第二章 流体静力学
第二章 流体静力学
表面力具有传递性
3
工程流体力学
二、静压力的两个重要特性
• 流体静止时，τ=0；只能承受压应力，即 压强，其方向与作用面垂直，并指向流体 内部。
• 特性1（方向性）：平衡流体中的应力 p⊥→受压面。
• 特性2（大小性）：平衡流体内任一点的压 强p与作用方位无关,即 p =f(x,y,z)。
4
工程流体力学
工程流体力学
第二章 流体静力学
流体静力学是研究流体在静止状态下的 力学规律，包括压强的分布规律和固体壁面 所受到的液体总压力。
1
工程流体力学
第一节 流体静压力及其特性
一、流体静压力：
1、总压力P ：静止流体与容器壁之间、内部相邻 两部分流体之间的作用力。单位“牛”
2、静压力：单位面积上的总压力。即压强。
26
工程流体力学
（1）、测压管
测压管是一种最简单的液柱式测压计。为了减少毛细 现象所造成的误差，采用一根内径为10mm左右的直玻璃 管。测量时，将测压管的下端与装有液体的容器连接，上 端开口与大气相通，如图所示。
测压管只适用于测量较小的压强， 一般不超过19.6MPa，相当于 2mH2O。如果被测压强较高，则 需加长测压管的长度，使用就很不 方便。此外，测压管中的工作介质 就是被测容器中的流体，所以测压 管只能用于测量液体的压强。
例2-6、油罐深度测定，如图所示。已知h1=60cm， △h1=25cm， △h2=30cm，油的相对密度d油=0.9。求h2。
解析：这是由三个以上的容器组成的连通器
1、找出共有等压面。n-n , m-m
2、以A点为计算起点，B点为计算终点，
计算路线如图箭头所示。
3、列连通器平衡方程
n
第二章流体静力学
dy → 0, p y = pS 当四面体向A点收缩时，
同理 px = pz = pS
§2.2静力学基本方程（Euler静平衡方程）：
取一个矩形微元六面体，其六个面分别与 坐标轴平行，设微元中心处的压强为 p。 由于 这是个微小体积，因此认为六个面上的压强各 自均匀分布，常用面上中心来做代表。
而面上中心处的压强又可以围绕六面体 中心做Taylor展开。展开式忽略二阶以上 的高阶量，有
1 ⎞ ⎛ p A = p⎜ x + dx ⎟ 2 ⎠ ⎝
p A = p + 0.5(∂p ∂x )dx
p B = p − 0.5(∂p ∂x )dx
这样，垂直于x轴的两个面上的表面力分 别为
[ p + 0.5(∂p ∂x )dx ]dydz [ p − 0.5(∂p ∂x )dx ]dydz
§2.3重力作用下静止流体内部的压强分布 [均匀液体的压强分布] 根据Euler静平衡方程 可以得到：
p = p0 + γh
第一部分是自由面上的压强，第二部分称 为剩余压强。
p = p0 + γh = γ ( p0 γ + h )
这种做法，称为虚水面方法。
[连通器] （ 1 ）同种液体，表面自由压强相等。则两液面 等高，任一等高度的面上均为等压面。 （ 2 ）同种液体，但表面自由压强不等。则自由 压强大者，液面低。 （3）不同液体（不相混）。密度大者液面低。
F = ∫ ρf dV
V
2、表面力——一个流体体积的表面上，受 到其他部分的流体或与之相接的固体的 作用力。这种力，只是作用在体积的表 面上而没有作用到体积内部的流体质点 上。 通常可以把表面力分解为法向的和 切向的分量，分别称为法向力和切向力。 单位面积上则称为法向应力和切应力。
第二章 流体静力学
d
例题3
考虑左侧水的作用
a a
a
a
b
b
b
b
c
c
c
c
ab段曲面(实 压力体)
bc段曲面(虚 压力体)
阴影部分相 互抵消
abc曲面(虚压 力体)
例题3
考虑右侧水的作用
a
b
c
bc段曲面 (实压力体)
例题3
合成
a a
a
a
b
b
b
b
c
c
c
c
左侧水的作 用
右侧水的作 用
abc曲面(虚压 力体)
例4
圆柱形压力水罐，半径R=0.5m，长l=2m，压 力表读值p=23.72kN/M2，试求（1）端部平 面盖板所受水压力；（2）上、下半圆筒所 受水压力。
分析思路
流体作用在曲面各微元面积上的压力 不是平行的，不能直接相加，而是采取 力学中“先分解，后合成”的方法确定总压 力。
§2.5 作用在曲面上的静水总压力
压力大小
dP ghd
一、静水总压力的水平分力
水平分力
dPx dP cos ghd cos ghd x
hd 为压力体体积
z
z
压力体
z
h d z
定义： 压力体相当于从曲面向上引至液 面（自由液面）的无数微小柱体的 体积总和，它是纯数学概念，与这 个体积内是否充满液体无关。
画法： （1）自由液面 （2）曲面 （3）根据静压强作用的方向找特殊点 （4）分段 （5）沿曲面的边界引垂直液面的铅垂面
空气 A 水
故A点的真空值为
p v p a p A (h2 h1 ) 1000 9.8 (2 1) 9800 Pa
第二章 流体静力学
所以表面abcd的总压力为：( p
p dx )dxdy x 2
