布尔代数的基本公式和规则
布尔代数法则
Shannon扩展定理
–Shannon扩展定理T15：(展开定理 ) F(X1,X2, … ,Xn)= X 1· F(1, X 2, … ,Xn)+X1’· F(0, X2, … ,Xn) T15’ ： F(X1,X2, … ,Xn)= [X1+F(0, X 2, … ,Xn)] · [X 1’ +F(1, X2, … ,Xn)] – 例：利用展开定理证明包含律 F=AB+A'C+BC =A?(1?B+0?C+BC)+A'?(0?B+1?C+BC) =A(B+BC)+A'(C+BC)=AB+A'C
布尔代数
• 布尔代数(开关代数、逻辑代数) • 它是一个封闭的代数系统，它可记为：
L={K，＋，・，￣，0，1} 其中K表示逻辑变量集；＋表示"或"运算，・表示" 与"运算，￣表示"非"运算； 0和1表示常量，又表示自变量的定义域，又是函数 的值域。
• 公理：Leabharlann A1：Ｘ＝０ ｉｆ Ｘ≠１ Ａ１＇：Ｘ＝１ ｉｆ Ｘ≠０ Ａ２：ｉｆ Ｘ＝０，ｔｈｅｎ Ｘ’ ＝１ Ａ２’ ：ｉｆ ｘ＝１，ｔｈｅｎ Ｘ’ ＝０ Ａ３：０· ０＝０ Ａ３’ ：１＋１＋１ Ａ４：１· １＝１ Ａ４’ ：０＋０＝０ Ａ５：０· １＝１· ０＝０ Ａ５’ ：０＋１＝１＋０＝１
2和3变量布尔代数定理
•2和3变量的定理
– 交换律T6：X+Y=Y+X T6’ ：X· Y=Y· X – 结合律T7: (X+Y)+Z=X+(Y+Z) T7’ : (X· Y) · Z=X· (Y· Z) – 分配律T8：X· Y+X· Z=X· (Y+Z) T8’ : (X+Y) · (X+Z)=X+Y· Z – 吸收律T9：X+X· Y=X T9’ ：X· (X+Y)=X – 并项律T10：X· Y+X· Y’ =X T10’ : (X+Y) · (X+Y’ )=X – 包含律T11：XY+X’ Z+YZ=XY+X’ Z T11’ : (X+Y)(X’ +Z)(Y+Z)=(X+Y)(X’ +Z)
布尔代数与逻辑函数
布尔代数与逻辑函数布尔代数是一种由英国数学家乔治·布尔于19世纪中期发展起来的代数体系，它在计算机科学和逻辑学中起着重要的作用。
布尔代数通过对逻辑函数的运算和推理，描述了逻辑关系和逻辑推理的规则。
本文将介绍布尔代数的基本概念和运算规则，以及它与逻辑函数的关系。
一、布尔代数的基本概念布尔代数是一种由逻辑数学中的一元逻辑和二元逻辑运算构成的代数系统。
它由两个基本元素组成，分别是真值和逻辑变量。
真值表示一个命题的真假，通常用0和1表示，其中0表示假，1表示真。
逻辑变量则表示一个命题中的可变部分，可以取0或1两个值。
二、布尔代数的运算规则布尔代数具有以下几种基本的运算规则：1. 与运算（AND）：表示逻辑与关系，用符号“∧”表示，在数字电路中常用乘号“*”代替。
2. 或运算（OR）：表示逻辑或关系，用符号“∨”表示，在数字电路中常用加号“+”代替。
3. 非运算（NOT）：表示逻辑非关系，用符号“¬”表示，在数字电路中常用上划线“-”表示。
4. 异或运算（XOR）：表示逻辑异或关系，用符号“⊕”表示。
5. 同或运算（XNOR）：表示逻辑同或关系，用符号“⊙”表示。
这些运算规则在布尔代数中可以通过真值表或逻辑公式进行演算。
三、逻辑函数的定义与应用逻辑函数是布尔代数中的重要概念，它是一个或多个逻辑变量与运算符的组合，得到一个布尔值的函数。
逻辑函数在计算机科学和电子工程中有广泛的应用，特别是在数字电路和逻辑设计中。
逻辑函数可以通过真值表或逻辑表达式来描述。
真值表是逻辑函数的一个常用表示方法，它列出了函数在所有可能输入组合下的输出结果。
逻辑表达式则是通过逻辑运算符和逻辑变量的组合来表示逻辑函数。
四、逻辑函数的简化与优化在实际的逻辑设计中，逻辑函数往往需要进行简化和优化，以减少电路的复杂度和功耗。
常用的逻辑函数简化方法包括代数运算、卡诺图方法和奎因-麦克拉斯基算法等。
这些方法通过对逻辑函数进行等价变换和合并，找出最简逻辑表达式，从而实现逻辑电路的最优设计。
1.3布尔代数
例如：举重运动员试举成功由 名裁判来裁定 名裁判来裁定。 例如：举重运动员试举成功由3名裁判来裁定。当3名裁 名裁 判中有2名或 名以上举牌时，才认定该运动员试举成功。 名或2名以上举牌时 判中有 名或 名以上举牌时，才认定该运动员试举成功。 名裁判举牌认可事件， 设A、B、C为3名裁判举牌认可事件，当裁判举牌认可， 、 、 为 名裁判举牌认可事件 当裁判举牌认可， 其值为1，否则为0； 其值为 ，否则为 ； F为运动员试举成功事件，其值为1，成功；否则为 。则 为运动员试举成功事件，其值为 ，成功；否则为0。 为运动员试举成功事件
