中考复习《实数及其运算》
初三数学总复习实数及其运算
数轴是一个连续的、双向的、有顺序的直线，它具有原点、正方向和单位长度 等基本性质。在数轴上，每一个点都对应一个唯一的实数，反之亦然。
02
实数的运算
加法与减法
总结词
理解加法与减法的概念，掌握运算规则
详细描述
加法与减法是实数的基本运算，理解加法与减法的概念是学习实数的基础。加法是指将两个数合并成一个数的运 算，减法是指从一个数中减去另一个数的运算。在运算过程中，应遵循加法和减法的运算法则，即同号数相加或 相减，取相同的符号；异号数相加或相减，取绝对值较大数的符号。
实数的基本性质
实数的加法性质
实数的加法满足交换律和结合律 ，即a+b=b+a和 (a+b)+c=a+(b+c)。
实数的乘法性质
实数的乘法满足交换律、结合律 和分配律，即a*b=b*a、 (a*b)*c=a*(b*c)和 (a+b)*c=a*c+b*c。
实数与数轴
实数与数轴的关系
实数可以与数轴上的点一一对应，即每一个实数都可以在数轴上找到一个唯一 的点来表示，反之亦然。
02
03
04
实数的概念
理解实数的定义，包括有理数 和无理数，以及实数在数轴上 的表示。
实数的运算
掌握实数的四则运算（加、减 、乘、除）和乘方运算，理解 运算的优先级和运算律。
平方根和立方根
理解平方根和立方根的概念， 掌握求平方根和立方根的方法 。
绝对值
理解绝对值的定义，掌握求绝 对值的方法。
练习题解析与解答
数学问题中的实数
总述
在数学问题中，实数可以用来表示未知数、参数或系数等，是解决代数、几何等复杂问题的关键。实 数的性质和运算规则为数学研究提供了基础。
中考复习之实数的运算及实数的大小比较
第2讲┃ 考点聚焦 考点2 实数的大小比较
大于 正数________零，负数______零，正数 小于 代数比较 ________一切负数；两个正数，绝对值大的 大于 规则 较大；两个负数，绝对值大的反而________ 小
几何比较 在数轴上表示的两个实数，________的数总 右边 左边 规则 是大于________的数
第2讲┃ 归类示例
(1)在进行实数的混合运算时，首先要明确与实数有关的概 念、性质、运算法则和运算律，要弄清按怎样的运算顺序进 行．中考中常常把绝对值、锐角三角函数、二次根式结合在一 起考查． (2)要注意零指数幂和负指数幂的意义． 1 －p 负指数的运算：a ＝ p(a≠0，且p是正整数)， a 零指数幂的运算：a0＝1(a≠0)．
命题角度： 1. 探究实数运算规律； 2Байду номын сангаас 实数运算中阅读理解问题． [2012· 广东] 观察下列等式：
1 1 1 第1个等式：a1＝ ＝ ×1－ ； 1×3 2 3 1 1 1 1 第2个等式：a2＝ ＝ × － ； 3×5 2 3 5 1 1 1 1 第3个等式：a3＝ ＝ × － ； 5×7 2 5 7 1 1 1 1 第4个等式：a4＝ ＝ × － ； 7×9 2 7 9 „
第2讲┃ 归类示例
1 [解析] 解法一：采用“特殊值法”来解，令x＝ ， 2 1 1 1 2 则x ＝ ， ＝2，∴ >x>x2. 4 x x 解法二：可用“差值比较法”来解，∵当0<x<1 时，1－x>0, x－1<0, x＋1>0, ∴x－x2＝x(1－x)>0, x2－1 （x＋1）（x－1） 1 2 ∴x>x . 又x－ ＝ ＝ <0, x x x 1 1 2 ∴x< ， ∴x <x< . x x
北师大版九年级数学下册--中考数学总复习 -第一个课时：实数及其运算 课件
将数 221000 用科学记数法表示为( B )
A. 2.21×106
B. 2.21×105
C. 221×103
D. 0.221×106
3. 实数 0.00037 用科学记数法表示为 33..77××1100－－44 ．
4. 估计 65的值在( D )
A. 5 和 6 之间 C. 7 和 8 之间
【例 8】实数 a，b，c 在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中
正确的是( DD )
A. ac＞bc C. －a＜－b＜c
B. |a－b|＝a－b D. －a－c＞－b－c
知识点四：二次根式
9. (1)性质：(Ⅰ)
a2＝a(a≥0)(Ⅱ)
a ＝ a 2
(2)运算法则：(Ⅰ) a· b＝ ab(a≥0，b≥0)
00 ；若 x－y ＋
y＋2＝0，则 x、y 的值分
别为 －2、－2 .
13. 二次根式 x＋4有意义，则实数 x 的取值范围是 xx≥≥－－44 ． 14. 要使代数式 xx＋1有意义，则 x 的取值范围是 xx>>－－11 ．
15. 据报道，2019 年某城镇基建项目总投入计划 70500000 元，将
，…}，
负分数：{ －23，－0. 4
，…}，
无理数：{ π， 6， 1.101 001 000 1…
，…}.
7. 若将三个数，－ 3， 7， 17表示在数轴上，其中能被如图所
示的墨迹覆盖的数是 7 .
8. － 3的相反数是－3
，倒数是
－－
3 3
，绝对值是 3 .
9. 求下列各式的值： (1)± 49；
(Ⅱ) ba＝ ab(a≥0，b>0)
总复习第1讲 实数及其运算
（三）乘法 1.、乘法法则：
2、有理数乘法的运算律： （1）乘法的交换律：ab = ba； （2）乘法的结合律：（ab）c=a（bc）； （3）乘法的分配律：a（b+c）=ab+ac . （四）除法: 除法法则：
（1）除以一个数等于乘以这个数的倒数。
（2）0除以任何数都等于___0__，0不能做被除数。
1.实数a（a≠0）的倒数是_____a_____；
2.a和b 互为倒数⇔ab=_____1_____
3. 倒数等于它本身的数是_1_和__-_1_。
【例1.】（资1）-2.4的倒数是_—__152_， 3 2 的倒数是___3__—__2_， 2. 已知a,b互为相反数，cd互为倒数，则 a b _0__.