同理面aˊbˊcˊd ˊ的总压
p dx 力为： (p )dydz x 2
z
微团在X轴方向的表面
力和为：
(p p dx p dx )dydz ( p )dydz x 2 x 2
p
p dx x 2
位质量流体受到的质量力在水平面x轴和y轴的投影为零， 铅直方向z轴的投影为重力加速度g，根据
则有
dp g dz
dp ( f x dx f y dy f z dz)
积分得
p zc g
液体静止的基本方程
式中：g在本书中取值9.807m/s2；
z为测压处相对于边界条件(基准面)的高差。 c为常数，大小由边界条件确定。
若一个函数W(x,y,z)使质量力的投影等于这个函数的偏
导数，即
W fx x
fy
W y
fz
W z
则称函数W(x,y,z)为质量力势函数。 一个存在质量力势函数的力场，称为有势力场，相应的
质量力称为有势质量力，简称有势力。
等压面性质： • 等压面就是等势面； • 等压面与质量力垂直； •两种互不掺混液体的分界面也是等压面。
等压面:在静止流体内，由静压力相等的各点组成的面
自由面：静止液体和气体接触的面
水平面既是等压面也是自由面
液体静压强分布规律只适用静止、同种、连续液体
同一容器或同一连通器盛有多种不同密度的液体时，关键是找到等 压面
§2-4
液体的相对静止
辩证唯物主义:
①运动是普遍的、永恒的和无条件的，因而是绝
第二章 流体静力学
h
h
一、解析法
如图所示，静止液体中有一倾斜放置的平面MN，试求作用 在该平面上的总压力。
1）粗线MN代表其侧视图，正面投影为绕其对称轴转90 度 2）平面MN的延伸面与自由液面的交角为；
3）坐标系：ox轴为平面MN的延伸面与自由液面的交线；
二、欧拉平衡微分方程的全微分形式
p X
x ×dx
p Y
y
×dy
p Z
z
×dz
p dx p dy p dz ( Xdx Ydy Zdz)
x y z
p p(x, y, z) dp p dx p dy p dz x y z
通常作用在流体上的单位 质量力是已知的，利用上 式便可求得流体静压强的 分布规律。
yD
sin Iox
P
sin Iox hc A
sin Iox yc sin A
I ox yc A
引入平行移轴公式 Iox Ic Ayc2
yD
I ox yc A
Ic yc2 A yc A
yc
Ic yc A
由此可知，压力中心D必位于受压面形心c之下。
说明：
工程中常见的受压平面多具有轴对称性（对称轴与
当流体存在真空时，工程习惯上用真空度（负压）表示。
真空
pv pabs pa
道 路
三者关系
当p>pa 时，绝对压强=表压强+当地大气压 当p<pa 时，绝对压强=当地大气压-真空度
p 表压强
p>pa 真空度
当地大气压 pa
绝对压强
p<pa
绝对真空 p=0
第二章-流体静力学
第⼆章-流体静⼒学⼀、学习导引1、流体静⽌的⼀般⽅程（1）流体静⽌微分⽅程x p f x ??=ρ1，y p f y ??=ρ1，zpf z ??=ρ1 （2）压强微分)(dz f dy f dx f dp z y x ++=ρ（3）等压⾯微分⽅程0=++dz f dy f dx f z y x2、液体的压强分布重⼒场中，液体的位置⽔头与压强⽔头之和等于常数，即C pz =+γ如果液⾯的压强为0p ，则液⾯下深度为h 处的压强为h p p γ+=03、固体壁⾯受到的静⽌液体的总压⼒物体受到的⼤⽓压的合⼒为0。
计算静⽌液体对物⾯的总压⼒时，只需考虑⼤⽓压强的作⽤。
（1）平⾯壁总压⼒：A h P c γ= 压⼒中⼼Ay J y y c cc D += 式中，坐标y 从液⾯起算；下标D 表⽰合⼒作⽤点；C 表⽰形⼼。
（2）曲⾯壁总压⼒：222z y x F F F F ++=分⼒：x xc x A h F γ=，y yc y A h F γ=，V F z γ=4、难点分析（1）连通器内不同液体的压强传递流体静⼒学基本⽅程式的两种表达形式为C pz =+γ和h p p γ+=0。
需要注意的是这两个公式只适⽤于同⼀液体，如果连通器⾥⾯由若⼲种液体，则要注意不同液体之间的压强传递关系。
（2）平⾯壁的压⼒中⼼压⼒中⼼的坐标可按式Ay J y y c cc D +=计算，⾯积惯性矩c J 可查表，计算⼀般较为复杂。
求压⼒中⼼的⽬的是求合⼒矩，如果⽤积分法，计算往往还简便些。
（3）复杂曲⾯的压⼒体压⼒体是这样⼀部分空间体积：即以受压曲⾯为底，过受压曲⾯的周界，向相对压强为零的⾯或其延伸⾯引铅垂投影线，并以这种投影线在相对压强为零的⾯或其延伸⾯上的投影⾯为顶所围成的空间体积。
压⼒体内不⼀定有液体。
正确绘制压⼒体，可以很⽅便地算出铅垂⽅向的总压⼒。
（4）旋转容器内液体的相对静⽌液体随容器作等⾓速度旋转时，压强分布及⾃由⾯的⽅程式为c z gr p +-=)2(22ωγc gr z +=2220ω恰当地选取坐标原点，可以使上述表达式简化。
流体力学(流体静力学)
f (x)
f (x0 )
f (x0 )(!