定律的证明
1. 用已经证明过的定律 例1：吸收率证明 A+A · B =A · 1+A · B =A · (1+B) =A · 1=A A · (A + B) = A · A+A · B = A + AB =A 推广： 推广：A +ABC = A A+AB = A＋B ＋
A· 1 =A
分配律: 分配律
是指当某个逻辑恒等式成立时， 所谓对偶规则，是指当某个逻辑恒等式成立时，其对偶 式也一定成立。 式也一定成立。 例如： 例如： A + B · C · D = (A+B)(A+C)(A+D) 其对偶式为: 其对偶式为 成立， 成立，
A · (B + C + D) = AB + AC + AD
显然也是成立的。 显然也是成立的。
F=ABC+ABC+ABC+ABC =AB+AC+BC
化简后的最简与－ 化简后的最简与－或表达式
AB AC BC
布尔代数有关内容
四、布尔代数、概率和概率积的基本知识1．布尔代数有关基本知识(1)集合具有某种共同属性的事物的全体叫做集合，集合中的事物叫做元素；包含一切元素的集合称为全集，用符号“Ω”表示，不包含任何元素的集合称为空集，用符号“φ”表示，集合之间的关系表示方法有：包含关系，用“Ì”符号表示；相互关系，用“∩”符号表示；并集关系，用“∪”符号表示。
(2)布尔代数基本知识逻辑运算：逻辑运算对象是命题，命题为真，逻辑值为1；命属为假，逻辑值为0。
逻辑代数三种基本运算：逻辑加、逻辑乘、逻辑非。
逻辑运算法则：A+AB=A、A+A=A、A·A=A等。
2．概率和与概率积(1)相互独立事件：一个事件发生与否不受其他事件的发生与否的影响；(2)相互排斥事件：不能同时发生的事件；(3)相容事件：一个事件发生与否受其他事件的约束。
(4)n个独立事件和的概率计算公式为：P(A+B+C+…+N)=1-[1-P(A)][1-P(B)][1-P(C)]…[1-P(N)]式中P________独立事件的概率(5)n个独立事件的概率积计算公式为：P(A·B·C…N)=P(A)·P(B)·P(C)…P(N)3，利用布尔代数化简事故树利用布尔代数中逻辑运算法则对事故树进行简化，消除多余事件。
事故树定性分析一、割集与径集1．割集与径集割集也叫截集或截止集，是导致顶上事件发生的基本事件的集合。
事故树中一组基本事件的发生，能够造成顶上事件发生，这组基本事件就叫割集。
最小割集：引起顶上事件发生的最起码的基本事件的集合叫最小割集。
径集又叫通集或导通集，即如果事故树中某些基本事件不发生，顶上事件就不发生，这些基本事件的集合称为径集。
不引起顶上事件发生的最低落限度的基本事件的集合叫最小公式集。
2．最小割集的求法(1)行列法这种方法的理论依据：“与门”使割集容量增加，而不增加割集的数量，“或门”使割集的数量增加，而不增加割集容量。
逻辑代数的运算法则
逻辑代数的运算法则逻辑代数又称布尔代数。
逻辑代数与普通代数有着不同概念，逻辑代数表示的不是数的大小之间的关系，而是逻辑的关系，它仅有0、1两种状态。
逻辑代数有哪些基本公式和常用公式呢？1.变量与常量的关系与运算公式 一、基本公式A·1=AA·0=0或运算公式A+0=A A+1=101律2.与普通代数相似的定律与运算公式A·B=B·A 或运算公式A+B=B+A交换律A·(B·C)=(A·B)·C A+(B+C)=(A+B)+C 结合律A·(B+C)=A·B+A·C A+(B·C)=(A+B)(A+C)分配律3.逻辑代数特有的定律与运算公式或运算公式互补律重叠律（同一律） 反演律（摩根定律）0=⋅A A 1=+A A BA B A +=⋅BA B A ⋅=+ 非非律（还原律）AA =A A A =⋅A A A =+真值表证明摩根定律0001101111111100结论：BA B A +=⋅ 以上定律的证明，最直接的办法就是通过真值表证明。
若等式两边逻辑函数的真值表相同，则等式成立。
【证明】公式1AB A AB =+B A AB +）（B B A += 互补律1⋅=A 01律A= 合并互为反变量的因子【证明】公式2AAB A =+AB A +）（B A +=1 01律A= 吸收多余项【证明】公式3BA B A A +=+B A A +BA AB A ++=B A A A ）（++= 互补律BA += 消去含有另一项的反变量的因子【证明】CA AB BC C A AB +=++BC A A C A AB ）（+++=BC C A AB ++ 分配律BC A ABC C A AB +++= 吸收多余项公式2互补律CA AB += 公式2逻辑代数的运算法则一、基本公式二、常用公式A·1=AA·0=0A+0=A A+1=1 1.变量与常量的关系01律2.与普通代数相似的定律交换律A·B=B·A A+B=B+A结合律 分配律3.逻辑代数特有的定律互补律A·A=A A+A=A 重叠律（同一律）反演律（摩根定律）0=⋅A A 1=+A A BA B A +=⋅BA B A ⋅=+非非律（还原律）AA =AB A AB =+.1AAB A =+.2BA B A A +=+.3CA AB BC C A AB +=++.4A·(B·C )=(A·B )·C A+(B+C )=(A+B )+C A·(B+C )=A·B+A·CA +(B·C )=(A+B )(A+C )谢谢！。
