易拉罐尺寸的最优设计方案
易拉罐形状和尺寸的最优设计
易拉罐形状和尺寸的最优设计（06全国一等奖）摘要任何企业都希望能投入最少的成本以获得最大的利润，我们只要稍加留意就会发现销量很大的饮料的饮料罐（即易拉罐）的形状和尺寸几乎都是一样的，这并非偶然，应该是某种意义下的最优设计.本文以饮料量为355毫升的易拉罐为例来研究易拉罐的形状和尺寸的最优设计问题，解决了以下五个问题.对于问题一，我们测得易拉罐顶盖直径为5.9cm，顶盖到底面的高为12cm，侧面的高为12.3cm，中间胖的部分的直径为6.6cm、周长为20.8cm，并在网上查得侧面与顶盖、底面厚度之比为1:2.对于问题二，本文以易拉罐所耗材料的费用达到最小来考虑，由于易拉罐各部分单位面积的价格难以确定，本文通过各部分单位面积的价格与相应厚度的关系，将目标函数由求所耗材料的最小费用转化为求所耗材料的最小体积，罐的容积是一定的（355毫升），即为目标函数的约束条件，所以我们建立了一个非线性优化模型.根据拉格朗日乘数法并用Matlab软件编程，求得此时易拉罐的最优设计为半径和高之比是1:4，其结果可以合理地说明我们所测量的易拉罐的形状和尺寸.对于问题三，本文运用问题二的方法建立了一个非线性优化模型，根据拉格朗日乘数法并用Matlab 软件编程，求得此时易拉罐的最优设计为——上面部分为圆锥体（下底半径为3.45cm，高为3.09cm）、下面部分为圆柱体（高为8.45cm），其结果与本文所测量的易拉罐的形状和尺寸并不符合.然后本文通过合理性和可行性分析，发现本文求得的是耗用材料最省的最优设计，但从美感、物理、力学、工程或材料方面考虑，与实际的设计相比实用性稍差.对于问题四，本文从耗材上的节省，以及外形的美观和可行性等方面设计了自己的关于易拉罐形状的最优设计——正椭圆柱体的易拉罐.运用问题二的方法建立了一个非线性规划模型，并通过Matlab 软件编程求得了比较合理的尺寸，求得：椭圆柱体上下底面的半径为 1.8h cm=，中间=，高为11.6r cm最胖部分的半径为3.6cm.另外，本文从不同的角度分析了这一设计的优缺点.对于问题五，我们根据做本题以及以前学习和实践数学建模的亲身体验，写了一篇短文，阐述了什么是数学建模、它的关键步骤，以及难点等.最后，本文对问题二、问题三、问题四的模型及结果进行了分析和评价.此外，对于问题四，我们求出了易拉罐为正椭圆柱体时的最优设计.用同样的方法，我们可以解决易拉罐为其它形状时的最优设计,如易拉罐的中心纵断面为双曲线的旋转体.另外,从消费者购买欲望的角度分析，最优设计还要考虑消费群体不同需求的偏好，不同的消费群体对产品的偏好是不同的.关键词：易拉罐非线性优化模型拉格朗日乘数法正椭圆柱问题重述我们只要稍加留意就会发现销量很大的饮料 (例如饮料量为355毫升的可口可乐、青岛啤酒等) 的饮料罐(即易拉罐)的形状和尺寸几乎都是一样的.看来，这并非偶然，这应该是某种意义下的最优设计.当然，对于单个的易拉罐来说，这种最优设计可以节省的钱可能是很有限的，但是如果是生产几亿，甚至几十亿个易拉罐的话，可以节约的钱就很可观了.以饮料量为355毫升的易拉罐为例来研究易拉罐的形状和尺寸的最优设计问题，现需解决五个问题，具体如下：问题一：取一个饮料量为355毫升的易拉罐，例如355毫升的可口可乐饮料罐，测量验证模型所需要的数据，例如易拉罐各部分的直径、高度，厚度等，并把数据列表加以说明；如果数据不是自己测量得到的，必须注明出处.问题二：⑴易拉罐是一个正圆柱体，什么是它的最优设计？⑵其结果是否可以合理地说明你们所测量的易拉罐的形状和尺寸，例如说，半径和高之比，等等.问题三：⑴易拉罐的中心纵断面如下图所示，即上面部分是一个正圆台，下面部分是一个正圆柱体.什么是它的最优设计？⑵其结果是否可以合理地说明你们所测量的易拉罐的形状和尺寸.问题四：通过对所测量的易拉罐的洞察和想象力，做出自己的关于易拉罐形状和尺寸的最优设计.问题五用做本题以及以前学习和实践数学建模的亲身体验，写一篇短文(不超过1000字，论文中必须包括这篇短文)，阐述什么是数学建模、它的关键步骤，以及难点.问题分析任何企业都希望能投入最少的成本以获得最大的利润，要使易拉罐的设计达到最优即所耗材料费用应最省，因此我们可以将所耗材料费用看成是我们所要求的目标函数.材料费用通常是以单位面积来衡量的，从制造工艺的角度来看，侧面和顶盖、底面的造价是不同的，通常底面造价比侧面造价要高，这主要取决于底面比侧面厚度要大，因为如果底面和侧面一样薄，就很难将易拉罐拉开；如果侧面和底面一样厚，则浪费材料. 