最新人教版八年级上学期期末考试数学压轴题汇总(武汉市)(含答案)
八年级数学人教版上期末试卷期末测试压轴题模拟训练(五)(解析版)(人教版)
期末测试压轴题模拟训练（五）1．某服装加工厂计划加工400套运动服，在加工完160套后，采用了新技术，工作效率比原计划提高了20%，结果共有了18天完成全部任务．设原计划每天加工x 套运动服，根据题意可列方程为A ．()16040018x 120%x ++＝ B ．()16040016018x 120%x -++＝ C ．16040016018x 20%x-+＝ D ．()40040016018x 120%x -++＝ 【答案】B【详解】试题分析：由设原计划每天加工x 套运动服，得采用新技术前用的时间可表示为：160x天，采用新技术后所用的时间可表示为：()400160120%x -+天．根据关键描述语：“共用了18天完成任务”得等量关系为：采用新技术前用的时间+采用新技术后所用的时间=18．从而，列方程()16040016018x 120%x-++＝．故选B ． 2．如图，已知等腰直角三角形ABC 中，90A ∠=︒，AB AC =，BD 平分ABC ∠，CE BD ⊥于点E ，若BCD △的面积为16，则BD 的长为（ ）A ．16B ．8C ．6D ．C【答案】B 【详解】解：延长BA ，CE 交于点F ，∵90BAC ︒∠=，90BEC ︒∠=又∵ADB CDE =∠，∵∵ABD ACF =∠在Rt ABD ∆和Rt ACF ∆中，DBA ACF ∠=∠，AB AC =，∵BAD CAF =∠∵Rt ABD Rt ACF ∆≅∆，∵BD CF =∵BD 平分ABC ∠，∵∵FBE CBE =∠∵CE BD ⊥，∵∵90BEF BEC ︒=∠=在Rt FBE ∆和Rt CBE ∆中，FBE CBEBE BE BEF BEC∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∵()Rt FBE Rt CBE ASA ∆≅∆，∵EF EC =，∵2CF CE= ∵2BD CE = ∵1162BD CE ⨯= ，∵4CE = ，∵BD =8故选B3．如图，已知ABC ∵DEF ，CD 是ACB ∠的平分线，已知22D ∠=︒，92CGD ∠=︒，则E ∠的度数是（）．A ．26︒B ．22︒C ．34︒D ．30【答案】A【详解】解：∵CD 平分∵BCA ，∵∵ACD ＝∵BCD ＝12∵BCA ，∵∵ABC ∵∵DEF ，∵∵D ＝∵A ＝22°，∵∵CGD =92°，∵∵CGF ＝180°－92°=88°，∵∵CGF ＝∵D +∵BCD ，∵∵BCD ＝∵CGF ﹣∵D ＝88°－22°=66°，∵∵BCA ＝66°×2=132°，∵∵B ＝180°﹣22°﹣132°＝26°，∵∵ABC ∵∵DEF ，∵∵E ＝∵B ＝26°，故选：A ．4．若a ＋b ＝3，ab ＝－7，则a b b a +的值为（ ）A ．－145B ．－25C ．－237D ．－257【答案】C【详解】试题解析：原式=()2222a b ab a b ab ab +-+=， ∵a+b=3，ab=-7，∵原式=()232791423777-⨯-+==---． 故选C ．5．若关于x 的不等式组2313664x x x a +⎧≥-⎪⎨⎪->-⎩有且只有五个整数解，且关于y 的分式方程310122y a y y --=--的解为非负整数，则符合条件的所有整数a 的和为（ ）A ．10B ．12C ．14D ．18【答案】C 【详解】解：2313664x x x a +⎧≥-⎪⎨⎪->-⎩①②，由①得x ≤6，由②得x ＞26a +． ∵方程组有且只有五个整数解，∵26a +＜x ≤6， 即x 可取6、5、4、3、2．∵x 要取到2，且取不到26a +，∵1≤26a +＜2，∵4≤a ＜10． 解关于y 的分式方程310122y a y y --=--，得y =42a -， ∵分式方程的解为非负整数， ∵42a -≥0， ∵a ≤8，且a 是2的整数倍．又∵y ≠2，∵a ≠4．∵a 的取值为6、8．故选：C ．6．如图，在∵ABC中，CD是边AB上的高，BE平分∵ABC，交CD于点E，BC＝10，DE＝3，则∵BCE的面积为（）A．16B．15C．14D．13【答案】B【详解】解：如图，作EH∵BC于点H，∵BE平分∵ABC，CD是AB边上的高，EH∵BC，∵EH=DE=3，∵111031522BCES BC EH=⋅=⨯⨯=△．故选B．7．如图，在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（1，4）和（3，0），点C是y轴上的一个动点，且A、B、C三点不在同一条直线上，当∵ABC的周长最小时，点C的坐标是A．（0，0）B．（0，1）C．（0，2）D．（0，3）【答案】D【详解】解：作B点关于y轴对称点B′点，连接AB′，交y轴于点C′，此时∵ABC的周长最小，∵点A 、B 的坐标分别为（1，4）和（3，0），∵B′点坐标为：（-3，0），则OB′=3过点A 作AE 垂直x 轴，则AE=4，OE=1，则B′E=4，即B′E=AE ，∵∵EB′A=∵B′AE ，∵C′O∵AE ，∵∵B′C′O=∵B′AE ，∵∵B′C′O=∵EB′A∵B′O=C′O=3，∵点C′的坐标是（0，3），此时∵ABC 的周长最小．故选D ．8．已知关于x 的分式方程122x a x -=-的解是非负数，那么a 的取值范围是（ ） A ．1a ≥B ．1a ≤C ．1a ≥且2a ≠D ．1a ≥且1a ≠【答案】C 【详解】解：122x a x -=-，方程两边同乘2（x ﹣2），得2（x ﹣a ）＝x ﹣2， 去括号，得2x ﹣2a ＝x ﹣2，移项、合并同类项，得x ＝2a ﹣2，∵关于x 的分式方程122x a x -=-的解为非负数，x ﹣2≠0，∵2202220a a -⎧⎨--≠⎩，解得a ≥1且a ≠2． 故选：C ．9．如图（1）所示为长方形纸带，将纸带沿EF 折叠成图（2）；再沿BF 折叠成图（3）；继续沿EF 折叠成图（4）按此操作，最后一次折叠后恰好完全盖住∵EFG ，整个过程共折叠了9次，问图（1）中∵DEF 的度数是（ ）A ．20°B ．19°C ．18°D ．15°【答案】C 【详解】解：设∵DEF ＝α，则∵EFG ＝α，∵折叠9次后CF 与GF 重合，∵∵CFE ＝9∵EFG ＝9α，如图（2），∵CF //DE ，∵∵DEF +∵CFE ＝180°，∵α+9α＝180°，∵α＝18°，即∵DEF ＝18°．故选：C ．10．如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，4AC BC ==，点D 是BC 边的中点，点P 是AC 边上一个动点，连接PD ，以PD 为边在PD 的下方作等边三角形PDQ ，连接CQ ．则CQ 的最小值是（ ）A B ．1 C D ．32 【答案】B【详解】解：以CD 为边作等边三角形CDE ，连接EQ ，如图所示：∵PDQ 是等边三角形，∵60,,CED PDQ CDE PD QD CD ED ∠=∠=∠=︒==，∵∵CDQ 是公共角，∵∵PDC =∵QDE ，∵∵PCD ∵∵QED （SAS ），∵90ACB ∠=︒，4AC BC ==，点D 是BC 边的中点，∵∵PCD =∵QED =90°，122CD DE CE BC ====，∵点Q 是在QE 所在直线上运动，∵当CQ ∵QE 时，CQ 取的最小值，∵9030QEC CED ∠=︒-∠=︒， ∵112CQ CE ==；故选B ．11．如图，30AOB ∠=，点P 为AOB ∠内一点，8OP =，点,M N 分别在射线,OA OB 上，当PMN ∆的周长最小时，下列结论：①120MPN ∠=；②100MPN ∠=；③PMN ∆的周长最小值为24；④PMN ∆的周长最小值为8；其中正确的序号为__________．【答案】①④【详解】解：分别作点P 关于OA 、OB 的对称点P 1、P 2，连P 1、P 2，交OA 于M ，交OB 于N ， 则OP 1=OP=OP 2，∵P 1OA=∵POA ，∵POB=∵P 2OB ，MP=P 1M ，PN=P 2N ，则∵PMN 的周长的最小值=P 1P 2 ∵∵P 1OP 2=2∵AOB=60°，∵∵OP 1P 2是等边三角形，∵∵MPN=∵OPM+∵OPN=∵OP 1M+∵OP 2N=120°∵PMN 的周长=P 1P 2，∵P 1P 2=OP 1=OP 2=OP=8，∵①④正确，故答案为①④12．如图，在ABC 中，点D ，点E 分别是AC 和AB 上的点，且满足2AE BE =，3CD AD =，过点A 的直线l 平行BC ，射线BD 交CE 于点O ，交直线l 于点F ．若CDF 的面积为12，则四边形AEOD 的面积为____________．【答案】525【详解】如图，连接AO ，∵CD =3AD ，∵AD ：CD =1：3，∵13ADF CDF S S =△△，13ADO CDO S S =△△，3ABD CBD S S =△△， ∵12CDF S =△，∵4ADF S =△，16ACF S =△，∵AF ∵BC ，∵16ABF ACF S S ==△△，∵12ABD S =，∵36CBD S =△，48ABC S =△，∵AE =2BE ，∵BE ：AE =1：2，∵2AEC BEC S S =△△，2AEO BEO S S =△△，∵32AEC S =△，16BEC S =△，∵()2AOE AOD COD BOE BOC S S S S S ++=+△△△△△，即22AOE AOD COD BOE BOC S S S S S ++=+△△△△△， ∵123COD COD BOC S S S +=△△△，即423COD BOC S S =△△，∵:3:2COD BOC S S =△△， ∵36BCD BOC COD S S S =+=△△△，∵1085COD S =△， ∵S 四边形AEOD 108523255AEC COD S S =-=-=△△． 故答案为：525． 13．在“妙折生平——折纸与平行”的拓展课上，小潘老师布置了一个任务：如图，有一张三角形纸片ABC ，30B ∠=︒，50C ∠=︒，点D 是AB 边上的固定点（12BD AB <），请在BC 上找一点E ，将纸片沿DE 折叠（DE 为折痕），点B 落在点F 处，使EF 与三角形ABC 的一边平行，则BDE ∠为________度．【答案】35°或75°或125°【详解】解：当EF ∵AB 时，∵BDE =∵DEF ，由折叠可知：∵DEF =∵DEB ，∵∵BDE =∵DEB ，又∵B =30°，∵∵BDE =12（180°-30°）=75°；当EF ∵AC 时，如图，∵C =∵BEF =50°，由折叠可知：∵BED =∵FED =25°，∵∵BDE =180°-∵B =∵BED =125°；如图，EF ∵AC ，则∵C =∵CEF =50°，由折叠可知：∵BED =∵FED ，又∵BED +∵CED =180°，则∵CED +50°=180°-∵CED ，解得：∵CED =65°，∵∵BDE =∵CED -∵B =65°-30°=35°；综上：∵BDE 的度数为35°或75°或125°．14．如图，在ABC 中，AH 是高，AE //BC ，AB ＝AE ，在AB 边上取点D ，连接DE ，DE ＝AC ，若5ABC ADE S S △△，BH ＝1，则BC ＝___．【答案】2.5【详解】解：如图，过点E 作EF ∵AB ，交BA 的延长线于点F ，∵EF ∵AB ，AH ∵BC ，∵∵EFA ＝∵AHB ＝∵AHC ＝90°，∵AE //BC ，∵∵EAF ＝∵B ，在ABH 与EAF △中，AHB EFA B EAF AB EA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∵()ABH EAF AAS △≌△，∵AH EF =，ABH EAF S S =△△，在Rt ACH 与Rt EDF 中，AH EF AC DE=⎧⎨=⎩，∵()Rt ACH Rt EDF HL △≌△，∵ACH EDF EAF ADE S S S S ==+△△△△， ∵5ABC ABH ACH ADE S S S S =+=△△△△，∵5ABH EAF ADE ADE S S S S ++=△△△△，∵25ABH ADE ADE S S S +=△△△，解得：2ABH ADE S S =△△，∵53ACH ADE ABH ADE S S S S =-=△△△△，∵3322ACH ADE ABH ADE S S S S ==△△△△，∵132122CH AH BH AH ⋅=⋅，即32CH BH =， 又∵BH ＝1，∵CH ＝1.5，∵BC ＝BH ＋CH ＝2.5，故答案为：2.5．15．如图，已知B （﹣1，0），C （1，0），A 为y 轴正半轴上一点，点D 为第二象限一动点，E 在BD 的延长线上，CD 交AB 于F ，且∵BDC ＝∵BAC ．（1）求证：∵ABD ＝∵ACD ．（2）如图2，过点A作AM∵BE于点M，AN∵CD于点N，求证：AM＝AN．（3）若在D点运动过程中，始终有DC＝DA+DB，在此过程中，∵BAC的度数是否变化，如果变化，请说明理由，如果不变，请求出∵BAC的度数．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）∵BAC的度数不变化，∵BAC＝60°．【详解】（1）证明：如图1中，∵∵ABD+∵BDC+∵DFB＝∵BAC+∵ACD+∵AFC＝180°，∵∵ABD＝180°﹣∵BDC﹣∵DFB，∵ACD＝180°﹣∵BAC﹣∵AFC，∵∵BDC＝∵BAC，∵DFB＝∵AFC，∵∵ABD＝∵ACD；（2）证明：如图2中，∵AM∵BE，AN∵CD，则∵AMB＝∵ANC＝90°．∵B（﹣1，0），C（1，0），∵OB=OC，∵OA∵BC，∵AB＝AC，∵∵ABD＝∵ACD，∵∵ABM∵∵ACN（AAS），∵AM＝AN；（3）解：结论：∵BAC的度数不变化，理由：如图，在CD上截取CP＝BD，连接AP．∵CD＝AD+BD，∵AD＝PD．∵AB＝AC，∵ABD＝∵ACD，BD＝CP，∵∵ABD∵∵ACP（SAS）．∵AD＝AP；∵BAD＝∵CAP．∵AD＝AP＝PD，即∵ADP是等边三角形，∵∵DAP＝60°．∵∵BAC＝∵BAP+∵CAP＝∵BAP+∵BAD＝60°，∵∵ABC 的度数不变．16．（1）如图1，等腰直角三角形AOB 的直角顶点O 在坐标原点，点A 的坐标为()3,4，求点B 的坐标. （2）依据（1）的解题经验，请解决下面问题：如图2，点()0,3C ，,Q A 两点均在x 轴上，且18=CQA S ，分别以,AC CQ 为腰在第一、第二象限作等腰Rt ANC ∆，Rt MQC ∆连接MN ，与y 轴交于点,P OP 的长度是否发生改变？若不变，求OP 的值；若变化，求OP 的取值范围.【答案】（1）(4,3)B -；（2）9【详解】（1）如图1，过B 作BE x ⊥轴于E ，过A 作AD x ⊥轴于D ，∵90BED ADO ∠=∠=又∵等腰直角AOB ∆，∵AO BO =，2390∠+∠=又∵1290∠+∠=，∵13∠=∠在Rt BEO ∆与Rt ADO ∆中，13BEO ADO BO AO ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∵Rt BEO ∆∵Rt ODA ∆，∵=EO AD ，BE OD =又∵()3,4A ，∵4==EO AD ，3==BE OD又∵B 在第二象限，∵()4,3B -（2）如图2，过M 作MD y ⊥轴于D ，过N 作NB y ⊥轴于B由（1）知：CD OQ =，CB AO =，MD CO BN ==，∵BNP ∆与DMP ∆中90BPN MPD NBP MDP BN DM ∠=∠⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩，∵BNP ∆∵DMP ∆，∵BP DP =1182CQA S CO AQ ∆=⨯⨯=，∵12AQ =，而CP PD OQ -=①，CP BP AO +=② ∵2CP AQ =，6CP =，∵639OP =+=，即：OP 的值不变总等于9.17．已知，如图，等腰直角△ABC 中，∵ACB =90°，CA=CB ，过点C 的直线CH 和AC 的夹角∵ACH=α，请按要求完成下列各题：（1）请按要求作图：作出点A 关于直线CH 的轴对称点D ，连接AD 、BD 、CD ，其中BD 交直线CH 于点E ，连接AE ；（2）请问∵ADB 的大小是否会随着α的改变而改变？如果改变，请用含α的式子表示∵ADB ；如果不变，请求出∵ADB 的大小．（3）请证明△ACE 的面积和△BCE 的面积满足：212ACE BCE S S CE ∆∆-=． 【答案】（1）见解析；（2）ADB ∠大小不变，为定值45°；（3）见解析．【详解】解：（1）如图所示，（2）ADB ∠大小不变，为定值45°．∵A 关于直线CH 的轴对称点D ，∵CA =CD ，AD ∵CH ，如图所示，AD 与CH 交于点M ，在Rt ACM ∆和Rt DCM ∆中，CA CD CM CM =⎧⎨=⎩，∵()Rt ACM Rt DCM HL ∆∆≌， ∵DCM ACM α∠=∠=，9090ADC ACM α︒︒=-∠=-∠，∵92090ACD ACB DCM ACM α︒︒∠+∠=∠+∠=++，∵360()2270ACD CD C B A B α︒︒∠-∠+=-=∠， ∵180290B CD CBD B CD α︒+∠=-∠=-︒∠，又∵CA CD =，CA CB =，∵CD CB =，∵1(290)452B CBD CD αα=∠=⨯-︒=-︒∠， ∵=904545ADB ADC BDC αα∠∠+∠=︒-+-︒=︒，故ADB ∠大小不变，为定值45°； （3）如图所示，过点B 作BN ∵CH 于点N ，12ACE S CE AM ∆=⨯，12BCE S CE BN ∆=⨯， 由（2）可知，=45ADB ∠︒，又∵9045M B DE AD ︒︒=-∠=∠，∵45D BEN EM ︒=∠=∠， ∵BEN 为等腰直角三角形，∵BN EN CN CE ==-，∵90ACB ︒∠=，∵90N MCA CB ︒+∠=∠，又∵90N NCB BC ︒+∠=∠，∵C MCA NB =∠∠，在AMC 和NBC 中，90AC CB MCA NBC AMC CNB ︒=⎧⎪∠=∠⎨⎪∠=∠=⎩，∵()AMC CNB AAS ≌△△， ∵AM CN CE EN CE BN ==+=+，即AM CE BN =+， ∵1122ACE BCE S S CE AM CE BN ∆∆-=⨯-⨯1()2CE AM BN =⨯-1()2CE CE BN BN =⨯+-212CE =． 故212ACE BCE S S CE ∆∆-=． 18．四边形ABCD 是由等边ABC ∆和顶角为120︒的等腰ABD ∆排成，将一个60︒角顶点放在D 处，将60︒角绕D 点旋转，该60︒交两边分别交直线BC 、AC 于M 、N ，交直线AB 于E 、F 两点． （1）当E 、F 都在线段AB 上时（如图1），请证明：BM AN MN +=；（2）当点E 在边BA 的延长线上时（如图2），请你写出线段MB ，AN 和MN 之间的数量关系，并证明你的结论；（3）在（1）的条件下，若7AC =， 2.1AE =，请直接写出MB 的长为 ．【答案】（1）证明见解析；（2）MB MN AN =+．证明见解析；（3）2.8．【详解】解：（1）证明：把∵DBM 绕点D 逆时针旋转120°得到∵DAQ ，则DM =DQ ，AQ =BM ，∵ADQ =∵BDM ，∵QAD =∵CBD =90°，∵点Q 在直线CA 上，∵∵QDN =∵ADQ +∵ADN =∵BDM +∵ADN =∵ABD -∵MDN =120°-60°=60°，∵∵QDN =∵MDN =60°，∵在∵MND 和∵QND 中，DM DQ QDN MDN DN DN ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∵∵MND ∵∵QND （SAS ），∵MN =QN ，∵QN =AQ +AN =BM +AN ，∵BM +AN =MN ；（2）：MB MN AN =+.理由如下：如图，把∵DAN 绕点D 顺时针旋转120°得到∵DBP ， 则DN =DP ，AN =BP ，∵∵DAN =∵DBP =90°，∵点P 在BM 上，∵∵MDP =∵ADB -∵ADM -∵BDP =120°-∵ADM -∵ADN =120°-∵MDN =120°-60°=60°，∵∵MDP =∵MDN =60°，∵在∵MND和∵MPD中，DN DPMDP MDNDM DM⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∵∵MND∵∵MPD（SAS），∵MN=MP，∵BM=MP+BP，∵MN+AN=BM；（3）如图，过点M作MH∵AC交AB于G，交DN于H，∵∵ABC是等边三角形，∵∵BMG是等边三角形，∵BM=MG=BG，根据（1）∵MND∵∵QND可得∵QND=∵MND，根据MH∵AC可得∵QND=∵MHN，∵∵MND=∵MHN，∵MN=MH，∵GH=MH-MG=MN-BM=AN，即AN=GH，∵在∵ANE和∵GHE中，QND MHNAEN GEHAN GH∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∵∵ANE∵∵GHE（AAS），∵AE=EG=2.1，∵AC=7，∵AB=AC=7，∵BG=AB-AE-EG=7-2.1-2.1=2.8，∵BM=BG=2.8．故答案为：2.8祝福语祝你考试成功!。
武汉市八年级数学压轴题分析与解答