逻辑函数(布尔代数)运算规则
逻辑函数（布尔代数）运算规则根据逻辑变量和逻辑运算的基本定义，可得出逻辑代数的基本定律。
一、逻辑运算基本公式1.逻辑常量运算公式·与运算：111 001 010 000=⋅=⋅=⋅=⋅·或运算：111 101 110 000=+=+=+=+ ·非运算：10 01==2.逻辑变量、常量运算公式·0-1律：⎩⎨⎧=⋅=+A A A A 10 ⎩⎨⎧=⋅=+0011A A ·互补律： 0 1=⋅=+A A A A·等幂律：A A A A A A =⋅=+ ·双重否定律：A A =3.逻辑代数的基本定律(1)与普通代数相似的定律·交换律：⎩⎨⎧+=+⋅=⋅A B B A A B B A ·结合律：⎩⎨⎧++=++⋅⋅=⋅⋅)()()()(C B A C B A C B A C B A·分配律：⎩⎨⎧+⋅+=⋅+⋅+⋅=+⋅)()()(C A B A C B A C A B A C B A 利用真值表很容易证明这些公式的正确性。
如证明A·B=B·A ：(2)吸收律·还原律：⎩⎨⎧=+⋅+=⋅+⋅AB A B A A B A B A )()( ·吸收率：⎪⎩⎪⎨⎧+=⋅+⋅=+⋅⎩⎨⎧=+⋅=⋅+BA B A A B A B A A A B A A A B A A )( )( ·冗余律：C A AB BC C A AB +=++(3)摩根定律反演律（摩根定律）：⎪⎩⎪⎨⎧⋅=++=⋅BA B A B A B A . 二、逻辑代数的三个重要规则1.代入规则：任何一个含有变量A 的等式，如果将所有出现A 的位置（包括等式两边）都用同一个逻辑函数代替，则等式仍然成立。
这个规则称为代入规则。
2.反演规则：对于任何一个逻辑表达式Y ，如果将表达式中的所有“·”换成“＋”，“＋”换成“·”，“0”换成“1”，“1”换成“0”，原变量换成反变量，反变量换成原变量，那么所得到的表达式就是函数Y 的反函数Y （或称补函数）。
布尔代数基础
布尔代数基础和布尔函数的化简和实现布尔代数是分析和设计数字逻辑电路的数学工具。
因此这里从应用的角度向读者介绍布尔代数，而不是从数学的角度去研究布尔代数。
一、布尔代数的基本概念1、布尔代数的定义域和值域都只有“0”和“1”。
布尔代数的运算只有三种就是“或”(用＋表示)，“与”(用·表示)和“非”(用￣表示，以后用’表示)。
因此布尔代数是封闭的代数系统，可记为B=(k，＋，·，￣，0，1)，其中k表示变量的集合。
2、布尔函数有三种表示方法。
其一是布尔表达式，用布尔变量和“或”、“与”和“非”三种运算符所构成的式子。
其二是用真值表，输入变量的所有可能取值组合及其对应的输出函数值所构成的表格。
其三是卡诺图，由表示逻辑变量所有可能取值组合的小方格所构成的图形。
3、布尔函数的相等可以有两种证明方法，一种是从布尔表达式经过演绎和归纳来证明。
另一种就是通过列出真值表来证明，如两个函数的真值表相同，则两个函数就相等。
二、布尔代数的公式、定理和规则1、基本公式有交换律、结合律、分配律、0—1律、互补律、重叠律、吸收律、对合律和德·摩根律。
值得注意的是分配律有两个是：A·(B+C)=A·B+A·C和A+B·C=(A+B)·(A+C)，另外就是吸收律，A+AB=A；A+A’B=A+B它们是代数法化简的基本公式。
2、布尔代数的主要定理是展开定理(教材中称为附加公式)。
3、布尔代数的重要规则有对偶规则和反演规则。
三、基本逻辑电路1、与门F=A·B2、或门F=A+B3、非门F=A’(为了打字的方便，以后用单引号“’”表示非运算，不再用上划线表示非运算)4、与非门F=（A·B）’5、或非门F=（A+B）’6、与或非门F=（A·B+C·D）’7、异或门F=A’B+AB’=A⊕B8、同或门F=A’B’+AB=A⊙B四、布尔函数的公式法化简同一个布尔函数可以有许多种布尔表达式来表示它，一个布尔表达式就相应于一种逻辑电路。
布尔代数的基本规则
布尔代数的基本规则布尔代数是一种逻辑计算的方法，它主要运用于电子电路和计算机领域。
