第3章 布尔代数与逻辑函数化简

布尔代数与逻辑函数化简
(三) 对偶规则
对任一个逻辑函数式 Y，将“·”换成 ， ” +”， +”换成 ” 换成“ “+”，“+”换成“·”，“0”换成 ” “1”，“1”换成“0”，则得到原逻 ” ”换成“ ” 辑函数式的对偶式 Y ′。
对偶规则：两个函数式相等，则它们的对偶式也相等。 对偶规则：两个函数式相等，则它们的对偶式也相等。 变换时注意：(1) 变量不改变 变换时注意： ) (2) 不能改变原来的运算顺序 ) A + AB = A A · (A + B) = A
布尔代数与逻辑函数化简
三、重要规则 (一) 代入规则
A A A 将逻辑等式两边的某一变量均用同 一个逻辑函数替代，等式仍然成立。 一个逻辑函数替代，等式仍然成立。
A均用 A均用 代替 A均用 均用 代替
B均用 代替 均用C代替 均用 利用代入规则能扩展基本定律的应用。 利用代入规则能扩展基本定律的应用。
逻辑式为
ABC
布尔代数与逻辑函数化简
3. 逻辑图 例如 画
由逻辑符号及相应连线构成的电路图。 由逻辑符号及相应连线构成的电路图。 的逻辑图 相加项用或门实现
反变量用非门实现
与项用与门实现 运算次序为先非后与再或，因此用三级电路实现之。 运算次序为先非后与再或，因此用三级电路实现之。 根据逻辑式画逻辑图的方法: 根据逻辑式画逻辑图的方法: 将各级逻辑运算用 相应逻辑门去实现。 相应逻辑门去实现。
布尔代数与逻辑函数化简
例2 证明 解
A + B + C = A⋅ B⋅ C
_ _
____________
_
_
_
_________
这是两变量的求反公式， A + B = A⋅ B 这是两变量的求反公式， 若将等
____________ _ _______ _ _ _
ห้องสมุดไป่ตู้
式两边的B用 式两边的 用B+C代入便得到 代入便得到
布尔代数与逻辑函数化简
二、基本定律 (一) 与普通代数相似的定律
交换律 A + B = B + A 结合律 (A + B) + C = A + (B + C) 分配律 A (B + C) = AB + AC A·B=B·A (A · B) · C = A · (B · C) A + BC = (A + B) (A + C) 普通代数没有！ 普通代数没有！ 逻辑等式的 证明方法 利用真值表 利用基本公式和基本定律
布尔代数与逻辑函数化简
Y = A B + AB = A ⊕ B
与或表达式( 个非门、 异或非表达式( 与或表达式(可用 2 个非门、 异或非表达式(可用 1 个异 2 个与门和 1 个或门实现) 个或门实现) 或门和 1 个非门实现) 个非门实现) (3) 画逻辑图 )
设计逻辑电路的基本原则是使电路最简。 设计逻辑电路的基本原则是使电路最简。
布尔代数与逻辑函数化简
第三章 布尔代数与逻辑函数化简
3.1 基本公式和法则 3.2 逻辑函数的代数法化简 3.3 卡诺图化简
布尔代数与逻辑函数化简
3.1 基本公式和规则
一、基本公式
逻辑常量运算公式 0·0=0 0·1=0 1·0=0 1·1=1 0+0=0 0+1=1 1+0=1 1+1=1
逻辑变量与常量的运算公式 0–1律 0+A=A 1+A=1 1·A=A 0·A=0 重叠律 A+A=A A·A=A 互补律 还原律
_
_
布尔代数与逻辑函数化简
A B A C
&
≥1
A B F A C
& & &
(b) A B ≥1 ≥1 ≥1 F
&
(a)
A B A C
&
≥1 F
(c)
A B A C
≥1
&
≥1
F A C
(d)
(e)
图 3 –1 同一逻辑的五种逻辑图
( a ) F = AB + A C与或表达式; (b) F = AB⋅ A C与非表达式;
F = A B + A C = A B A C = ( A+ B )( A + C )
(4) 或非 或非式 或非-或非式 或非式。 将或与表达式两次取反， 用摩根定律展开一次得或非 将或与表达式两次取反， 用摩根定律展开一次得或非 -或非表达式 或非表达式
_
_ _
_ _ _
_
F = ( A+ B )( A + C ) = A+ B + A+ C