武汉市八年级数学压轴题分析与解答1.在等边△ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，D为△ABC外一点，且∠MDN=60°，∠BDC=120°，BD=DC．探究：当M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系及△AMN的周长Q与等边△ABC的周长L的关系．（1）如图1，当点M、N边AB、AC上，且DM=DN时，BM、NC、MN之间的数量关系是_________；此时=_________；（2）如图2，点M、N边AB、AC上，且当DM≠DN时，猜想（1）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明；（3）如图3，当M、N分别在边AB、CA的延长线上时，若AN=x，则Q=_________（用x、L表示）．2.以△ABC的两边AB、AC为腰分别向外作等腰Rt△ABD和等腰Rt△ACE，∠BAD=∠CAE=90°，连接DE，M、N分别是BC、DE的中点．探究：AM与DE的位置关系及数量关系．（1）如图①当△ABC为直角三角形时，AM与DE的位置关系是_________，线段AM 与DE的数量关系是_________；（2）将图①中的等腰Rt△ABD绕点A沿逆时针方向旋转θ°（0＜θ＜90）后，如图②所示，（1）问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由．探究型．（1）如果DM=DN，∠DMN=∠DNM，因为BD=DC，那么∠DBC=∠DCB=30°，也就有∠MBD=∠NCD=60+30=90°，直角三角形MBD、NCD中，因为BD=CD，DM=DN，根据HL定理，两三角形全等．那么BM=NC，∠BMD=∠DNC=60°，三角形NCD 中，∠NDC=30°，DN=2NC，在三角形DNM中，DM=DN，∠MDN=60°，因此三角形DMN是个等边三角形，因此MN=DN=2NC=NC+BM，三角形AMN的周长Q=AM+AN+MN=AM+AN+MB+NC=AB+AC=2AB，三角形ABC的周长L=3AB，因此Q：L=2：3．（2）如果DM≠DN，我们可通过构建全等三角形来实现线段的转换．延长AC至E，使CE=BM，连接DE．（1）中我们已经得出，∠MBD=∠NCD=90°，那么三角形MBD 和ECD中，有了一组直角，MB=CE，BD=DC，因此两三角形全等，那么DM=DE，∠BDM=∠CDE，∠EDN=∠BDC﹣∠MDN=60°．三角形MDN和EDN中，有DM=DE，∠EDN=∠MDN=60°，有一条公共边，因此两三角形全等，MN=NE，至此我们把BM 转换成了CE，把MN转换成了NE，因为NE=CN+CE，因此NM=BM+CN．Q与L 的关系的求法同（1），得出的结果是一样的．（3）我们可通过构建全等三角形来实现线段的转换，思路同（2）过D作∠CDH=∠MDB，三角形BDM和CDH中，由（1）中已经得出的∠DCH=∠MBD=90°，我们做的角∠BDM=∠CDH，BD=CD因此两三角形全等（ASA）．那么BM=CH，DM=DH，三角形MDN和NDH中，已知的条件有MD=DH，一条公共边ND，要想证得两三角形全等就需要知道∠MDN=∠HDN，因为∠CDH=∠MDB，因此∠MDH=∠BDC=120°，因为∠MDN=60°，那么∠NDH=120°﹣60°=60°，因此∠MDN=∠NDH，这样就构成了两三角形全等的条件．三角形MDN和DNH就全等了．那么NM=NH=AN+AC﹣BM，三角形AMN的周长Q=AN+AM+MN=AN+AB+BM+AN+AC﹣BM=2AN+2AB．因为AN=x，AB=L，因此三角形AMN的周长Q=2x+L．解：（1）如图，BM、NC、MN之间的数量关系BM+NC=MN．此时．（2）猜想：结论仍然成立．证明：如图，延长AC至E，使CE=BM，连接DE．∵BD=CD，且∠BDC=120°，∴∠DBC=∠DCB=30°．又△ABC是等边三角形，∴∠MBD=∠NCD=90°．在△MBD与△ECD中：∴△MBD≌△ECD（SAS）．∴DM=DE，∠BDM=∠CDE．∴∠EDN=∠BDC﹣∠MDN=60°．在△MDN与△EDN中：，∴△MDN≌△EDN（SAS）．∴MN=NE=NC+BM．△AMN的周长Q=AM+AN+MN=AM+AN+（NC+BM）=（AM+BM）+（AN+NC）=AB+AC=2AB．而等边△ABC的周长L=3AB．∴．（3）如图，当M、N分别在AB、CA的延长线上时，若AN=x，则Q=2x+（用x、L表示）．本题考查了三角形全等的判定及性质；题目中线段的转换都是根据全等三角形来实分析（1）ED=2AM，AM⊥ED．延长AM到G，使MG=AM，连BG，则ABGC是平行四边形，再结合已知条件可以证明△DAE≌△ABG，根据全等三角形的性质可以得到DE=2AM，∠BAG=∠EDA，再延长MG交DE于H，因为∠BAG+∠DAH=90°，所以∠HDA+∠DAH=90°这样就证明了AM⊥ED；（2）延长CA至F，使FA=AC，FA交DE于点P，并连接BF，证出△FAB≌△EAD，利用相似三角形的性质得到BF=DE，∠F=∠AEN，从而证出∠FPD+∠F=∠APE+∠AEN=90°，得到FB⊥DE，根据AM∥FB，可得到AM=FB．（1）ED=2AM，AM⊥ED；证明：延长AM到G，使MG=AM，连BG，则ABGC是平行四边形，再延长MA交DE于H．∴AC=BG，∠ABG+∠BAC=180°又∵∠DAE+∠BAC=180°，∴∠ABG=∠DAE．再证：△DAE≌△ABG∴DE=2AM，∠BAG=∠EDA．延长MN交DE于H，∵∠BAG+∠DAH=90°，∴∠HDA+∠DAH=90°．∴AM⊥ED．（2）结论仍然成立．证明：如图，延长CA至F，使FA=AC，FA交DE于点P，并连接BF．∵DA⊥BA，EA⊥AF，∴∠BAF=90°+∠DAF=∠EAD．∵在△FAB和△EAD中，∴△FAB≌△EAD（SAS）∴BF=DE，∠F=∠AEN，∴∠FPD+∠F=∠APE+∠AEN=90°．∴FB⊥DE．又∵CA=AF，CM=MB．∴AM∥FB，且AM=FB，∴AM⊥DE，AM=DE．。
人教版八年级数学上册期末专题《压轴题专练》（含答案）
⼈教版⼋年级数学上册期末专题《压轴题专练》（含答案）期末专题《压轴题专练》1.如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB上⼀点，且∠ACD=∠B；（1）求证：CD⊥AB，并指出你在证明过程中应⽤了哪两个互逆的真命题；（2）如图2，若AE平分∠BAC，交CD于点F，交BC于E．求证：∠AEC=∠CFE；（3）如图3，若E为BC上⼀点，AE交CD于点F，BC=3CE，AB=4AD，△ABC、△CEF、△ADF的⾯积分别为S△ABC、S△CEF、S△ADF，且S△ABC=36，则S△CEF﹣S△ADF= ．（仅填结果）2.阅读下列材料：某同学遇到这样⼀个问题：如图1,在△ABC中,AB=AC,BD是△ABC的⾼．P是BC边上⼀点,PM,PN 分别与直线AB，AC垂直,垂⾜分别为点M,N.求证：BD=PM+PN．他发现，连接AP，有S△ABC=S△ABP+S△ACP，即.由AB=AC,可得BD=PM+PN．他⼜画出了当点P在CB的延长线上,且上⾯问题中其他条件不变时的图形,如图2所⽰.他猜想此时BD，PM，PN之间的数量关系是：BD=PN-PM．请回答：（1）请补全以下该同学证明猜想的过程；证明：连接AP．∵，∴．∵AB=AC，∴BD=PN-PM．（2）参考该同学思考问题的⽅法，解决下列问题：在△ABC中，AB=AC=BC，BD是△ABC的⾼．P是△ABC所在平⾯上⼀点，PM，PN，PQ分别与直线AB，AC，BC垂直，垂⾜分别为点M，N，Q．①如图3，若点P在△ABC 的内部，则BD，PM，PN，PQ之间的数量关系是：；②若点P在如图4所⽰位置，利⽤图4探究得出此时BD，PM，PN，PQ之间数量关系是: ．3.已知△ABC的⾯积是60，请完成下列问题：（1）如图1，若AD是△ABC的BC边上的中线，则△ABD的⾯积_______△ACD的⾯积（填“＞”“＜”或“=”）（2）如图2，若CD、BE分别是△ABC的AB、AC边上的中线，求四边形ADOE的⾯积可以⽤如下⽅法：连接AO，由AD=DB 得：S△ADO=S△BDO，同理：S△CEO=S△AEO，设S△ADO=x，S△CEO=y，则S△BDO=x，S=y由题意得：S△ABE=S△ABC=30，S△ADC=S△ABC=30，可列⽅程组为：，解得△AEO_______，通过解这个⽅程组可得四边形ADOE的⾯积为_______．（3）如图3，AD：DB=1：3，CE：AE=1：2，请你计算四边形ADOE的⾯积，并说明理由．4.如图1，在平⾯直⾓坐标系中，已知A(a，0)，B(b，3)，C(4，0)，且满⾜(a+b)2+|a﹣b+6|=0，线段AB交y轴于F点.(1)求点A、B的坐标；(2)点D为y轴正半轴上⼀点，若ED∥AB，且AM，DM分别平分∠CAB，∠ODE，如图 2，求∠AMD的度数；(3)如图 3，(也可以利⽤图 1)①求点F的坐标；②坐标轴上是否存在点P，使得△ABP和△ABC的⾯积相等？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由.5.问题情境：如图1，在直⾓三⾓形ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，可知：∠BAD=∠C（不需要证特例探究：如图2，∠MAN=90°，射线AE在这个⾓的内部，点B、C在∠MAN的边AM、AN上，且AB=AC，CF⊥AE于点F，BD⊥AE于点D.证明：△ABD≌△CAF；归纳证明：如图3，点B，C在∠MAN的边AM、AN上，点E，F在∠MAN内部的射线AD上，∠1、∠2分别是△ABE、△CAF的外⾓.已知AB=AC，∠1=∠2=∠BAC.求证：△ABE≌△CAF；拓展应⽤：如图4，在△ABC中，AB=AC，AB＞BC.点D在边BC上，CD=2BD，点E、F在线段AD上，∠1=∠2=∠BAC.若△ABC的⾯积为15，则△ACF与△BDE的⾯积之和为.6.如图，AD是△ABC的⾓平分线，点F，E分别在边AC，AB上，且FD=BD.(1)求证：∠B+∠AFD=180°；(2)如果∠B+2∠DEA=180°，探究线段AE，AF，FD之间满⾜的等量关系，并证明.7.（1）如图（1）在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂⾜分别为点D、E．求证：DE=BD+CE；（2）如图（2）将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，其中α为任意锐⾓或钝⾓．请问结论DE=BD+CE是否成⽴？如成⽴，请给出证明；若不成⽴，请说明理由．8.如图1，在△ABC中，∠ACB是直⾓，∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F．（1）直接写出∠AFC的度数：60°；（2）请你判断并写出FE与FD之间的数量关系；（3）如图2，在△ABC中，如果∠ACB不是直⾓，⽽（1）中的其它条件不变，试判断线段AE、CD与AC之间的数量关系并说明理由．9.已知点P为∠EAF平分线上⼀点，PB⊥AE于B，PC⊥AF于C，点M，N分别是射线AE，AF上的点，且PM=PN．(1)如图1，当点M在线段AB上，点N在线段AC的延长线上时，求证：BM=CN；(2)在（1）的条件下，直接写出线段AM，AN与AC之间的数量关系________；(3)如图2，当点M在线段AB的延长线上，点N在线段AC上时，若AC：PC=2：1，且PC=4，求四边形ANPM的⾯积．10.观察发现：如图1，OP平分∠MON，在OM，ON上分别取OA，OB，使OA=OB，再在OP上任取⼀点D，连接AD，BD.请你猜想AD与BD 之间的数量关系，并说明理由.拓展应⽤：如图2，在△ABC中，∠ACB是直⾓，∠B=60°，AD，CE分别是∠BAC，∠BCA的平分线，AD，CE相交于点F，请你写出FE 与FD之间的数量关系，并说明理由.11.（1）如图1，△ABC中，作∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC分别交AB、AC于E、F.①求证：OE=BE；②若△ABC 的周长是25，BC=9，试求出△AEF的周长；（2）如图2，若∠ABC的平分线与∠ACB外⾓∠ACD的平分线相交于点P，连接AP，试探求∠BAC 与∠PAC的数量关系式.12.如图，已知△ABC中，AB=AC=10cm，BC=8cm，点D为AB的中点.如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由点B向C点运动，同时，点Q在线段CA上由点C向A点运动.(1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由.(2)若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？参考答案1.（1）证明：∵∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90°，∵∠ACD=∠B，∴∠A+∠ACD=90°，∴∠ADC=90°，即CD⊥AB，证明时应⽤了“直⾓三⾓形两锐⾓互余”和“有两个锐⾓互余的三⾓形是直⾓三⾓形”；（2）证明：∵AE平分∠BAC，∴∠CAE=∠BAE，∵∠CAE+∠AEC=90°，∠BAE+∠AFD=90°，∴∠AEC=∠AFD，∵∠AFD=∠CFE（对顶⾓相等），∴∠AEC=∠CFE；（3）解：∵BC=3CE，AB=4AD，∴S△ACD=S△ABC=×36=9，S△ACE=S△ABC=×36=12，∴S△CEF﹣S△ADF=S△ACE﹣S△ACD=12﹣9=3．故答案为：3．2.解：（1）证明：连接AP．∵，∴．∵AB=AC，∴．（2）①；②．3.解：（1）如图1，过A作AH⊥BC于H，。
人教版八年级上册数学期末动点问题压轴题专题训练(含答案)
人教版八年级上册数学期末动点问题压轴题专题训练1．如图，△ABC是等边三角形，点D是边BC上一个动点（点D不与点B，C重合），连接AD，点E在边AC的延长线上，且DA＝DE．(1)求证：△BAD＝△EDC：(2)用等式表示线段CD，CE，AB之间的数量关系，并证明．2．如图，已知△ ABC是边长为10cm的等边三角形，点F为AC的中点，动点D，E同时从A，B两点出发，分别沿AB，BC匀速运动，其中点D运动的速度是1cm/s，点E运动的速度是2cm/s，设运动时为t 秒．(1)当t为何值时，△ AFD与△ CFE全等；(2)当t为何值时，△ BDE为直角三角形．3．已知△ABC为等边三角形，点D为直线BC上的一动点（点D不与B、C重合），以AD为边作等边△ADE（顶点A、D、E按逆时针方向排列），连接CE．(1)如图1，当点D在边BC上时，求证：△BD＝CE，△AC＝CE＋CD；(2)如图2，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，结论AC＝CE＋CD是否成立？若不成立，请写出AC、CE、CD之间存在的数量关系，并说明理由．4．在等边△ABC中，(1)如图1，P，Q是BC边上两点，AP＝AQ，△BAP＝20°，求△AQB的度数；(2)点P，Q是BC边上的两个动点（不与B，C重合），点P在点Q的左侧，且AP＝AQ，点Q关于直线AC的对称点为M，连接AM，PM．△依题意将图2补全；△求证：P A＝PM．5．如图，在三角形ABC中，D是射线BC上一动点．(1)如图1，点D在BC边上（不与点B，C重合），△ 按要求作图：分别过点D作DE BA∥交边AB于点F；∥交边AC于点E，作DF CA△ 在△的条件下，判断△EDF与△A的数量关系，并说明理由；(2)如图2，若点D在BC的延长线上，DF CA∥，△EDF=△A，试判断DE与BA的位置关系，并说明理由．6．如图1，等腰Rt△ABC中，△BAC＝90°，AB＝AC，D，E分别是AC和BC上的动点，BD△AE，垂足为F．(1)求证△CAE=△ABD；(2)连接DE，满足△AEB=△DEC，求证：BD=DE+AE；(3)点G在BD的延长线上，连接EG，满足△AEB=△GEC，试写出AE，EG，BG之间的数量关系，并证明．7．已知：如图，ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P，Q同时从A，B两点出发，分别沿AB，BC方向匀速移动，它们的速度都是1cm/s，当点P到达点B时，P，Q两点停止运动，设点P的运动时间为()s t，解答下列各问题：(1)ABC的面积为多少？△是等边三角形？(2)当t为何值时，PBQ△是直角三角形时，求t的值．(3)当PBQA a，将点A向右平移b个单位得到点B，其中a，b满足8．如图△所示，点A的坐标为(0,)+-=．a b50(2)如图△，坐标轴上有两个动点P ，Q ，点P 从A 点出发沿y 轴负方向以每秒1个单位长度的速度运动，点Q 从O 点出发以每秒2个单位长度的速度沿x 轴正方向运动，点P 、Q 同时出发，点P 到达O 点时整个运动结束．设运动时间为t 秒，问t 为何值时，使得12OBP BOQ S S =△△？并求出此时点P 和点Q 的坐标； (3)如图△所示，点F 为x 轴上一点，作△BOF 的平分线OG ，且OG △FB ，垂足为G ，△AOB 的平分线OE 与射线FB 交于点E ，求△E 的度数．9．如图，在平面直角坐标系中，点A ，B 的坐标分别为(a ，0)，(b ，0)，且a ，b 满足()23-20a b ++=．现同时将点A ，B 分别向左平移2个单位，再向上平移2个单位，得到点A ，B 的对应点C ，D ，连接AC ，BD ，CD ．(1)直接写出A ，B 两点的坐标为：A ___________， B ___________．(2)若点P 是线段AC 上的一个动点，Q 是线段CD 的中点，连接PQ ，PO ，当点P 在线段AC 上移动时（不与点A ，C 重合），请找出PQD ∠，OPQ ∠，POB ∠的数量关系，并证明你的结论．(3)在坐标轴上是否存在点M ，使三角形MAD 的面积与三角形ACD 的面积相等？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，试说明理由．10．已知：直线AD BC ∥，动点P 在直线EF 上运动，探究ADP ，DPC ∠，BCP ∠之间的关系．(1)【问题发现】若25ADP ∠=︒，35BCP ∠=︒，求DPC ∠的度数．(2)【结论猜想】当点P 在线段AB 上时，猜想ADP ，DPC ∠，BCP ∠三个角之间的数量关系，并说明理(3)【拓展延伸】若点P 在射线AE 上或者在射线BF 上时（不包括端点），试着探究ADP ，DPC ∠，BCP ∠之间的关系是否会发生变化，请挑选一种情形画出图形，写出结论，并说明理由．11．ABC 中，70C ∠=︒，点D ，E 分别是ABC 边AC ，BC 上的点，点P 是一动点，令1PDA ∠=∠，2PEB ∠=∠，DPE α∠=∠．初探：(1)如图1，若点P 在线段AB 上，且60α∠=︒，则12∠+∠=_____________； (2)如图2，若点P 在线段AB 上运动，则△1，△2，α∠之间的关系为_____________； (3)如图3，若点P 在线段AB 的延长线上运动，则△1，△2，α∠之间的关系为_____________； 再探：(4)如图4，若点P 运动到ABC 的内部，写出此时△1，△2，α∠之间的关系，并说明理由．12．如图，AB 、CD 被AC 所截，AB CD ∥，△CAB ＝108°，点P 为直线AB 上一动点（不与点A 重合），连CP ，作△ACP 和△DCP 的平分线分别交直线AB 于点E 、F ．(1)当点P 在点A 的右侧时△若△ACP ＝36°，则此时CP 是否平分△ECF ，请说明理由． △求△ECF 的度数．(2)在点P 运动过程中，直接写出△APC 与△AFC 之间的数量关系．(1)求证：AB CD ∥；(2)如图2，若3ABE EBF ∠=∠，120BFD ∠=︒，试求CDFBDF∠∠的值；(3)如图3，若H 是直线CD 上一动点（不与D 重合），BI 平分HBD ∠，则EBI ∠与BHD ∠的数量关系为______．14．如图1，在△ABC 中，BO AC ⊥于点O ，3,1AO BO OC ===，过点A 作AH BC ⊥于点H ，交BO 于点P ．(1)求线段OP 的长度；(2)连接OH ，求证：点O 到△AHC 的两边距离相等；(3)如图2，若点D 为AB 的中点，点M 为线段BO 延长线上一动点，连接MD ，过点D 作DN DM ⊥交线段OA 延长线于N 点，则BDM ADN S S ∆∆-的值是否发生改变，如改变，求出该值的变化范围；若不改变，求该式子的值．15．在ABC 中，BAC ABC ∠>∠，三个内角的平分线交于点O ．(1)填空：如图1，若80BCA ∠=︒，则BOA ∠的大小为________度；(3)如图2，CO 的延长线交AB 于点E ，点M 是AB 边上的一动点（不与点E 重合），过点M 作MN CE ⊥于点N ，请探索AMN ∠、ABC ∠、BAC ∠三者之间的数量关系．16．如图1，CE 平分ACD ∠，AE 平分BAC ∠，90EAC ACE ∠+∠=︒(1)请判断AB 与CD 的位置关系并说明理由；(2)如图2，在（1）的结论下，当90E ∠=︒保持不变，移动直角顶点E ，使MCE ECD ∠=∠，当直角顶点E 点移动时，问BAE ∠与MCD ∠是否存在确定的数量关系？(3)如图3，在（1）的结论下，P 为线段AC 上一定点，点Q 为直线CD 上一动点，当点Q 在射线CD 上运动时（点C 除外），CPQ CQP ∠+∠与BAC ∠有何数量关系？17．如图，在△ABC 中，D 为AB 的中点，AB ＝AC ＝10cm ，BC ＝8cm ，动点P 从点B 出发，沿BC 方向以每秒3cm 的速度向点C 运动；同时动点Q 从点C 出发，沿CA 方向以每秒3cm 的速度向点A 运动，运动时间是t 秒．(1)在运动过程中，当点C 位于线段PQ 的垂直平分线上时，求出t 的值；(2)在运动过程中，是否存在某一时刻t ，使△BPD 和△CQP 全等，若存在，求出t 的值．若不存在，请说明理由．18．如图，△ABC是边长是12cm的等边三角形，动点P，Q同时从A，B两点出发，分别沿AB，BC方向匀速移动，其中点P运动的速度是1cm/s，点Q运动的速度是2cm/s，当点Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t（s），解答下列问题：(1)当点Q到达点C时，PQ与AB的位置关系如何?请说明理由．(2)在点P与点Q的运动过程中，△BPQ是否能成为等边三角形?若能，请求出t，若不能，请说明理由．(3)则当t为何值时，△BPQ是直角三角形?2,0，以线段OA为边在第四象限内作等边AOB，点C 19．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为()OC>，连接BC，以线段BC为边在第四象限内作等边CBD，连接DA．为x轴正半轴上一动点()2(1)求证：OBC ABD≌；(2)是否存在点C，使得ACD△为直角三角形．若存在，请求出点C的坐标；若不存在，请说明理由；(3)是否存在点C，使得ACD△为等腰三角形．若存在，请求出AC的长；若不存在，请说明理由．B-(0,4)点4(6,)A -．(1)如图1，动点P 从点B 出发，以每秒2个单位长度的速度沿BA 方向运动，同时动点Q 从点O 出发，以每秒3个单位长度的速度沿y 轴向上运动，当点P 运动到点A 时，P 、Q 同时停止运动，设点P 运动时间为t 秒．用含t 的式子表示P ，Q 两点的坐标．(2)如图2，点D 为线段OA （端点除外）上某一点，当点D 在线段上运动时，过点D 作直线EF 交x 轴正半轴于E ，交直线AB 于F ，,EOD AFD ∠∠的平分线相交于点N ，若ODF α∠=，请用含α的式子表示ONF ∠的大小，并说明理由．答案1． (2)AB ＝CD +CE 2．(1)103t =(2)t ＝2或53．(2)AC+CD ＝CE ，4．(1)80°5．(1)；△△EDF =△A ， (2)DE BA ∥，6． (3)BG =AE +EG ，7．(1)2cm (2)3 (3)2或48．(1)(0,2)A ，(3,2)B (2)65t =，点0,54P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，12,05Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭ (3)△E ＝45°9．(1)（−3，0）；（2，0）(2)△DQP ＋△QPO ＋△BOP ＝360°； (3)（0，163）或（0，−43）或（−8，0）或（2，0）10．(1)60°；(2)△DPC =△ADP +△PCB(3)△PCB =△DPC +△ADP ；或△ADP =△DPC +△PCB11．(1)130︒；(2)1270α∠+∠=︒+∠； (3)1270α∠-∠=︒+∠； (4)12430α∠+∠=︒-∠，12．(1)△平分，；△36°(2)当点P 在点E 的右侧时，2APC AFC ∠=∠；当点P 、点E 在点A 的左侧，点F 在点A 的右侧时，2180AFC APC ∠+∠=︒；当点P 、点E 、点F 均在点A 的左侧时， 2180AFC APC ∠-∠=︒．13． (2)4(3)△BHD =2△EBI 或△EBI =90°-12△BHD14．(1)OP =1；(3)不变，9415．(1)130(3)2360AMN ABC BAC ∠=∠-∠+︒或2AMN BAC ABC ∠=∠-∠16．(1)平行，(2)存在，1902BAE MCD ∠+∠=︒(3)BAC PQC QPC ∠=∠+∠17．(1)43t = (2)当1t =时，△BPD △△CQP18．(1)PQ 与AB 垂直，(2)能，当4s t =时，△BPQ 是等边三角形(3) 2.4s t =或6s t =，△BPQ 是直角三角形19． (2)C （4,0）(3)不存在，20．(1)P （2t ，-4），Q （0，3t ）； (2)12ONF α∠=，。
人教版八年级上学期期末考试数学压轴题汇总(武汉市)(含答案)