在布尔代数中，只存在两种逻辑值，即真和假。
这两种逻辑值可以通过一系列运算得出相应的结果。
在布尔代数中，存在一些基本的规则和定律，这些规则和定律对于求解逻辑运算非常关键。
以下是布尔代数的基本规则：1. 与运算规则与运算也称为“乘法”，表示为“∩”。
对于任意两个逻辑变量A 和 B，有以下运算规则：真∩真=真真∩假=假假∩真=假假∩假=假2. 或运算规则或运算也称为“加法”，表示为“∪”。
对于任意两个逻辑变量A 和 B，有以下运算规则：真∪真=真真∪假=真假∪真=真假∪假=假3. 非运算规则非运算也称为“取反”，表示为“~”。
对于任何逻辑变量 A，有以下运算规则：~真=假~假=真4. 吸收律吸收律是指在与运算或或运算中，对于一个变量进行两次操作等于一次操作的规律。
吸收律有以下两个定律：A∩(A∪B)=AA∪(A∩B)=A5. 分配律分配律指在与运算或或运算中，一个变量与一组变量的运算结果与一个变量与这组变量中每个变量的运算结果的和之间等效的规律。
分配律有以下两个定律：A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)6. 结合律结合律是指在同种运算规则下，先运算任意两个变量得到的结果与其中一个变量与剩余变量运算之后得到的结果是相等的规律。
结合律有以下两个定律：(A∩B)∩C=A∩(B∩C)(A∪B)∪C=A∪(B∪C)7. 常数运算布尔代数中出现的“1”表示真，“0”表示假。
对于任何逻辑变量 A，有以下常数规则：A∪1=1A∩0=0通过以上基本规则，我们可以对逻辑运算有着深入的认识并用于实际应用中。
当我们设计电子电路或者编写计算机程序时，十分需要严格遵守这些规则，以便确保逻辑的正确性。
同时，这些规则在逻辑思维和分析问题的能力的提升方面也具有重要的指导意义。
逻辑代数基本运算规则和基本定律
逻辑代数基本运算规则和基本定律
逻辑代数（又称布尔代数），它是分析设计逻辑电路的数学工具。
虽然它和普通代数一样也用字母表示变量，但变量的取值只有“0”，“1”两种，分别称为逻辑“0”和逻辑“1”。
这里“0”和“1”并不表示数量的大小，而是表示两种相互对立的逻辑状态。
逻辑代数所表示的是逻辑关系，而不是数量关系。
这是它与普通代数的本质区别。
注意：在逻辑代数中，只有加、乘、非运算，没有减、除、移项运算。
1、逻辑代数基本运算规则
；；；
；；；；。
2、基本定律
交换律
结合律
分配律
―――――注意：普通代数不成立
反演律即摩根定理
可以推广到多变量
可以推广到多变量
吸收律。
第3章 布尔代数与逻辑函数化简
F = GC + G C = G = A B
布尔代数与逻辑函数化简
例8. F = A B C + AB C 解：令 B C = G ，则
F = A G + AG = A
例9. F = A B C + A B C + A B C + AB C 解：原式 = A C + A C = C 利用等幂律，一项可以重复用几次。 利用等幂律，一项可以重复用几次。
F = AB + AC = A B + A C
布尔代数与逻辑函数化简
2. 逻辑函数不同形式的转换 逻辑函数的形式是多种多样的， 逻辑函数的形式是多种多样的，一个逻辑问题可以用 多种形式的逻辑函数来表示， 多种形式的逻辑函数来表示，每一种函数对应一种逻辑电 路。逻辑函数的表达形式通常可分为五种：与或表达式、 逻辑函数的表达形式通常可分为五种：与或表达式、 与非−与非表达式、与或非表达式、或与表达式、或非 或 与非 与非表达式、与或非表达式、或与表达式、或非−或 与非表达式 非表达式。 非表达式。
布尔代数与逻辑函数化简
例10. F = A B C D + A B C D + A BCD + AB C D + A B C D , 与其余四项均是相邻关系，可以重复使用。 其中 A B C D 与其余四项均是相邻关系，可以重复使用。 解：
ABC D + ABC D = BC D A B C D + AB C D = AC D A B C D + A B CD = A B D ABC D + ABC D = ABC
F = A B + AC
布尔代数与逻辑函数化简
布尔代数化简
布尔代数化简一、布尔代数化简的概念与意义布尔代数化简，是指将一个复杂的布尔表达式通过一定的运算和规律，简化为一个更简单、易于理解和计算的布尔表达式。
它在数字电路设计、逻辑运算和计算机科学等领域具有重要的意义。
通过化简布尔表达式，可以降低电路的复杂度，提高运算速度和效率。
二、布尔代数的基本运算与定律1.布尔加法：两个布尔变量A、B的和为A·B。
2.布尔乘法：两个布尔变量A、B的积为A×B。
3.布尔减法：布尔变量A与B的差为A⊕B。
