数学必修4第三章单元测试题
高一数学必修4第三章综合练习题
必修四第三章综合检测题1．sin 2π12－cos 2π12的值为( )A ．－12 B.12 C ．－32 D.322．函数f (x )＝sin2x －cos2x 的最小正周期是( ) A.π2 B ．π C ．2π D ．4π3．已知cos θ＝13，θ∈(0，π)，则cos(3π2＋2θ)＝( )A ．－429B ．－79 C.429 D.794．若tan α＝3，tan β＝43，则tan(α－β)等于( )A ．－3B ．－13C ．3 D.135．cos 275°＋cos 215°＋cos75°·cos15°的值是( )A.54B.62C.32 D ．1＋236．y ＝cos 2x －sin 2x ＋2sin x cos x 的最小值是( )A. 2 B ．－ 2 C ．2 D ．－27．若tan α＝2，tan(β－α)＝3，则tan(β－2α)＝( )A ．－1B ．－15 C.57 D.178．函数y ＝cos2x ＋sin2x cos2x －sin2x的最小正周期为( ) A ．2π B ．π C.π2 D.π49．若函数f (x )＝sin 2x －12(x ∈R )，则f (x )是( ) A ．最小正周期为π2的奇函数 B ．最小正周期为π的奇函数C ．最小正周期为2π的偶函数D ．最小正周期为π的偶函数10.定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc.若cosα＝17，⎪⎪⎪⎪⎪⎪sinα sinβcosα cosβ＝3314，0<β<α<π2，则β等于( ) A.π12 B.π6 C.π4 D.π311．y ＝sin(2x －π3)－sin2x 的一个单调递增区间是( )A ．[－π6，π3]B ．[π12，712π]C ．[512π，1312π]D ．[π3，5π6]12 . 若，且，则的值是（ ）A. B. C. D.13. 在△ABC 中，若，则△ABC 的形状一定是 ( ）A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D. 等边三角形14．(1＋tan17°)(1＋tan28°)＝________.15．已知cos2α＝13，则sin 4α - cos 4α＝________.16．设向量a ＝(32，sin θ)，b ＝(cos θ，13)，其中θ∈(0，π2)，若a ∥b ， 则θ＝________.17函数y x x x =82sin cos cos 的周期T=_______最大值A=________.18．已知ABC ∆中，23sin ,cos 34C B ==-，则A cos = ．19、已知tan α、tan β是方程22370x x +-=的两个实数根，求tan()αβ+的值。
高一数学必修4第三章综合检测题
第三章综合检测题、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）1. si门2右一cos2；n的值为（C ）B.2 D. ,3~2［解析］原式=-(cos2^- sin^F - cos62.函数f（x）= sin2x—cos2x的最小正周期是（B ）nA.q3 B . n C . 2 n D . 4 n［解析］f(x) = sin2x—cos2x= , 2sin(2x—4)，故T=今=冗13.已知cos 0= 3,(0,n )则cos(32 + 2 0 = ( C )4；29D.9［解析］cos(3n + 2 0= sin2 A 2sin 0os0= 2X 屮3=普44.若tan a= 3, ta n B= 3，则tan (a— 3 等于(D )C. 3D.13 —4tan a—tan 3 3 1［解析］tan(a—®=■—o= = 3.1 + tan dt an B〔+ 3X4 335. COS275°+COS215°+COS75°C OS15的值是(A )5 6 3 2A.4B.〒eq D. 1 +可2 21 5 ［解析］原式=sin215°+ cos 15° + sin15 6os15°= 1 + ?sin30 = 4.6. y= cos2x—sin2x+ 2sinxcosx的最小值是(B )A. 2 B2 C. 2 D2_ n _［解析］y= cos2x+ si n2x= 2si n( 2x+ 4),.，.y max=— 2.7.若tan a= 2, tan(B— M= 3,贝U tan(B—2 0)= ( D )A. —1B. —5C.7D.1tan p- a—tan a 3 —2 i［解析］tan( p—2 a = tan［( p— a) —a = = =千1 + tan p—a tan a 1 + 68.已知点P(cos a, sin M, Q(cos p, sin®,贝U |PQ| 的最大值是(B )A. 2［解析］ PQ = (cos® —cos a, sin p—si n a ,贝U |PQ| = p cos®—cos a2+ sin p- sin a2='2—2cos a— p,故|PQ|的最大值为2.cos2x+ sin2x”^「十厂9.函数y= cos2x —sin2x的最小正周期为（C ）n nA. 2 nB. nC.qD.41 + tan2x n n［解析］y= =tan(2x+ 4),.T=2.1 —tan2x 4 210. 若函数f(x) = sin2x —*x€ R),则f(x)是(D )A .最小正周期为訓勺奇函数B .最小正周期为n的奇函数C.最小正周期为2 n的偶函数 D .最小正周期为n的偶函数1 12 12［解析］f(x)= sin2x—2= —2(1 —2sin2x) = —^cos2x,.f(x)的周期为n的偶函数.n11. y= sin(2x —3)—sin2x 的一个单调递增区间是(B )n n n 7^ r 5 1^ _ _ _ n 5 nA . ［—6, 3］ B.［石，石n］c.［匚n 石n ］ D . ［3,石！5 n n n n n［解析］ y = sin(2x — 3) — sin2x = sin2xcos^ — coshes% — sin2x =- (sin2xcos^ + cos2xsin^)=—sin(2x + 3)，其增区间是函数y = sin(2x +3)的减区间，即2k n+㊁三2x + 3W 2k n+~2，「k nn7 n 「 r 「 n 7 n+12= x <k n+12，当 k = 0 时，x € ［乜，乜］.12. 已知 sin(a+ 3 = 2，sin(a- 3 = £，则 log • 5(器 等于 (C . 41 sin a os 3+ cos a in 23得 1sin a os 3— cos a in 3= 313. (1+ tan 17 )(1 + tan28 °tan 17 ° tan28［解析］ 原式=1 + tan 17 + tan28 °tan 17 °tan28 ；又 tan(17 +28°) = ------------- =1 — tan17 )an28 0 tan45 = 1，Atan17 + tan28 = 1— tan 17 °tan28 )14. (2012全国高考江苏卷)设a 为锐角，若cosn a+6=5，贝U sin 2 a+ 的值为弋^2.n n 2 n n ［解析］Ta 为锐角，.「6<a+ 6<3，v cos a- 6 =4 5, n 3 sin a+ 6 = 5；n n n 24.••sin 2 a+ 3 = 2sin a+ 6 cos a+ 6 = 25,n n 2 .2 n 7cos(2 a+ 3) = cos( a+ g) 一 sin ( a+ g) =25 . n n n . n .•sin 2 a+ 12 = sin 2 + 3— 4 = sin 2 a — 3 ncos4—cosc n . n 1A /2 2a+3 sin 4= 50 .115.已知 cos2a= 3，贝U sin 4 a+ cos 4a=［解析］由sin(a+ 3 = 2， sin(a- a 5sin ocos 3=12.tan a 1，• °tan 3cos a i n 3=徨=5,「•log ‘5(眯沪 g 552 = 4.、填空题(本大题共4个小题, 每小题5分，共20分)代入原式可得结果为2.521 2 2 2［解析］cos2o a 2cos a—1= 3 得cos a 3,由cos2o a 1 —2s in a得sin2a 3(或据sin2a2 2 1 , + cos a 1得Sin a= 3),代入计算可得.3 1 n n16.设向量a=(刃sin0, b= (cos0 3)，其中0€ (0,刃，若a / b,贝U 0= ___41 n ［解析］若a//b，贝U sin 0cos A2，即卩2sin(Cos B= 1 ,：sin2 A1,又(0,㊁),n 4.三、解答题（本大题共6个小题，共70分，写出文字说明，证明过程或演算步骤3 - 3 sin2 a+ 2sin a,17.（本题满分10分）已知cos a—sin a= 5^，且na^n 求—1 —t an a—的值.［解析］因为cos a—sin aa%"2,所以1 —2si n a cos a=卷，所以2si n«cos a= £又a€ ( n "2)，故sin a+ CoS a=-冷 1 + 2sin0cos a= —誉,2 2sin2 a+ 2sin a 2sin a cos a+ 2sin a cos a 2sin a cos a cos a+ sin a所以=1 —tan a COS a—sin a COS a—sin aZ x4/225x一 55 28 75.18.（本题满分12分）设x€ [0 , 3］，求函数y= cos(2x-3) + 2sin(x—力的最值.n n n n［解析］y = cos(2x—3) + 2si n(x—6)= cos2(x—6)+ 2sin(x—石)2n n n 1 2 3=1 —2sin (x—舌)+ 2sin(x —6)= —2［sin(x—$) —2 + 21 1 3 1 • x€ ［0 , 3］, —x—g［一6，6］.• °sin(x—g) € ［一？, 2］ ,^ymax a2，ymin= —2*19.(本题满分12分)已知tan2a2tan2a+ 1,求证:cos20+ sin2a= 0.十卄2cos20- sin20 2 1 —tan20 2—2tan2a［证明］ cos2 0+ sin a= 2 2 + sin a= 2 + sin a= 2cos20+ sin20 1 + tan20 1 + 2tan2a+ 1+ si n2a=.2—sin a 2 + sin a= COS a+ Sin a 2 o—sin a+ sin a 0.3x . 3xx . x »亠12分)已知向量 a = (cos^, sin_2), b = (co^,— sin^), c = (.3— 1),其中 x €R.(1)当a 丄b 时，求x 值的集合； ⑵求a —ci 的最大值.3x x 3x xk n n ［解析］(1)由 a 丄b 得 a b = 0,即卩 cos^cos^ —sin-^sin^a 0,贝Ucos2x = 0,得x a ^ + 4(kk n n€ Z), Ax 值的集合是{x|x = 2 + 4, « Z}.2 3x1- 2 3x 2 o 3x t -3x o 3x 3x(2)|a — c| = (cos 刁—.3) + (sin_2 + 1) = cos"^ — 2.3cos^ + 3+ sin + 2sin^ + 1=5+ 2sin^x —2 ,3。
人教版数学必修四第三章单元练习
必修四第三章一、选择题：1．Sin165o等于〔〕136262A．B．C．4D．4222．Sin14ocos16o+sin76ocos74o的值是〔〕3131A．B．C．D．-22223．sin-3cos的值是．〔〕1212A．0B．—2C．2D．5 2sin124.△ABC中，假设2cosBsinA=sinC 那么△ABC的形状一定是〔〕A．等腰直角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等边三角形5．函数y=sinx+cosx+2的最小值是〔〕A．2-2B．2+2C．0D．16．cos〔α+β〕cos〔α－β〕=1，那么cos2α－sin2β的值为〔〕3A．－2B．－1C．1D．23333C7．在△ABC中，假设sinAsinB=cos22，那么△ABC是〔〕A．等边三角形B．等腰三角形C．不等边三角形D．直角三角形8．sinα+sinβ=3〔cosβ－cosα〕，且α∈〔0，π〕，β∈〔0，π〕，那么α－β等于〔〕3A．－2πB．－πC．πD．2π33339．sin〔α+β〕sin〔β－α〕=m，那么cos2α－cos2β等于〔〕A．－m B．m C．－4m D．4m二、填空题．1 tan1510．=__________________________．1 tan15123)=________．11．如果cos=-(,)，那么cos(132412．,1(11为锐角，且cos=cos)=-,那么cos=_________．71413．tan20o+tan40o+ 3tan20otan40o的值是____________．14．函数y=cosx+cos(x+ )的最大值是__________．3三、解答题．15．假设,是同一三角形的两个内角，cos=-1,cos()=-4 2.求cot 的值．39 16．化简1sin2cos2．1sin2cos217．求证：2sin〔π－x〕·sin〔π+x〕=cos2x．4 418．求证：4sinθ·cos2=2sinθ+sin2θ．19．设25sin2x+sinx－24=0，x是第二象限角，求cos x的值．220．sinα=12，sin〔α+β〕=4，α与β均为锐角，求cos．135参考答案一、选择题：6．C 7． B 8．D 9．B 二、填空题：10：311：72113：314：3 32612：2三、解答题：15、解：∵,是同一三角形的两个内角∴0<<∵cos()=-42∴sin()=1cos2()=799∵cos=-1∴sin=1cos2=2233∴sin=sin()=sin()cos-cos()sin=13∴cos=1sin2=223∴tansin=2 =4 cos∴cot=2216．解：原式1sin2cos2 =sin2cos2 112sin cos12sin2 =2sin cos2cos2 12sin cos sin2=2sincos2cos22sin cos sin=2cos(sin cos)=tanθ．17．证明：左边=2sin〔π－x〕·sin〔π+x〕4 4=2sin〔π－x〕·cos〔π－x〕4 4π=sin 〔 －2x 〕=cos2x18．证明：左边 =4sinθ·cos 2=2sinθ·2cos 2=2sinθ·〔1+cosθ〕=2sinθ+2sinθcosθ=2sinθ+sin2θ=右边．19．解：因为 25sin 2x+sinx －24=0，24所以sinx=或sinx=－1．又因为x 是第二象限角，所以sinx=24，cosx=－7．25 25 又x是第一或第三象限角，27x 1 cosx13从而cos =± 25．22=±2 520．解：∵0＜α＜π，∴cosα=1sin 22又∵0＜α＜π，0＜β＜π，∴ 2 20＜α+β＜π．假设０＜α+β＜π， 2∵sin〔α+β〕＜sinα，∴α+β＜α不可能． 故π＜α+β＜π．∴cos〔α+β〕=－3．∵ 25∴cosβ=cos［〔α+β〕－α］ =cos 〔α+β〕cosα+sin〔α+β〕sinα=－3·55130＜β＜π，2∴0＜ ＜π． 24故cos 1cos 765．2 655．13 412335·，1365。
