2013届高三数学二轮复习课件 专题2 第4讲 导数及其应用

则切线方程为y－1a＝－a12(x－a)．①
将Q(1,0)代入方程①得0－1a＝－a12(1－a)，
解得a＝12，
故所求切线方程为y＝－4x＋4.
h
27
(3)设切点坐标为A(a，
1 a
)，则切线的斜率为k2＝－
1 a2
＝－13，解得a＝± 3，
∴A( 3， 33)或A′(－ 3，－ 33)． 代入点斜式方程得
h
25
[解析] (1)∵y′＝－x12. 又P(1,1)是曲线上的点， ∴P是切点，所求切线的斜率为k＝f′(1)＝－1. 所以曲线在P点处的切线方程为y－1＝－(x－1)． 即y＝－x＋2.
h
26
(2)显然Q(1,0)不在曲线y＝
1 x
上，则可设过该点的切线
的切点为A(a，1a)，则该切线斜率为k1＝f′(a)＝－a12.
h
29
(理)已知点P在曲线y＝
4 ex＋1
上，α为曲线在点P处的
切线的倾斜角，则α的取值范围是( )
A.0，π4 C.π2，34π
B.π4，π2 D.34π，π
[答案] D
h
30
[解析] y＝ex＋4 1， ∴y′＝e－x＋4·1ex2＝－e2x＋42eexx＋1＝－ex＋4e1x＋2， ∵ex＋e1x≥2，∴－1≤y′<0， 由导数的几何意义知34π≤α<π，故选D.
h
36
[解析] (1)f′(x)＝1k(x2－k2)exk， 令f′(x)＝0，得x＝±k. 当k>0时，f(x)与f′(x)的情况如下：
x
(－∞， －k)
－k
(－k， k)
k
(k，＋ ∞)
f′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x)
4k2 e－1
0
h
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• 所以，f(x)的单调递增区间是(－∞，－k)和 (k，＋∞)；单调递减区间是(－k，k)．
• 当0<k－1<1，即1<k<2时， • 由(1)知f(x)在[0，k－1]上单调递减，在(k
－1,1]上单调递增，所以f(x)在区间[0,1]上 的最小值为f(k－1)＝－ek－1； • 当k－1≥1，即k≥2时h，函数f(x)在[0,1]上单 34
•
(理)(2011·北京理，18)已知函数f(x)＝(x－k)2exk.
• (1)简单函数求导，它是解决导数问题的第 一步，应熟记导数基本公式，导数四则运 算法则和复合函数求导法则．
h
7
• (2)求曲线的切线方程，切线斜率的一类问 题，包括曲线的切点问题．这类问题是导 数几何意义的运用，拓宽了解析几何的解 题思路，凸显了数形结合的数学思想方 法．
• (3)应用导数求函数的单调区间或判断函数 的单调性问题．这类问题往往通过对函数 求导转化为解不等式问题．此处大多以考 查含参二次不等式(组)为主.
h
1
h
2
• 1．导数的概念及其几何意义 • (1)了解导数概念的实际背景． • (2)理解导数的几何意义．
2．导数的运算
(1)能根据导数的定义，求函数y＝c，y＝x，y＝x3，y
＝1x，y＝x2，y＝ x的导数.
(2)能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运
算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数(仅限于
形如f(ax＋b)的导数)．
h
3
• 3．导数在研究函数中的应用
• (1)了解函数单调性和导数的关系；能利用 导数研究函数的单调性，会求不超过三次 的多项式函数的单调区间．
• (2)了解函数在某点取得极值的必要条件和 充分条件；会用导数求不超过三次的多项 式函数的极大值、极小值，会求在闭区间 上不超过三次的多项式的最大值、最小 值．
• ②求方程f ′(x)＝0的根；
• ③检验f ′(x)在方程f ′(x)＝0的根的左右的符 号，如果在根的左侧附近为正，右侧附近 为负，那么函数y＝f(x)在这个根处取得极 大值；如果在根的左侧附近为负，右侧附 近为正，那么函数y＝f(x)在这个根处取得 极小值．
h
15
• (2)求函数f(x)在区间[a，b]上的最大值与最 小值的步骤
• ①求f ′(x)； • ②求方程f ′(x)＝0的根(注意取舍)； • ③求出各极值各区间端点处的函数值； • ④比较其大小，得结论(最大的就是最大值，
最小的就是最小值)．
h
16
• (3)利用导数解决优化问题的步骤
• ①审题设未知数；②结合题意列出函数关 系式；③确定函数的定义域；④在定义域 内求极值、最值；⑤下结论．
2a－b2＝12， a＋b4＝74，
，解得
a＝1， b＝3.