易拉罐总的费用应为顶盖、底面和侧面的面积乘以各自相应单位面积的造价，而底面和侧面的造价与其相应的厚度有关，厚度越大造价越高，反之，厚度越小造价越低.又表面积乘以厚度为体积，从而我们可以将目标函数由求所耗材料的最小费用转化为求所耗材料的最小体积.我们在全文数据库中查得：铝制易拉罐的罐体采用的生产工艺是一次成型的，它并不要从一块大的铝片上裁下材料[1].所以，我们不用考虑余料的问题，只需考虑现在所耗的材料.罐的容积是一定的（355毫升），即为目标函数的约束条件.综合以上分析，对于问题二、问题三、问题四，我们可以建立一个以易拉罐所耗材料体积为目标函数，罐的容积为约束条件建立一个非线性优化模型.模型建立与求解1、对于问题一易拉罐的中心纵断面如下图所示，记为图①：图① 易拉罐的中心纵断面我们利用直尺、一条窄的无伸缩的薄纸条和游标卡尺测得：易拉罐侧面的高h 为12.3cm ，顶盖到底面的高1h 为12cm ，中间胖的部分的高2h 为10.2cm ，顶盖直径1d 为5.9cm ，中间胖的部分的直径2d 为6.6cm 、周长为20.8cm .在网上查得资料，侧面的厚度与顶盖、底面的厚度之比为1:2[2].⑴ 模型建立当易拉罐是一个正圆柱体时，图形可用下图表示，记为图②（说明：侧面厚度和底面厚度应该是很薄的，为了方便图形的标识，就将其实际厚度扩大了很多倍）.底面厚度半径r图② 易拉罐的中心纵断面设易拉罐的侧面厚度为d ，底面外侧圆半径为r ，罐高为h ，罐的容积为V ，侧面所用材料的体积为V 侧，顶盖和底面所用材料的体积之和为V 底，所用材料体积为V 材.其中，d 和V 是固定参数，r 和h 是自变量，V 材为因变量.由第一问在网上查到的资料“侧面的厚度与顶盖、底面的厚度之比为1:2”，得底面厚度为2d ； 侧面所用材料的体积为：22[()]V r r d h ππ=--侧；顶盖和底面所用材料的体积为：22()2V r d d π=⨯-⨯底；222[()]2()2V V V r r d h r d dπππ ∴=+ =--+-⨯侧材底且2()(22)V r d h d π=-⨯-⨯综上，我们可以建立以下的数学模型：222min (,)[()]2()2(,)355..0,0V r h r r d h r d dV r h s t r h πππ =--+-⨯=⎧ ⎨>>⎩材 ┈┈┈┈┈┈┈模型①⑵ 模型求解根据我们所建立的模型，即要在罐的容积一定的情况下求使所用材料体积最小的半径和高之比.由模型可以看出，这是一个多元函数条件极值问题，可以由拉格朗日乘数法[3]来求解.引入参数λ，函数(,)(,)355r h V r h ϕ=-，令(,,)(,)(,)L r h V r h r h λλϕ=+材要求L 的极值，即其对r h λ、、的一阶偏导数为零，则：00(,)0V L rr r V L hh h L r h ϕλϕλϕλ∂⎧∂∂=+=⎪∂∂∂⎪∂⎪∂∂=+=⎨∂∂∂⎪∂⎪==⎪∂⎩材材 通过在Matlab 软件下编程（程序见附录中的程序1），求得：223:1:43.0460.4313(3.046)0.8626(3.046)0.431312.18.r h r d h d d d d d ==+=⨯+-⨯++⨯+；；即易拉罐是正圆柱体时的最优设计为：半径和高之比是1:4.我们所测量的易拉罐的顶盖直径为：5.9cm ，从顶盖到底面的高为：12cm ，从而我们所测的易拉罐的半径和高之比为：(5.92):121:4.0678÷≈因此，我们根据模型所求得的易拉罐的半径与我们测量得到的半径相差不大，且易拉罐的半径与高之比和我们所测的易拉罐的半径与高之比也基本吻合.⑶ 验证:1:4r h =使V 材达到最小要验证:1:4r h =使V 材达到最小，我们只需验证r 使V 材达到最小.由2()(22)V r d h d π=-⨯-⨯,可得:24()V h d r d π=+- 2222[()]42()2()V V r r d d r d d r d ππππ∴=--⨯++-⨯-材 计算''V 材,通过在Matlab 软件下编程（程序见附录中的程序2），求得:2''75.3865d+24.7500d V =材，其中0d >，故''0V >材.又由于在前面我们已经求得 3.046r d =+，所以，这个 r 的确使V 材 达到局部最小, 因为临界点只有一个, 故也使V 材达到全局最小.3、对于问题三⑴ 模型建立当易拉罐的上面部分是圆台、下面部分是正圆柱体时，图形可用下图表示，记为图③.