高一数学必修4：第三章章末检测Word版含解析
第三章章末检测 本试卷满分 150 分，考试时间 120 分钟． 12 题，每题 5 分，共 60 分．在下列各题的四个选项中，只有一个选
1． sin68 s°in67 －°sin23 c°os68 °的值为 ( )
2
2
A ．2sin2α)＝
2sin2α－
1
＝
2×
4－ 9
1
＝－
1 9.
1 3．已知 M ＝ x sinx＝ 2
，N＝
x
1 cos2x＝ 2
，则 (
)
A．M＝ N B． M? N C．N? M D ． M∩ N＝ ? 答案： B
解析：
由
cos2x＝
1
－
2sin
2x＝
1 2
，得
sinx＝ ±1，故选 2
B.
4．已知 sinθ2＝－ 45， cosθ2＝ 35，则角 θ终边所在象限是 (
kπ
＋32π，
k∈
Z ，∴
kπ＋
π 4<
x< kπ＋
34π，
k∈
Z.
6．若函数 f (x)＝ sinax＋ cosax(a>0) 的最小正周期为 1，则它的图象的一个对称中心为
()
A. － π8， 0 B ． (0,0)
C.
－ 1， 0 8
D. 1， 0 8
答案： C
解析： 由条件得 f( x)＝ 2sin ax＋4π，又函数的最小正周期为
)
A ．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限 答案： C
解析：
∵ sinθ＝ 2sinθ2cosθ2＝－
24 25<0，cosθ＝
人教版高中数学必修4第三章单元综合测试
高中数学学习材料金戈铁骑整理制作单元综合测试三时间：120分钟 分值：150分第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(每小题5分，共60分)1．对任意的锐角α，β，下列不等关系中正确的是( ) A ．sin(α＋β)>sin α＋sin β B ．sin(α＋β)>cos α＋cos β C ．cos(α＋β)<sin α＋sin βD ．cos(α＋β)<cos α＋cos β解析：当α＝β＝30°时可排除A ，B ；当α＝β＝15°时，代入C 得0<cos30°<2sin15°，平方得34<4sin 215°＝4×1－cos30°2＝2－3≈0.268，矛盾．故选D.答案：D2．化简cos 2(π4－α)－sin 2(π4－α)得到( ) A ．sin2α B ．－sin2α C ．cos2αD ．－cos2α解析：原式＝cos2(π4－α)＝cos(π2－2α)＝sin2α.答案：A3.3－sin70°2－cos 210°＝( ) A.12 B.22 C ．2D.32解析：原式＝3－sin70°2－1＋cos20°2＝2(3－sin70°)3－cos20°＝2.答案：C4．已知tan α＝12，tan(α－β)＝－25，那么tan(β－2α)的值为( ) A ．－34 B ．－112 C ．－98D.98解析：tan(β－2α)＝tan[(β－α)－α]＝－112. 答案：B5．已知函数f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx (ω>0)，y ＝f (x )的图象与直线y ＝2的两个相邻交点的距离等于π，则f (x )的单调递增区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈ZB.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋5π12，k π＋11π12，k ∈ZC.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6，k ∈ZD.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π6，k π＋2π3，k ∈Z解析：f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx ＝2sin(ωx ＋π6)，由已知得周期T ＝π. ∴ω＝2，即f (x )＝2sin(2x ＋π6)．由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z )得k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z )． 答案：C6．在△ABC 中，sin A sin B <cos A cos B ，则△ABC 为( ) A ．直角三角形 B ．钝角三角形 C ．锐角三角形D ．等腰三角形解析：sin A sin B <cos A cos B ，即sin A sin B －cos A cos B <0， －cos(A ＋B )<0，所以cos C <0，从而角C 为钝角，△ABC 为钝角三角形．答案：B7.2sin2α1＋cos2α·cos 2αcos2α等于( ) A ．tan α B ．tan2α C ．1D.12解析：原式＝2sin2α1＋2cos 2α－1·cos 2αcos2α＝2sin α·cos αcos 2α－sin 2α＝2tan α1－tan 2α＝tan2α. 答案：B8．若cos2θ＋cos θ＝0，则sin2θ＋sin θ＝( ) A ．0 B ．±3 C ．0或 3D ．0或±3解析：由cos2θ＋cos θ＝0得2cos 2θ－1＋cos θ＝0， 所以cos θ＝－1或12.当cos θ＝－1时，有sin θ＝0； 当cos θ＝12时，有sin θ＝±32.于是sin2θ＋sin θ＝sin θ(2cos θ＋1)＝0或3或－ 3. 答案：D9．已知等腰三角形顶角的余弦值等于45，则这个三角形底角的正弦值为( )A.1010 B ．－1010 C.31010D ．－31010解析：设等腰三角形的底角为α(0<α<π2)，则其顶角为π－2α.由已知cos(π－2α)＝45，∴cos2α＝－45.故1－2sin 2α＝－45，sin 2α＝910. 又0<α<π2，∴sin α＝31010. 答案：C10．已知sin2α＝35(π2<2α<π)，tan(α－β)＝12，则tan(α＋β)＝( ) A ．－2 B ．－1 C ．－211D.211解析：由sin2α＝35，且π2<2α<π， 可得cos2α＝－45，∴tan2α＝－34， ∴tan(α＋β)＝tan[2α－(α－β)] ＝tan2α－tan (α－β)1＋tan2αtan (α－β)＝－2.答案：A11．已知向量a ＝(cos2α，sin α)，b ＝(1,2sin α－1)，α∈(π2，π)，若a ·b ＝25，则tan(α＋π4)＝( )A.13 B.27 C.17D.23解析：由题意，得cos2α＋sin α(2sin α－1)＝25， 解得sin α＝35.又α∈(π2，π)， 所以cos α＝－45，tan α＝－34， 则tan(α＋π4)＝tan α＋tan π41－tan αtan π4＝17.答案：C12．将函数f (x )＝12sin2x sin π3＋cos 2x cos π3－12sin(π2＋π3)的图象上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，则函数g (x )在[0，π4]上的最大值和最小值分别为( )A.12，－12B.14，－14C.12，－14D.14，－12解析：f (x )＝12×32sin2x ＋12cos 2x －12sin 5π6 ＝34sin2x ＋12cos 2x －14＝34sin2x ＋12×1＋cos2x 2－14＝12sin(2x ＋π6)， 所以g (x )＝12sin(4x ＋π6)．因为x ∈[0，π4]，所以4x ＋π6∈[π6，7π6]，所以当4x ＋π6＝π2时，g (x )取得最大值12；当4x ＋π6＝7π6时，g (x )取得最小值－14.答案：C第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13．已知α，β为锐角，且cos(α＋β)＝sin(α－β)，则tan α＝________. 解析：∵cos(α＋β)＝sin(α－β)，∴cos αcos β－sin αsin β＝sin αcos β－cos αsin β. ∴cos α(sin β＋cos β)＝sin α(sin β＋cos β)． ∵β为锐角，∴sin β＋cos β≠0，∴cos α＝sin α， ∴tan α＝1. 答案：114．已知cos(α－π6)＋sin α＝453，则sin(α＋7π6)的值为________． 解析：由已知得32cos α＋32sin α＝453， 所以12cos α＋32sin α＝45， 即sin(α＋π6)＝45，因此，sin(α＋7π6)＝－sin(α＋π6)＝－45. 答案：－4515．已知0<x <π2，化简：lg(cos x ·tan x ＋1－2sin 2x 2)＋lg[2cos(x －π4)]－lg(1＋sin2x )＝________.解析：原式＝lg(sin x ＋cos x )＋lg(sin x ＋cos x )－lg(sin x ＋cos x )2＝0. 答案：016．设函数f (x )＝2cos 2x ＋3sin2x ＋a ，已知当x ∈[0，π2]时，f (x )的最小值为－2，则a ＝________.解析：f (x )＝1＋cos2x ＋3sin2x ＋a ＝2sin(2x ＋π6)＋a ＋1.∵x ∈[0，π2]，∴2x ＋π6∈[π6，7π6]． ∴sin(2x ＋π6)∈[－12，1]，∴f (x )min ＝2×(－12)＋a ＋1＝a .∴a ＝－2.答案：－2三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)已知cos(x －π4)＝210，x ∈(π2，3π4)． (1)求sin x 的值； (2)求sin(2x ＋π3)的值．解：(1)∵x ∈(π2，3π4)，∴x －π4∈(π4，π2)， ∵cos(x －π4)＝210，∴sin(x －π4)＝7210. ∴sin x ＝sin[(x －π4)＋π4] ＝sin(x －π4)cos π4＋cos(x －π4)sin π4 ＝7102×22＋210×22＝45. (2)由(1)可得cos x ＝－35， ∴sin2x ＝－2425，cos2x ＝－725， ∴sin(2x ＋π3)＝sin2x cos π3＋cos2x sin π3 ＝－24＋7350.18．(12分)已知cos α＝17，cos(α－β)＝1314，且0<β<α<π2. (1)求tan2α的值； (2)求β的值．解：(1)∵0<α<π2且cos α＝17， ∴sin α＝1－cos 2α＝437， ∴tan α＝sin αcos α＝4 3.tan2α＝2tan α1－tan 2α＝2×431－(43)2＝－8347. (2)∵0<β<α<π2，∴0<α－β<π2， 由cos(α－β)＝1314.得sin(α－β)＝1－cos 2(α－β)＝3314， ∴sin β＝sin[α－(α－β)] ＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β) ＝437×1314－17×3314＝32， ∵0<β<π2 ∴β＝π3.19．(12分)已知函数f (x )＝2cos(x －π12)，x ∈R . (1)求f (－π6)的值；(2)若cos θ＝35，θ∈(3π2，2π)，求f (2θ＋π3)． 解：(1)f (－π6)＝2cos(－π6－π12) ＝2cos(－π4)＝2cos π4＝1. (2)f (2θ＋π3)＝2cos(2θ＋π3－π12)＝2cos(2θ＋π4) ＝cos2θ－sin2θ.