《管理运筹学》第二课后习题答案

《管理运筹学》（第二版）课后习题参考答案

第1章 线性规划（复习思考题）

1．什么是线性规划？线性规划的三要素是什么？

答：线性规划（Linear Programming ，LP ）是运筹学中最成熟的一个分支，并且是应用最广泛的一个运筹学分支。线性规划属于规划论中的静态规划，是一种重要的优化工具，能够解决有限资源的最佳分配问题。

建立线性规划问题要具备三要素：决策变量、约束条件、目标函数。决策变量是决策问题待定的量值，取值一般为非负；约束条件是指决策变量取值时受到的各种资源条件的限制，保障决策方案的可行性；目标函数是决策者希望实现的目标，为决策变量的线性函数表达式，有的目标要实现极大值，有的则要求极小值。

2．求解线性规划问题时可能出现几种结果，哪种结果说明建模时有错误？ 答：（1）唯一最优解：只有一个最优点； （2）多重最优解：无穷多个最优解；

（3）无界解：可行域无界，目标值无限增大； （4）没有可行解：线性规划问题的可行域是空集。 当无界解和没有可行解时，可能是建模时有错。

3．什么是线性规划的标准型？松弛变量和剩余变量的管理含义是什么？

答：线性规划的标准型是：目标函数极大化，约束条件为等式，右端常数项0≥i b ，决策变量满足非负性。

如果加入的这个非负变量取值为非零的话，则说明该约束限定没有约束力，对企业来说不是紧缺资源，所以称为松弛变量；剩余变量取值为非零的话，则说明“≥”型约束的左边取值大于右边规划值，出现剩余量。

4．试述线性规划问题的可行解、基础解、基可行解、最优解的概念及其相互关系。 答：可行解：满足约束条件0≥=X b AX ，的解，称为可行解。 基可行解：满足非负性约束的基解，称为基可行解。

可行基：对应于基可行解的基，称为可行基。 最优解：使目标函数最优的可行解，称为最优解。 最优基：最优解对应的基矩阵，称为最优基。 它们的相互关系如右图所示：

5．用表格单纯形法求解如下线性规划。

s .t . ⎪⎩⎪

⎨⎧≥≤++≤++0,,862383

21321321x x x x x x x x x

解：标准化 32124m a x

x x x Z ++= s .t . ⎪⎩

⎪

⎨⎧≥=+++=+++0,,,,862385432153

214321x x x x x x x x x x x x x 列出单纯形表

故最优解为T X )6,0,2,0,0(*=，即2,0,0321===x x x ，此时最优值为4*)(=X Z ． 6．表1—15中给出了求极大化问题的单纯形表，问表中d c c a a ,,,,2121为何值及变量属于哪一类型时有：（1）表中解为唯一最优解；（2）表中解为无穷多最优解之一；（3）下一步迭代将以1x 代替基变量5x ；（4）该线性规划问题具有无界解；（5）该线性规划问题无可行解。

表1—15 某极大化问题的单纯形表

解：（1）0,0,021<<≥c c d ；

（2）中至少有一个为零）（2121,0,0,0c c c c d ≤≤≥； （3）2

2134,

0,0a d a c >>>； （4）0,012≤>a c ；

（5）1x 为人工变量，且1c 为包含M 的大于零的数，2

34a d >；或者2x 为人工变量，且2c 为包含M 的大于零的数，0,01>>d a ．

7．用大M 法求解如下线性规划。

s .t . ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥=++≤++≤++0

,,1016321823213213

21321x x x x x x x x x x x x

解：加入人工变量，进行人造基后的数学模型如下：

s .t . ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≥=+++=+++=+++)6,,2,1(010163218263215

3214321 i x x x x x x x x x x x x x i

列出单纯形表

故最优解为T X )0,0,4,0,4,6(*=，即0,4,6321===x x x ，此时最优值为42*)(=X Z ． 8．A ，B ，C 三个城市每年需分别供应电力320，250和350单位，由I ，II 两个电站提供，它们的最大可供电量分别为400单位和450单位，单位费用如表1—16所示。由于需要量大于可供量，决定城市A 的供应量可减少0～30单位，城市B 的供应量不变，城市C 的供应量不能少于270单位。试建立线性规划模型，求将可供电量用完的最低总费用分配方案。

表1—16 单位电力输电费（单位：元）

解：设ij x 为“第i 电站向第j 城市分配的电量”（i =1,2; j =1,2,3），建立模型如下：

s .t . ⎪⎪

⎪

⎪⎪⎩

⎪

⎪

⎪⎪⎪⎨⎧==≥≤+≥+=+≤+≥+=++=++3,2,1;2,1,0350270250320290450

40023132313221221112111232221

131211j i x x x x x x x x x x x x x x x x x ij

9．某公司在3年的计划期内，有4个建设项目可以投资：项目I 从第一年到第三年年初都可以投资。预计每年年初投资，年末可收回本利120%，每年又可以重新将所获本利纳入投资计划；项目II 需要在第一年初投资，经过两年可收回本利150%，又可以重新将所获本利纳入投资计划，但用于该项目的最大投资不得超过20万元；项目III 需要在第二年年初投资，经过两年可收回本利160%，但用于该项目的最大投资不得超过15万元；项目IV 需要在第三

年年初投资，年末可收回本利140%，但用于该项目的最大投资不得超过10万元。在这个计划期内，该公司第一年可供投资的资金有30万元。问怎样的投资方案，才能使该公司在这个计划期获得最大利润？

解：设)1(i x 表示第一次投资项目i ，设)2(i x 表示第二次投资项目i ，设)3(i x 表示第三次投资项目i ，（i =1,2,3,4），则建立的线性规划模型为

s .t . ⎪⎪⎪

⎪⎩

⎪⎪⎪

⎪⎨⎧=≥≤≤≤----+++=+--+≤+≤+4,3,2,1,0,,1015

20

302.15.12.1302.130)

3()2()1()

1(4)1(3)

1(2)1(3

)2(1)1(2)1(1)1(1)1(2)2(1)1(4)3(1)

1(2

)1(1)1(1)1(3)2(1)

1(2)1(1i x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x i i i 通过LINGO 软件计算得：44,12,0,20,10)2(1)2(1)

1(3)1(2

)1(1=====x x x x x ． 10．某家具制造厂生产五种不同规格的家具。每种家具都要经过机械成型、打磨、上漆几道重要工序。每种家具的每道工序所用的时间、每道工序的可用时间、每种家具的利润由表1—17给出。问工厂应如何安排生产，使总利润最大？

表1—17 家具生产工艺耗时和利润表

解：设i x 表示第i 种规格的家具的生产量（i =1,2,…,5），则

s .t . ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≥≤++++≤++++≤++++5

,,2,1,02800343323950465343600

32643543215

432154321 i x x x x x x x x x x x x x x x x i

通过LINGO 软件计算得：3181,642,0,254,38,054321======Z x x x x x ．

11．某厂生产甲、乙、丙三种产品，分别经过A ，B ，C 三种设备加工。已知生产单位产品所需的设备台时数、设备的现有加工能力及每件产品的利润如表2—10所示。

表1—18 产品生产工艺消耗系数