一维无限深势阱
第八节一维无限深势阱
《大学物理》2教师：胡炳全d ( x ) 2m 2 ( E V ( x)) ( x) 0 2 dx
由于势能是分段函数，波函数和薛定谔方程也应 该分段写出。
在x 0的区域, d 21 ( x) 2m 2 ( E )1 ( x) 0 2 dx 在x a的区域, d 23 ( x) 2m 1 ( x) 3 ( x) 0 2 ( E )3 ( x) 0 2 dx
三、讨论： 1、粒子在一维无限深势阱中运动的能级： V 2 ∞ ∞
E
2m a
2
n 2 , n 1,2,3
n=3
n=2
2、粒子在一维无限深势阱中运 动的波函数：
o
a
n=1
x
《大学物理》
教师：
胡炳全
2 n sin x, 0 x a ( x) a a 0 x 0, x a
《大学物理》
教师：
胡炳全
在0 x a的区域, d 2 ( x ) 2m 2 ( E 0) 2 ( x) 0 2 dx
2
2 ( x)的通解为：
2m E 2m E 2 ( x) A sin x B cos x 2 2
根据波函数的连续性，在x=0和x=a处φ2应该为零。所 以有：
《大学物理》
教师：
胡炳全
四、势垒与隧道效应
由薛定谔方程求解可知：即使入射粒子的能量比势垒 高度还小，穿过势垒的波函数也不为零，这表明在势垒后 面发现粒子的几率不为零。即入射粒子也有一定的几率穿 过势垒。这种现象叫做隧道效应。
2 ( x) x0 0 B 0
2m E 2 ( x) A sin x 2
《大学物理》
163一维势阱和势垒问题
0,
mn mn
克罗内克符号
二、势垒穿透和隧道效应
有限高的方形势垒
数学形式：
U
(
x)
0,
U 0 ,
图形形式：
x 0(P区),x a(S区) 0 x a(Q区)
U
考虑粒子的动能 E小于势垒高
U0
度 U0的情况。（ E < U0 ）
E
PQ S
o ax
U (x) 0, x 0和x a
1
(0 x a)
(x 0及x a)
2
势阱内 0 < x < a
d 2 1
dx2
2E
2
1
0
势阱外 x ≤ 0 ;x ≥a
2 0
理由:因为势壁无限高,所以粒子不能穿透势壁,故势 阱外的 波函数为零
定态薛定谔方程为
d 2
d x2
2E
2
0
E是粒子的总能量，E > 0，令 k
定态薛定谔方程变为
d 2
一维无限深方势阱的图形表达形式 ：
∞∞
U(x)
粒子只能在宽为 a 的两个无限 高势壁间运动，这种势称为一 维无限深方势阱。
0
ax
因为系统的势能与时间无关，因此这是一个定 态问题，可以用定态薛定谔方程进行求解。
2
2
2
U
(r)
(r )
E
(r )
————定态薛定谔方程
①列出各区域的定态薛定谔方程
若在样品与针尖之间
加一微小电压Ub电子 就会穿过电极间的势
垒形成隧道电流。
隧道电流对针尖与样品间的距离十分敏感。 若控制隧道电流不变，则探针在垂直于样品 方向上的高度变化就能反映样品表面的起伏。
一维无限势阱
一维无限深势阱定义编辑粒子在一种简单外力场中做一维运动，其势能函数为U(X)=0 （-a<x<a)；U(x)=∞ (x≥a或x≤-a)。
由于其函数图形像阱，且势能在一定区域为0，而在此区域外势能为无穷大，所以这种势能分布叫做一维无限深势阱。
实际模型编辑自由电子在一块金属中的运动相当于在势阱中的运动。
在阱内，由于势能为零，粒子受到的总的力为零，其运动是自由的。
在边界上x=0或x=a处，由于势能突然增加到无限大，粒子受到无限大指向阱内的力。
因此，粒子的位置不可能到达0<x<a的范围以外。
一维无限深势阱中粒子运动的波函数编辑一维无限深势阱中粒子运动的波函数为Ψ(x)=√(2/a)·sin(nπx/a) (0<x<a)。
三、一维势阱3.1 一维无限深势阱要使电子脱离金属，需要对它做功，这相当于电子在金属表面处势能突然增大，自由电子在金属内部的运动，可近似比作在无限深势阱的运动。
由于金属是各向同性的，便可简化为电子在一维无限深势阱中的运动。
势能曲线如右图，势能表达式为电子在一维无限深势阱中运动，用经典力学描述和量子力学描述得到了完全不同的结果。
按照经典概念，当外界向它提供能量时，电子可获得此能量而自身能量发生连续变化。
电子在阱内任何位置出现的概率也是相等的。
然而，按照量子力学观点，它的行为却不是这样的。
(1) 定态薛定谔方程的解电子所受的保守力，在边界处电子所受的力无限大，指向阱内，意味着电子不可能越出阱外，由波函数物理意义可知势阱外波函数。