因为cos θ＝35，θ∈(3π2，2π)，所以sin θ＝－45.所以sin2θ＝2sin θcos θ＝－2425，cos2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝－725. 所以f (2θ＋π3)＝cos2θ－sin2θ＝－725－(－2425)＝1725.20．(12分)已知函数f (x )＝sin(x －π6)＋cos(x －π3)，g (x )＝2sin 2x2. (1)若α是第一象限角，且f (α)＝335，求g (α)的值； (2)求使f (x )≥g (x )成立的x 的取值集合． 解：f (x )＝sin(x －π6)＋cos(x －π3) ＝32sin x －12cos x ＋12cos x ＋32sin x ＝3sin x ，g (x )＝2sin 2x2＝1－cos x ，(1)由f (α)＝335，得sin α＝35，又α是第一象限角，所以cos α>0.从而g (α)＝1－cos α＝1－1－sin 2α＝1－45＝15.(2)f (x )≥g (x )等价于3sin x ≥1－cos x ，即3sin x ＋cos x ≥1. 于是sin(x ＋π6)≥12.从而2k π＋π6≤x ＋π6≤2k π＋5π6，k ∈Z ，即2k π≤x ≤2k π＋2π3，k ∈Z .故使f (x )≥g (x )成立的x 的取值集合为{x |2k π≤x ≤2k π＋2π3，k ∈Z }．21．(12分)点P 在直径为AB ＝1的半圆上移动，过点P 作圆的切线PT ，且PT ＝1，∠P AB ＝α，问α为何值时，四边形ABTP 的面积最大？解：如图，因为AB 为直径，PT 切圆于P 点，所以∠APB ＝90°，P A ＝cos α，PB ＝sin α，S 四边形ABTP ＝S △P AB ＋S △TPB＝12P A ·PB ＋12PT ·PB sin α＝12sin αcos α＋12sin 2α＝14sin2α＋1－cos2α4＝14(sin2α－cos2α)＋14 ＝24sin(2α－π4)＋14.因为0<α<π2，因为－π4<2α－π4<3π4，所以当2α－π4＝π2，即α＝3π8时，四边形ABTP 的面积最大．22．(12分)已知向量a ＝(3sin2x ，cos2x )，b ＝(cos2x ，－cos2x )．(1)若x ∈(7π24，5π12)时，a ·b ＋12＝－35，求cos4x 的值；(2)cos x ≥12，x ∈(0，π)，若方程a ·b ＋12＝m 有且仅有一个实根，求实数m 的值．解：(1)∵a ·b ＝3sin2x cos2x －cos 22x∴a ·b ＋12＝3sin2x cos2x －cos 22x ＋12 ＝32sin4x －1＋cos4x 2＋12 ＝32sin4x －12cos4x＝sin(4x －π6)＝－35，∵x ∈(724π，512π)，∴4x ∈(76π，53π)，4x －π6∈(π，32π)，∴cos(4x －π6)＝－45，∴cos4x ＝cos[(4x －π6)＋π6]＝cos(4x －π6)cos π6－sin(4x －π6)sin π6＝(－45)×32－(－35)×12＝3－4310.(2)因为cos x ≥12，又余弦函数在(0，π)上是减函数，所以0<x ≤π3，令f (x )＝a ·b ＋12＝sin(4x －π6)，g (x )＝m ，在同一坐标系中作出两个函数的图象，由图可知m ＝1或m ＝－12.。
2021年高中数学必修4第三章单元测试题及答案数学必修4第三章
第三章 命题人:吴亮 检测人: 李丰明第Ⅰ卷一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分) 1．已知4cos()5αβ+=，4cos()5αβ-=-，则cos cos αβ的值为( ) Ａ．0Ｂ．45 Ｃ．0或45 Ｄ．0或45±2. 如果sin()sin()m n αβαβ+=-，那么tan tan βα等于( )Ａ．m n m n -+Ｂ．m n m n +-Ｃ．n m n m -+Ｄ．n m n m+-3．sin163°sin223°＋sin253°sin313°等于( )A ．－12 B.12 C ．－32 D.324．化简:ππcos sin 44ππcos sin 44x x x x ⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值为( ) Ａ．tan 2xＢ．tan 2xＣ．tan x -Ｄ．cot x5．在△ABC 中，如果sinA ＝2sinCcosB ，那么这个三角形是A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形6．若β∈(0,2π)，且1－cos 2β＋1－sin 2β＝sinβ－cosβ，则β的取值范围是A ．[0，π2]B ．[π2，π]C ．[π，3π2]D ．[π2，2π]7．若A B ，为锐角三角形的两个锐角，则tan tan A B 的值( ) Ａ．不大于1Ｂ．小于1Ｃ．等于1Ｄ．大于18．已知θ为第四象限角，sinθ＝－32，则tanθ等于( ) A.33 B ．－33 C ．±33D ．－39．已知sinα＋sinβ＋sinγ＝0，cosα＋cosβ－cosγ＝0，则cos(α－β)的值是 A ．－1 B ．1 C ．－12 D.1210．已知sin(α－β)＝1010，α－β是第一象限角，tanβ＝12，β是第三象限角，则cosα的值等于 A.7210 B ．－7210 C.22 D ．－22二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)把答案填第Ⅱ卷题中横线上11．若0＜α＜π2，0＜β ＜π2且tanα＝17，tanβ＝34，则α＋β的值是________．12．已知函数f(x)＝(sinx －cosx)sinx ，x ∈R ，则f(x)的最小正周期是________． 13．若π3sin 25α⎛⎫+=⎪⎝⎭，则cos2α=______． 14. 函数]),0[)(26sin(2ππ∈-=x x y 为增函数的区间是 。
北师大版数学必修4第三章单元检测题及答案
第1页 共11页第三章 命题人：吴亮 检测人： 李丰明第Ⅰ卷一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分) 1．已知，，则的值为（的值为（ ） Ａ． Ｂ．Ｃ．或 Ｄ．或 2. 如果，那么等于（等于（ ） Ａ．Ｂ． Ｃ． Ｄ． 3．sin163°sin223°＋sin253°sin313°等于（等于（ ）A ．－12 B.12 C ．－32 D.324．化简：的值为（的值为（ ） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 5．在△ABC 中，如果sinA ＝2sinCcosB ，那么这个三角形是，那么这个三角形是A ．锐角三角形．锐角三角形B ．直角三角形．直角三角形C ．等腰三角形．等腰三角形D ．等边三角形．等边三角形6．若β∈(0,2π)，且1－cos 2β＋1－sin 2β＝sinβ－cosβ，则β的取值范围是的取值范围是A ．[0，π2]B ．[π2，π]C ．[π，3π2]D ．[π2，2π] 7．若为锐角三角形的两个锐角，则的值（的值（ ） Ａ．不大于Ｂ．小于 Ｃ．等于 Ｄ．大于8．已知θ为第四象限角，sinθ＝－32，则tanθ等于（等于（ ） A.33 B ．－33 C ．±33 D ．－3 9．已知sinα＋sinβ＋sinγ＝0，cosα＋cosβ－cosγ＝0，则cos(α－β)的值是的值是4cos()5αβ+=4cos()5αβ-=-cos cos αβ045045045±sin()sin()mnαβαβ+=-tan tan βαm n m n -+m n m n +-n m n m -+n mn m+-ππcos sin 44ππcos sin 44x x x x ⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭tan2xtan 2x tan x -cot x A B ，tan tan A B 1111A ．－1B ．1C ．－12D.D.112 10．已知sin(α－β)＝1010，α－β是第一象限角，tanβ＝12，β是第三象限角，则cosα的值等于值等于A.7210 B ．－7210 C.22 D ．－22二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)把答案填第Ⅱ卷题中横线上1111．若．若0＜α＜π2，0＜β ＜π2且tanα＝17，tanβ＝34，则α＋β的值是________．1212．已知函数．已知函数f(x)＝(sinx －cosx)sinx ，x ∈R ，则f(x)的最小正周期是________．13．若，则______．14. 函数]),0[)(26sin(2ππ∈-=x x y 为增函数的区间是为增函数的区间是。
2019-2020学年高中数学人教A版必修4同步作业与测评：第三章 单元质量测评 Word版含解析
第三章 单元质量测评对应学生用书P97 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷 (选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．2sin 275°－1的值是( ) A ．12 B ．－12 C ．32 D ．－32 答案 C解析 2sin 275°－1＝2cos 215°－1＝cos30°＝32．2．函数f (x )＝2sin ωx cos φ＋2cos ωx sin φω>0，－π2<φ<π2的部分图象如图所示，则φ的值是( )A ．－π3B ．－π6C ．π6D ．π3 答案 A解析 f (x )＝2sin ωx cos φ＋2cos ωx sin φ＝2sin(ωx ＋φ)．由图象，得34T ＝5π12－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，T ＝π，所以ω＝2．因为图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，2，且－π2<φ<π2，所以2×5π12＋φ＝π2，所以φ＝－π3，故选A ．3．设a ＝12cos6°－32sin6°，b ＝2tan13°1－tan 213°，c ＝1－cos50°2，则有( ) A ．c <b <a B ．a <b <c C ．a <c <b D ．b <c <a 答案 C解析 ∵a ＝sin30°cos6°－cos30°sin6°＝sin(30°－6°)＝sin24°，b ＝tan(2×13°)＝tan26°，c ＝sin 50°2＝sin25°，∴a <c <b ．4．2cos10°－sin20°cos20°的值为( )A ． 3B ．62C ．1D ．12 答案 A解析 原式＝2cos (30°－20°)－sin20°cos20°＝2(cos30°cos20°＋sin30°sin20°)－sin20°cos20°＝3cos20°cos20°＝3．5．已知θ是锐角，那么下列各值中，sin θ＋cos θ能取得的值是( ) A ．43 B ．34 C ．53 D ．12 答案 A解析 ∵0<θ<π2，∴θ＋π4∈π4，3π4， 又sin θ＋cos θ＝2sin θ＋π4， 所以22<sin θ＋π4≤1， 所以1<sin θ＋cos θ≤2．6．函数y ＝sin2x ＋π3·cos x －π6＋cos2x ＋π3·sin π6－x 的图象的一条对称轴方程是( )A ．x ＝π4B ．x ＝π2C ．x ＝πD ．x ＝3π2 答案 C解析 y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ＋π3－x －π6＝sin π2＋x ＝cos x ，当x ＝π时，y ＝－1．故x ＝π是图象的一条对称轴方程．7．sin163°sin223°＋sin253°sin313°等于( ) A ．－12 B ．12 C ．－32 D ．32 答案 B解析 sin163°sin223°＋sin253°sin313°＝sin163°sin223°＋sin(90°＋163°)sin(90°＋223°) ＝sin163°sin223°＋cos163°cos223° ＝cos(223°－163°) ＝cos60°＝12．8．函数f (x )＝3sin2x －cos2x 的图象可以由函数g (x )＝4sin x cos x 的图象________得到．( )A ．向右移动π12个单位B ．向左移动π12个单位 C ．向右移动π6个单位 D ．向左移动π6个单位 答案 A解析 ∵g (x )＝4sin x cos x ＝2sin2x ，f (x )＝3sin2x －cos2x ＝2sin2x －π6＝2sin2x －π12，∴f (x )可以由g (x )向右移动π12个单位得到．9．设向量a ＝(1，cos θ)与b ＝(－1，2cos θ)垂直，则cos2θ等于( ) A ．22 B ．12 C ．0 D ．－1 答案 C解析 a ＝(1，cos θ)，b ＝(－1，2cos θ)． ∵a ⊥b ，∴a ·b ＝－1＋2cos 2θ＝0， ∴cos2θ＝2cos 2θ－1＝0．10．设函数f (x )＝2cos 2x ＋3sin2x ＋a (a 为实常数)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值为－4，则a 的值等于( )A ．4B ．－6C ．－4D ．