布尔代数与逻辑函数化简
第三章布尔代数与逻辑函数化简
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和 ( A + A)
_
乘第二项和第三项， ( B + B)
_
(2) 真值表法。将原逻辑函数A、B、C 取不同 值组合起来，得其真值表，而该逻辑函数是将F=1 那些输入变量相或而成的，如表3 - 3所示。
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= A B + A B + ( A B + A B )CD
令 A B + A B = G, 则
F = G + G CD = G + CD = A B + A B + CD
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3. 应用多余项定律 ( AB + A C + BC = AB + A C )
例 10 解 化简
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此例就是用 (C + C ) 和 ( A + A) 分别去乘第三项和第四项， 然后再进行化简。
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_
6. 添项法
在函数中加入零项因子 x . x 或 x . x f ( AB . ..) ，利用 加进的新项，进一步化简函数。 例 14 化简 = AB C + ABC AB 。 F
第三章 布尔代数与逻辑函数化简
3.1 3.2 3.3 基本公式和规则 逻辑函数的代数法化简 卡诺图化简
数字逻辑电路 第三章 布尔代数与逻辑函数化简(52P)
例4 F=AD+AD+AB+AC+BD+ACEG+BEG+DEGH 解: 原式=A+AB+AC+BD+ACEG+BEG+DEGH （吸收律1）
=A+AC+BD+BEG+DEGH (吸收律2)
=A+C+BD+BEG+DEGH（吸收律3） =A+C+BD+BEG （多余项定律）
例5
F=AB+BC+BC+AB F=AB+BC+BC（A+A）+AB（C+C） （互补律A+A=1） =AB+BC+ABC+ABC+ABC+ABC （分配律） =AB+BC+ABC+ABC+ABC（吸收律2： AB+ABC=AB） =AB+BC+ABC+ABC （吸收律2： BC+ABC=BC） =AB+BC+AC（吸收律1:ABC+ABC=AC）
反函数
③ 反演法则
例：求F A B C D E的反函数F
F A B C D E A B C D E A BC D E A BC DE
上述过程要反复应用求反律。而利用反演法则直接写出结果。
F A B C D E
3.1.3 基本公式应用
5.交换律
6.结合律 7.分配律 8.吸收律1
A· B= B· A
A· (B· C)= (A· B)· C A(B+C)=AB+AC (A+B)(A+B)=A
用代数法化简逻辑函数
用代数法化简逻辑函数一、引言逻辑函数是计算机科学中的重要概念之一，它是由一个或多个逻辑变量构成的表达式。
在实际应用中，我们需要对逻辑函数进行化简，以便更好地理解和优化电路设计。
本文将介绍代数法化简逻辑函数的方法。
二、基本概念1. 逻辑变量：指只能取两个值（真或假）的变量。
2. 逻辑运算：指对逻辑变量进行操作的运算符，包括非（NOT）、与（AND）、或（OR）等。
3. 逻辑表达式：由逻辑变量和逻辑运算符组成的表达式。
三、代数法化简方法1. 布尔代数定律布尔代数定律包括以下几种：（1）结合律：A AND (B AND C) = (A AND B) AND C；A OR (B OR C) = (A OR B) OR C。
（2）交换律：A AND B = B AND A；A OR B = B OR A。
（3）分配律：A AND (B OR C) = (A AND B) OR (A AND C)；A OR (B AND C) = (A OR B) AND (A OR C)。
（4）吸收律：A OR (A AND B) = A；(A OR B) AND A = A。
（5）恒等律：A AND 1 = A；A OR 0 = A。
（6）补充律：A OR NOT A = 1；A AND NOT A = 0。
2. 化简步骤化简逻辑函数的基本步骤如下：（1）将逻辑函数写成标准形式；（2）应用布尔代数定律进行化简；（3）使用代数运算法则进行化简；（4）使用卡诺图进行化简。