7、对于生活中的一些废弃物，我们可以从垃圾中回收它们并重新加工利用。这样做不但能够减少垃圾的数量，而且能够节省大量的自然资源。
18、建立自然保护区是保护生物多样性的有效方法，我国的九寨沟、长白山、四川卧龙等地都建立了自然保护区，自然保护区为物种的生存、和地球中间，如果三者正好处在一条直线上时，月球就会挡住太阳射向地球的光，在地球上处于影子中的人，只能看到太阳的一部分或全部看不到，于是就发生了日食。日食时，太阳被遮住的部分总是从西边开始的。
17、大熊座的明显标志就是我们熟悉的由七颗亮星组成的北斗七星，
4、咀嚼馒头的外皮也可以感觉到甜味吗？为什么？
21、人们发现银河系以外还有类似银河系一样庞大的恒星集团，如：仙女座星系、猎犬座星系，目前人类已发现了超过100亿个河外星系。
2、你知道哪些昆虫？
20、在观星过程中，我们看到的天空中有一条闪亮的“银河”光带，实际是由许许多多的恒星组成的一个恒星集团，被人们称为银河系。我们生活的地球在银河系。
2、昆虫种类繁多，分布很广，它们有着和其他动物不同的身体构造和本领。
2019-2020武汉市各区八年级上学期期末考试压轴题汇总
2019-2020年武汉市各区八年级上学期期末考试压轴题汇总1、（汉阳区第9题）如图，△ACB 和△ECD 都是等腰直角三角形，CA =CB =6，CE =CD ，△ACB 的顶点A 在△ECD 的斜边DE 上，若AE :AD =1:2，则两个三角形重叠的部分面积为（ ） A. 6 B. 9 C. 12 D. 14M =1+a a＋2、（汉阳区第10题）已知a ，b 为实数,且满足a ≠-1，b ≠-1，设1+b b ，N =11+a ＋11+b . ①若ab ＝1时，M =N ；②若ab>1时，M>N③若ab <1时， M <N ；④若a ＋b ＝0时，M ·N ≤0 则上述四个结论正确的有（ ）个A. 1B. 2C. 3D. 43、（汉阳区第16题）.如图，在△ABC 中，∠CAB ＝30°，∠ACB ＝90°，AC ＝3，D 为AB 的中点，E 为线段AC 上任意一点（不与端点重合），当E 点在线段AC 上运动时，则DE ＋21CE 的最小值为 .4、（汉阳区第23题）（本题10分）如图，在等边△ABC 中,点D ，E 分别是AC ，AB 上的动点，且AE ＝CD ，BD 交CE 于点P . （1）如图1，求证：∠BPC ＝120°； （2）点M 是边BC 的中点，连接P A ，PM .①如图2，若点A ，P ，M 三点共线，则AP 与PM 的数量关系是 ；②若点A ，P ，M 三点不共线，问①中的结论还成立么？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由.5、（汉阳区第24题）（本题12分） 已知△ABC 中，如果过顶点B 的一条直线把这个三角形分割成两个三角形，其中一个为等腰三角形，另一个为直角三角形，则称这条直线为△ABC 的关于点B 的二分割线.例如：如图1，Rt △ABC 中,∠A ＝90°，∠C ＝20°，过顶点B 的一条直线BD 交AC 于点D ，若∠DBC ＝20°，显然直线BD 是△ABC 的关于点B 的二分割线.（1）在图2的△ABC中，∠C＝20°，∠ABC＝110°.请在图2中画出△ABC的关于点B的二分割线，且∠DBC的度数是；（2）已知∠C＝20°，在图3中画出不同于图1，图2的△ABC，所画△ABC同时满足：①∠C为最小角；②存在关于点B的二分割线，∠BAC的度数是；（3）已知∠C＝α，△ABC同时满足：①∠C为最小角；②存在关于点B的二分割线，请求出∠BAC的度数（用α表示）6、（洪山区第10题）如图,等腰三角形ABC的底边BC长为4,面积是16,腰AC的垂直平分线EF分别交AC,AB边于E,F点.若点D为BC边的中点,点M为线段EF上一动点,则△CDM周长的最小值为( )A.6B.8C.10D.127、（洪山区第16题）四边形ABCD中,∠BAD=125°,∠B=∠D=90°,在BC、CD上分别找一点M、N,当三角形AM周长最小时,∠MAN的度数为 .8、（洪山区第23题）(1)如图1,已知△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,直线m经过点A,BD⊥直线m,CE⊥直线m,垂足分别为点D、E.求证:DE=BD+CE.(2)如图2,将(1)中的条件改为:在△ABC中,AB=AC,D、A、E三点都在直线m上,并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC,求证:DE=BD+CE.(3)拓展与应用:如图3,D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点(D、A、E三点互不重合),点F为∠BAC 平分线上的一点,且△ABF和△ACF均为等边三角形,连接BD、CE,若∠BDA=∠AEC=∠BAC,求证:△DEF为等边三角形.9、（洪山区第24题）已知△ABC 中,∠ACB =90°,(1)如图1,点B 与点D 关于直线AC 对称,连AD,点E 、F 分别是线段CD 、AB 上的点(点E 不与点D 、C 重合),且∠AEF=∠ABC,∠ABC=2∠CAE.求证:BF=DE.(2)如图2:若AC=BC,BD⊥AD,连DC,求证:∠ADC=45°.(3)如图3,若AC=BC,点D 在AB 的延长线上,以DC 为斜边作等腰直角△DCE,过直角顶点E 作EF⊥AC 于F,求证:点F 是AC 的中点.10、(黄陂区第10题) 如图,在Rt△ABC 中,∠A=90°,点D 在AB 边上,点E 在AC 边上,满足∠CDE=45°，∠AED=∠B,若DE=1,BC=7,则△CDE 的面积为（ ）(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 511、(黄陂区第16题) 如图,在平面直角坐标系中,点A(4,0),将点A 绕平面内一点P 顺时针旋转60°至点B(1,m),若1≤m≤5,则符合条件的点P的路径长为ABCE D12、(黄陂区第23题) (本题10分)如图，等边△ABC 外有一点D ，连接DA,DB,DC ， (1)如图1，若∠DAB+∠DCB=180°，求证:BD 平分∠ADC； (2)如图2，若∠BDC=60°，求证:BDCD=AD; (3)如图3，延长AD 交BC 的延长线于点F ，以BF 为边向下作等边△BEF,若点D,C,在同一直线上,且∠ABD=a,直接写出∠CEF 的度数为(结(结果用含a 的式子表示).13、(黄陂区第24题) (本题12分)如图，在平面直角坐标系中,点A(0,a),B(b,0)，且a ，b 满足2a 2+2ab+b 2-8a+16=0，点P 为AB 上一个动点(不与A,B)重合)，连接OP. (1)直接写出a= ，b= ；(2)如图1，过点P 作OP 的垂线交过点A 平行于x 轴的直线于点C,若点P(-,n)，求点C 的坐标; (3)如图2，以OP 为斜边在OP 右侧作等腰Rt△OPD，PD=OD.连接BD,当点P 从 B 向A 运动过程中,△BOD 的面积是否发生变化,请判断并说明理由.14、（武昌区第10题）如图，∠BAC =90°,AB=AC=4√2,BE=√2,DE=2a,∠BDE=15°,点P 在线段AE上,PD=DE,△ADQ 是等边三角形,连PQ 交AC 于点F,则PF 的长为第10题图B15、（武昌区第16题）如图,△ABC中,∠ACB=60°,∠A=40°,CE⊥AB,CD 平分∠ACB,F 为AB 的中点，若AC=a,BD=b,则EF= (用含a,b 的式子表示).16、（武昌区第23题）(本题满分10分)已知等边△ABC 和等腰△CDE,CD=DE,∠CDE=120°.(1)如图1,点D 在BC 上,点E 在AB 上,P 是BE 的中点,连接AD,PD,则线段AD 与PD 之间的数量关系为 ; (2)如图2,点D 在△ABC 内部,点E 在△ABC 外部,P 是BE 的中点,连接AD,PD,则(1)中的结论是否仍然成立?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由；(3)如图3,若点D 在△ABC 内部,点E 和点B 重合,点P 在BC 下方,且PB+PC 为定值,当PD 最大时,∠BPC 的度数为 .17、（武昌区第24题）(本题满分12分)已知△ABC,AB=AC. (1)若∠BAC90°,作△BCE,点A 在△BCE 内.①如图1,延长CA 交BE 于点D,若∠EBC=75°,BD =2DE,则∠DCE 的度数为 ; ②如图2,DF 垂直平分BE,点A 在DF 上,AD AF= √3,求S △ABD : S △AFC 的值;(2)如图3,若∠BAC=120°,点E 在AC 边上,∠EBC=10°,点D 在BC 边上,连接DE,AD,∠CAD=40°,求∠BED 的度数.图1图2图3图1图2图3第16题图18、（东湖高新第10题）△ABC 中,∠C=2∠B=60°,AE 是中线,AD 是角平分线,AF 是高,则下列4个结论中正确是( )①S △ABE =S △ACE ②∠EAD=∠FAD=15° ③AE=BE=CE=AC ④S △A BD :S △ACD =BD:DC=AB:AC A. ①②③ B. ①②④ C. ①②③④ D. ②③④ 19、（东湖高新第16题）如图,等腰直角△ABC 中,AC=BC,∠ACB=90°,D 为BC 中点,AD=4,P 为AB 上一个动点,当P 点运动时,PC+PD 的最小值为20、（东湖高新第23题）(本题10分)(1)如图1,AB=AD,AE=AC,∠BAD=∠EAC,求证:BE=CD(2)如图2,△ACE 是等边三角形,P 为三角形外一点,∠APC=120°,求证:PA+PC=PE (3)如图3,若∠ACE=∠AEC=∠ADC=45°,∠ACD -∠AED=60°,DC=3,求DE 长21、（东湖高新第24题）(本题12分)如图,A(0,2),B(m,0)为x 轴上一个动点,AB=BC,∠ABC=90°， (1)如图1,当m=1,且A 、B 、C 按逆时针方向排列,求C 点坐标(2)如图2,若A 、B 、C 按顺时针方向排列,E(-2,0),连CE 交y 轴于F,求证:OE=OF(3)如图3,若D 、B 两点关于直线AC 的对称点,画出图形并用含m 的式子表示△OBD 的面积S △OBD图1图2图3x图1x图2x图3第10题图22、（硚口区第10题）如图,在Rt△ABC 中,∠ACB=90°,点D 在AB 上,连接CD,将△BCD 沿直线CD 翻折后,点B 恰好落在边AC 的E 点处,若CE:AE=5:3,S△ABC=20,则点D 到AC 的距离是（ ） A. 4013 B. 2013 C.4 D.323、（硚口区第16题）问题背景:如图1,点C 为线段AB 外一动点,且AB=AC=2,若BC=CD,∠BCD=60°,连接AD,求AD 的最大值.解决方法:以AC 为边作等边△ACE,连接BE,推出BE=AD,当点E 在BA 的延长线上时,线段AD 取得最大值4.问题解决:如图2,点C 为线段AB 外一动点,且AB=AC=2,若BC=CD,∠BCD=90°,连接AD,当AD 取得最大值时,∠ACD 的度数为 .24、（硚口区第23题）(本题10分)在等边△ABC 中,点E,F 分别在边AB,BC 上. (1)如图1,若AE=BF,以AC 为边作等边△ACD,AF 交CE 于点O,连接OD. 求证:①AF=CE;②OD 平分∠AOC(2)如图2,若AE=2CF,作∠BCP=∠AEC,CP 交AF 的延长线于点P,求证:CE=CP.图1EDCBA 图2CBDA图2图1CO DCABBAPE F EF25、（硚口区第24题）(本题12分)在Rt△ABC 中,AC=BC,∠ACB=90°,点D 是BC 上一点. (1)如图1,AD 平分∠BAC,求证:AB=AC+CD;(2)如图2,点E 在线段AD 上,且∠CED=45°,∠BED=30°,求证:BE=2AE;(3)如图3,CD=BD,过B 点作BM⊥AD 交AD 的延长线于点M,连接CM,过C 点作CN⊥CM 交AD 于N,求证:DN=3DM.26、（江夏区第16题）如图,△ABC 是等边三角形,点P 是AB 的中点,点M 在CB 的延长线上,点N 在AC 上且满足∠MPN=120°,已知△ABC 的周长为18,设t=2AC-CM-CN,若关于x 的方程2x+nx−2 = t 的解是正数,则n 的取值范围是 . 27、（江夏区第22题）(本题10分) 已知:等边△ABC 中.(1)如图1,点M 是BC 的中点,点N 在AB 边上,满足∠AMN=60°,求AN BN的值.(2)如图2,点M 在AB 边上(M 为非中点,不与A 、B 重合),点N 在CB 的延长线上且∠MNB=∠MCB,求证:AM=BN. (3)如图3,点P 为AC 边的中点,点E 在AB 的延长线上,点F 在BC 的延长线上,满足∠AEP=∠PFC,求BF−BE BC的值.图3图2图1第16题图28、（江夏区第24题）(本题12分)已知点A 在x 轴正半轴上,以OA 为边作等边△OAB,A(x,0),其中x是方程32−13x−1=226x−2的解.(1)求点A 的坐标.(2)如图1,点C 在y 轴正半轴上,以AC 为边在第一象限内作等边△ACD,连DB 并延长交y 轴于点E,求∠BEO 的度数.(3)如图2,若点F 为x 轴正半轴上一动点,点F 在点A 的右边,连FB,以FB 为边在第一象限内作等边△FBG,连GA 并延长交y 轴于点H,当点F 运动时,GH-AF 的值是否发生变化?若不变,求其值;若变化,求出其变化的范围.29、（青山区第16题）如图,在△ABC 中,AB=AC,点D 和点A 在直线BC 的同侧,BD=BC,∠BAC=82°,∠DBC=38°,连接AD 、CD,则∠ADB 的度数为 。
2024学年八年级数学上学期真题分类汇编(人教版)-三角形与角有关的压轴题训练(解析版)(人教版)
三角形与角有关的压轴题训练多边形内角和(n−3602∵AMD EMF ∠=∠，180AMD FAD ADE ∠+∠+∠=︒，180E F EMF ∠+∠+∠=︒ E F ADE FAD ∴∠+∠=∠+∠∴BAF B C CDE E F ∠+∠+∠+∠+∠+∠BAD ADC B C =∠+∠+∠+∠360=； 故答案为：360°（2）如图，连接AE ，FE 交AH 于点M∴360F G H FMH ∠+∠+∠+∠=︒，180AME MAE MEA ∠+∠+∠=︒ ∵AME FMH ∠=∠∴()180360F G H MAE MEA ∠+∠+∠+︒−∠−∠=︒ ∴180MAE MEA F G H ∠+∠=∠+∠+∠−︒∵()52180540BAM B C D MED MEA MAE ∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠=−⨯︒= ∴()180540BAM B C D MED F G H ∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠−︒= ∴540180720BAM B C D MED F G H ∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠=+︒=︒ ∴二环四边形的内角和为：720︒∵二环三角形的内角和为：()36036032︒=︒⨯− 二环四边形的内角和为：()720360236042︒=︒⨯=︒⨯−∴二环五边形的内角和为：()360521080︒⨯−=︒ ∴二环n 边形的内角和为：()3602n − 故答案为：720，1080，()3602n −．【点睛】本题考查了多边形内角和、对顶角、数字规律的知识；解题的关键是熟练掌握三角形内角和、多边形内角和、数字规律的性质，从而完成求解．3．如图，ACP PCD ∠=∠，ABP PBD ∠=∠，且80A ∠=︒，120D ∠=︒，则P ∠的度数为 °．【答案】100【分析】设ACP PCD x ∠=∠=，ABP PBD y ∠=∠=，根据三角形内角和公式可求得1002AEC x ∠=︒−，602DEB y ∠=︒−，推得20x y =+，根据三角形内角和公式可求得120P x y ∠=︒−+，将20x y =+代入即可求解．【详解】解：设ACP PCD x ∠=∠=，ABP PBD y ∠=∠=，如图：∵80A ∠=︒，120D ∠=︒，在ACE △中，1801808021002AEC ACE A x x ∠=︒−∠−∠=︒−︒−=︒−， 在DBE 中，1801801202602DEB DBE D y y ∠=︒−∠−∠=︒−︒−=︒−， 又∵AEC DEB ∠=∠，∴1002602x y ︒−=︒−，故20x y =+， 在DBF 中，180********DFB DBF D y y ∠=︒−∠−∠=︒−︒−=︒−， 在DBF 中，60PFC DFB y ∠=∠=︒−，()180********P PCE DFB x y x y ∠=︒−∠−∠=︒−−︒−=︒−+，将20x y =+代入可得12020100P ∠=︒−=︒；故答案为：100．【点睛】本题考查了三角形内角和定理，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键．4．(1)如图①，你知道∠BOC＝∠B＋∠C＋∠A的奥秘吗？请用你学过的知识予以证明；(2)如图②，设x＝∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E，运用(1)中的结论填空．x＝____________°；x＝____________°；x＝____________°；(3)如图③，一个六角星，其中∠BOD＝70°，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝________°.【答案】（1）证明见解析. (2)180；180；180；(3)140【分析】（1）首先延长BO交AC于点D，可得BOC=∠BDC+∠C，然后根据∠BDC=∠A+∠B，判断出∠BOC=∠B+∠C+∠A即可．（2）a、首先根据外角的性质，可得∠1=∠A+∠B，∠2=∠C+∠D，然后根据∠1+∠2+∠E=180°，可得x=∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180，据此解答即可．b、首先根据外角的性质，可得∠1=∠A+∠B，∠2=∠C+∠D，然后根据∠1+∠2+∠E=180°，可得x=∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180，据此解答即可．c、首先延长EA交CD于点F，EA和BC交于点G，然后根据外角的性质，可得∠GFC=∠D+∠E，∠FGC=∠A+∠B，再根据∠GFC+∠FGC+∠C=180°，可得x=∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°，据此解答即可．（3）根据∠BOD=70°，可得∠A+∠C+∠E=70°，∠B+∠D+∠F=70°，据此求出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数是多少即可．【详解】(1)证明：如图，延长BO交AC于点D，则∠BOC＝∠BDC＋∠C，又∵∠BDC＝∠A＋∠B，∴∠BOC＝∠B＋∠C＋∠A.(2)180；180；180；(3)140【点睛】（1）此题主要考查了三角形的内角和定理，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：三角形的内角和是180°．（2）此题还考查了三角形的外角的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①三角形的外角和为360°．②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．③三角形的一个外角角度之间的数量关系ABC 中， 【变式拓展】当点E 与点A 不重合时，连接ED ，设ADE α∠=，ACB β∠=． （1）如图2，BED ∠的平分线交BD 于点O ． ①当50α=︒，80β=︒时，EOD ∠=____________︒； αβ在ABC内部和点在ABC外部，利用角平分线的定义，三角形内角）ABC中，∠=BAC∠=ABC∠=︒）C mAO平分∠=ADE∠=ACB②ADE α∠=，ACB β∠=，CDG α∴∠=，180ACG β∠=︒−，180G CDG ACG βα∴∠=︒−∠−∠=−， 180180ABG BEG G αβ∴∠+∠=︒−∠=︒+−，在ABC 内部时，令 ACB β∠=，CF 平分∠1122ACF ACB β∴∠=∠=，ADE ACF CHD ∠=∠+∠AED ∠+EF 平分F DEF ∠+∠ABC ∠+∠在ABC 外部时，令 ACB β∠=，CF 平分ACB ∠，1122ACF ACB β∴∠=∠=， 12CKB A ACF A β∴∠=∠+∠=∠+，1AED ∠=F FEK ∠+∠COD ∠= (1)如图2，一束光线DE 射到平面镜AB 上，被AB 反射到平面镜BC 上，又被BC 反射，若被射出的光线FM （与光线DE 平行，且120EFM ∠=︒，则AED =∠_______°，B ∠=______°；(2)如图3，有三块平面镜AB ，BC ，CH ，入射光线DE 与镜面AB 的夹角35AED ∠=︒，镜面BC 的夹角115B ∠=︒，当光线DE 经过平面镜AB ，BC ，CH 的三次反射后，入射光线DE 光线MN 平行时，请求出FMN ∠的度数；根据题意，AED BEF∠=∠，EFB∠120EFM∠=︒，∴180120302EFB CFM︒−︒∠=∠== ED FM∥，18012060DEF∠=︒−︒=︒，在BEF中，由三角形内角和定理可得ED MN∥，ED FG MN ∴∥∥，180DEF EFG ∴∠+∠=︒，180NMF MFG ∠+∠=︒，360DEF EFM FMN ∴∠+∠+∠=︒，35AED ∠=︒，35BEF AED ∴∠=∠=︒，则180352110DEF ∠=︒−︒⨯=︒，在BEF 中，35BEF ∠=︒，115B ∠=︒，则由三角形内角和定理可得1803511530BFE ∠=︒−︒−︒=︒， 30MFC BFE ∴∠=∠=︒，则180302120EFM ∠=︒−︒⨯=︒，∴360120110130FMN ∠=︒−︒−︒=︒；（3）解：如图所示：由（2）知120EFM ∠=︒，130FMN ∠=︒，35BEF ∠=︒，115B ∠=︒，由于一个四边形可以分成两个三角形，由三角形内角和定理可知，在四边形FMQI 中，360FIQ EFM FMN PQM ∠+∠+∠+∠=︒，AEG BEP ∠=∠，115B ∠=︒，18011565BPE AEG AEG ∴∠=︒−︒−∠=︒−∠，则65QPF BPE AEG ∠=∠=︒−∠，()18065115QPB AEG AEG ∴∠=︒−︒−∠=︒+∠，由于一个四边形可以分成两个三角形，由三角形内角和定理可知，在四边形PBEI 中，360BEI EIP QPB B ∠+∠+∠+∠=︒，EIP FIQ ∠=∠，∴由360FIQ EFM FMN PQM ∠+∠+∠+∠=︒与360BEI EIP QPB B ∠+∠+∠+∠=︒，代入已知角度有120130360FIQ PQM ∠+︒+︒+∠=︒与35115360EIP QPB ∠+︒+∠+︒=︒，可得100QPB PQM ∠−∠=︒，(1)=a ___________，b =___________；(2)如图2，若AC BC BQ ⊥，平分ABC ∠交AC 于点Q ，交OC 于点P ，求证：CPQ CQP ∠∠=(3)如图3，若点A 、点B 分别在x 轴负半轴和正半轴上运动，ACB ∠的角平分线交x 轴于点N 在x 轴上，且BCM DCN ∠=∠，请补全图形，探究OCM ACN∠∠的值的变化情况，并直接写出结论BQ 平分CBA ∠，∴OBP CBQ ∠=∠，AC BC ⊥Q ，90ACB ∴∠=︒，理由：AC BC ⊥Q ，90ACB ∴∠=︒，∴90ACD BCF ∠+∠=︒，CB 平分ECF ∠，∴ECB ∠=(1)如图①，若90AOB ∠=︒，求C ∠的度数；(2)若AOB n ∠=，则C ∠=________(结果用含n 的代数表示(3)如图②，若点E 是射线OM 上一点，连接BE BF EF ，、为BOE 的角平分线．①随着点A B E 、、的移动，C ∠与BFE ∠存在什么样的数量关系，②过点F 作FK MN ∥交BE 于点K ，则BGO ∠，KFE ∠为BOE的角平分线，1为BOE的角平分线，定值问题在ABC 中，αC ∠=(1)当80α=︒，30β=︒时，求E ∠的度数；(2)试问E ∠与B ∠、C ∠之间存在着怎样的数量关系，试用,αβ表示E ∠，并说明理由(3)若EFB ∠与BAE ∠平分线交于点P （如图2），当点E 在AD 线上运动时，P ∠是否发生变化，若不变，请用,αβ表示P ∠；若变化，请说明理由【答案】(1)25︒）解：80B ∠=︒3070−︒=︒，AD 平分EF BC⊥）EDF∠= EFD∠=AD平分AP平分(1)求点C 的坐标．(2)如图2，设D 为线段OB 上一动点，当AD AC ⊥时，ODA ∠的角平分线与向延长线交于点P ，求APD ∠的度数；（点E 在x 轴的正半轴）(3)在（2）的基础上，如果将“ODA ∠的角平分线与CAE ∠的角平分线的反向延长线交于点AGC S =∵()2340a b −++=，∴30a −=，40b +=，解得：3a =，4b =−，AGC S =∠，MN平分∵AN平分OAD，在ABC 中， (1)若40C ∠=︒．①求P ∠的度数；DE BC ∥AB AC 、AP平分AP平分∠−APE。