(c ) F = A B + A C 与或非表达式 ( d ) F = ( A+ B )( A + C )或与表达式;
_ _ _
_
___
_
_
( e) F = A+ B + A + C 或非表达式
_
________
布尔代数与逻辑函数化简
3.2 逻辑函数的代数法化简
一、逻辑函数及其表示方法
逻辑函数描述了某种逻辑关系。 逻辑函数描述了某种逻辑关系。 常采用真值表、逻辑函数式、卡诺图和逻辑图等表示。 常采用真值表、逻辑函数式、卡诺图和逻辑图等表示。 1. 真值表 列出输入变量的各种取值组合及其对 应输出逻辑函数值的表格称真值表。 应输出逻辑函数值的表格称真值表。 (1)按 n 位二进制数递增的方式列 ) 出输入变量的各种取值组合。 出输入变量的各种取值组合。 (2) 分别求出各种组合对应的输出 ) 逻辑值填入表格。 逻辑值填入表格。
_
_
F = AB + A C = A B + A C
_
_
_
_ _
然后再取反一次即得与或非表达式 再取反一次即得与或非表达式 再取反一次即得与或非表达式
F = A B+ AC
_
_ _
布尔代数与逻辑函数化简
或与式。 (3) 或与式 将与或非式用摩根定律展开， 即得或与表达式如下： 将与或非式用摩根定律展开 即得或与表达式如下：
列 真 值 表 方 法
布尔代数与逻辑函数化简
例如 的真值表。 例如求函数 Y = AB + CD 的真值表。
输 A 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 B 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 入 变 C 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 量 D 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 输出变量 Y 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 0
布尔代数与逻辑函数化简
例1 证明等式 A + BC = (A + B) (A + C) 解： 真值表法 A B C A + BC (A + B) (A + C) 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 公式法 右式 = (A + B) (A + C) 用分配律展开 = AA + AC + BA + BC = A + AC + AB + BC = A (1 + C + B) + BC = A · 1 +BC = A + BC = 左式
应用对偶规则可将基本公式和定律扩展。 应用对偶规则可将基本公式和定律扩展。
布尔代数与逻辑函数化简
四、基本公式应用 1. 证明等式
例 3 用公式证明 A B + A B = A B + AB 解
_ _ _ _
A B + AB = A B ⋅ AB = ( A + B )( A + B)
= A A+ AB + A B + B B = AB + A B
布尔代数与逻辑函数化简
图示为控制楼道照明的开关电路。 例1 图示为控制楼道照明的开关电路。两 个单刀双掷开关 A 和 B 分别安装在楼上和 楼下。上楼之前，在楼下开灯， 楼下。上楼之前，在楼下开灯，上楼后关 反之，下楼之前，在楼上开灯， 灯；反之，下楼之前，在楼上开灯，下楼 后关灯。 后关灯。试画出控制功能与之相同的逻辑 电路。 电路。 解：(1) 分析逻辑问题，建立逻辑函数的真值表 ) 分析逻辑问题， 设开关 A、B合向左侧时为 0 、 合向左侧时为 方法： 方法： 状态， 状态； 状态，合向右侧时为 1 状态；Y 表 找出输入变量和输出函数， 找出输入变量和输出函数， 示灯， 状态， 示灯，灯亮时为 1 状态，灯灭时 对它们的取值作出逻辑规定， 对它们的取值作出逻辑规定， 状态。 为 0 状态。则可列出真值表为 。 然后根据逻辑关系列出真值表。 然后根据逻辑关系列出真值表 (2) 根据真值表写出逻辑式 ) A B 0 0 1 1 0 1 0 1 Y 1 0 0 1
4 个输入 变量有 24 = 16 种取 值组合。 值组合。
布尔代数与逻辑函数化简
2.