常1千考=的_1_计_0_3数_, 单1位万有=__1_0_4___，1亿=___1_0_8___。120万_1_._2_×__106
考点五、 非负性
1.非负数概念
正数和零统称为非负数,常见的非负数有
|a|≥0,a2≥0, a ≥0 (a≥0,a可代表一个数或代数式). 2.非负数的性质
(1)非负数的最小值是零;
例：1. 比较大小：50 __>___7 2. 13的整数部分是__3____.
考点七、 实数的运算
1.基本运算 加法、减法、乘法、除法、乘方、开方. （一）加法 1. 加法法则 （2，加法的运算律： （（12） ）加加法法的 的交 结换 合律律：：（a+ab+=b_b）_+_a+__c=_ a；+a_+_（___b_+_c_）. （二）减法 法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数； 即a-b=a+_（__-_b_）___.
1.3实数及其运算(分类精讲)·数学中考分类精粹
ö□ç æ ３ö ３÷ ç ÷ 的 在算式 æ ２ ５．( □中填上 ２ ０ １ ２������ 山 东 菏 泽 ) è－３ ø è－３ ø 运算符号 , 使结果最大 , 这个运算符号是 ( ) ．
一个正方形的面积是 １ 估计它的边长 ２ ６．( ５, ２ ０ １ ２������ 浙江义乌 ) 大小在 ( ) ． C． ４ 与 ５ 之间 A． ２ 与 ３ 之间 B． ３ 与 ４ 之间 D． ５ 与 ６ 之间 C．乘号 A．加号 B．减号 D．除号
２ ) 计 算: ( ３ ３．( －| ２－π |＝ ２ ０ １ ２������ 贵 州 黔 西 南 ) ３． １ ４－π
０ ) 计算 : ３ ４．( |－２ |＋ ( －３ － ４＝ ． ２ ０ １ ２������ 湖南娄底 )
．
０ ２０ １ ２ 计 算 :４＋ ( ４ ９．( π－２) －|－５ |＋ ( －１) ＋ ２ ０ １ ２������ 重庆 )
§１ ． ３ 实数及其运算
明白实数与数轴上 １．能说出无理数和实数的意义 , 的点一 一 对 应 , 会 求 实 数 的 相 反 数、 倒数与绝 对值 ． 能运用运 ３．会进行实数的运算及简单的混合运算 , 算律简化运算 ． 百以内整数 ( 对应的负整数 ) 的立方根 ．
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( 第１ ５题)
A． １ 个 B． ２ 个 C． ３ 个 D． ４个 下列实数中是无理数的是 ( ７．( ) ． ２ ０ １ ２������ 湖北荆门 ) A．－ C． ９ ５ ２ B． π D． |－２ |
下列实数中是无理数的是 ( ８．( ) ． ２ ０ １ ２������ 湖北黄冈 ) 下列四个数中 , 无理数是 ( ９．( ) ． ２ ０ １ ２������ 贵州毕节 ) π, , 下 列 各 数: 其中无 １ ０．( s i n ３ ０ ° － ３,４, ２ ０ １ ２������ 四川巴 中 ) ３ 理数的个数是 ( ) ． A． １ 个 B． ２ 个 C． ３ 个 D． ４个 实数 ３ 的倒数是 ( １ １．( ) ． ２ ０ １ ２������ 广东广州 ) C．－３ １ A．－ ３ １ B． ３ D． ３ A． ４ B． １ C． ０ D． π ３
广西壮族自治区2025年中考数学一轮复习课件：第一章数与式第1节实数及其运算
0
零次幂 a ＝㉚___(a≠0)，遇到0次幂，写1即可
运算
法则
1
－p
－1
负整数 a ＝㉛____(a≠0，p为正整数)，特别地，a
＝ (a≠0)
指数幂 口诀：倒底数，反指数
－(＞),
去绝对
(＝),
｜a－b｜＝
值符号
㉜ － (＜)
－1的奇
(为偶数),
n
偶次幂 (－1) ＝ －(为奇数)
－4
－4
－4
数是___，比
3大的数是_______.
π和2
0
知识点7
实数的运算(掌握)(广西2024.19，2023.19；北部湾2022.
19，2021.19，2020.19)
1.常见的实数运算
运算
法则
a n＝
乘方
··⋯·
(其中a是底数，n是指数)
个
(为偶数),
(－a)n＝
－ (为奇数)
负实数
【温馨提示】无理数的常见类型：①开方开不尽的数，如 3， 5等；②π
π
及化简后含有π的数，如 ，π－2等；③部分特殊角的三角函数值，如
2
sin 45°，tan 60°等；④有规律的无限不循环小数，如0.101 001 000
1…(每相邻两个1之间依次多一个0)等.
2.正负数的意义(2022版新课标新增，理解)
(3)倒数等于它本身的数是⑱________
【对点训练】
1
3.(1)5的相反数是_____，绝对值是___，倒数是____；
5
5
－5
1
1
1
(2)－ 的相反数是____，绝对值是____，倒数是_____.