4.布尔非运算：布尔变量A的非为。
布尔代数的基本定律：1.分配律：A×(B+C) = (A×B) + (A×C)2.结合律：((A×B)×C) = (A×(B×C))3.吸收律：A×A = A，× =三、布尔代数化简的方法与步骤1.替换法：用简单的变量替换复杂的变量，使得表达式更易于化简。
2.分配律法：利用分配律对布尔表达式进行化简。
3.结合律法：利用结合律对布尔表达式进行化简。
4.吸收律法：利用吸收律对布尔表达式进行化简。
5.摩根定律：利用摩根定律对布尔表达式进行化简。
四、实例分析与解答例如，给定布尔表达式：A×(B+C) + D×(E+F)化简过程如下：1.使用分配律，将表达式拆分为两部分：A×B + A×C + D×E + D×F2.利用摩根定律，将乘法运算转化为加法运算：(A·B") + (A·C") + (D·E") + (D·F")3.继续化简，利用布尔加法、减法和非运算：A·B" + A·C" + D·E" + D·F"五、化简后的布尔表达式的应用化简后的布尔表达式在数字电路设计和计算机科学领域具有广泛的应用。
布尔代数
一：布尔代数的基本公式下面我们用表格来列出它的基本公式:下面我们来证明其中的两条定律：（1）证明：吸收律1第二式AB+AB=A左式=AB+AB=A（B+B）=A=右式（因为B+B=1）（2）证明：多余项定律AB+AC+BC=AB+AC左式=AB+AC+BC=AB+AC+BC（A+A)=AB+AC+ABC+ABC=AB（1+C）+AC（1+B）=AB+AC=右式证毕注意：求反律又称为摩根定律，它在逻辑代数中十分重要的。
二：布尔代数的基本规则代入法则它可描述为逻辑代数式中的任何变量A，都可用另一个函数Z 代替，等式仍然成立。
对偶法则它可描述为对任何一个逻辑表达式F，如果将其中的“+”换成“*”，“*”换成“+”“1”换成“0”，“0”换成“1”，仍保持原来的逻辑优先级，则可得到原函数F的对偶式G，而且F与G互为对偶式。
我们可以看出基本公式是成对出现的，二都互为对偶式。
反演法则有原函数求反函数就称为反演（利用摩根定律），我们可以把反演法则这样描述：将原函数F中的“*”换成“+”，“+”换成“*”，“0”换成“1”，“1”换成“0”；原变量换成反变量，反变量换成原变量，长非号即两个或两个以上变量的非号不变，就得到原函数的反函数。
的基本公式下面我们用表格来列出它的基本公式:下面我们来证明其中的两条定律：（1）证明：吸收律1第二式AB+AB=A左式=AB+AB=A（B+B）=A=右式（因为B+B=1）（2）证明：多余项定律AB+AC+BC=AB+AC左式=AB+AC+BC=AB+AC+BC（A+A)=AB+AC+ABC+ABC=AB（1+C）+AC（1+B）=AB+AC=右式证毕注意：求反律又称为摩根定律，它在逻辑代数中十分重要的。
二：布尔代数的基本规则代入法则它可描述为逻辑代数式中的任何变量A，都可用另一个函数Z 代替，等式仍然成立。
对偶法则它可描述为对任何一个逻辑表达式F，如果将其中的“+”换成“*”，“*”换成“+”“1”换成“0”，“0”换成“1”，仍保持原来的逻辑优先级，则可得到原函数F的对偶式G，而且F与G互为对偶式。
2-2-026布尔代数定律.doc
1．事故树分析基础(教材P130) PPt 2-2-026插件(1)布尔代数基本运算律定义：由元素a，b，c，······组成的集合B称为一个布尔代数，如果B中定义了两个二元运算+ 与·（分别称为加法和乘法），它们具有以下基本运算性质：1)结合律：（A+B）+ C = A +（B+C）(A•B)•C=A•（B•C）2)交换律：A+B=B+A A•B=B•A3)分配律：①A•(B+C)=A•B+A•C②A+(B•C)=(A+B)•(A+C)4)互补律：A+A'=1 A•A'=05)对合律：(A')'=A6)幂等律：A•A=A A+A=A7)重叠律：A+A'B =A+B= B+B'A（A+A'B =A+B=B+A B+B'A=B+A=A+B）8)吸收律：A+AB=A A•(A+B) = A9)德·摩根律：(A+B) '=A'B' (AB)'=A'+B'以上的运算方法中有些运算与普通代数是相同的，如交换律、结合律、第一种分配律；然而与普通代数相比，有些运算律则不同，如幂等律、第二种分配律，另外，在普通代数中没有求补运算，因此也就没有互补律、对合律、德•靡根定律。
虽然布尔代数的运算和普通代数不尽相同，但它们与集合的运算律却完全一致。
它们有如下定理：·定理：任意集合E的一切子集所组成的集合对于并、交、补运算构成一布尔代数。
空集和全集合分别为它的“零”元素和“单位”元素（就事故树逻辑关系来理解，就是“0”和“1”即事件“发生”和“不发生”两种状态）。