半径高度1h半径2r图③ 易拉罐的中心纵断面设圆台上底面半径为1r ，下底面半径为2r ，圆台的高为1h ，圆柱体的高为2h ，侧面（包括圆台侧面和圆柱体侧面）厚度为d ，罐的容积为V ，侧面（包括圆台侧面和圆柱体侧面）所用材料的体积为V 侧，顶盖和底面所用材料的体积之和为V 底，所用材料体积为V 材.其中，d 和V 是固定参数，1r 、2r 、1h 和2h 是自变量，V 材为因变量.由第一问在网上查到的资料“侧面的厚度与顶盖、底面的厚度之比为1:2”，得底面厚度为2d ； 又由于圆台的表面积和体积可以表示如下：圆台的表面积22()S r rl Rl R π=+++圆台表，圆台的体积'2211()()33V S S h r rR R h π=+=++圆台（其中，r R 、分别为圆台上底、下底半径，h 为圆台的高，l 为圆台的母线）可得：侧面所用材料的体积为：2212222[([()]V r r d r r d h πππ=+⨯+--侧；顶盖和底面所用材料的体积为：2212[()]2V r r d d ππ=+-⨯底；1212(,,,)V r r h h V V ∴=+侧材底 且22211212221(2)[()()]()(2)3V h d r r d r r d r d h d ππ=-+-+-+-⨯-综上，我们可以建立以下的数学模型：121212121212min (,,,)(,,,)355..0,0,0,0V r r h h V r r h h s t r r h h =⎧ ⎨>>>>⎩材┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈模型③ ⑵ 模型求解根据我们所建立的模型，即要在罐的容积一定的情况下求使所用材料体积最小的半径和高之比.由模型可以看出，这是一个多元函数条件极值问题，可以用拉格朗日乘数法来解决这一问题. 引入参数λ，函数12121212(,,,)(,,,)355r r h h V r r h h ϕ=-，令121212121212(,,,,)(,,,)[(,,,)355]L r r h h V r r h h V r r h h λλ=+-材要求L 的极值，即其对1212,,,,r r h h λ的一阶偏导数为零，则：12121112221112220000(,,,)0V L r r r V L r r r V L h h h V L h h h L r r h h ϕλϕλϕλϕλϕλ∂⎧∂∂=+=⎪∂∂∂⎪⎪∂∂∂⎪=+=∂∂∂⎪⎪∂∂∂⎪=+=⎨∂∂∂⎪⎪∂∂∂⎪=+=∂∂∂⎪⎪∂⎪==∂⎪⎩材材材材 通过在Matlab 软件下编程（程序见附录中的程序3），求得两组可行解，具体如下所示： 1 4.211820119.10820r r h h ====、、、 ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈解①12120 3.4527 3.08848.4498r r h h ====、、、 ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈解②根据解①可以知道易拉罐是一个倒立的圆锥，显然不符合实际情况，故舍去这组解，我们取解②. 我们对结果保留两位小数，即圆台上底面半径为0，圆台的高为3.09cm ，圆台下底面半径也即圆柱体底面半径为3.45cm ，圆柱体的高为8.45cm ，此时易拉罐上面部分是一个圆锥体.⑶ 模型结果分析① 与实际测量的数据进行比较我们所测的顶盖直径为5.9cm ，中间胖的部分的直径为6.6cm ，侧面的高为12.3cm .根据我们的模型算得的结果与实际测的结果并不符合.② 合理性分析从耗用材料方面来说，我们建立的模型是耗用材料最省的最优设计.我们所求得的结果是满足材料最省的，由我们的模型在Matlab 下编程求得易拉罐耗用的材料体积为308.46d （d 为侧面厚度），而根据我们实际测量的数据求得易拉罐耗用的材料体积为357.45d ，故我们求得的易拉罐的最优设计比实际中的易拉罐耗用材料要省.③ 可行性分析根据我们求得的结果，易拉罐上面部分不是圆台而是一个圆锥体，这明显不符合实际，因为易拉罐的上顶面要留有拉环的位置.为什么我们求得的最优设计不符合实际的情况？主要原因有以下几点：第一，从美学角度上来讲.