波导与谐振腔

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第八章波导与谐振腔

一导行电磁波的分类

1 导行电磁波的分类为了数学上力求简单，把坐标的z轴选作波导的轴线方向，这样波导的横截面就是xoy平面，如图8—2所示，同时做以下假设：

图8—2 任意截面的均匀波导

(1>波导的横截面形状和媒质特性沿轴线z不变化，即具有轴向均匀性。

(2>金属波导为理想导体，即γ=∞。波导内填充均匀、线性、各向同性的理想介质。

(3>波导内没有激励源存在，即ρ=0和J＝0。

(4>电磁波沿z轴传播，且场随时间作正弦变化。

在以上假设下，电磁场的电场分量和磁场分量均满足齐次的波动方程

(8—5>

(8—6>

式中是波数。既然波导轴线沿z方向，那么不论波的传播情况在波导内怎样复杂，其最终的效果只能是一个沿z方向前进的导行电磁波。因而可以把波导内电场分量和磁场分量写成

(8-7>

(8—8>

其中E(x，y>和H(x，y>是待定函数。为波沿z方向的传播常数。将(8—7>式代人方程(8—5>式，得

(8-9>

这里是横向拉普拉斯算子。式中

(8一10>

同理

(8—11>

可以由方程(8—9>式和方程(8—11>式得到E和H(x，y>各分量的标量波动方程。也可先求解纵向场分量的波动方程，得到两个纵向分量Ez和Hz，然后再根据电磁场基本方程组求得所有横向分量。纵向场分量Ez和Hz满足的标量波动方程为

(8—12>

(8—13>

由上述两个方程求得Ez和后，即可从电磁场基本方程组中的两个旋度方程得到四个横向场分量

(8-14>

上式中所有场量只与坐标x和y相关。

根据以上的分析，在波导中传播的导行电磁波可能出现Ez或Hz分量。因此可以依照Ez和Hz的存在情况，将在波导中传播的导行电磁波分为三种波型(或模式>：TEM波型、TE波型及TM 波型。

横电磁波(TEM>：这种波既无Ez分量又无Hz分量，即Ez＝0、Hz＝0。从(8—14>式可看出，只有当时，横向分量才不为零。所以有

或者

(8—15）

则方程<8—9>式和方程(8—11>式就变成

(8—16>

(8一17>

这正是拉普拉斯方程。这表明，导波系统中TEM波在横截面上的场分量满足拉普拉斯方程。因此其分布应该与静态场中相同边界条件下的场分布相同。正是由于这一点，我们断定凡能维持二维静态场的导波系统，都能传输TEM波。例如二线传输线、同轴线等。也即为了传输TEM波必须要有二个以上的导体。

空心金属波导管内部，由于不能维持二维静态场，故不能传输TEM波。这是波导管中电磁波显著的特点之一。

横电波(TE波>：当传播方向上有磁场的分量而无电场的分

量(，Ez＝0>时，此导行波称为TE波。对于TE波，需要

研究确定Hz的方法。Hz满足波动方程(8—13>式，且在金属导体内壁的边界条件为

(8—18>

这表明对于TE波来说，归结为在第二类齐次边界条件下求解二维齐次波动方程(8—13>式。对于该方程，只有在Kc取某些特定的离散值时才有解，使解存在的Kc值称为本征值。针对不同截面形状及尺寸的波导，这些本征值是不同的

横磁波(TM波>：当传播方向上有电场的分量而无磁场的分量(，Hz=0 >时，此导行波称为TM波。对于TM波，需要研究确定Ez的方法。Ez满足波动方程(8—12>式，且在金属导体内壁的边界条件为

(8—19>

这表明对于TM波来说，归结为在第一类齐次边界条件下求解二维齐次波动方程的本征值的kc问题。

2 电磁波在波导中的传播特性

对于TE波、TM波，。因此将它改写成

(8—20>

当时，波沿z方向传播，这种模式称为传播模式；当时，场沿z方向指数衰减，波导内没有波的传播，这种模式称为非传播模式或凋落模式。从传播模式变为非传播模式发生在k=kc处。故把时的频率称为截止频率fc有

(8—21>

把对应于截止频率fc的自由空间波长称为截止波长，有

(8—22>

由上述两式可见，波导的本征值kc决定了它的截止频率和截止波长。Kc与波导的几何形状和尺寸大小有关。当工作频率f比截止频率高或工作波长比截止波长短时，电磁波才可以在波导内传播，为传播模式；反之，电磁波不能在波导内传播，为非传播模式。这和传播TEM波的导波系统不同，TEM波传播模式是没有截止频率和截止波长的，因此，在双导线传输线中既可传播高频电磁波，也可传播低频电磁波以至稳恒电流。当或时，由(8—20>式得

(8—23>

这是一个相位常数为的传播模式，且有

(8—24>

此时，波导内沿传播方向上相位差的两点间的距离，称为相应的波导波长

(8—25>

式中是频率为的平面电磁波在无限大理想介质中的波长。上式表明波长大于无限大媒质中的波长。

在波导内，波传播的相速度为

(8—26>

可见，波导中波的相速度亦大于无限大媒质中波的相速度。>v也说明波在波导内的真实传播方向并不是z轴方向，而是曲折前进，这一点不同于TEM波。(8—26>式还表明是频率的函数，TE、TM波是

色散波。此色散不同于前面的因导电媒质引起的色散，它是由波导的边界条件引起的，因此称它为几何色散。当或

时，为一实数，由(8—20>式得

(8—27>

这是一个衰减常数，由于场分量都有传播因子，所以波沿z 方向很快衰减。由此可见，波导呈现高通滤波器的特性。对给定的模式，只有频率高于模式截止频率的波，才能在波导内传播。

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