（2）布尔代数作为二值代数的特殊定义和性质：·布尔代数是一种二值代数，这是仅包含0和1两个元素的集合，因为只有0和1（分别称为零元素和单位元素），其中加法、乘法和补运算分别有以下定义和性质。
数电计算公式
数电计算公式
逻辑代数或称布尔代数。
它虽然和普通代数一样也用字母表示变量，但变量的值只有“1”和“0”两种，所谓逻辑“1”和逻辑“0”，代表
两种相反的逻辑状态。
在逻辑代数中只有逻辑乘（“与”运算），逻辑加（“或“运算）和求反（”非“运算）三种基本运算。
其实数字逻辑中会学到，其他课程中都会涉及，概率论也有提到
1.逻辑加
逻辑表达式：F=A+B
运算规则：0+0=0，0+1=1，1+0=1，1+1=1.
2.逻辑乘
逻辑表达式：F=AB运算规则：00=0，01=0，10=0，11=1.
3.逻辑反
逻辑表达式：
F=A运算规则：
——
1=0，0=1.
4.与非
逻辑表达式：
—
F=AB运算规则：略
5.或非
逻辑表达式：
F=A+B
运算规则：略
6.与或非
逻辑表达式：
F=AB+CD运算规则：略
7.异或
逻辑表达式：
F=AB+AB运算规则：略
8.异或非
逻辑表达式：
F=AB+AB运算规则：略
公式：
（1）交换律：A+B=B+A，AB=BA
（2）结合律：A+（B+C）=（A+B）+C A（BC）=（AB）C （3）分配律：A（B+C）=AB+AC（乘对加分配），A+（BC）=（A+B）（A+C）（加对乘分配）
（4）吸收律AB=A
A（A+B）=A
（5）0-1律：A+1=1 A+0=A
A0=0
A1=A
（6）互补律：
A+A=1
AA=0
（7）重叠律：A+A=A AA=A
（8）对合律：
A=A
（9）反演律：
A+B=AB
AB=A+B。
布尔代数化简
布尔代数化简摘要：1.布尔代数的基本概念2.布尔代数的运算法则3.布尔代数的化简方法4.布尔代数化简的实际应用正文：1.布尔代数的基本概念布尔代数（Boolean algebra），又称为逻辑代数，是由英国数学家乔治·布尔（George Boole）在19 世纪创立的一种代数系统。
布尔代数主要用于研究逻辑关系，它的基本元素是逻辑变量，通常用p、q、r 等表示。
逻辑变量只有两种取值，即真（1）和假（0）。
布尔代数的基本运算有与（∧）、或（∨）、非（）三种。
2.布尔代数的运算法则布尔代数的运算法则包括以下三个基本定律：（1）分配律：p ∧ (q ∨ r) = (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)，p ∨ (q ∧ r) = (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)（2）结合律：(p ∧ q) ∧ r = p ∧ (q ∧ r)，(p ∨ q) ∨ r = p∨ (q ∨ r)（3）交换律：p ∧ q = q ∧ p，p ∨ q = q ∨ p以及一个重言式：p ∧ p = p3.布尔代数的化简方法布尔代数化简的主要目的是将复杂的逻辑表达式简化为简单的逻辑表达式。
化简方法包括：（1）使用分配律将复杂的逻辑表达式拆分为简单的逻辑表达式。
（2）利用结合律和交换律改变逻辑表达式的结构，使其更易于理解。
（3）利用重言式p ∧ p = p 将复杂的逻辑表达式中的相同项合并。
4.布尔代数化简的实际应用布尔代数化简在实际应用中具有重要意义。
例如，在计算机科学中，逻辑电路的设计和分析需要用到布尔代数化简。
通过化简逻辑表达式，可以降低电路的复杂度，提高电路的运行效率。
逻辑代数基础
Y AC AB
AC( B B) AB(C C)
ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC m5 m6 m7
例1：画出 Y AC AB 的卡诺图
Y ABC ABC ABC m5 m6 m7
输入变量 BC 00 A 0 0 1 00 01 11 10 m0 m1 m3 m2 m4 m5 m7 m6 0
0 0 0 0 1 0 0 0
0 0 0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 0 0 1
② 最小项的性质 对于任意一个最小项，只有一组变量取值使 它的值为1，而在变量取其它各值时，这个 最小项的值都是零； 不同的最小项，使它的值为1的那组变量取 值也不同； 对于变量的同一组取值，任意两个最小项 的乘积为零； 对于变量的同一组取值，所有最小项的逻辑 或为1。
第2章 逻辑代数基础
