第四章 本金利息分离技术

第四章 本金利息分离技术

本章以贷款业务为例，介绍本金利息分离技术常用的以下两种方法：

摊还法：指定期支付未清偿债务本金和利息的做法，且利息偿还优先。实质上，这是一种定期分期偿还贷款的做法。

偿债基金法：指借款人为偿还债务而成立基金的做法。借款人在指定期限内，分期拨款入基金，累计起一笔足够款项以偿还未来到期的债务。 本章研究的主要问题：

1 如何确定投资期间每个时刻的未结贷款余额

2 如何将投资期间的现金流分解为“本金”和“利息”两部分

3不同的本金分离方法对投资收益结果分析的影响第一节 摊还法

一 未结贷款余额的计算

未结贷款余额又称：未结贷款本金、未付贷款余额、剩余贷款债务等，它指在

贷款业务中，每次分期还款后，借款人未偿还的债务在当时的价值。

计算方法有两种：预期法和追溯法

预期法：是用所有未支付的分期付款现值之和表示每个时刻的贷款余额。适用

于所有的还款额和还款时间已知的情况。

追溯法：是用原始贷款额的累计值扣除所有已付款项的累计值表示每个时刻的

贷款余额。适用于还款次数和还款时间未定的情况。

用B t 表示第t 次还款后瞬间的未结贷款余额，而且为了区别所采用的计算方法，

分别用r

t p t B B 和表示预期算法和追溯算法的结果。

1 每次还贷金额已知的情况：

设贷款利率为i ，分 n 次还清，每次还款1个货币单位，则：

i

t n p t a

B ⌝

-=…………………………………………（4.1.1）

i

t t i

n r t s i a B ⌝⌝-+=)1(…………………………………（4.1.2）

结论4.1 若贷款分n 次偿还，每次还款1个货币单位，且利率为i ，则： （1） 采用预期法和追溯法计算的得到未结余额是相同的，即：

i

t n p t a

B ⌝

-==i

t t

i

n r t s i a B ⌝⌝-+=)1( t=0,1,2,…,n;

（2）

未结贷款余额有如下的递推关系：

1)1(1-+=-i B B t t t=1,2,…,n;

证明：

(1)p t i t n t n t t n i

t t

i

n r

t

B a i

v i i i i v s i a B ==-=-+-+-=-+=⌝⌝

⌝--11)1()1(1)1(

(2)……

2 贷款金额已知的情形：

设原始贷款金额为L ，贷款利率为i ，分n 次还清。若每次的还款额为R ，则有

L Ra i

n =⌝ 即：i

n a L R ⌝

=

i

n i t n i

t n p

t a a

L

Ra B ⌝

⌝

⌝

--==………………………………（4.1.1）

⎥⎥⎦⎤

⎢⎢⎣

⎡-

+=⌝

⌝i n i t t

r

t

a s i L B )1(…………………………………（4.1.2） 例4.1 某贷款的还贷方式为：前5年每半年还2000元，后5年每半年还1000元。如果半年换算的挂牌利率为10%，分别用预期法和追溯法计算第5次还贷后的贷款余额。

解：

（1）用预期算法：

1470910002000505

.01005

.055=+=⌝

⌝

v a a B p

(2) 用追溯法

先求出原始贷款金额 95.20183)(100005

.01005

.020=+=⌝

⌝

a a L

13.147092000)05.01(92.2018305

.055

5=-+=⌝

s B r

例4.2 某30年的贷款每年还1000元，在第15年的正常还款之后，借款人再一次多还2000元，如果将上述已还款全部用于扣除贷款余额，剩余的贷款余额再分12年等额还清（P 111此处将书中的逗号改为句号）。年利率为9%，计算后12年的年还款额。

解：用预期法计算第15次还款后的贷款余额为：

70.8060100009

.0515==⌝

a

B p

由于同时还偿还了2000元，所以到第15年结束时，实际还贷款6060.70元。 所以后12年的年还款额为

38.84670

.606009

.012=⌝

a （元）

问题:对投资人来说，提前归还的2000元什么情况下合算？ 二 摊还表

1摊还法的基本原理：贷款的分期还款中利息偿还优先，即首先偿还应计利息，余下的部分作为本金偿还。

具体表示为：

R: 从t-1时刻到t 时刻时间段的还款额 I t ：从t-1时刻到t 时刻时间段所还利息量 P t ：从t-1时刻到t 时刻时间段本金量 则有:

）

（）（15.1.4,,2,114.1.4,,2,11⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯=-=⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯==-n t I R P n t iB I t

t t t t t t t P B R B i B -=-+=--11)1( t=1,2,…，n ……………（4.1.16）

上面的第三个等式说明贷款余额的减少只与本金P t 有关，而与利息无关。

摊还表就是将还贷其间的每次还款分解为还本金和还利息所构成的表；同时，

表中还列出每次还款后的未结贷款余额。

见P 112表4-1

从表4-1我们得到以下的等式：当贷款利率为i ，每次还款1个货币单位共计

n 次时，有：

n t v I t n t ,,2,111 =-=+-…………………………（4.1.5） n t v P t n t ,,2,11

==+-…………………………（4.1.6）

n t P B B t

t t ,,2,11 =-=-…………………………（4.1.7）

⌝===∑∑∑==+-=n

n

t t n

t t n n t t a v v

P 1

1

1

1

∑∑==-=n

t t n

t t

P n I

1

1

1,,2,1)1(1-=+=+n t P i P t

t 该式说明本金量依时间顺序呈递增的等比数

列，公比为1+i.

t t t iP I I -=+1该式说明利息量序列依时间顺序构成递减数列。

以上两式说明，在等额还款方式下，前期的还款额主要用于偿还利息，后期主

要偿还本金。

2利息、本金和未结贷款余额的计算

（1）每次还款额为R ，分n 次还清，则有：

n t v R I t n t ,,2,1)1(1 =-=+-………………………（4.1.8） n t Rv P t n t ,,2,11

==+-…………………………（4.1.9）

n t Ra B i

t n t ,,2,1 ==⌝

-………………………（4.1.10）

（2）原始贷款额为L ，分n 次还清，那么每次的还款额为：i

n a L

R ⌝

=，

代入上面三式，得到