中考数学总复习之实数及其运算、二次根式
中考数学总复习之实数及其运算、二次根式一、选择题（共27小题）1．（2022•丛台区校级三模）与﹣|﹣5|的结果相等的是（）A．5的倒数B．﹣5的相反数C．5的相反数D．52．（2022•新华区校级四模）嘉琪同学在计算423−212+12+313时，运算过程正确且比较简便的是（）A．（423+313）﹣（212+12）B．（423−212）+（12+313）C．（423+313）﹣（212−12）D．（423−313）﹣（12−212）3．（2022•丰南区一模）据报道，2021年河北省普通高考报考人数约为63.4万人，用科学记数法表示为a×10n人，则n＝（）A．4B．5C．6D．7 4．（2022•清苑区二模）神舟十三号飞船于2021年10月16日圆满发射成功，飞船搭载的一种高控制芯片探针面积为0.0000162cm2，0.0000162用科学记数法表示为（）A．1.62×10﹣6B．1.62×10﹣5C．1.62×10﹣4D．0.162×10﹣6 5．（2022•路南区二模）用四舍五入法对0.06045取近似值，错误的是（）A．0.1（精确到0.1）B．0.06（精确到百分位）C．0.061（精确到千分位）D．0.0605（精确到0.0001）6．（2021•河北模拟）近似数3.20精确的数位是（）A．十分位B．百分位C．千分位D．十位7．（2022•青县一模）下列各数中绝对值最大的是（）A．﹣5B．0C．﹣（﹣2）D．14 8．（2022•丛台区校级三模）如图，若点A在数轴上表示的数为x﹣2，则x的值可能是（）A．1−√5B．1−√2C．√3−1D．√3 9．（2022•路南区三模）运算后结果正确的是（）A．2√3÷12=√3B．√43=2C．√8−2√2=0D．√2×√6=3√210．（2022•保定一模）定义：形如a+bi的数称为复数（其中a和b为实数，i为应数单位．规定i2＝﹣1），a称为复数的实部，b称为复数的虚部．复数可以进行四则运算，运算的结果还是一个复数．例如（1+3i）2＝12+2×1×3i+（3i）2＝1+6i+9＝1+6i﹣9＝﹣8+6i，因此，（1+3i）2的实部是﹣8，虚部是6．已知复数（3﹣mi）2的虚部是12，则实部是（）A．﹣6B．6C．5D．﹣5 11．（2022•丰南区二模）对于数字﹣2+√5，下列说法中正确的是（）A．它不能用数轴上的点表示出来B．它比0小C．它是一个无理数D．它的相反数为2+√512．（2022•大名县三模）已知a，b是两个实数，满足a+b＝0，下列是关于a，b 的五个结论：①a2+b2＝0；②a2﹣b2＝0；③a3+b3＝0；④a3﹣b3＝0；⑤|a|＝|b|五个结论中，所有正确结论的序号是（）A．②④⑤B．①④⑤C．②③⑤D．①③⑤13．（2022•石家庄三模）下面四个数中最小的数是（）A．﹣2B．√2C．0×2022D．1÷2 14．（2022•馆陶县一模）已知a、b都是正整数，若√18=a√2，√8=2√b，则（）A．a＝b B．a＜b C．a+b＝4D．a﹣b＝1 15．（2022•桥西区校级模拟）实数b＞a＞1．则下列各式中比ab的值大的是（）A．2a2b B．a2b2C．a−1b−1D．a+1b+116．（2022•桥西区校级模拟）如图，数轴上的点B表示实数b，若实数a满足不等式b ＜a ＜﹣b ，则a 可能为（ ）A ．﹣1B ．﹣2C ．2D ．317．（2022•安次区一模）a 、b 为两个连续整数，若a ＜√10＜b ，则√ab 的值为（ ）A ．2√3B ．±2√3C ．√72D ．±6√218．（2022•石家庄模拟）已知√7−1的整数部分是m ，小数部分是n ，则√7m ﹣n 的值是（ ）A ．﹣2B ．﹣1C ．2D ．119．（2022•丛台区校级模拟）如图，数轴上表示√20−5的点应在（ ）A ．线段AB 上 B ．线段BC 上 C ．线段CD 上 D ．线段DE 上20．（2022•广阳区一模）若a =√10，则实数a 在数轴上对应的点的大致位置是（ ）A ．B ．C ．D ．21．（2022•青县一模）已知√x −5√x +14√x =58.35，则x 的平方根为（ ）A ．5.835B ．0.5835C ．±5.835D ．±0.5835 22．（2022•桥西区校级模拟）数轴上表示√83+√−83的点一定在（ ）A ．第①段B ．第②段C ．第③段D ．第④段23．（2020•定州市二模）对于实数a，b，定义运算“※”如下：a※b＝a2﹣ab，例如，5※3＝52﹣5×3＝10．若（x+1）※（x﹣2）＝6，则x的值为（）A．1B．3C．5D．7 24．（2022•路南区二模）若2×2×2×⋯×2︸m个2=43，则m＝（）A．3B．4C．6D．8 25．（2022•桥西区校级模拟）√75−√12=a√b，那么a b的值是（）A．6B．9C．12D．27 26．（2022•河北二模）关于√3×√12的变形，不正确的是（）A．√3×√12=√3×12B．√3×√12=√3×√2×√6C．√3×√12=√3+12D．√3×√12=√3×2√327．（2022•桥西区校级模拟）若式子√x2−4x+m不论x取任何数总有意义，则m的取值范围是（）A．m＞2B．m≥2C．m≤4且m≠0D．m＞4二、填空题（共17小题）28．（2022•宽城县一模）若a、b互为相反数，则a+（b﹣2）的值为；若a、b互为倒数，则﹣2022ab＝．29．（2022•馆陶县一模）算式：﹣8☐2中，“☐”表示“+、﹣、×、÷”中的一个．（1）若“□”表示“﹣”，其结果为；（2）若结果为﹣4，则“☐”表示．30．（2022•石家庄模拟）若23+23+23+23＝2n，则n＝．31．（2022•景县校级模拟）定义新运算：f（a，b）={a2−b2(a＞b)(a−b)2(a≤b)，如f（3，5）＝（3﹣5）2＝4，f（5，3）＝52﹣32＝16．（1）f（﹣2，﹣4）＝；（2）若f（2x，x﹣1）＝x2+2x+1，则x的取值范围是．32．（2022•迁安市一模）记者从科技局获悉，某市今年将继续加大科技投入力度，科研经费投入总量达到1.3950亿元，比去年增加20%，则去年某市的科技经费投入总量为亿元，今年科研经费投入总量达到1.395亿元，用科学记数法表示为元（结果保留二位小数）．