四、例子假设有一个逻辑函数F(A,B,C)=AB+BC+AC，要将其化简为最简形式。
步骤如下：（1）将逻辑函数写成标准形式：F(A,B,C)=(A AND B) OR (B AND C) OR (A AND C)。
（2）应用布尔代数定律进行化简：F(A,B,C)=(A AND B) OR (B AND C) OR (A AND C)=(A AND B) OR (B AND C)=(B AND (A OR C)) OR (A AND B)（3）使用代数运算法则进行化简：F(A,B,C)=(B AND (A OR C)) OR (A AND B)=(AB OR BC) OR AC=AB+BC+AC因此，原来的逻辑函数F可以被化简为最简形式AB+BC+AC。
数字电路习题解答习题解答-组合
01
11 1
10 1
1 1 1
4、 用卡诺图法化简下列各式。 AB C 00 0 1 1 01 1 1 11 1 1 10 1 1
(3) F=AB+AB+BC+AC = A+B+C
1、用布尔代数化简逻辑函数表达式。
(1) F=(A+B)(A B) = A B (2) F=A+ABC+ABC+CB+C B = A+BC+BC (3) F=AB+A B+AB+AB = 0 (4) F=(A+B+C)(A+B+C) = (A+B)+CC = A+B (5) F=ABCD+ABD+BCD+ABCD+BC = AB+BC+BD (6) F=AC+ABC+BC+ABC = BC (7) F=AB+ABC+A(B+AB) = 0 (8) F=(A+B)+(A+B)+ (AB)(AB) = 0
F= A0A1A2A3+A4A5A6A7+A8A9A10A11+A12A13A14A15 = A0A1A2A3A4A5A6A7A8A9A10A11A12A13A14A15
只有当变量A0~A15全为0时，F = 1；否则，F = 0。 因此，电路的功能是判断变量是否全部为逻辑“0”。
分析下图所示逻辑电路，列出真值表，说明其逻辑关系。
由真值表可知：M=1 时，完成8421 BCD码到格雷码的转换；
数字电子技术教学大纲(物联网工程专业)
《数字电子技术》课程教学大纲课程名称：数字电子技术英文名称：Digital Electronic Technology 课程代码: 课程类别: 必修专业基础学分: 2 学时: 32开课单位: 计算机科学与信息工程学院适用专业: 物联网工程制订人：谭晓东审核人：黄华升审定人: 陶程仁一、课程的性质和目的（一）课程性质本课程是计算机与技术、物联网工程等本科专业的必修专业基础课。
且为主干课程。
本课程主要讲述数字逻辑的基本概念、基本定律和基本分析方法，数字逻辑电路的特性、功能，分析方法及应用。
（二）课程目的课程教学所要达到的目的是：1．能正确理解本课程的基本概念、基本理论；2．掌握数字电路的工作原理、性能和特点；3．掌握数字电路的基本分析方法和设计方法；4．能独立的应用所学的知识去分析和求解从工程中抽象出的逻辑问题以及与专业有关的某些数字电路的实际问题，并具有工程计算和分析能力，为后续专业课程的学习打下基础。
二、与相关课程的联系与分工要求学生具备高等数学、大学物理、电路理论、半导体器件等方面的知识，才能进入该课程的学习，该课程为后续电子计算机及接口技术等方面的课程及专业课程中的电子电路实际应用奠定基础。
三、教学内容及要求第一章数制与代码本章是学习数字逻辑电路及其工作原理的基础，应掌握各种数制、代码的特点及相互之间的转换规律。
1.1 进位计数制1.1.1进位计数制的基本概念1.1.2 常用进位计数制1.2 数制转化1.2.1 非十进制转化成十进制数1.2.2 十进制数转化成其它进制数1.2.3 二进制数转化成八进制数或十六进制数1.2.4 八进制数或十六进制数转化成二进制数1.3 常用代码1.3.1 二—十进制码（BCD码）1.3.2 可靠性编码1.3.3 字符代码【重点与难点】本章主要讲述简单的逻辑运算及常用的逻辑门。
重点是熟练掌握基本逻辑运算、各种门电路的图形符号及其输出函数表达式，正确处理各种门电路使用中的实际问题。
逻辑函数化简公式大全
逻辑函数化简公式大全逻辑函数化简是在布尔代数中常用的一种方法，它通过应用逻辑运算规则和布尔代数定律，将复杂的逻辑函数简化为更简洁的形式。
这种简化可以减少逻辑电路的复杂性，提高计算机系统的效率。