任何产品的设计都要注意包装要给人以美感，设计时要考虑消费者的审美习惯，使消费者能从包装中获得美的享受，并产生购买欲望.[4]我们根据实际测量的数据，发现易拉罐胖的部分的直径与胖的部分的高的比为：6.60.647110.2≈，很接近黄金分割率0.618.黄金分割率可以衡量平面图形美与不美，易拉罐下面部分的圆柱体的轴截面是矩形，如果它的轴截面的宽长之比满足黄金分割率，看起来就比较美观，说明这种设计并不是巧合，而是从外观的美感上作了研究的.而根据我们模型计算的结果，易拉罐胖的部分的直径与胖的部分的高的比为：21222 3.45270.59853.08848.4498r h h ⨯=≈++，这也很接近黄金分割率，满足了我们设计上美感的要求，从这一点上也可以说明我们的模型是有一定合理性的.但我们求的拉罐上面部分是一个圆锥体，从严格意义的美感上来讲不符合实际的情况.第二，从物理、力学、工程或材料方面考虑.[5]底面是上拱的底面，顶盖实际上也不是平面的，略有上拱，从顶盖到胖的部分的斜率为 0.3, 这些要求也许保证了和饮料罐的薄的部分的焊接(粘合) 很牢固、耐压.所有这些都是物理、力学或材料方面的要求，必须要有有关方面的实际工作者或专家来确定.而我们的模型考虑的易拉罐的底面和顶部都是平面的，并且没有考虑坡度，实用性稍差.4、对于问题四⑴ 模型分析根据几何学原理，同体积的几何形状，以球体的表面积最小，也就是说容积一定时，做成球形时所耗用的材料最省.单以材料最省为目标的话，易拉罐的最优设计就是球形.但是考虑实际情况，球形不容易运输、不能静止放置等等有太多的缺点，故我们舍去这种想法.根据球形和放置方便等情况，再考虑对称美，我们想到把球体上下各切掉相等的一部分，这样可以解决放置问题，用图形表示如下所示，记为图④：图④ 易拉罐的中心纵断面根据图形，我们可以看出来它的形状是矮胖形，十分不美观，且很不方便握拿.由以上的分析，我们就尝试把易拉罐做如下图所示的形状，记为图⑤：图⑤ 易拉罐的中心纵断面也就是一个椭圆体上下部分各切掉相等的一部分.再考虑美观，我们引入黄金分割，即我们可以让易拉罐的宽（这里我们取易拉罐最胖部分的直径，即为椭圆柱体的中心纵断面的短轴长）跟易拉罐的高之比等于黄金分割率.⑵ 模型建立设侧面厚度为d ，底面外侧圆半径为r ，罐高为h ，罐的容积为V ，侧面积为S ，侧面的高为h ，侧面所用材料的体积为V 侧，顶盖和底面所用材料的体积之和为V 底，所用材料体积为V 材，椭圆柱体的中心纵断面的长半轴为a 、短半轴为b .其中，d 和V 是固定参数，r 、h 、a 、b 是自变量，V 材为因变量.由第一问在网上查到的资料“侧面的厚度与顶盖、底面的厚度之比为1:2”，得底面厚度为2d ；我们又利用黄金分割的思想，令易拉罐的宽（这里我们取易拉罐中间最大值）与易拉罐的高之比等于黄金分割率，即：212b h =. 为了方便求椭圆柱的侧面积，我们以椭圆柱体的中心纵断面的长轴为x 轴、短轴为y 轴、以长轴和短轴的交点为原点建立直角坐标系，用下图表示,记为图⑥：a - x - 0 x a x 轴b -图⑥侧面积()xx S A x dx -=⎰ （其中，()A x 表示过点x 且垂直于x 轴的截面的周长）罐的容积()xx V B x dx -=⎰ （其中，()B x 表示过点x 且垂直于x 轴的截面面积）侧面所用材料的体积为V S d =⨯侧；顶盖和底面所用材料的体积为：22()2V r d d π=⨯-⨯底；(,,)V r a b V V ∴=+侧材底且355(V =毫升）综上，我们可以建立以下的数学模型：min (,,)(,)355..0,0,0V r a b V a b s t r a b =⎧ ⎨>>>⎩材 ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈模型④ ⑶ 模型求解根据模型，在Matlab 软件下编程（程序见附录中的程序4），求得五组可行解，其中有两组解可以满足我们的情况，这两组解如下：6.2 3.7121234*()a cm b cm h cm r cm s d = ====、、、、立方厘米 ┈┈┈┈┈解③6.7 3.611.6 1.8271.5*()a cm b cm h cm r cm s d =====、、、、立方厘米 ┈┈┈解④⑷ 结果分析在五组解中我们选了两组能满足我们情况的解，即解③和解④.先分析解③.