故f(x)＝x－3x.
h
21
(2)证明：设P(x0，y0)为曲线上任一点，由y′＝1＋x32
知曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为
y－y0＝(1＋x320)(x－x0)，
即y－(x0－x30)＝(1＋x320)(x－x0)．
令x＝0得y＝－
h
31
• [例2] (文)(2011·北京文，18)已知函数f(x) ＝(x－k)ex.
• (1)求f(x)的单调区间；
• (2)求f(x)在区间[0,1]上的最小值．
• [分析] 依据导数的符号来判断函数的单 调性，再由单调性求最值．
h
32
• [解析] (1)f′(x)＝(x－k＋1)ex • 令f′(x)＝0，得x＝k－1. • f(x)与f′(x)随x的变化情况如下：
• 当k<0时，f(x)与f′(x)的情况如下：
x
(－∞， k)
k
(k， －k)
－k
(－k， ＋∞)
f′(x) － 0 ＋ 0 －
f•(x所) 以，f(x)的单0 调递减区e4－k间21是(－∞，k)和 (－k，＋∞)；单调递增区间是(k，－k)．
h
38
(2)当k>0时，因为f(k＋1)＝ek＋k 1>1e， 所以不会有∀x∈(0，＋∞)，f(x)≤1e. 当k<0时，由(1)知f(x)在(0，＋∞)上的最大值是 f(－k)＝4ek2.
6 x0
，从而得切线与直线x＝0的交点坐
标为(0，－x60)．
h
22
令y＝x得y＝x＝2x0，从而得切线与直线y＝x的交 点坐标为(2x0,2x0)．
所以点P(x0，y0)处的切线与直线x＝0，y＝x所围 成的三角形面积为12|－x60||2x0|＝6.
故曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0，y ＝x所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.
h
41
• (2011·南京二模)已知函数f(x)＝x3－ax－1.
• (1)若f(x)在实数集R上单调递增，求实数a 的取值范围；
• (2)是否存在实数a，使f(x)在(－1,1)上单调 递减？若存在，求出a的取值范围；若不 存在，说明理由；
h
4
• 4．生活中的优化问题 • 会利用导数解决某些实际问题． • 5．定积分与微积分基本定理(理) • (1)了解定积分的实际背景，了解定积分的
基本思想，了解定积分的概念．
• (2)了解微积分基本定理的含义．
h
5
h
6
• 本部分内容在高考中所占分数大约在10% 左右．导数及其应用在高考中的题型分布 大致是一个选择或填空，一个解答题，分 值约17～19分，属于高考重点考查内 容．具体考查体现在：
y－ 33＝－13(x－ 3)或y＋ 33＝－13(x＋ 3)． 即切线方程为x＋3y－2 3＝0或x＋3y＋2 3＝0.
h
28
• [评析] (1)在点P处的切线即是以P为切点 的切线，P一定在曲线上．
• (2)过点Q的切线即切线过点Q，Q不一定 是切点，所以本题的易错点是把点Q作为 切点．求过点P的切线方程时，首先是检 验点P是否在已知曲线上．
x
(－∞，k －1)
k－1
(k－1，＋ ∞)
f′(x) －
0
＋
• 所以f(x，) f(x)的单调递减－－区e1x间是(－∞，k－1)； • 单调递增区间是(k－1，＋∞)，
h
33
• (2)当k－1≤0，即k≤1时，函数f(x)在[0,1]上 单调递增，所以f(x)在区间[0,1]上的最小 值为f(0)＝－k；
h
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• [评析] (1)解决此类问题一定要分清“在 某点处的切线”，还是“过某点的切 线”．
• (2)解决“过某点的切线”问题，一般是设 出切点坐标解决．
h
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(文)(2011·宁波模拟)已知曲线y＝1x. (1)求曲线在点P(1,1)处的切线方程； (2)求曲线过点Q(1,0)的切线方程； (3)求满足斜率为－13的曲线的切线方程．
则S＝cf(x)dx－bf(x)dx.
a
c]
设函数f(x)＝ax－
b x
，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处
的切线方程为7x－4y－12＝0.
(1)求f(x)的解析式；
(2)证明：曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和
直线y＝x所围成的三角形面积为定值，并求此定值．
• (4)定积分在几何中的应用(理)
• 被积函数为y＝f(x)，由曲线y＝f(x)与直线 x＝a，x＝b(a<b)和y＝0所围成的曲边梯 形的面积为S.
h
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①当f(x)>0时，S＝bf(x)dx；
a
②当f(x)<0时，S＝－bf(x)dx；
a
③当x∈[a，c]时，f(x)>0；当x∈[c，b]时，f(x)<0，
• (2)曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方 程为y－f(x0)＝f ′(x0)(x－x0)．