以下是一些常见的逻辑函数化简公式大全：1. 与运算的化简：- 与运算的恒等律：A∧1 = A，A∧0 = 0- 与运算的零律：A∧A' = 0，A∧A = A- 与运算的吸收律：A∧(A∨B) = A，A∧(A∧B) = A∧B- 与运算的分配律：A∧(B∨C) = (A∧B)∨(A∧C)- 与运算的交换律：A∧B = B∧A2. 或运算的化简：- 或运算的恒等律：A∨1 = 1，A∨0 = A- 或运算的零律：A∨A' = 1，A∨A = A- 或运算的吸收律：A∨(A∧B) = A，A∨(A∨B) = A∨B- 或运算的分配律：A∨(B∧C) = (A∨B)∧(A∨C)- 或运算的交换律：A∨B = B∨A3. 非运算的化简：- 非运算的双重否定律：(A) = A- 非运算的德摩根定律：(A∧B) = A∨B，(A∨B) = A∧B4. 异或运算的化简：- 异或运算的恒等律：A⊕0 = A，A⊕1 = A- 异或运算的自反律：A⊕A = 0- 异或运算的结合律：A⊕(B⊕C) = (A⊕B)⊕C- 异或运算的交换律：A⊕B = B⊕A5. 条件运算的化简：- 条件运算的恒等律：A→1 = 1，A→0 = A- 条件运算的零律：A→A' = 0，A→A = 1- 条件运算的反转律：A→B = A∨B- 条件运算的分配律：A→(B∧C) = (A→B)∧(A→C)这些公式是逻辑函数化简中常用的基本规则，通过灵活应用它们，可以将复杂的逻辑表达式简化为更简单的形式。
使用这些规则，我们可以提高逻辑电路的效率和简洁性，并降低硬件成本。
第三章 逻辑函数化简
一：布尔代数的基本公式公式名称公式1、0-1律A*0=0 A+1=12、自等律A*1=A A+0=A3、等幂律A*A=A A+A=A4、互补律A*A=0 A+A=15、交换律A*B=B*A A+B=B+A6、结合律A*（B*C）=（A*B）*C A+（B+C）=（A+B）+C7、分配律A（B+C）=AB+AC A+BC=（A+B）（A+C）8、吸收律1（A+B）（A+B）=A AB+AB=A9、吸收律2A（A+B）=A A+AB=A10、吸收律3A（A+B）=AB A+AB=A+B11、多余项定律（A+B）（A+C）（B+C）=（A+B）（A+C）AB+AC+BC=AB+AC12、否否律（）=A13、求反律AB=A+B A+B=A*B下面我们来证明其中的两条定律：（1）证明：吸收律1第二式AB+AB=A左式=AB+AB=A（B+B）=A=右式（因为B+B=1）（2）证明：多余项定律AB+AC+BC=AB+AC左式=AB+AC+BC=AB+AC+BC（A+A)=AB+AC+ABC+ABC=AB（1+C）+AC（1+B）=AB+AC=右式证毕注意：求反律又称为摩根定律，它在逻辑代数中十分重要的。
二：布尔代数的基本规则代入法则它可描述为逻辑代数式中的任何变量A，都可用另一个函数Z 代替，等式仍然成立。
对偶法则它可描述为对任何一个逻辑表达式F，如果将其中的“+”换成“*”，“*”换成“+”“1”换成“0”，“0”换成“1”，仍保持原来的逻辑优先级，则可得到原函数F的对偶式G，而且F与G互为对偶式。
我们可以看出基本公式是成对出现的，二都互为对偶式。
反演法则有原函数求反函数就称为反演（利用摩根定律），我们可以把反演法则这样描述：将原函数F中的“*”换成“+”，“+”换成“*”，“0”换成“1”，“1”换成“0”；原变量换成反变量，反变量换成原变量，长非号即两个或两个以上变量的非号不变，就得到原函数的反函数。
第十章 逻辑函数及其化简(逻辑门电路)
变量取值
01 11 10
1. 变量值排序有何规则？ 答： 2. 方格中添什么值？ 思考？
二、卡诺图 从真值表 与 A 0 0 1 1 或 A 0 0 1 1
逻辑真值表
到卡诺图 F B A 0 1 F B A
B 0 1 0 1
F 0 0 0 1
0 0 0
1 0 1
逻辑真值表
0
1
B 0 1 0 1
F 0 1 1 1
A BC A B） A C） （ （
证明：右式 = A +AC +AB +BC = A（1+C+B）+BC = A+BC = 左式
A B A B A
证明： 左式 = A（B+B） = A = 右式
A A B A B
右式=(A+B)(A+A) = A+AB+AA+AB =A+AB = 左式
二、逻辑代数的基本公式和定理
§10-1
交换律
公理 、公式和 定理 是逻辑运算和逻辑式化简的基本依据 代数定理 基本公式 公理
11 1
00 0 0 1 0
11 1 0 1 1 0
常 用 公 式
00 0 0 1 1
A 1 A A0 0 AA A AA 0 A 1 1 A0 A AA A A A 1 AA
摩根 定理
AB B A A B AB
提炼
AB AB A A AB A
A B A C B C A B A C AB AC AB AC