33．（2022•石家庄二模）如图，在数轴原点O的右侧，一质点P从距原点10个单位的点A处向原点方向跳动，第一次跳动到OA的中点A1处，则点A1表示的数为；第二次从A1点跳动到OA1的中点A2处，第三次从A2点跳动到OA2的中点A3处，如此跳动下去，则第四次跳动后，该质点到原点O的距离为．34．（2022•石家庄二模）若a、b互为相反数，则a+（b﹣2）的值为；若a、b互为倒数，则|﹣2022ab|＝．35．（2021•滦州市一模）如图，阶梯图的每个台阶上都标着一个数，从下到上的第1个至第4个台阶上依次标着﹣5，﹣2，1，9，且任意相邻四个台阶上数的和都相等．则前4个台阶上数的和是；第5个台阶上的数x＝；从下到上前35个台阶上数的和＝．36．（2021•河北模拟）发现：任意正整数的平方均可以写成若干个从1开始的连续正奇数的和．验证：42＝1+3+5+；应用：若把20212写成若干个从1开始的连续正奇数的和，则处于最中间的奇数是．37．（2022•广阳区一模）一个数值转换器，如图所示：（1）当输入的x为16时，输出的y值是；（2）若输出的y是√3，请写出两个满足要求的x值：．38．（2022•新华区模拟）若|12m ﹣3|+√m +n −5=0，则m ＝ ，n ＝ ．39．（2022•石家庄模拟）比较大小：12√2 sin45°（选填“＞”、“＝”或“＜”）． 40．（2022•易县二模）一个数的平方根是a +4和2a +5，则a ＝ ，这个正数是 ．41．（2021•衡水模拟）如果√a +2+|b −3|=0，那么a b ＝ ．42．（2022•雄县一模）已知x =2+√3，y =2+√3．则 （1）x 2+y 2＝ ．（2）（x ﹣y ）2﹣xy ＝ ．43．（2022•滦州市一模）式子√x−4在实数范围内有意义，则实数x 的取值范围是 ．44．（2021•开平区一模）已知x =√8，y =√12，则y x = ．三、解答题（共15小题）45．（2022•滦州市一模）计算：|−2|+(π+3)0+2cos30°−(13)−1+√12．46．（2012•唐山二模）计算：（13）﹣2﹣2sin45°+（π﹣3.14）0+12√8．47．（2012•裕华区一模）计算：√(−1)2+（π﹣3）0﹣（sin60°﹣1）•（√3−2）﹣1．48．（2022•桥西区校级模拟）已知*表示+，﹣，x ，÷四种运算符号中的一种，且对于任意两个不相等的实数a ，b 满足以下关系式：a *b ＝b *a ，（﹣a ）*b ≠﹣（a *b ）．（1）﹣5*3＝ ．（2）a 的倒数和绝对值都是a 本身，求[a *（﹣6）]*（﹣1）的值．49．（2021•石家庄一模）如图，已知在一张纸条上画有一条数轴．（1）沿过原点O 且垂直于数轴的直线折叠纸条，则表示﹣3的点与表示 的点重合；（2）M为数轴上一点，沿过点M且垂直于数轴的直线折叠纸条，当表示﹣3的点与表示1的点重合时，①点M所表示的数为；②若数轴上的A，B两点也同时重合，且AB＝9，求点A所表示的数．50．（2020•广阳区模拟）已知：4是x﹣4的平方根，x+y的立方根是2．（1）求x，y的值；（2）求出2x+y的平方根．51．（2020•河北一模）有一种用“☆”定义的新运算，对于任意实数a，b，都有a☆b＝b2+2a+1．例如7☆4＝42+2×7+1＝31．（1）已知﹣m☆3的结果是﹣4，则m＝．（2）将两个实数2n和n﹣2用这种新定义“☆”加以运算，结果为9，则n 的值是多少？52．（2020•石家庄模拟）在学习了实数的混合运算后，老师在黑板上出了如下两道题目：①3□14=3×14△2；②7□58=7×58△2．在上述两个等式中，“□”和“△”分别是“+﹣×÷”中的某一个运算符号．（1）判断“□”和“△”分别是什么运算符号？（2）若a□7＞a×7△2，求a的取值范围．53．（2022•景县校级模拟）如图，在一条不完整的数轴上，点A，B，C对应的数分别为a，b，c，其中点A在点B的左侧，且a+b＝0．（1）若AB＝4，c＝5，求a+c的值；（2）若点C在点A的左侧，化简|a﹣c|+|a﹣b|；（3）若b＝6，AB＝3BC，求c的值．54．（2022•唐山一模）淇淇同学在电脑中设置了一个有理数的运算程序：输入数“a”加“★”键再输入“b”，就可以得到运算a★b＝|2﹣a2|−1b+1．（1）按此程序（﹣3）★2＝；（2）若淇淇输入数“﹣1”加“★”键再输入“x”后，电脑输出的数为1，求x的值；（3）嘉嘉同学运用淇淇设置的在这个程序时，屏幕显示：“该操作无法进行，”你能说出嘉嘉在什么地方出错了吗？55．（2022•丰南区二模）阅读下面材料：点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，在数轴上A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|．回答下列问题：（1）数轴上表示﹣3和1两点之间的距离是，数轴上表示x和﹣2的两点之间的距离是；（2）数轴上表示a和1的两点之间的距离为6，则a表示的数为；（3）若x表示一个有理数，则|x+2|+|x﹣4|有最小值吗？若有，请求出最小值；若没有，请说明理由．56．（2022•威县校级模拟）在一条不完整的数轴上从左到右有点A，B，C，D，其中AD＝6，B，C是AD的三等分点，如图所示．（1）BC＝；（2）若以B为原点，写出点A，C，D所对应的数，并求出它们所对应数的和；（3）若点C所对应的数为﹣10，求出点A，B，D所对应数的和．57．（2022•莲池区校级一模）如图所示，某数学活动小组编制了一道有理数混合运算题，即输入一个有理数，按照自左向右的顺序运算，可得计算结果，其中“●”表示一个有理数．（1）若●表示2，输入数为﹣3，求计算结果；（2）若计算结果为8，且输入的数字是4，则●表示的数是几？（3）若输入数为a，●表示的数为b，当计算结果为0时，请求出a与b之间的数量关系．58．（2022•承德二模）对于任意四个实数a，b，c，d，都可以组成两个实数对（a，b）与（c，d）．我们规定：（a，b）⋆（c，d）＝bc﹣ad．例如：（1，2）⋆（3，4）＝2×3﹣1×4＝2．根据上述规定解决下列问题：（1）(2，−3)⋆(3，−12)=；（2）计算(2，−2)⋆(√5，3−√5)；（3）当x+y＝2，xy＝﹣3时，求（x+y，2x+y）⋆（2x﹣y，4x﹣y+5）的值．59．（2021•安次区一模）利用平方差公式可以进行简便计算：例1：99×101＝（100﹣1）（100+1）＝1002﹣12＝10000﹣1＝9999；例2：39×410＝39×41×10＝（40﹣1）（40+1）×10＝（402﹣12）×10＝（1600﹣1）×10＝1599×10＝15990．请你参考上述算法，运用平方差公式简便计算：（1）192×212；（2）（2021√3+2021√2）（√3−√2）．。
