二次函数双图像问题
二次函数y=ax2的图像和性质
教案教学内容二次函数y=ax²的图象和性质一、学习目标：1．会用描点法画出二次函数y=ax2的图象；2.根据对特殊函数图象的观察，归纳得出二次函数y=ax2的性质；3.进一步理解二次函数和抛物线的有关知识，并能解决一些简单的应用问题；4.领悟数形结合的数学思想方法，培养观察能力、分析能力和归纳能力．二、知识回顾：1．画函数图象的一般步骤：（1）列表；（2）描点；（3）连线．2．什么是一次函数？怎么画一次函数y=-x+2的图象？形如y=kx+b（k≠0）的函数叫做一次函数.（1）列表：（2）描点；（3）连线．3．什么叫二次函数？一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数，其中，x是自变量，a，b，c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项．想一想：怎么画二次函数的图象？二次函数有哪些性质？三、知识梳理：1.二次函数y=ax2的图象的画法画二次函数y=ax2的图象，一般用描点法，具体步骤如下：（1）列表：以坐标原点（0,0）为中心，在其左右两边均匀地选取一些便于计算的x值，并计算出对应的y的值，列出表格；（2）描点：把每对x与y的值分别作为点的横坐标和纵坐标，在平面直角坐标系内描出相应的点；（3）连线：按自变量的取值由小到大（或由大到小）的顺序，用平滑的曲线连接各点，即可得到二次函数的大致图像。
【例1】在同一平面直角坐标系中，画出函数y= -2x2，y=x2，y=2x2的图象。
2.二次函数y=ax²的图象和性质：二次函数y=ax²的图象是一条关于y轴对称的抛物线．其图象与性质如下图所示：a的符号a>0 a<0 图象开口方向开口向上开口向下a 的绝对值越大，开口越小顶点坐标（0,0）顶点是最低点顶点是最高点对称轴y轴增减性x>0时，y随x的增大而增大；x<0时，y随x的增大而减小x>0时，y随x的增大而减小；x<0时，y随x的增大而增大最值x =0时，y有最小值0 x =0时，y有最大值0【例2】函数y=（k+1）x2（k+1≠0）的图象的顶点是，对称轴是，当k 时，图象的开口向上，这时函数有最值；当k ，时，图象的开口向下，这时函数有最值。
二次函数的图像和性质(共82张PPT)
y＝ax2
向上
y轴 (0，0)
向下
y轴 (0，0)
4、二次函数y＝2x2＋1的图象与二次函数y＝
2x2的图象开口方向、对称轴和顶点坐标是否相
同?它们有什么关系？我们应该采取什么方法
来研究这个问题？
画出函数y＝2x2和函数y＝ 2x2+1的图象， 并加以比较
x … –1.5 –1 –0.5 0 0.5 1 1.5 …
y 1 x2 ··· 2
8
4.5
2 0.5 0 0.5 2 4.5
8
···
x
·· －2 －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2 ···
y 2x2 · 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8
·· ·
y y x2 8
y 2x2
···
6
y 1 x2
4
2
2
－4
－2 O
24
在对称轴左侧,y都随x的增大而增大,
在对称轴右侧,y都随 x的增大而减小 .
联系: y=a(x-h)²+k(a≠0) 的图象可以看成y=ax²的图象先沿x轴整体左(右)平移| |个单位(当 >0时,向右平移;当 <0时,向左平移),
再沿对称轴整体上(下)平移|
|个单位 (当
>0时向上平移;当 <0时,向下平移)得到的.
y 1 x2
y1
1 3
x2
2
3
y2
1 3
x2
2
的图像
在同一直角坐标系中
画出函数 y 1 x2 5 y
y1
1 3
x2
2
3
y2
的图像
二次函数y=ax2+bx+c的图像与性质
◆本节课内容一、二次函数y=ax2+bx+c1、二次函数y=ax2+bx+c可以用配方法转化为y=a（x－h）2+k的形式：2、二次函数y=ax2+bx+c的图像的作法：二次函数y=ax2+bx+c的图像是一条对称轴平行于y轴的抛物线。
它的图像常见作法有两种：五点法和平移法。
方法一：五点法先用配方法将y=ax2+bx+c（a≠0）化为y=a（x－h）2+k（a≠0）的形式，确定抛物线的顶点、开口方向、再以顶点为中心，在对称轴的两侧对称地各取两对值进行列表，最后描点画图。
方法二：平移法利用平移法作二次函数y=ax2+bx+c的图像的一般步骤如下：（1）利用配方法将二次函数y=ax2+bx+c化为y=a（x－h）2+k的形式，确定其顶点为（h，k）；（2）作出二次函数y=ax2的图像；（3）将函数y=ax2的图像平移，使其顶点（0,0）平移到（h，k），平移后的图像即是二次函数y=ax2+bx+c的图像。
3、二次函数y=ax2+bx+c的图像及性质如下表：二、二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图像特征与系数a，b，c的符号关系注意：（1）b的符号由a的符号和对称轴的位置来决定（2）a+b+c（或a－b+c）可以看成是x=1（或x=－1）时的函数值。
三、二次函数解析式的求法求二次函数的解析式y=ax2+bx+c，需求出a，b，c的值。
由已知条件（如二次函数图像上三点的坐标）列出关于a，b，c的方程组，求出a，b，c的值，就可以写出二次函数的解析式。
◆课堂练习题型一利用公式法直接求抛物线的顶点、对称轴及最值1、求二次函数y=（x+5）（x－1）的对称轴、顶点及最值。
题型二、由抛物线的顶点、对称轴及最值求字母或代数式的取值范围2、二次函数y=ax2+bx+1（a≠0）的图像的顶点在第一象限，且过点（－1,0）。
设t=a+b+1，则t 的取值范围是（）A、0＜t＜1B、0＜t＜2C、1＜t＜2D、－1＜t＜1题型三、二次函数图像平移规律的直接应用3、抛物线y=－2x2－4x－5经过平移得到抛物线y=－2x2，平移的方法是（）A、向左平移1个单位，再向下平移3个单位B、向左平移1个单位，再向上平移3个单位C、向右平移1个单位，再向下平移3个单位D、向右平移1个单位，再向上平移3个单位题型四、根据抛物线的平移求字母的值4、已知抛物线y=x2+4x+1向上平移m（m＞0）个单位得到的新抛物线过点（1,8），求m的值1题型五、利用二次函数y=ax2+bx+c的图像判断各项系数的符号5、二次函数y=ax2+bx+c的图像如图，那么abc，2a+b，a+b+c这3个代数式中，值为正数的有（ c ）A、3个B、2个C、1个D、0个题型六、利用二次函数的性质比较函数值得大小6、若A（－4，y1），B（－3，y2），C（1，y3）为二次函数y=x2+4x－5的图像上的三点，则y1，y 2，y3的大小关系是（）题型七、利用二次函数的增减性求字母的取值范围7、已知二次函数y=x2-（m+1）x+1，当x≥1时，y随x的增大而增大，求m的取值范围。
二次函数图像中的几何问题
以抛物线上的三个点为顶点的三角形称为抛物线的内接三角形。已知内接三角形的三个顶点的坐标可以求出抛物线的表达式。
例2、已知抛物线与x轴交于点A（-3，0）、B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，-3），抛物线顶点为D，联结AD、AC、CD。
（1）求该抛物线的表达式；
（2）△ACD与△COB是否相似？如果相似，请给予证明；如果不相似，请说明理由。
（1）求A、B两点的坐标；（用m的代数式表示）
（2）如果平行四边行ABCD的顶点D在上述二次函数的图像上，求m的值。
四、综合问题
函数图像中的几何问题已成为历年中考的热门考题，而二次函数的图像与几何图形的结合更是考查的重点，因此，熟悉这类问题的解题思路是必须具备的能力。
下面的例题是抛物线与平行四边、相似三角形的综合。
为。
7、抛物线的顶点为M（2，3），且经过点A（0，-1），若该抛物线上另有点B（m,-1）,则m的值为。
8、若抛物线 与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，且△ABC是等腰直角三角形，则a、c之间的数量关系是。
9、若抛物线的顶点A在x轴上，且抛物线经过B（0，2），△AOB为等腰三角形，则该抛物线的表达式
（3）若直线AB交y轴于点E，在直线AB上找点F，使△CEF∽△AOM，求点F的坐标。
小结：本题涉及的几何图形是：内接于抛物线与直线之间的平行四边形和相似三角形。解题的关键是：（1）函数 图像上的点的坐标可以表示为P（x,f(x)），即用解析式来代替纵坐标；（2）用垂直于x轴的直线去截函数 和 图像，则截得的线段长PQ=∣f(x)-g(x)∣(其中x为点P或点Q的横坐标)。
精练12+1：
1、若抛物线 与x轴相交于点A、B，顶点为P，则△PAB是（）
培思数学-------“二次函数图像形状相同” 问题
培思数学-------“二次函数图像形状相同” 问题
1、如果把一个二次函数的图像向上平移a 49个单位（a>0），再向左平移2
5个单位，就得到第二个二次函数2y ax =的图像。
（1）、写出第二个二次函数定点的坐标（可用a 表示）；
（2）若第一个二次函数图像经过A(x 1, 0), B(x 2, 0), C (0, y 3)三点，其中x 1<x 2, 且y 3是x 1与x 2的比例中项，求函数解析式。
2，将抛物线 542y 2+-=x x 作下列移动后，求得到新的抛物线方程。
（1）向左平移2个单位，再向下平移3个单位；
（2）顶点不动，将原抛物线开口反向；
（3）以x 轴为对称轴，将原抛物线开口反向。
2、已知抛物线 c bx x a ++=2y 的形状与抛物线 32
1y 2+=x 相同，它的对称轴是x=-2, 它与x 轴两个交点距离为2，求：（1）图像与x 轴两交点坐标； （2）确定二次函数的解析式。
初中数学课件 2二次函数y=ax2的图象
当x ≠ 0时,y<0.