A AB A B
二、逻辑代数的基本公式和定理 公理公式
逻辑函数公式法化简
逻辑函数公式法化简逻辑函数是分析和设计数字电路的数学依据和基础，用化简后的表达式构成逻辑电路可节省器件，降低成本，提高工作的可靠性，因此将逻辑函数化简为最简式是至关重要的。
逻辑函数的化简一般有两种方法：卡诺图化简法、公式化简法。
本文主要阐述公式化简法的注意事项，其目的在于帮助学生理清解题步骤，减轻学生学习负担。
标签：逻辑函数，公式法，化简1 引言逻辑函数又称布尔代数，是分析和设计数字电路的数学依据和基础，它最初的表达式一般重复性较多，使构成的电路复杂化.用化简后的表达式构成逻辑电路可节省器件，降低成本，提高工作的可靠性，因此将逻辑函数化简为最简式是至关重要的。
而公式化简法是学生学习数字电路中的一个难点，大部分学生在看到题目之后，不知从何处开始下手，不知道用何种方法，即没有解题思路。
2 最简式的判断依据一个与或表达式的最简标准是：1、乘积项个数最少，2、每个乘积项中变量因子最少。
这个标准是一个模糊概念，一个逻辑函数的最简结果应是几个乘积项，乘积项中应是几个变量，显然是不能定论的，鉴别的方法是用基本公式再无法化简时，可认为该逻辑表达式是最简函数。
这就要求逻辑设计者具有一定的逻辑函数化简经验并掌握技巧才行乘积项个数最少。
因此本人通过教学和参考相关教学资料，总结出最简式的判断依据为：1、函数表达式中只存在“与” 、“与-或”逻辑运算（单个自变量可看作它本身与1）；2、与运算乘积项中自变量的个数最少；3、每个自变量在式子中重复出现的机会最少：一般情况下每个自变量以相同的形式出现一次。
以上依据只是定性表达，“最少”的含义只有在具体实例中才能领会，下面就公式法举例说明。
比如：化简函数化简得到：我们来判断此式，勉强符合依据1和2，但A和B以原变量的形式分别出现了两次，不符合依据3中的“最少”条件，因此不是最简式.继续化简如下：3 公式法化简技巧（1）尽量减少记忆的公式由于公式繁多，不易记住，学生即使记住公式，也不知道如何应用公式化简，因此在教学中要尽量减少学生记忆公式，对于能简单计算出的公式，要求学生通过计算或简单化简得到。
布尔代数与逻辑函数化简
最大项性质： 1. 任何取值下仅有一个 最大项为0 互为 对偶
2. mi ⋅ m j = 0(i ≠ j )
3.
2. M i + M j = 1(i ≠ j )
∑
mi = 1
3.
∏M
i
=0
4. 任何函数均可表示为 最小项之和形式 5. 相邻的两个最小项可合 并为一项，并消去一个 因子
4. 任何函数均可表示为 最大项之积形式 5. 相邻的两个最大项可合 并为一项，并消去一个 因子
A+ B +C + D A+ B +C + D A+ B + B + D
A+ B +C + D
A+ B +C + D
A+ B +C + D A+ B +C + D A+ B +C + D A+ B +C + D
ABCD
2010.9
3. 最小项和最大项的性质
Bai Tianrui
最小项性质： 1. 任何取值下仅有一个 最小项为1
F1 = AB + B C + AB C
和项之积（先或后，POS—Product of sums ：
F2 = ( A + B )( B + C )( A + C )
2010.9
2. 最小项和最大项
Bai Tianrui
最小项（Minterms） ：在n变量逻辑函数中，如果mi是包含 n个变量的乘积项，且这n个变量均以原变量或反变量 的形式在mi中出现且仅出现一次，则mi被称 为n个变量的最小项。
第3章 布尔代数与逻辑函数化简
F = GC + G C = G = A B
布尔代数与逻辑函数化简
例8. F = A B C + AB C 解：令 B C = G ，则
F = A G + AG = A
例9. F = A B C + A B C + A B C + AB C 解：原式 = A C + A C = C 利用等幂律，一项可以重复用几次。 利用等幂律，一项可以重复用几次。
F = AB + AC = A B + A C
布尔代数与逻辑函数化简
2. 逻辑函数不同形式的转换 逻辑函数的形式是多种多样的， 逻辑函数的形式是多种多样的，一个逻辑问题可以用 多种形式的逻辑函数来表示， 多种形式的逻辑函数来表示，每一种函数对应一种逻辑电 路。逻辑函数的表达形式通常可分为五种：与或表达式、 逻辑函数的表达形式通常可分为五种：与或表达式、 与非−与非表达式、与或非表达式、或与表达式、或非 或 与非 与非表达式、与或非表达式、或与表达式、或非−或 与非表达式 非表达式。 非表达式。