人教版八年级数学上册期末专题复习：几何压轴题强化训练试题(含答案)
人教版八年级数学上册期末专题复习：几何压轴题强化训练试题1、如图，AB＞AC，∠BAC的平分线与BC边的中垂线GD相交于点D，过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，求证：BE=CF．2、如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，将△ABC绕点C逆时针旋转角α．（0°＜α＜90°）得到△A1B1C1，连接BB1．设CB1交AB于D，A1B1分别交AB、AC于E、F．（1）在图中不再添加其它任何线段的情况下，请你找出一对全等的三角形，并加以说明（△ABC与△A1B1C1全等除外）；（2）当△BB1D是等腰三角形时，求α．3、如图，在△ABC中，∠BAC=120°，AD，BE分别为△ABC的角平分线，连结DE．（1）求证：点E到DA，DC的距离相等；（2）求∠DEB的度数．4、在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线，MN经过点C，且AD⊥MN于点D，BE⊥MN于点E．（1）当直线MN绕点C旋转到如图1的位置时，求证：DE=AD+BE；（2）当直线MN绕点C旋转到如图2的位置时，求证：DE=AD﹣BE；（3）当直线MN绕点C旋转到如图3的位置时，线段DE、AD、BE之间又有什么样的数量关系？请你直接写出这个数量关系，不要证明．5、概念学习：规定：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“等角三角形”．从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“等角三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”．理解概念（1）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，请写出图中两对“等角三角形”．概念应用（2）如图2，在△ABC中，CD为角平分线，∠A＝40°，∠B＝60°．求证：CD为△ABC的等角分割线．（3）在△ABC中，∠A＝42°，CD是△ABC的等角分割线，直接写出∠ACB的度数．6、如图,∠ABC=∠BAD=90°，点E，F分别是AC，BC的中点。
人教版八年级数学上册期末压轴精选30题
人教版八年级数学上学期期末压轴精选30题考试范围：全册的内容，共30小题.【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形外角定义，直角三角形等知识，熟悉掌握有关知识是解题关键．2．（2022·湖南常德·八年级期中）A．0个B．1【答案】C，∵BF 是ABC Ð的角平分线，∴HBO EBO Ð=Ð，在△HBO 和EBO V 中，BH BE HBO EBO BO BO =ìïÐ=Ðíï=î，∵BAC Ð和ABC Ð的平分线相交于点∴点O 在C Ð的平分线上，∴OH OM OD a ===，∵2AB AC BC b ++=，∴1122ABC S AB OM AC OH =×+×V形一边边长大于另两边之差，小于它们之和，即可得中线长m 的取值范围．【详解】由2212161000a a b b -+-+=可得22680a b -+-=（）（）\ 6a = ，8b =如图，设AC b =，BC a =，CO 是对边AB 的中线，延长CO 至D 点，使得DO CO =，并连接AD ，Q AOD BOC Ð=Ð , AO BO =，DO CO=\ AOD BOCD D ≌\ AD BC a==\b a CD b a-<<+\214CD <<\17CO <<\中线长m 的取值范围为：17m <<．故答案为：17m <<【点睛】本题考查了因式分解，全等三角形的证明以及三角形的三边关系，掌握相应的知识点是解题的关键．12．（2022·山东济宁·八年级期中）已知一张三角形纸片ABC （如图甲），其中AB AC =，将纸片沿过点B 的直线折叠，使点C 落到AB 边上的E 点处，折痕为BD （如图乙），再将纸片沿过点E 的直线折叠，点A 恰好与点D 重合，折痕为EF （如图丙）．原三角形纸片ABC 中，BAC Ð的大小为______．【答案】36°##36度【分析】由折叠的性质可得：A ADE Ð=Ð，EDB CDB Ð=Ð，ABD CBD Ð=Ð，由等腰三角形的性质可得，C ABC Ð=Ð，求解即可．【详解】解：由等腰三角形的性质可得，C ABC Ð=Ð，由折叠的性质可得：A ADE Ð=Ð，EDB CDB Ð=Ð，ABD CBD Ð=Ð，【答案】11802n -æö´ç÷èø°【分析】根据内角和定理及外角的定义解题即可．【详解】解：∵在1A BC V 中，20B Ð=°，1A B CB =∴()118020280BA C Ð=°-°¸=°，④BD CE DE +＝．其中正确的是 _____．【答案】①②③【分析】先根据垂直定义和等角的余角相等证得BAD CAF Ð=Ð，B ACF Ð=Ð，再利用ASA 可判断①正确；再证明ADE AFE △≌△可判断②正确；利用全等三角形的面积相等可判断③正确；根据全等三角形的性质和三角形的三边关系可判断④错误．【详解】解：Q 在Rt ABC V 中，=90BAC Ðo ，=AB AC ，45B ACB \Ð=Ð=o ，90BAD DAC Ð+Ð=o ，Q AF AD ^，90CAF DAC \Ð+Ð=°，BAD CAF \Ð=Ð，CF BC ^Q ，9045ACF ACB \Ð=°-Ð=o ，则B ACF Ð=Ð，在ABD △和ACF △中，BAD CAF AB ACB ACF Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî()ABD ACF ASA \V V ≌，故①正确；AD AF \=，45DAE Ð=o Q ，AF AD ^，9045FAE DAE DAE \Ð=-Ð==Ðo o ，在ADE V 和AFE △中，AD AF DAE FAEAE AE =ìïÐ=Ðíï=î()ADE AFE SAS \V V ≌，∴=DE EF ，故②正确；∵ADE AFE △≌△，ABD ACF ≌△△，ABD ACF S S \=V V ，ADE AFE S S =V V ，BD CF =，DE EF =，ABC ABD ADE AECS S S S \=++V V V VÐ的度数；(1)如图1，求BFC(2)如图2，连接ED交BC于点G，连接AG，若【答案】(1)90°(2)见解析∵AE AD ^，∴90BAC DAE °Ð==Ð，∴BADCAE Ð=Ð，在ABD △和ACE △中，AB AC BAD CAE AD AE ìïÐÐíïî＝＝＝ ，∴(SAS)ABD ACE @V V ，∴ABD ACF Ð=Ð，∵AHB FHC Ð=Ð，∴90BFC BAC °Ð=Ð=；（2）设AC 交EG 于点H ，在AB 上截取AK AD =，连接KG ，如图2所示：∵,90AD AE DAE °=Ð=∴45,AED ACG °Ð==Ð∵,AHE GHC Ð=Ð∴,EAC CGE Ð=Ð由（1）知：,BAD CAE Ð=Ð∴,BAD CGD Ð=Ð设2,BAD a CGD Ð==Ð∴2,EAC BAD a Ð=Ð=∴1802,BGD a °Ð=-∴180,BAD BGD °Ð+Ð=∴180,ABG ADG °Ð+Ð=∵AG 平分,BAD Ð∴,KAG DAG a Ð=Ð=在AKG △和ADG △中，,AK AD KAG DAG AG AG =ìïÐ=Ðíï=î（2）解：∵221012610a b a b +--+=，∴22221051260a a b b -++-+=，∴()()22560a b -+-=，∵()()225060a b -³-³，，∴()()22560a b -=-=，∴5060a b -=-=，，∴56a b ==，，∵b a c a b -<<+，∴111c <<，∵c 是最大边，∴611c £<；（3）解：∵2261P x y x =-+-，22413Q x y =++，∴222612413P Q x y x x y -=-+----，226414x x y y =-+---2269441x x y y =-+-----()()22321x y =---+-，∵()()223020x y -³+³，，∴()()22320x y ---+£，()()223210x y ---+-<∴0P Q -<，∴P Q <．【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，三角形三边的关系，平方的非负性，熟知完全平方公式是解题的关键．22．（2022·福建·莆田锦江中学八年级期中）如图，AB AD ^，且AB AD =，AC AE ^，且AC AE =(1)如图1，连接DC 、BE ，求证：DC BE =；(2)如图2，求证：ABC ADE S S D D =(3)如图3，GF 经过A 点与DE 交于G 点，且GF BC ^于F 点．求证：G 为DE 的中点．【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)见解析．【分析】（1）根据垂直可得90BAE CAE ==°∠∠，得出DAC BAE Ð=Ð，根据全等三角形的判定证明DAC BAE @V V ，可得答案；（2）作EM AD ^交DA 的延长线于M ，作CN AB ^，进而可得CAN MAE =∠∠，根据全等三角形的判定证明ACN AEM @V V ，进而得出CN EM =，根据三角形的面积公式可得；（3）作DM AG ^交AG 的延长线于M ，作EN AG ^，先证明C NAE =∠∠，再证FCA NAE @V V ，得出AF NE =；再证明BAF ADM @V V ，得出AF DM =，进而得出DM NE =，再证明DMG ENG @V V ，即可得出答案．【详解】（1）∵AB AD ^，AC AE ^，∴90BAE CAE ==°∠∠∴BAD BAC BAC CAE +=+∠∠∠∠∴DAC BAE Ð=Ð在DAC △和BAE V 中，AD AB DAC BAE AC AE =ìïÐ=Ðíï=î∴DAC BAE@V V ∴DC BE=（2）作EM AD ^交DA 的延长线于M ，作CN AB^∴90EMD CNA ==°∠∠∵90MAN CAE ==°∠∠∴MAN CAM CAE CAM-=-∠∠∠∠∴CAN MAE=∠∠在ACN △和AEM △中，）DM AG ^交AG 的延长线于M ，作90EMA DMG AFC ===°∠∠90FAC CAF NAE +=+=∠∠∠NAE =∠CAF 和NEA V 中，90CFA ENA C NAE AC AE =Ð=°Ð=Ð=根据三角形三边关系，易得0a b c +->∴0a b -=∴a b=∴ABC V 为等腰三角形【点睛】本题考查了因式分解、等腰三角形的判定；熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．24．（2022·浙江·八年级专题练习）(1)阅读理解：如图1，在ABC V 中，若10AB =，6AC =．求BC 边上的中线AD 的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长AD 到点E ，使DE AD =，再连接BE (或将ACD V 绕着点D 逆时针旋转180°得到EBD △)，把AB ，AC ，2AD 集中在ABE V 中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD 的取值范围是______；(2)问题解决：如图2，在ABC V 中，D 是BC 边上的中点，DE DF ^于点D ，DE 交AB 于点E ，DF 交AC 于点F ，连接EF ，求证：BE CF EF +>；(3)问题拓展：如图3，在四边形ABCD 中，180B D Ð+Ð=°，CB CD =，140BCD Ð=°，以C 为顶点作一个70°角，角的两边分别交AB ，AD 于E ，F 两点，连接EF ，探索线段BE ，DF ，EF 之间的数量关系，并加以证明．【答案】(1)28AD <<；(2)见解析；(3)BE DF EF +=，证明见解析【分析】（1）延长AD 至E ，使DE AD =，连接BE ，证明SAS BDE CDA ≌（）V V ，根据三角形三边关系即可求解；（2）延长FD 至点M ，使DM DF =，连接BM ，EM ，同（1）得，(SAS)BMD CFD D V V ≌，证明(SAS)EDM EDF V V ≌在BME D 中，由三角形的三边关系得BE BM EM +>，即可得证；（3）延长AB 至点N ，使BN DF =，连接CN ，证明(SAS)NBC FDC V V ≌，(SAS)NCE FCE V V ≌，根据求的三角形的性质即可得证．【详解】（1）解：延长AD 至E ，使DE AD =，连接BE ，如图①所示：∵AD 是BC 边上的中线，∴BD CD =，在BDE △和CDA V 中，BD CD BDE CDADE AD =ìïÐ=Ðíï=î∴SAS BDE CDA ≌（）V V，∴6BE AC ==，在ABE V 中，由三角形的三边关系得：AB BE AE AB BE -<<+，∴106106AE -<<+，即416AE <<，∴28AD <<；故答案为：28AD <<；（2）证明：延长FD 至点M ，使DM DF =，连接BM ，EM ，如图所示同（1）得，(SAS)BMD CFD D V V ≌，BM CF\=DE DF ^Q ，DM DF =，DE DE=(SAS)EDM EDF \V V ≌，EM EF\=在BME D 中，由三角形的三边关系得BE BM EM +>，BE CF EF\+>（3）BE DF EF+=证明如下：延长AB 至点N ，使BN DF =，连接CN ，如图所示180ABC D Ð+Ð=°Q ，180NBC ABC Ð+Ð=°NBC D\Ð=Ð在NBC V 和FDC △中，BN DF NBC D BC DC =ìïÐ=Ðíï=î，(SAS)NBC FDC \V V ≌CN CF \=，NCB FCDÐ=Ð140BCD Ð=°Q ，70ECF Ð=°70BCE FCD \Ð+Ð=°，70ECN ECF\Ð=°=Ð在NCE △和FCE △中，（1） （2）(1)求证：PAB AQE ≌△△；(2)连接CQ 交AB 于M ，求证：BM EM =；(3)如图（2），过Q 作QF AQ ^于AB 的延长线于点F ，过PQ，HA AC^QA AP^QAH HAP HAP \Ð+Ð=Ð\Ð=Ð，QAH PADPAQQ为等腰直角三角形，D\=，AQ AP(1)请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积．方法1：；方法2：．(2)观察图2写出()2m n +，()2m n -，mn 三个代数式之间的等量关系：(3)根据（2）中你发现的等量关系，解决如下问题：若【点睛】本题主要考查完全平方差公式和完全平方和公式的联系，会用代数式表示图形面积是解决问题的关键；两数的完全平方和比它们的完全平方差多了两数积的4倍，该结论经常用到．28．（2022·广东·江门市新会尚雅学校八年级阶段练习）（1）如图1，已知，在ABC V 中，10AB AC ==，BD 平分ABC Ð，CD 平分ACB Ð，过点D 作EF BC ∥，分别交AB 、AC 于E 、F 两点，则图中共有________个等腰三角形：EF 与BE 、CF 之间的数量关系是________，AEF △的周长是________．（2）如图2，若将（1）中“ABC V 中，10AB AC ==”改为“若ABC V 为不等边三角形，8AB =，10AC =”其余条件不变，则图中共有________个等腰三角形；EF 与BE 、CF 之间的数量关系是什么？证明你的结论，并求出AEF △的周长．（3）已知：如图3，D 在ABC V 外，AB AC >，且BD 平分ABC Ð，CD 平分ABC V 的外角ACG Ð，过点D 作DE BC ∥，分别交AB 、AC 于E 、F 两点，则EF 与BE 、CF 之间又有何数量关系呢？写出结论并证明．【答案】（1）5，EF BE CF =+，20（2）2，EF BE CF =+，证明见详解，18（3）EF BE CF =-，证明见详解【分析】（1）根据角平分线的定义可得,EBD CBD FCD BCD Ð=ÐÐ=Ð，再根据平行线的性质，“两直线平行，同位角相等”、“两直线平行，内错角相等”可知DB DC =,AEF ABC AFE ACB Ð=ÐÐ=Ð，,EDB CBD FDC BCD Ð=ÐÐ=Ð，即可求出AEF AFE Ð=Ð，,EBD EDB FDC FCD Ð=ÐÐ=Ð，根据“等角对等边”可知,,BE DE CF DF AE AF ===，即可确定等腰三角形的数量，EF 与BE 、CF 之间的数量关系以及AEF △的周长；（2）若ABC V 为不等边三角形，根据角平分线的定义可知,EBD CBD FCD BCD Ð=ÐÐ=Ð，再结合平线性的性质“两直线平行，内错角相等”可知,EDB CBD FDC BCD Ð=ÐÐ=Ð，即可推导,EBD EDB FDC FCD Ð=ÐÐ=Ð，然后根据“等角对等边”即可证明,BE DE CF DF ==，然后解答即可；（3）根据角平分线的定义可知,EBD CBD FCD GCD Ð=ÐÐ=Ð，再结合平线性的性质“两直线平行，内错角相等”可知,EDB CBD FDC GCD Ð=ÐÐ=Ð，即可推导,EBD EDB FDC FCD Ð=ÐÐ=Ð，然后根据“等角对等边”即可证明,BE DE CF DF ==，即可证明EF 与BE 、CF 之间的数量关系．【详解】解：（1）∵AB AC =，∴A ABC CB =Ð∠，∵BD 平分ABC Ð，CD 平分ACB Ð，∴,EBD CBD FCD BCD Ð=ÐÐ=Ð，∴DBC DCB Ð=Ð，∴DB DC =，∵EF BC ∥，∴,AEF ABC AFE ACB Ð=ÐÐ=Ð，,EDB CBD FDC BCD Ð=ÐÐ=Ð，∴AEF AFE Ð=Ð，,EBD EDB FDC FCD Ð=ÐÐ=Ð，∴,,BE DE CF DF AE AF ===，∴等腰三角形有,,,,ABC AEF DEB DFC DBC V V V V V ，共计5个，∴EF DE DF BE CF =+=+，即EF BE CF =+，∴AEF △的周长AE EF AF=++AE DE DF AF=+++AE BE CF AF=+++AB AC=+1010=+20=，故答案为：5，EF BE CF =+，20；（2）若ABC V 为不等边三角形，∵BD 平分ABC Ð，CD 平分ACB Ð，∴,EBD CBD FCD BCD Ð=ÐÐ=Ð，∵EF BC ∥，∴,EDB CBD FDC BCD Ð=ÐÐ=Ð，∴,EBD EDB FDC FCD Ð=ÐÐ=Ð，∴,BE DE CF DF ==，∴等腰三角形有,DEB DFC V V ，共计2个，故答案为：2；∵,BE DE CF DF ==，∴EF DE DF BE CF =+=+，即EF BE CF =+；∴AEF △的周长AE EF AF=++AE DE DF AF=+++AE BE CF AF=+++AB AC=+810=+18=；（3）大长方形的面积为()()222365122815a b a b a ab b ++=++，小图形的面积分别为22,,a b ab ，进一步即可得到答案．【详解】（1）拼成的大长方形面积之和()()2a b a b =++，各个小图形面积之和2232a ab b =++，∴图2所表示的数学等式是()()22232a b a b a ab b ++=++．故答案为：()()22232a b a b a ab b ++=++．（2）图（3）中大正方形的面积＝()2a b c ++，各个小图形面积之和＝222222a b c ab ac bc +++++，∴()2222222a b c a b c ab ac bc ++=+++++．∵8a b c ++=，19ab ac bc ++=．∴()222222228a b c a b c ab ac bc ++=+++++=，即()222264a b c ab ac bc +++++=，∴()2226426421926a b c ab ac bc ++=-++=-´=．（3）大长方形的面积为：()()2222236512101815122815a b a b a ab ab b a ab b ++=+++=++，∵小图形的面积分别为22,,a b ab ，∴12,15,28x y z ===．∴12152855x y z ++=++=．【点睛】本题考查多项式乘多项式的计算，整体代入思想，数形结合思想，能够通过几何图形找到代数之间的等量关系是解决此类题型的关键．30．（2022·全国·八年级专题练习）认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段，完成所提出的问题．(1)探究1：如图1，在ABC V 中，O 是ABC Ð与ACB Ð的平分线BO 和CO 的交点，试分析BOC Ð与A Ð有怎样的关系？请说明理由．(2)探究2：如图2中，O 是ABC Ð与外角ACD Ð的平分线BO 和CO 的交点，试分析BOC Ð与A Ð有怎样的关系？请说明理由．(3)探究3：如图3中，O 是外角DBC Ð与外角ECB Ð的平分线BO 和CO 的交点，则BOC Ð与A Ð有怎样的∵BO 和CO 分别是ABC Ð∴111,222ABC Ð=ÐÐ=Ð又∵ACD Ð是ABC V 的一个外角，(112ACD A Ð=Ð=Ð在PCD V 中，()()1801801808595CPD PCD PDC PCD PDC °°°°°Ð=-Ð+Ð=-Ð+Ð=-=．【点睛】本题主要考查了三角形外角的性质与三角形内角和定理，多边形内角和定理，熟练掌握三角形外角的性质与三角形内角和定理，多边形内角和定理，利用类比思想解答是解题的关键．。
人教版八年级数学上册期末专题复习：几何压轴题强化训练试题(含答案)