－3 答案 C解析 f (x )＝2cos 2x ＋3sin2x ＋a ＝1＋cos2x ＋3sin2x ＋a ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋a ＋1．当x ∈0，π2时，2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6，∴f (x )min＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋a ＋1＝－4．∴a ＝－4．故选C ．11．已知1－cos x ＋sin x1＋cos x ＋sin x＝－2，则sin x 的值为( )A ．45B ．－45C ．－35D ．－155 答案 B 解析 原式＝(1－cos x )＋sin x(1＋cos x )＋sin x＝2sin 2x 2＋2sin x 2cos x 22cos 2x 2＋2sin x 2cos x 2＝tan x2＝－2，∴sin x ＝2sin x 2cos x 2sin 2x 2＋cos 2x 2＝2tan x 21＋tan2x 2＝2×(－2)1＋4＝－45，故选B ． 12．已知方程x 2＋4ax ＋3a ＋1＝0(a >1)的两根分别为tan α，tan β，且α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，则tanα＋β2的值是( ) A ．12 B ．－2 C ．43 D ．12或－2 答案 B解析 由题意知：⎩⎨⎧tan α＋tan β＝－4a ，tan α·tan β＝3a ＋1，∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－4a 1－3a －1＝43，tan(α＋β)＝2tan α＋β21－tan 2α＋β2＝43，∴tan α＋β2＝12或tan α＋β2＝－2． 由a >1，可得 tan α＋tan β＝－4a <0， tan α·tan β＝3a ＋1>0， ∴tan α<0，tan β<0， 结合α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，∴α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，α＋β2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，∴tan α＋β2<0，故tan α＋β2＝－2，故选B ．第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．已知0<θ<π2，向量a ＝(sin2θ，cos θ)，b ＝(cos θ，1)，若a ∥b ，则tan θ＝________．答案 12解析 因为向量a ∥b ，所以sin2θ－cos θ·cos θ＝0，又cos θ≠0，所以2sin θ＝cos θ，故tan θ＝12．14．若(tan α－1)(tan β－1)＝2，则α＋β＝________． 答案 k π－π4，k ∈Z解析 (tan α－1)(tan β－1)＝2⇒tan αtan β－tan α－tan β＋1＝2⇒tan α＋tan β＝tan αtan β－1⇒tan α＋tan β1－tan αtan β＝－1．即tan(α＋β)＝－1，∴α＋β＝k π－π4，k ∈Z ．15．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝33，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－x ＋sin 2π3－x ＝________．答案2＋33解析 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－x ＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－x ＋cos 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝⎛⎭⎪⎫π3－x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋1－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝33＋1－13＝2＋33．16．关于函数f (x )＝cos2x －23sin x cos x ，下列命题： ①存在x 1，x 2，当x 1－x 2＝π时，f (x 1)＝f (x 2)成立； ②f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上是单调递增；③函数f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0成中心对称图形；④将函数f (x )的图象向左平移5π12个单位长度后将与y ＝2sin2x 的图象重合．其中正确命题的序号是________(注：把你认为正确命题的序号都填上)．答案 ①③解析 ∵f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋5π6＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋5π12，∴周期T ＝π，故①正确；∵π2≤2x ＋5π6≤3π2，解之得x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3，是其递减区间，故②错误；∵对称中心的横坐标满足2x ＋5π6＝k π⇒x ＝k π2－5π12，当k ＝1时，x ＝π12，故③正确；④中应该是向右平移，故④不正确．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知cos α－sin α＝325，且π<α<3π2，求sin2α＋2sin 2α1－tan α的值．解 因为cos α－sin α＝325，所以1－2sin αcos α＝1825．所以2sin αcos α＝725．又α∈π，3π2，故sin α＋cos α＝－1＋2sin αcos α＝－425． 所以sin2α＋2sin 2α1－tan α＝(2sin αcos α＋2sin 2α)cos αcos α－sin α＝2sin αcos α(cos α＋sin α)cos α－sin α＝725×－425325＝－2875．18．(本小题满分12分)已知向量a ＝cos x ，－12，b ＝(3sin x ，cos2x )，x ∈R ，设函数f (x )＝a ·b ．(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在0，π2上的最大值和最小值．解f(x)＝cos x，－12·(3sin x，cos2x)＝3cos x sin x－12cos2x＝32sin2x－12cos2x＝cos π6sin2x－sin π6cos2x＝sin2x－π6．(1)T＝2π2＝π，即函数f(x)的最小正周期为π．(2)∵0≤x≤π2，∴－π6≤2x－π6≤5π6．由正弦函数的性质知，当2x－π6＝π2，即x＝π3时，f(x)取得最大值1；当2x－π6＝－π6，即x＝0时，f(x)取得最小值－12．因此，f(x)在0，π2上的最大值是1，最小值是－12．19．(本小题满分12分)在斜△ABC中，sin A＝－cos B·cos C，且tan B tan C＝1－3，求角A．解在△ABC中，有A＋B＋C＝π，所以sin A＝sin(B＋C)．所以－cos B cos C＝sin B cos C＋cos B sin C．上式两边同时除以cos B cos C，得tan B＋tan C＝－1．又tan(B＋C)＝tan B＋tan C1－tan B tan C＝－11－(1－3)＝－33＝－tan A ． 所以tan A ＝33． 又0<A <π，所以A ＝π6．20．(本小题满分12分)函数f (x )＝3sin ωx ·cos ωx ＋sin 2ωx ＋k ，ω>0． (1)若f (x )图象中相邻两条对称轴间的距离不小于π2，求ω的取值范围； (2)若f (x )的最小正周期为π，且当x ∈－π6，π6时，f (x )的最大值是12，求f (x )最小值，并说明如何由y ＝sin2x 的图象变换得到y ＝f (x )的图象．解 f (x )＝32sin2ωx ＋1－cos2ωx 2＋k ＝32sin2ωx －12cos2ωx ＋12＋k ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π6＋k ＋12． (1)由题意可知T 2＝π2ω≥π2，∴ω≤1．又ω>0， ∴0<ω≤1．(2)∵T ＝πω＝π，∴ω＝1． ∴f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋k ＋12．∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π6，∴2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π6．从而当2x －π6＝π6，即x ＝π6时， f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝sin π6＋k ＋12＝k ＋1＝12，∴k ＝－12，故f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，∴当2x －π6＝－π2，即x ＝－π6时f (x )取最小值－1．把y ＝sin2x 的图象向右平移π12个单位得到y ＝sin (2x －π6 )的图象． 21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝2cos x －π3＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－x ． (1)求函数f (x )的单调减区间；(2)求函数f (x )的最大值并求f (x )取得最大值时的x 的取值集合；(3)若f (x )＝65，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的值． 解 (1)f (x )＝2cos x cos π3＋2sin x sin π3－2cos x＝cos x ＋3sin x －2cos x ＝3sin x －cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6． 令2k π＋π2≤x －π6≤2k π＋3π2(k ∈Z )，∴2k π＋2π3≤x ≤2k π＋5π3(k ∈Z )，∴单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋2π3，2k π＋5π3(k ∈Z )． (2)f (x )取最大值2时，x －π6＝2k π＋π2(k ∈Z )，则x ＝2k π＋2π3(k ∈Z )．∴f (x )的最大值是2，取得最大值时的x的取值集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫xx ＝2k π＋2π3，k ∈Z ． (3)f (x )＝65，即2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝65，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝35． ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＝1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝725． 22．(本小题满分12分)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，且2sin 2A ＋B 2＋cos2C ＝1．(1)求角C 的大小；(2)若sin 2A －sin 2B ＝12sin 2C ，试求sin2A ＋π3的值．解 (1)由2sin 2A ＋B 2＋cos2C ＝1，得1－cos(A ＋B )＋2cos 2C －1＝1．又由A ＋B ＋C ＝π，将上式整理，得2cos 2C ＋cos C －1＝0，即(2cos C －1)(cos C ＋1)＝0．∴cos C ＝12或cos C ＝－1(舍去)．由0<C <π，得C ＝π3．(2)由sin 2A －sin 2B ＝12sin 2C ，得2sin 2A －2sin 2B ＝sin 2C ，即1－cos2A －1＋cos2B ＝34，cos2B －cos2A ＝34，∵A ＋B ＝2π3，∴B ＝2π3－A ．∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3－2A －cos2A ＝34，∴－32cos2A －32sin2A ＝34． 得32cos2A ＋12sin2A ＝－34，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π3＝－34．。
高一数学高中数学必修4：第三章++三角恒等变换+单元同步测试(含解析)
答案 A
二、填空题 (本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分．将答案填在题中
横线上 )
13．已知 α，β为锐角，且 cos(α＋β)＝sin(α－β)，则 tanα＝________.