单从材料最省来考虑，那么解③是比较可行的，但是我们可以看到这种情况下半径只有1cm，考虑放置问题的可行性，这种情况是不利于放置的.再分析解④.虽然就用料方面比解③那种情况要多一些，但是它的底面半径有1.8cm，应该是比较有利于放置的.所以我们认为第二种情况更为可行，于是我们取第二种情况的数据.另外，根据我们所得到的五组实数解，不难发现长轴长与短轴长相差越远所用的材料越多；反之，它们相差越小时，所用的材料越少.那么当长轴与短轴长度相等时，所耗用的材料应该是最少的，这也就是当易拉罐是球形时,所用的材料是最小的，从而也验证了此结果的合理性.5、对于问题五对数学建模的体会及认识我们的日常生活中无时无处不存在数学建模问题，例如：如何有效控制病毒的传播、如何进行生产使获利最大、如何节约水资源等等都离不开数学建模.数学建模让我们切身感受到了科学知识提高生产效率、改善生活质量的伟大力量，提高了我们的科研能力和团队合作精神.通过实践数学建模，我们对什么是数学建模、它的关键步骤以及难点有了比较深刻的认识.一、什么是数学建模？数学建模是运用科学方法，通过观察和想象，对实际问题进行抽象、简化，反复探索、逐步完善，直到构造出一个能够用于分析、研究和解决实际问题的数学模型.因此，数学建模不仅是一种定量解决实际问题的科学方法，而且还是一种从无到有的创新活动过程.二、数学建模的关键步骤数学建模的基本步骤可以用下图来表示，记为图⑦：否否图⑦数学建模的基本步骤图我们觉得在这7个基本步骤中关键的步骤有有以下3个：⑴模型假设模型假设是把那些反映问题本质属性的形态、量及其关系抽象出来，简化掉那些非本质的因素，使之摆脱原型的具体复杂形态，形成对建模有用的信息资源和前提条件.⑵模型建立模型建立是在模型假设的基础上，选择恰当的数学工具和构造模型的方法对其进行表征，构造出刻划实际问题的数学模型.⑶模型应用模型应用是数学建模的宗旨，也是对模型的最客观、最公正的检验.因此，一个成功的数学模型，必须根据建模的目的，将其用于分析、研究和解决实际问题，充分发挥数学模型在生产科研中的特殊作用.三、数学建模的难点我们觉得数学建模的难点有3点，具体如下：⑴怎样针对实际的问题作出合理的假设.这是建模至关重要的一步，一个实际问题往往是复杂多变的，如不经过合理的简化假设将很难转化成数学模型，即便转化成功也可能是一个复杂且难于求解的模型.⑵怎样采用合适的方法求解模型.对于较为复杂的问题，模型即使建出来但可能解不出来，所以，我们要选择合适的算法来求解模型.⑶怎样检验模型是正确合理的.如果模型不合理就没有其实用价值，就又得重新建立一个合理的模型.另外，我们觉得建一个合理的模型只依靠数学知识是远远不够的，必须对所研究问题的背景有很深入的了解，就拿本题的第三问来说，我们设计的易拉罐的确是用料最省的，可是其形状并不符合实际，这主要是我们对背景知识的了解并不够透彻，第三问不仅仅是要满足用料最省，还要从美感、物理、力学、工程或材料等方面来考虑.评价与推广对于问题二，在计算过程中我们考虑了制成易拉罐的铝片的厚度，用拉格朗日乘数法进行求解得到最优值，其误差很小，而且我们最后得出的结论具有普遍性.对于问题三，如果考虑易拉罐的厚度，在用拉格朗日乘数法进行求解时，由于所求的方程组太复杂，计算机运行时间太长，无法得到结果.根据分析，我们发现易拉罐的厚度对结果的影响不大，因此，我们在计算时可以忽略易拉罐的厚度进行近似求解，这一近似的求解误差也是非常的小.对于问题四，由于相同体积下球的表面积是最小的，根据这一条件，我们从耗用量上料的节省、美观及可行性等方面设计了自己的关于易拉罐形状的最优设计——正椭圆柱的易拉罐.以椭圆柱为模型生产易拉罐，可以使厂家的生产成本减小，但是在装运方面与现在市场上的易拉罐形状比起来相对逊色很多,从而会增加装运成本.另外,我们求出了易拉罐为椭圆柱体时的最优设计.用同样的方法，我们可以解决易拉罐为其它形状时的最优设计,如易拉罐的中心纵断面为双曲线的旋转体.从消费者购买欲望的角度分析，最优设计还要考虑消费群体不同需求的偏好，不同的消费群体对产品的偏好是不同的. 经济学总是假设人们试图得到最偏好的结果，通常，我们可以模型化这个人试图最大化什么，例如欲望、货币、效用，这样我们就把人们的决策模型化为了最优化问题.。
易拉罐形状和尺寸的最优设计
1 2 h 2 z2 a h12 2 ) dz h a (1 2 12 b b 2
h 2
2
建立数学模型三：
目标函数：
min SV
1 2 12b 2 b k