活动三、应用迁移
例1.
（1）若抛物线y=(2-m)xm2-3有最低点,则m=---------------
（2）点A(-3,y1),B(-2,y2),C(-1,y3)在抛物线
y=ax （a<0）上,则y ,y ,y 的大小关系是 2
x>0时,y随x增大而增大 x>0时,y随x增大而减小
做一做
(1)抛物线y=5x 的顶点坐标是(0,0) ,开口 向上 2 -------------------------对称轴是 y轴 ,在对称轴 右 侧,y随着x的增大而增 大；在对称轴左 侧,y随着x的增大而减小,当x= 0 时,函数y的值最小,最小值是 0 ,抛物线y=5x2在x轴 的_上___方(除顶点外). (2)抛物线 y 2 x2 当x<0时,y随着x的 增大而增大 ； 3 当x >0 ,y随着x的增大而减小； ------------------
作业：金榜行动 P4第1-10题，选做P5第6、8题
活动三、应用迁移
例3.已知正方形周长为Ccm，面积为Scm2； （1）求S和C之间的函数关系式，并画出图像； （2）根据图像，求出S=1cm2时，正方形的周长； （3）根据图像，求出C取何值时，S≥4cm2 .
结束寄语
下课了!
只有不断的思考,才会 有新的发现;只有量的 变化,才会有质的进步.
∴x的值可取负数、零、正数
(2)为了计算和描点方便,x取整数.且以1为 间距取值,取有代表性的7对值
画函数y=x2的图象.
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y=x2 … 9 4 1 0 1 4 9 …
二次函数图像问题
1．已知反比例函数x k
y =
的图象如右图所示，则二次函数2
2
2k x kx y +-=的图象大致为（ ）
2．已知0≠a ，在同一直角坐标系中，函数ax y =与2ax y =的图象有可能是（ ）
3．某幢建筑物，从10米高的窗口A 用水管和向外喷水，喷的水流呈 抛物线（抛物线所在平面与墙面垂直，
（如图）如果抛物线的最高点M
离墙1米，离地面40
3
米，则水流下落点B 离墙距离OB 是（
）
（A ）2米 （B
）3米 （C ）4米
（D ）5米
4．函数2
+y ax b y ax bx c =
+=+与在同一直角坐标系内的图象大致是 （
）
5
．已知二次函数y ＝ax 2+bx+c(a≠0)的图象如图2所示，给出以下结论：① a+b+c
＜0；② a －b+c ＜0；③ b+2a ＜0；④ abc ＞0 .其中所有正确结论的序号是（ ）
A. ③④
B. ②③
C. ①④
D. ①②③
．
6．已知二次函数y ＝ax 2
＋bx ＋c 的图象如图3所示，则(
)
图3
A ．a ＞0，c ＞0，b 2－4ac ＜0
B ．a ＞0，c ＜0，b 2－4ac ＞0
C ．a ＜0，c ＞0，b 2－4ac ＜0
D ．a ＜0，c ＜0，b 2
－4ac ＞0
A ． A
B
C D。
图像法解二次函数问题例析
图像法解二次函数问题例析在解决二次函数相关问题时，大部分学生想不到用图像法来分析，图像法能让复杂的问题迎刃而解，从而收到事半功倍的效果，利用下面几个例题，体会一下二次函数图像的神奇功效，以飨读者：例1：已知抛物线y=x2-(a+2)x+9 (a为常数).(1)若该抛物线顶点在y轴上，求a值。
(2)若该抛物线顶点在x轴上，求a值。
(3)若该抛物线顶点在x轴上方，求a的取值范围。
(4)若该抛物线顶点在x轴下方，求a的取值范围。
（1）分析：因为抛物线的顶点在y轴上，开口向上，所以函数草图只能有如下画法：所以，我们发现：抛物线的对称轴一定是y轴，即：直线x=0，对称轴x=-b2a=-(2)2a-+=0，a=-2.(2) 分析：因为抛物线的顶点在x轴上，开口向上，所以函数草图只能有如下画法：我们发现：抛物线与x轴只有一个交点，所以△=0，即：b2-4ac=0,［-(a+2)］2-4×1×9=0,所以a1=4,a2=-8。
（3）分析：由于抛物线开口向上，顶点在x轴上方，其草图如图所示：于是有：抛物线与x轴没有交点，△＜0，△=b2-4ac=〔-（a+2）〕2-4×1×9<0,∴a的取值范围是-8＜a＜4.(4) 分析：由于抛物线开口向上，顶点在x轴下方，其草图如图所示：于是有：抛物线与x轴有两个交点，△＞0，△=b2-4ac=〔-（a+2）〕2-4×1×9＞0,∴a的取值范围是a＜-8或a＞4.例2：某二次函数图像经过点A（2,a）和点B（-4,a），则这个二次函数图像对称轴是直线。
分析：抛物线草图如图所示：因为：抛物线是轴对称图形，观察图像得：对称轴是直线x=422-+=-1，即x= -1.例3：已知抛物线y=x2-2x+c经过点A（-1，y1）和点B（2,y2），比较y1与y2的大小。
分析：根据解析式可得：对称轴为直线x=1，且开口向上，抛物线草图如图所示：观察图像得：y1 ＞y2.例4：若二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)图像如图所示，当x=2时，y的值是。
中考压轴——二次函数图像中的动点、极值与存在问题
中考压轴——⼆次函数图像中的动点、极值与存在问题n两点，移，直到点O与点E（P）重合时停⽌，设运动的时间为t，平移后的△O1C1P1与△CEM的重叠部分的⾯积为S，求S与t之间的函数表达式．5.如图，抛物线C1：y=ax2+2ax+4与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，M为此抛物线的顶点，若△ABC的⾯积为12．（1）求此抛物线的函数解析式；（2）动直线l从与直线AC重合的位置出发，绕点A顺时针旋转，与直线AB重合时终⽌运动，直线l与BC交于点D，P是线段AD 的中点．①直接写出点P所经过的路线长为；②点D与B、C不重合时，过点D作DE⊥AC于点E，作DF⊥AB于点F，连接PE、PF、EF，在旋转过程中，求EF的最⼩值；（3）将抛物线C1平移得到抛物线C2，已知抛物线C2的顶点为N，与直线AC交于E、F两点，若EF=AC，求直线MN的解析式．6.在平⾯直⾓坐标系xOy中，已知抛物线y=-49(x-2)2+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴的正半轴于点C，其顶点为M，MH⊥x轴于点H，MA交y轴于点N，sin∠MOH=255．（1）求此抛物线的函数表达式；（2）过H的直线与y轴相交于点P，过O，M两点作直线PH的垂线，垂⾜分别为E，F，若HEHF =12时，求点P的坐标；（3）将（1）中的抛物线沿y轴折叠，使点A落在点D处，连接MD，Q为（1）中的抛物线上的⼀动点，直线NQ交x轴于点G，当Q点在抛物线上运动时，是否存在点Q，使△ANG与△ADM相似？若存在，求出所有符合条件的直线QG的解析式；若不存在，请说明理由．7.已知，抛物线y=ax2+bx+4（a≠0）与x轴交于A（-2，0）、B（8，0）两点，与y轴交于点C．（1）求此抛物线的解析式；（2）如图1，点E是线段OB上⼀动点，过点E作DE⊥x轴，交抛物线于点D，若直线CD与以OE为直径的⊙M相切，试求出点E的坐标；（3）如图2，在抛物线上是否存在⼀点P，过点P作x轴的垂线，垂⾜为F，过点F作FG∥BC，交线段AC于点G，连接FC，使△BCF∽△CFG？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．8.已知：抛物线y=-（x+1）（x-k）（k＞0）与x轴交于点A、B（点A在B的左侧），与y轴交于点C，点D是抛物线上位于第⼀象限上⼀动点，过D作DE⊥x轴于点E．（1）如图⼀，当OC=4时，求此抛物线解析式；（2）如图⼆，过点A作直线l⊥x轴，点F为x轴下⽅直线l上⼀点，连接EF、BD，当∠BDE=∠FEO时，求点F 的坐标．（3）如图三，在（1）的条件下，DE与BC交于点H，过D作DK⊥CH于点K，若点P为x轴上⽅抛物线上⼀动点，连接PC、PE，当DK=12CH，且∠PCO+∠PED=90°时，求点P的坐标．9.如图，在平⾯直⾓坐标系中，点O为坐标原点，直线y=-x+4与x轴交于点A，过点A的抛物线y=ax2+bx与直线y=-x+4交于另⼀点B，且点B的横坐标为1．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是线段AB上⼀个动点（点P不与点A、B重合），过点P作PM∥OB交第⼀象限内的抛物线于点M，过点M作MC⊥x轴于点C，交AB于点N，过点P作PF⊥MC于点F，设PF的长为t，①求MN与t之间的函数关系式（不要求写出⾃变量t的取值范围）；②当MN取最⼤值时，连接ON，直接写出sin∠BON的值．10.如图，经过点A（0，-4）的抛物线y=12x2+bx+c与x轴相交于B（-2，0），C两点，O为坐标原点．（1）求抛物线的解析式；（2）将抛物线y=12x2+bx+c向上平移72个单位长度，再向左平移m（m＞0）个单位长度得到新抛物线，若新抛物线的顶点P在△ABC内，直接写出m的取值范围；（3）点P为x轴下⽅的抛物线上的⼀个动点，连接PA、PC，若所得△PAC的⾯积为S，求出当S取何值时，相应的点P有且只有2个？（4）设点M在x轴上，∠OMA+∠OAB=∠ACB，求BM的长．11.如图，抛物线y=x2-2x-3与x轴交于A、B两点（A点在B点左侧），直线l与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2．（1）求A、B、C三点的坐标；（2）在抛物线的对称轴上找到点P，使得△PBC的周长最⼩，并求出点P的坐标；（3）点G抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、G为顶点四边形是平⾏四边形？如果存在，求出所有满⾜条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由．