2020中考复习第01课时实数及其运算
用科学记数法表示为
考点聚焦
考向四 实数的大小比较与运算
例4 [2019·南京]实数a,b,c满足a>b且 [答案] A
ac<bc,它们在数轴上的对应点的位置
[解析]因为a>b且ac<bc,所以c<0.
可以是 (
选项A符合a>b,c<0条件,故满足条件的
)
对应点位置可以是A.
选项B不满足a>b,选项C,D不满足c<0,
第 1 课时
实数及其运算
第一单元
数与式
2020年中考复习
考点聚焦
考点一 实数的概念及分类
1.按定义分
有理数
整数
分数:① 有限
② 循环
实数
无理数
正无理数
负无理数
小数或无限
小数
无限③ 不循环 小数
考点聚焦
2.按大小分
(1)实数可分为正实数、0和负实数.0既不是正数,也不是负数.
(2)正负数的意义:一般地,对于具有相反意义的量,我们可以把其中一种意义的
考点聚焦
考点二
实数的有关概念
1.数轴:规定了原点、④ 正方向 和⑤ 单位长度 的直线.数轴上的点与实数一
一对应.
图1-1
2.相反数:a的相反数是⑥
-a
,0的相反数是0.
3.倒数:乘积是⑦ 1 的两个数互为倒数.0没有倒数,倒数等于本身的数是±1.
考点聚焦
4.绝对值:一般地,数轴上表示数 a 的点与原点的距离,叫做数 a 的绝对值,记作|a|,
ba
(a+b)+c=⑳ a+(b+c) ,
(ab)c=㉑ a(bc)
分配律 a(b+c)= ㉒ ab+ac
2020年安徽中考数学总复习课件：第一章 第一节 实数及其运算
方法：
实数的大小比较
在实数的大小比较中，若一组数中有正数、0、负数，求最大(小)的数时，
A．－8 C．±8 【自主解答】 B
B．8 D．－ 1
4
1．在1，－1，3，－2这四个数中，互为相反数的是( )
A．1与－1
B．1与－2
C．3与－2
D．－1与－2
2．(2019·合肥蜀山区一模) 1 的倒数是( ) 3
考点二 科学记数法
例2 (2019·合肥瑶海区一模)2018年我省生产总值首度突破3万亿元大
方法：
积的符号的确定
几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个
时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．
④除法：a÷b＝a· 1 (b≠0)；0÷b＝0(b≠0)．
b
(2)乘方：an＝
(3)零指数幂与负整数指数幂：
①a0＝__1__(a≠0)；
1
②a－p＝_a_p_(a≠0，p为正整数)．
A．－2
B．－1
C．0
D．1
【自主解答】 A
1．(2015·安徽)在－4，2，－1，3这四个数中，比－2小的数是( )
A．－4
B．2
C．－1
D．3
2．已知实数a，b在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的是( )
A．a＞b C．ab＞0
B．|a|＜|b| D．－a＞0
中考数学专题复习一实数及其运算
专题01有理数考点一：有理数之正数和负数◎基础巩固1.正数和负数的定义：大于0的数叫做正数，小于0的数叫做负数。
0既不是正数也不是负数。
2.正数和负数的意义：表示具有相反意义的两个量。
3.正负号的化简：同号为正，异号为负。
◎同步练习1．下列各数是负数的是（）A ．0B ．21C ．﹣（﹣5）D ．﹣52．下列各数为负数的是（）A ．﹣2B ．0C ．3D ．53．四个实数﹣2，1，2，31中，比0小的数是（）A ．﹣2B ．1C ．2D ．314．在﹣3，1，21，3中，比0小的数是（）A ．﹣3B ．1C ．21D ．35．若气温上升2℃记作+2℃，则气温下降3℃记作（）A ．﹣2℃B ．+2℃C ．﹣3℃D ．+3℃6．如果将“收入50元”记作“+50元”，那么“支出20元”记作（）A ．+20元B ．﹣20元C ．+30元D ．﹣30元7．在东西向的马路上，把出发点记为0，向东与向西意义相反．若把向东走2km 记做“+2km ”，那么向西走1km 应记做（）A ．﹣2km B ．﹣1km C ．1km D ．+2km8．中国是最早采用正负数表示相反意义的量，并进行负数运算的国家．若零上10℃记作+10℃，则零下10℃可记作（）A ．10℃B ．0℃C ．﹣10℃D ．﹣20℃9．（如果水位升高2m 时水位变化记作+2m ，那么水位下降2m 时水位变化记作．10．负数的概念最早出现在中国古代著名的数学专著《九章算术》中，负数与对应的正数“数量相等，意义相反”，如果向东走5米，记作+5米，那么向西走5米，可记作米．考点二：有理数之相反数◎基础巩固1.相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数。
我们说其中一个数是另一个数的相反数。
0的相反数还是0。
2.相反数的性质：互为相反数的两个数和为0。
即a 与b 互为相反数⇔0=+b a ⇔()a b b a -=-=◎同步练习11．实数9的相反数等于（）A ．﹣9B ．+9C ．91D ．﹣9112．下列各数中，﹣1的相反数是（）A ．﹣1B ．0C ．1D ．213．﹣2022的相反数是．14．如图，数轴上点A 表示的数的相反数是（）A ．﹣2B ．﹣21C ．2D ．3考点三：有理数之绝对值◎基础巩固1.绝对值的定义：数轴上表示数a 的点到原点的距离用数a 的绝对值来表示。
中考复习数与式课件 第一节 实数及其运算
第一节 实数及其运算
真题演练
命题点一 实数的有关概念
1.(2020河南)2的相反数是 ( A )
A.-2 B.- 1 C. 1 D.2
2
2
解析 2的相反数是-2.故选A.