)
(
x
x0
)
2
f
(n) (x0 n!
)
(x
x0
)n
按泰勒级数展开，把M、N点旳静压强写成
p 1
1 p
pM
p [(x dx) x] x 2
p 2
dx x
p 1
1 p
pN
p
[(x x
dx) x] 2
p
2
dx x
其中 p 为压力在x方向旳变化率。因为微元体旳面积取得足够小，
p1 p2
证明：从静止状态旳流体中引入直角坐标系中二维流体微元来
阐明。
设 y 方向宽度为1。ds 即表达任意方向微元表面。
分析 z 方向旳力平衡
表面力：
p1dscosθ=p1dx和p2dx两个力 二维流体微元旳体积：
z
dV 1 dxdz 2
质量力：
p1ds
ds dz x
θ dx
p3dz
y
Fz
1 2
dp ＝ρ1dU dp ＝ρ2dU 因为ρ1≠ρ2 且都不等于零，所以只有当dp和dU均为零时方程 式才干成立。所以其分界面必为等压面或等势面。
§2－4 流体静力学基本方程
重力作用下压力分布 相对平衡液体旳压力分布
§2—4 流体静力学基本方程
一、重力作用下压强分布
如图所示为一开口容器，其中盛有密度为ρ旳静止旳均匀液体 ，液体所受旳质量力只有重力，又ρ＝常数，重度γ＝ρg也为常数。 单位质量力在各坐标轴上旳分量为
（1）
Z 1 p 0
z
上式称为流体平衡微分方程式，它是 Euler在1755年首先提出 旳，故又称欧拉平衡方程式。它表达流体在质量力和表面力作用下 旳平衡条件。
第二章 流体静力学
达郎伯原理
刚体作平动时，惯性力系简化的结果为一个通 过质心的合力F，其大小等于刚体的质量与质心 加速度的乘积，方向与质心加速度的方向相反
F ma
达郎伯原理
刚体绕垂直于质量对称平面的转轴转动时， 惯性力系向转轴与对称面的交点O简化的结 果为一个主矢和主矩。主矢的大小等于刚体 的质量与质心加速度的乘积，方向与质心加 速度的方向相反；主矩的大小等于刚体对转 轴的转动惯量与角加速度的乘积，转向与角 加速度的转向相反
f z a sin g
dp f x dx f z dz
0
p
dp 0 a cos dx 0 a sin g dz
x z
p ax cos az sin gz
注意：坐标的方向及原点的位置
2.等角速度旋转容器中液体的相对平衡
p gh
测压管
结构简单，但只能测量较小的压强。
2.U形管测压计
一端与测点相连，一端与大气相连 例 求pA（A处是水，密度为ρ，测
压计内是密度为 gh pa pA ' h ag pa
例 求pA（A处是密度为ρ的空气，测压计内是密度为ρ’的 水） 解： p A ' gh 气柱高度不计，表压
ρ’
解： p1 p2 ' hg
p p1 p2 ' hg
4.倾斜微压计（为了提高测量精度）
p p1 p2 gh gl sin
l 1 n （放大倍数） h sin
lA1 h2 A2 h2 lA1 / A2 p p2 p1 gh
P左 p 1 p dx dydz 2 x
质量力：
流体力学流体静力学
增大
流体力学
U型管测压计2
U型管测压计特点 测量范围较大 可测量气体压强
pAm 2 gh2 1gh1 2 gh2 可测量真空压强 指示液不能与被测液体掺混
流体力学
差压计
流体力学
pA pB 2 gh2 3 gh3 1gh1
倾斜式测压计（微压计）
一般用来测量气体压强
pAm 2 gl sin 1 gh1
倾斜管放大了测量距
离，提升了测量精
度
l h
1
sin
流体力学
等角速转动液体平衡
非惯性系，相对静止问题
流体相对于运动坐标系静止，质点间无 相对运动，流体与器壁间也无相对运
动 相对静止平衡微分方程
f
1
p
0
流体力学
相对静止平衡微分方程
g
a
1
p
0
取 z 轴垂直向上，其分量形式为
流体力学
ax ay
1
1
p x p y
0 0
g
az
1
p z
0
等角速转动液体旳平衡1
1 p
ax
x
0
ay
1
p y
0
g
az
1
p z
0
z
流体力学
x
θ
ay
ax y ar
等角速转动液体旳平衡2
dp 2 xdx 2 ydy gdz
等压面
z 2 r2 C
加旳力矩大小设水密
度 = 1000kg / m3，
壁面倾斜角为60º
流体力学
平面上旳流体静压力－例题1
解：1) 闸门所受总压力
第二章 流体静力学
A
P P A
P dp P lim A0 A dA
流体静压力和流体静压强都是压力的一种度量，它们的区 别仅在于前者是作用在某一面积上的总压力，而后者是作 用在某一面积上的平均压力或某一点的压强。
§2.1 流体静压强及其特性
2.1.2 流体静压强的特性 特性一：流体静压强的作用方向沿作用面的内法线方向。
