弧微分公式
曲率计算
R
曲率圆 ( 密切圆 ) , R 叫做曲率半径, D 叫做曲率中心. 在点M 处曲率圆与曲线有下列密切关系: (1) 有公切线; (2) 凹向一致; (3) 曲率相同 .
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设曲线方程为 y = f ( x) , 且 y′′ ≠ 0 , 求曲线上点M 处的 曲率半径及曲率中心 D(α , β )的坐标公式 . 设点M 处的曲率圆方程为 (ξ − α ) 2 + (η − β ) 2 = R 2 故曲率半径公式为
Δα
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曲 率:
在光滑弧上自点 M 开始取弧段, 其长为 Δs , 对应切线 转角为 Δα , 定义 弧段 Δs 上的平均曲率
Δα K= Δs
点 M 处的曲率
M
M′ Δ s Δα
dα Δα = K = lim Δ s →0 Δ s ds
注意: 直线上任意点处的曲率为 0 !
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则弧长微分公式为 几何意义:
ds = x 2 + y 2 d t
y
ds = M T dy = sin α ds
dx = cos α ; ds
dx α o x x + dx x
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M
T
dy
二、曲率及其计算公式
曲线的弯 与切线的转角有关 曲程度 与曲线的弧长有关
M
M ′ M ′′
x
显然 R
x = ±1
= 2 为最小值 .
利用 a + b ≥ 2 ab
2 2
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作业
曲率半径
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1 3 x 作缓和曲线, 例2. 我国铁路常用立方抛物线 y = 6 Rl 其中R是圆弧弯道的半径, l 是缓和曲线的长度, 且 l << R. 2 l 求此缓和曲线在其两个端点 O(0 , 0) , B (l , ) 处的曲率. 6R 解: 当 x ∈ [ 0 , l ] 时, y 1 2 l ≈0 ∵ y′ = x ≤ R 2 Rl 2R 1 B y′′ = x Rl o x l 1 x ∴ K ≈ y′′ = 1 3 Rl y= x 1 6 Rl 显然 K x = 0 = 0 ; K x =l ≈ R
1. 曲线在一点处的曲率圆与曲线有何密切关系? 答: 有公切线 ; 凹向一致 ; 曲率相同. 2. 求双曲线 x y = 1 的曲率半径 R , 并分析何处 R 最小? y 1 2 解: y′ = − 2 , y′′ = 3 , 则 x x 1 3 o 1 x 3 1) 2 2 2 (1 + 4 (1 + y′ ) 3 x 1 ( x2 + 1 ) 2 = R= =2 ≥ 2 2 2 x y′′ 3
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⎧ x = a cos t (0 ≤ t ≤ 2π ) 在何处曲率最大? 例3. 求椭圆 ⎨ ⎩ y = b sin t
解: x = − a sin t ;
x = − a cos t
y = b cos t ;
故曲率为
y = −b sin t
x 表示对参 数 t 的导数
y
D(α , β ) R M ( x, y )
7 空间曲线的曲率和挠率——【多元函数微分学】
弧微分公式 曲率的概念与曲率的计算 曲率圆与曲率半径
2007年8月
南京航空航天大学 理学院 数学系
1
一、弧微分公式
(1) 曲线弧由直角坐标方程给出:
弧长元素(弧微分) :
ds (dx)2 (dy)2 1 y2 dx
2007年8月 南京航空航天大学 理学院 数学系
2
(2) 曲线弧由参数方程给出:
M
s
R M
可见: R 愈小, 则K 愈大 , 圆弧弯曲得愈厉害 ;
R 愈大, 则K 愈小 , 圆弧弯曲得愈小 .
2007年8月
南京航空航天大学 理学院 数学系
6
2.曲率的计算公式 K d .
ds
设y f ( x)二阶可导,
有 arctan y,
tan y,
d
y 1 y2
dx,
ds 1 y2dx. k
y 3.
(1 y2 )2
2007年8月 南京航空航天大学 理学院 数学系
7
设曲线方程为
x (t),
y
(t
),
(t)， (t)二阶可导,
dy (t) , dx (t)
d2y dx2
(t )
(t) (t) 3(t)
(t) .
k
(t )
(t )
(t) (t)
3
.