人教版八年级数学上册期末专题复习：几何压轴题强化训练试题1、如图，AB＞AC，∠BAC的平分线与BC边的中垂线GD相交于点D，过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，求证：BE=CF．2、如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，将△ABC绕点C逆时针旋转角α．（0°＜α＜90°）得到△A1B1C1，连接BB1．设CB1交AB于D，A1B1分别交AB、AC于E、F．（1）在图中不再添加其它任何线段的情况下，请你找出一对全等的三角形，并加以说明（△ABC与△A1B1C1全等除外）；（2）当△BB1D是等腰三角形时，求α．3、如图，在△ABC中，∠BAC=120°，AD，BE分别为△ABC的角平分线，连结DE．（1）求证：点E到DA，DC的距离相等；（2）求∠DEB的度数．4、在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线，MN经过点C，且AD⊥MN于点D，BE⊥MN于点E．（1）当直线MN绕点C旋转到如图1的位置时，求证：DE=AD+BE；（2）当直线MN绕点C旋转到如图2的位置时，求证：DE=AD﹣BE；（3）当直线MN绕点C旋转到如图3的位置时，线段DE、AD、BE之间又有什么样的数量关系？请你直接写出这个数量关系，不要证明．5、概念学习：规定：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“等角三角形”．从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“等角三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”．理解概念（1）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，请写出图中两对“等角三角形”．概念应用（2）如图2，在△ABC中，CD为角平分线，∠A＝40°，∠B＝60°．求证：CD为△ABC的等角分割线．（3）在△ABC中，∠A＝42°，CD是△ABC的等角分割线，直接写出∠ACB的度数．6、如图,∠ABC=∠BAD=90°，点E，F分别是AC，BC的中点。
人教版八年级上册数学期末动点问题压轴题(含答案)
人教版八年级上册数学期末动点问题压轴题（含答案）1．在平面直角坐标系中，点A 的坐标为()4,0，点B 为y 轴正半轴上的一个动点，以B 为直角顶点，AB 为直角边在第一象限作等腰Rt ABC ．(1)如图1，若3OB =，则点C 的坐标为______；(2)如图2，若4OB =，点D 为OA 延长线上一点，以D 为直角顶点，BD 为直角边在第一象限作等腰Rt BDE △，连接AE ，求证：AE AB ⊥；(3)如图3，以B 为直角顶点，OB 为直角边在第三象限作等腰Rt OBF ．连接CF ，交y 轴于点P ，求线段BP 的长度．2．如图1，在△ABC 中，AB AC =，点E 在线段BC 上，连接AE 并延长到G ，使得EG AE =，过点G 作GD BA ∥分别交BC ，AC 于点F ，D ．(1)求证：△≌△ABE GFE ；(2)若3GD =，1CD =，求AB 的长度；(3)如图2，过点D 作DH BC ⊥于H ，P 是直线DH 上的一个动点，连接AF ，AP ，FP ，若45C ∠=︒，AF 2）条件下，求△AFP 周长的最小值．3．如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，点D 是AB 上一动点，连接CD ，以点C 为直角顶点，CD 为直角边作等腰直角DCE △，DE 交BC 于点F ．(1)如图1，若20B ∠=︒，当CDF 为等腰三角形时，请直接写出此时BDF ∠的度数； (2)如图2，若ED AB ⊥，点G 为EF 上一点，BD GE FG +=． △求证：BFD A ∠=∠； △求证：2AB FG =．4．如图，已知CD 是线段AB 的垂直平分线，垂足为D ，C 点在D 点上方，△BAC ＝30°，P 是直线CD 上一动点，E 是射线AC 上除A 点外的一点，PB ＝PE ，连接BE ．(1)如图1，若点P 与点C 重合，求△ABE 的度数；(2)如图2，若P 在C 点上方，试猜想线段PD ，AC ，CE 的数量关系并说明理由； (3)若AC ＝6，CE ＝2，则PD 的值为 ．（直接写出结果）5．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，△BAC ＝90°，BC ＝8cm ，过点C 作直线MN △BC ，动点D 从点C 开始沿射线CB 方向以每秒3厘米的速度运动，动点E 也同时从点C 开始在直线MN 上以每秒1厘米的速度向远离C 点的方向运动，分别连接AD ，AE ，设运动时间为()0t t >秒．(1)若点E在射线CM上，当t＝2时，直接写出CE，CD，BD的长；(2)在（1）的条件下，求证：△ABD△△ACE；(3)若点E在射线CN上，是否存在某一时刻t，使得△ABD和△ACE全等？若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由．6．如图，等边ABC的边长为7cm，现有两动点M，N分别从点A、B同时出发，沿三角形的边按照图中标识的方向运动，已知点M的速度为1cm/s，点N的速度为2.5cm/s，当点N第一次到达点B时，点M、N同时停止运动．(1)点M、N运动几秒后，M、N两点重合？(2)点M、N运动过程中，点M，N能否与ABC中的某一顶点构成等边三角形，若能求出对应的时间t，若不能请说明理由．(3)当点M、N在边BC上运动时，连接AM、AN，能否得到以MN为底边的等腰三角形AMN？若能，请求出此时MN的边长，若不能请说明理由．7．已知△ABC的三个内角均为60，且AB＝BC＝AC＝4cm，如图1，P、Q分别是边AB、BC上的动点，点P从顶点A、点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都是1cm/s，连接AQ、CP相交于点M．(1)试判断图1中AQ与CP的数量关系，并证明你的结论．(2)在图1上P、Q两点运动的过程中，△CMQ变化吗？若变化，请说明理由；若不变，求出△CMQ的度数．(3)如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ，CP交点为M，则△CMQ变化吗？若变化，请说明理由；若不变，求出△CMQ的度数．8．如图，边长为4cm的等边△ABC中，点P、Q分别是边AB、BC上的动点（端点除外），点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为1cm/s，连接AQ，CP 交于点M，在点P，Q运动的过程中．(1)求证：△ABQ△△CAP；(2)△QMC的大小是否发生变化？若无变化，求△QMC的度数；若有变化，请说明理由；(3)连接PQ，当点P，Q运动多少秒时，△PBQ是直角三角形？9．如图，在Rt△ABC中，△ACB＝90，△A＝30°，AC＝BC＝6，CD平分△ACB 交斜边AB于点D，动点P从点C出发，沿折线CA―AD向终点D运动．(1)点P 在CA 上运动的过程中，当CP ＝ 时，△CPD 与△CBD 的面积相等；（直接写出答案）(2)点P 在折线CA ―AD 上运动的过程中，若△CPD 是等腰三角形，求△CPD 的度数； (3)若点E 是斜边AB 的中点，当动点P 在CA 上运动时，线段CD 所在直线上存在另一动点M ，使两线段MP 、ME 的长度之和，即MP ＋ME 的值最小，则此时CP 的长度＝ ．（直接写出答案）10．如图，AB BC CD DA ===，60A ∠=︒，点E ，F 分别为线段AD ，CD 上的动点，且60EBF ∠=︒．(1)当BE AD ⊥时，求证：12AE AD =； (2)连接EF ，判断BEF △的形状，并作证明；(3)当AB 的长度为定值时，四边形BEDF 的面积是否为定值？请说明理由．11．如图1，在等边△ABC 中，点E 是边AC 上的一定点，过点E 作EH △AB ，交BC 于点H ．(1)求证：△CEH是等边三角形；(2)如图2，点D是射线BC上的一动点（不与点B，C重合），以DE为一边，在DE的右侧作等边△DEF．△当点D在边BC上（不与点H重合）时，求证：△DEH△△FEC．△当点D在射线BC上（不与点H重合）时，直接写出线段CE，CF，CD之间满足的数量关系．12．已知△ABC为等边三角形，边长为8，点D，E分别是边AB，BC上的动点，以DE 为边作等边三角形DEF．(1)如图1，若点F落在边AC上．△求证：AD＝BE；△当△BDE为直角三角形时，求BE的长．(2)如图2，当AD＝2BE时，点G为BC边的中点，求GF的最小值．13．△ABC是等边三角形，点D是AC边上动点，△CBD＝α（0°＜α＜30°），把△ABD 沿BD对折，得到△A′BD．(1)如图1，若α＝15°，则△CBA′＝．(2)如图2，点P在BD延长线上，且△DAP＝△DBC＝α．△试探究AP，BP，CP之间是否存在一定数量关系，猜想并说明理由．△若BP ＝10，CP ＝m ，求CA ′的长．（用含m 的式子表示）14．如图，在△ABC 中，△ACB ＝90°，AC ＝BC ，D 是边AB 上的动点，连接CD ，点B 关于直线CD 的对称点为E ，射线AE 与射线CD 交于点F ，设BCD α∠=．(1)△当20α=︒时，连接CE ．则△AFC 的大小是___________； △当45α<︒时，求AFC ∠的大小．(2)在△中△的条件下，若AD BC =，求证：AF CF =．15．如图，在△ABC 中，△ACB ＝90°，AC ＝BC ，D 是AB 边上的一个动点，连接CD ，点B 关于直线CD 的对称点为E ，射线AE 与射线CD 交于点F ．（1）连接CE ，求证：△CAE ＝△CEA （2）当BD ＜AD 时，求△AFC 的大小；（3）若AD ＝AC ，试猜想AE 与CD 的数量关系，并证明．16．如图，△ABC 中，AB ＝BC ＝CA ＝3，点D 是边AB 延长线上的一动点，分别以C ，D 为圆心，CD 长为半径作弧，两弧在CD 上方交于点E ，连接EB 并延长EB ，交过点A 且垂直于AD 的直线于点F ．(1)求证：EB＝DA；(2)当110DCA∠=时，求△DEF的度数；(3)在点D运动过程中，线段BF的长度是否会发生变化？若不会发生变化，则求出BF 的长度；若会发生变化，请说明理由．17．已知：如图，ABC中，AB＝AC，△A＝45°，E是AC上的一点，△ABE＝13△ABC，过点C作CD△AB于D，交BE于点P．(1)直接写出图中除ABC外的所有等腰三角形；(2)求证：BD＝12PC；(3)点H、G分别为AC、BC边上的动点，当DHG周长取取小值时，求△HDG的度数．18．如图，△ABC是等腰直角三角形，△ACB=90°，AB=6．动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度在射线AB上运动．点P出发后，连接CP，以CP为直角边向右作等腰直角三角形CDP，使△DCP=90°，连接PD，BD．设点P的运动时间为t秒．(1)△ABC 的AB 边上高为 ； (2)求BP 的长（用含t 的式子表示）； (3)就图中情形求证：△ACP △△BCD ； (4)当BP ：BD =1：2时，直接写出t 的值．19．如图1所示，在边长为6 cm 的等边△ABC 中，动点P 以1cm/s 的速度从点A 出发，沿线段AB 向点B 运动设点P 的运动时间为t （s ），t ＞0(1)当t ＝ 时，△P AC 是直角三角形；(2)如图2，若另一动点Q 从点C 出发，沿线段CA 向点A 运动，且动点P ，Q 均以1cm/s 的速度同时出发，那么当t 取何值时，△P AQ 是直角三角形？请说明理由；(3)如图3，若另一动点Q 从点C 出发，沿射线BC 方向运动，且动点P ，Q 均以1cm/s 的速度同时出发．当点P 到达终点B 时，点Q 也随之停止运动，连接PQ 交AC 于点D ，过点P 作PE △AC 于E ，试问线段DE 的长度是否变化？若变化，请说明如何变化；若不变，请求出DE 的长度．20．ABC 中，CD 平分ACB ∠，点E 是BC 上一动点，连接AE 交CD 于点D ．（1）如图1，若110ADC ∠=︒，AE 平分BAC ∠，则B ∠的度数为______；（2）如图2，若100ADC ∠=︒，53DCE ∠=︒，27B BAE ∠-∠=︒，则BAE ∠的度数为______；（3）如图3，在BC 的右侧过点C 作CF CD ⊥，交AE 延长线于点F ，且AC CF =，2B F ∠=∠．试判断AB 与CF 的位置关系，并证明你的结论．参考答案：1．(1)点C （3，7）；(3)2．2． (2)2； (3)23．(1)70︒4．(1)90°(2)PD 12+AC ＝CE ， (3)1或55．(1)CE ＝2cm ，CD ＝6cm ，BD ＝2cm(3)存在，t ＝46．(1)点M 、N 运动143秒后重合； (2)点M 、N 运动时间为2秒时，AMN 是等边三角形；点M 、N 运动时间为6秒时，CMN 是等边三角形；(3)当点M 、N 运动8秒时，AMN 是以MN 为底边等腰三角形．7．(1)AQ CP =(2)不变，60CMQ ∠=︒(3)不变，120CMQ ∠=︒8． (2)△QMC 的大小不发生变化，△QMC =60°； (3)43秒或83秒9．(1)6(2)45︒或90︒或67.5︒或37.5︒(3)310． (2)等边三角形，(3)是定值，11． (2)△线段CE ，CF ，CD 之间满足的数量关系为CD =CF +CE 或CD =CE -CF 或CD =CF -CE ．12．(1)；△BE ＝83或163； (2)213．(1)30°(2)△BP AP CP =+；△102m -14．(1)△45°；△45°15．（2）45°；（3）AE ＝CD ，16． (2)50°(3)不会，617．(1)△ADC ，△CPE ，△BCE 都是等腰三角形，(3)45°18．(1)3(2)当0＜t ≤3时，PB =6-2t ；当t ＞3时，PB =2t -6；(4)t 的值为2或6．19．(1)3(2)2或4，(3)不变化，3DE20．（1）40°；（2）10°；（3）AB△CF，。
人教版八年级上册数学期末动点问题压轴题专题训练(含解析)
人教版八年级上册数学期末动点问题压轴题专题训练(1)当时，点C 的坐标为 ．(2)动点A 在运动的过程中，试判断发生变化，请说明理由．(3)当时，在坐标平面内是否存在一点若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．(1)如图1，当点在边上时．①求证：；②求证：；(2)如图2，当点在边的延长线上时，其他条件不变，请写出2a =3a =D BC ABD ACE ≌△△BC DC CE =+D BC(1)请直接写出点A 和点B 的坐标；(2)请判断的形状并说明理由；(3)下列结论：①四边形为定值．请选择一个正确的结论并说明理由．(1)求证：；(2)求的面积；(3)点M ，N 分别是线段，上的动点，连接，求的最小值．DEF OEDF OEF DFE ∠+∠CD CE =CDE BC BD MN 12MN DN +(1)求出点的坐标.(2)求证：.(3)数学活动小组进行深入探究后发现变，你同意这个说法吗？请说明理由B OD BC =(1)如图①，请找出图中与相等的角，并说明理由；(2)如图②，交轴于点，过点作轴于点，求证：平分；(3)如图③，若，点在轴正半轴移动，且，取，连交轴OAB ∠BC x M C CD x ⊥,2D AM CD =AD BAC ∠()3,0A B y OB OA >()0,3P CP x边三角形，使其与点在直线的两侧，与直线相交于点（点与点A 不重合），连接．(1)如图，当时，①求证：；②在点A 运动的过程中，的度数是否会发生改变？如果会请说明理由，如果不会请求出的度数；(2)在点A 运动的过程中，试探究线段，，之间的数量关系．11．在平面直角坐标系中，点在轴的正半轴上，点在第一象限，，．(1)如图1，求证：是等边三角形；(2)如图1，若点M 为y 轴正半轴上一动点，以为边作等边三角形，连接并延长交轴于点，求证：；(3)如图2，若，，点为的中点，连接、交于，请问、与之间有何数量关系，并证明你的结论．12．在平面直角坐标系中，点A 为y 轴正半轴上一点，点B 为x 轴上一动点，连接ABD C AB DC l E E EB 120BAC ∠<︒ABE ACE =∠∠DCB ∠DCB ∠EA EB ED A y B OB AB =150BOP ∠=︒OAB BM BMN NA x P 2AP AO =BC BO ⊥BC BO =D CO AC DB E AE BE CE，以为腰作等腰，．(1)如图1，点B 在x 轴负半轴上，点C 的坐标是，直接写出点A 和点B 的坐标；(2)如图2，点B 在x 轴负半轴上，交x 轴于点D ，若平分．且点C 的纵坐标是，求线段的长；(3)如图3，点B 在x 轴正半轴上，以为边在左侧作等边，连接，，若，且，求的面积．13．等腰直角中，，，，点、分别是轴，轴上两个动点，直角边交轴于点，斜边交轴于点.(1)如图1，已知点的横坐标为，直接写出点的坐标；(2)如图2，若点为轴上的固定点，且，当点在轴正半轴运动时，分别以、为直角边在第一、二象限作等腰直角和等腰直角，连接交轴于点，问当点在轴的正半轴上运动时，的长度是否变化？若变化请说明理由；若不变化，请求出的长度.14．在平面直角坐标系中，点为坐标原点，点、分别位于轴和轴AB AB Rt ABC △90BAC ∠=︒(2,2)-AC BD ABC ∠3-BD BC BC BCE EO CO 60COE ∠=︒8CO =AOC ABC 90BAC ∠=︒AB AC =ABC C ∠=∠B A x y AC x D BC y E C 2-A A x ()6,0A -B y OB AB BOD ABC CD y P B y BP BP O ()6,0B -()0,6A x y上，连接，交轴于点．(1)求点的坐标；(2)动点从出发以个单位/秒的速度沿轴向终点运动，连接，将线段绕着点逆时针旋转后得到线段，与为对应点．连接、，为的面积，用含的式子表示；(3)在（）的条件下，连接，过点作于，交轴于，交于，若，求点的坐标．15．如图①，在中，，现有一动点，从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为秒．(1)如图①，当的面积等于面积的一半时，求的值：(2)如图②，点在边上，点在边上，在的边上，若另外有一个动点与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止．在两点运动过程中的某一时刻，以为顶点的三角形恰好与全等，求点的运动速度．16．如图，在平面直角坐标系中，，点在轴正半轴上，．AB CA AB ⊥x C C P B 2x C AP AP A 90︒AQ P Q PQ CQ S PCQ △t S 2BQ A AH BQ ⊥G x H PQ AC M :2:1APM AQM S S = H Rt ABC △90,12cm,16cm,20cm B AB BC AC ∠=︒===P A AB BC CA →→A 2cm /s t ABP ABC t D BC 4cm CD =E AC 5cm,,3cm CE ED BC ED =⊥=ABC Q P A AC CB BA →→A ,,A P Q EDC △Q ()0,9A B x 45OAB ∠=︒(1)求出点坐标；(2)动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿轴正半轴运动，同时点从点出发，以相同速度沿轴向左运动，连接，过点作交直线于点，连接，设点的运动时间为，请用含的式子表示的面积；(3)在(2)的条件下，直线与直线交于点，当时，求点坐标．17．已知中，，过点的直线交轴于，其中是方程组的解，(1)求的值(2)动点从点出发，沿线段以每秒1个单位的速度运动，运动时间为秒；请用含的式子表示线段的长度；并直接写出此时的取值范围；(3)在（2）的条件下，当为何值时，直线与直线互相垂直．18．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，直线交x 轴的正半轴于点A ，交y 轴的B P O 1y Q B x PQ O OG PQ ⊥AB G PG P t t OPG PQ AB H 72OPG S =△H AOB OA OB a ==A AM x (),0M b ,a b 3830a b a b +=⎧⎨+=⎩,a b P A AO t t OP t t BP AM AB(1)如图1求的长；(2)如图2动点E 在第二象限，点E 的坐标为，连接，，请写出面积s 与t 的关系；(3)在（2）的条件下，如图3点F 在第一象限，连接、、，，连接，当，求的值．OD (,)t m DE OE ODE FE FD FA 30ADF ∠=FE FA =EB 12,4EBO ODA ODA EFA EOB ∠=∠∠+∠=∠t m +参考答案：1．(1)(2)动点A 在运动的过程中，的值不变，(3)或或【分析】本题考查全等三角形判定及性质．（1）根据题意过点C 作轴于点，证明出，利用全等性质即可得到本题答案；（2）由（1）得，利用全等性质及点坐标表示线段长即可得到本题答案；（3）根据题意分3种情况讨论P 点位置，利用全等三角形性质及判定即可得到本题答案．【详解】（1）解：如下图，过点C 作轴于点E ，则，，∵是等腰直角三角形，∴，∴，∴．在和中，∴（AAS ），∵，∴，∴，∴；（2）解：动点A 在运动的过程中，的值不变．理由如下：(2,3)-+c d (4,)1-(3,2)--(2,1)-CE y ⊥E ACE BAO ≌ACE BAO ≌CE y ⊥CEA AOB ∠=∠ABC ,90AC BA BAC =∠︒＝90ACE CAE BAO CAE ∠+∠=︒=∠+∠ACE BAO ∠=∠ACE △BAO CEA AOB ACE BAOAC BA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ACE BAO ≌(0,1),(0,2)B A -12BO AE AO CE ====，123OE =+=2,3C -(）+c d由（1）知，，∵，，∴，∴，∴，又∵点C 的坐标为，∴，即的值不变；（3）解：存在一点P ，使与全等，符合条件的点P 的坐标是或或，分为三种情况讨论：①如下图，过点P 作轴于点E ，则，∴，∴，在和中，，∴（AAS ），∴，∴，即点P 的坐标是，②如下图，过点C 作轴于点M ，过点P 作轴于点E ，ACE BAO ≌(0,1)B (0,)A a -1,BO AE AO CE a ====1OE a =+(,1)C a a --(,)c d 11c d a a +=--=-+c d PAB ABC (4,)1-(3,2)--(2,1)-PE x ⊥90PBA AOB PEB ∠=∠=∠=︒90,90EPB PBE PBE ABO ∠+∠=︒∠+∠=︒EPB ABO ∠=∠PEB △BOA △EPB OBA PEB BOA PB BA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩PEB BOA △≌△1,3PE BO EB AO ====314OE =+=(4,)1-CM x ⊥PE x ⊥则．∵，∴，∴，∴，∴，在和中，，∴（AAS ），∴．∵，∴，即点P 的坐标是；③如下图，过点P 作轴于点E ，则．∵，∴，∴，90CMB PEB ∠=∠=︒CAB PAB △≌△45,PBA CBA BC BP ∠=∠=︒=90CBP ∠=︒90,90MCB CBM CBM PBE ∠+∠=︒∠+∠=︒MCB PBE ∠=∠CMB BEP △MCB EBP CMB BEP BC PB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩CMB BEP △≌△,PE BM CM BE ==3,4),10C B -(（，）2,413PE OE BE BO ==-=-=(3,2)--PE x ⊥90BEP BOA ∠=∠=︒CAB PBA △≌△,90AB BP CAB ABP =∠=∠=︒90,90ABO PBE PBE BPE ∠+∠=︒∠+∠=︒∴．