逻辑函数式
表示输出函数和输入变量逻辑关系的 表达式。又称逻辑表达式，简称逻辑式。 表达式。又称逻辑表达式，简称逻辑式。
的项。 ) 真值表 (1)找出函数值为 1 的项。 的用原变量代替， (2)将这些项中输入变量取值为 1 的用原变量代替 ) 逻辑函数式一般根据真值表、卡诺图或逻辑图写出。 逻辑函数式一般根据真值表、卡诺图或逻辑图写出。 ， 的用反变量代替，则得到一系列与项。 取值为 0 的用反变量代替，则得到一系列与项。 逻辑式 (3)将这些与项相加即得逻辑式。 )将这些与项相加即得逻辑式。 例如 A 0 0 0 0 1 1 1 1 B 0 0 1 1 0 0 1 1 C 0 1 0 1 0 1 0 1 Y 1 0 0 0 0 0 0 1
A + B + C = A⋅ B + C = A⋅ B⋅ C
这样就得到三变量的摩根定律。 这样就得到三变量的摩根定律。
布尔代数与逻辑函数化简
(二) 反演规则
对任一个逻辑函数式 Y，将“·”换成 ， ” +”， “+”，“+”换成“·”，“0”换成“1”， ”换成“ ” ”换成“ ” “1”换成“0”，原变量换成反变量，反变量 ”换成“ ” 原变量换成反变量， 换成原变量， 换成原变量，则得到原逻辑函数的反函数 Y 。
变换时注意： 变换时注意： 注意 (1) 不能改变原来的运算顺序。 ) 不能改变原来的运算顺序。 (2) 反变量换成原变量只对单个变量有效，而长非 ) 反变量换成原变量只对单个变量有效， 号保持不变。 号保持不变。
原运算次序为 可见，求逻辑函数的反函数有两种方法： 可见，求逻辑函数的反函数有两种方法： 利用反演规则或摩根定律。 利用反演规则或摩根定律。
布尔代数与逻辑函数化简
(二) 逻辑代数的特殊定理
吸收律 A + AB = A
A + AB = A (1 + B) = A
布尔代数与逻辑函数化简
(二) 逻辑代数的特殊定理
吸收律 A + AB = A 推广公式： 推广公式：
摩根定律(又称反演律) 又称反演律 反演律) 推广公式： A+B 推广公式· B A B A： A B A+B A · B 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 0 A 0， 0 思考： ) 思考：(1) 若已知 A + B = 1 + C，则 B = C 吗？ 1 0 1 1 1 0 0 0 (2) 若已知 AB = AC，则 B = C 吗？ ) ， 1 1 0 0 1 1 0 0
_ _ _ _ _ _
布尔代数与逻辑函数化简
2. 逻辑函数不同形式的转换 逻辑函数不同形式的转换 逻辑函数的形式是多种多样的， 逻辑函数的形式是多种多样的，一个逻辑问题可以 用多种形式的逻辑函数来表示， 用多种形式的逻辑函数来表示， 每一种函数对应一种逻 辑电路。 逻辑函数的表达形式通常可分为五种： 与或表 五种： 辑电路。 逻辑函数的表达形式通常可分为五种 与或表 达式、 与非-与非表达式、与或非表达式 或与表达式 与非表达式 表达式、 表达式、 达式、 与非 与非表达式、与或非表达式、或与表达式、 或非-或非表达式。 或非 或非表达式。 或非表达式
布尔代数与逻辑函数化简
_
例4
转换为其它形式。 将函数与或表达式 F = AB + A C 转换为其它形式。
与非-与非式 与非式。 解 (1) 与非 与非式 将与或式两次取反，利用摩根定律 将与或式两次取反，利用摩根定律可得
F = AB + A C = AB⋅ A C
(2) 与或非式 与或非式。 首先求出反函数 求出反函数
布尔代数与逻辑函数化简
二、逻辑函数式化简的意义与标准
化 使逻辑式最简，以便设计出最简的逻辑电路， 使逻辑式最简，以便设计出最简的逻辑电路， 简 从而节省元器件、优化生产工艺、 从而节省元器件、优化生产工艺、降低成本和提 意 高系统可靠性。 义 高系统可靠性。 不同形式逻辑式有不同的最简式， 不同形式逻辑式有不同的最简式，一般先求取 或式，然后通过变换得到所需最简式。 最简与 - 或式，然后通过变换得到所需最简式。