解析 ∵cos(α＋β)＝sin(α－β)，
∴ cosαcosβ－sinαsinβ＝sinαcosβ－ cosαsinβ.
高中同步学习方略
3
1
3sinA－cos(B＋C)＝ 3sinA＋ cosA＝2( 2 sinA＋2cosA)
＝2cos(60 °－ A)＝2cos45°＝ 2.
答案 A
ห้องสมุดไป่ตู้
5．已知
tanθ＝13，则
cos2θ＋
1 2sin2θ等于
(
)
6
4
4
6
A．－ 5 B．－ 5
C.5
D.5
cos2θ＋sinθcosθ 1＋tanθ 6 解析 原式＝ cos2θ＋sin2θ ＝1＋tan2θ＝5.
时，
y
有最大值
1＋ 2
2 ；
当
sin
2x＋π4 ＝－ 1
时， y
有最小值
1－ 2
2 .
3
新课标 A 版·数学·必修 4
高中同步学习方略
∴值域为
1－ 2
2 1＋ ，2
2 .答案
C
2cos10 °－sin20 ° 11. sin70 ° 的值是 ( )
1
3
A. 2 B. 2
C. 3
D. 2
解析
2cos 30°－20°－sin20 °
新课标 A 版·数学·必修 4
高中同步学习方略
第三章测试
高一数学必修4：第三章章末检测Word版含解析(2)
解析： sinx＋ 3cosx－ a＝ 0，∴ a＝sinx＋ 3cosx
＝2
1 2sin x＋
3 2 cosx
＝2sin
x＋
π 3
，－
1≤sin
x＋π3 ≤ 1，∴－ 2≤ a≤2.
9．若
α， β为锐角，
2 sinα＝ 5
5， sin(α＋ β)＝ 35，则
cosβ等于 (
)
25 A. 5
25 B. 25
故 f(x)＝
2sin
2πx＋
π 4 .将
x＝－
1代入得函数值为 8
0.
1，故 2π＝ 1，∴ a＝ 2π， a
7． tan20 ＋°tan40 ＋° 3(tan20 ＋°tan40 °)等于 ( )
3 A. 3 B ． 1
C. 3 D. 6 答案： C
解析： tan60 °＝ tan20 ＋°tan40 °， 1－ tan20 ·°tan40 °
C.2 5或 2 5
5
25
D ．－
2 25
5
答案： B
解析： cosβ＝ cos[( α＋β)－α]
＝ cos(α＋ β)cosα＋sin(α＋ β)sinα，
∵ α为锐角 cosα＝
1－ 2205＝ 55，
∴
sin(α＋
β)＝
35＜
sinα，∴
α＋
β＞
π 2.
∴ cos(α＋ β)＝－
1－ 295＝－ 45，
D．1
解析： 原式＝
sin68 °cos23°－ cos68°sin23 °＝ sin(68
°－ 23°)＝ sin45 °＝
2 2.
2．已知
人教版高中数学必修4第三章单元测试(二)- Word版含答案
2018-2019学年必修四第三章训练卷三角恒等变换（二）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．22cos 15sin 15︒-︒的值为（ ）A ．12B ．2 C ．3 D ．62．函数sin 2cos cos 2sin 3636y x x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⋅-++⋅- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭的图象的一条对称轴方程是（ ） A ．4x π=B ．2x π=C ．x =πD ．2x 3π=3．已知()5sin 45α︒=+，则sin 2α等于（ ） A ．45-B ．35-C ．35D ．454．sin 2sin 23y x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭的一个单调递增区间是（ ）A ．,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．,1212π7π⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．,12125π13π⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．,36π5π⎡⎤⎢⎥⎣⎦5．已知θ是锐角，那么下列各值中，sin cos θθ+能取得的值是（ ） A ．43B ．34 C ．53D ．126．sin163sin223sin253sin313︒︒+︒︒等于（ ） A ．12-B ．12C ．3-D ．3 7．已知tan 222θ=-，22θπ<<π，则tan θ的值为（ ） A ．2 B ．2-C ．2D ．2或2-8．函数sin cos y x x =-的图象可以看成是由函数sin cos y x x =+的图象平移得到的．下列所述平移方法正确的是（ ） A ．向左平移2π个单位 B ．向右平移4π个单位 C ．向右平移2π个单位 D ．向左平移4π个单位 9．设sin17cos45cos17sin45a =︒︒+︒︒，22cos 131b =︒-，3c =，则有（ ） A ．c a b << B ．b c a <<C ．a b c <<D ．b a c <<10．化简1sin 4cos41sin 4cos4αααα+-++的结果是（ ）A ．1tan 2αB ．tan 2αC ．1tan αD ．tan α11．如图，角α的顶点在坐标原点O ，始边在y 轴的正半轴，终边经过点()3,4P --．角β的顶点在原点O ，始边在x 轴的正半轴，终边OQ 落在第二象限，且tan 2β=-，则cos POQ ∠的值为（ ）此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号A．B．CD12．设12(,)a a =a ，12(,)b b =b ．定义一种向量积：1212(,)(,)a a b b ⊗⊗=a b 1122(,)a b a b =．已知12,2⎛⎫= ⎪⎝⎭m ，,03π⎛⎫= ⎪⎝⎭n ，点,()P x y 在sin y x =的图象上运动，点Q 在()y f x =的图象上运动．且满足OQ OP =⊗+uuu v uu u vm n (其中O 为坐标原点)，则()y f x =的最大值A 及最小正周期T 分别为（ ） A ．2，π B ．2，4π C ．12，4π D ．12，π二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上） 13的值是________．14．已知sin cos2αα=，,2απ⎛⎫∈π ⎪⎝⎭，则tan α=________．15．函数2sin si o (n c s )y x x x =+的最大值为________．16．已知α、β均为锐角，且()cos s n(i )αβαβ=+-，则tan α=________．三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．（10分）已知tan α，tan β是方程26510x x +=-的两根，且02απ<<，2β3ππ<<． 求：tan()αβ+及αβ+的值．18．（12分）已知函数()22cos 2sin 4cos f x x x x -=+． （1）求3f ⎛⎫⎪⎝⎭π的值；（2）求()f x 的最大值和最小值．19．（12分）已知向量3si ()n ,cos αα=a ，2sin 5sin 4cos ()ααα=-，b ，3,22απ⎛⎫∈π ⎪⎝⎭，且⊥a b ．（1）求tan α的值； （2）求cos 23απ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．20．（12分）已知函数()2s 2sin o 24f x x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．（1）求()f x 的周期和单调递增区间；（2）若关于x 的方程()2f x m -=在,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有解，求实数m 的取值范围．21．（12分）已知函数()()2cos 2s co 1f x x x x x +-=∈R ． （1）求函数()f x 的最小正周期及在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值；（2）若()065f x =，0,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求0cos2x 的值．22．（12分）已知02αβπ<<<<π，1tan 22α=，1os (0c )βα=-． （1）求sin α的值； （2）求β的值．2018-2019学年必修四第三章训练卷三角恒等变换（二）答 案一、选择题 1．【答案】C【解析】由题可知：22cos 15sin 15cos30︒-︒=︒=，故选C ．2．【答案】C【解析】sin 2sin cos 362y x x x x ⎡ππ⎤π⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+--=+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，当x =π时，1y =-．故选C ． 3．【答案】B【解析】()()sin cos sin 45ααα=+︒+，∴sin cos αα+ 两边平方，∴21sin 25α+=，∴3sin 25α=-．故选B ． 4．【答案】B【解析】1sin 2sin 2sin 2cos cos 2sin sin 2sin 223332y x x x x x x x πππ⎛⎫=--=--=- ⎪⎝⎭sin 23x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭当12x π=时，min 1y =-；当12x 7π=时，max 1y =， 且T =π．故选B ． 5．【答案】A 【解析】∵02θπ<<，∴,444θππ3π⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，又sin cos 4θθθπ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，sin 14θπ⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭，1sin cos θθ<+≤．故选A ． 6．【答案】B【解析】sin163sin223sin253sin313︒︒+︒︒sin 9073sin 270()()()(47sin 18073sin 36)047+=︒+︒︒-︒︒+︒︒-︒ cos73cos47si ()()n73sin 47---=︒︒︒︒ cos73cos47sin73sin 4(7)︒︒-︒=︒- cos 73)4(7=-︒+︒ 1cos1202=-︒=．故选B ． 7．【答案】B【解析】∵22θπ<<π，∴2θπ<<π， 则tan 0θ<，22tan tan 21tan θθθ==--2tan 0θθ-=，解得tan 2θ=或tan θ=(舍去)，∴tan 2θ=．故选B ． 8．【答案】C【解析】sin cos 4y x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭∴sin cos 424y x x x x π⎡ππ⎤⎛⎫⎛⎫=-=-=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦．故选C ．9．【答案】A【解析】sin62a =︒，cos26sin64b =︒=︒，sin60c =︒． ∵sin y x =，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭为递增函数，∴c a b <<．故选A ．10．【答案】B【解析】原式()()222sin 2sin 2cos 22sin 22sin 2cos 2tan 22cos 22sin 2cos 22cos 2cos 2sin 2ααααααααααααα++===++． 故选B ． 11．【答案】A【解析】11t ()an tan tan 2βθθ=π--=-=， ∴1tan 2θ=，2tan 43θ=．∴1212tan tan 21tan tan tan POQ θθθθ+-==-∠，∴2POQ <∠π<π．∴cos POQ ∠=．故选A ． 12．【答案】C【解析】112,(),02,2332,OQ OP x x y y ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝=⊗+=⊗⎭⎝⎭uuu v uu u v m n ，则023x x π=+，012y y =，所以0126x x π=-，02y y =， 所以()11sin 226x y f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭=．所以最大值12A =，最小正周期4T =π．故选C ．二、填空题 13．【答案】1【解析】tan 60tan15tan 4511tan 60tan15︒-︒==︒=+︒︒1=． 14．