第二章 流体静力学

一、 学习导引

1、流体静止的一般方程 （1） 流体静止微分方程

x p f x ∂∂=

ρ1，y

p f y ∂∂=ρ1，z p

f z ∂∂=ρ1

（2） 压强微分

)(dz f dy f dx f dp z y x ++=ρ

（3） 等压面微分方程

0=++dz f dy f dx f z y x

2、液体的压强分布

重力场中，液体的位置水头与压强水头之和等于常数，即

C p

z =+

γ

如果液面的压强为0p ，则液面下深度为h 处的压强为

h p p γ+=0

3、 固体壁面受到的静止液体的总压力

物体受到的大气压的合力为0。计算静止液体对物面的总压力时，只需考虑大气压强的作用。

（1） 平面壁

总压力：A h P c γ= 压力中心A

y J y y c c

c D +

= 式中，坐标y 从液面起算；下标D 表示合力作用点；C 表示形心。

（2） 曲面壁 总压力：222z y x F F F F ++=

分力 ：x xc x A h F γ=，y yc y A h F γ=，V F z γ=

4、难点分析

（1）连通器内不同液体的压强传递 流体静力学基本方程式的两种表达形式为C p

z =+

γ

和h p p γ+=0。需要注意的是这

两个公式只适用于同一液体，如果连通器里面由若干种液体，则要注意不同液体之间的压强传递关系。

（2）平面壁的压力中心

压力中心的坐标可按式A

y J y y c c

c D +

=计算，面积惯性矩c J 可查表，计算一般较为复杂。求压力中心的目的是求合力矩，如果用积分法，计算往往还简便些。

（3）复杂曲面的压力体

压力体是这样一部分空间体积：即以受压曲面为底，过受压曲面的周界，向相对压强为零的面或其延伸面引铅垂投影线，并以这种投影线在相对压强为零的面或其延伸面上的投影面为顶所围成的空间体积。压力体内不一定有液体。正确绘制压力体，可以很方便地算出铅垂方向的总压力。

（4）旋转容器内液体的相对静止

液体随容器作等角速度旋转时，压强分布及自由面的方程式为

c z g r p +-=)2(

2

2ωγ

c g

r z +=22

20ω

恰当地选取坐标原点，可以使上述表达式简化。 解题时，常常用到高等数学的这样一个定理：抛物线所围的体积等于同高圆柱体体积的一半。证明如下：

设抛物线放称为2ar z =，当R r =时，H z =，即2

aR H =。

H R a H dz a z dz r V H

H

220

2

2

121ππππ====⎰

⎰ 二、习题详解

2.1封闭容器内水面的绝对压强7.1070=p kN/m 2，当地大气压07.98=a p kN/m 2。试求（1）水深8.01=h m 时，A 点的绝对压强。（2）若A 点距基准面的高度5=Z m ，求A 点测压管高度及测压管水头，并图示容

器内液体各点的测压管水头线。（3）压力表M 和酒精(94.7=γkN/m 2)测压计h 的读数为何值？

解：kPa p 55.115908078.07.107=⨯+=' k P a p m 63.907.987.107=-= m h 21.17094

63

.9==

2.2 一潜水员在水下15m 处工作，问潜水员在该处所受的压强是多少?

解：潜水员所受为相对压强：kPa p 1.147807.915=⨯= 2.3 标出图中A 点的位置水头、压强水头和测压管水头。

习题2.3图

2.1题图

2.4一封闭容器盛有2γ（水银）>1γ（水）的两种不同液体，试问同一水平线上的1、2、3、4、5各点的压强哪点最大？哪点最小？哪些点相等？

解：各点压强大小关系为43215p p p p p =<=<

习题2.4图

2.5 试求水的自由液面下5m 处的绝对压强和相对压强。分别用压强的三个度量单位Pa 、mmHg 及at 表示。

解：at mmHg kPa p 5.036749807.95===⨯=

at mmHg kPa p 53.11127

36.150325.10149===+='

2.6 若一气压表在海平面时的读数为760mmHg ，在一山顶时测得的读数为730mmHg ，设空气的密度为

3.1kg/m 3，试计算山顶高度。

解：m H 8.313807

.93.14

.133)730760(=⨯⨯-=

2.7量测容器中A 点压强的真空计如图所示，已知z=1m ，h=2m ，当地大气压值为98kPa ，求A 点的绝对压强，相对压强和真空度。

解：kPa Z h p A 807.9)21(807.9-=-⨯=+-=γγ

kPa p A 19.88807.998=-='

O mH Pa p P A v 219807==-=

习题2.7图

2.8计算图中各液面的相对压强。已知：91.01=h m ，

61.02=h m ，305.043==h h m ，9789=水γN/m 3，

900=油ρkg/m 3。

解：kPa h h P A 97.5)305.0305.0(789.9)43-=+⨯-=+-=（水

γ kPa h p p B C 97.561.0789.92=⨯===γ

kPa

h h h g p p c D 07.22)305.061.091.0(108.990097.5)(3321=++⨯⨯⨯+=+++=-油ρ

2.9已知水箱真空表M 的读数为98.0kN/m 2，

水箱与油箱的液

2.8题图