a 2 2b k h 2k1 2 2 2 2 k h 2k1 2ab 12b k h 2k1 2 2 2 b k 12b k h 2k1
2r1
1 =12b 2 b k 2
a 2 2b k h 2k1 2 2 2 2 k h 2k1 2ab 12 b k h 2k1 2 2 2 b k 12 b k h 2k1
11.210 11.141
内直径 内高 圆柱内高
d=2r=6.6-2×0.011=6.578cm h=11.210-0.034-0.035=11.141cm h2=h-h1=11.141-1.301=9.84cm
从上表的数据可以做如下假设： 1. k1=k2=3k
2. h=2d=4r
问题二求解：
模型一： 目标函数： min SV=(2πrk+πk2)×(h+k
h SV上底=SV下底=
h k1 2 h 2
2 z2 a (1 2 ) dz b
2r1
1 2 3h 2 6hk1 4k12 a k1 12 = 2 12 b
椭球的内长轴为b，内短轴为a SV=SV侧+SV上底+SV下底 侧壁.上下底厚度为k.k1
易拉罐形状和尺寸的最优设计
符号说明
H:正圆柱体易拉罐罐身的高 H’:正圆台和正圆柱体结合的易拉罐罐身的高 h1:易拉罐的圆台部分的高 h2:易拉罐的圆柱部分的高 其中：H’=h1+h2 R:易拉罐的圆柱部分的半径 r:易拉罐的圆台上底面的半径 l:易拉罐的圆台的母线长 S:制作易拉罐所需要的铝的总体积数 V: 铝制易拉罐的实际容积 w1:铝制易拉罐的顶部厚度 w2:铝制易拉罐的壁厚 w :铝制易拉罐的底部厚度
R
36.96715
l
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ32.90419
h1
24.50651
h2
75.72977
• 图形说明：最顶上 圆柱部分为旋合式 瓶口，以下部分为 瓶身，瓶子底端、 圆柱和圆台相接处 有加强折痕。
模型总结
• 问题一的测量中，我们缺少有效的测量工 具，在实际的测量过程中存在着一定的误 差，但通过对可口可乐的易拉罐（净含量 为355毫升）进行测量，得到它顶盖的直径 和从顶盖到底部的总高: 约为6厘米和12厘 米. 最大圆柱的直径约为6.6厘米。这和我们 对纯美啤酒的易拉罐测量数据相当接近。
• 问题三中，当易拉罐是由一个正圆柱体和一个圆 台所组成时，在圆台顶面半径一定的情况下，外 观看起来最为舒适且用铝量最小是它的最优设计， 得到半径和高的比值为3.417，就单单从尺寸数 据上来看，虽然它的比值仍然和真实的比值相接 近，但是与第二题中的圆柱得到的比值反而差别 更大，这证明数据出现了更大的偏差，然而我们 从形状的角度来看，就会发现此时的易拉罐和真 实的易拉罐有比较大的相似之处，所以我们认为 得到的结果能比较合理的说明所得到的测量数据。
模型求解
问题1：我们利用游标卡尺测量得到了以下结论：
总高 中间最大 直径 壁厚度 顶盖厚度 顶盖直径 底盖厚度
易拉罐形状和尺寸的最优设计方案
问题五：对易拉罐形状和尺寸的最优设计综合考虑了多方面的影响因素，并巧妙应用 拉格朗日乘数法求出了最优解析解，具有较强的实用性和推广性。
二、模型假设
模型 四个假设
1：易拉罐的 容积是一定 的；
2：所有材料 的密度都相同， 材料的价格与 其体积成正比；
3：拉环生产 成本固定， 不受易拉罐 形状和尺寸 的影响；
3
m a r1 b2 r2 c 2 r1 br2 c
图4有不同罐壁厚 度易拉罐的圆台
（3）易拉罐有不同罐壁厚度并考虑焊缝长度的情形
综合考虑两方面因素，使得易拉罐用料最少时，焊缝 长度也尽量取到最小。
由此可得 模型六：
2 2 2 2 min M 1Y 2 Z 1 r2 h m r1 r2 r1r2 r2 c h d 焊缝长度： 3 2 2 Z 2r1 1 m a r1 b r2 c r1 b r2 c 2 2r1 3 V r2 c 2 h d m a r1 b 2 r2 c 2 r1 b r2 c 3 m 0.2873 l s.t. （模型六为求解问题 r1 , r2 , l , h 0 三的完善模型） r2 r1 1 , 2 0
内容概要
七、模型评价与推广 二、模型假设 三、符号说明
一、问题重述
六、模型求解
五、模型建立
四、模型分析
一、问题重述