1
第二章 流体静力学
§2.1 流体静压强及其特性
§2.2 重力场中流体的平衡 §2.3 压强的计算基准和度量单位
§2.4 液柱式测压计
§2.5 静止液体作用在固体壁面上的总压力 §2.6 流体平衡微分方程
§2.7 液体的相对平衡
§2.1 流体静压强及其特性
2.1.1 流体静压强 当流体静止或者相对静止时，流体的压强称为流体的静压强。
2.2.3 液体静压强分布图
p p0 gh
1.ρgh部分的绘制
P0
D
A
= gh 设 P＇
’ 对于A点： P A = ghA 0
’ 对于B点： PB = ghB
P
E
C
2. P0部分的绘制
P 0
ghB
B
PB P 0 ghB
h
根据静压强等值传递规律，P0部分等值的传递到 受压面任意点上去。
如果A、B两处为同种液体：
A B
pA pB g (h2 h1 ) g gh3
1-2为 等压面
如果A、B两处为同种气体：
pA pB g gh3
§2.4 液柱式压差计
2.4.3 倾斜式微压计
h l sin
p ＇g (h h)
A1 h A2l
第二章 流体静力学
X dxdydz
x轴向的平衡 1 p 1 p (p dx)dydz ( p dx)dydz X dxdydz 0 2 x 2 x
X
p 0 x
同理
p Y 0 y p Z 0 z
流体平衡微分方程式 （欧拉平衡方程）
第二节 流体静压强的分布规律
三、气体压强计算
前述规律，虽然是在液体的基础上提出来的，但对于不可 压缩气体仍然适用。 由于气体密度很小的特点，在高差不是很大的情况下，气 柱产生的压强很小，因而可以忽略ρg h的影响，即 p= p0 上式表明空间各点气体压强相等，例如液体容器、测压管、 锅炉等上部的气体空间，就认为各点的压强是相等的。
第一节 流体静压强及其特性
二、流体静压强的特性
（1）静压强的垂向性。 流体静压强总是沿着作用面 的内法线方向。 （2）静压强的各向等值性。 在静止或相对静止的流体中，任一点的流体静压强的大小与 作用面的方向无关，只与该点的位置有关，即同一点上各个 方向的流体静压强大小相等。
第一节 流体静压强及其特性
第七节 液体平衡微分方程
p 0 x p Y 0 y p Z 0 z
X
指出流体处于平衡状态时，作用于 流体上的质量力与压强递增率之间 的关系。它表示单位体积质量力在 某一轴的分力，与压强沿该轴的递 增率相平衡。
1 p x 1 p Y y 1 p Z z X
水头。 p Z ：测压管水面相对于基准面的高度，测压管水头。 g
所谓测压管是一端和大气相通，另一端和液体中某一点相 接的管子。 两水头相加等于常数，表示在同一容器的静止液体中所有 各点的测压管水面必然在同一水平面上。
第二节 流体静压强的分布规律
第二章 流体静力学
压强的国际制单位是N/m2或Pa；工程单位tf/m2是或kgf/cm2。
第二章 流体静力学
第一节 流体流体静压强及其特性
二 流体静压强的特性
p
p1
z B C Px
dy
dz dx
τ
A
Py Pn x
y
压强方向的假设
Pz
压强大小计算
1 Px p x dydz 2 1 Py p y dzdx 2 1 Pz p z dxdy 2
3
3
a图:
p1 p A hm ( y a)
p2 pB y
p1 p2
b图:
p A pB (hm a)
p1 p A A (Z1 hm ) p2 p3 `hm p3 pB B Z 2 p A A (Z1 hm ) pB B Z 2 `hm p A pB ( ` )hm
a 2
1 g h2 h1 ga
816kg / m 3 h
1 h1 2.5m
第五节 作用于平面的液体压力
一 解析法
hD hC h P b y
pa o
dP α a dA C D y yC yD
x
①受压面静水压力
dP pdA hdA
p dP pdA hdA sin ydA
p5 p4 (h5 h4 ) p4 p3 `( h3 h4 )
p3 p2 `( h1 h2 )
p5 `(h1 h2 h3 h4 ) (h5 h4 )
第四节 液柱测压计
【例】试求图中同高程的两条输水管道的压强差pA-pB，已知液面高 程读数z1=18mm,z2=62mm,z3=32mm,z4=53mm，酒精密度 ρ1=800kg/m3，水银密度ρ2=13600kg/m3 。 【解】 p1 p A gh p2 2 g z2 z1
第二章 流体静力学
Pz A hdAz V
结论：
静止液体作用在曲面上的总压力的垂向分量的大
小等于压力体中装满此种液体的重量。
zy
x
Az
Vp
h
Pz
Px
Ax
A
n