[ 2(t ) 2(t )]2
y
a1
cost
一拱的弧长。
0 t 2
解 由公式得
l 2 [a(1 cost)]2 (a sin t)2 dt 0
o
2a
2
2a
1 costdt 2a 2 sin t dt
弧微分和弧长
弧微分和弧长在数学中，弧是一段曲线，通常指一段圆弧或椭圆弧等，弧行为其长度，而弧微分则是其微小变化时的长度差。
弧微分是微积分中的一个概念，用于描述弧的微小变化，它与弧长紧密相关。
弧长的概念弧长是一条曲线的长度，也就是曲线从起点到终点的距离。
对于一个圆弧，弧长的计算公式为L = rθ，r为半径，θ为圆心角的弧度数。
如果θ是用角度度量的，则需要将其转化为弧度。
对于其他类型的曲线，弧长的计算公式则比较复杂，需要使用积分的方法进行计算。
例如对于一条直线y = f(x)，则其弧长的计算公式为：L = ∫[a,b]√[1 + (f'(x)]²dx其中，[a,b]表示积分区间，f'(x)表示f(x)的导数。
对于其他类型的曲线，也可以使用类似的方法进行计算。
弧微分的概念弧微分是形式上与弧长类似的概念，它描述的是弧在微小变化时的长度变化量。
弧微分是微积分中的一个概念，用于描述函数在微小变化时的变化量。
对于一个函数y = f(x)，它在某一点x处的弧微分dL可以表示为：dL = √[1 + (dy/dx)²]dx其中，dy/dx为函数f(x)在点x处的导数。
如果将dx看作一个微小的增量，那么dL可以看作函数f(x)在x处沿曲线的微小增量。
弧微分与弧长的关系弧微分与弧长紧密相关，它们之间的关系可以表示为：dL = √[1 + (dy/dx)²]dxL = ∫[a,b]√[1 + (dy/dx)²]dx其中，dL表示曲线在微小变化时的长度变化量，L表示曲线的弧长，dy/dx表示曲线的导数，[a,b]为积分区间。
从上述公式中可以看出，弧微分是弧长的微小变化量，而积分则是将微小的变化量相加得到整个曲线的长度。
弧微分和弧长的应用弧微分和弧长在数学中有着广泛的应用。
在计算几何中，这两个概念可以用于计算各种类型的曲线的长度和面积。
在物理学中，这两个概念可以用于描述质点在弧形轨道上的运动。
曲率及其计算公式-高数中曲率的计算公式
于是
da
y 1 y2
dx．又知 ds
1 y2
dx．
从而，有
| y | K (1 y2 )3 2
．
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7
例1
计算等双曲线x y 1在点(1，1)处的曲率．
K
| y | (1 y2 )3 2
解 由y 1 ，得
x
1 y x 2
，y
2 x3
．
因此，y|x11，y|x12．
曲线x y 1在点(1，1)处的曲率为
可以用单位弧段上切线转过的角度的大小来表达弧段的平均 弯曲程度，
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5
设曲线C是光滑的，曲线 线C上从点M 到点M 的弧
为Ds ，切线的转角为Da ．
C y
M
M0
s
Ds M
Da
a
a+Da
平均曲率：
O
x
）
我们称 K Da
为弧段 MM 的平均曲率．
Ds
曲率：
我们称 K lim Da 为曲线C在点M处的曲率．
x 曲线在M点的曲率中心
曲线在点M处的曲率K(K 0)与曲线在点M处的曲率半径 r
有如下关系：
r1
，
1 K
．
r K 高校教育精品PPT
11
例3 设工件表面的截线为抛物线y0．4x 2．现在要用砂轮 磨削其内表面．问用直径多大的砂轮才比较合适？
y
y=0．4 x2
4
2O
2
x
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12
例3 设工件表面的截线为抛物线y0．4x 2．现在要用砂轮 磨削其内表面．问用直径多大的砂轮才比较合适？
Dx0 | MM | M M | MM |
《高等应用数学(第2版)》电子教案 4-8曲率
y K (1 y2 )32
例2. 我国铁路常用立方抛物线 y 1 x3 作缓和曲线, 6Rl
其中R是圆弧弯道的半径, l 是缓和曲线的长度, 且 l <<
求此缓和曲线在其两个端点
处R.的曲率.