【答案】 【解析】∵2sin cos212sin ααα==-，∴22sin sin 10αα+-=，∴1sin 2α=或1-． ∵,2απ⎛⎫∈π ⎪⎝⎭，∴1sin 2α=，∴56α=π，∴tan α=．15．1【解析】2sin sin co ()1cos 2sin 2s n 214x y x x x x x π⎛⎫=-+- ⎝++⎪⎭=，∴max 1y ． 16．【答案】1【解析】∵()cos s n(i )αβαβ=+-∴cos cos sin sin sin cos cos sin αβαβαβαβ-=- ∴()cos sin cos s ()in cos sin αββαββ=++ ∵α、β均为锐角， ∴sin cos 0ββ+≠，∴cos sin αα=，∴tan 1α=．三、解答题 17．【答案】1，54π． 【解析】∵tan α，tan β是方程26510x x +=-的两根，∴5tan tan 6αβ+=，1tan tan 6αβ=，()115tan tan 6tan 1tan t n 61a αβαβαβ==--+=+． ∵02απ<<，2β3ππ<<， ∴2αβπ<+<π，∴54αβπ+=． 18．【答案】（1）94-；（2）6，73-．【解析】（1）2392cos sin 4cos 12333344f π2ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭π+-=-+-=-．（2）()()()2222cos 11cos 4cos 3cos 4cos 12f x x x x x x -+--=--=2273cos 33x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，x ∈R ．因为[]cos 1,1x ∈-，所以，当cos 1x =-时，()f x 取得最大值6； 当2cos 3x =时，()f x 取得最小值73-． 19．【答案】（1）43-；（2）．【解析】（1）∵⊥a b ，∴0⋅=a b ．而3si ()n ,cos αα=a ，2sin 5sin 4cos ()ααα=-，b ， 故226sin 5sin cos 4cos 0αααα⋅=+-=a b ． 由于cos 0α≠，∴26tan 5tan 40αα+-=． 解之，得4tan 3α=-，或1tan 2α=．∵3,22απ⎛⎫∈π ⎪⎝⎭，tan 0α<，故1tan 2α= (舍去)．∴4tan 3α=-．（2）∵3,22απ⎛⎫∈π ⎪⎝⎭，∴3,24απ⎛⎫∈π ⎪⎝⎭．由4tan 3α=-，求得1tan 22α=-或tan 22α=(舍去)．∴sin2α=cos 2α=，1cos cos cos sin sin 2323223αααπππ⎛⎫+=-=-= ⎪⎝⎭20．【答案】（1）π，2,1212k k k π5π⎡⎤π-π+∈⎢⎥⎣⎦Z ；（2）[]0,1m ∈．【解析】（1）()2s 2sin o 24f x x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭1cos 222x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭1sin 2x x =+2sin 213x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，周期T =π；222232k x k ππππ-≤-≤π+， 解得()f x 的单调递增区间为,1212k k k π5π⎡⎤π-π+∈⎢⎥⎣⎦Z ．（2）,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以22,363x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，1sin 2,132x π⎛⎫⎡⎤-∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以()f x 的值域为[]2,3．而()2f x m =+，所以[]22,3m +∈，即[]0,1m ∈． 21．【答案】（1）π，最大值为2，最小值为1-；（2． 【解析】（1）由()2cos 2c o s 1f x x x x =+-，得())2()2cos 22sin 22sin cos 2co 6s 1x x f x x x x x π⎛⎫++=+ ⎪⎝⎭-，所以函数()f x 的最小正周期为π．因为()2sin 26x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在区间0,6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数，在区间,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数，又()01f =，26f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，12f π⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 所以函数()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为2，最小值为1-．（2）由（1）可知()002sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．因为()065f x =，所以03sin 265x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭．由0,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，得0272,636x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，从而04cos 265x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭．∴0000cos 2cos 2cos sin 2sin 66666cos 26x x x x ⎡ππ⎤ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+++= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦．22．【答案】（1）45；（2）34π． 【解析】（1）22tan42tan 31tan 2ααα==-，∴sin 4cos 3αα=．又∵22sin cos 1αα+=， 解得4sin 5α=． （2）∵02αβπ<<<<π，∴0βα<-<π．∵os (c )βα=-，∴()sin βα=- ∴[]sin sin sin cos cos s ()()()in ββααβααβαα-+-+==-3455=+=∵,2βπ⎛⎫∈π ⎪⎝⎭，∴34βπ=．。
高中人教A版数学必修4(课时习题与单元测试卷)：第三章 章末检测 含解析
第三章章末检测班级____ 姓名____ 考号____ 分数____ 本试卷满分150分，考试时间120分钟．一、选择题：本大题共12题，每题5分，共60分．在下列各题的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．sin68°sin67°－sin23°cos68°的值为( )A ．－22 B.22C.32D ．1 答案：B解析：原式＝sin68°cos23°－cos68°sin23°＝sin(68°－23°)＝sin45°＝22.2．已知sin α＝23，则cos(π－2α)等于( )A ．－53B ．－19C.19D.53 答案：B解析：cos(π－2α)＝－cos2α＝－(1－2sin 2α)＝2sin 2α－1＝2×49－1＝－19.3．已知M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ sin x ＝12，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪cos2x ＝12，则( ) A ．M ＝N B ．M ⊆N C ．N ⊆M D ．M ∩N ＝∅ 答案：B解析：由cos2x ＝1－2sin 2x ＝12，得sin x ＝±12，故选B.4．已知sin θ2＝－45，cos θ2＝35，则角θ终边所在象限是( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 答案：C解析：∵sin θ＝2sin θ2cos θ2＝－2425<0，cos θ＝cos 2θ2－sin 2θ2＝－725<0，∴θ终边在第三象限．5．函数f (x )＝lg (sin 2x －cos 2x )的定义域是( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ 2k π－3π4<x <2k π＋π4，k ∈Z B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2k π＋π4<x <2k π＋5π4，k ∈Z C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ k π－π4<x <k π＋π4，k ∈Z D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪k π＋π4<x <k π＋3π4，k ∈Z 答案：D解析：∵f (x )＝lg (sin 2x －cos 2x )＝lg (－cos2x )，∴－cos2x >0，∴cos2x <0，∴2k π＋π2<2x <2k π＋3π2，k ∈Z ，∴k π＋π4<x <k π＋3π4，k ∈Z . 6．若函数f (x )＝sin ax ＋cos ax (a >0)的最小正周期为1，则它的图象的一个对称中心为( )A.⎝⎛⎭⎫－π8，0 B ．(0,0) C.⎝⎛⎭⎫－18，0 D.⎝⎛⎭⎫18，0 答案：C解析：由条件得f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ax ＋π4，又函数的最小正周期为1，故2πa＝1，∴a ＝2π，故f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2πx ＋π4.将x ＝－18代入得函数值为0. 7．tan20°＋tan40°＋3(tan20°＋tan40°)等于( )A.33B ．1 C. 3 D. 6 答案：C解析：tan60°＝tan20°＋tan40°1－tan20°·tan40°，∴3－3tan20°tan40°＝tan20°＋tan40°， ∴tan20°＋tan40°＋3tan20°tan40°＝ 3.8．关于x 的方程sin x ＋3cos x －a ＝0有实数解，则实数a 的范围是( )A ．[－2,2]B ．(－2,2)C ．(－2,0)D ．(0,2) 答案：A解析：sin x ＋3cos x －a ＝0，∴a ＝sin x ＋3cos x＝2⎝⎛⎭⎫12sin x ＋32cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，－1≤sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3≤1，∴－2≤a ≤2. 9．若α，β为锐角，sin α＝2 55，sin(α＋β)＝35，则cos β等于( )A.2 55B.2 525C.2 55或2 525 D ．－2 525答案：B解析：cos β＝cos[(α＋β)－α] ＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α，∵α为锐角cos α＝1－2025＝55， ∴sin(α＋β)＝35＜sin α，∴α＋β＞π2.∴cos(α＋β)＝－ 1－925＝－45，∴cos β＝－45×55＋2 55×35＝2 525.10．函数y ＝sin x 2＋3cos x2的图象的一条对称轴方程为( )A ．x ＝113πB ．x ＝53πC ．x ＝－53πD ．x ＝－π3答案：C解析：y ＝sin x 2＋3cos x2＝2sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π3， 又f ⎝⎛⎭⎫－53π＝2sin ⎝⎛⎭⎫－56π＋π3 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫－π2＝－2， ∴x ＝－53π为函数的一条对称轴．11．已知θ为第三象限角，若sin 4θ＋cos 4θ＝59，则sin2θ等于( )A.2 23 B ．－2 23C.23 D ．－23 答案：A解析：由sin 4θ＋cos 4θ＝(sin 2θ＋cos 2θ)2－2sin 2θcos 2θ＝59，知sin 2θcos 2θ＝29，又θ为第三象限角，∴sin θ·cos θ＝23，sin2θ＝2 23. 12．设动直线x ＝a 与函数f (x )＝2sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋x 和g (x )＝3cos2x 的图象分别交于M ，N 两点，则|MN |的最大值为( ) A. 2 B. 3 C ．