12.如图，抛物线y=33x2+233x-3交x轴于点A、B，交y轴于点C．（1）求该抛物线的对称轴及△ABC的⾯积．（2）如图1，已知点Q（0，3），点P是直线AC下⽅抛物线上的⼀动点，连接PQ交直线AC于点K，连接BQ、BK，当点P使得△BQK周长最⼩时，请求出△BQK周长的最⼩值和此时点P的横坐标．（3）如图2，线段AC⽔平向右平移得线段FE（点A的对应点是F，点C的对应点是E），将△ACF沿CF翻折得△CFA′，连接A′E，是否存在点F，使得△CEA′是直⾓三⾓形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．13.如图，抛物线y=-12x2+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（-1，0），C（0，2）．（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；（2）求直线BC的解析式；（3）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三⾓形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；（4）点E时线段BC上的⼀个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，△CBF的⾯积最⼤？求出△CBF的最⼤⾯积及此时E点的坐标．14.如图，在平⾯直⾓坐标系中，以A（3，0）为圆⼼，以5为半径的圆与x轴相交于B、C，与y轴的负半轴相交于D．（1）若抛物线y=ax2+bx+c经过B、C、D三点，求此抛物线的解析式，并写出抛物线与圆A的另⼀个交点E的坐标；（2）若动直线MN（MN∥x轴）从点D开始，以每秒1个长度单位的速度沿y轴的正⽅向移动，且与线段CD、y轴分别交于M、N两点，动点P同时从点C出发，在线段OC上以每秒2个长度单位的速度向原点O运动，连接PM，设运动时间为t秒，当t为何值时，MN?OP的值最⼤，并求出最⼤值；MN+OP（3）在（2）的条件下，若以P、C、M为顶点的三⾓形与△OCD相似，求实数t的值．15.如图，已知直线l：y=1x+2与y轴交于点D，过直线l上⼀点E作EC丄y轴于点C，且C点坐标为（0，4），过2x2+bx+c交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧）．C、E两点的抛物线y=-13（1）求抛物线的解析式：（2）动点Q从点C出发沿线段CE以1单位/秒的速度向终点E运动，过点Q作QF⊥ED于点F，交BD于点H，设点Q运动时间为t 秒，△DFH的⾯积为S，求出S与t的函数关系式（并直接写出⾃变量t的取值范围）；（3）若动点P为直线CE上⽅抛物线上⼀点，连接PE，过点E作EM⊥PE交线段BD于点M，当△PEM是等腰直⾓三⾓形时，求四边形PMBE的⾯积．16.如图，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点A的坐标为（-1，0），与y轴交于点C（0，3），作直线BC．动点P在x轴上运动，过点P作PM⊥x轴，交抛物线于点M，交直线BC于点N，设点P的横坐标为m．（1）求抛物线的解析式和直线BC的解析式；（2）当点P在线段OB上运动时，若△CMN是以MN为腰的等腰直⾓三⾓形时，求m的值；（3）当以C、O、M、N为顶点的四边形是以OC为⼀边的平⾏四边形时，求m的值．17.如图所⽰，动点A、B同时从原点O出发，运动的速度都是每秒1个单位，动点A沿x轴正⽅向运动，动点B沿y轴正⽅向运动，以OA、OB为邻边建⽴正⽅形OACB，抛物线y=-x2+bx+c经过B、C两点，假设A、B两点运动的时间为t秒：（1）直接写出直线OC的解析式；（2）当t=3秒时，求此时抛物线的解析式；此时抛物线上是否存在⼀点D，使得S△BCD=6？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，说明理由；（3）在（2）的条件下，有⼀条平⾏于y轴的动直线l，交抛物线于点E，交直线OC于点F，若以O、B、E、F 四个点构成的四边形是平⾏四边形，求点F的坐标；（4）在动点A、B运动的过程中，若正⽅形OACB内部有⼀个点P，且满⾜OP=2，CP=2，∠OPA=135°，直接写出此时AP的长度．18.如图，抛物线y=1x2+bx+c与y轴交于点C（0，-4），与x轴交于点A、B，且B点的坐标为（2，0）．2（1）求抛物线的解析式；（2）若点P是AB上的⼀个动点，过点P作PE∥AC交BC于点E，连接CP，求△PCE⾯积的最⼤值；（3）在（2）的条件下，若点D为OA的中点，点M是线段AC上⼀点，当△OMD为等腰三⾓形时，连接MP、ME，把△MPE沿着PE翻折，点M的对应点为点N，求点N的坐标，并判断点N是否在抛物线上．19.如图抛物线y=-x2+bx+c与x轴的两个交点别为A（1，0），B（3，0）（1）求这条抛物线所对应的函数关系式；（2）设点P在该抛物线上滑动，若使△PAB的⾯积为1，这样的点P有⼏个？并求出满⾜P点的坐标；（3）设抛物线交y轴于点C，在该抛物线对称轴上是否存在点M，使得△MAC的周长最⼩？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．20.抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（-1，0），B（3，0）与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，P是直线BC上⼀动点．（1）求抛物线的解析式；（2）过点P作y轴的平⾏线交直线BC下⽅的抛物线于点E，当PE达到最长时，求点P的坐标；（3）点Q是抛物线对称轴上⼀动点，当△PAQ是以PQ为斜边的等腰直⾓三⾓形时，求点P的坐标．21.如图，在平⾯直⾓坐标系中，点B在直线y=2x上，过点B作x轴的垂线，垂⾜为x2+bx+c过点O、A两点．A，OA=5，抛物线y=16（1）抛物线的解析式为；（2）点C是抛物线上的⼀点，且BC=10，连接AC交OB于点D，以BC为直径的⊙O1经过点D，连接DC，求证：OC是的⊙O1切线；（3）设点P是OB上的⼀个动点，是否存在⼀点P，使△PCD与△ABD相似，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．22.如图，在平⾯直⾓坐标系xOy中，O为坐标系原点，AD为等腰三⾓形AOC底边OC上的⾼，直线OA的解析式为y=x，抛物线y=a（x-4）2+k的顶点为A，且经过坐标原点．（1）求此抛物线的解析式；（2）有⼀动点P从点O出发，沿射线OA⽅向以每秒2个单位长度的速度运动，连接PD，设△APD的⾯积为S，点P的运动时间为t秒，求S与t的解析式，并直接写出⾃变量t的取值范围；（3）在（2）的情况下，过点D作PD的垂线交射线AC于点E，过点E作OC的垂线交抛物线于点F，问当t为何值时，CE的长为2，并求出此时点F的坐标．23.如图，抛物线y=x2-2x-3与x轴交于A、B两点（A点在B点左侧），点C为抛物线上⼀点，且点C的横坐标为2，抛物线的对称轴EF交x轴于点E，交直线AC于点F．（1）求点A、B 的坐标和直线AC的解析式；（2）若G是y轴上⼀个动点，当∠AGC=90°时，求点G的坐标；（3）在直线EF上是否存在点P，使⊙P与直线AC和y轴都相切，若存在，求出圆⼼P的坐标，若不存在，请说明理由．24.如图，O为坐标原点，点A在x正半轴上，OA=2，将线段OA绕点O逆时针旋转150°⾄OB的位置，若经过点A、O、B三点的抛物线的解析式为y=ax2+bx+c．（1）求经过A、O、B三点的抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三⾓形是等腰三⾓形？若存在，求出满⾜条件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点D是线段OB下⽅抛物线上的动点，求四边形ABDO⾯积的最⼤值．25.如图1，已知⼆次函数y=ax2+bx+c的图象经过A（-3，0），B（1，0），C（0，3）三点，其顶点为D，对称轴是直线l，l与x轴交于点H，（1）求⼆次函数的表达式；（2）如图2，若E是线段AD上的⼀个动点（E与A、D不重合），过E点作平⾏于y轴的直线交抛物线与点F，交x轴与点G，设点E的横坐标为m，△ADF的⾯积为S，①求S与m的函数表达式；②S是否存在最⼤值？若存在，求出最⼤值及此时点E的坐标；若不存在，请说明理由．26.如图，已知抛物线与x轴交于A（-1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）若M为对称轴上的点，且△MAB的⾯积是4，求M点的坐标；（3）设抛物线的顶点为D，在第⼀象限的抛物线上是否存在点N，使得△NCD是等腰三⾓形？若存在，求出符合条件的N点的坐标；若不存在，请说明理由．27.如图，抛物线y=ax2+bx-4与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，对称轴是直线x=52x-4经过B，C两点．（1）求该抛物线的关系式；（2）若在对称轴右侧的抛物线上有⼀点P，过点P作PD⊥直线BC，垂⾜为点D，当∠PBD=∠ACO时，求出点P的坐标；（3）如图2，过点C作CE∥x轴交抛物线于点E，连接AE，点F是线段CE上的动点，过点F作FG⊥x轴，交AE 于H，垂⾜为点G，将△EFH沿直线AE翻折，得到△EMH，连接GM，是否存在这样的点F，使△GHM是等腰三⾓形？若存在，求出对应的EF的长度；若不存在，请说明理由．28.