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说明: 铁路转弯时为保证行车 平稳安全, 离心力必须 连续变化 , 因此铁道的 曲率应连续变化 .
x y(1 y2 )
y
y 1 y2
y
y
D(, )
CR
T
M (x, y)
O
x
(注意 y 与 y异号 )
当点 M (x , y) 沿曲
移动时, 相应的曲率中心
的线轨迹 G 称为曲线 C 的渐屈线 ,
曲线 ,C 称满为足曲方线程G组的渐伸线 .
曲率中心(x公式)可2 看( y成渐 )2 R2 屈线的参数 方y 程(参yx 数为x).
y
y 1 y2
y
a ( sin ) a (1 cos )
( 仍为摆线 )
摆线
O
摆线
内容小结
1. 弧长微分 ds 1 y2 dx 或 ds (dx)2 (dy)2
2. 曲率公式
K d
ds
y
(1
y2
3
)2
3. 曲率圆 曲率半径
dx cos ; dy sin
ds
ds
T
M dy
dx
O x x dx x
二、曲率及其计算公式
在光滑弧上自点 M 开始取弧段, 其长为 s , 对应切线
转角为 , 定义
弧段 s上的平均曲率
K
s
点 M 处的曲率
参数方程弧微分公式
参数方程弧微分公式在微积分中，参数方程是一种用参数表示的函数形式，常用于描述曲线或曲面的方程。
而弧微分公式则是描述参数方程曲线的弧长与参数的关系的公式。
本文将介绍参数方程弧微分公式的概念和推导过程。
一、什么是参数方程弧微分公式？参数方程弧微分公式是用来计算参数方程所描述曲线的弧长与参数之间的关系的公式。
在直角坐标系中，一条曲线可以由x和y的函数表达，而在参数方程中，则是通过一个参数t来描述曲线上的点的坐标。
参数方程弧微分公式可以帮助我们计算曲线在某一点的切线斜率、曲率和弧长等重要性质。
二、弧微分公式的推导过程为了推导参数方程的弧微分公式，我们先来考虑一条曲线的弧长。
设曲线上两个相邻点的坐标分别是(x,y)和(x+dx,y+dy)，则这两个点之间的弧长可以用勾股定理表示为：ds = sqrt(dx^2 + dy^2)为了将dx和dy表示为参数t的函数，我们可以将x和y分别表示成x(t)和y(t)的形式。
则dx和dy可以表示为：dx = dx/dt * dtdy = dy/dt * dt将dx和dy带入到弧长公式中，我们可以得到：ds = sqrt((dx/dt)^2 * dt^2 + (dy/dt)^2 * dt^2)= sqrt((dx/dt)^2 + (dy/dt)^2) * dt这个公式就是参数方程的弧微分公式。
可以看到，弧微分ds是参数微分dt的函数，而(x(t), y(t))则是参数t的函数。
三、应用实例为了更好地理解参数方程的弧微分公式，我们来看一个简单的例子。
假设有一条曲线的参数方程为：x(t) = t^2y(t) = t^3我们可以根据参数方程的弧微分公式计算曲线在t=1处的切线斜率和曲率。
首先，我们需要计算dx/dt和dy/dt：dx/dt = 2tdy/dt = 3t^2然后，将dx/dt和dy/dt带入到弧微分公式中，我们可以得到：ds = sqrt((2t)^2 + (3t^2)^2) * dt= sqrt(4t^2 + 9t^4) * dt当t=1时，我们可以计算曲线在该点的切线斜率和曲率。
3-9弧微分与曲率
MM x
M M (x)2 (y)2
MM
x
y
y
f (x) M
B
A M y
x
oa x
bx
x x
M M 1 (y)2
MM
x
s(x) lim s 1 ( y)2 x0 x
lim M M 1 x0 M M
略去二次项 l2 4R2
,
得
kA
1. R
三、曲率圆与曲率半径
定义 设曲线 y f ( x) 在点 y
M( x, y) 处的曲率为k(k 0). 在点 M 处的曲线的法线上,
D 1
k
y f (x)
在凹的一侧取一点D, 使 DM
o
1 .以 D 为圆心, 为半径
k
M
x
作圆(如图), 曲率中心, 曲率半径.
注意:
1.曲线上一点处的曲率半径与曲线在该点处的 曲率互为倒数.