2 D ．3 答案：D解析：f (x )＝1－cos ⎝⎛⎭⎫π2＋2x ＝1＋sin2x .|MN |＝|f (a )－g (a )|＝|1＋sin2a －3cos2a |＝|2sin ⎝⎛⎭⎫2a －π3＋1|≤3. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．13．cos π5cos 25π的值是________．答案：14解析：原式＝12sin π5·2sin π5cos π5·cos 2π5＝14sin π5·2sin 2π5cos 25π＝14sinπ5sin 45π＝14.14．已知sin α＝12＋cos α，且α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则cos2αsin ⎝⎛⎭⎫α－π4的值为________． 答案：－142解析：∵sin 2α＋cos 2α＝1，sin α＝12＋cos α，∴⎝⎛⎭⎫12＋cos α2＋cos 2α＝1，∴2cos 2α＋cos α－34＝0， ∴cos α＝－1±74，∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴cos α>0，∴cos α＝7－14，∴sin α＝12＋cos α＝7＋14，∴cos2αsin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝cos 2α－sin 2α22(sin α－cos α)＝－2(sin α＋cos α)＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫7＋14＋7－14＝－142. 15．已知cos α＝13，cos(α＋β)＝－13，且α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则cos(α－β)的值为________． 答案：2327解析：∵cos α＝13，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2， ∴sin α＝2 23，∴sin2α＝4 29，cos2α＝－79.又cos(α＋β)＝－13，α＋β∈(0，π)，∴sin(α＋β)＝2 23.∴cos(α－β)＝cos[2α－(α＋β)]＝cos2αcos(α＋β)＋sin2αsin(α＋β)＝⎝⎛⎭⎫－79×⎝⎛⎭⎫－13＋4 29×2 23＝2327. 16．函数f (x )＝3cos(3x －θ)－sin(3x －θ)是奇函数，则tan θ等于________． 答案：－ 3解析：∵f (x )是奇函数，∴f (0)＝0，∴3cos(－θ)－sin(－θ)＝0，∴3cos θ＋sin θ＝0，∴tan θ＝－ 3.三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(10分)已知sin α＋cos αsin α－cos α＝3，tan(α－β)＝2，求tan(β－2α)的值．解：∵sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1＝3，∴tan α＝2，∵tan(α－β)＝2，∴tan(β－α)＝－2，∴tan(β－2α)＝tan[(β－α)－α]＝tan (β－α)－tan α1＋tan (β－α)tan α＝－2－21＋(－2)×2＝43.18．(12分)已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，|a －b |＝2 55，求cos(α－β)的值．解：∵a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)， ∴a －b ＝(cos α－cos β，sin α－sin β)， ∴|a －b |＝(cos α－cos β)2＋(sin α－sin β)2＝2－2cos (α－β)＝2 55，∴cos(α－β)＝35.19．(12分)已知函数f (x )＝－2 3sin 2x ＋sin2x ＋ 3.(1)求函数f (x )的最小正周期和最小值；(2)在给出的直角坐标系中，画出函数y ＝f (x )在区间[0，π]上的图象． 解：(1)f (x )＝3(1－2sin 2x )＋sin2x＝sin2x ＋3cos2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3， 所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π，最小值为－2.(2)列表：x 0 π12 π3 7π12 5π6π 2x ＋π3 π3 π2 π 3π2 2π 7π3f (x ) 3 2 0 －2 0 320．(12分)已知向量a ＝(sin θ，－2)与b ＝(1，cos θ)互相垂直，其中θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2. (1)求sin θ和cos θ的值；(2)若sin(θ－φ)＝1010，0<φ<π2，求cos φ的值．解：(1)∵a ⊥b ，∴sin θ×1＋(－2)×cos θ＝0⇒sin θ＝2cos θ.∵sin 2θ＋cos 2θ＝1，∴4cos 2θ＋cos 2θ＝1⇒cos 2θ＝15.∵θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴cos θ＝55，sin θ＝2 55. (2)解法一：由sin(θ－φ)＝1010得，sin θcos φ－cos θsin φ＝1010⇒sin φ＝2cos φ－22，∴sin 2φ＋cos 2φ＝5cos 2φ－2 2cos φ＋12＝1⇒5cos 2φ－2 2cos φ－12＝0.解得cos φ＝22或cos φ＝－210，∵0<φ<π2，∴cos φ＝22.解法二：∵0<θ，φ<π2，∴－π2<θ－φ<π2.所以cos(θ－φ)＝1－sin 2(θ－φ)＝31010. 故cos φ＝cos[(θ－(θ－φ)]＝cos θcos(θ－φ)＋sin θsin(θ－φ)＝55×3 1010＋2 55×1010＝22. 21．(12分)已知函数f (x )＝2sin x ＋2cos(x －π)． (1)求函数f (x )的最小正周期和值域；(2)若函数f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫α，65，π4<α<3π4，求f ⎝⎛⎭⎫π4＋α的值． 解：(1)由题意得，f (x )＝2sin x ＋2cos(x －π)＝2sin x －2cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4，因为－1≤sin ⎝⎛⎭⎫x －π4≤1，所以函数f (x )的值域为[－2,2]，函数f (x )的周期为2π. (2)因为函数f (x )过点⎝⎛⎭⎫α，65， 所以f (α)＝65⇒2sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝65⇒ sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝35，因为π4<α<3π4， 所以0<α－π4<π2⇒cos ⎝⎛⎭⎫α－π4>0⇒cos ⎝⎛⎭⎫α－π4＝1－sin 2⎝⎛⎭⎫α－π4＝45， 所以f ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝2sin α＝2sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α－π4＋π4 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫α－π4cos π4＋2cos ⎝⎛⎭⎫α－π4sin π4⇒f ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝725.22．(12分)在△ABC 中，f (B )＝4cos B ·sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋B 2＋3cos2B －2cos B . (1)若f (B )＝2，求角B ；(2)若f (B )－m >2恒成立，求实数m 的取值范围．解：(1)f (B )＝4cos B ·1－cos ⎝⎛⎭⎫π2＋B 2＋3cos2B －2cos B ＝2cos B (1＋sin B )＋3cos2B －2cos B＝sin2B ＋3cos2B ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2B ＋π3. ∵f (B )＝2，∴2sin ⎝⎛⎭⎫2B ＋π3＝2. ∵B 是△ABC 的内角，∴2B ＋π3＝π2，则B ＝π12.(2)若f (B )－m >2恒成立，即2sin ⎝⎛⎭⎫2B ＋π3>2＋m 恒成立． ∵0<B <π，∴π3<2B ＋π3<73π，∴2sin ⎝⎛⎭⎫2B ＋π3∈[－2,2]， ∴2＋m <－2，即m <－4.。
人教A版数学必修4第三章测试题(一)
高中数学学习材料 （灿若寒星 精心整理制作）云南省昭通市实验中学必修4第三章测试题（一）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．0195sin )15cos(+-的值为（ ）A ．22 B ．22-C ．－26 D ．26 2．075sin 30sin 15sin 的值等于（ ）A ．43 B ．83 C ．81 D ．41 3．)12sin 12)(cos 12sin12(cosππππ+-的值等于（ ） A ．23-B ．21-C ．21 D ．23 4．已知),2(ππθ∈，53sin =θ，则θ2tan 的值是（ ） A ．247 B ． 247- C ．724 D ．724-5．若71tan =α，43tan =β，则)tan(βα+等于（ ）A ．33 B ．1 C ．3 D ．33-6．设)2,0(πα∈，若53sin =α，则)4cos(2πα+等于 （ ）A ．57 B ．51 C ．－57 D ．51-7．已知21tan tan =βα，4)tan(=+βα，则βαtan tan +等于（ ） A ．2B ．1C ．21D ．48．sin17°sin223°＋sin73°sin47°等于（ ）A ．－21B ．21 C ．－23 D ．23 9．已知ββαβααsin ,,,1010)sin(,55sin 则均为锐角-=-=，等于 （ ） A ．552 B ．53 C ．22 D ．2110．已知21cos -=α，23sin -=β，),2(ππα∈，)2,23(ππβ∈，则)sin(βα+的值是（ ）A ．23B ．23-C ．－1D ．011．已知52)tan(=+βα，41)4tan(=-πβ，那么)4tan(πα+等于（ ） A ．1613B ．223C ．2213D ．16312．080cos 40cos 20cos 的值等于（ ） A ．161B ．21 C ．81 D ．41 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
高一数学必修4第三章综合检测题