2.(2019河南)- 1 的绝对值是 ( B )
2
A.- 1 B. 1 C.2 D.-2
2
2
解析 负数的绝对值是它的相反数,所以 1 = 1 ,故选B.
a,a 0;
|a|=0,a 0;
a,a 0.
温馨提示 因为一个数的绝对值是数轴上表示该数的点到原点的距离,所以
一个数的绝对值不可能为负数,即|a|≥0.
5.平方根、算术平方根、立方根
名称
定义
性质
平方根
如果x2=a(a≥0),那么x就叫做a 的平方根,记作± a
正数的平方根有两个,它们互为 相反数 ; 负数 没有
平方根;0的平方根是 0
算术平 方根
如果x2=a(x≥0,a≥0),那么x就叫 0的算术平方根是0 做a的算术平方根,记作 a
立方根
若x3=a,则x就叫做a的立方根,记 作 3a
正数有一个 正的 立方根; 0的立方根是0;负数有一个
负的 立方根
易错警示 平方根与算术平方根的概念混淆 填空: 1.4的算术平方根是 2 . 2.2的平方根是 ± 2 . 3.(-3)2的平方根是 ±3 .
15.(2019河南)成人每天维生素D的摄入量约为0.000 004 6克.数据“0.000 004 6”
用科学记数法表示为( C )
A.46×10-7
B.4.6×10-7
C.4.6×10-6 D.0.46×10-5
2020年数学中考复习-实数及其运算 -(自学版) (1)
考
向
探
D.1.526×1010
究
当 堂 效 果 检 测
基 础
2. [2019·自贡]实数m,n在数轴上对应点的位
知
置如图1-6所示,则下列判断正确的是( )
识
巩
A.|m|<1
B.1-m>1
固
C.mn>0
D.m+1>0
高 频 考
向 探
图1-6
究
当 堂 效 果 检 测
基 础
3. [2019·乐山]某地某天早晨的气温是-2 ℃,到中午升高了6 ℃,晚上又降低了7 ℃.
探
究
A.- 3
B.-3
当 堂
C.|-3.14|
D.π
效
果
检
测
基 础
4. [2019·嘉兴]数轴上有两个实数a,b,且
知
a>0, b<0,a+b<0,则四个数a,b,-a,-b的大小
识
巩
关系为
固
(用“<”连结).
高 频 考 向 探 究
当 堂 效 果 检 测
基 础
知识梳理
知
识
方法
结论
巩 固
正数 大于 零,负数 小于 零,正数 大于 负数;两个
高
形式.
频
考
向
探
究
当 堂 效 果 检 测
基 础
知识梳理
知 识
实数的运算包括加、减、乘、除、 乘方 、 开方 ,其中减法
巩 固
种类
转化为 加法 运算,除法、乘方都转化为 乘法 运算
高
实
a·a·…·a= an ,其中 a 叫做 底数 ,n 叫做 指数 .
实数及其运算知识点讲练(课件)中考数学一轮大单元复习(全国通用)
（2）（2022·山东济南·中考真题）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（ D ）
A． > 0
B． + > 0
C． <
解：根据图形可以得到：
−பைடு நூலகம் < < −2 < 0，0 < < 1，
∴ < 0，故A项错误， + < 0，故B项错误，
值符号
－1 的奇偶次幂
法则
a－b，（a＞b）
|a－b|＝0，（a＝b）
b－a.（a＜b）
－1 的奇数次幂为－1，－1 的偶数次幂为 1.
常见的开方
3
3
4＝2， 9＝3， 16＝4， 25＝5， 8＝2， －27＝－3.
2.四则运算法则
(1)加法：
①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；
1 −1
2
．
（1）解：sin2 30° + 2sin60° + tan45° − tan60° + cos 2 30°
2
1
3
=
+2×
+1− 3+
2
2
1
3
= + 3+1− 3+
4
4
= 2；
3
2
2
（2）解： 8 − 2sin45° + 2cos60° + 1 − 2 +
2
1
1
+2× + 2−1+
1
2
2
2
简单数学工作室
简单数学工作室
一、知识点
1、实数的分类
中考复习第1课时实数及其运算课件
考点聚焦
豫考探究
当堂检测
第1课时┃ 实数及其运算
1 2．实数π ， ，0，－1中，无理数是( A ) 5 1 A．π B. 5 C．0 D．－1
1 3．－2的相反数是 ；－ 的倒数是 －2 2 －2014 的绝对值是 2014 .
2
；
考点聚焦
豫考探究
当堂检测
第1课时┃ 实数及其运算
【归纳总结】 正整数 0 整数 有限小数或 有理数 负整数 无限循环小数 1．实数 正分数 分数 负分数 正无理数 无理数 负无理数 无限不循环小数
考点聚焦
a>b B.