已知：⼆次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，其中A点坐标为（-3，0），与y轴交于点C，点D（-2，-3）在抛物线上．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴上有⼀动点P，求出PA+PD的最⼩值；（3）点G抛物线上的动点，在x轴上是否存在点E，使B、D、E、G这样的四个点为顶点的四边形是平⾏四边形？如果存在，求出所有满⾜条件的E点坐标；如果不存在，请说明理由．29.如图，在平⾯直⾓坐标系中，抛物线y=-x2+bx+c的图象与x轴交于点A（-1，0）和点B，与y轴交于点C（0，3），抛物线的顶点为点D．（1）求抛物线和直线AD的解析式；（2）点Q是抛物线⼀象限内⼀动点，过点Q作QN∥AD交BC于N，QH⊥AB交BC于点M，交AB于点H（如图1），当点Q坐标为何值时，△QNM的周长最⼤，求点Q的坐标以及△QNM周长的最⼤值；（3）直线AD与y轴交于点F，点E是点C关于对称轴的对称点，点P是线段AE上⼀动点，将△AFP沿着FP所在的直线翻折得到△A′FP（如图2），当三⾓形A′FP与△AED重叠部分为直⾓三⾓形时，求AP的长．30.如图1，在平⾯直⾓坐标系中，抛物线y=ax2+bx+4与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OC=2OA，抛物线的对称轴为直线x=3，且与x轴相交于点D．（1）求该抛物线解析式；（2）点P是第⼀象限内抛物线上的⼀个动点，设点P的横坐标为m，记△PCD的⾯积为S，是否存在点P使得△PCD的⾯积最⼤？若存在，求出S的最⼤值及相应的m值；若不存在请说明理由．（3）如图2，连接CD得Rt△COD，将△COD沿x轴正⽅向以某⼀固定速度平移，记平移后的三⾓形为△C′O ′D′，当点D′到达B 时运动停⽌，直线BC与△C′O′D′的边C′O′、C′D′分别相交于G、H，在平移过程中，当△O ′GH变为以O′H为腰的等腰三⾓形时，求此时BD′的长．31.如图．在平⾯直⾓坐标系中，直线y=-12x+3的图象与x釉、y轴分别交于点A、点B．抛物线y=14图象经过点A，并且与直线相交于点C，已知点C的横坐标为-4．（1）求⼆次函数的解析式以及cos∠BAO的值；（2）点P是直线AC下⽅抛物线上⼀动点（不与点A、点C重合），过点P作PD⊥x轴于点D，交AC于点E，作PF⊥AC于点F．当△PEF的周长与△ADE的周长之⽐等于5：2时，求出点D的坐标并求出此时PEF的周长；（3）在（2）的条件下，将△ADE绕平⾯内⼀点M按顺时针⽅向旋转90°后得到△A1D1E1，点A、D、E的对应点分别是A1、D1、E1．若△A1D1E1的两个顶点恰好落在抛物线上，求出点A1的坐标．32.如图，在平⾯直⾓坐标系Oxy中，四边形ABCD是菱形，顶点A、C、D均在坐标轴上，且AB=5，sinB=45．（1）求过A、C、D三点的抛物线的解析式．（2）设直线AB与（1）中抛物线的另⼀个交点为E，P点为抛物线上A、E两点之间的⼀个动点，当△PAE的⾯积最⼤时，求点P的坐标．（3）若过点F（-6，0）的直线L上有⼀动点M，当以A，D，M为顶点所作的直⾓三⾓形有且只有三个时，请直接写出点M的坐标．33.如图1，已知抛物线y=ax2-32x+c与x轴相交于A、B两点，并与直线y=12x-2交于B、C两点，其中点C是直线y=x-2与y轴的交点，连接AC．（1）点B的坐标是；点C的坐标是；（2）求抛物线的解析式；（3）设点E是线段CB上的⼀个动点（不与点B、C重合），直线EF∥y轴，交抛物线与点F，问点E运动到何处时，线段EF的长最⼤？并求出EF的长的最⼤值；（4）如图2，点D是抛物线的顶点，判断直线CD是否是经过A、B、C三点的圆的切线，并说明理由．34.如图，⼆次函数y=ax2+bx+c的图象于x轴交于A（-1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，-3），顶点为D，连接BC、BD、AC、CD，将△AOC绕点O逆时针旋转90°得△MOB．（1）求抛物线解析式及直线BD的解析式；（2）①操作⼀：动点P从点M出发到x轴上的点N，⼜到抛物线的对称轴上的点Q，再回到y轴上的点C，当四边形MNQC的周长最⼩时，则四边形MNQC的最⼩周长为；此时，tan∠OMN=；②操作⼆：将△AOC旋转的过程中，A的对应点为A′C的对应点为C′，当OA′⊥AC时，求直线OC′与抛物线的交点坐标；（3）将△BOM沿y轴的负半轴以每秒1个单位的速度平移，当BM过点D时停⽌平移，设平移的时间为t秒，△BOM与△BCD的重叠部分的⾯积为S，请直接求出S与t的函数关系式及相应的t的取值范围．35.如图，抛物线经过A（-1，0），B（5，0），C（0，-5）三点，点P是直线BC下⽅2的抛物线上⼀动点．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上有⼀点M，使MA+MC的值最⼩，求点M的坐标；（3）当点P运动到什么位置时，△PBC的⾯积最⼤，并求出此时P点的坐标和△PBC的最⼤⾯积．36.如图，抛物线y=-x2+x+2与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D．（1）求A、B、C、D的坐标；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三⾓形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）点E（m，n）是线段BC上的⼀个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，△CBF的⾯积最⼤？求出△CBF的最⼤⾯积及此时E点的坐标．37.平⾯直⾓坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，点A，C的坐标分别为（-3，0），（0，3），对称轴直线x=-1交x轴于点E，点D为顶点．（1）求抛物线的解析式；（2）点K是直线AC下⽅的抛物线上⼀点，且S△KAC=S△DAC求点K的坐标；（3）如图2若点P是线段AC上的⼀个动点，∠DPM=30°，DP⊥DM，则点P的线段AC上运动时，D点不变，M点随之运动，求当点P从点A运动到点C时，点M运动的路径长．38.如图，在平⾯直⾓坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx-4与x轴交于点A（-2，0）和点B，与y轴交于点C，直线x=1是该抛物线的对称轴．（1）求抛物线的解析式；（2）若两动点M，H分别从点A，B以每秒1个单位长度的速度沿x轴同时出发相向⽽⾏，当点M到达原点时，点H⽴刻掉头并以每秒32个单位长度的速度向点B⽅向移动，当点M到达抛物线的对称轴时，两点停⽌运动，经过点M的直线l⊥x轴，交AC或BC于点P，设点M的运动时间为t秒（t＞0）．求点M的运动时间t与△APH的⾯积S的函数关系式，并求出S的最⼤值．39.如图，已知⼀次函数y1=12x+b的图象l与⼆次函数y2=-x2+mx+b的图象C′都经过点B（0，1）和点C，且图象C′过点A（2-5，0）．（1）求⼆次函数的最⼤值；（2）设使y2＞y1成⽴的x取值的所有整数和为s，若s是关于x的⽅程(1+1a-1)x+3x-3=0的根，求a的值；（3）若点F、G在图象C′上，长度为5的线段DE在线段BC上移动，EF与DG始终平⾏于y轴，当四边形DEFG的⾯积最⼤时，在x轴上求点P，使PD+PE最⼩，求出点P的坐标．40.如图，已知抛物线y=ax 2+bx+4与x 轴交于A （-2，0）、B 两点，与y 轴交于C 点，其对称轴为直线x=1．（1）直接写出抛物线的解析式：；（2）把线段AC 沿x 轴向右平移，设平移后A 、C 的对应点分别为A′、C′，当C′落在抛物线上时，求A′、C′的坐标；（3）除（2）中的点A′、C′外，在x 轴和抛物线上是否还分别存在点E 、F ，使得以A 、C 、E 、F 为顶点的四边形为平⾏四边形？若存在，求出E 、F 的坐标；若不存在，请说明理由．41.如图，已知抛物线经过点A （-2，0）、B （4，0）、C （0，-8）．（1）求抛物线的解析式及其顶点D 的坐标；（2）直线CD 交x 轴于点E ，过抛物线上在对称轴的右边的点P ，作y 轴的平⾏线交x 轴于点F ，交直线CD 于M ，使PM=15EF ，请求出点P 的坐标；（3）将抛物线沿对称轴平移，要使抛物线与（2）中的线段EM 总有交点，那么抛物线向上最多平移多少个单位长度，向下最多平移多少个单位长度．42.如图，抛物线y=ax 2+bx+c 关于y 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，点B （2，-43）和点C （-3，-3）两点均在抛物线上，点F （0，-34）在y 轴上，过点（0，34）作直线l 与x 轴平⾏．（1）求抛物线的解析式和线段BC 的解析式．（2）设点D （x ，y ）是线段BC 上的⼀个动点（点D 不与B ，C 重合），过点D作x 轴的垂线，与抛物线交于点G ．设线段GD 的长度为h ，求h 与x 之间的函数关系式，并求出当x 为何值时，线段GD 的长度h 最⼤，最⼤长度h 的值是多少？（3）若点P （m ，n ）是抛物线上位于第三象限的⼀个动点，连接PF 并延长，交抛物线于另⼀点Q ，过点Q 作QS⊥l ，垂⾜为点S ，过点P 作PN⊥l ，垂⾜为点N ，试判断△FNS 的形状，并说明理由；（4）若点A （-2，t ）在线段BC 上，点M 为抛物线上的⼀个动点，连接AF ，当点M 在何位置时，MF+MA 的值最⼩，请直接写出此时点M 的坐标与MF+MA 的最⼩值．43.如图，在平⾯直⾓坐标系中，顶点为（4，-1）的抛物线交y 轴于A 点，交x 轴于B ，C 两点（点B 在点C 的左侧），已知A 点坐标为（0，3）．（1）求此抛物线的解析式；（2）过点B 作线段AB 的垂线交抛物线于点D ，如果以点C 为圆⼼的圆与直线BD相切，请判断抛物线的对称轴l 与⊙C 有怎样的位置关系，并给出证明；（3）已知点P 是抛物线上的⼀个动点，且位于A ，C 两点之间，问：当点P 运动到什么位置时，△PAC 的⾯积最⼤？并求出此时P 点的坐标和△PAC 的最⼤⾯积．。