总压力垂向 分量的方向根 据情况判断。
三、压力体
压力体 是一个纯数学的概念，是一个由积分式所确定 的纯几何体，与这个体积内是否充满液体无关。
二 表面力
与表面面积有关而且分布作用在流体表面上的力称为表面力。 表面力是由与分离体相接触的其它物体的作用产生的针对流体的 作用力。
表面力按其作用方向可分为两种：沿表面内法线方向的压力 和沿表面切向的摩擦力。对于处于平衡状态的流体，切向摩擦力 为零，只有沿受压面内法线方向的流体静压力。
三 流体静压强及其特性
静力奇象
• 只要平面的面积和形心处的淹深
相同，则平板所受到的静水压力也
相同。
h
例 某泄洪隧洞，在进口倾斜设置一矩形平板闸门（见图），倾角为600，门宽b为4m， 门长L为6m，门顶在水面下淹没深度h1为10m，若不计闸门自重时，问沿斜面拖动闸 门所需的拉力T为多少（已知闸门与门槽之间摩擦系数f为0.25）？门上静水总压力的作 用点在哪里？
这就是不可压缩流体的静压强分布规律。
流体静压强基本方程式表明：
（1）重力作用下的静止液体中，任一点的静压强可以由自由表面上的 压强通过静力学基本方程式得到，用它可以求静止液体中任一点的静压 强值。 （2）静止液体自由表面上的表面压力均匀传递到液体内各点（这就 是著名的帕斯卡定律，如水压机、油压千斤顶等机械就是应用这个 定律制成的）。
•x 方向水平力的大小
第二章流体静力学
二、液体随容器作等角速度旋转运动
z 建立如图所示动坐标系 ω
X = ω 2 x, Y = ω 2 y , Z = − g
p0
dp = ρ (ω xdx + ω ydy − gdz )
2 2
y
o
A g
x
p = ρ( = ρ(
ω 2 x2
2
+
ω 2 y2
2
− gz ) + C
o x y
x
y r A
ω y
p / ρg
能；
C 表示单位重量流体所具有的总势能，简称总能。 表示单位重量流体所具有的总势能，简称总能。
在重力作用下， 在重力作用下，静止流体中各点的单位重量流体的总 势能是相等的。 势能是相等的。
三、流体静力学基本方程的几何意义
单位重量流体具有的能量用液柱高度来表示称为水头。 单位重量流体具有的能量用液柱高度来表示称为水头。 水头 表示该点到基准面的高度，称为位置水头， z 表示该点到基准面的高度，称为位置水头，简称位水
hC 平面形心点的淹没深度
A
PyD = ∫ ydP =ρ g sin α ∫ y 2 dA = ρ g sin α I x
∂p dx pA = p − ∂x 2 ∂p dx pB = p + ∂x 2
1 ∂p p− dx dydz 2 ∂x
A
C p
B
1 ∂p p+ dx dydz 2 ∂x
½ dx
图2－4
由于微六面体处于平衡状态， 由于微六面体处于平衡状态，所以由平衡条件得
一、流体平衡微分方程
在静止的流体中取一微六面体，如图2-4所示。取六面 在静止的流体中取一微六面体，如图2 所示。 体内中心点C点，设C点的静压强为 p ，过C点作轴的平行线 体内中心点C 交左右侧面分别为A 将静压强按泰勒级数展开， 交左右侧面分别为A、B点，将静压强按泰勒级数展开，并略 去高阶微量， 去高阶微量，则
第二章—流体静力学
单位换算关系
应力单位法 液柱高度法 液柱高度法
大气压倍数法 大气压倍数法
帕
pa
1pa=1N/m2
米水柱
1mH2O=9.8103pa
mH2O
毫米汞柱
1mmHg=13.6mmH2O
mmHg =133.3pa
标准大气压
1atm=10.3323mH2O=
atm 760mmHg=101325pa 工程大气压 at 1at=10mH2O=735.6
作业
附加例： 静止大气的压强分布 国际标准大气 Z
dp ( fxdx f ydy fzdz)
dp gdz
O
对流层的压强分布
T T0 z
T0 288K 0.0065K / m
p RT
p dp
g z dz
p p0
R 0 T0 z
p
(1
g
z) R
(1
z
)5.2565
p0
T0
exp
g R T1
(z
z1 )
exp(
z
11000) 6336
六. 静止液体作用在平面壁和曲面 壁上的总压力
o
hD hc P h a
c
D
力三要素？
b
a
c
y
大小， 方向，
y
b
D dA
yc
x
作用点（压
y’
yD
力中心）
x’
P dP pdA ghdA (gysin)dA = pcA
A
A
A
PA-PB= 2 g(z2-z1+z4-z3) - 1 g(z2-z3)= P1-P4
A、B中为液体时： P1 = PA +A g(zA-z1)
第二章流体静力学流体力学
Pn Pn