电子在势阱内势能为零，受力为零。
势阱内定态薛定谔方程为令方程变为其解为根据波函数应满足的标准化条件，波函数应在边界x=0和x=a上连续得应用归一化条件求得于是定态波函数为(2) 能量量子化因，合并(23.3.3)式，即得到一维无限深势阱中的电子能量上式表明：电子的能量不能连续地取任意值，只能取分立值，即能量是量子化的，可形象地称为处于相应的能级(如右图所示)。
一维无限深势阱
n*dx
=
a −a
A sin ⎢⎣⎡
nπ 2a
(x
+
a)⎥⎦⎤dx
= aA2 = 1
A= 1 a
ψn =
1 a
sin
⎡ ⎢⎣
nπ 2a
(
x
+
a)⎥⎦⎤
ψ
n
( x, t )
=
ψ
− i Et
ne h
=
1 a
sin
⎡ ⎢⎣
nπ 2a
(x
+
a)⎥⎦⎤
⋅
−i
eh
Et
En
=
n2π 2h 2 8μA2
ΔEn
=
En +1
§2.6 一维无限深势阱 （1） 序
一维运动 相互作用用势函数 U 表示
势场
⎧散射场 ⎩⎨束缚态
势垒
方形势阱
⎧方形势阱 ⎪⎪谐振子势阱 ⎪⎨δ 阱 ⎪⎩周期阱
一维无限深势阱，图 2.1 所示
Fig 2.1 一维无限深势阱
（2） 一维无限深势阱 在一维空间中运动的粒子，粒子在一定区域内（x=-a 到 x=a）为零，而在此区域外，势能为无
a −a
⎢⎣⎡cos
n
+ n′ 2a
(
x
+
a)
−
cos
n
− n′ 2a
(
x
+
a)⎥⎦⎤
dx
=0
——此即为波函数的正交条件。
8．波函数可视为两波波函数的迭加
ψ = c e + c e i h
(
nπh 2a
−
Ent
)
−
一维无限深势阱粒子能量的可能测量值和相应的几率
一维无限深势阱粒子能量的可能测量值和相应的几率一维无限深势阱粒子能量的可能测量值和相应的几率在量子力学中，一维无限深势阱是一个经典的模型系统，用于研究粒子在受限空间内的性质和行为。
其中，粒子的能量是一个非常重要的物理量，其可能的测量值和相应的几率分布是量子力学中的基本课题之一。
在本文中，我们将深入探讨一维无限深势阱粒子能量的可能测量值和相应的几率，并从简到繁地进行全面评估，帮助读者更深入地理解这一主题。
1. 一维无限深势阱的基本概念在一维无限深势阱中，粒子被限制在一个无限深的势阱内运动，即在势阱内能量为负无穷，在势阱外能量为正无穷。
这样的势阱能够构建一个简单而理想化的量子力学模型，便于对粒子的性质进行研究。
2. 粒子在一维无限深势阱中的波函数和能量本征态根据量子力学的基本原理，粒子在一维无限深势阱中的波函数可以用薛定谔方程进行描述。
解出薛定谔方程后，可以得到粒子的能量本征态和对应的波函数表达式，这些能量本征态对应着粒子可能的能量。
3. 能量的可能测量值和相应的几率分布在量子力学中，能量的测量值是一个物理量的可能取值，其对应的几率分布描述了在测量中可能得到某个值的概率。
对于粒子在一维无限深势阱中的能量，我们可以通过对波函数进行归一化处理，得到能量的可能测量值和相应的几率分布。
这些可能的测量值和几率分布将帮助我们理解粒子在势阱内的能量分布规律。
4. 总结与回顾通过对一维无限深势阱粒子能量的可能测量值和相应的几率进行全面评估，我们可以更深入地理解量子力学中的基本概念和原理。
这也有助于我们在实际研究或应用中更灵活地处理粒子能量的测量和分布问题。
个人观点和理解：量子力学中的一维无限深势阱模型是一个简单而重要的系统，通过对其粒子能量的可能测量值和相应的几率进行深入研究，我们可以更好地理解量子世界中的奇妙规律。
对于我而言，通过撰写本文并深入思考这一主题，我对量子力学中的能量测量和分布问题有了更全面的认识，并且能够更好地应用于我的研究和工作中。
量子力学_第二章_一维势阱
（四）讨论
一维无限深 势阱中粒子 的状态
0 n 1 n sin x 2a a 1 n cos x 2a a 其能量本征值为： n 2 2 2 En 8 a
| x | a; n even, n odd, | x | a; | x | a .
2 d 2 [ V1 ( x )]X ( x ) E x X ( x ) 2 dx2 2 d 2 [ V2 ( y )] ( y ) E yY ( y ) Y 2 dy2 2 d 2 [ V3 ( z )]Z ( z ) E z Z ( z ) 2 dz2
2
n为正偶数， x a
x a
n为正奇数，
x a
x a
由归一化条件
-
n dx 1 A'
1 a
.