问题一：测量十种常见饮料的易拉罐的八项指标，我们得到了比较精确的数据。 问题二：将易拉罐分为各处壁厚相同、壁厚不同以及兼顾不同壁厚与焊接长度三种情 形，分别建立了以易拉罐表面积、材料体积、材料体积和焊缝长度为目标函数，容积 一定为约束条件的非线性规划模型，检验实测数据与理论结果吻合效果较好。 问题三：分上述三种情形分别建立模型，再用拉格朗日乘数法求得解析解之后，用 Matlab 6.5编程求得结果，并用配对样本T检验，说明实测数据与理论结果基本相符。 问题四：引入黄金分割点，综合考虑压强、环保及材料最省，设计了一种集各种优点 的新型易拉罐。
易拉罐形状和尺寸的最优设计
目录
• 引言 • 易拉罐的历史与现状 • 易拉罐形状和尺寸的影响因素 • 最优设计的探索与实验 • 最优设计的实现与应用 • 结论与展望
01
引言
主题简介
• 易拉罐作为一种常见的包装容器，广泛应用于饮料、食品等领 域。其形状和尺寸的设计对于产品的展示、运输、存储以及消 费者的使用体验等方面都有着重要的影响。因此，研究易拉罐 形状和尺寸的最优设计，对于提升产品品质、降低生产成本以 及增强市场竞争力等方面都具有重要的意义。
形状单一，缺乏个性化，难以满 足消费者多样化的需求。
定制化易拉罐优点
可根据客户需求进行个性化设计 ，适用范围广。
可重复使用易拉罐缺点
成本较高，清洗和保养较为麻烦 ，消费者接受度有待提高。
可重复使用易拉罐优点
可减少浪费和环境污染，节约资 源。
定制化易拉罐缺点
成本较高，生产周期较长，消费 者认知度有限。
材料选择和设计应考虑环保和可持续性。
实验设计与方法
文献调研
查阅相关文献，了解现有易拉罐的设 计和市场情况。
用户调研
通过问卷和访谈，收集用户对易拉罐 的期望和需求。
原型制作与测试
根据设计思路制作多个原型，进行实 际使用测试。
数据分析
收集用户反馈，分析数据，优化设计。
实验结果与分析
功能性测试结果
原型在开启、关闭和携带方面表现良好，满 足基本功能需求。
研究目的和意义
• 随着市场竞争的加剧和消费者需求的多样化，对于包装容器的要求也越来越高。易拉罐作为包装容器的一种，其形状和尺 寸的设计直接影响到产品的外观、使用便利性以及存储运输的效率。因此，研究易拉罐形状和尺寸的最优设计，旨在满足 消费者对于产品外观和使用体验的需求，提升产品的市场竞争力，同时降低生产成本，为企业创造更大的经济效益。
易拉罐形状和尺寸的最优设计
易拉罐形状和尺寸的最优设计我们只要稍加留意就会发现销量很大的饮料(例如饮料量为355毫升的可口可乐、青岛啤酒等) 的饮料罐(即易拉罐)的形状和尺寸几乎都是一样的。
看来，这并非偶然，这应该是某种意义下的最优设计。
当然，对于单个的易拉罐来说，这种最优设计可以节省的钱可能是很有限的，但是如果是生产几亿，甚至几十亿个易拉罐的话，可以节约的钱就很可观了。
现在就请你们小组来研究易拉罐的形状和尺寸的最优设计问题。
具体说，请你们完成以下的任务：1．取一个饮料量为355毫升的易拉罐，例如355毫升的可口可乐饮料罐，测量你们认为验证模型所需要的数据，例如易拉罐各部分的直径、高度，厚度等，并把数据列表加以说明；如果数据不是你们自己测量得到的，那么你们必须注明出处。
2．设易拉罐是一个正圆柱体。
什么是它的最优设计？其结果是否可以合理地说明你们所测量的易拉罐的形状和尺寸，例如说，半径和高之比，等等。
3．设易拉罐的中心纵断面如下图所示，即上面部分是一个正圆台，下面部分是一个正圆柱体。
什么是它的最优设计？其结果是否可以合理地说明你们所测量的易拉罐的形状和尺寸。
4．利用你们对所测量的易拉罐的洞察和想象力，做出你们自己的关于易拉罐形状和尺寸的最优设计。
摘要本文利用游标卡尺分别测出355毫升易拉罐的各项数据。
设易拉罐是一个圆柱体时，我们采用等厚度面积法将体积问题转化为面积问题，再运用极值的知识求出最优比例。
设易拉罐中心纵断面上面部分是一个正圆台，下面部分是一个正圆柱体时，我们通过对其厚度、材料的密度分布、易拉罐的预留体积做一系列假设，建立相应数学模型，运用LINGO、CAD等工具求出其最优设计。
对于易拉罐的设计，我们着重从经济、视觉、安全和消费者心理几个角度入手设计，并建立对应数学模型验证其可行性。
关键词：黄金分割率等厚度面积法一、问题重述二、模型假设1．不考虑易拉罐具体制作工艺，仅对形状、尺寸及重量等非工程及技术量作出相应的分析。
易拉罐形状和尺寸的最优设计
易拉罐形状和尺寸的最优设计组员：邢登峰，张娜，刘梦云摘要研究易拉罐形状和尺寸的最优设计可以节约的资源是很可观的。
问题一，我们通过实际测量得出（355ml ）易拉罐各部分的数据。