cos(n, cos(n,
x) y)
Fx Fy
0 0
（2—2）
Pz
Pn
cos(n,
z)
Fz
0
x方向受力分析:表面力：
Px
px
1 dydz 2
Pn
cos(n, x)
pn
1 dydz 2
（2—3）
n为斜面ABC的法线方向质量力： Fx X dxdydz / 6 （2-4）
对压强的负值时，如（图2—10）。
真空值 p pa pabs ( pabs pa )
h 真空高度 v
pv
pa pabs
( pabs pa ) （2—20）
（2—18）
pabs hv pa
图2—10真空高度
hv
pa
pabs
g
pv
g
（2—19）
（二）压强的单位及其换算
1.国际单位制：国际单位制中压强的单位主要有pa（或 atm）、Pa（或N/m2）、Kpa（或kN/m2）、Mpa等。
（
, , p p p
x y z
）等于该方向上单位体积内的质量力的分
量 （ X 、Y 、Z ）。
二、平衡微分方程的全微分式
为对式(2—9)进行积分，将各分式分别乘以 dx、dy 、dz
然后相加，得（2-10）
p dx p dy p dz (Xdx Ydy Zdz)
x y z
压强p p(x, y, z)是坐标的连续函数，由全微分定理，
体的交界面等。
第三节 重力场中流体静压强的分布规律
一、液体静力学的基本方程 1.基本方程的两种表达式 在同一种均质的静止液体中，
任意点的静压强，与其淹没深度 成正比，与液体的重度成正比， 且任一点的静压强的变化，将等 值地传递到液体的其它各点
第二章 流体静力学
p x pn
p x pn
6
f x dx 0
同理，在y和z方向得到
p y pn
p z pn
p x p y p z pn
说明： （1）静止流体中不同点的压强一般是不等的，同一点的各 向静压强大小相等。 （2）运动状态下的实际流体，流体层间若有相对运动，则 由于粘性会产生切应力，这时同一点上各向法应力不再相等。 （3）运动流体是理想流体时，由于不会产生切应力，所以 理想流体动压强呈静压强分布特性，即
1标准大气压(atm)=101337 Pa=10.33mH2O=760mmHg
1工程大气压(at)=98100 Pa=10mH2O=735mmHg
各种压力单位的换算关系
标准大压 帕(Pa) 米水柱 毫米水银 柱 mmHg
760 750.06 735.58
atm
1 0.9869 0.9679
N/m2
p p0 (ax gz)
等压面方程： 自由液面方程：
ax gz c
ax gz 0
二、等角速度旋转容器中液体的平衡
流体对平面的作用力
dF pdA ( p0 gh)dA p0 dA gy sin dA
F dF ( p0 gy sin )dA
1 p 0 x
fx
同理， f 1 p 0 y
y
fz
1 p 0 z
1 p fx 0 x 1 p fy 0 dp ( f x dx f y dy f z dz) y 1 p fz 0 z
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一、 学习导引1、流体静止的一般方程 （1） 流体静止微分方程x p f x ∂∂=ρ1，yp f y ∂∂=ρ1，z pf z ∂∂=ρ1（2） 压强微分)(dz f dy f dx f dp z y x ++=ρ（3） 等压面微分方程0=++dz f dy f dx f z y x2、液体的压强分布重力场中，液体的位置水头与压强水头之和等于常数，即C pz =+γ如果液面的压强为0p ，则液面下深度为h 处的压强为h p p γ+=03、 固体壁面受到的静止液体的总压力物体受到的大气压的合力为0。
计算静止液体对物面的总压力时，只需考虑大气压强的作用。
（1） 平面壁总压力：A h P c γ= 压力中心Ay J y y c cc D += 式中，坐标y 从液面起算；下标D 表示合力作用点；C 表示形心。
（2） 曲面壁 总压力：222z y x F F F F ++=分力 ：x xc x A h F γ=，y yc y A h F γ=，V F z γ=4、难点分析（1）连通器内不同液体的压强传递 流体静力学基本方程式的两种表达形式为C pz =+γ和h p p γ+=0。
需要注意的是这两个公式只适用于同一液体，如果连通器里面由若干种液体，则要注意不同液体之间的压强传递关系。
（2）平面壁的压力中心压力中心的坐标可按式Ay J y y c cc D +=计算，面积惯性矩c J 可查表，计算一般较为复杂。
求压力中心的目的是求合力矩，如果用积分法，计算往往还简便些。