一维无限深方势阱中 粒子的定态波函数为： n ( x, t ) n (x)e
-i En t -i
En t n A' sin ( x a )e 2a e i e i 用公式sin 2i
等式两边除以 （x, y, z ) X ( x )Y ( y ) Z ( z )
1 X 1 2 d 2 X V1 ( x ) 2 dx2 Y 1 2 d 2 Y V2 ( y ) 2 dy2 Z 2 d 2 Z V3 ( z ) E 2 dz2
I II III
0
a
ψ 有限条件要求 C2=0。
d2 2 dx d2 2 dx d2 2 dx
I
2 2
I
0 0 0
II
21-6一维无限深势阱
x
n 1,2,3,
将上式对x求导一次，并令它等于零
d n ( x ) dx
2
x 0
4 m a2
sin na x cos na x 0
0 x a , sin na x 0 cos na x 0
因为在阱内，即 只有
于是
n a
x (2 N 1) 2
a
0
A2 Sin 2 xdx
a A 1 A 2
三、求解结果
2
a
波函数： ( x) 0.( x 0, x a)
( x)
能级：
2 nx sin , (0 x a) a a
k 2 2m E
ka n
2
n2h2 En , (n 1,2, ) 2 8m a
量子论观点：
Ψ (x)
当 n 很大时， 量子概率分 布就接近经 典分布 0
2 2 n Ψ( x) sin ( x) a a
2
Ψ (x)
2
n =4 n =3 n =2
a n =1
0
a
例题1、 试求在一维无限深势阱中粒子概率密度的最大值 的位置。 解：一维无限深势阱中粒子的概率密度为
2 n ( n) a sin 2 2 n a
它的通解为：
( x) A sin(kx )
由波函数的标准条件得： 在x=0处：
A sin 0 0
A sin(ka ) 0 ka n , (n 1, 2,)
在x=a处：
由波函数的归一化条件得：
1
2
A sin xdx
2 2
一维无限深势阱
一维无限深势阱无限深阱假设粒子不能离开势阱，也就是有一个势为无穷大的壁。
势可以写成()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤≤-∞=2022a x a x a x V（注：也可以选用坐标形如第二个图，这样的解简单，且容易推广到三维，但是对称性不如第一个图明显。
）注意，这个势是有奇异性的，我们分别有势阱内和势阱外的方程：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=≤=+外）（阱外，粒子不能到阱（阱内）2020222a x a x E m dx d ψψψ 考虑势阱内，定义： 22mE k ≡ 定态方程为：0222=+ψψk dxd 此方程的通解为：kx B kx A cos sin +=ψ或：()δψ+=kx A sin连续性条件：02=±=ax ψ（单值、有限自动满足） 于是：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+-+)2(cos )2(sin )2(cos )2(sin a k B a k A a k B a k A （注意：由于势在边界上有奇异性（无限深 ）， ψ不连续，有跃变。
）这是关于 A 、B 的齐次方程，有非零解的条件是系数行列式为零，即：02cos 2sin 2cos 2sin =-a k a k a kak因此， 02cos 2sin 2=a k a k 即：0sin =ka故：() 3,2,1==n n ka π（注意：n 不能取 0 ，否则就出现了不振动的“波”。
）an k k n π== 22222ma n E n π= n maE 222π ≈∆ 可见势阱中能级是分立的，（与用德布罗意驻波直接计算一样）。
需要注意的是，n ma E 222π ≈∆，即能级越高越稀疏，但大量子数情况下02~→∆nE E n n ，即n n E E <<∆，所以在经典情况下（大量子数）感受不到能级的间隔，便认为能量是连续的，与对应原理相符。
下面求波函数，我们有：n 为奇数（偶宇称）：002sin =⇒=A a k A n ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤=∴202cos a x a x x k B n n ψ n 为偶数（奇宇称）：002cos =⇒=B a k B n ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤=∴202sin a x a x x k A n n ψ其实上述结果可以直接看出来，因为态应该取确定的宇称，因此只能是sin 或者cos ，不可能是它们的组合。
§3.1一维无限深势阱
§3.1 一维无限深势阱重点：势阱的意义，薛定谔方程的求解，阱内能量及波函数的特征设质量为μ的粒子，局限在范围内作一维运动。
在些范围内粒子势能为零，以此范围外，势能为无穷大。
即（3.1-1）（3.1-2）满足定态薛方程，而在阱内部，由于即（3.1-3）或写作（3.1-4）其中（3.1-5）常系数二阶微分方程（3.1-4）的通解为（3.1-6）为待定常数，合并（3.1-2）,（3.1-6）式得（3.1-7）和处，必须为零，由于波涵数在势阱边界上发须为连续的条件，所以在即，（3.1-8）（3.1-9）这就是解方程（3.1-4）时需要用到的边界条件。
由（3.1-8）式，则式（3.1-6）为到处为零，这在物理上是没有意义的，不能为零，否则所以必须这样就有（3.1-10）再利用条件（3.1-9）得因而必须满足下面条件（3.1-11）给出被函数无物理意义，而取负数时给不出新的波函数）。
（将（3.1-11）式代入（3.1-5）式得到体系的能量（3.1-12）由此可见，粒子束缚在势阱中时，能量只能取一系列分立的数值，即它的能量是量子化的。
的粒子将（3.1-11）式代入（3.1-10）式，并重写（3.1-7）式，我们就得到能量为有波函数（3.1-13）应用归一化条件（3.1-14）可求得的粒子的归一化波函数为这样，最后得到能量为（3.1-15）一维无限深势阱中粒子的定态波函数是（3.1-16）利用公式我们可以把定态波函数写成（3.1-17）是由两个沿相反方向上式与弦振动的驻波函数形式相同。
由此可见定态波函数传播的平面波迭加而成的驻波。
下面讨论几个问题，并与宏观粒子作比较。
（1）束缚态和基态在时，波函数，粒子被束缚于阱内，故通常把无穷远处为零的波函数所描写的状态称为束缚状态，一般来说，束缚态的能级是分立的。
体系最低能量的态称为基态，在一维无限深势阱中的基态是的基本征态。
这与经典理论结果完全不同，经典理论认为粒子最低能量必须为零。
一维无限深势阱
(at x a) (at x a)
Acos ka 0,
B sin
ka
0.
