中考数学专题复习：树状图(含解析)

例谈画树状图

一、显性放回

例1 现有形状、大小和颜色完全一样的三张卡片，上面分别标有数字“1”、“2”、“3”．第一次从这三张卡片中随机抽取一张，记下数字后放回；第二次再从这三张卡片中随机

抽取一张并记下数字．请用画树状图的方法表示出上述试验所有可能的结果，并求第二 次抽取的数字大于第一次抽取的数字的概率．

分析 从题中文字“记下数字后放回”知本题属于“显性放回”．本题中的事件是摸

两次卡片，看卡片的数字，由此可以确定事件包括两个环节．摸第一张卡片，放回去，再摸第二张卡片，所以树状图应该画两层．第一张卡片的数字可能是1，2，3等3个中的一个，所以第一层应画3个分叉；再看第二层，由于放回，第二个乒乓球的数字可能是3个中的一个，所以第二层应接在第一层的3个分叉上，每个小分支上，再有3个分叉．画出树状图，这样共得到3x 3＝9种情况，从中找出第二次抽取的数字大于第一次抽取的数字的情况，再求出概率．

解 根据题意画树状图如图1．

所有可能的结果为：

(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)， (2，3)，(3，1)，(3，2)，(3，3)．

∵有9种等可能的结果，第二次抽取的数字大于第一次抽取的数字的只有3种， ∴ P(第二次抽取的数字大于第一次抽取的数字)＝13

．

二、显性不放回

例2 一个不透明的布袋里装有4个大小、质地都相同的乒乓球，球面上分别标有数字1，－2，3，－4．小明先从布袋中随机摸出一个球(不放回去)，再从剩下的3个球中随机摸出第二个乒乓球．

(1)共有_______种可能的结果；

(2)请用画树状图的方法求两次摸出的乒乓球的数字之积为偶数的概率．

分析 从文字条件“不放回去”知，本题属于“显性不放回”．本题中的事件是摸两个乒乓球，看乒乓球的数字，由此可以确定事件包括两个环节，所以树状图应该画两层．第一个乒乓球的数字可能是1，－2，3，－4等4个中的一个，所以第一层应画4个分叉；由于不放回，第二个乒乓球的数字可能是剩下的3个中的一个，所以第二层应接在第一层的4个分叉上，每个小分支上，再有3个分叉，画出树状图．

解 根据题意画树状图如图2．

(1)由图2可知，共有12种可能结果，分别为：

(1，－2)，(1，3)．(1，－4)，(－2，1)，(－2，3)，(－2．－4)，(3，1)，(3，－2)， (3，－4)，(－4，1)，(－4，－2)，(－4，3)．

故答案为12．

(2)∵在(1)中的12种可能结果中，两个数字之积为偶数的只有10种，

∴P(积为偶数)＝56

． 三、隐形放回

例3 小明骑自行车从家去学校，途经装有红、绿灯的三个路口，假没他在每个路口遇到红灯和绿灯的概率均为12

，则小明经过这三个路口时，恰有一次遇到红灯的慨率是多少？请用画树状图的方法加以说明．

分析 通过反复分析知本题属于“隐形放回”问题，比较容易出错．其实问题相当于一个口袋里有红球和绿球各1个，放回地随机取三次．本题中的事件是小明骑自行车从家去学校，途经装有红、绿灯的三个路口，由此可以确定事件包括三个环节，所以树状图应该画三层．由于每一个路口可能是红灯，绿灯等2个中的一个，所以每一层的分叉的小分支上都有两个小分叉．

解 根据题意画树状图如图3．

∵经过三个路口共有8种情况，其中恰有一次遇到红灯的有3种，

∴P(恰有一次遇到红灯)＝38

．

四、隐形不放回

1、随机取明确分类

例4 小明有3支水笔，分别为红色、蓝色、黑色；有2块橡皮，分别为白色、灰色．小明从中任意取出1支水笔和1块橡皮配套使用，试用树状图或表格列出所有可能的结果，并求取出红色水笔和白色橡皮配套的概率．

分析 从文字中稍加分析知，本题属于“隐性不放回”，而且选取时有指明对象，是水笔和橡皮．本题中的事件是小明有3支水笔为红色、蓝色、黑色；有2块橡皮为白色、灰色，取出1支水笔和1块橡皮配套使用．由此可以确定事件包括两个环节，所以树状图应该画两层．至于水笔和橡皮哪个先取，可以随便，不影响结果，关键是各层的分叉要画对．

解法 根据题意画树状图如图4．

所有可能结果为：(红，白)，(红，灰)，(蓝，白)，(蓝灰)，(黑，白)，(黑，灰)．

∵有6种等可能的结果，而红色水笔和白色橡皮配套的只有1种，

∴P(红色水笔和白色橡皮配套)＝16

． 2、随机取，不明确分类

例5 有两个不同形状的计算器(分别记为A ，B)和与之匹配的保护盖(分别记为a ，6)(如图5所示)散乱地放在桌子上，若从计算器和保护盖中随机取两个，用树形图法或列表法，求恰好匹配的概率．

分析 从文字中理解本题属于“隐性不放回”，而且随机选取没有指明对象是计算器还是保护盖，比较容易出错，本题中的事件是从计算器和保护盖中随机取两个，看恰好匹配．由此可以确定事件包括两个环节，取第一个，不放回去，然后再取第二个，所以树状图应该画两层．取第一个可能是A ，B ，a ，b 等4个中的一个，所以第一层应画4个分叉；再看第二层，由于不放回，取第二个可能是剩下的3个中的一个，所以第二层应接在第一层的4个分叉上，每个小分支上，再有3个分叉，画出树状图．

解 根据题意画树状图如图5．

∵从计算器和保护盖中随机取两个，共有12种情况，其中恰好匹配的有4种，

∴P(恰好配套)＝1

3

．

画树状图的关键是确定层数和确定每层分叉的个数，

树状图的层数取决于事件的环节数，每层分叉的个数取决

于本环节包含的可能情况的种类数，特别要注意区分是放

回还是不放回问题．