二次函数双动点面积最值
二次函数双动点面积最值一、问题描述在平面直角坐标系内，给定二次函数 $y=ax^2+bx+c$，且 $a<0$。
定义该二次函数的双动点为其图像上两个不同的点 $(x_1,y_1)$ 和$(x_2,y_2)$，满足 $y=ax^2+bx+c$ 在区间 $(x_1,x_2)$ 内单调递减或单调递增。
现在要求求出所有可能的双动点，并计算出其对应的面积最大值。
二、解题思路本题需要分别考虑二次函数的凸性和双动点的性质。
具体来说，我们可以通过求导数来判断二次函数的凸性，并通过判别式来计算二次方程的根以确定双动点。
然后，我们可以利用双动点的性质，结合微积分知识求出面积最大值。
三、解题步骤1. 求解二次函数的凸性由于$a<0$，因此该二次函数开口向下。
此时，当且仅当$a>0$ 时，该二次函数在整个定义域内为凸函数；当且仅当 $a<0$ 时，该二次函数在整个定义域内为下凸函数。
因此，在本题中，我们可以通过判断 $a$ 的符号来确定该二次函数的凸性。
2. 计算二次方程的根由于$a<0$，因此该二次函数的图像是一个开口向下的抛物线。
此时，该二次函数的双动点必然是两个不同的零点，即 $ax^2+bx+c=0$ 的两个根。
根据二次方程求根公式可得：$$x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$由于 $a<0$，因此 $\sqrt{b^2-4ac}$ 为实数。
因此，当 $b^2-4ac>0$ 时，该二次方程有两个不同的实根；当 $b^2-4ac=0$ 时，该二次方程有一个重根；当$b^2-4ac<0$ 时，该二次方程无实数解。
在本题中，我们需要计算出所有可能的双动点。
因此，在计算完根之后，我们需要对其进行判断：若两个根均在定义域内，则它们为一个双动点；若其中一个根在定义域内而另一个不在，则不存在双动点；若两个根均不在定义域内，则也不存在双动点。
二次函数图像及解析式问题
二次函数图像及解析式问题1.若二次函数的图象经过A(0，0)，B(－1，－11)，C(1，9)三点，求这个二次函数的解析式2.如果抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过点(－1，12)，(0，5)和(2，－3)，求a ＋b ＋c 的值3.抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过点(0，1)，(1，3)，(－1，1)三点，求这个二次函数的解析式4.抛物线顶点P(－1，－8)，且过点A(0，－6)，求这个二次函数的解析式5.已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象过(3，0)，(2，－3)两点，并且以x ＝1为对称轴，求这个函数的解析式6.二次函数的图象的顶点在原点，且过点(2，4)，求这个二次函数的关系式7.已知一个二次函数的图象过点(0，1)，它的顶点坐标是(8，9)，求这个二次函数的关系式8.已知抛物线的顶点是(2，－4)，它与y 轴的一个交点的纵坐标为4，求函数的关系式9.已知二次函数当x ＝－3时，有最大值－1，且当x ＝0时，y ＝－3，求二次函数的关系式10.已知二次函数y ＝x 2＋px ＋q 的图象的顶点坐标是(5，－2)，求二次函数关系式11.已知抛物线的顶点坐标为(－1，－3)，与y 轴交点为(0，－5)，求二次函数的关系式12.函数y ＝x 2＋px ＋q 的最小值是4，且当x ＝2时，y ＝5，求p 和q13.若抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 的最高点为(－1，－3)，求b 和c14.若二次函数y ＝(m ＋1)x 2＋m 2－2m －3的图象经过原点，则m ＝______15.已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象经过A(0，1)，B(－1，0)，C(1，0)，求此函数的关系式16.已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象过A(0，－5)，B(5，0)两点，它的对称轴为直线x ＝2，求这个二次函数的关系式17.二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴的两交点的横坐标是－0.5，1.5，与x 轴交点的纵坐标是－5，求这个二次函数的关系式18.已知y=x 2+(m 2+4)x-2m 2-12，求证，不论m 取何实数图象总与x 轴有两个交点19.（1）已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，求这个二次函数的关系式（2）已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，求这个二次函数的关系式（3）根据图中的抛物线，当x 时，y 随x 的增大而增大，当x 时，y 随x 的增大而减小，当x 时，y 有最大值(4)已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像如图所示，下列结论：⑴a+b+c ﹤0 ⑵a-b+c ﹥0 ⑶abc ﹥0⑷b=2a (5)042ac b ，其中正确的结论的个数是（ ）A 1个 B 2个 C 3个 D 4个 (5)已知y=2x 2+8x+7的图象上有有点A 1(2)y ，，B 21(5)3y ，，C 31(1)5y ，，则 y 1、y 2、y 3的大小关系为( ) A ． y 1 > y 2> y 3 B ． y 2> y 1> y 3 C ． y 2> y 3> y 1 D ． y 3> y 2> y 120.（1）下列图象中，当ab ＞0时，函数y ＝ax 2与y ＝ax ＋b 的图象是( )（2）在同一直角坐标系中，一次函数y=ax+c 和二次函数y=ax 2+c 的图象大致为 ( )21.如图是抛物线拱桥，已知水位在AB位置时，水面宽46米，水位上升3米就达到警戒线CD，这时水面宽43米，若洪水到来时，水位以每小时0.25米速度上升，求水过警戒线后几小时淹到拱桥顶?22.如图，一位运动员在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5米时，达到最大高度3.5米，然后准确落入篮圈.已知篮圈中心到地面的距离为3.05米.(1)建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的表达式；(2)该运动员身高1.8米，在这次跳投中，球在头顶上方0.25米处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少.23.有一座圆弧形的拱桥，桥下水面宽度7.2ｍ，拱顶高出水平面2.4ｍ，现有一艘宽3ｍ，船舱顶部为正方形并高出水面2ｍ的货船要经过拱桥，请你判断一下，此货船能顺利通过这座拱桥吗？说说你的理由24.如图，小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子，给他做了一个简易的秋千，拴绳子的地方距地面高都是2.5米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时，头部刚好接触到绳子，问绳子的最低点距地面的距离是多少米．25.在平面直角坐标系中，ΔAOB的位置如图所示，已知∠AOB＝90°，AO＝BO，点A的坐标为（－3,1）。
二次函数的图像
汇报人：
二次函数图像的形状 二次函数图像的平移 二次函数图像的对称变换 二次函数图像的翻折 二次函数图像的交点 二次函数图像的综合应用
二次函数图像的形状
开口方向
向上开口：二次项系数大于0
垂直于x轴：二次项系数等于0
添加标题
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向下开口：二次项系数小于0
添加标题
添加标题
水平线：一次项系数等于0
抛物线与坐标轴交点的应 用
抛物线在实际问题中的建 模应用
在数学竞赛中的应用
二次函数图像的综合应用可以解决数学竞赛中的代数问题。 通过分析二次函数图像，可以解决几何问题。 利用二次函数图像的性质，可以解决数列问题。 二次函数图像的综合应用在数学竞赛中具有广泛的应用价值。
在高中数学中的重要性
二次函数图像是高中数学的重要知识点，是理解和掌握函数性质的关键。 通过二次函数图像的综合应用，可以解决各种实际问题，提高数学应用能力。 二次函数图像在高中数学中占有重要地位，是高考数学的必考内容之一。 掌握二次函数图像的综合应用，有助于提高学生的数学素养和思维能力。
变化规律：顶点不变，开口方 向相反，对称轴不变
举例：y=x^2沿x轴翻折后为 y=-x^2
应用：理解次函 数图像在y轴两侧 对称翻转
效果：改变开口 方向和顶点位置
公式：将二次函 数的一般形式 y=ax^2+bx+c 中的a替换为-a， 得到新的二次函 数
上平移和下平移对函数值的影响：上平移会使函数值增大，下平移会使函数值减小。
上平移和下平移的代数表示：向上平移a个单位，函数解析式变为y=f(x+a)；向下平移 a个单位，函数解析式变为y=f(x-a)。
上平移和下平移的实际应用：在解决实际问题时，可以通过平移二次函数的图像来调整 参数，从而得到最优解。
浅谈二次函数图像问题的处理