布尔代数与逻辑函数化简
例10. F = A B C D + A B C D + A BCD + AB C D + A B C D , 与其余四项均是相邻关系，可以重复使用。 其中 A B C D 与其余四项均是相邻关系，可以重复使用。 解：
ABC D + ABC D = BC D A B C D + AB C D = AC D A B C D + A B CD = A B D ABC D + ABC D = ABC
F = A B + AC
布尔代数与逻辑函数化简
《数字电子技术(第三版)》3布尔代数与逻辑函数化简
《数字电子技术(第三版)》3布尔代数与逻辑函数化简数字电子技术第3章布而代数与逻辑函数化简学习要点：学习要点：三种基本运算，基本公式、定理和规则。
逻辑函数及其表示方法。
逻辑函数的公式化简法与卡诺图化简法。
无关项及其在逻辑函数化简中的应用。
3.1基本公式和规则3.1.1逻辑代数的公式和定理(1)常量之间的关系与运算：00=001=010=011=1或运算：0+0=0非运算：1=00+1=10=11+0=11+1=1(2)基本公式A+0=A0-1律：A1=A互补律：A+A=1A+1=1A0=0AA=0双重否定律：A=A等幂律：A+A=A(3)基本定理AB=BA交换律：A+B=B+A(AB)C=A(BC)结合律：(A+B)+C=A+(B+C)A00A(B+C)=AB+AC1分配律：A+BC=(A+B)(A+C)1BA.BB.A000100000111A.B=A+B反演律(摩根定律):A+B=AB证明分配率：A+BC=(A+B)(A+C)证明：证明：(A+B)(A+C)=AA+AB+AC+BC=A+AB+AC+BC=A(1+B+C)+BC=A+BC分配率A(B+C)=AB+AC等幂率AA=A等幂率AA=A分配率A(B+C)=AB+AC0-1率A+1=1(4)常用公式AB+AB=A还原律：(A+B)(A+B)=AA+AB=A吸收率：A(A+B)=AA(A+B)=ABA+AB=A+B证：A+AB=(A+A)(A+B)明分配率A+BC=(A+B)(A+C)互补率A+A=1互补率A+A=10-1率A·1=11=1 =1(A+B)=A+B冗余律：AB+AC+BC=AB+AC证明：AB+AC+BC=AB+AC+(A+A)BC=AB+AC+ABC+ABC互补率A+A=1互补率A+A=1分配率A(B+C)=AB+AC0-1率A+1=1=AB(1+C)+AC(1+B)3.1.2逻辑代数运算的基本法则(1)代入法则：任何一个含有变量A的等式，如果将所有出现A的位置都用同一个逻辑函数代替，则等式仍然成立。
第3章 布尔代数与逻辑函数化简3[1].1-3.2
![第3章 布尔代数与逻辑函数化简3[1].1-3.2](https://img.taocdn.com/s3/m/ea93d691daef5ef7ba0d3c67.png)
A B
AB
求反率
A 0 0 1 1 B 0 1 0 1
AB
＝AB
AB
1 0 0 0
1 0 0 0
AB
1 1 1 0
1 1 1 0
3. 分配律证明
ABC B· C
A+BC = (A+B)(A+C)
A+BC (A+B) (A+C) (A+B)(A+C)
000 001 010 011 100 101 110 111
_
_
F A B C D E
_
_
_
_
例2 与上面用摩根定律求出结果一样。
逻辑代数的基本法则
注意：在运用反演规则求一个函数的反函数时，逻辑 运算的优先顺序： 先算括号 与运算 或运算 非运算。
另外，为保持原式的逻辑优先关系， 也要正确使用括 号， 否则就要发生错误。
3.1.3 基本公式应用
(4) 或非-或非式
将或与表达式两次取反， 用摩根定律展开一次 得或非-或非表达式
F ( A B)( A C ) A B A C
_ _
同一逻辑的五种逻辑图
A B A C
&
≥1
A B F A C
& & &
___ _
&
_
F
A B A C
_
&
≥1 F
a )AC与或式; (a) F AB ( A B A C ≥1
那么所得到的表达式就是函数F的反函数 (或称补函数) 。
反函数和对偶函数之间在形式上只差变量的“非”。
逻辑代数的基本法则
例1： F A( B C ) CD
数字电路_Ch04_布尔代数和逻辑化简
13
4.2 布尔代数的定理和法则
4.2.2 布尔代数法则
法则5：A + A = A
14
4.2 布尔代数的定理和法则
4.2.2 布尔代数法则
法则6：A + A’ = 1
15
4.2 布尔代数的定理和法则