§2.1 逻辑代数 § 2.2 逻辑函数表达式的形式与变换 §2.3逻辑函数的化简
§2.1逻辑代数的基本规则和定理
逻辑代数（又称布尔代数），它是分析和 设计逻辑电路的数学工具。虽然它和普通代 数一样也用字母表示变量，但变量的取值只 有“0”，“1”两种，分别称为逻辑“0”和逻 辑 “1”。这里“0”和“1”并不表示数量的大小， 而是表示两种相互对立的逻辑状态。
③最小项的编号
注：下标与编码所对应的十进制数值相同
④函数的最小项表达式
将逻辑函数表达式化成一组最小项之和，称为 最小项表达式。任何一个函数均可表达成 唯一的 最小项之和。 如：
L( A, B, C ) ( AB AB C ) AB
( AB A B C ) AB AB ABC AB ABC A BC ABC ABC m3 m5 m 6 m 7 m(3,5,6,7)
苏教版高中数学选修4-10：布尔代数
布尔代数与实数运算的异同
不同点：
但实数R上的加法、乘法运算不满足加法对 简洁的分配律、吸收律、幂等律。
实数R上的运算的有些性质｛0，1｝上的布 尔运算不满足
布尔代数与实数运算的异同
不同点：
有布尔代数中，有一种特殊的运算—求逆。 在实数中不具有这种运算。 布尔代数具有以下的性质： （x+y)’=x’y’
A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)
集合运算例题
4、吸收律：A∪(B∩C)=A，A∩(A∪B)=A
5、分配律：A∪ ðx A =X，A∩ ðx A= Ø 6、0-1律： A∪ X=X，A∩ Ø = Ø 7、幂等律： A∪A=A， A∩ A=A
关于命题运算
把所有命题的集合记为M。这样， “∨， ∧， ﹁”就构成集合M上的三种 运算。由于集合M上的三种运算，“∨， ∧， ﹁”满足布尔代数模型的九条性质， 所以，集合M与三种运算，“∨， ∧， ﹁”构成一个布尔代数模型，记为： ｛M ，∨， ∧， ﹁｝。
课外拓展
请同学们讨论布尔代数的9 条性质，分析这些性质与实数运 算的不同。
再见
(xy)’=x’+y’ 通常称之为德莫根公式。
一般布尔代数
任给一个集合M，它的元素可以是有限个， 也可以是无限多个，若对集合的元素定义了一个 加法运算“+”，一个乘法运算“.”和一个逆运 算“’”,且这三种运算都具有封闭性（即运算的 结果还是M中的元素），若这些运算满足结合律、 交换、分配律、吸收律、互补律、0-1律、德莫根 律、幂等律、双重逆反律九条性质，就称: {M；+，.，’} 是一个布尔代数。
集合运算例题
集合 P(X)与 P(X)上的三种运算 “∪”、“∩”、“ðx”构成一个布尔 代数的模型，记为：｛P(X); ∪∩ð}
逻辑代数
逻辑代数逻辑代数（又称布尔代数），它是分析设计逻辑电路的数学工具。
虽然它和普通代数一样也用字母表示变量，但变量的取值只有“0”，“1”两种，分别称为逻辑“0”和逻辑“1”。
这里“0”和“1”并不表示数量的大小，而是表示两种相互对立的逻辑状态。
若定义一种状态为“1”，则另一种状态就为“0”。
例：灯亮用“1”表示、则灯灭就表示为“0”，不考虑灯损坏等其它可能性。
逻辑代数所表示的是逻辑关系（因果关系），而不是数量关系。
这是它与普通代数的本质区别。
1. 基本运算法则一、逻辑代数运算法则从三种基本的逻辑运算关系，我们可以得到以下的基本运算法则（公式1—9）。
0 • 0=01 • 1=10 • 1=0 1 • 0=0公式10 •A=0公式2 1 •A=A 公式3 A •A=A 公式4A •A=0与运算或运算0+0=01+1=10+1=11+0=1公式50 +A=A 公式61+A=1公式7 A +A=A 公式8A+A=1非运算01=10=公式9AA =交换律：结合律：公式11A+B=B+A 公式10A• B=B • A公式13A+(B+C)=(A+B)+C=(A+C)+B 公式12 A• (B • C)=(A • B) • C分配律：公式14A(B+C)=A • B+A • C公式15A+B • C=(A+B)(A+C)（少用）证明：右边=AA+AC+BA+BC=A+AC+BA+BC=A （1+C+B ）+BC=A+BC吸收律：1. 基本运算法则公式16A （A+B ）=A 证明：左边=AA+AB=A+AB=A （1+B ）=A公式17A （A+B ）=AB普通代数不适用！证明：BA B A A A B A A +=++=+)15())((公式DCBC A DC BC A A ++=++被吸收B A B A A +=+公式19（常用）公式18A+AB=A （常用）证明：A+AB=A(1+B)=A•1=A CDAB )F E (D AB CD AB +=+++1. 