x0 x
s ? x
在x处给自变量x一增量x,
相应的有向弧段的值s有增量s,
s M0M M0M MM
s s MM MM MM x x x MM x
解 根据摆线方程可得x(t) a a cos t，y(t) a sin t，故
y(x) d y y(t) sin t cot t ，
d x x(t) 1 cos t
2
y(x)
d2 y d x2
d dt
cot
t 2
1 x(t)
1 2 sin2
t
1 a(1 cos t)
a(1
1 cos
y
K
y
3
(1 y2 )2
分析
K
d
ds
s s(x), (x)
d
ds
d?dx
ds dx
M
•
s
M
M •
0
•
O
x
ds dx
1 y2
d
dx
?
12
二、曲率
证明
tan y,
sec2 d y.
dx
d
dx
y
sec2
y
1 tan2
y 1 y2
.
又 d s 1 y2 dx
1chapter4(5)弧微分与曲率
又 y tan ,
y sec2 d (1 y2 ) d
dx
dx
d
1
y y2
dx.
K
d
ds
y (1 y2 )3 2 .
若曲线方程为参数方程:
x (t),
y
(t
),
则 dy (t) , dx (t)
d2y dx2
(t
)
(t)
[ (t
(t
)]3
)
(t
)
,
代入曲率的计算公式可得:
MM MM
2
1
y x
2
lim
MM
lim
MM 1,
lim y y
x0 MM MM MM
x0 x
lim s lim x0 x x0
MM MMΒιβλιοθήκη 21 y x
2
1
dy dx
2
又s=s(x)是单增函数,
ds dx
1
dy dx
2
1 y2
1 [ f ( x)]2
令 f (t) 0, 得 t 0, , , 3 , 2
22
计算驻点处的函数值:
t
02
3
2
2
f (t) b2 a2 b2 a2 b2
设0 b a , 则t 0 , , 2 时
y
f (t) 取最小值 , 从而 K 取最大值 .
从而 ds 1 y2dx 弧微分公式
Example 1.
设有曲线
x y
(t) (t)
( t为参数), 求ds.
Solution. dx (t)dt,
dy (t)dt
ds 1 (dy )2dx dx
课件：14 弧微分 曲率
二、曲率及其计算公式
1. 曲率的定义 曲率是描述曲线局部性质（弯曲程度）的量。
M M M
弧段长度相等时: 弯曲 程度越大 , 转角越大 .
转角相同时: 弧段越短 , 弯曲程度越大 .
光滑曲线：若函数 f (x)在区间(a , b)内具有一阶连
续导数，这样的曲线称为光滑曲线。
y
设曲线C是光滑的，MM s ,
(t ) (t ) (t ) (t )
k
3.
[ 2(t ) 2(t )]2
(3) 设r r( ) 二阶可导,
k
| y |
3
[1 ( y)2 ]2
则由xy
r( ) cos, r( )sin,
利用参数方程曲率公式可得：
r 2 ( ) 2r2 ( ) r( )r( )
k
3
.
[r 2 ( ) r2 ( )]2
D 曲率中心, 曲率半径.
注意:
1. 在点M 处曲率圆与曲线有下列密切关系:
(1) 有公切线; (2) 凹向一致; (3) 曲率相同.
2. 曲线上一点处的曲率半径与曲线在该点处的曲率互为
倒数.
即 1,k 1 . k
3. 曲线上一点处的曲率半径越大,曲线在该点 处的曲率 越小(曲线越平坦);曲率半径越小,曲率越大(曲线越弯曲).
,
得
kA
1. R
三、曲率圆与曲率半径
y
定义 设曲线 y f ( x) 在点
M ( x, y) 处的曲率为k(k 0).
在点 M 处的曲线的法线上, 在凹的一侧取一点D, 使 DM o
D 1
k
M
y f (x)
x
1 .以 D 为圆心, 为半径
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(1,1)
1;
(1,1)
1 代人（2）得 y
3 2 2 (1,1)
6
故曲线在点 M (1,1) 处的曲率半径
R
(1,1)
(1 y ) y
2 . 3
9
1 3 x 作缓和曲线, 例3. 我国铁路常用立方抛物线 y 6 Rl 其中R是圆弧弯道的半径, l 是缓和曲线的长度, 且 l << R.
MM y 2 1 ( ) MM x s s( x) lim 1 ( y) 2 x0 x
MM lim 1 x0 M M
2
2 ds 1 ( y ) dx 或
ds (dx) 2 (d y ) 2 称为曲线
x x(t ) 若曲线由参数方程表示: y y (t )
削其内表面 , 问选择多大的砂轮比较合适? 解: 设椭圆方程为 由例3可知, 椭圆在 处曲率最大 ,
2 2
3 2
y
即曲率半径最小, 且为
o
x
(a sin t b cos t ) R ab
显然, 砂轮半径不超过 或有的地方磨不到的问题.