第三章综合检测题一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分)1．sin 2π12－cos 2π12的值为( C ) A ．－12 B.12 C ．－32 D.32[解析] 原式＝－(cos 2π12－sin 2π12)＝－cos π6＝－32.2．函数f (x )＝sin2x －cos2x 的最小正周期是( B ) A.π23 B ．π C ．2π D ．4π [解析] f (x )＝sin2x －cos2x ＝2sin(2x －π4)，故T ＝2π2＝π.3．已知cos θ＝13，θ∈(0，π)，则cos(3π2＋2θ)＝( C )A ．－429B ．－79 C.429 D.79[解析] cos(3π2＋2θ)＝sin2θ＝2sin θcos θ＝2×223×13＝429.4．若tan α＝3，tan β＝43，则tan(α－β)等于( D )A ．－3B ．－13C ．3 D.13[解析] tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝3－431＋3×43＝13.5．cos 275°＋cos 215°＋cos75°·cos15°的值是( A ) A.54 B.62 C.32 D ．1＋23[解析] 原式＝sin 215°＋cos 215°＋sin15°cos15°＝1＋12sin30°＝54.6．y ＝cos 2x －sin 2x ＋2sin x cos x 的最小值是( B ) A. 2 B ．－ 2 C ．2 D ．－2[解析] y ＝cos2x ＋sin2x ＝2sin(2x ＋π4)，∴y max ＝－ 2.7．若tan α＝2，tan(β－α)＝3，则tan(β－2α)＝( D ) A ．－1 B ．－15 C.57 D.17[解析] tan(β－2α)＝tan[(β－α)－α]＝tan β－α－tan α1＋tan β－αtan α＝3－21＋6＝17. 8．已知点P (cos α，sin α)，Q (cos β，sin β)，则|PQ →|的最大值是(B ) A. 2 B ．2 C ．4 D.22[解析] PQ →＝(cos β－cos α，sin β－sin α)，则|PQ →|＝cos β－cos α2＋sin β－sin α2＝2－2cos α－β，故|PQ →|的最大值为2.9．函数y ＝cos2x ＋sin2xcos2x －sin2x的最小正周期为( C )A ．2πB ．π C.π2 D.π4[解析] y ＝1＋tan2x 1－tan2x ＝tan(2x ＋π4)，∴T ＝π2.10．若函数f (x )＝sin 2x －12(x ∈R )，则f (x )是( D )A ．最小正周期为π2的奇函数 B ．最小正周期为π的奇函数C ．最小正周期为2π的偶函数D ．最小正周期为π的偶函数[解析] f (x )＝sin 2x －12＝－12(1－2sin 2x )＝－12cos2x ，∴f (x )的周期为π的偶函数．11．y ＝sin(2x －π3)－sin2x 的一个单调递增区间是( B )A ．[－π6，π3]B ．[π12，712π]C ．[512π，1312π]D ．[π3，5π6][解析] y ＝sin(2x －π3)－sin2x ＝sin2x cos π3－cos2x sin π3－sin2x ＝－(sin2x cos π3＋cos2x sin π3)＝－sin(2x ＋π3)，其增区间是函数y ＝sin(2x＋π3)的减区间，即2k π＋π2≤2x ＋π3≤2k π＋3π2，∴k π＋π12≤x ≤k π＋7π12，当k ＝0时，x ∈[π12，7π12]． 12．已知sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝13，则log5(tan αtan β)2等于( C ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5[解析] 由sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝13得⎩⎪⎨⎪⎧sin αcos β＋cos αsin β＝12sin αcos β－cos αsin β＝13，∴⎩⎪⎨⎪⎧sin αcos β＝512cos αsin β＝112，∴tan αtan β＝5，∴log5(tan αtan β)2＝log 552＝4.二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分) 13．(1＋tan17°)(1＋tan28°)＝___2_____.[解析] 原式＝1＋tan17°＋tan28°＋tan17°·tan28°，又tan(17°＋28°)＝tan17°＋tan28°1－tan17°·tan28°＝tan45°＝1，∴tan17°＋tan28°＝1－tan17°·tan28°，代入原式可得结果为2. 14．(2012·全国高考江苏卷)设α为锐角，若cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π1250[解析] ∵α为锐角，∴π6<α＋π6<2π3，∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35； ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝2425，cos(2α＋π3)＝cos(α＋π6)2－sin 2(α＋π6)＝725∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3－π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π3cos π4－cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3sin π4＝17250.15．已知cos2α＝13，则sin 4α＋cos 4α＝___59_____.[解析] cos2α＝2cos 2α－1＝13得cos 2α＝23，由cos2α＝1－2sin 2α＝13得sin 2α＝13(或据sin 2α＋cos 2α＝1得sin 2α＝13)，代入计算可得．16．设向量a ＝(32，sin θ)，b ＝(cos θ，13)，其中θ∈(0，π2)，若a ∥b ，则θ＝___π4_____.[解析] 若a ∥b ，则sin θcos θ＝12，即2sin θcos θ＝1，∴sin2θ＝1，又θ∈(0，π2)，∴θ＝π4.三、解答题(本大题共6个小题，共70分，写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本题满分10分)已知cos α－sin α＝352，且π<α<32π，求sin2α＋2sin 2α1－tan α的值．[解析] 因为cos α－sin α＝325，所以1－2sin αcos α＝1825，所以2sin αcos α＝725.又α∈(π，3π2)，故sin α＋cos α＝－1＋2sin αcos α＝－425，所以sin2α＋2sin 2α1－tan α＝2sin αcos α＋2sin 2αcos αcos α－sin α＝2sin αcos αcos α＋sin αcos α－sin α＝725×－425325＝－2875.18．(本题满分12分)设x ∈[0，π3]，求函数y ＝cos(2x －π3)＋2sin(x －π6)的最值．[解析] y ＝cos(2x －π3)＋2sin(x －π6)＝cos2(x －π6)＋2sin(x －π6)＝1－2sin 2(x －π6)＋2sin(x －π6)＝－2[sin(x －π6)－12]2＋32.∵x ∈[0，π3]，∴x －π6∈[－π6，π6]．∴sin(x －π6)∈[－12，12]，∴y max ＝32，y min ＝－12. 19．(本题满分12分)已知tan 2θ＝2tan 2α＋1，求证：cos2θ＋sin 2α＝0. [证明] cos2θ＋sin 2α＝cos 2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＋sin 2α＝1－tan 2θ1＋tan 2θ＋sin 2α＝－2tan 2α1＋2tan 2α＋1＋sin 2α＝－tan 2α1＋tan 2α＋sin 2α＝－sin 2αcos 2α＋sin 2α＋sin 2α＝－sin 2α＋sin 2α＝0.20．(本题满分12分)已知向量a ＝(cos 3x 2，sin 3x 2)，b ＝(cos x 2，－sin x2)，c ＝(3－1)，其中x ∈R .(1)当a ⊥b 时，求x 值的集合； (2)求|a －c |的最大值．[解析] (1)由a ⊥b 得a ·b ＝0，即cos 3x 2cos x 2－sin 3x 2sin x2＝0，则cos2x＝0，得x ＝k π2＋π4(k ∈Z )，∴x 值的集合是{x |x ＝k π2＋π4，k ∈Z }．(2)|a －c |2＝(cos 3x 2－3)2＋(sin 3x 2＋1)2＝cos 23x 2－23cos 3x 2＋3＋sin23x 2＋2sin 3x2＋1＝5＋2sin 3x 2－23cos 3x 2＝5＋4sin(3x 2－π3)，则|a －c |2的最大值为9.∴|a－c |的最大值为3.21．设函数f (x )＝22cos(2x ＋π4)＋sin 2x(Ⅰ)求函数f (x )的最小正周期；(Ⅱ)设函数g (x )对任意x ∈R ，有g (x ＋π2)＝g (x )，且当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，g (x )＝12－f (x )；求函数g (x )在[－π，0]上的解析式。
人教数学必修四第三章单元练习附答案
必修四第三章一、选择题：1．Sin165º等于〔〕A．B．C．D．2．Sin14ºcos16º+sin76ºcos74º值是〔〕A．B．C．D．-3．sin-cos值是．〔〕A．0 B．—C．D． 2 sin4.△ABC中，假设2cosBsinA=sinC 那么△ABC形状一定是〔〕A．等腰直角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等边三角形5．函数y=sinx+cosx+2最小值是〔〕A．2-B．2+C．0 D．16．cos〔α+β〕cos〔α－β〕=，那么cos2α－sin2β值为〔〕A．－B．－C．D．7．在△ABC中，假设sin A sin B=cos2，那么△ABC是〔〕A．等边三角形B．等腰三角形C．不等边三角形D．直角三角形8．sinα+sinβ=〔cosβ－cosα〕，且α∈〔0，π〕，β∈〔0，π〕，那么α－β等于〔〕A．－B．－C．D．9．sin〔α+β〕sin〔β－α〕=m，那么cos2α－cos2β等于〔〕A．－m B．m C．－4mD．4m二、填空题．10．=__________________________．11．如果cos= -，那么cos=________．12．为锐角，且cos=cos = -, 那么cos=_________．13．tan20º+tan40º+tan20ºtan40º值是____________．14．函数y=cosx+cos(x+)最大值是__________．三、解答题．15．假设是同一三角形两个内角，cos= - ,cos(=-.求cot值．16．化简．17．求证：2sin〔－x〕·sin〔+x〕=cos2x．18．求证：4sinθ·cos2=2sinθ+sin2θ．19．设25sin2x+sin x－24=0，x是第二象限角，求cos值．20．sinα=，sin〔α+β〕=，α与β均为锐角，求cos．参考答案一、选择题：6．C 7．B 8．D 9．B二、填空题：10：11：12：13：14：三、解答题：15、解：∵是同一三角形两个内角∴ 0<<∵cos(=-∴sin(==∵cos= - ∴sin==∴sin= sin(=sin(cos- cos(sin=∴cos==∴tan==∴cot=16．解：原式==tanθ．17．证明：左边=2sin〔－x〕·sin〔+x〕=2sin〔－x〕·cos〔－x〕=sin〔－2x〕=cos2x18．证明：左边=4sinθ·cos2=2sinθ·2cos2=2sinθ·〔1+cosθ〕=2sinθ+2sinθcosθ=2sinθ+sin2θ=右边．19．解：因为25sin2x+sin x－24=0，所以sin x=或sin x=－1．又因为x是第二象限角，所以sin x=，cos x=－．又是第一或第三象限角，从而cos=±=±．20．解：∵0＜α＜，∴cosα=．又∵0＜α＜，0＜β＜，∴0＜α+β＜π．假设０＜α+β＜，∵sin〔α+β〕＜sinα，∴α+β＜α不可能．故＜α+β＜π．∴cos〔α+β〕=－．∴cosβ=cos［〔α+β〕－α］=cos〔α+β〕cosα+sin〔α+β〕sinα=－··，∵0＜β＜，∴0＜＜．故cos．。
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C．第三象限D．第四象限
6、化简 ( )
17、细胞学说的建立被誉为19世纪自然科学的三大发现之一。A. B. C. D.
10、由于煤、石油等化石燃料消耗的急剧增加，产生了大量的二氧化碳，使空气中的二氧化碳含量不断增加，导致全球气候变暖、土壤沙漠化、大陆和两极冰川融化，给全球环境造成了巨大的压力。7、已知 ，则 ( )
三、解答题（共44ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ）
4、科学家研究表明昆虫头上的触角就是它们的“鼻子”，能分辨出各种气味，比人的鼻子灵敏得多。15、(10分)已知 ，求 的值
13、1663年，英国科学家罗伯特.胡克用自制的复合显微镜观察一块软木薄片的结构，发现它们看上去像一间间长方形的小房间，就把它命名为细胞。16、(12分)（1）已知 求 的值；
A.
B.答：水分和氧气是使铁容易生锈的原因。 B. C. D.
1、填空题（每题4分，共16分）
11、 ＝____________;
2、1969年7月，美国的“阿波罗11号”载人飞船成功地在月球上着陆。12、
13、已知 是方程 的两根，且. 都是锐角，则 ___________;
6、蚜虫是黄色的，在植物的嫩枝上吸食汁液，每个蚜虫只有针眼般大小，在10倍放大镜下我们可以看清它们的肢体。14、已知 ，那么 ；.
1、 的值是( )
A. B. C. D.
2、已知 都是锐角， 则 ( )
A. B. C. D.
3、已知 ，那么 ( )
A. B. C. D.
4、已知 则 ( )
六年级下册科学复习资料A． B． C． D．
预计未来20年，全球人均供水量还将减少1/3。5、已知 ，那么角 的终边所在的象限为( )
A．第一象限B．第二象限
A. B. C. D.
4、小苏打和白醋混合后，产生了一种新物质——二氧化碳气体，这种气体能使燃着的火焰熄灭，这样的变化属于化学变化。8、在 中，若 ，,则 必是( )
A、直角三角形B、钝角三角形
C、锐角三角形D、等边三角形
9、已知 中， ，则 ( )
A. B. C. D.
10、已知 则满足此条件的 的一个值是( )