C．－a<b
当堂检测
D．a＋b<0
豫Байду номын сангаас探究
第1课时┃ 实数及其运算
【归纳总结】 1．正数都大于 正数
0
，负数都小于
0
，
大于 负数. 大
.
2．在数轴上表示两个数的点，右边的点表示的数总比左边 的点表示的数 3．两个负数，绝对值大的反而 若 a－b＝0， 则a
小
.
4．设 a，b 是任意两个实数，若 a－b＞0，则 a
＞
b； b.
＝
b； 若 a－b＜0， 则a
＜
考点聚焦
豫考探究
当堂检测
第1课时┃ 实数及其运算
豫 考 探 究
► 热考一 相反数、倒数、绝对值
1 例 1 [2010· 河南] － 的相反数是 ( A ) 2 1 1 A. B．－ 2 2 C．2 D．－2
－5
B．6.5×10
－6
C．6.5×10－7
人教版中考数学专题课件：实数及其运算
名称
实数及其运算 考点4
类型
实数的运算
关键点回顾 运算顺序是：先做乘方开方，再算________ 乘除 ，最后 实数的运算 括号里面的 加减 ，有括号时，先算____________. 算________ (1)a0＝______( 其中，a________) ； 1 ≠ 0 零指数幂、负 1 整数指数幂 ap 正整数 (2)a－p＝________( 其中，a______ ≠0 ，p 是________).
探究二 实数的有关概念
命题角度： 1．数轴、相反数、倒数等概念； 2．绝对值的概念及计算．
例2 [2013· 安徽] －2的倒数是 1 1 A．－ B. C．2 2 2 ( A ) D．－2
解 析
根据倒数的概念，两个数的乘积等于1，这两个数 1 1 － 互为倒数．由于(－2)³ ＝ 1 ，所以－ 2 的倒数是－ ，故 2 2 选A.
皖考解读 考点聚焦 皖考探究 当堂检测
实数及其运算
(1)求一个数的倒数，就是求 1除以这个数的结果，0没有倒数； (2)求一个分数的倒数，先把分数化成只含有分子和分母的形式， 再颠倒分子与分母的位置就得到这个分数的倒数．
皖考解读
考点聚焦
皖考探究
当堂检测
实数及其运算
例3 1 A. 3
[2012· 东营] 1 B．－ 3
皖考解读 考点聚焦 皖考探究 当堂检测
实数
实数及其运算 考点2 实数的相关概念
关键点回顾 (1) 三要素：________ 原点 、________ 正方向 和__________ 单位长度 ； 一一对应 (2)实数和数轴上的点____________. 0 a，b 互为相反数：a＋b＝________. a， b 互为倒数： ab＝________(________ 没有倒数). 1 0 a（a>0）， |a|＝0（a＝0）， －a（a<0）.
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实数
(1)定义：有__理___数___和_无__理__数___统称为实数；
(2)分类
①按意义分类：实数分为_有__理__数___和_无__理__数___； ②按大小分类：实数分为正__实___数___、0 和负___实__数___.
第1课时┃ 实数及其运算
考点2 实数的相关概念
名称 数轴 相反数 倒数
－a（a<0）.
第1课时┃ 实数及其运算
考点3 科学记数法、近似数
名称
关键点回顾
(1)定义：把一个数写成___±__a_×__1_0__n _的形式(其中
1≤a＜10，n 为整数)，这种记数方法叫做科学记数
科学记 数法
法．如：360 万＝360×104＝3.6×106；(2)n 的确定：
设这个数为 m，①当|m|≥10 时，n 是正整数，等于
第1课时┃ 实数及其运算
实数规律性问题，一般是对给定的一列数或者等式或图形 进行适当的变形，按照题目的要求，找到每个等式的第一个数 与等式序号数之间的联系，并根据这个规律解答问题．
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当堂检测
1．－2014的倒数是 A．2014 B．－2014
1 C. 2014
D．－20114
(D )
解 析 本题考查了倒数的概念，－2014的倒数是 －20114，故选D.
第1课时┃ 实数及其运算
2．连接海口、文昌两市的跨海大桥—铺前大桥，近日获
国家发改委批准建设．该桥估计总投资约1460000000元．数据
1460000000用科学记数法表示应是
( B)
A．146×107 B．1.46×109
原数的__整__数__位___数___减 1；②当 0＜|m|＜1 时，n 是
负整数，等于原数中左起第一个非零数前面的零的个
数.
近似 数的 精确
度
(1)一个近似数___四__舍__五__入___到哪一位，它就精确到哪
一位；(2)对于带计数单位或用科学记数法表示的近 似数，应先求出原数，再确定它的精确数位.
第1课时┃ 实数及其运算
(1)求一个数的倒数，就是求1除以这个数的结果，0没有倒数； (2)求一个分数的倒数，先把分数化成只含有分子和分母的形式， 再颠倒分子与分母的位置就得到这个分数的倒数．
第1课时┃ 实数及其运算
(1)求一个数的相反数，直接在这个数的前面加上负号，有时需 要化简得出；
(2)一个负数的绝对值等于它的相反数．反过来，已知一个数的 绝对值是正数，则这样的数有两个；
第1课时┃ 实数及其运算
解 析 观察各等式，第1个等式的第1个数是3＝1×(1＋2)；
第2个等式的第1个数是8＝2×(2＋2)；第3个等式的第1个数是15 ＝3×(3＋2)；……依此规律，第n个等式的第1个数是n×(n＋ 2)．根据此规律，第100行左起第一个数是100×(100＋2)＝ 10200.
第1课时┃ 实数及其运算
考点5 实数的大小比较
方法 用数轴 根据数 的性质
求差法
具体操作
数轴上不同的两个点表示的数，右__边__点____表示的数总比 左__边__点____表示的数大. (1)正数__大__于____0，负数__小__于____0，正数__大__于____负数； (2)两个负数比较大小，_绝__对___值__大__的____反而小.