4.2.2 布尔代数法则
法则7：A•A = A
16
4.2 布尔代数的定理和法则
4.2.2 布尔代数法则
例 4.12 (pp 103)
39
4.6 布尔表达式的标准形式
4.6.3 最小项(标准乘积项)之和的形式
最小项(标准乘积项)之和: 表达式的每一个乘积项都包含该表达式 域中的所有变量
最小项之和表达式应用于
• 构建真值表 • 卡诺图中的化简
40
4.6 布尔表达式的标准形式
4.6.3 最小项(标准乘积项)之和的形式
4.6.6 把最小项之和转换为最大项之积
例 4.17 把下面的最小项之和表达式转换为 等价的最大项之积表达式
ABC ABC ABC ABC ABC
( A B C )( A B C )( A B C )
51
4.7 布尔表达式和真值表
4.7.1
把乘积项之和表达式转换为真值表的形式
23
4.3 狄摩根定理
狄摩根定理
第二个定理：
变量之和的反码等于变量反码的乘积
对两个一上变量进行或运算之后的反码 等于单个变量反码再进行与运算的结果
24
4.3 狄摩根定理
狄摩根定理
25
4.3 狄摩根定理
狄摩根定理
例 4.3 摩根定理应用于 XYZ and X Y Z
第3章-布尔代数与逻辑函数化简
与项用与门实现
运算次序为先非后与再或，因此用三级电路实现之。
根据逻辑式画逻辑图的方法:
将各级逻辑运算用 相应逻辑门去实现。
布尔代数与逻辑函数化简
例1 图示为控制楼道照明的开关电路。两 个单刀双掷开关 A 和 B 分别安装在楼上和 楼下。上楼之前，在楼下开灯，上楼后关 灯；反之，下楼之前，在楼上开灯，下楼 后关灯。试画出控制功能与之相同的逻辑 电路。
ACB AC D BD ACB ACD ABC AD CD
布尔代数与逻辑函数化简
消去法 运用吸收律 A AB A B ，消去多余因子。
Y AB AC BC AB ( A B)C AB ABC AB C
Y AB AB ABCD ABCD
布尔代数与逻辑函数化简
但如果将函数化简后其函数式为 F=AC+B
只要两个门就够了， 如图3 - 4所示。
A
&
C
B
≥1 F
图 3 – 4 函数化简后的逻辑 图
布尔代数与逻辑函数化简
三、代数化简法
运用逻辑代数的基本定律和
公式对逻辑式进行化简。
并项法 运用 AB AB A，
将两项合并为一项，并消去一个变量。
0 –1 ·11律= 1
0+A=A
重叠律
互补律
1+A=1 A+A=A
1 ·A = A A ·A = A
0 ·A = 0
还原律
布尔代数与逻辑函数化简
二、基本定律 (一) 与普通代数相似的定律
交换律 A + B = B + A
A ·B = B ·A
结合律 (A + B) + C = A + (B + C) (A ·B) ·C = A ·(B ·C)
逻辑代数基本原理及公式化简
THANKS
感谢观看
未来发展方向与挑战
新技术与新应用
随着技术的不断发展，数字电路设计面临着 新的挑战和机遇，需要不断探索新的设计方 法和工具，以适应新的需求。
复杂系统设计
随着系统规模的扩大和复杂性的增加，需要研究更 加高效的设计方法和算法，以应对复杂系统的设计 挑战。
人工智能与自动化
人工智能和自动化技术的发展为数字电路设 计提供了新的思路和方法，可以进一步提高 设计的效率和智能化水平。
02
利用逻辑代数基本原理，可以分析组合逻辑电路的输入和输出
关系，简化电路结构。
通过公式化简，可以将复杂的逻辑表达式转换为简单的形式，
03
便于理解和应用。
时序逻辑电路的分析与设计
01
02
03
时序逻辑电路由触发器 和逻辑门电路组成，具
有记忆功能。
利用逻辑代数基本原理 ，可以分析时序逻辑电 路的状态转移和输出特
分配律与结合律
分配律
A⋅(B+C)=A⋅B+A⋅C，(A+B)⋅C=A⋅C+B⋅C
结合律
(A+B)+C=A+(B+C)，(A⋅B)⋅C=A⋅(B⋅C)
公式化简的步骤与技巧
利用分配律和结合律化简
利用吸收律和消去律化简
利用吸收律和消去律简化表达式 ，消除冗余项。
利用分配律和结合律将表达式重 组，便于化简。
在自动化控制系统中，逻辑代数用于描述和优化控制逻辑。
逻辑代数的发展历程
起源
逻辑代数由英国数学家乔治·布尔（George Boole ）在19世纪中叶提出。
发展
随着电子技术和计算机科学的进步，逻辑代数在 20世纪得到了广泛的应用和发展。
第3章 布尔代数与逻辑函数化简
由上面可以看出反复用摩根定律即可，当函数较 复杂时，求反过程就相当麻烦。
逻辑代数与逻辑函数
练习二
反演和对偶法则
1、求下面函数F的反函数F
F = AB+C+AD