即 1,k 1 . k
2.曲线上一点处的曲率半径越大,曲线在该点 处的曲率越小(曲线越平坦);曲率半径越小,曲 率越大(曲线越弯曲).
R
y
R
l
A( x0 , y0 )
o
C( x0 ,0)
x
证 如图 x的负半轴表示直道，
OA是缓冲段, AB是圆弧轨道.
在缓冲段上,
y 1 x2 , y 1 x.
2Rl
Rl
y
B
R
l
A( x0 , y0 )
o
C( x0 ,0)
x
在x 0处, y 0, y 0, 故缓冲始点的曲率 k0 0.
7 空间曲线的曲率和挠率——【多元函数微分学】
在凹的一侧取一点D, 使 DM
o
1 .以 D 为圆心, 为半径
k
M
x
作圆(如图),称此圆为曲线在点M 处的曲率圆.
D 曲率中心, 曲率半径.
2007年8月
南京航空航天大学 理学院 数学系
11
注:
1.曲线上一点处的曲率半径与曲线在该点处的 曲率互为倒数.
即 1,k 1 .
k
2.曲线上一点处的曲率半径越大,曲线在该点 处的曲率越小(曲线越平坦);曲率半径越小,曲 率越大(曲线越弯曲).
y 3.
(1 y2 )2
2007年8月 南京航空航天大学 理学院 数学系
7
设曲线方程为
x (t),
y
(t
),
(t)， (t)二阶可导,
dy (t) , dx (t)
d2y dx2
(t )
(t) (t) 3(t)
(t) .
k
(t )
(t )
(t) (t)
3
.
[ 2(t ) 2(t )]2
弧长元素(弧微分)
:
ds (dx)2 (dy)2
2 (t) 2 (t) dt
注:可将上述公式推广到空间的情形.(p.107)
2007年8月 南京航空航天大学 理学院 数学系
3
二、曲率概念及其计算公式 1. 曲率的定义 曲率是描述曲线局部性质（弯曲程度）的量。
1
2
M2 S2 M3
S1
M1
S1
y
a1
cost
一拱的弧长。
0 t 2
解 由公式得
l 2 [a(1 cost)]2 (a sin t)2 dt 0
o
2a
高等数学上3.7平面曲线的曲率
解 如图,受力分析 F Q P,
视飞行员在点o作匀速圆周运动, F
mv 2
.
O点处抛物线轨道的曲率半径
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y
x0
x 2000
x0
0,
y
x0
1. 2000
得曲率为
k
x x0
1. 2000
曲率半径为 2000 米.
F 70 4002 5600(牛) 571.4(千克), 2000
y
y 1 y2
y
y
D( , )
C
R
T
M (x, y)
o
x
(注意 y 与 y异号 )
当点 M (x , y) 沿曲
移动时, 相应的曲率中心
的线轨迹 G 称为曲线 C 的渐屈线 ,
曲线 C 称为曲线 G 的渐伸线 .
曲率中心公式可看成渐
屈线的参数方程(参数为x).
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K d
ds
y (1 y2 )32
R
1 K
(1
y2 ) 32 y
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思考题
y
椭圆 x 2cos t, y 3sin t上哪些点处 3
曲率最大？
思考题解答
2
2x
3
k | y | 3
6
3
6
3
[1 ( y)2 ]2 (4sin2 t 9cos2 t )2 (4 5cos2 t )2
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结束
例4. 设一工件内表面的截痕为一椭圆, 现要用砂轮磨 削其内表面 , 问选择多大的砂轮比较合适?