第1课时┃ 实数及其运算
探究六 探索实数中的规律 命题角度： 1．探究数字规律； 2．探究实数运算规律． 例7 [2013·常德] 小明在做数学题时，发现下面有趣的结果： 3－2＝1 8＋7－6－5＝4 15＋14＋13－12－11－10＝9 24＋23＋22＋21－20－19－18－17＝16 …… 根据以上规律可知第100行左起第一个数是__1_0_2_0__0_．
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探究二 实数的有关概念 命题角度：
1．数轴、相反数、倒数等概念；
2．绝对值的概念及计算． 例 2 －2 的倒数是
A．－12
B.
1 2
C．2
(A) D．－2
解 析 根据倒数的概念，两个数的乘积等于1，这两个数
互为倒数．由于(－2)×
－12
＝1，所以－2的倒数是－
1 2
，故
选A.
解
－12＋12－1－cos60°－(3.14－π)0＝21＋2－12－
1＝1.注意：12－1＝2，（3.14－π）0＝1
探究一 实数的概念及分类
命题角度： 1．有理数和无理数的概念； 2．实数的分类．
例 1 下列实数中，无理数的个数是
π，－ 36，0.2··3，272，3 5，3.1416.
A．1 B．2
C．3 D．4
(B )
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解
析－
36
＝－6是整数，0.
·
2
·
3
属于无限循环小数，
22 7
是
分数，3.1416是有限小数，它们都是有理数；
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考点4 实数的运算
类型
关键点回顾
实数的运算
运算顺序是：先做乘方开方，再算__乘___除___，最后 算___加__减___，有括号时，先算_括__号__里__面__的___.
零指数幂、负 (1)a0＝___1___(其中，a___≠__0___)；
整数指数幂
1 (2)a－p＝____a_p___(其中，a__≠__0__，p 是_正__整__数___).
第1课时┃ 实数及其运算
变式题 [2013·安庆二模] 2013年人们对于PM2.5关注度达
到前所未有的高度，PM2.5就是指大气中直径小于或等于2.5微
米(即为0.0000025米)的颗粒物，0.0000025这个数用科学记数法
可表示为
(D )
A．0.25×10－5 B．25×10－6
C．2.5×10－5 D．2.5×10－6
3 5
属于开方
开不尽的数，π是圆周率，它们都是无理数．故选B.
第1课时┃ 实数及其运算
对无理数的判定，一般有两种方法：①采用排除法，把一 组实数中的有理数找出来，剩下的都是无理数；②根据无理数 的三种情形直接判断出无理数．
对无理数的判定，不能只被表面形式迷惑，而应从最后结果 去判断．①带根号的数不一定是无理数，如－ 36＝－6，3 －8＝ －2 都是有理数；②用锐角三角函数符号表示的数也不一定就是 无理数，如 sin30°＝21，tan45°＝1 都是有理数．
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探究三 科学记数法
命题角度： 用科学记数法表示数．
例4 [2013·安徽] 用科学记数法表示537万正确的是( C )
A．537×104
B．5.37×105
C．5.37×106
D．0.537×107
解 析 因为537万＝5370000，所以537万＝5370000＝
5.37×106，故选C.
中考专题复习 第1课时
实数及其运算
第1课时┃ 实数及其运算
考点聚焦
考点1 实数的概念及分类
名称
关键点回顾
(1)定义：无限_不__循__环___的小数叫做无理数；
无理数
(2)无理数的三种情形：①开方开不尽的数；
②圆周率π及含π的数；③构造型无理数，
如：0.1010010001…(每两个 1 之间依次多 1 个 0)
C．1.46×1010 D．0.146×1010
第1课时┃ 实数及其运算
3．下列各数中比0小的数是
A．－3
1 B. 3
图形中的三个数之间都有相同的规律，根据 此规律，a的值是___9_0__0____．
图1－1
第1课时┃ 实数及其运算
5．计算：－12＋(12)－1－cos60°－(3.14－π)0.
解 析 0.0000025＝2.5×10－6，故选D.
第1课时┃ 实数及其运算
探究四 实数的运算
命题角度： 1．实数的加减、乘除、乘方、开方运算； 2．实数的运算在实际生活中的应用．
例5 [2013·安徽] 计算：2sin30°＋(－1)2－|2－ 2|.
解
2sin30°＋(－1)2－ 2－
2
＝2×
1 2
＋1－(2－
2 )＝1
＋1－2＋ 2＝ 2.
第1课时┃ 实数及其运算
(1)实数的混合运算在中考中常常与绝对值、锐角三角函数、 二次根式结合在一起考查；
(2)特别要注意零指数幂和负整数指数幂的意义．
第1课时┃ 实数及其运算
探究五 实数的大小比较
命题角度：
1．利用实数的比较大小法则比较大小； 2．实数的大小比较常用方法．
(3)解绝对值和数轴有关问题时常用到字母表示数的思想、分类 讨论思想和数形结合思想．
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例 3 [2012·东营] －13的相反数是
A.
1 3
B．－13
C．3
D．－3
( B)
解 析 ∵－13＝31，∴－13的相反数是－13.
[点评] 主要考查绝对值与相反数，本题是求－13的相反 数，而不是求－31的相反数．
例6 [2013·重庆A卷] 在3，0，6，－2这四个数中，最大的
数是
(B )
A．0
B．6
C．－2
D．3
第1课时┃ 实数及其运算
解 析 解法一：把3，0，6，－2这4个数分别在数轴上表
示出来，由于表示6的点在最右边，所以6最大，故选B. 解法二：由于正数大于0，正数大于负数，而在3和6中，
6＞3，所以6最大，故选B.
绝对值
关键点回顾
(1) 三要素：__原__点____、_正__方___向__和_单__位__长___度__； (2)实数和数轴上的点__一___一__对__应___. a，b 互为相反数：a＋b＝____0____.