基本运算法则例：例：1. 基本运算法则公式20AB+AB=A公式21（A+B ）（A+B ）=A（少用）证明：BC)A A (C A AB BCC A AB +++=++CA AB BC A C AB BC A ABC C A AB +=+++=+++=)1()1(推论：CA AB BCDC A AB +=++1C A AB BC C A AB +=++公式22（常用）摩根定律公式23B A AB +=（常用）公式24BA B A ∙=+（常用）记忆：记忆：可以用列真值表的方法证明：A B 00110011A B 00001111AB A+B 00111111A+B A• B 00000011公式25=⊕B A AB或A B =BA ⊕其中：BA B A B A +=⊕是异或函数BA AB B A+=是同或函数用列真值表的方法证明：A B 00110011ABAB10000100B A 11000000A B 1100B A ⊕0011A B其中，吸收律公式16 A （A+B ）= A 公式18 A+AB = A对偶式BA B A A +=+公式19公式20AB+AB=A 公式21(A+B)(A+B)=A对偶关系：将某逻辑表达式中的与（• ）换成或（+），或（+）换成与（• ），得到一个新的逻辑表达式，即为原逻辑式的对偶式。
布尔代数
任何有限布尔代数的基数为2n, n是自然数。
设B是有限代数系统，A是B中所有原子的集合。 则：B≅P(A), ∴|B|=|P(A)|=2|A|
等势的布尔代数系统均同构
设B1和B2是有限布尔代数，且|B1|=|B2|；A1,A2分别是相应 的原子的集合。由同构关系的传递性，只需证明： P(A1)≅P(A2)。
则称ϕ是B1到B2的同态映射。(若ϕ是双射，则是同构)
其实，上述3个等式不是独立的。
(2)+(3)⇒(1): ϕ(a∨b)=ϕ(((a∨b)')')= -ϕ((a∨b)')= -ϕ(a'∧ b')= -(ϕ(a')⋂ϕ(b'))= -(-ϕ(a)⋂-ϕ(b))=ϕ(a)⋃ϕ(b) 同理：(1)+(3)⇒(2)
有限布尔代数的表示定理的证明
ϕ: B → P(A), ∀x∈B, ϕ(x)=T(x)是同态映射。
ϕ(x∧y) = T(x∧y) = {b|b∈A, b≼x∧y} = {b|(b∈A, b≼x)且 (b∈A, b≼y)} = {b|b∈A,b≼x}⋂{b|b∈A,b≼y} = T(x)⋂T(y) = ϕ(x)⋂ϕ(y) 令x=a1 ∨ a2 ∨ … ∨ an , y=b1 ∨ b2 ∨ … ∨ bm 。 则x ∨ y= a1 ∨ … ∨ an ∨ b1 ∨ … ∨ bm , 显然：ϕ(x∨y) = T(x∨y) = T(x)⋃T(y) = ϕ(x) ⋃ ϕ(y) 设x'是x在B中的补元。注意： ϕ(x)⋃ϕ(x')=ϕ(x ∨ x')=ϕ(1)=A 且 ϕ(x)⋂ϕ(x')=ϕ(x ∧ x')=ϕ(0)=∅ ∴ϕ(x') = ∼ϕ(x)
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7.分配律 8.吸收律1 9.吸收律2 10.吸收律3 11.多余项定律 12.求反律 13.否否律
AB C AB AC A BC A BA C
( A B)( A B) A
AA B A
AA B AB
AB AB A A AB A A AB A B
(A B)(AC)(B C) (A B)(AC) AB AC BC AB AC
AB A B
A B AB
A A
1. 求反律（摩根定律） 摩根定律的真值表
AB
AB
A B
A B
AB
00
1
1
1
1
01
1
1
0Leabharlann 01011
0
0
11
0
0
0
0
由真值表可知：
AB A B
A B AB
2. 多余项定律
常用的为表2.1中的后一种形式，即 AB AC BC AB AC
它的正确性可用基本公式中的 A A 1 A1 1来证明
证明：
左端 AB AC BC 1 AB AC BC A A
AB AC ABC ABC
AB ABC AC ABC
AB1 C AC1 B AB AC 右端即
AB AC BC AB AC
在基本公式中，我们应当牢记以下几个常用结论： ● 1加任何变量，结果都为1；0乘任何变量，结果都为0。
● 多个同一变量的和仍然是它本身，例如：A A A A
多个同一变量的积仍然是它本身，例如：A A A A
●同一变量的原变量与反变量之和恒为1, 例如： x x 1
同一变量的原变量与反变量之积恒为0，例如： x x 0
● 摩根定律： AB A B A B A B
● A AB A B AB AC BCD AB AC