2
2
t 0
时, 才不会产生过量磨损 ,
16
求此缓和曲线在其两个端点
处的曲率. 说明: 铁路转弯时为保证行车 平稳安全, 离心力必须 连续变化 , 因此铁道的
曲率应连续变化 .
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
10
1 3 x 作缓和曲线, 例3. 我国铁路常用立方抛物线 y 6 Rl 其中R是圆弧弯道的半径, l 是缓和曲线的长度, 且 l << R.
例2
求曲线
3
x y 2在点 M (1,1) 处的曲率半径。
4 4
3
解 方程两边同时对x求导，整理得
x y y 0
2 2
(1)
(2)
两边再对x求导，整理得
2 3 3x 3 y y y y 0
将点 M (1,1) 代人（1）得 y
将点M (1,1), y
(1,1)
14
(a sin t b cos t ) 2 3 令 f (t ) 0 , 得 t 0 , , , , 2 2 2 2 2 2 2 f ( t ) a sin t b cos t 计算驻点处的函数值:
f (t ) (a 2 b 2 ) sin 2 t K
ab
2 2 2 2
3
t
f (t )
0
b2
2
b2
3 2
2
b2
y b
a2
a2
设 0 b a , 则t 0 , , 2 时
f (t ) 取最小值 , 从而 K 取最大值 .
这说明椭圆在点 ( a , 0 ) 处曲率 最大.
a
b
a x
15
例5 设一工件内表面的截痕为一椭圆, 现要用砂轮磨
第十二节 弧微分与曲率
曲线的弯 与切线的转角有关 曲程度 与曲线的弧长有关 主要内容: 一、 曲线弧的微分 二、 曲率与曲率半经
M
第二章
M M
1
一、 曲线弧的微分
在(a , b)内有连续导数, 其图形为 AB, y y f ( x) B 弧长 s AM s( x) M s M M M M A y M x M M x x M M (x) 2 (y ) 2 o a x x b MM x x x 设
求此缓和曲线在其两个端点
解: 当 x [ 0 , l ] 时, 1 2 l 0 y x 2 Rl 2R 1 y x Rl 1 x K y Rl 显然 处的曲率.
y
R B
o
l
1 3 y x 6 Rl
11
x
K
x 0
0;
K
x l
1 R
内容小结
2 2 d s (d x ) (d y ) 1. 弧长微分 ds 1 y dx 或 2
解 因为 所以
4
二、曲率与曲率半经
在光滑弧上自点 M 开始取弧段, 其长为 s , 对应切线转角为 , 定义 弧段 s 上的平均曲率
K s
点 M 处的曲率
M
M s
d K lim s 0 s ds
注意: 直线上任意点处的曲率为 0 !
5
例1. 求半径为R 的圆上任意点处的曲率 .
解: 如图所示 ,
s R
1 K lim s 0 s R
M s R M
可见: R 愈小, 则K 愈大 , 圆弧弯曲得愈厉害 ;
R 愈大, 则K 愈小 , 圆弧弯曲得愈小 .
6
曲率K 的计算公式 设曲线弧 y f ( x) 二阶可导, 则由
tan y ( 设
得
arctan y
d (arctan y) d x
又
) 2 2
d K ds
故曲率计算公式为 K
y (1 y )
2 32
当 y 1 时 , 有曲率近似计算公式 K y
7
说明:
x x(t ) (1) 若曲线由参数方程 给出, 则 y y (t )
x y xy K 2 2 32 ( x y )
(2) 若曲线方程为 x ( y ) , 则
K
若曲线
x ( 1 x )
2
3 2
K
y (1 y )
2
3 2
y f ( x) 在点M处的曲率K不为零，称
为曲线在点M处的曲率半经。
8
1 R K
y d 2. 曲率公式 K 2 32 ds (1 y )
3. 曲率半径
1 (1 R y K
2 32 y )
12
作业
P166 1；2；4; 5.
13
例4. 求椭圆 解:
在何处曲率最大?
x a sin t ; x a cos t y b cos t ; y b sin t
的弧微分公式。
2 2 则弧长微分公式为 ds x (t ) y (t ) d t
y
几何意义:
ds M T
dy sin ds
dx cos ; ds
d x o x x dx x
3
M
T dy
例1 求正弦曲线 解 因为 ，所以
的弧微分。
例2
求第一象限内星形线 的弧微分。
x y xy ab K 3 ( x2 y2 ) 2 (a 2 sin 2 t b 2 cos 2 t ) 3 2
K 最大
故曲率为
f (t ) a 2 sin 2 t b 2 cos 2 t 最小
求驻点:
2 2 2 2 ( a b ) sin 2 t f (t ) 2a sin t cos t 2b cos t sin t