曲率及其曲率半径的计算
y M0 O
C M Ds Da a+Da x
s
a
M
Da 为弧段 MM 的平均曲率． 我们称 K Ds 曲率： Da 为曲线C在点M处的曲率． 我们称 K lim Ds 0 Ds da Da da K lim 在 存在的条件下 ． Ds 0 Ds ds ds
）
平均曲率：
曲率的计算公式：
| 2a | | y | K ． 2 32 [1 (2ax b) 2 ]3 2 (1 y ) b b 要使K 最大，只须2axb0， 即 x 对应的点为 ．而 x 2a 2a 抛物线的顶点．因此，抛物线在顶点处的曲率最大，最大曲率为
K|2a| ．
讨论： 1．直线上任一点的曲率等于什么？ 提示：设直线方程为y=ax+b，则y =a， y = 0．于是 | y | K 0. 2 3 2 (1 y ) x j (t ) 2．若曲线由参数方程 给出，那么曲率如何计算？ y (t ) 提示：
| y | 2 1 2 0．8． 2 3 2 K ． 2 32 2 (1 y ) (1 (1) ) 2
抛物线顶点处的曲率半径为
1 r 1．25． K
所以选用砂轮的半径不得超过1．25单位长，即直径不得超过 2．50单位长．
K da ． ds
设曲线的直角坐标方程是yf(x)，且f(x)具有二阶导数． 因为tan a y ，所以
da y y da sec a y， ， 2 2 dx dx 1 tan a 1 y y 2 dx． 于是 da 1 y dx ． 又知 ds 1 y2
2
2
2 2 MM | MM | MM ( Dx ) ( Dy ) 2 2 | M M | ( D x ) | M M | (Dx)
曲率及其曲率半径的计算
MM|2 (Dx)2
|M MM M|2(Dx)(2Dx)(2Dy)2
|M MM M|21D Dyx2
(
Ds Dx
|M MM M|21D Dyx2
y M0
M
Ds M
Dy
Dx
O x0
x x+Dx x
((
(
Ds Dx
|M MM M|21D Dyx2
因为 lim | MM | lim | MM | 1，又limDyy，
设曲线C是光滑的，曲线 线C上从点M 到点M 的弧
为Ds ，切线的转角为Da ．
C y
M
M0
s
Ds M
Da
a
a+Da
平均曲率：
O
x
）
我 们 称 K D a为 弧 段 M M 的 平 均 曲 率 ． D s 曲率：
a 我 们 称 K liD m 为 曲 线 C 在 点 M 处 的 曲 率 ． D s 0 D s
曲线在M点的曲率半径
Dr
| D M | 1 K
y=f(x)
M
O
x
Байду номын сангаас
r r 曲线在M点的曲率圆
曲线在M点的曲率中心
曲线在点M处的曲率K(K 0)与曲线在点M处的曲率半径 r
有如下关系：
1 ， K 1 ．
K
例3 设工件表面的截线为抛物线y0．4x 2．现在要用砂轮 磨削其内表面．问用直径多大的砂轮才比较合适？
于是 d y d x ． 又 知 d s 1 y 2 d x 1 y 2
从而，有 | y |
K ( 1 y 2 ) 3 2
例1
计算等双曲线x y 1在点(1，1)处的曲率．
极坐标的弧微分公式
极坐标的弧微分公式极坐标的弧微分公式是数学中一个重要的公式，它描述了在极坐标系下，曲线弧长的微分计算方式。
通过这个公式，我们可以更好地理解曲线的性质和特点。
本文将详细介绍极坐标的弧微分公式，并通过实例来说明其应用。
在极坐标系中，一个点的位置可以由径向距离和角度来确定。
设极坐标中的点为P(r,θ)，其中r表示径向距离，θ表示角度。
在极坐标系下，曲线可以用参数方程表示，即r=f(θ)，其中f(θ)为一个关于θ的函数。
对于一个位于极坐标系下的曲线，我们希望求出其弧长。
为了计算曲线弧长，我们需要对曲线进行微分。
根据微分的定义，曲线弧长的微分可以表示为ds=√(dr²+r²dθ²)。
在上述公式中，ds表示曲线的微小弧长，dr表示径向距离的微小变化量，dθ表示角度的微小变化量。
通过使用欧几里得距离公式，我们可以将曲线的微小弧长表示为以上形式。
接下来，我们将通过一个实例来说明极坐标的弧微分公式的应用。
假设我们有一个圆形曲线，其极坐标方程为r=2cosθ，我们希望求出曲线在θ=π/6到θ=π/2之间的弧长。
我们需要计算曲线在θ=π/6和θ=π/2之间的弧长差。
根据极坐标的弧微分公式，我们可以将弧长差表示为Δs=∫(π/6)^(π/2)√(4cos²θ+4sin²θ)dθ。
接下来，我们可以对上述积分进行求解。
首先，我们可以将根号内的表达式化简为√(4(cos²θ+sin²θ))=√(4)=2。
因此，积分表达式可以简化为Δs=∫(π/6)^(π/2)2dθ。
接着，我们对积分进行计算，得到Δs=2(π/2-π/6)=2π/3。
因此，曲线在θ=π/6到θ=π/2之间的弧长为2π/3。
通过这个实例，我们可以看到极坐标的弧微分公式在计算曲线弧长时的重要性。
这个公式可以帮助我们更好地理解曲线的性质，并进行相关计算。
在实际应用中，极坐标的弧微分公式在物理学、工程学等领域中都具有广泛的应用。
3-9弧微分与曲率-文档资料
四、小结
运用微分学的理论,研究曲线和曲面的性 质的数学分支——微分几何学. 基本概念: 弧微分,曲率,曲率圆.