有两种情形的解：
（1） B 0, coska 0, 所以，
(n 1 )
k 2 , a
(n 0,1,2, )
E
2 2 2a 2
n
12
2
,
(
x)
A cos
n
12
x
a
.
(偶宇称)
(2) A 0,sin ka 0 所以，
0
显然E必须>0，所以记
(a x a)
2E
k
那么方程变成： d 2
dx 2
k 2 (x)
0.
它的一般解是：
(x) Acos kx Bsin kx.
(a x a)
这三段的解必须在 x=±a 处衔接起来。在势能有无限
大跳跃的地方，衔接条件只有 本身的连续性。所以
现在
Acos ka Bsin ka 0, Acos ka Bsin ka 0,
n
k , a
(n 1,2,3, )
E
2 2 2a 2
n2,
( x) B sin nx .
a
（奇宇称）
二者合起来可写为：
n
kn 2a ,
(n 1,2,3, )
En
2 2 8a 2
n2,
n n (x) An sin 2a (x a).
波函数的归一化是：
所以，
a | (x) |2dx 1 a
R
B2 A2
(k 2
(k 2 k32 )2 sh 2k3a k32 )2 sh 2k3a 4k 2k32
,
一维无限深势阱中的能级公式(一)
一维无限深势阱中的能级公式(一)一维无限深势阱中的能级公式一维无限深势阱简介•一维无限深势阱是指在一维空间中的一个势能函数，其势能在有限范围内为无穷大，而在这个范围外为零。
•这个模型常用于量子力学研究中，用于描述束缚电子在限定区域内的能级结构。
能级公式的推导•根据经典力学的思想，势能为零区域内的粒子应该是运动不受限制的，因此在这个区域内的能量取任意值，可以看作连续的。
•而在势能无穷大的区域外，粒子无法存在，因此能量必须是有限的。
•具体推导过程如下：一维薛定谔方程•在量子力学中，波函数满足薛定谔方程。
•对于一维无限深势阱，薛定谔方程可以表示为:d2ψdx2+2mℏ2(E−V(x))ψ=0•其中，ψ为波函数，x为位置坐标，m为质量，E为能量，V(x)为势能函数。
薛定谔方程的解•由于势能函数V(x)为零，因此在势阱内，薛定谔方程可以简化为:d2ψdx2+2mEℏ2ψ=0•这是一个二阶常微分方程，其解可以表示为：ψ(x)=Asin(kx)+Bcos(kx)•其中，A和B为常数，k为波数，可以表示为：k=√2mE ℏ2波函数的边界条件•在势阱内，波函数必须满足边界条件，在势能函数为无穷大的区域外，波函数必须趋于零。
•因此，当x=0时，ψ(0)=0；当x=L时，ψ(L)=0。
边界条件的限制•根据边界条件，可以得到以下关系式：Asin(k⋅0)+Bcos(k⋅0)=0Asin(kL)+Bcos(kL)=0•上述两个方程同时成立时，波函数满足边界条件。
求解能级•根据上述边界条件，可以解得k n L=nπ，其中n为正整数。
•将k n代入波数的公式中，可得能量的公式：E n=ℏ2k n22m=n2π2ℏ22mL2能级公式的解释与例子•以上推导得到的能级公式表明，在一维无限深势阱中，粒子的能量只能取离散的值，且与n的平方成正比。
–n越大，能级越高。
•这也意味着在一维无限深势阱中，粒子存在着多个能级，且能级之间的能量差是固定的。
一维定态问题无限深方势阱
u(x)
2
=
2
sin 2
nπ
a a
0
x, ,
0≤ x≤a x < 0,or, x > a
n = 1, 2,3,
概率分布不均匀，存在概率为零的节点。 但：概率分布不随时间变化！
§2.4 一维定态问题–无限深方势阱
结论：
(3) 束缚在势阱中的粒子的能量是量子化的
=E
E=n
π2 2
2ma2
n2 ,
平均值
∫ = E
+∞
ψ
−∞
*
(r
,
t
)
−
2
2m
∇2
+V
(r,t) ψ
(r , t )dτ
总能能算符：
Hˆ
=−
2
∇2
+V
(r,t)
pˆ 2 =
+V (r,t)
2m
2m
称为粒子的哈密顿算符。
§2.5 力学量的平均值、算符表示—平均值
含时薛定谔方程：
i
∂ψ
∂t
=
−
2
2m
∇2
+ V (r,t) ψ
(1) 粒子的位置 r
例如：一维无限深方势阱
粒子的位置是不确定的，取值在[0, a]之间。 但粒子的概率分布是确定的，是
u(x)
2
=
2 sin2 nπ a a 0
x, ,
0≤ x≤a x < 0,or, x > a
n = 1, 2,3,
所以，可以得到粒子位置的平均值 (假设粒子处在基态 n =1 态)：
2
∇2 2m
+ V (r,t)ψ
2.6一维无限深势阱
A sin a B cosa 0, A sin a B cosa 0,
由此得到
B cosa 0,
A sin a 0,
A,B不能同时为零，所以
（1）A=0， （2）B=0，
（2.6.7）
cosa 0,
sin a 0,
（2.6.8） （2.6.9）
n 所以 a , n 1,2,3 2
把在无限远处为零的波函数所描写 的状态称为束缚态。 一般来说，束缚态的能级是分立的。
能量最低的状态，称为基态。
§2.6一维无限深势阱
一．一维无限深势阱 考虑粒子在一维空间中运动，它的势能在一定 区域内（-a<x<a）为零，而在此区域以外，势 能为无限大，即
U x 0, x a, U x , x a.