在和中，，∴（AAS ），∴，∴，即点P 的坐标是，综上所述，符合条件的点P 的坐标是或或．2．(1)①见解析；②见解析；(2)，见解析【分析】本题主要考查了等边三角形，全等三角形．（1）①根据等边三角形的性质得出，，，根据得出，从而说明三角形全等；②根据全等的性质得出，然后根据即得；（2）根据等边三角形的性质得出，，，根据得出，从而说明，根据全等的性质得出，然后根据即得．【详解】（1）证明：①∵和是等边三角形，∴，，．∴，∴．在和中，，∴；②∵，ABO BPE ∠=∠BOA △PEB △ABO BPE BOA PEB BA PB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩BOA PEB △≌△1,3PE BO BE OA ====312OE BE BO =-=-=(2,1)-(4,)1-(3,2)--(2,1)-BC CD CE +=AB AC =AD AE =60BAC DAE ∠=∠=︒BAC DAC DAE DAC ∠-∠=∠-∠BAD EAC ∠=∠BD CE =BC BD CD =+AB AC =AD AE =60BAC DAE ∠=∠=︒BAC DAC DAE DAC ∠+∠=∠+∠BAD EAC ∠=∠ABD ACE ≌△△BD CE =+=BC CD BD ABC ADE V 60BAC DAE ∠=∠=︒AB BC AC ==AD DE AE ==BAC DAC DAE DAC ∠-∠=∠-∠BAD CAE ∠=∠ABD △ACE △AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()SAS ABD ACE △≌△ABD ACE ≌△△∵，，∴，∴是等腰直角三角形，即∵点D 是线段中点，∴，，(0,6)A (6,0)B 6O A O B ==AOB ∠AB OD AB ⊥12OD AD AB ==∠∵，，∴在中，∵在（1）中已求出根据翻折可知：、∴N 点关于的对称点H 在根据对称性有：∴，∴是等边三角形，∵N 点关于的对称点是点H ，3BD =30CBD ∠=︒DG Rt BDG △12DG BD =CE CD =11BDC BKC △BE BK DBC KBC ∠=∠60BDK DBC KBC ∠=∠+∠=︒BDK BE NH如图，，即：，在中，PNC DNC∠=∠24PNC αβ∠==2αβ=MCN DCM DCN x β∠=∠+∠=+MCN △180MCN DCN NMC ∠+∠+∠=2180x βαα+++=︒3180x βα++=︒解得：，．II．当点在线段上时，如图，，，即：，在中，，，即：联立得：，解得：，此时：，不合题意舍去；III ．当点在线段上时，如图，，52550x βα=︒⎧⎪=︒⎨⎪=︒⎩∴5DCM ∠=︒N PD 180PNC DNC ∠+∠=︒∴24180αβ+=︒290αβ+=︒∴MCN DCM DCN x β∠=∠+∠=+ CMN PCN MCN CMN x βα∠=∠+∠=++∴4180PCN NDC x βαβ∠+∠=+++=︒5180x βα++=︒2602905180x x ααββα+=︒⎧⎪+=︒⎨⎪++=︒⎩11.2526.2537.5x βα=︒⎧⎪=︒⎨⎪=︒⎩11.2526.5PCN DCN ∠=︒<∠=︒N DM PNC DNC ∠=∠【详解】（1）解：过点B 作轴于点D ，∵，∴，∵轴，∴，∵，∴，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴；（2）解：∵，∴，∴，∵轴，∴，∴，∴，在和中，BD y ⊥()()6,0,0,3A C -6,3OA OC ==BD y ⊥90BCD CBD ∠+∠=︒90ACB ∠=︒90BCD ACO ∠+∠=︒ACO CBD ∠=∠ACO △CBD △90AOC CDB ACO CBDAC BC ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩≌ACO CBD 6,3OA CD OC BD ====()0,3C ()3,3B -90ACB ∠=︒90BCF ∠=︒90CBF F ∠+∠=︒BE y ∥90AEF ∠=︒90CAD F ∠+∠=︒CAD CBF ∠=∠CAD CBF V∴，∴，∵，∴∴．【点睛】本题主要考查了三角形综合，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法，全等三角形对应边相等，对应角相等；折叠前后对应角相等；角平分线上的点到两边距离相等．7．(1)(2)见解析(3)的度数总是保持不变，理由见解析【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，坐标与图形；（1）根据等腰三角形的性质解答即可；（2）根据等式的性质得出，进而利用证明与全等，进而解答即可；（3）根据全等三角形的性质得出，进而利用平角的定义解答即可．【详解】（1）解：如图所示，过作轴于，()Rt Rt HL EFO EFN ≌FN FO =(),0F t FO t=-2FG HG t +=-()2,0-COD ∠BAC OAD ∠=∠SAS BAC OAD AOD ABO ∠=∠A AE x ⊥E），点C 是的中点，，D 作轴于点F ，，，4=AB 114222AB ==⨯=DF x ⊥90DFO =︒90FDO DOF +∠=︒），的坐标为，关于x 轴的对称点，则的坐标为，交x 轴于点，则为定值，此时的周长最小．作轴于点Q ，114222AB '==⨯=M '()0,2M '''M ''M AM ''P PAM C AM AP ''=+ AM 'PAM '△()4,4A -AQ y ⊥对于（3），作轴，先证明，可得，再得出，进而得出，根据等腰直角三角形的性质和判定即可得出答案．【详解】（1）．理由：，；（2）证明：如图②中，延长交的延长线于点．．∵，，，．，即．垂直平分，平分．（3）的长度不变，．理由：如图③中，过点作轴于点．．．CH y ⊥≌CHB BOA △△,3===CH BO BH OA 3==OA OP ==OB PH CH OAB OBC ∠=∠90,90OAB OBA OBC OBA ∠+∠=∠+∠=︒︒ OAB OBC ∴∠=∠AB CD T ,90,90,AD CD ADT T BAM BCT BAM ⊥∴∠=∴∠+∠=∴∠=∠︒︒ BC BA ===90CB T A B M ∠∠︒()CBT ABM ASA ∴≌△△CT AM ∴=2,2AM CD CT CD =∴= CD DT =,AD CT AD ⊥∴ CT ,AC AT AD ∴=∴BAC ∠OQ 3OQ =C CH y ⊥H 90,90CHB BOA HBC HCB ∴∠=∠=∴∠+∠=︒︒90,90,ABC OBA HBC HCB OBA ∠=∴∠+∠=︒︒∴∠=∠．．，．．，．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，同角的余角相等，线段垂直平分线的性质，等腰直角三角形的性质和判定等，构造辅助线是解题的关键．10．(1)①见解析；②不变，(2)或【分析】（1）①根据垂直平分线的性质得出，再由等边对等角及各角之间的数量关系求解即可；②设与交于点M ，根据等边三角形的性质及各角之间的关系得出，即可求解；（2）分两种情况进行分析：当时，当时，分别利用全等三角形的判定和性质及等边三角形的判定和性质分析求解即可．【详解】（1）证明：①点A 、E 在线段的垂直平分线l 上，∴，∴，∴，即；②在点A 运动的过程中，的度数不变，理由如下：如图，设与交于点M ，(),CB AB CHB BOA AAS =∴ ≌△△,3∴===CH BO BH OA ()()3,0,0,3,3A P OA OP ∴== ,BH OP OB PH CH ∴=∴==90,45CHP CPH OPQ ∠=∴∠=∠=︒︒ 90,45∠=∴∠=︒=︒∠ POQ OQP OPQ 3OQ OP ∴==30DCB ∠=︒ED EB EA =+EB ED EA=+AC AB EC EB ==，AB CD 260ECB ∠=︒120BAC ∠<︒120BAC ∠>︒BC ,AC AB EC EB ==,ABC ACB EBC ECB ∠∠∠∠==ABC EBC ACB EBC ∠∠∠∠-=-ABE ACE ∠∠=DCB ∠AB CD∵是等边三角形，∴ ，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴，即；（2）当时，在上截取，连接，∵，∴，由(1)得直线，，∴，∴是等边三角形，∴ ，∴，即，ABD ,60AB AD BAD ∠==︒AD AC =ADC ACE ∠∠=,ABE ADC EBC ECB ∠∠∠∠==,180,180AMD EMB BED ABE EMB BAD ADC AMD ∠∠∠∠∠∠∠∠==︒--=︒--60BED BAD ∠∠==︒,EBC ECB BED EBC ECB ∠∠∠∠∠+==260ECB ∠=︒30DCB ∠=︒120BAC ∠<︒ED EF EA =AF ED DF EF =+ED DF EA =+l BC ⊥30DCB ∠=︒903060AED ∠=︒-︒=︒AEF 60,EAF BAD AE AF ∠∠==︒=–EAF BAF BAD BAF ∠∠∠∠=-BAE DAF ∠∠=∴，∴，∵，∴；当时，如图所示在上截取，连接，∵，∴，由(1)得直线，，，∴，∴F 是等边三角形，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴；综上可得：或．【点睛】题目主要考查线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质等，理解题意，作出相应辅助线是解题关键，同时注意进行分类讨论．11．(1)见解析(2)见解析(3)，证明见解析【分析】（1）根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形可得结论；(SAS)BAE DAF ≌ EB DF =ED DF EA =+ED EB EA =+120BAC ∠>︒EB EF EA =AF EB BF EF =+EB BF EA =+l BC ⊥30DCB ∠=︒BE BC =903060AEB AEC ∠∠==︒-︒=︒AE 60,EAF BAD AE AF ∠∠==︒=–EAF DAF BAD DAF ∠∠∠∠-=EAD BAF ∠∠=(SAS)BAF DAE ≌ BF ED =EB BF EA =+EB ED EA =+ED EB EA =+EB ED EA =+AE BE CE =+60︒（2）根据证明，得，由8字形可得，最后由含角的直角三角形的性质可得结论；（3）如图2，在上截取，先证，方法是根据题意得到三角形为等边三角形，三角形为等腰直角三角形，确定出度数，根据，且，得到度数，进而确定出为，再由，得到，再由，且夹角，利用得到三角形与三角形全等，利用全等三角形的对应边相等得到，得到三角形为等边三角形，得到，由，等量代换即可得证．【详解】（1）解：证明：，，，，是等边三角形；（2）证明：由（1）知：是等边三角形，，是等边三角形，，，，，，，，，，，，SAS MBO NBA ≌OMB ANB ∠∠=60FAM FBN ∠∠==︒30︒AC AG CE =60AEB ∠=︒ABO BOC ABD ∠AB BC =150ABC ∠=︒BAE ∠AEB ∠60︒AG CE =AE CG =AB CB =BAC BCA ∠=∠SAS BCG BAE BG BE =BEG BE EG =AE EG AG =+150BOP ∠=︒ 90AOP ︒=∠60AOB ∴∠=︒OB AB = OAB ∴ OAB 60ABO ∴∠=︒BMN BM BN ∴=60MBN ∠=︒MBO NBA ∴∠=∠AB OB = (SAS)MBO NBA ∴△≌△OMB ANB ∴∠=∠AFM BFN ∠=∠ 60FAM FBN ∴∠=∠=︒60OAP FAM ∠=∠=︒ 90AOP ︒=∠30APO ∴∠=︒；（3），理由如下：如图2，在上截取，连接，，即，，，，为的中点，平分，即，，，，，，，在和中，，，，为等边三角形，，．【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，以及含角的直角三角形的性质，添加辅助线．12．(1)，2AP AO ∴=AE BE CE =+AC AG EC =BG AG EG CE EG +=+AE CG =BC BO ⊥ BC BO =90OBC ∴∠=︒D CO BD ∴OBC ∠45CBD OBD ∠=∠=︒60ABO ∠=︒ 105ABD ∴∠=︒150ABC ∠=︒AB OB BC == 15BAC BCA ∴∠=∠=︒154560AEB ∴∠=︒+︒=︒ABE CBG AB CB BAE BCG AE CG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩(SAS)ABE CBG ∴△≌△BG BE ∴=BEG ∴△BE EG ∴=AE AG EG CE BE ∴=+=+30︒()02A ，()40B -，∴，∵∴，∵，∴，，90ADC BOA ∠=︒=∠90CAD BAO ABO ∠+∠=︒=∠CAD ABO ∠=∠(2,2)C -2CD =2OD =∴，，∴，；（2）解：如图2，作轴，交轴于，交的延长线于，∴，∵平分，∴，，，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，∴的长为6；（3）解：∵为等边三角形，∴，，如图3，在上截取，使，连接，2AO CD ==4BO AD AO OD ==+=()02A ，()40B -，CM x ⊥x N BA M 90BNM BNC ∠=︒=∠BD ABC ∠MBN CBN ∠=∠BN BN =90BNM BNC ∠=︒=∠()ASA MBN CBN ≌3MN CN ==∥CM AO ACM CAO ∠=∠90CAO BAO ABD BAO ∠+∠=︒=∠+∠CAO ABD ∠=∠ACM ABD ∠=∠AC AB =90MAC DAB ∠=︒=∠()ASA ACM ABD ≌6BD CM CN MN ==+=BD BCE BE CE =60BEC EBC ECB ∠=∠=∠=︒OC OF OF OE =EF∴是等边三角形，∴，∴∵，∴，∴，OEF OE EF =60OEF ∠=︒=∠OEF BEF BEC ∠-∠=∠-∠OE EF =BEO CEF ∠=∠()SAS BEO CEF ≌OBE FCE ∠=∠13．(1)(2)【分析】（1）如图①,过作 轴于, 证明可得从而可得答案；（2）如图①,过点作 轴于点.证明 ,可得 ,再证明,从而可得: .【详解】（1）解: 如图①,过作 轴于，∴,∵,∴,∴,∵,∴.∴,，∴，∴，故答案为 : .（2）的长度不变,理由如下:如图②, 过点作 轴于点.()0,23BP =C CF y ⊥F ,ACF BAO ≌CF AO =C CE y ⊥E CBE BAO ≌,6CE BO BE AO ===CPE DPB ≌3BP EP ==C CF y ⊥F 90,90CFA AOB ACF CAF ∠=∠=︒∠+∠=︒90BAC ∠=︒90CAF OAB ∠+∠=︒ACF OAB ∠=∠AC AB =()AAS ACF BAO ≌CF AO =2c x =- 2CF AO ==()0,2A ()0,2BP C CE y ⊥E∵ ,∴∵∴ .∵90ABC ∠=︒90CBE ABO ∠+∠=︒90BAO ABO ∠+∠=︒CBE BAO ∠=∠90CEB AOB ∠=∠=∵，∴，在和中，90BAC PAQ ∠=∠=︒BAP CAQ ∠=∠BAP △CAQ AB AQ =⎧∴四边形为正方形，∴，过作于点，∵AOCN 6OA CN OC ===T TL CN ⊥L AH BQ⊥AOH TLQ ≌∴，解得；②当点在上，点∴，解得；3AP DE cm AQ EC ===，352x =103x =cm/s P AB 5AP EC cm AQ ==，532x =65x =cm/s∴点P 的路程为∴点P 的路程为3AP ED AQ EC ===，AB +1216205AQ =++-=4543x =5AP EC cm AQ ==，AB +1216203AQ =++-=4345x =从出发，以每小时从出发，以相同速度沿，①当在线段上时，P O Q B OQ ∴=AP =t P AO，等腰，，设，，为的一个外角，RO PO ∴=∴POR 45R BAO ∴∠=∠=︒QPO α∠=45RPQ α∴∠=︒-QON BOG α∠==∠ABO ∠ OBG，，，，90HTA ∴∠=︒45HAT OAB ∠=∠=︒45HAT AHT ∴∠=∠=︒HT AT ∴=由（1）知，，则，∵直线与直线互相垂直，∴，()1.0M -1OM =BP AM 90MNB ∠=︒。
八年级上册武汉数学压轴题 期末复习试卷达标检测卷(Word版 含解析)
八年级上册武汉数学压轴题期末复习试卷达标检测卷（Word版含解析）一、压轴题1．如图，直线l1：y1=﹣x+2与x轴，y轴分别交于A，B两点，点P（m，3）为直线l1上一点，另一直线l2：y2=12x+b过点P．（1）求点P坐标和b的值；（2）若点C是直线l2与x轴的交点，动点Q从点C开始以每秒1个单位的速度向x轴正方向移动．设点Q的运动时间为t秒．①请写出当点Q在运动过程中，△APQ的面积S与t的函数关系式；②求出t为多少时，△APQ的面积小于3；③是否存在t的值，使△APQ为等腰三角形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．2．（1）在等边三角形ABC中，①如图①，D，E分别是边AC，AB上的点且AE=CD，BD与EC交于点F，则∠BFE的度数是度；②如图②，D，E分别是边AC，BA延长线上的点且AE=CD，BD与EC的延长线交于点F，此时∠BFE的度数是度；（2）如图③，在△ABC中，AC=BC，∠ACB是锐角，点O是AC边的垂直平分线与BC的交点，点D，E分别在AC，OA的延长线上，AE=CD，BD与EC的延长线交于点F，若∠ACB=α，求∠BFE的大小．（用含α的代数式表示）．3．如图1．在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=10，直线DE经过点C，过点A，B分别作AD⊥DE，BE⊥DE，垂足分别为点D和E，AD=8，BE=6．（1）①求证：△ADC≌△CEB；②求DE的长；（2）如图2，点M以3个单位长度/秒的速度从点C出发沿着边CA运动，到终点A，点N 以8个单位长度/秒的速度从点B出发沿着线BC—CA运动，到终点A．M，N两点同时出发，运动时间为t秒(t＞0)，当点N到达终点时，两点同时停止运动，过点M作PM⊥DE 于点P，过点N作QN⊥DE于点Q；①当点N在线段CA上时，用含有t的代数式表示线段CN的长度；②当t为何值时，点M与点N重合；③当△PCM与△QCN全等时，则t=．4．已知在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α，直线l经过点A（不经过点B或点C），点C关于直线l的对称点为点D，连接BD，CD．（1）如图1，①求证：点B，C，D在以点A为圆心，AB为半径的圆上；②直接写出∠BDC的度数（用含α的式子表示）为；（2）如图2，当α=60°时，过点D作BD的垂线与直线l交于点E，求证：AE=BD；（3）如图3，当α=90°时，记直线l与CD的交点为F，连接BF．将直线l绕点A旋转的过程中，在什么情况下线段BF的长取得最大值？若AC2a，试写出此时BF的值．∆中，线段AM为BC边上的中线．动点D在直线AM上时，以5．如图，在等边ABC∆，连结BE．CD为一边在CD的下方作等边CDE∠的度数；（1）求CAM∆≅∆；（2）若点D在线段AM上时，求证：ADC BEC∠是否（3）当动点D在直线AM上时，设直线BE与直线AM的交点为O，试判断AOB为定值？并说明理由．6．问题情景：数学课上，老师布置了这样一道题目，如图1，△ABC是等边三角形，点D 是BC的中点，且满足∠ADE＝60°，DE交等边三角形外角平分线于点E．试探究AD与DE 的数量关系．操作发现：（1）小明同学过点D作DF∥AC交AB于F，通过构造全等三角形经过推理论证就可以解决问题，请您按照小明同学的方法确定AD与DE的数量关系，并进行证明．类比探究：（2）如图2，当点D是线段BC上任意一点(除B、C外)，其他条件不变，试猜想AD与DE之间的数量关系，并证明你的结论．拓展应用：（3）当点D在线段BC的延长线上，且满足CD＝BC，在图3中补全图形，直接判断△ADE的形状(不要求证明)．7．（阅读材科）小明同学发现这样一个规律：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的项角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来则形成一组全等的三角形，小明把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形．如图1，在“手拉手”图形中，小明发现若∠BAC=∠DAE，AB=AC，AD=AE，则△ABD≌△ACE．（材料理解）（1）在图1中证明小明的发现．（深入探究）（2）如图2，△ABC和△AED是等边三角形，连接BD，EC交于点O，连接AO，下列结论：①BD=EC；②∠BOC=60°；③∠AOE=60°；④EO=CO，其中正确的有．(将所有正确的序号填在横线上)．（延伸应用）（3）如图3，AB=BC，∠ABC=∠BDC=60°，试探究∠A与∠C的数量关系．8．如图1，在等边△ABC中，E、D两点分别在边AB、BC上，BE=CD，AD、CE相交于点F．（1）求∠AFE的度数；（2）过点A作AH⊥CE于H，求证：2FH+FD=CE；（3）如图2，延长CE至点P，连接BP，∠BPC=30°，且CF=29CP，求PFAF的值．（提示：可以过点A作∠KAF=60°，AK交PC于点K，连接KB）9．如图，在平面直角坐标系中，直线AB经过点A 332)和B30)，且与y轴交于点D，直线OC与AB交于点C，且点C3．(1)求直线AB的解析式；(2)连接OA，试判断△AOD的形状；(3)动点P从点C出发沿线段CO以每秒1个单位长度的速度向终点O运动，运动时间为t 秒，同时动点Q从点O出发沿y轴的正半轴以相同的速度运动，当点Q到达点D时，P，Q 同时停止运动．设PQ 与OA 交于点M ，当t 为何值时，△OPM 为等腰三角形？求出所有满足条件的t 值．10．如图，以ABC 的边AB 和AC ，向外作等腰直角三角形ABE △和ACF ，连接EF ，AD 是ABC 的高，延长DA 交EF 于点G ，过点F 作DG 的垂线交DG 于点H ．（1）求证：FHA ADC ≌△△； （2）求证：点G 是EF 的中点．11．在等腰Rt △ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°（1）如图1，D ，E 是等腰Rt △ABC 斜边BC 上两动点，且∠DAE ＝45°，将△ABE 绕点A 逆时针旋转90后，得到△AFC ，连接DF ①求证：△AED ≌△AFD ；②当BE ＝3，CE ＝7时，求DE 的长；（2）如图2，点D 是等腰Rt △ABC 斜边BC 所在直线上的一动点，连接AD ，以点A 为直角顶点作等腰Rt △ADE ，当BD ＝3，BC ＝9时，求DE 的长．12．定义：若两个三角形，有两边相等且其中一组等边所对的角对应相等，但不是全等三角形，我们就称这两个三角形为偏差三角形．（1）如图1，已知A （3，2），B （4，0），请在x 轴上找一个C ，使得△OAB 与△OAC 是偏差三角形．你找到的C 点的坐标是______，直接写出∠OBA 和∠OCA 的数量关系______．