浅谈二次函数图像问题的处理
二次函数图像是数学中最常见的几何图形之一，它的形状就像一个天花板或圆弧的形状（或凹）。
它们可以用来表示双曲线，弓形线，抛物线，及其他与几何图像相关的数学函数。
处理二次函数图像的方法有很多，它们的简单性使得使用这些方法变得更容易。
首先，了解二次函数的性质是处理它们的关键。
这需要临界点，最大值和最小值等等。
然后，利用椭圆体或其他几何形状来推导存在的约束条件，如果知道了约束条件，就可以用它们来进行下一步的求解，例如在给定的范围内求出可行的u，v取值。
接下来，要推导当函数取特定值时的极限，即求出最大值和最小值。
此外，根据函数和参数相关系数，可以求得几何形状，及其对应的定义域和值域。
最后，利用技术手段可以计算出函数的积分，从而可以用来归纳性地求解二次函数图像问题。
此外，还可以利用软件，如MATLAB，SPSS等绘制二次函数图像，从而能够更方便地求解函数的性质及形状。
总而言之，完全理解二次函数的基本性质及其求解方法是处理它们的关键，利用这些性质和技术手段，可以将抽象的数学概念映射到几何实体，有助于减小计算量和把握解决问题的过程。
二次函数图象和性质知识点总结
二次函数的图象和性质知识点总结一、知识点回顾1. 二次函数解析式的几种形式：①一般式：（a 、b 、c 为常数，a ≠0） ②顶点式：（a 、h 、k 为常数，a ≠0），其中（h ，k ）为顶点坐标。
③交点式：，其中是抛物线与x 轴交点的横坐标，即一元二次方程的两个根，且a ≠0，（也叫两根式）。
2. 二次函数的图象 ①二次函数的图象是对称轴平行于（包括重合）y 轴的抛物线，几个不同的二次函数，如果a 相同，那么抛物线的开口方向，开口大小（即形状）完全相同，只是位置不同。
②任意抛物线可以由抛物线经过适当的平移得到，移动规律可简记为：[左加右减，上加下减]，具体平移方法如下表所示。
③在画的图象时，可以先配方成的形式，然后将的图象上（下）左（右）平移得到所求图象，即平移法；也可用描点法：也是将配成的形式，这样可以确定开口方向，对称轴及顶点坐标。
然后取图象与y 轴的交点（0，c ），及此点关于对称轴对称的点（2h ，c ）；如果图象与x 轴有两个交点，就直接取这两个点（x 1，0），y ax bx c =++2y a x h k =-+()2y a x x x x =--()()12x x 12，ax bx c 20++=y ax bx c =++2y ax bx c =++2y a x h k =-+()2y ax =2y ax bx c =++2y a x h k =-+()2y ax =2y ax bx c =++2y a x h k =-+()2（x 2，0）就行了；如果图象与x 轴只有一个交点或无交点，那应该在对称轴两侧取对称点，（这两点不是与y 轴交点及其对称点），一般画图象找5个点。
a ＞0 a ＜0 a ＞0 a ＜0(1)抛物线开口向上，(1)抛物线开口向下，(1)抛物线开口(1)抛物线开4. 求抛物线的顶点、对称轴和最值的方法①配方法：将解析式化为的形式，顶点坐标为y ax bx c =++2y a x h k =-+()2（h ，k ），对称轴为直线，若a ＞0，y 有最小值，当x ＝h 时，；若a ＜0，y 有最大值，当x ＝h 时，。
4.1 二次函数的图像(北师大版)
[思路点拨]
对每个函数列表、描点、连线作出相应
的图像，然后利用图像分析y＝x2与y＝2x2－4x的关系．
[精解详析]
(1)列表：
－2 4 2 16 －1 1 －1 6 0 0 －2 0 1 1 －1 2 4 2 0 3 9 7 6
x y＝x2 y＝x2－2 y＝2x2－
一般式y＝ax2＋bx＋c，a、b、c为常数，a≠0的形式．
(2)若已知二次函数图像的顶点坐标或对称轴方程与
最大(小)值，则设所求二次函数为顶点式y＝a(x－h)2＋k
(其中顶点(h，k)，a为常数，a≠0)．
(3)若已知二次函数图像与x轴的两个交点的坐标为 (x1,0)，(x2,0)，则设所求二次函数为两根式y＝a(x－x1) (x－x2)(a为常数，且a≠0)．
给定下面几个函数
f(x)＝x2，f(x)＝2x2，f(x)＝2(x－1)2＋1
问题1：由f(x)＝x2的图像如何得到f(x)＝2x2的图像？
提示：f(x)＝x2的图像上各点横坐标不变，纵坐标变
为原来的2倍即可得到f(x)＝2x2的图像．
问题2：由f(x)＝2x2的图像如何得到f(x)＝2(x－1)2＋1的
[一点通]
任意抛物线y＋h)2＋k的形式，都可由y＝ax2图像经过适当的平移得
到，具体平移方法，如图所示．
即上述平移规律“h值正、负，左、右移”，亦即“加时
左移，减时右移”；“k值正、负，上、下移”，即“加时上移，
减时下移”．
1．如何把y＝2x2－4x的图像变换为y＝x2的图像？
a－b－6＝－4， 故 a＋b－6＝－6，
① ②
由①②可得 a＝1，b＝－1， 故该函数的解析式为 y＝x2－x－6.
初三数学,二次函数(图像、性质、规律、实际问题)
y=ax^2 (0，0) x=0
y=ax^2+K (0，K) x=0
y=a(x-h)^2 (h，0) x=h
y=a(x-h)^2+k (h，k) x=h
y=ax^2+bx+c (-b/2a，4ac-b²/4a) x=-b/2a
(1)图象与y轴一定相交，交点坐标为(0，c)；
(2)当△=b^2-4ac>0，图象与x轴交于两点A(x?，0)和B(x?，0)，其中的x1,x2是一元二次方程ax^2+bx+c=0
(a≠0)的两根．这两点间的距离AB=|x?-x?| =√△/∣a∣（a绝对值分之根号下△）另外，抛物线上任何一对对称点的距离可以由|2×（-b/2a）－A |（A为其中一点的横坐标）
3。一般式,顶点式,交点式，等，区分对称轴，顶点，图像等的差异性。
4。联系实际对函数图像的理解。
5。计算时，看图像时切记取值范围。
二次函数的图像
在平面直角坐标系中作出二次函数y=2x的平方的图像，
可以看出，二次函数的图像是一条永无止境的抛物线。
不同的二次函数图像
顶点的横坐标，是取得最值时的自变量值，顶点的纵坐标，是最值的取值。
6．用待定系数法求二次函数的解析式
(1)当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时，可设解析式为一般形式：
y=ax^2+bx+c(a≠0)。
(2)当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴或极大（小）值时，可设解析式为顶点式：y=a(x-h)^2+k(a≠0)。
可简单记忆为左同右异，即当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时
人教版九年级上册期末点对点攻关：二次函数图像问题综合(七)
人教版九年级上册期末点对点攻关：二次函数图像问题综合（七）1．如图是二次函数y＝ax2+bx+c的图象，对于下列说法：①ac＞0，②2a+b＞0，③4ac＜b2，④a+b+c＜0，⑤当x＞0时，y随x的增大而减小，其中正确的是（）A．①②③B．①②④C．②③④D．③④⑤2．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列结论：①abc＞0；②2a+b＝0；③若m为任意实数，则a+b＞am2+bm；④a﹣b+c＞0；⑤若ax12+bx1＝ax22+bx2，且x1≠x2，则x1+x2＝2．其中，正确结论的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．43．抛物线y＝ax2+bx+c过点（1，0）且对称轴为直线x＝﹣1，部分图象如图所示，下列判断中：①abc＜0；②b+2a＝0；③b2＞4ac；④若点（﹣0.5，y1），（﹣2，y2）均在抛物上，则y1＜y2；⑤13a﹣4b+c＞0；⑥3a+2c＜0，其中正确个数有（）A．2 B．3 C．4 D．54．如图，在二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象中，小明同学观察得出了下面几条信息：①b2﹣4ac＞0；②abc＜0；③；④b2＝4a（c﹣1）；⑤关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝3无实数根，其中信息错误的个数为（）A．4 B．3 C．2 D．15．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图所示，顶点坐标为（﹣2，﹣9a），下列结论：①abc＞0；②4a+2b+c＞0；③5a﹣b+c＝0；④若方程a（x+5）（x﹣1）＝﹣1有两个根x 1和x2，且x1＜x2，则﹣5＜x1＜x2＜1；⑤若方程|ax2+bx+c|＝2有四个根，则这四个根的和为﹣4．其中正确的结论有（）A．2个B．3个C．4个D．5个6．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，则下列4个结论：①abc＜0；②2a+b ＝0；③4a+2b+c＞0；④b2﹣4ac＞0；其中正确的结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．47．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论中正确的是（）A．a＞0B．当﹣1＜x＜3时，y＜0C．2a+b＝0D．当x≥1时，y随x的增大而增大8．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且对称轴为x＝1，点B坐标为（﹣1，0）．则下面的四个结论：①2a+b＝0；②4a﹣2b+c＜0；③b2﹣4ac＞0；④当y＜0时，x＜﹣1或x＞2．