（3）复杂曲面的压力体压力体是这样一部分空间体积：即以受压曲面为底，过受压曲面的周界，向相对压强为零的面或其延伸面引铅垂投影线，并以这种投影线在相对压强为零的面或其延伸面上的投影面为顶所围成的空间体积。
压力体内不一定有液体。
正确绘制压力体，可以很方便地算出铅垂方向的总压力。
（4）旋转容器内液体的相对静止液体随容器作等角速度旋转时，压强分布及自由面的方程式为c z g r p +-=)2(22ωγc gr z +=2220ω恰当地选取坐标原点，可以使上述表达式简化。
解题时，常常用到高等数学的这样一个定理：抛物线所围的体积等于同高圆柱体体积的一半。
证明如下：设抛物线放称为2ar z =，当R r =时，H z =，即2aR H =。
H R a H dz a z dz r V HH22022121ππππ====⎰⎰ 二、习题详解2.1封闭容器内水面的绝对压强7.1070=p kN/m 2，当地大气压07.98=a p kN/m 2。
试求（1）水深8.01=h m 时，A 点的绝对压强。
（2）若A 点距基准面的高度5=Z m ，求A 点测压管高度及测压管水头，并图示容器内液体各点的测压管水头线。
（3）压力表M 和酒精(94.7=γkN/m 2)测压计h 的读数为何值？解：kPa p 55.115908078.07.107=⨯+=' k P a p m 63.907.987.107=-= m h 21.1709463.9==2.2 一潜水员在水下15m 处工作，问潜水员在该处所受的压强是多少?解：潜水员所受为相对压强：kPa p 1.147807.915=⨯= 2.3 标出图中A 点的位置水头、压强水头和测压管水头。
习题2.3图2.1题图2.4一封闭容器盛有2γ（水银）>1γ（水）的两种不同液体，试问同一水平线上的1、2、3、4、5各点的压强哪点最大？哪点最小？哪些点相等？解：各点压强大小关系为43215p p p p p =<=<习题2.4图2.5 试求水的自由液面下5m 处的绝对压强和相对压强。
分别用压强的三个度量单位Pa 、mmHg 及at 表示。
解：at mmHg kPa p 5.036749807.95===⨯=at mmHg kPa p 53.1112736.150325.10149===+='2.6 若一气压表在海平面时的读数为760mmHg ，在一山顶时测得的读数为730mmHg ，设空气的密度为3.1kg/m 3，试计算山顶高度。
解：m H 8.313807.93.14.133)730760(=⨯⨯-=2.7量测容器中A 点压强的真空计如图所示，已知z=1m ，h=2m ，当地大气压值为98kPa ，求A 点的绝对压强，相对压强和真空度。
解：kPa Z h p A 807.9)21(807.9-=-⨯=+-=γγkPa p A 19.88807.998=-='O mH Pa p P A v 219807==-=习题2.7图2.8计算图中各液面的相对压强。
已知：91.01=h m ，61.02=h m ，305.043==h h m ，9789=水γN/m 3，900=油ρkg/m 3。
解：kPa h h P A 97.5)305.0305.0(789.9)43-=+⨯-=+-=（水γ kPa h p p B C 97.561.0789.92=⨯===γkPah h h g p p c D 07.22)305.061.091.0(108.990097.5)(3321=++⨯⨯⨯+=+++=-油ρ2.9已知水箱真空表M 的读数为98.0kN/m 2，水箱与油箱的液2.8题图面差5.1=H m ，水银柱差2.02=h m ，85.7=油γkN/m 3，求1h 为多少米？ 解：1221)(2h h p h h H p H g a O H 油γγγ++=+++'98.0-='⇒'-=a a v p p p p p1221)(98.02h h h h H H g O H 油γγγ+=+++-m h H h h Hg 6.585.7807.9)2.05.1(807.998.02.04.133)98.0221=-+⨯-+⨯=-+-+=油水水（γγγγ2.10如图所示，密闭容器上层为空气，中层为密度为8340=ρkg/m 3的原油，下层为密度1250=G ρkg/m 3的甘油，测压管中的甘油表面高程为9.14m ，求压力表G 的读数。
解：以石油和甘油的分界面为等压面，则)66.314.9()66.362.7(21-=-+γγG pkPa p G 8.34=2.11图为倾斜水管上测定压差的装置，测得200=Z mm ，120=h mm ，当（1）02.91=γkN/m 3为油时；（2）1γ为空气时，分别求A 、B 两点的压差。