（2）如图2，在四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD ，∠D+∠B=180°，问△ABC 与△ACD 是偏差三角形吗？请说明理由．（3）如图3，在四边形ABCD 中，AB=DC ，AC 与BD 交于点P ，BD+AC=9，∠BAC+∠BDC=180°，其中∠BDC ＜90°，且点C 到直线BD 的距离是3，求△ABC 与△BCD 的面积之和．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、压轴题1．（1）b=72；（2）①△APQ 的面积S 与t 的函数关系式为S=﹣32t +272或S=32t ﹣272；②7＜t ＜9或9＜t ＜11，③存在，当t 的值为3或9+2或9﹣2或6时，△APQ 为等腰三角形． 【解析】分析：（1）把P (m ,3)的坐标代入直线1l 的解析式即可求得P 的坐标，然后根据待定系数法即可求得b ；（2）根据直线2l 的解析式得出C 的坐标，①根据题意得出9AQ t =-，然后根据12P S AQ y =⋅即可求得APQ 的面积S 与t 的函数关系式；②通过解不等式273322t -<或327 3.22t -<即可求得7<t <9或9<t <11.时，APQ 的面积小于3；③分三种情况：当PQ =PA 时,则()()()2222(71)032103,t -++-=++-当AQ =PA 时,则()()222(72)2103,t --=++-当PQ =AQ 时,则()222(71)03(72)t t -++-=--， 即可求得．详解：解;(1)∵点P (m ,3)为直线l 1上一点， ∴3=−m +2，解得m =−1， ∴点P 的坐标为(−1,3)， 把点P 的坐标代入212y x b =+ 得,()1312b =⨯-+， 解得72b =； (2)∵72b =； ∴直线l 2的解析式为y =12x +72， ∴C 点的坐标为(−7,0)，①由直线11:2l y x =-+可知A (2,0)， ∴当Q 在A . C 之间时，AQ =2+7−t =9−t ，∴11273(9)32222S AQ yP t t =⋅=⨯-⨯=-； 当Q 在A 的右边时，AQ =t −9，∴11327(9)32222S AQ yP t t ；=⋅=⨯-⨯=- 即△APQ 的面积S 与t 的函数关系式为27322S t =-或327.22S t =- ②∵S <3，∴273322t -<或3273.22t -< 解得7<t <9或9<t <11.③存在； 设Q (t −7,0)，当PQ =PA 时,则()()()2222(71)032103,t -++-=++-∴22(6)3t -=,解得t =3或t =9(舍去)，当AQ =PA 时,则()()222(72)2103,t --=++-∴2(9)18,t -=解得9t =+9t =- 当PQ =AQ 时,则()222(71)03(72)t t -++-=--，∴22(6)9(9)t t -+=-，解得t =6.故当t 的值为3或9+9-6时，△APQ 为等腰三角形．点睛：属于一次函数综合题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求函数解析式，等腰三角形的性质以及三角形的面积,分类讨论是解题的关键.2．（1）①60°；②60°；（2）∠BFE =α．【解析】【分析】（1）①先证明△ACE≌△CBD得到∠ACE=∠CBD，再由三角形外角和定理可得∠BFE=∠CBD+∠BCF；②先证明△ACE≌△CBD得∠ACE=∠CBD=∠DCF，再由三角形外角和定理可得∠BFE=∠D+∠DCF=∠D+∠CBD=∠BCA；（2）证明△AEC≌△CDB得到∠E=∠D，则∠BFE=∠D+∠DCF=∠E+∠ECA=∠OAC=α．【详解】（1）如图①中，∵△ABC是等边三角形，∴AC=CB，∠A=∠BCD=60°，∵AE=CD，∴△ACE≌△CBD，∴∠ACE=∠CBD，∴∠BFE=∠CBD+∠BCF=∠ACE+∠BCF=∠BCA=60°．故答案为60．（2）如图②中，∵△ABC是等边三角形，∴AC=CB，∠A=∠BCD=60°，∴∠CAE=∠BCD=′120°∵AE=CD，∴△ACE≌△CBD，∴∠ACE=∠CBD=∠DCF，∴∠BFE=∠D+∠DCF=∠D+∠CBD=∠BCA=60°．故答案为60．（3）如图③中，∵点O是AC边的垂直平分线与BC的交点，∴OC=OA，∴∠EAC=∠DCB=α，∵AC=BC，AE=CD，∴△AEC≌△CDB，∴∠E=∠D，∴∠BFE=∠D+∠DCF=∠E+∠ECA=∠OAC=α．【点睛】本题综合考查了三角形全等以及三角形外角和定理.3．（1）①证明见解析；②DE=14；（2）①8t－10；②t=2；③t=10,2 11【解析】【分析】（1）①先证明∠DAC＝∠ECB，由AAS即可得出△ADC≌△CEB；②由全等三角形的性质得出AD＝CE＝8，CD＝BE＝6，即可得出DE＝CD＋CE＝14；（2）①当点N在线段CA上时，根据CN＝CN−BC即可得出答案；②点M与点N重合时，CM＝CN，即3t＝8t−10，解得t＝2即可；③分两种情况：当点N在线段BC上时，△PCM≌△QNC，则CM＝CN，得3t＝10−8t，解得t＝1011；当点N在线段CA上时，△PCM≌△QCN，则3t＝8t−10，解得t＝2；即可得出答案．【详解】（1）①证明：∵AD⊥DE，BE⊥DE，∴∠ADC＝∠CEB＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠DAC＋∠DCA＝∠DCA＋∠BCE＝90°，∴∠DAC＝∠ECB，在△ADC和△CEB中ADC CEBDAC ECBAC CB∠∠∠∠⎧⎪⎨⎪⎩＝＝＝，∴△ADC≌△CEB（AAS）；②由①得：△ADC≌△CEB，∴AD＝CE＝8，CD＝BE＝6，∴DE＝CD＋CE＝6＋8＝14；（2）解：①当点N在线段CA上时，如图3所示：CN＝CN−BC＝8t−10；②点M与点N重合时，CM＝CN，即3t＝8t−10，解得：t＝2，∴当t为2秒时，点M与点N重合；③分两种情况：当点N在线段BC上时，△PCM≌△QNC，∴CM＝CN，∴3t＝10−8t，解得：t＝1011；当点N在线段CA上时，△PCM≌△QCN，点M与N重合，CM＝CN，则3t＝8t−10，解得：t＝2；综上所述，当△PCM与△QCN全等时，则t等于1011s或2s，故答案为：1011s或2s．【点睛】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、直角三角形的性质、分类讨论等知识；本题综合性强，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．4．（1）①详见解析；②12α；（2）详见解析；（3）当B、O、F三点共线时BF最长，(10+2)a【解析】【分析】（1）①由线段垂直平分线的性质可得AD=AC=AB ，即可证点B ，C ，D 在以点A 为圆心，AB 为半径的圆上；②由等腰三角形的性质可得∠BAC=2∠BDC ，可求∠BDC 的度数；（2）连接CE ，由题意可证△ABC ，△DCE 是等边三角形，可得AC=BC ，∠DCE=60°=∠ACB ，CD=CE ，根据“SAS”可证△BCD ≌△ACE ，可得AE=BD ；（3）取AC 的中点O ，连接OB ，OF ，BF ，由三角形的三边关系可得，当点O ，点B ，点F 三点共线时，BF 最长，根据等腰直角三角形的性质和勾股定理可求10BO a =，2OF OC a ==，即可求得BF【详解】（1）①连接AD ，如图1．∵点C 与点D 关于直线l 对称，∴AC = AD ．∵AB = AC ，∴AB = AC = AD ．∴点B ，C ，D 在以A 为圆心，AB 为半径的圆上．②∵AD=AB=AC ，∴∠ADB=∠ABD ，∠ADC=∠ACD ，∵∠BAM=∠ADB+∠ABD ，∠MAC=∠ADC+∠ACD ，∴∠BAM=2∠ADB ，∠MAC=2∠ADC ，∴∠BAC=∠BAM+∠MAC=2∠ADB+2∠ADC=2∠BDC=α∴∠BDC=12α 故答案为：12α． （2连接CE ，如图2．∵∠BAC=60°，AB=AC，∴△ABC是等边三角形，∴BC=AC，∠ACB=60°，∵∠BDC=1α，2∴∠BDC=30°，∵BD⊥DE，∴∠CDE=60°，∵点C关于直线l的对称点为点D，∴DE=CE，且∠CDE=60°∴△CDE是等边三角形，∴CD=CE=DE，∠DCE=60°=∠ACB，∴∠BCD=∠ACE，且AC=BC，CD=CE，∴△BCD≌△ACE（SAS）∴BD=AE，（3）如图3，取AC的中点O，连接OB，OF，BF，，F是以AC为直径的圆上一点，设AC中点为O，∵在△BOF中，BO+OF≥BF，当B、O、F三点共线时BF最长；如图，过点O作OH⊥BC，∵∠BAC=90°，2a，∴24BC AC a==，∠ACB=45°，且OH⊥BC，∴∠COH=∠HCO=45°，∴OH=HC，∴2=，OC HC∵点O是AC中点，AC2a，∴2=，OC a==，∴OH HC a∴BH=3a，∴BO =，∵点C 关于直线l 的对称点为点D ，∴∠AFC=90°，∵点O 是AC 中点，∴OF OC ==，∴BF a =， ∴当B 、O 、F 三点共线时BF 最长；最大值为)a ．【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，三角形的三边关系，灵活运用相关的性质定理、综合运用知识是解题的关键．5．（1）30°；（2）证明见解析；（3）AOB ∠是定值，60AOB ∠=︒.【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质可以直接得出结论；（2）根据等边三角形的性质就可以得出AC AC =，DC EC =，，60ACB DCE ∠=∠=︒，由等式的性质就可以BCE ACD ∠=∠，根据SAS 就可以得出ADC BEC ∆≅∆；（3）分情况讨论：当点D 在线段AM 上时，如图1，由（2）可知ACD BCE ≅∆∆，就可以求出结论；当点D 在线段AM 的延长线上时，如图2，可以得出ACD BCE ≅∆∆而有30CBE CAD ∠=∠=︒而得出结论；当点D 在线段MA 的延长线上时，如图3，通过得出ACD BCE ≅∆∆同样可以得出结论．【详解】（1）ABC ∆是等边三角形，60BAC ∴∠=︒．线段AM 为BC 边上的中线，12CAM BAC ∴∠=∠， 30CAM ∴∠=︒．（2）ABC ∆与DEC ∆都是等边三角形，AC BC ∴=，CD CE =，60ACB DCE ∠=∠=︒，ACD DCB DCB BCE ∴∠+∠=∠+∠，ACD BCE ∠∠∴=．在ADC ∆和BEC ∆中AC BC ACD BCE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ACD BCE SAS ∴∆≅∆；（3）AOB ∠是定值，60AOB ∠=︒，理由如下：①当点D 在线段AM 上时，如图1，由（2）可知ACD BCE ≅∆∆，则30CBE CAD ∠=∠=︒，又60ABC ∠=︒，603090CBE ABC ∴∠+∠=︒+︒=︒，ABC ∆是等边三角形，线段AM 为BC 边上的中线AM ∴平分BAC ∠，即11603022BAM BAC ∠=∠=⨯︒=︒ 903060BOA ∴∠=︒-︒=︒．②当点D 在线段AM 的延长线上时，如图2，ABC ∆与DEC ∆都是等边三角形，AC BC ∴=，CD CE =，60ACB DCE ∠=∠=︒，ACB DCB DCB DCE ∴∠+∠=∠+∠，ACD BCE ∠∠∴=，在ACD ∆和BCE ∆中AC BC ACD BCE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ACD BCE SAS ∴∆≅∆，30CBE CAD ∴∠=∠=︒，同理可得：30BAM ∠=︒，903060BOA ∴∠=︒-︒=︒．③当点D 在线段MA 的延长线上时，ABC ∆与DEC ∆都是等边三角形，AC BC ∴=，CD CE =，60ACB DCE ∠=∠=︒，60ACD ACE BCE ACE ∴∠+∠=∠+∠=︒，ACD BCE ∠∠∴=，在ACD ∆和BCE ∆中AC BC ACD BCE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ACD BCE SAS ∴∆≅∆，CBE CAD ∴∠=∠，同理可得：30CAM ∠=︒150CBE CAD ∴∠=∠=︒30CBO ∴∠=︒，∵30BAM ∠=︒，903060BOA ∴∠=︒-︒=︒．综上，当动点D 在直线AM 上时，AOB ∠是定值，60AOB ∠=︒．【点睛】此题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定及性质，等边三角形三线合一的性质，解题中注意分类讨论的思想解题.6．（1）AD ＝DE ，见解析；（2）AD ＝DE ，见解析；（3）见解析，△ADE 是等边三角形，【解析】【分析】（1）根据题意，通过平行线的性质及等边三角形的性质证明ADF EDC ∆∆≌即可得解； （2）根据题意，通过平行线的性质及等边三角形的性质证明AFD DCE ∆∆≌即可得解； （3）根据垂直平分线的性质及等边三角形的判定定理进行证明即可.【详解】（1）如下图，数量关系：AD ＝DE .证明：∵ABC ∆是等边三角形∴AB ＝BC ，60B BAC BCA ∠∠∠︒＝＝＝∵DF ∥AC∴BFD BAC ∠∠＝，∠BDF ＝∠BCA∴60B BFD BDF ∠∠∠︒＝＝＝∴BDF ∆是等边三角形，120AFD ∠︒＝∴DF ＝BD∵点D 是BC 的中点∴BD ＝CD∴DF ＝CD∵CE是等边ABC∆的外角平分线∴120DCE AFD∠︒∠＝＝∵ABC∆是等边三角形，点D是BC的中点∴AD⊥BC∴90ADC∠︒＝∵60BDF ADE∠∠︒＝＝∴30ADF EDC∠∠︒＝＝在ADF∆与EDC∆中AFD ECDDF CDADF EDC∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝∴()ADF EDC ASA∆∆≌∴AD＝DE；（2）结论：AD＝DE.证明：如下图，过点D作DF∥AC，交AB于F ∵ABC∆是等边三角形∴AB＝BC，60B BAC BCA∠∠∠︒＝＝＝∵DF∥AC∴BFD BAC BDF BCA∠∠∠∠＝，＝∴60B BFD BDF∠∠∠︒＝＝＝∴BDF∆是等边三角形，120AFD∠︒＝∴BF＝BD∴AF＝DC∵CE是等边ABC∆的外角平分线∴120DCE AFD∠︒∠＝＝∵∠ADC是ABD∆的外角∴60ADC B FAD FAD∠∠∠︒∠＝＋＝＋∵60ADC ADE CDE CDE ∠∠∠︒∠＝＋＝＋∴∠FAD＝∠CDE在AFD∆与DCE∆中AFD DCEAF CDFAD EDC∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝∴()AFD DCE ASA∆∆≌∴AD＝DE；（3）如下图，ADE∆是等边三角形.证明：∵BC CD=∴AC CD=∵CE平分ACD∠∴CE垂直平分AD∴AE=DE∵60ADE∠=︒∴ADE∆是等边三角形.【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质及判定，三角形全等的判定及性质，平行线的性质，垂直平分线的性质等相关内容，熟练掌握三角形综合解决方法是解决本题的关键.7．（1）证明见解析；（2）①②③；（3）∠A+∠C=180°．【解析】【分析】（1）利用等式的性质得出∠BAD=∠CAE，即可得出结论；（2）同（1）的方法判断出△ABD≌△ACE，得出BD=CE，再利用对顶角和三角形的内角和定理判断出∠BOC=60°，再判断出△BCF≌△ACO，得出∠AOC=120°，进而得出∠AOE=60°，再判断出BF＜CF，进而判断出∠OBC＞30°，即可得出结论；（3）先判断出△BDP是等边三角形，得出BD=BP，∠DBP=60°，进而判断出△ABD≌△CBP （SAS），即可得出结论．【详解】（1）证明：∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，∴∠BAD=∠CAE，在△ABD和△ACE中，AB ACBAD CAEAD AE⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△ABD≌△ACE；（2）如图2，∵△ABC 和△ADE 是等边三角形，∴AB=AC ，AD=AE ，∠BAC=∠DAE=60°，∴∠BAD=∠CAE ，在△ABD 和△ACE 中，AB AC BAD CAE AD AE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ， ∴△ABD ≌△ACE ，∴BD=CE ，①正确，∠ADB=∠AEC ，记AD 与CE 的交点为G ，∵∠AGE=∠DGO ，∴180°-∠ADB-∠DGO=180°-∠AEC-∠AGE ，∴∠DOE=∠DAE=60°，∴∠BOC=60°，②正确，在OB 上取一点F ，使OF=OC ，∴△OCF 是等边三角形，∴CF=OC ，∠OFC=∠OCF=60°=∠ACB ，∴∠BCF=∠ACO ，∵AB=AC ，∴△BCF ≌△ACO （SAS ），∴∠AOC=∠BFC=180°-∠OFC=120°，∴∠AOE=180°-∠AOC=60°，③正确，连接AF ，要使OC=OE ，则有OC=12CE ， ∵BD=CE ， ∴CF=OF=12BD ， ∴OF=BF+OD ，∴BF ＜CF ， ∴∠OBC ＞∠BCF ，∵∠OBC+∠BCF=∠OFC=60°，∴∠OBC ＞30°，而没办法判断∠OBC 大于30度，所以，④不一定正确，即：正确的有①②③，故答案为①②③；（3）如图3，延长DC 至P ，使DP=DB ，∵∠BDC=60°，∴△BDP 是等边三角形，∴BD=BP ，∠DBP=60°，∵∠BAC=60°=∠DBP ，∴∠ABD=∠CBP ，∵AB=CB ，∴△ABD ≌△CBP （SAS ），∴∠BCP=∠A ，∵∠BCD+∠BCP=180°，∴∠A+∠BCD=180°． 【点睛】此题考查三角形综合题，等腰三角形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，构造等边三角形是解题的关键．8．（1）∠AFE =60°；（2）见解析；（3）75【解析】【分析】（1）通过证明 BCE CAD ≌ 得到对应角相等，等量代换推导出60AFE ∠=︒；（2）由（1）得到60AFE ∠=︒，CE AD = 则在Rt AHF △ 中利用30°所对的直角边等于斜边的一半，等量代换可得；（3）通过在PF 上取一点K 使得KF =AF ，作辅助线证明ABK 和ACF 全等，利用对应边相等，等量代换得到比值.(通过将ACF 顺时针旋转60°也是一种思路.)【详解】（1）解：如图1中．∵ABC 为等边三角形，∴AC =BC ，∠BAC =∠ABC =∠ACB =60°， 在BCE 和CAD 中，60BE CD CBE ACD BC CA =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴ BCE CAD ≌（SAS ），∴∠BCE =∠DAC ，∵∠BCE +∠ACE =60°，∴∠DAC +∠ACE =60°，∴∠AFE =60°．（2）证明：如图1中，∵AH ⊥EC ，∴∠AHF =90°，在Rt △AFH 中，∵∠AFH =60°，∴∠FAH =30°，∴AF =2FH ，∵ EBC DCA ≌，∴EC =AD ，∵AD =AF +DF =2FH +DF ，∴2FH +DF =EC ．（3）解：在PF 上取一点K 使得KF =AF ，连接AK 、BK ，∵∠AFK =60°，AF =KF ，∴△AFK 为等边三角形，∴∠KAF =60°，∴∠KAB =∠FAC ，在ABK 和ACF 中，AB AC KAB ACF AK AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴ ABK ACF ≌(SAS )，BK CF =∴∠AKB =∠AFC =120°，∴∠BKE =120°﹣60°=60°，∵∠BPC =30°，∴∠PBK =30°， ∴29BK CF PK CP ===， ∴79PF CP CF CP =-=， ∵45()99AF KF CP CF PK CP CP CP ==-+=-= ∴779559CP PF AF CP == . 【点睛】掌握等边三角形、直角三角形的性质，及三角形全等的判定通过一定等量代换为本题的关键.9．（1）y+2；（2）△AOD 为直角三角形，理由见解析；（3）t ＝23． 【解析】【分析】（1）将点A 、B 的坐标代入一次函数表达式：y ＝kx +b ，即可求解；（2）由点A 、O 、D 的坐标得：AD 2＝1，AO 2＝3，DO 2＝4，故DO 2＝OA 2+AD 2，即可求解； （3）点C，1），∠DBO ＝30°，则∠ODA ＝60°，则∠DOA ＝30°，故点C1），则∠AOC ＝30°，∠DOC ＝60°，OQ ＝CP ＝t ，则OP ＝2﹣t ．①当OP ＝OM 时，OQ ＝QH +OH，即2（2﹣t ）+12（2﹣t ）＝t ，即可求解；②当MO ＝MP 时，∠OQP ＝90°，故OQ ＝12O P ，即可求解；③当PO ＝PM 时，故这种情况不存在． 【详解】 解：（1）将点A 、B 的坐标代入一次函数表达式：y ＝kx +b 得：3=220k b b ⎧+⎪⎨⎪=+⎩，解得：3=2kb⎧⎪⎨⎪=⎩－故直线AB的表达式为：y＝﹣33x+2；（2）直线AB的表达式为：y＝﹣3x+2，则点D（0，2），由点A、O、D的坐标得：AD2＝1，AO2＝3，DO2＝4，故DO2＝OA2+AD2，故△AOD为直角三角形；（3）直线AB的表达式为：y＝﹣3x+2，故点C（3，1），则OC＝2，则直线AB的倾斜角为30°，即∠DBO＝30°，则∠ODA＝60°，则∠DOA＝30°故点C（3，1），则OC＝2，则点C是AB的中点，故∠COB＝∠DBO＝30°，则∠AOC＝30°，∠DOC＝60°，OQ＝CP＝t，则OP＝OC﹣PC＝2﹣t，①当OP＝OM时，如图1，则∠OMP＝∠MPO＝12（180°﹣∠AOC）＝75°，故∠OQP＝45°，过点P作PH⊥y轴于点H，则OH＝12OP＝12（2﹣t），由勾股定理得：PH32﹣t）＝QH，OQ＝QH+OH32﹣t）+12（2﹣t）＝t，解得：t＝33；②当MO ＝MP 时，如图2，则∠MPO ＝∠MOP ＝30°，而∠QOP ＝60°，∴∠OQP ＝90°，故OQ ＝12OP ，即t ＝12（2﹣t ）， 解得：t ＝23； ③当PO ＝PM 时，则∠OMP ＝∠MOP ＝30°，而∠MOQ ＝30°，故这种情况不存在；综上，t ＝2323． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质、一次函数解析式、勾股定理、含30°的角的直角三角形的性质等知识点，还利用了方程和分类讨论的思想，综合性较强，难度较大，解题的关键是学会综合运用性质进行推理和计算．10．（1）证明见解析；（2）证明见解析．【解析】【分析】（1）先利用同角的余角相等得到一对角相等，再由一对直角相等，且AF AC =，利用AAS 得到AFH CAD ∆≅∆；（2）由（1）利用全等三角形对应边相等得到FH AD =，再EK AD ⊥，交DG 延长线于点K ，同理可得到AD EK =，等量代换得到FK EH =，再由一对直角相等且对顶角相等，利用AAS 得到FHG EKG ≅△△，利用全等三角形对应边相等即可得证．