其中正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个9．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，现有下列结论：①abc＞0；②b2﹣4ac＜0；③4a﹣2b+c＜0；④b＝﹣2a．则其中结论正确的是（）A．①③B．③④C．②③D．①④10．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，它与x轴的两个交点分别为（﹣1，0），（3，0）．对于下列命题：①b﹣2a＝0；②abc＜0；③a﹣2b+4c＜0；④8a+c＞0．其中正确的有（）A．3个B．2个C．1个D．0个11．如图是二次函数y＝ax2+bx+c的图象，对于下列说法：①ac＞0，②2a+b＞0，③4ac≤b2，④a+b+c＜0，⑤当x＞0时，y随x的增大而减小，其中正确的是（）A．①②③B．②④C．②③④D．③④⑤12．如图所示是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，图象过A点（3，0），二次函数图象对称轴为x＝1，给出四个结论：①b2＞4ac；②bc＜0；③2a+b＝0；④a+b+c＝0，其中正确结论是（）A．②④B．①③C．②③D．①④13．小强从如图所示的二次函数y＝ax2+bx+c的图象中，观察得出了下面五条信息：（1）a ＜0；（2）c＞1；（3）b＞0；（4）a+b+c＞0；（5）a﹣b+c＞0．你认为其中正确信息的个数有（）A．2个B．3个C．4个D．5个14．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：①abc＞0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④2c＜3b；⑤a+b＞m（am+b）（m≠1的实数）．其中正确的结论有（）A．2个B．3个C．4个D．5个15．小明从图所示的二次函数y＝ax2+bx+c的图象中，观察得出了下面五条信息：①c＜0；②abc＞0；③a﹣b+c＞0；④2a﹣3b＝0；⑤c﹣4b＞0，你认为其中正确信息的个数有（）A．2个B．3个C．4个D．5个16．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，给出下列四个结论：①4ac﹣b2＜0；②3b+2c ＜0；③4a+c＜2b；④m（am+b）+b＜a（m≠﹣1），其中结论正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．417．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴是直线x＝1，下列结论：①ab＜0；②b2＞4ac；③a+b+2c＜0；④3a+c＜0．其中正确的是（）A．①④B．②④C．①②③D．①②③④18．如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是x＝﹣1．且过点（0.5，0），有下列结论：①abc＞0；②a﹣2b+4c＝0；③25a﹣10b+4c＝0；④3b+2c＞0；⑤a﹣b≥m（am﹣b）．其中所有正确的结论是（）A．①②③B．①③④C．①②③⑤D．①③⑤19．已知抛物线y＝ax2+bx+c的图象如图所示，顶点为（4，6），则下列说法错误的是（）A．b2＞4acB．ax2+bx+c≤6C．若点（2，m）（5，n）在抛物线上，则m＞nD．8a+b＝020．从如图所示的二次函数y＝ax2+bx+c的图象中，观察得出下面五条信息：①c＜0；②abc ＞0；③a+b+c＞0；④2a+3b＝0；⑤c﹣8b＞0．你认为其中正确信息的个数为（）A．2个B．3个C．4个D．5个参考答案1．解：①由图象可知：a＞0，c＜0，∴ac＜0，故①错误；②由于对称轴可知：＜1，∴2a+b＞0，故②正确；③由于抛物线与x轴有两个交点，∴△＝b2﹣4ac＞0，故③正确；④由图象可知：x＝1时，y＝a+b+c＜0，故④正确；⑤当x＞时，y随着x的增大而增大，故⑤错误；故选：C．2．解：①抛物线开口方向向下，则a＜0．抛物线对称轴位于y轴右侧，则a、b异号，即ab＜0．抛物线与y轴交于正半轴，则c＞0所以abc＜0．故①错误．②∵抛物线对称轴为直线x ＝﹣＝1， ∴b ＝﹣2a ，即2a +b ＝0，故②正确；③∵抛物线对称轴为直线x ＝1，∴函数的最大值为：a +b +c ，∴当m ≠1时，a +b +c ＞am 2+bm +c ，即a +b ＞am 2+bm ，故③错误；④∵抛物线与x 轴的一个交点在（3，0）的左侧，而对称轴为直线x ＝1， ∴抛物线与x 轴的另一个交点在（﹣1，0）的右侧∴当x ＝﹣1时，y ＜0，∴a ﹣b +c ＜0，故④错误；⑤∵ax 12+bx 1＝ax 22+bx 2，∴ax 12+bx 1﹣ax 22﹣bx 2＝0，∴a （x 1+x 2）（x 1﹣x 2）+b （x 1﹣x 2）＝0，∴（x 1﹣x 2）[a （x 1+x 2）+b ]＝0，12∴a （x 1+x 2）+b ＝0，即x 1+x 2＝﹣，∵b ＝﹣2a ，∴x 1+x 2＝2，故⑤正确．综上所述，正确的有②⑤．故选：B ．3．解：①由图象可知：a ＞0，c ＜0，由对称轴可知：＜0，∴b ＞0， ∴abc ＜0，故①正确；②由对称轴可知：＝﹣1，∴b ﹣2a ＝0，故②错误；③由图象可知：抛物线与x 轴有两个交点，∴△＝b 2﹣4ac ＞0，故③正确；④∵（﹣0.5，y 1）关于直线x ＝﹣1的对称点为（，y 1），∵x ＜﹣1时，y 随着x 的增大而减少，∴y 1＜y 2，故④正确；⑤∵抛物线经过（1，0），∴c＝﹣3a，由于b＝2a，∴13a﹣4b+c＝13a﹣8a﹣3a＝2a＞0，故⑤正确；⑥3a+2c＝3a﹣6a＝﹣3a＜0，故⑥正确；故选：D．4．解：①根据图象可知：△＞0，∴b2﹣4ac＞0，故①正确；②由图象可知：a＜0，c＞0，由对称轴可知：＜0，∴b＜0，∴abc＞0，故②错误；③由图象可知：﹣1＜＜0，∴2a﹣b＜0，当x＝1时，y＜0，∴a+b+c＜0，∴＞0，故③错误；④由图象可知：当x＝时，y＝1，∴＝1，∴4ac﹣b2＝4a，∴b2＝4a（c﹣1），故④正确；⑤由于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的最大值为1，∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝3无实数根，故⑤正确；故选：C．5．解：∵抛物线的开口向上，则a＞0，对称轴在y轴的左侧，则b＞0，交y轴的负半轴，则c＜0，∴abc＜0，所以①结论错误；∵抛物线的顶点坐标（﹣2，﹣9a），∴﹣＝﹣2，＝﹣9a，∴b＝4a，c＝﹣5a，∴抛物线的解析式为y＝ax2+4ax﹣5a，∴4a+2b+c＝4a+8a﹣5a＝7a＞0，所以②结论正确，5a﹣b+c＝5a﹣4a﹣5a＝﹣4a＜0，故③结论错误，∵抛物线y＝ax2+4ax﹣5a交x轴于（﹣5，0），（1，0），∴若方程a（x+5）（x﹣1）＝﹣1有两个根x1和x2，且x1＜x2，则﹣5＜x1＜x2＜1，正确，故结论④正确，若方程|ax 2+bx +c |＝1有四个根，设方程ax 2+bx +c ＝1的两根分别为x 1，x 2，则＝﹣2，可得x 1+x 2＝﹣4，设方程ax 2+bx +c ＝﹣1的两根分别为x 3，x 4，则＝﹣2，可得x 3+x 4＝﹣4， 所以这四个根的和为﹣8，故结论⑤错误，故选：A ． 6．解：①由抛物线的对称轴可知：﹣＞0，∴ab ＜0，∵抛物线与y 轴的交点在正半轴上，∴c ＞0，∴abc ＜0，故①正确；②∵﹣＝1，∴b ＝﹣2a ，∴2a +b ＝0，故②正确．③∵（0，c ）关于直线x ＝1的对称点为（2，c ），而x ＝0时，y ＝c ＞0，∴x ＝2时，y ＝c ＞0，∴y ＝4a +2b +c ＞0，故③正确；④由图象可知：△＞0，∴b 2﹣4ac ＞0，故②正确；故选：D ．7．解：（A）由图象可知：a＜0，故A错误；（B）∵抛物线与x轴的一个交点为（﹣1，0），对称轴x＝1，∴抛物线与x轴的另一个交点为（3，0），∴由图象知当﹣1＜x＜3时，y＞0，故B错误；（C）由对称轴可知，可得2a+b＝0，故C正确；（D）由图象可知当x≥1时，y随x的增大而减小，故D错误．故选：C．8．解：∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x＝1，∴﹣＝1，得2a+b＝0，故①正确；当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＜0，故②正确；该函数图象与x轴有两个交点，则b2﹣4ac＞0，故③正确；∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x＝1，点B坐标为（﹣1，0），∴点A（3，0），∴当y＜0时，x＜﹣1或x＞3，故④错误；故选：B．9．解：由抛物线的开口向下，得到a＜0，∵﹣＞0，∴b＞0，由抛物线与y轴交于正半轴，得到c＞0，∴abc＜0，选项①错误；又抛物线与x轴有2个交点，∴b2﹣4ac＞0，选项②错误；∵x＝﹣2时对应的函数值为负数，∴4a﹣2b+c＜0，选项③正确；∵对称轴为直线x＝1，∴﹣＝1，即b＝﹣2a，选项④正确，则其中正确的选项有③④．故选：B．10．解：根据图象可得：a＞0，c＜0，对称轴：x＝﹣＞0，①∵它与x轴的两个交点分别为（﹣1，0），（3，0），∴对称轴是x＝1，∴﹣＝1，∴b+2a＝0，故①错误；②∵a＞0，∴b＜0，∵c＜0，∴abc＞0，故②错误；③∵a﹣b+c＝0，∴c＝b﹣a，∴a﹣2b+4c＝a﹣2b+4（b﹣a）＝2b﹣3a，又由①得b＝﹣2a，∴a﹣2b+4c＝﹣7a＜0，故此选项正确；④根据图示知，当x＝4时，y＞0，∴16a+4b+c＞0，由①知，b＝﹣2a，∴8a+c＞0；故④正确；故正确为：③④两个．