曲线弯曲程度的描述——曲率;
曲线弧的近似代替曲率圆(弧).
思考题
2 cos t , y 3 sin t 椭圆 x 上哪 些点处曲率最大？
思考题解答
k
3 2 2 2 (4sint 9cost) [1 ( y ) ] 6
3 2 2
| y |
6
(4 5cos2 t )
3 2
2 要使 k最大， 必有 (45cos t)
3 2 最小，
3 t , 2 2
此时 k最大，
y 2 1 ( ) x s )2 (x (y s ) lim 1 x 0 x
MM MM
M M lim 1 x 0M M
s(x ) 1(y)2
2 2 2 或 d s (d x ) (d y ) d s 1 ( y )d x x x (t ) 若曲线由参数方程表示: y y (t )
1 3 通常用三次抛物线 y x ， x [ 0 , x 0 ]．作为 6 Rl 缓冲段 OA ，其中 l 为 OA 的长度，验证缓冲段 OA 在始端 O 的曲率 l 为零 , 并且当 很小 R l ( 1 ) 时，在终端 R 1 A 的曲率近似为 . R
y
R
l
A (x ,y ) 0 0
一、 弧微分
设 yf( x ) 在(a , b)内有连续导数, 其图形为 AB,
弧长 s AM s ( x )
y
弧微分公式ppt课件
s x
1 ( y)2
| o(x) |
x
取极限得 ds 1 y2 dx.
弧微分公式
s s( x)为单调增函数, 故 ds 1 y2dx.
4
二、曲率及其计算公式
1.曲率的定义
曲率是描述曲线局部性质（弯曲程度）的量。
1
2
M2 S2 M3
S1
M1
弧段弯曲程度 越大转角越大
S1
M
M
N
S2 N
转角相同弧段越 短弯曲程度越大
MN s ds ,
MT (dx)2 (dy)2 1 y2 dx ,
当x 0时,
NT y dy＝o(x） 0,
1 (y )2 x x
| s |
1 y2 dx | o(x) |
3
1 (y )2 x | s | 1 y2 dx | o(x) | x
用 x 除不等式得
1 ( y )2 x x x
mv 2
.
O点处抛物线轨道的曲率半径
16
y
x0
x 2000
x0
0,
y
x0
1. 2000
得曲率为
k
x x0
1. 2000
曲率半径为 2000 米.
F 70 4002 5600(牛) 571.4(千克), 2000
Q 70(千克力) 571.4(千克力),
641.5(千克力).
3.曲线上一点处的曲率圆弧可近似代替该点附 近曲线弧(称为曲线在该点附近的二次近似).
15
例3 飞机沿抛物线 y x2
y
4000
(单位为米)俯冲飞行,在原
Q
点O处速度为v 400米 / 秒,
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sec2 d y
dx
d
1
y y2
dx,
d y
y
dx 1 tan2 1 (y)2
d
y 1 y2
dx,
ds
1 y2dx.
k
K d .
ds
y 3.
设
x y
(t ), (t ),
二阶可导,
(1 y2 )2
Q 70(千克力) 571.4(千克力),
641.5(千克力).
即:飞行员对座椅的压力为641.5千克力.
精品课件！
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k [( '(t ))2 ( '(t ))2 ]3/ 2 ;
曲线由极坐标方程 r r( )
| r 2 2r'2 rr'' | k (r 2 r'2 )3/ 2 .
例1 抛物线 y ax2 bx c 上哪一点的曲率最大?
解 y 2ax b, y 2a,
单调增函数 s s( x).