2、求下面函数F的对偶式F’
F = A（BC+BC）+AC
3、说明对偶法则和反演法则的区别
逻辑代数与逻辑函数
3.1.3 逻辑函数的表达式的形式与转换方法
_ _ _ _ _ _
_
逻辑代数与逻辑函数
例2（2）法2
F A B C D E
F A B C D E A B C D E A B C D E A B C D E
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _
_
_
解：用摩根定律
________
( e) F A B A C 或非表达式
逻辑代数与逻辑函数
3.2
逻辑函数的代数法化简
3.2.1 逻辑函数与逻辑图 从实际问题总结出的逻辑函数可以用门电路组合 成逻辑图。
A B
&
≥1
1
1
F
&
图 2 – 14 AB A B 函数的逻辑图
_ _
逻辑代数与逻辑函数
从逻辑问题概括出来的逻辑函数式， 不一定是最 简式。化简电路，就是为了降低系统的成本，提高电 路的可靠性，以便用最少的门实现它们。例如函数：
_
_ ___Fra bibliotek_例4 求 F AB A C 的反函数 解： F AB AC ( A B) ( A C )
AA AB BC AC AB AC
_
逻辑代数与逻辑函数
第三章：布尔代数分析与数字电路逻辑化简表示(不同的展开方式)
第二章：布尔代数及其分析数字电路基于排列组合与数字集合论，和数理逻辑有一定距离。
在逻辑函数的计算方面，使用数理逻辑的非计算，能够化简布尔表达式。
布尔逻辑代数引进数字电路,与命题的真假判断有区别,因此逻辑函数用数字函数描述更有广泛的内涵:既包括逻辑计算也包括组合功能.英国数学家布尔的研究导致逻辑代数的出现，并被命名为布尔代数。
逻辑代数给数字电路建立二值逻辑模型,可进行具体数字系统的分析和设计,并在此基础上化简运算,得到数字系统的最优实现方法.使用布尔代数还可以揭示不同逻辑函数之间的相互关系,很清楚的发现这些逻辑函数所对应的具体数字电路之间的转换关系,根据实际需要灵活选择,实现不同数字电路的互换.§1.布尔代数系统的基本内容布尔代数系统建立在集合{0，1}上的运算和规则。
布尔代数的基本定律用恒等式的形式表示,包括代入,反演,对偶,展开四个基本运用规则,主要用来解决逻辑函数的变换与化简. 1布尔代数系统简介数字函数表达式：12(,,...,)n Y F A A A =，其中：12,,...,n A A A 称为输入变量，Y 叫做输出变量，F 称为逻辑函数，表示基本逻辑运算或复合逻辑运算。
def1在二值集{0,1}E =中，逻辑变量取值为0或1,称为布尔变元或变量。
注：布尔变元可用大写字母，也可用小写字母表示，但是一定要保持一致性。
def2从n E 到E 的函数被称为n 度布尔函数，其中n E =011{,,...,,,01}n i x x x x E i n -<>∈≤≤- 说明：n 度布尔函数与n 元组逻辑函数是一个概念，定义域是()n In E 。
2布尔代数的基本运算和复合运算表1：布尔代数与，或，非运算真值表说明：①与运算表示只有全部输入变量都为1时，输出变量为1；其它输入变量组合，得到得输出都为0。
②或运算表示只有全部输入变量都为0时，输出变量为0；其它输入变量组合，得到得输出都为1。
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在求对偶式时，为保持原式的逻辑优先关系， 应正确使用括号。
3.1.2 基本法则
公式名称
公式
1、0-1律 2、自等律 3、等幂律 4、互补律 5、交换律 6、结合律 7、分配律 8、吸收律1
A•0 0 A•1 A A• A A A• A 0 A•B B• A A • (B • C) (A • B) • C A(B C) AB AC (A B)(A B) A
F AB AC
A&
B
A&
C
1
F
3.1.3 基本公式的应用
（1）与非-与非式
F AB AC
将与或式两次取反，利用摩根定律一次即可。
F F AB AC AB• AC
A&
B
A&
C
&
F
3.1.3 基本公式的应用
（2）与或非式
F AB AC
① 求出反函数，化简为与或式
② 对反函数取反，即得与或非表达式
F AB AC AB AC
F AB AC
A & 1
B
F
A
C
3.1.3 基本公式的应用
（3）或与式 将与或非式用摩根定律展开，即得或与表达式
F AB AC
AB • AC ( A B)( A C)
A 1 B
A 1 C
&
F
3.1.3 基本公式的应用