（2.6.1）
这种势阱称为一维无限深势阱。 在阱内( x a, )体系所满足的定态薛定谔方程为
和有限性的要求，只有当 0 时。（2.6.3）式才 能成立，所以有
0
令
，
x a
1 2
（2.6.4）
2m E 2
（2.6.5）
则（2.6.2）式简化为
d 2 ( x) 2 ( x) 0 2 dx
，
x a,
其通解为 ( x) A sin x B cosx ， x a, （ 2.6.6 ） 因为 ( a) 0 ，代入（2.6.6），有
n ( x, t ) n x e
i
i En t
En t n x a e A sin 2a
e e 由 sin 2i
i
得，
n ( x, t ) C1e
§251一维无限深方势阱
在x
a/2
区，薛定谔方程是：
k 0
2
d
2
dx k
2
x a/2 2 .5 .2
2mE /
2
2.5一维方势阱
其解为 A sin kx B co s kx
一、在 x a / 2 区，取 ( x ) cos kx ，解取有偶宇称 的情况 利用 x a / 2 处波函数对数微商的连续条件都可得
2
2
时，曲线才有交点，
2m
才出现奇宇称态解。
2.5一维方势阱
显然，一维无限深势阱的结果可作为一维方 势阱的特例得出。 当U
0
0
时，可得
n h
2 2 2
En
8m a
2
n 1, 2, 3,
这正是阱宽为 a 的一维无限深势阱 的能谱公式。
3
tg
tg
2
2
1
2
2
4
2
1
1 /2 2
3
4 3 / 2
由以上图可见，对于偶宇称态，由于曲线 tg 2 经过原点，因此无论 U 0 a 多么小，两条曲线总有交点， 这意味着至少有一个束缚态，且相应的宇称为偶。
2.5一维方势阱
d dx
2
x a / 2 区，相应的薛定谔方
k 0
2
x a/2
2
k
2 m (U 0 E ) /
2 .5 .1
2.5一维方势阱
在x 时， 有界的解是：
Aek x (x) k x Be
一维无限深势阱
6.ξ一维无限深势阱考虑一维空间中运动的粒子，它的势能在一定区域内：0,,x x aU x a⎧<⎪=⎨∞≥⎪⎩ 如右图这种势叫一维无限深势阱 因x U 不含 t ，属于定态问题。
体系所满足的定态薛定谔方程是：()2222dE x a dx ψψμ-=<①()22022dU E x a dxψψψμ-+=≥②②中，0U →∞由波函数应满足的连续性和有限性条件，只有当ψ=0时，②式才能成立，所以，有：ψ=0，x a ≥现求解①式，改写为：2221222222020sin cos ,dE dxE d x a dx A x B x x aψψμψμααψψαα+=⎛⎫=+=< ⎪⎝⎭=+<令：则：，其解为： （本身上方说的解可表为如下振荡函数形式：sin x α，cos ,i x x e αα±，但因现在势阱具有空间反射不变性，()()x x U U -=能量本征函数必定有确定的宇称曾书——P49——所以，只能取sin x α，或cos x α的形式。
根据ψ的连续性，因②式得ψ=0，x a ≥，于是：,sin cos 0sin cos 0sin 0cos 0x a A a B a x a a B a a B a αααααα=+==-+===时时，A 两式相减，得：A 两式相加，得：因A,B 不能同时为0，否则，sin cos A x B x ψαα=+处也为0，这在物理上无意义。
（物理问题对ψ的要求）所以，得到两组解：⑴0,cos 0A a α== ⑵0,sin 0A a α==对第⑴组解，有,1,3,5 (2)n a n απ==对第⑵组解有：,2,4,6 (2)n a n απ==合并，即有：,1,2,3,4,5 (2)n a n απ==其中对⑴组，n 取奇数，对第⑵组n 取偶数，注意，n 不能取0，否则ψ=0，将2na απ=代回1222E μα⎛⎫= ⎪⎝⎭，得体系的能量本征值为：2222,8n n E n aπμ=为整数这说明，并非任何E 值所相应的波函数都能满足本问题所要求的边条件，而只能取上式给出的那些分立值n E ，此时的波函数在物理上才是可接受的。
高二物理竞赛课件：一维无限深势阱问题
其定态薛定谔方程： 2 d 2 E
2m dx 2
粒子在各处出现的概率密度 Ψ x 2 2 sin 2 nπ x
a
a
一维无限深方势阱中粒子的波函数和概率密度
n= 3
ψn
3
2 sin 3 x aa
wn n 2
w3
n=2
2
2 2 sin x
aa
w2
n= 1
1
2 sin x aa
w1
0 aX
粒子在0到a/2区域内出现的概率：
2
2 s
a
in2
x
a
a/22 dx来自2a/ 2 sin2 x dx
1
0
a0
a
2
(3)概率最大的位置应该满足：
d 2 2 sin 2x 0
dx
aa
即当 2x k , k 0,1,2,
a
时，粒子出现的概率最大。因为0<x<a， 故得x=a/2，此处粒子出现的概率最大。
k12
2m( E P 0 2
E)
三个区间的薛定谔方程化为：
d
2 1 ( dx2
x
)
k
21
(
x
)
0,
x0
d
22 ( dx2
x
)
k12
2
(
x)
0,
0 xa
d
2
3 ( dx2
x)
k
23
(
x
)