故选：B．11．解：∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，∴c＜0，∴ac＜0，所以①错误；∵0＜﹣＜1，∴﹣b＜2a，∴2a+b＞0，所以②正确；∵抛物线与x轴有2个交点，∴△＝b2﹣4ac＞0，所以③错误；∵x＝1时，y＜0，∴a+b+c＜0，所以④正确；在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，所以⑤错误．故选：B．12．解：①图象与x轴有两个交点，则方程有两个不相等的实数根，b2﹣4ac＞0，b2＞4ac，正确；②因为开口向下，故a＜0，有﹣＞0，则b＞0，又c＞0，故bc＞0，错误；③由对称轴x＝﹣＝1，得2a+b＝0，正确；④当x＝1时，a+b+c＞0，错误；故①③正确．故选：B．13．解：（1）由抛物线的开口向下知a＜0，故正确；（2）由抛物线与y轴的交点为在y轴的正半轴上且大于1，可推出c＞1，故正确；（3）由图可知对称轴为x＝＞0，可推出a、b异号，又∵a＜0，∴b＞0，故正确；（4）因为抛物线与x轴的交点可以看出，当x＝1时，y＞0，所以a+b+c＞0，故正确，（5）因为抛物线与x轴的交点可以看出，当x＝﹣1时，y＜0，所以a﹣b+c＜0，错误．∴正确答案为4个．故选：C．14．解：开口向下，a＜0；对称轴在y轴的右侧，a、b异号，则b＞0；抛物线与y轴的交点在x轴的上方，c＞0，则abc＜0，所以①不正确；当x＝﹣1时图象在x轴上，则y＝a﹣b+c＝0，即a+c＝b，所以②不正确；对称轴为直线x＝1，则x＝2时图象在x轴上方，则y＝4a+2b+c＞0，所以③正确；x＝﹣＝1，则a＝﹣b，而a﹣b+c＝0，则﹣b﹣b+c＝0，2c＝3b，所以④不正确；开口向下，当x＝1，y有最大值a+b+c；当x＝m（m≠1）时，y＝am2+bm+c，则a+b+c＞am2+bm+c，即a+b＞m（am+b）（m≠1），所以⑤正确．故选：A．15．解：∵抛物线开口方向向上，∴a＞0，∵与y轴交点在x轴的下方，∴c＜0，∵﹣，∵a＞0，∴b＜0，2a﹣3b＞0，∴abc＞0，∴①②是正确的，④对称轴x＝﹣＝，∴3b＝﹣2a，∴2a+3b＝0，∴④是错误的；当x＝﹣1，y＝a﹣b+c，而点（﹣1，a﹣b+c）在第二象限，∴a﹣b+c＞0是正确的；当x＝2时，y＝4a+2b+c＝2×（﹣3b）+2b+c＝c﹣4b，而点（2，c﹣4b）在第一象限，∴c﹣4b＞0．故选：C．16．解：∵图象与x轴有两个交点，∴方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根，∴b2﹣4ac＞0，∴4ac﹣b2＜0，①正确；∵﹣＝﹣1，∴b＝2a，∵a+b+c＜0，∴b+b+c＜0，3b+2c＜0，∴②是正确；∵当x＝﹣2时，y＞0，∴4a﹣2b+c＞0，∴4a+c＞2b，③错误；∵由图象可知x＝﹣1时该二次函数取得最大值，∴a﹣b+c＞am2+bm+c（m≠﹣1）．∴m（am+b）＜a﹣b．故④正确∴正确的有①②④三个，故选：C．17．解：∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，∴b＝﹣2a＜0，∴ab＜0，所以①正确；∵抛物线与x轴有2个交点，∴△＝b2﹣4ac＞0，所以②正确；∵x＝1时，y＜0，∴a+b+c＜0，而c＜0，∴a+b+2c＜0，所以③正确；∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，∴b＝﹣2a，∴a+2a+c＞0，所以④错误．故选：C．18．解：由抛物线的开口向下可得：a＜0，根据抛物线的对称轴在y轴左边可得：a，b同号，所以b＜0，根据抛物线与y轴的交点在正半轴可得：c＞0，∴abc＞0，故①正确；直线x＝﹣1是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴，所以﹣＝﹣1，可得b＝2a，a﹣2b+4c＝a﹣4a+4c＝﹣3a+4c，∵a＜0，∴﹣3a＞0，∴﹣3a+4c＞0，即a﹣2b+4c＞0，故②错误；∵抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是x＝﹣1．且过点（，0），∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣，0），当x＝﹣时，y＝0，即a（﹣）2﹣b+c＝0，整理得：25a﹣10b+4c＝0，故③正确；∵b＝2a，a+b+c＜0，∴b+b+c＜0，即3b+2c＜0，故④错误；∴a﹣b≥m（am﹣b），故⑤正确；故选：D．19．解：A、由抛物线与x轴有2个交点可知b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac，故此选项正确；B、由抛物线的顶点坐标为（4，6）知函数的最大值为6，则ax2+bx+c≤6，故此选项正确；C、由抛物线对称轴为x＝4且开口向下知离对称轴水平距离越大函数值越小，则m＜n，故此选项错误；D、由对称轴x＝﹣＝4知，b＝﹣8a，即8a+b＝0，故此选项正确；故选：C．20．解：①由抛物线与y轴的交点可知：c＜0，故①正确；②由抛物线的开口方向可知：a＞0，﹣＞0，∴b＜0，∴abc＞0，故②正确；③令x＝1代入y＝ax2+bx+c，∴y＝a+b+c＜0，故③错误；④由对称轴可知：﹣＝，则2a+3b＝0，故④正确⑤如图所示，当x＝﹣2时，y＞0．所以4a﹣2b+c＞0，所以﹣8b+c＞0．所以c﹣8b＞0．故⑤正确；综上所述，正确的结论有4个．故选：C．。
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二次函数双图像问题 猿题库
单选题
1. 已知抛物线（
）的顶点为，点
，
，
在该抛
物线上，当
恒成立时，
的最小值为（）。
A. B. C. D.
2. 如图，抛物线与轴交于点，，把抛物线在轴及其上方的部分记作
，将
向右平移
得
，
与轴交于点，，若与
共有个不同的交点，则的取值范围是（）。
A. B. C.
D.
3. 二次函数，当
且
时，的最小值为
，最大值为
，则
的值为
（）。
A.
B.
D.
C.
4.
5. 如图，垂直于轴的直线分别与抛物线
和抛物线
交于，两点，
过点作轴分别于轴和抛物线交于点，，过点作
轴分别与轴和抛物线
交于点
， ，则的值为（）。
A. B.
C.
D.
6. 已知抛物线与轴交于、两点，将这条抛物线的顶点记为，连接、，则
的值为（）。
A. B.
D.
C.
6. 如图，反比例函数
的图象经过二次函数
图象的顶点
（
），则有（）。
1
A.
B.
C.
D.
7. 一次函数（）、二次函数和反比例函数（）在同一直角坐标系中
的图象如图所示，点的坐标为，则下列结论中，正确的是（）。
A.
B.
C.
D.
8. 抛物线的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同
一坐标系内的图象大致是（）。
9. 已知直线与坐标轴分别交于点，，点在抛物线上，能使
为等腰三角形的点的个数有（）。
A. 个
B. 个
C. 个
D. 个
10. 如图，抛物线与交于点，过点作轴的平行线，分别交两条
抛物线于点，。
则以下结论：①无论取何值，的值总是正数；②；③当时，
；④；其中正确结论是（）。
2
A. ①②
B. ②③
C. ③④
D. ①④
11. 已知二次函数与轴只有一个交点，且图象过，两点，则、的关
系为（）。
A. B. C. D.
12. 给出下列命题及函数，和的图象：①如果，那么；②如果，
那么；③如果，那么；④如果时，那么。
则（）。
A. 正确的命题是①④
B. 错误的命题是②③④
C. 正确的命题是①②
D. 错误的命题只有③
13. 如图，已知点，为坐标原点，是线段上任意一点（不含端点，），过、两点的二次
函数和过、两点的二次函数的图象开口均向下，它们的顶点分别为、，射线与相交于点。
当时，这两个二次函数的最大值之和等于（）。
A.
B.
C.
D.
14. 如图，直线与轴交于点，与直线交于点，以为边向右作菱形，点恰
与原点重合，抛物线的顶点在直线上移动。
若抛物线与菱形的边、都
有公共点，则的取值范围是（）。
3
A.
B.
C.
D.
15. 如图，抛物线与双曲线的交点的横坐标是，则关于的不等式的解集是
（）。
A.
B.
C.
D.
16. 如图所示，抛物线（）与轴交于点、。
直线与此抛物线
交于点，与轴交于点，在直线上取点，使。
连接、、、。
某同学根据
图象写出下列结论：①；②当时，；③四边形是菱形；
④。
你认为其中正确的是（）。
A. ②③④
B. ①②④
C. ①③④
D. ①②③
17. 如图，在平面直角坐标系中，有两条位置确定的抛物线，它们的对称轴相同，则下列关系不正确的是
（）。
A.
B.
C.
D. ，
4
二次函数双图像问题猿题库
18. 如图，抛物线与交于点，过点作轴的平行线，分别交两条
抛物线于两点，且分别为顶点．则下列结论：
①；②；③是等腰直角三角形；④当时，。
其中正确结论的个数是（）。
A. 个
B. 个
C. 个
D. 个
19. 如图，把抛物线沿直线平移个单位后，其顶点在直线上的处，则平移后的抛物线解析
式是（）。
A.
B.
C.
D.
20. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过平移得到抛物线，其对称轴与两段抛物线
所围成的阴影部分的面积为（）。
A.
B.
C.
D.
21. 如图，二次函数的图象过点。
它与反比例函数的图象交于点则这
个二次函数的解析式为（）。
5。