【详解】证明：（1） ∵FH AG ⊥，90AEH EAH ∴∠+∠=︒，90FAC ∠=︒，90FAH CAD ∴∠+∠=︒，AFH CAD ∴∠=∠，在AFH∆和CAD∆中，90AHF ADCAFH CADAF AC∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AFH CAD AAS∴∆≅∆，（2）由（1）得AFH CAD∆≅∆，FH AD∴=，作FK AG⊥，交AG延长线于点K，如图；同理得到AEK ABD∆≅∆，EK AD∴=，FH EK∴=，在EKG∆和FHG∆中，90EKG FHGEGK FGHEK FH∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()EKG FHG AAS∴∆≅∆，EG FG∴=．即点G是EF的中点．【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握K字形全等进行证明是解本题的关键．11．（1）①见解析；②DE＝297；（2）DE的值为517【解析】【分析】（1）①先证明∠DAE＝∠DAF，结合DA＝DA，AE＝AF，即可证明；②如图1中，设DE＝x，则CD＝7﹣x．在Rt△DCF中，由DF2＝CD2+CF2，CF＝BE＝3，可得x2＝（7﹣x）2+32，解方程即可；（2）分两种情形：①当点E在线段BC上时，如图2中，连接BE．由△EAD≌△ADC，推出∠ABE＝∠C＝∠ABC＝45°，EB＝CD＝5，推出∠EBD＝90°，推出DE2＝BE2+BD2＝62+32＝45，即可解决问题；②当点D在CB的延长线上时，如图3中，同法可得DE2＝153．【详解】（1）①如图1中，∵将△ABE绕点A逆时针旋转90°后，得到△AFC，∴△BAE≌△CAF，∴AE＝AF，∠BAE＝∠CAF，∵∠BAC＝90°，∠EAD＝45°，∴∠CAD+∠BAE＝∠CAD+∠CAF＝45°，∴∠DAE＝∠DAF，∵DA＝DA，AE＝AF，∴△AED≌△AFD（SAS）；②如图1中，设DE＝x，则CD＝7﹣x．∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠B＝∠ACB＝45°，∵∠ABE＝∠ACF＝45°，∴∠DCF＝90°，∵△AED≌△AFD（SAS），∴DE＝DF＝x，∵在Rt△DCF中， DF2＝CD2+CF2，CF＝BE＝3，∴x2＝（7﹣x）2+32，∴x＝297，∴DE＝297；（2）∵BD＝3，BC＝9，∴分两种情况如下：①当点E在线段BC上时，如图2中，连接BE．∵∠BAC＝∠EAD＝90°，∴∠EAB＝∠DAC，∵AE＝AD，AB＝AC，∴△EAB≌△DAC（SAS），∴∠ABE＝∠C＝∠ABC＝45°，EB＝CD＝9-3=6，∴∠EBD＝90°，∴DE2＝BE2+BD2＝62+32＝45，∴DE＝②当点D在CB的延长线上时，如图3中，连接BE．同理可证△DBE是直角三角形，EB＝CD＝3+9=12，DB＝3，∴DE2＝EB2+BD2＝144+9＝153，∴DE＝综上所述，DE的值为35或317．【点睛】本题主要考查旋转变换的性质，三角形全等的判定和性质以及勾股定理，添加辅助线，构造旋转全等模型，是解题的关键．12．（1）（2，0），∠OBA+∠OCA=180°；（2）△ABC与△ACD是偏差三角形，理由见解析；（3）27 2【解析】【分析】（1）根据偏差三角形的定义，即可得到C的坐标，根据等腰三角形的性质和平角的定义，即可得到结论；（2）在AD上取一点H，使得AH=AB，易证△CAH≌△CAB，进而可得∠D=∠CHD，根据偏差三角形的定义，即可得到结论；（3）延长CA至点E，使AE=BD，连接BE，由SAS可证∆BDC≅∆EAB，得EA=BD，点B到直线EA的距离是3，根据三角形的面积公式，即可求解．【详解】（1）∵当AC=AB时，△OAB与△OAC是偏差三角形，A(3，2)，B(4，0)，∴点C的坐标为（2，0），如图1，∵AC=AB，∴∠ACB=∠ABC，∵∠OCA+∠ACB=180°，∴∠OBA+∠OCA=180°，故答案为：(2，0)，∠OBA+∠OCA=180°；（2）△ABC与△ACD是偏差三角形，理由如下：如图2中，在AD上取一点H，使得AH=AB．∵AC平分∠BAD，∴∠CAH=∠CAB，又∵ AC=AC，∴△CAH≌△CAB（SAS），∴CH=CB，∠B=∠AHC，∵∠B+∠D=180°，∠AHC+∠CHD=180°，∴∠D=∠CHD，∴CH=CD，∴CB=CD，∵△ACD和△ABC中，AC=AC，∠CAD=∠CAB，BC=CD，△ADC与△ABC不全等，∴△ABC与△ACD是偏差三角形；（3）如图3中，延长CA至点E，使AE=BD，连接BE，∵∠BAC+∠BDC=180°，∠BAC+∠BAE=180°，∴∠BDC=∠BAE，又∵AB=CD，∴∆BDC≅∆EAB（SAS），∴EA=BD，∵点C到直线BD的距离是3，∴点B到直线EA的距离是3，∴S△ABC+S△BCD=S△ABC+S△EAB= S△BCE=12∙（AC+EA）×3 =12∙（AC+BD）×3 =12×9×3=272．【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，三角形全等的判定和性质，添加辅助线，构造全等三角形，是解题的关键．。
2023学年人教版数学八年级上册压轴题专题精选汇编(含30°角的直角三角形)解析版
2023学年人教版数学八年级上册压轴题专题精选汇编含30°角的直角三角形考试时间：120分钟试卷满分：100分一、选择题(共10题；共20分)1．（2分）（2021八上·松桃期末）如图△ABC是等边三角形点E是AC的中点过点E作EF⊥AB于点F 延长BC交EF的反向延长线于点D 若EF=1 则DF的长为（）A．2B．2.5C．3D．3.5【答案】C【完整解答】解：连接BE∵△ABC是等边三角形点E是AC的中点∴∠ABC=60° ∠ABE=∠CBE=30°∵EF⊥AB∴∠D=90°-∠ABC=30° 即∠D=∠CBE=30°∴BE=DE在Rt△BEF中EF=1∴BE=2EF=2∴BE=DE=2∴DF=EF+DE=3故答案为：C.【思路引导】连接BE 根据等边三角形的性质得∠ABC=60° ∠ABE=∠CBE=30° 易求∠D=30° 即得∠D=∠CBE 由等角对等边可得BE=DE 根据含30°角的直角三角形的性质可得BE=2EF=2 即得DE=2 从而得出DF=EF+DE=32．（2分）（2021八上·平阴期末）如图 △ABC 中 ∠C ＝90° AB ＝8 ∠B ＝30° 点P 是BC 边上的动点 则AP 长不可能是( )A ．3.5B ．4.2C ．5.8D ．7.3【答案】A 【完整解答】解：∵∠C=90° AB=8 ∠B=30°∴AC=12AB=12×8=4 ∵点P 是BC 边上的动点∴4＜AP ＜8∴AP 的值不可能是3.5．故答案为：A ．【思路引导】根据含30°角的直角三角形的性质可得AC=12AB=4 根据垂线段最短得出AP 的最小值 然后得出AP 的范围 即可判断.3．（2分）（2021八上·海丰期末）如图 OE 为AOB ∠的角平分线 30AOB ∠=︒ 6OB = 点P C 分别为射线OE OB 上的动点 则PC PB +的最小值是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】A 【完整解答】解：过点B 作BD ⊥OA 于D 交OE 于P 过P 作PC ⊥OB 于C 此时PC PB +的值最小∵OE 为AOB ∠的角平分线 PD ⊥OA PC ⊥OB∴PD=PC∴PC PB +=BD∵30AOB ∠=︒ 6OB = ∴132BD OB == 故答案为：A ．【思路引导】根据角平分线的性质求出PD=PC 再求出PC PB +=BD 最后求出BD 的值即可。
部编数学八年级上册期末测试压轴题模拟训练(二)(解析版)(人教版)含答案
期末测试压轴题模拟训练（二）一、单选题1．如图在ABC V 中，ABC Ð和ACB Ð的平分线交于点G ，过点G 作//EF BC 交AB 于E ，交AC 于F ，过点G 作GD AC ^于D ，下列四个结论：其中正确的结论有（ ）个．①EF BE CF =+；②90BGC A Ð=°+Ð；③点G 到ABC V 各边的距离相等；④设GD m =,AE AF n +=，则AEF S mn =△；⑤AEF V 的周长等于+AB AC 的和．A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C 【详解】解：①∵∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点G ，∴∠EBG =∠CBG ，∠BCG =∠FCG ．∵EF ∥BC ，∴∠CBG =∠EGB ，∠BCG =∠CGF ，∴∠EBG =∠EGB ，∠FCG =∠CGF ，∴BE =EG ，GF =CF ，∴EF =EG +GF =BE +CF ，故①正确；②∵∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点G ，∴∠GBC +∠GCB =12（∠ABC +∠ACB ）=12（180°-∠A ），∴∠BGC =180°-（∠GBC +∠GCB ）=180°-12（180°-∠A ）=90°+12∠A ，故②错误；③∵∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点G ，∴点G 也在∠BAC 的平分线上，∴点G 到△ABC 各边的距离相等，故③正确；④连接AG ，作GM ⊥AB 于M ，如图所示：∵点G 是△ABC 的角平分线的交点，GD =m ，AE +AF =n ，∴GD =GM =m ，∴S △AEF =12AE •GM +12AF •GD =12（AE +AF ）•GD =12nm ，故④错误．⑤∵BE =EG ，GF =CF ，∴AE +AF +EF =AE +AF +EG +FG =AE +AF +BE +CF =AB +AC ，即△AEF 的周长等于AB +AC 的和，故⑤正确，故选：C ．2．如图，在Rt ABC V 中，90ACB Ð=°，根据尺规作图的痕迹，判断以下结论错误的是（ ）A ．BDE BACÐ=ÐB ．BAD B =∠∠C ．DE DC=D ．AE AC=【答案】B 【详解】解：由题意可得：AD 平分∠BAC ,DE ⊥AB ,在△ACD 和△AED 中∠AED =∠C ，∠EAD =∠CAD ,AD =AD ，∴△ACD ≌△AED （AAS ）∴DE =DC ,AE =AC ,即C 、D 正确；在Rt △BED 中，∠BDE =90°-∠B ，在Rt △BED 中，∠BAC =90°-∠B∴∠BDE =∠BAC ，即选项A 正确；选项B ，只有AE =EB 时，才符合题意．故选B ．3．如图，在ABC V 中，90ACB Ð=°，D 是边AB 上的点，过点D 作DE AB ^交BC 于点F ，交AC 的延长线于点B ，连接CD ，DCA DAC Ð=Ð，则下列结论：①CD BD =；②点D 为AB 的中点；③ADC V 是等边三角形；④若30E Ð=°，则DE EF CF =+；⑤若30E Ð=°，则ADE ACB V V ≌，正确的是（ ）A ．①②⑤B ．①②④⑤C ．②③④⑤D ．①③④【答案】B 【详解】解：∵在△ABC 中，∠ACB =90°，DE ⊥AB ，∴∠ADE =∠ACB =90°，∴∠A +∠B =90°，∠ACD +∠DCB =90°，∵∠DCA =∠DAC ，∴AD =CD ，∠DCB =∠B ；∴CD =BD ，故①正确；∵AD =CD ，∴CD =BD =AD ，即D 为AB 中点，故②正确；但不能判定△ADC 是等边三角形；故③错误；∵若∠E =30°，∴∠A =60°，∴△ACD 是等边三角形，∴∠ADC =60°，∵∠ADE =∠ACB =90°，∴∠EDC =∠BCD =∠B =30°，∴CF =DF ，∴DE =EF +DF =EF +CF ．故④正确．∵若∠E =30°，则△ACD 是等边三角形，在△ADE 和△ACB 中，A A AD AC ADE ACB Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî，∴△ADE ≌△ACB （ASA ），故⑤正确；故选：B ．4．如图，AD ∥BC ，∠D ＝∠ABC ，点E 是边DC 上一点，连接AE 交BC 的延长线于点H ，点F 是边AB 上一点，使得∠FBE ＝∠FEB ，作∠FEH 的角平分线EG 交BH 于点G ．若∠BEG ＝40°，则∠DEH 的度数为（ ）A ．50°B ．75°C ．100°D ．125°【答案】C 【详解】解：设∠FBE =∠FEB =α，则∠AFE =2α，∠FEH 的角平分线为EG ，设∠GEH =∠GEF =β，∵AD ∥BC ，∴∠ABC +∠BAD =180°，∵∠D =∠ABC ，∴∠D +∠BAD =180°，∴AB ∥CD ，∵∠BEG =40°，∴∠BEG =∠FEG -∠FEB =β-α=40°，∵∠AEF =180°-∠FEG -∠HEG =180°-2β，在△AEF 中，180°-2β+2α+∠FAE =180°，∴∠FAE =2β-2α=2（β-α）=80°，∵AB ∥CD ，∴∠CEH =∠FAE =80°，∴∠DEH =180°-∠CEH =100°．故选：C ．5．我国南宋数学家杨辉用“三角形”解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”，这个“三角形”给出了()(1,2,3,4,)n a b n +=L 的展开式的系数规律（按n 的次数由大到小的顺序）1 11()a b a b +=+1 2 1222()2a b a ab b +=++1 3 3 1+=+++33223()33a b a a b ab b 1 4 6 4 14322344()464a b a a b a b ab b +=++++……请依据上述规律，写出20212x x æö-ç÷èø展开式中含2019x 项的系数是（）A ．-2021B ．2021C ．4042D ．-4042【答案】D 【详解】解：根据规律可以发现：20212x x æö-ç÷èø第一项的系数为1，第二项的系数为2021，∴第一项为：x 2021，第二项为：20202020201922202120214042x x x x x æö-=-=-ç÷èøg g g g 故选：D二、填空题6．已知：△ABC 是三边都不相等的三角形，点P 是三个内角平分线的交点，点O 是三边垂直平分线的交点，当P 、O 同时在不等边△ABC 的内部时，那么∠BOC 和∠BPC 的数量关系是___．【答案】4360BPC Ð-°【详解】解：BP Q 平分ABC Ð，CP 平分ACB Ð，12PBC ABC \Ð=Ð，12PCB ACB Ð=Ð，180()BPC PBC PCB \Ð=°-Ð+Ð180(=°-11)22ABC ACB Ð+Ð1180()2ABC ACB =°-Ð+Ð1180(180)2BAC =°-°-Ð1902BAC =°+Ð，即2180BAC BPC Ð=Ð-°；如图，连接AO ．Q 点O 是这个三角形三边垂直平分线的交点，OA OB OC \==，OAB OBA \Ð=Ð，OAC OCA Ð=Ð，OBC OCB Ð=Ð，1802AOB OAB \Ð=°-Ð，1802AOC OAC Ð=°-Ð，360()BOC AOB AOC \Ð=°-Ð+Ð360(18021802)OAB OAC =°-°-Ð+°-Ð，22OAB OAC =Ð+Ð2BAC =Ð2(2180)BPC =Ð-°4360BPC =Ð-°，故答案为：4360BPC Ð-°．7．如图，在ABC V 中，A a Ð=，ABC Ð与ACD Ð的平分线交于点1A ，得1A Ð；1A BC Ð与1A CD Ð的平分线相交于点2A ，得2A ；L ；2019A BC Ð与2019A CD Ð的平分线相交于点2020A ，得2020A Ð，则2020A Ð=______．【答案】20202a【详解】根据题意，A a Ð=，ABC Ð与ACD Ð的平分线交于点1A ，∴11118022A ABC ACB ACD Ð=°-Ð-Ð-Ð ∵ACD A ABC Ð=Ð+Ð，∴111802A ABC ACB A Ð=°-Ð-Ð-Ð∵180A ABC ACB Ð+Ð+Ð=° ，∴112A A Ð=Ð同理，得2121112222A A A a Ð=Ð=´Ð=；323111122222A A A a Ð=Ð=´´Ð=；43411111222222A A A a Ð=Ð=´´´Ð=；…1122n n n A A a -Ð=Ð=，∴202020202A a Ð=，故答案为：20202a ．8．已知23,32ab ==，则1111a b +=++_______．【答案】1．【详解】解：∵2a +1＝2a ×2＝3×2＝6，3b +1＝3b ×3＝2×3＝6，∴11111(2)62a a a +++==，11111(3)63b b b +++==，∴11111111666236a b a b +++++×==´=，∴11111a b +=++．故答案为：1．三、解答题9．如图，在Rt ABC V 中，90,40ACB A Ð=°Ð=°，ABC V 的外角CBD Ð的平分线BE 交AC 的延长线于点E ．（1）补全图形；（2）求CBE Ð的度数；（3）已知F 为AC 延长线上一点，连接DF ，若25AFD Ð=°，请判断BE 与DF 的位置关系为________．【答案】（1）见解析；（2）65°；（3）//BE DF ，理由见解析【详解】解：（1）根据题意作图如下：（2）Q 在Rt ABC V 中，90ACB Ð=°，40A Ð=°，9050ABC A \Ð=°-Ð=°，130CBD \Ð=°．BE Q 是CBD Ð的平分线，1652CBE CBD \Ð=Ð=°；（3）//BE DF ，理由如下；90ACB Ð=°Q ，65CBE Ð=°，906525CEB \Ð=°-°=°．又25F Ð=°Q ，25F CEB \Ð=Ð=°，//DF BE \．10．如图，V ABC 中，过点A ，B 分别作直线AM ，BN ，且AM //BN ，过点C 作直线DE 交直线AM 于D ，交直线BN 于E ，设AD ＝a ，BE ＝b ．（1）如图1，若AC ，BC 分别平分∠DAB 和∠EBA ，求∠ACB 的度数；（2）在（1）的条件下，若a ＝1，b ＝52，求AB 的长；（3）如图2，若AC ＝AB ，且∠DEB ＝∠BAC ＝60°，求DC 的长．（用含a ，b 的式子表示）【答案】（1）90°；（2）72；（3）DC ＝b −a ．【详解】解：（1）如图1，∵AC 平分∠MAB ，∴∠CAB ＝∠MAC ＝12∠MAB ，同理，∠CBA ＝∠NBC ＝12∠NBA ，∵AM ∥BN ，∴∠MAB ＋∠NBA ＝180°，∴∠BAC ＋∠ABC ＝12 (∠MAB ＋NBA )＝90°，∴∠ACB ＝180°−（∠CAB ＋∠ABC ）＝180°−90°＝90°；（2）如图1，在AB 上取一点F ，使AF ＝AD ＝1，连接CF ，在△AFC 和△ADC 中，AF AD FAC DAC AC AC =ìïÐ=Ðíï=î，∴△AFC ≌△ADC （SAS ），∴∠ADC ＝∠AFC ，∵AM ∥BN ，∴∠ADC ＋∠BEC ＝180°，∵∠AFC ＋∠BFC ＝180°，∴∠BFC ＝∠BEC ，∵∠FBC ＝∠EBC ，BC ＝BC ，∴△BFC ≌△BEC （AAS ），∴EB ＝BF ＝52，∴AB ＝AF ＋BF ＝1＋52＝72；（3）如图2，在EB 上截取EH ＝EC ，连接CH ，∵AC ＝AB ，∠BAC ＝60°，∴△ABC 为等边三角形，∴AC ＝BC ，∠ACB ＝60°，∵EC ＝EH ，∠DEB ＝60°，∴△ECH 为等边三角形，∴∠ECH ＝∠EHC ＝60°，∴∠BHC ＝120°，∴AM ∥BN ，∴∠ADC ＋∠DEB ＝180°，∴∠ADC ＝120°，∴∠ADC ＝∠CHB ，∠DAC ＋∠DCA ＝60°，∵∠DCA ＋∠ACB ＋∠HCB ＋∠ECH ＝180°，∴∠DAC ＋∠HCB ＝60°，∴∠DAC ＝∠HCB ，∴△DAC ≌△HCB （AAS ），∴AD ＝CH ＝HE ，CD ＝BH ，∴AD ＋DC ＝BE ，∴DC ＝BE −AD ＝b −a ．11．在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(8,0)，点B 为y 轴正半轴上的一个动点，以B 为直角顶点，AB 为直角边在第一象限作等腰Rt ABC △．（1）如图1，若OB ＝6，则点C 的坐标为__________；（2）如图2，若OB ＝8，点D 为OA 延长线上一点，以D 为直角顶点，BD 为直角边在第一象限作等腰Rt BDE △，连接AE ，求证：AE ⊥AB；（3）如图3，以B 为直角顶点，OB 为直角边在第三象限作等腰Rt OBF △．连接CF ，交y 轴于点P ，求线段BP 的长．【答案】（1）(6,14)；（2）证明见解析；（3）4．【详解】解：（1）如图1，过点C 作CH y ^轴于H ，在Rt ABC △中，90ABC Ð=°，90CHB ABC AOB \Ð=Ð=Ð=°，90BCH HBC HBC ABO \Ð+Ð=Ð+Ð=°，ABO BCH \Ð=Ð，在ABO V 和BCH V 中，AOB BHC ABO BCH AB BC Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，(AAS)ABO BCH \≌△△，6CH OB \==，8BH AO ==，14OH OB BH \=+=，\点(6,14)C ，故答案为：(6,14)；（2）过点E 作EF x ^轴于F ，已知等腰Rt BDE △，90BDE \Ð=°，BD DE =，90EFD BDE BOD \Ð=Ð=Ð=°，90BDO EDF BDO DBO \Ð+Ð=Ð+Ð=°，DBO EDF \Ð=Ð，在BOD V 和DFE △中，BOD DFE DBO EDF BD DE Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，(AAS)BOD DFE \≌△△，8BO DF \==，OD EF =，Q 点A 的坐标为(8,0)，∵在等腰Rt ABC △中，45BAO \Ð=°，8OA OB ==，8OA DF \==，OD AF EF \==，45EAF AEF \Ð=Ð=°，90BAE \Ð=°，AE AB \^；（3）过点C 作CG y ^轴G ，由（1）可知：ABO BCG ≌△△，BO GC \=，8AO BG ==，BF BO =Q ，90OBF Ð=°，在等腰Rt OBF △中，BF BO =，=90FBO а，BF GC \=，90CGP FBP Ð=Ð=°，又CPG FPB Ð=ÐQ ，(AAS)CPG FPB \≌△△，=GP PB \，142BP BG \==．。
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1、你一个月的零用钱大约是多少？
在上海，随着轨道交通的发展，地铁商铺应运而生，并且在重要商圈已经形成一定的气候，投资经营地铁商，有一家DIY自制饰品店--“碧芝自制饰品店”
3、竞争对手分析
1、作者：蒋志华《市场调查与预测》，中国统计出版社2002年8月§11-2市场调查分析书面报告
因为是连锁店，老板的“野心”是开到便利店那样随处可见。所以办了积分卡，方便女孩子到任何一家“漂亮女生”购物，以求便宜再便宜。
据介绍，经常光顾“碧芝”的都是些希望得到世界上“独一无二”饰品的年轻人，他们在琳琅满目的货架上挑选，然后亲手串连，他们就是偏爱这种ＤＩＹ的方式，完全自助。
2003年，上海市总人口达到1464万人，上海是全国第一个出现人口负增长的地区。
据上述部分的分析可见，我校学生就达4000多人。附近还有两所学校，和一些居民楼。随着生活水平的逐渐提高，家长给孩子的零用钱也越来越多，人们对美的要求也越来越高，特别是大学生。他们总希望自己的无论是衣服还是首饰都希望与众不同，能穿出自己的个性。但在我们美丽的校园里缺少自己的个性和琳琅满目的饰品，所以我们的小饰品店存在的竞争力主要是南桥或是市区的。这给我们小组的创业项目提供了一个很好的市场机会。