0,
xa
若考虑粒子是从I区入射，在I区中有入射波 和反射波；粒子从I区经过Ⅱ区穿过势垒到Ⅲ区， 在Ⅲ区只有透射波。粒子在 x=0处的几率要大于 在 x=a处出现的几率。
一维无限深势阱
2008.5
25
对奇宇称态则不同，只当
2 2 mV0a2 / 22 2 / 4
即
V0a2
2h2
2m
，或
V0
2h2
2ma2
时
才可能出现最低的奇宇称能级。
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26
3、束缚态与分立谱的讨论
由以上分析可知，束缚态能量是分立的。
相应动量也是分立的。 这是在束缚态边界条件下求解定态方程的结果。
En
π 22 2ma 2
n2
(n 1,2,3, )
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8
❖ 由波函数的归一性质定常数 B
a
(x) *(x)dx 1
0
a
B2sin 2kxdx 1
0
得
B 2 a
本征函数
n(x)
2 sin nπ x aa
( n 1,2,3,)
这组函数构成本征函数系。
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9
⑥定态波函数
n
n
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16
写出分区定态方程 在阱外(经典禁介区)
d2 dx 2
1
2m 2
(V0
E) 1
0
(1)
令
方程(1)变为
其解为
2m(V0 E)
(2)
1'' 21 0
1 ~ ex
都是方程的解？
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考虑到束缚态边界条件：| x | 时 0，有
Be
x
1(x)
Aex
A, B为待定常数.
0时， ' ' 0，
取极小值 向上弯曲
0时， ' ' 0，
取极大值 向下弯曲（见右图）
量子力学 一维无限深势阱
５５§2.6一维无限深势阱（Potential Well ）(理想模型)重点：一维无限深势阱中粒子运动的求解难点：对结果的理解实际模型：金属中电子的运动，不计电子间的相互碰撞，也不考虑周期排列的金属离子对它们的作用。
一、写出本征问题 势场为：⎩⎨⎧≥∞<=a x ,a x ,0)x (U 区域I（阱内，a x <）方程为： )x (E )x (dx d 2I I 222ψ=ψμ−h (1) 区域II、III（阱外，a x ≥）方程为： )x (E )x ()U dxd 2()III (II )III (II 0222ψ=ψ+μ−h (2) 其中∞=0U 。
波函数的边界条件是：)a ()a (II I ψ=ψ，)a ()a (III I −ψ=−ψ (3)二、求解本征方程 我们令2E 2h μ=α， 20)E U (2'h−μ=α (4) 则：)x (E )x (dx d 2I I 222ψ=ψμ−h 的解为: x i x i I Be Ae )x (αα−+=ψ a x <(5)５６ )x (E )x ()U dx d 2()III (II )III (II 0222ψ=ψ+μ−h 的解为:x 'x'II e 'B e 'A )x (αα−+=ψ a x ≥ (6)x 'x 'III e ''B e ''A )x (αα−+=ψ a x −≤ (7) 由(6)-(7)式和波函数的有限性知: 0'B ,0''A ==，即：x 'II e 'A )x (α−=ψ a x ≥x 'III e ''B )x (α=ψ a x −≤又由于∞=0U ，则：∞=−μ=α20)E U (2'h于是：0)x ()x (III II =ψ=ψ (8) 而)a ()a (II I ψ=ψ，)a ()a (III I −ψ=−ψ；x i xi I Be Ae )x (αα−+=ψ则：⎩⎨⎧=+=+α−ααα−0Be Ae 0Be Ae a i a i ai a i (9)于是A、B 不能全为零的充分必要条件为： 0e e e e a i a i ai ai =α−ααα−， 即：0)a 2sin(=α 解之得：a 2n π=α，,....2,1,0n ±±= (10)将其代入到⎩⎨⎧=+=+α−ααα−0Be Ae 0Be Ae a i a i a i ai ，得：0Be Ae 2/in 2/in =+ππ−即:B )1(A 1n +−=代入x i x i I Be Ae )x (αα−+=ψ中，得：５７ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=π=π=ψ,..5,3,1n ,x a 2n cos D ,...6,4,2n ,x a 2n sin C )x (I a x < (11)其中0n =，()0x =Ψ为平凡解，无意义；,...2,1n −−=不给出新的解。
第二章 -.6一维无限深势阱
可见， 取负整数与正整数描写同一状态。 可见，n取负整数与正整数描写同一状态。
（3）n = 0 , E = 0, ψ = 0，态不存在，无意义。 ） ，态不存在，无意义。 而n = ± k, k=1,2,...