设N ( x x, y y), 如图，
N
AM
T R
MN MN MT NT
o x0 x x x x
MN (x)2 (y)2 1 ( y )2 x 1 y2 dx , x
MN s ds ,
MT (dx)2 (dy)2 1 y2 dx ,
dy (t) , dx (t)
d2y dx2
(t )
(t) (t) 3(t)
(t) .
(t) (t) (t) (t)
k
3.
[ 2(t ) 2(t )]2
曲线由参数方程 x (t), y (t) | '(t ) ''(t ) '' (t ) '(t ) |
k
2a 3.
[1 (2ax b)2 ]2
显然, 当x b 时, k最大. 2a
又( b , b2 4ac)为抛物线的顶点, 2a 4a
抛物线在顶点处的曲率最大.
【例2】求立方抛 物线y x上3 任一点的曲率。
例 铁轨由直道转入圆弧弯道时，若接头处
的曲率突然改变,容易发生事故，为了行驶平 稳，往往在直道和
s x
1 ( y)2
| o(x) |
x
取极限得 ds 1 y2 dx.
弧微分公式
s s( x)为单调增函数, 故 ds 1 y2dx.
二、曲率及其计算公式
1.曲率的定义
曲率是描述曲线局部性质（弯曲程度）的量。
1
2
M2 S2 M3
S1
M1
弧段弯曲程度 越大转角越大
视飞行员在点o作匀速圆周运动, F mv 2 .
O点处抛物线轨道的曲率半径
y
x0
x 2000
x0
0,
y
x0
1. 2000
得曲率为
k
x x0
1. 2000
曲率半径为 2000 米.
F 70 4002 5600(牛) 571.4(千克), 2000
S1
M
M
N
S2 N
转角相同弧段越 短弯曲程度越大
设曲线C是光滑的，
y
C
M0 是基点. MM s ,
M.
M M 切线转角为 .
. M0 S M S
)
定义
o
x
弧段MM的平均曲率为K .
s
曲线C在点M处的曲率 K lim s0 s
当x 0时,
NT y dy＝o(x） 0,
1 (y )2 x x
| s |
1 y2 dx | o(x) |
1 (y )2 x | s | 1 y2 dx | o(x) | x
用 x 除不等式得
1 ( y )2 x x x
弯道之间接入一段
缓冲段(如图),使曲 率连续地由零过渡
到 1 (R为圆弧轨道 R
的半径).
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三、曲率圆与曲率半径
定义 设曲线 y f ( x) 在点 y
M( x, y) 处的曲率为k(k 0). 在点 M 处的曲线的法线上,
D 1
k
y f (x)
在凹的一侧取一点D, 使 DM
o
1 .以 D 为圆心, 为半径
k
M
x
作圆(如图),称此圆为曲线在点M 处的曲率圆.
D 曲率中心, 曲率半径.
注意:
1.曲线上一点处的曲率半径与曲线在该点处的 曲率互为倒数.
即 1,k 1 . k
2.曲线上一点处的曲率半径越大,曲线在该点 处的曲率越小(曲线越平坦);曲率半径越小,曲 率越大(曲线越弯曲).
3.曲线上一点处的曲率圆弧可近似代替该点附 近曲线弧(称为曲线在该点附近的二次近似).
例3 飞机沿抛物线 y x2
y
4000
(单位为米)俯冲飞行,在原
Q
点O处速度为v 400米 / 秒, 飞行员体重70千克.求俯冲
o
x
到原点时,飞行员对座椅的
P
压力.
解 如图,受力分析 F Q P,
在 lim d 存在的条件下, K d .
s0直线的曲率处处为零;
(2) 圆上各点处的曲率等于半径的倒数,且 半径越小曲率越大.
2.曲率的计算公式
设曲线C的方程为y f ( x), 且具有二阶导数,则曲线C在任意
点M( x, y)处的切线斜率为y' tan, (为切线倾斜角),
一、弧微分
y
设函数f ( x)在区间(a,b)
内具有连续导数.
基点 : A( x0 , y0 ),
M ( x, y)为任意一点,
o
AM
x0
x
N T R
x x x
规定：(1) 曲线的正向与x增大的方向一致;
(2) AM s, 当AM的方向与曲线正向 一致时, s取正号,相反时, s取负号.
y