解：（1）02.91=γkN/m 3为油时Z h p h p O H B O H A 221γγγ--=-kPah z h p AB 867.12.081.912.0)02.981.9()(1-=⨯-⨯-=--==∆γγ（2）1γ为空气时，kPa z h p p B A 784.0)2.012.0(807.9)(-=-⨯=-=-γ2.12 如图所示，某容器中充满比重0.91的油液，其压强由水银测压计的读数h 来确定，水银比重为13.57。
如果压强不变，而使测压计下移到a 的位置，试问测压计读数的变化是多少？2.10题图2.11题图习题2.12图 习题2.13图解： γγγ)2()(h a h h h Hg Hg ∆++=∆+ a a h Hg0694.021=⨯-=∆γγγ2.13 如图所示，两容器A 、B ，容器A 装的是水，容器B 装的是酒精，其容重为8kN/m 3，用U 形水银压差计测量A 、B 中心点压差，已知3.01==h h m ，25.02=h m ，求其压差。
解：221)(2h h p h h h p H g B O H A γγγ++=+++酒kPa h h h h p H g AB 4.27)25.03.03.0(807.925.4.1333.08)(212=++⨯-⨯+⨯=++-+=∆水酒γγγ 2.14 图示U 形管压差计，水银面高差h=15cm ，求充满水的A ，B 两圆筒内的压强差。
解：h p h p H g B O H A γγ+=+2kPa h p o H H g AB 5.1815.0807.9)16.13()(2=⨯⨯-=-=∆γγ2.15如图所示，试按复式水银测压计的读数算出锅炉中水面上蒸汽的绝对压强。
已知：3=H m ，4.11=h m ，5.22=h m ，2.13=h m ，3.24=h m 。
解：a H g O H O H O H p h h h h h h h H p =---+---+')()()()(3432121222γγγγ kPa p 325.3661.14.1333.181.91.14.1336.181.9325.101=⨯+⨯-⨯+⨯-=' 2.16一直立煤气管，在底部测压管中测得水柱差1001=h mm ，在20=H m 高处的测压管测得水柱差2h =115mm ，管外空气容重64.12=气γN/m 3，求管中静止煤气的容重。
2.15题图2.14题图习题2.16图 习题2.17图解：12)(h H p H h p a a γγγγ++=++空气煤气 32129.564.1220)115.01.0(9807)(m N Hh h =+-⨯=+-=空气煤气γγγ2.17 在直径D=0.4m 的圆桶中盛有油和水，如图所示，用玻璃管A 和B 确定油水分界面和油的上表面，求1) a=0.2m ，b=1.2m,c=1.4m 时油的重度。
2) a=0.5m,b=1.6m,油的重度为8240N/m 3时,桶内水和油的体积。
解：1）)()(21a b a c O H -=-γγ31/17.8)()(2m kN a c a b OH =--=γγ2）)()(21a b a c O H -=-γγ m c 81.15.0)5.06.1(24.8807.9=+-⨯=32116.0)(4m a c D V =-⨯=π3220628.04m a D V =⨯=π2.18 潜艇内的汞气压计读数8001=h mm ，多管汞差计读数5002=h mm ，海平面上汞气压计读数为760mm ，海水密度为1025kg/m 3，试求潜艇在海面下的深度H 。
解：1222)(h h h h H p H g H g H g a γγγγ=--++mp h h h h H a Hg 3.13102576.06.135.01025)25.08.0(106.13)(32221=⨯-⨯-⨯+⨯⨯=--++=γγγ2.19为了精确测定容重为γ的液体中A ，B 两点的压差，特设计图示微压机。
测定时的各液面差如图示。
试求γ与'γ的关系及同一高程上A 、B 两点的压差。
解：1）0)]([=∆+-+∆+'-h a b h b γγγγγ⎪⎭⎫ ⎝⎛-='b a 12）B A p H H p ='+-γγ H baH p p p B A γγγ='-=-=∆)( 2.20密封方形柱体容器中盛水，底部侧面开6.05.0⨯m 的矩形孔，水面绝对压强0p 7.117=kN/m 2，当地大气压07.98=a p kN/m 2，求作用于闸门的水静压力及作用点。