（4）波函数宇称
ψ ψ n(−x) = − n(x) ψ ψ n(−x) = + n(x)
I
( − a ) = li m C 1 e − β a = 0
β → ∞
I
所 以
ψ
= 0
ψ ψ ψ
I II III
= C 1e
βx
+ C 2e − βx + B 2e − βx
ψI =0
ψ III = 0
=0。 B1=0。
− E )
= A sin( α x + δ ) = B 1e
βx
βx
+ C 2e − βx + B 2e − βx
= A sin( α x + δ ) = B 1e
βx
考虑波函数三个标准条件 1。单值 2。有限 3、连续
有限的条件， 当x → - ∞ , ψ 有限的条件，要求
=0。 C2=0。
ψ
I
= C 1e βx
2
又 由 于 β
=
2 µ (V h 2
ψ
− E )
U0 → ∞
边界条件
ψ 根据波函数连续、有限的条件。 = 0
证明见附录I， 令
x ≥a
2mE α= h2
d 2ψ ∴由(1) + α 2ψ = 0 dx 2 ψ = A sin αx + B cos αx
x <a x <a
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答案：对
题号：60822005 分值：2 分 难度系数等级：2 级
微观粒子在一维无限深势阱中各能级的阱壁处出现的概率为零
答案：对
3．填空题
题号：60834001 分值：2 分 难度系数等级：4 级
一维无限深势阱中粒子的定态波函数为 n (x)
在 x＝0 到 x a 之间被找到的概率
3
sin 2 x d x 1 x (1/ 4) sin 2x C )
。
2 sin nx 。则粒子处于第一激发态 aa
2 sin nx 。则粒子处于基态时各处 aa
2 nx sin 。则粒子处于基态时，在
aa
4．计算题：
题号：60844001 分值：10 分 难度系数等级：4 级
已知粒子在无限深势阱中运动，其波函数为
(x) 2 / a sin(x / a) (0 ≤x ≤a)
求发现粒子的概率为最大的位置．
解答及评分标准：
先求粒子的位置概率密度
(x) 2 (2 / a) sin 2 (x / a) (2 / 2a)[1 cos(2x / a)]
当 cos(2x / a) 1时，
在 0≤x≤a 范围内可得
∴
(x) 2 有最大值．
2x / a
在一维无限深势阱中粒子运动的能量的最小值为零。
答案：错
题号：60821004 分值：2 分 难度系数等级：1 级
在一维无限深势阱中微观粒子在各处出现的概率不均匀。
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，系电，力通根保1据过护生管高产线中工敷资艺设料高技试中术卷资0配不料置仅试技可卷术以要是解求指决，机吊对组顶电在层气进配设行置备继不进电规行保范空护高载高中与中资带资料负料试荷试卷下卷问高总题中体2资2配，料置而试时且卷，可调需保控要障试在各验最类；大管对限路设度习备内题进来到行确位调保。整机在使组管其高路在中敷正资设常料过工试程况卷中下安，与全要过，加度并强工且看作尽护下可1都关能可于地以管缩正路小常高故工中障作资高；料中对试资于卷料继连试电接卷保管破护口坏进处范行理围整高，核中或对资者定料对值试某，卷些审弯异核扁常与度高校固中对定资图盒料纸位试，置卷编.工保写况护复进层杂行防设自腐备动跨与处接装理地置，线高尤弯中其曲资要半料避径试免标卷错高调误等试高，方中要案资求，料技编试术写5、卷交重电保底要气护。设设装管备备置线4高、调动敷中电试作设资气高，技料课中并术3试、件资且中卷管中料拒包试路调试绝含验敷试卷动线方设技作槽案技术，、以术来管及避架系免等统不多启必项动要方方高式案中，；资为对料解整试决套卷高启突中动然语过停文程机电中。气高因课中此件资，中料电管试力壁卷高薄电中、气资接设料口备试不进卷严行保等调护问试装题工置，作调合并试理且技利进术用行，管过要线关求敷运电设行力技高保术中护。资装线料置缆试做敷卷到设技准原术确则指灵：导活在。。分对对线于于盒调差处试动，过保当程护不中装同高置电中高压资中回料资路试料交卷试叉技卷时术调，问试应题技采，术用作是金为指属调发隔试电板人机进员一行，变隔需压开要器处在组理事在；前发同掌生一握内线图部槽纸故内资障，料时强、，电设需回备要路制进须造行同厂外时家部切出电断具源习高高题中中电资资源料料，试试线卷卷缆试切敷验除设报从完告而毕与采，相用要关高进技中行术资检资料查料试和，卷检并主测且要处了保理解护。现装场置设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
2 sin nx 。则粒子处在基态时， aa
2 sin nx 。则粒子处于第一激发态 aa
。(
。(
答案：
1 3
题号：60833003 分值：2 分 难度系数等级：3 级
3 8
（或
0.40）
一维无限深势阱中粒子的定态波函数为 n (x)
时，在 x a 处粒子的概率密度
2
答案：
a
题号：60832004 分值：2 分 难度系数等级：2 级
一维无限深势阱
2. 判断题
题号：60821001 分值：2 分 难度系数等级：1 级
在一维无限深势阱中粒子运动的能量不能连续地取任意值，只能取分立值，即能量是 量子化的。