（4）或非-或非式 将或与式两次取反，并用摩根定律展开一次即 得或非-或非表达式。
推广：在两项组成的与或表达式中，如果其中一项中含 有原变量 X，而另一项含有反变量 X ，将这两项的其余 因子各自取反，就可得到该函数的反函数。
3.1.3 基本公式的应用
2. 逻辑函数的不同形式的转换
与或表达式、与非-与非表达式、与或非表 达式、或与表达式、或非-或非表达式
例5：将下面函数与或表达式转换为其他形式
3.1.1 基本公式
12、求反律(摩根律)
AB
AB A•B
00
1
1
01
0
0
10
0
0
11
0
0
AB A B
1
1
1
1
1
1
0
0
3.1.1 基本公式
13、否否律
3.1.2 基本法则
❖代入法则：逻辑等式中的任何变量，都 可用另一函数代替，等式仍然成立。
例1：证明 A B C A • B • C
A B C
3.1.2 基本法则
❖反演(求反):由原函数求反函数。
摩根定律是进行反演得重要工具。 多次应用摩根定律，可以求出一个函数的反函数。 例2 求F的反函数 F A B C D E
F ABCDE
A•BC D E A•B•C•D E A•B•C•D•E
3.1.2 基本法则
❖反演法则：将原函数F其中的“+”换成“ ·”， “ ·”换成“+”；1换成0，0换成1；原变量换 成反变量，反变量换成原变量，长非号即两 变量以上的非号不变，则可得到原函数F的反 函数。
令D B C,则原式 A D A• D A• B C A• B •C
3.1.2 基本法则
❖对偶法则：对于任何一个逻辑表达式F，如 果将其中的“+”换成“ ·”，“ ·”换成“+”， 1换成0，0换成1，并保持原先的逻辑优先级， 变量不变，两变量以上的非号不动，则可得 到原函数F的对偶式G，且F和G互为对偶式。
0
10
0
011 1
1
11
1
100 0
1
11
1
101 0
1
11
1
110 0
1
11
1
111 1
1
11
1
3.1.1 基本公式
❖8、吸收律1
3.1.1 基本(1 B) A•1 A
3.1.1 基本公式
10、吸收律3
A AB (A A)(A B) AB
F ( A B)( A C)
(A B)(A C) A B A C
A 1 B
A 1 C
1
F
3.2 逻辑函数的代数法化简
❖ 逻辑函数与逻辑图
从实际问题中概括出来的逻辑函数，需要 落实到实现该函数的逻辑图(用逻辑门组成 的电路图)。
F AB AC
A
&
B
1
1
F
&
C
3.2 逻辑函数的代数法化简
❖ 逻辑函数化简的一般原则
逻辑电路所用的门最少 各个门的输入端要少 逻辑电路所用的级数要少 逻辑电路能可靠的工作
3.2 逻辑函数的代数法化简
❖ 与或逻辑函数的化简
1、应用吸收定律1
AB AB A
逻辑相邻项：任何两个相同变量构成的逻辑项，只 有一个变量取值不同(一个以原变量形式出现，一 个以反变量形式出现)。
F ABCDE
F A•B•C•D•E
函数 F AB BC CD 的对偶式为（ A ）
（A） G （A B（）B C）C D （B） G （A B）B CC D
（C） G A BB CC D （D） G （A B（）B C）C D
3.1.3 基本公式的应用
1. 证明等式 例3 用公式证明 AB AB AB AB
3.1.1 基本公式
公式名称
公式
1、0-1律 2、自等律 3、等幂律 4、互补律 5、交换律 6、结合律 7、分配律 8、吸收律1
A•0 0 A•1 A A• A A A• A 0 A•B B• A A • (B • C) (A • B) • C A(B C) AB AC (A B)(A B) A
3.1.1 基本公式
11、多余项定律
AB AC BC AB AC BC( A A) AB AC ABC ABC AB(1 C) AC(1 B) AB AC
3.1.1 基本公式
11、多余项定律
AB AC BCEFG AB AC BC BCEFG AB AC BC AB AC
3.1.1 基本公式
公式名称
公式
9、吸收律2 10、吸收律3 11、多余项定律 12、求反律 13、否否律
3.1.1 基本公式
❖7、分配律：A(B+C)=AB+AC
A+BC=(A+B)(A+C)
ABC B·C A+BC A+B A+C (A+B)(A+C)
000 0
0
00
0
001 0
0
01
0
010 0
AB和AB, ABC和ABC
例6 F AB CD AB CD
AD
3.2 逻辑函数的代数法化简
例7 F ABC ABC 令AB G，则F GC GC G AB
例8 F ABC ABC