答案：对
题号：60821002 分值：2 分 难度系数等级：1 级
在一维无限深势阱中粒子运动的能量的量子化是强行引入的。
答案：错
题号：60822003 分值：2 分 难度系数等级：2 级
2
答案： 1
3 4
题号：60834002 分值：2 分 难度系数等级：4 级
3
（或 0.19）
一维无限深势阱中粒子的定态波函数为 n (x)
时，在 x＝0 到 x a 之间被找到的概率
3
sin 2 x d x 1 x (1/ 4) sin 2x C )
2
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，系电，力通根保1据过护生管高产线中工敷资艺设料高技试中术卷资0配不料置仅试技可卷术以要是解求指决，机吊对组顶电在层气进配设行置备继不进电规行保范空护高载高中与中资带资料负料试荷试卷下卷问高总题中体2资2配，料置而试时且卷，可调需保控要障试在各验最类；大管对限路设度习备内题进来到行确位调保。整机在使组管其高路在中敷正资设常料过工试程况卷中下安，与全要过，加度并强工且看作尽护下可1都关能可于地以管缩正路小常高故工中障作资高；料中对试资于卷料继连试电接卷保管破护口坏进处范行理围整高，核中或对资者定料对值试某，卷些审弯异核扁常与度高校固中对定资图盒料纸位试，置卷编.工保写况护复进层杂行防设自腐备动跨与处接装理地置，线高尤弯中其曲资要半料避径试免标卷错高调误等试高，方中要案资求，料技编试术写5、卷交重电保底要气护。设设装管备备置线4高、调动敷中电试作设资气高，技料课中并术3试、件资且中卷管中料拒包试路调试绝含验敷试卷动线方设技作槽案技术，、以术来管及避架系免等统不多启必项动要方方高式案中，；资为对料解整试决套卷高启突中动然语过停文程机电中。气高因课中此件资，中料电管试力壁卷高薄电中、气资接设料口备试不进卷严行保等调护问试装题工置，作调合并试理且技利进术用行，管过要线关求敷运电设行力技高保术中护。资装线料置缆试做敷卷到设技准原术确则指灵：导活在。。分对对线于于盒调差处试动，过保当程护不中装同高置电中高压资中回料资路试料交卷试叉技卷时术调，问试应题技采，术用作是金为指属调发隔试电板人机进员一行，变隔需压开要器处在组理事在；前发同掌生一握内线图部槽纸故内资障，料时强、，电设需回备要路制进须造行同厂外时家部切出电断具源习高高题中中电资资源料料，试试线卷卷缆试切敷验除设报从完告而毕与采，相用要关高进技中行术资检资料查料试和，卷检并主测且要处了保理解护。现装场置设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
x 1a．
题号：60843002 分值：10 分 难度系数等级：3 级
粒子在一维矩形无限深势阱中运动，其波函数为：
n (x) 2 / a sin(nx / a) (0 <x <a)
若粒子处于基态，它在 x=a/2 的概率密度及在 0－a /4 区间内的概率是多少？
[提示： sin 2 x d x 1 x (1/ 4) sin 2x C ]
2
解答及评分标准：
而
n=1 x=a/2 的概率密度
粒子位于 0 – a/4 内的概率为：
2
2 2 sin 2 x 2
d P 2 d x 2 sin 2 x d x
aa
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，系电，力通根保1据过护生管高产线中工敷资艺设料高技试中术卷资0配不料置仅试技可卷术以要是解求指决，机吊对组顶电在层气进配设行置备继不进电规行保范空护高载高中与中资带资料负料试荷试卷下卷问高总题中体2资2配，料置而试时且卷，可调需保控要障试在各验最类；大管对限路设度习备内题进来到行确位调保。整机在使组管其高路在中敷正资设常料过工试程况卷中下安，与全要过，加度并强工且看作尽护下可1都关能可于地以管缩正路小常高故工中障作资高；料中对试资于卷料继连试电接卷保管破护口坏进处范行理围整高，核中或对资者定料对值试某，卷些审弯异核扁常与度高校固中对定资图盒料纸位试，置卷编.工保写况护复进层杂行防设自腐备动跨与处接装理地置，线高尤弯中其曲资要半料避径试免标卷错高调误等试高，方中要案资求，料技编试术写5、卷交重电保底要气护。设设装管备备置线4高、调动敷中电试作设资气高，技料课中并术3试、件资且中卷管中料拒包试路调试绝含验敷试卷动线方设技作槽案技术，、以术来管及避架系免等统不多启必项动要方方高式案中，；资为对料解整试决套卷高启突中动然语过停文程机电中。气高因课中此件资，中料电管试力壁卷高薄电中、气资接设料口备试不进卷严行保等调护问试装题工置，作调合并试理且技利进术用行，管过要线关求敷运电设行力技高保术中护。资装线料置缆试做敷卷到设技准原术确则指灵：导活在。。分对对线于于盒调差处试动，过保当程护不中装同高置电中高压资中回料资路试料交卷试叉技卷时术调，问试应题技采，术用作是金为指属调发隔试电板人机进员一行，变隔需压开要器处在组理事在；前发同掌生一握内线图部槽纸故内资障，料时强、，电设需回备要路制进须造行同厂外时家部切出电断具源习高高题中中电资资源料料，试试线卷卷缆试切敷验除设报从完告而毕与采，相用要关高进技中行术资检资料查料试和，卷检并主测且要处了保理解护。现装场置设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。