问题二，在假设易拉罐盖口厚度与其他部分厚度之比为 3： 1的条件下，建 立易拉罐用料模型s （r ） 2 rd （爲 2r ），由微积分方法求最优解，结论：易拉r罐高与直径之比2： 1，用料最省； 在假定易拉罐高与直径2： 1的条件下，将 易拉罐材料设想为外体积减内体积，得用料模型：min s （r,h ）2g （r,h ） r h v 0 s.t r 0h 0用微积分方法得最优解：易拉罐盖子厚度与其他部分厚度为 3: 1。
问题三，在易拉罐基本尺寸，高与直径之比 2: 1的条件下，将上面为正圆 台的易拉罐用料优化设计，转化为正圆柱部分一定而研究此正圆台的用料优化设 计。
模型用数学软件求得最优解结论：易拉罐总高：底直径=2: 1，上下底之比=1: 2，与实际比较分析了 各种原因。
问题四，从重视外观美学要求（黄金分割），认为高与直径之比1： 0.4更别 致、美观。
对这种比例的正圆柱体易拉罐作了实际优化分析。
另从美学及经济学的角度提出正四面柱体易拉罐的创新设想，分析了这样 易拉罐的优缺点和尺寸优化设计。
最后写出了我们对数学建模的体会文章。
关键词：易拉罐最优设计数学建模问题重述在生活中我们会发现销量很大的饮料（例如饮料量为355毫升的可口可乐、青岛啤酒等）的饮料罐（即易拉罐）的形状和尺寸几乎都是一样的。
看来，这并非（R才W 卄（R 「亍r=1.467, h=1.93时，s=45.07最小。
圆台面积 s （r ） r 2偶然，这应该是某种意义下的最优设计。
当然，对于单个的易拉罐来说，这种最优设计可以节省的钱可能是很有限的，但是如果是生产几亿，甚至几十亿个易拉罐的话，可以节约的钱就很可观了。
现在就请你们小组来研究易拉罐的形状和尺寸的最优设计问题。
罐形状和尺寸的最优设计方案
易拉罐形状和尺寸的最优设计摘要易拉罐十分流行，对易拉罐的优化设计有重要的经济意义与实际意义。
对问题一，我们通过实际测量得出（355ml ）易拉罐各部分的数据。
对问题二，在假设易拉罐盖口厚度与其他部分厚度之比为3：1的条件下，建立易拉罐用料模型2()2(2)vs r rd r rππ=+，由微积分方法求最优解，结论：易拉罐高与直径之比2：1，用料最省； 在假定易拉罐高与直径2：1的条件下，将易拉罐材料设想为外体积减内体积，得用料模型：2min (,)(,)0.00s r h g r h r h v s t r h π⎧=-=⎪>⎨⎪>⎩用微积分方法得最优解：易拉罐盖子厚度与其他部分厚度为3：1。
对问题三，在易拉罐基本尺寸，高与直径之比2：1的条件下，将上面为正圆台的易拉罐用料优化设计，转化为正圆柱部分一定而研究此正圆台的用料优化设计。
模型圆台面积2()(s r r R r ππ=++用数学软件求得最优解r=1.467, h=1.93时，s=４5.07最小。
结论：易拉罐总高：底直径=2：1，上下底之比=1：2，与实际比较分析了各种原因。
对问题四，从重视外观美学要求（黄金分割），认为高与直径之比1：0.4更别致、美观。
对这种比例的正圆柱体易拉罐作了实际优化分析。
另从美学及经济学的角度提出正四面柱体易拉罐的创新设想，分析了这样易拉罐的优缺点和尺寸优化设计。
对问题五，写出了我们对数学建模的体会文章。
关键词：易拉罐 最优设计 数学建模一、问题的提出每年我国易拉罐的使用量是很大的，（近年我国每年用易拉罐6070亿只），如果每个易拉罐在形状和尺寸作优化设计，节约一点用料，则总的节约就很大了。
为此提出下述问题：1．取一个饮料量为355毫升的易拉罐，例如355毫升的可口可乐饮料罐，测量验证模型所需要的数据，例如易拉罐各部分的直径、高度、厚度等，并把数据列表加以说明。
2．设易拉罐是一个正圆柱体。
什么是它的最优设计？其结果是否可以合理地说明所测量的易拉罐的形状和尺寸，例如说，半径和高之比，等等。
易拉罐尺寸的分类最优设计
槡 槡 令导数等于零，解得 r =
s V ，L = n
=3
s
槡2
kπV2
此时我们注意到有:
L 2r
=k
也即 A 型易拉罐的最优设计中，罐体的高与底面直径之比等于底面
与侧面厚度之比。考虑到一般易拉罐底面厚度约为侧面厚度 2 倍，我们
就不难解释为什么常见的圆柱体易拉罐的高与底面直径的比约为 1∶ 2了。
2． 1． 3 模型分析
为了检验模型的准确度，我们取市面上常见的 V = 355mL ，并在模型
罐的体积
制罐耗材
2． 2． 2 模型求解 据化简可得 罐的体积
制罐耗材
作者简介: 牟帅臣 /1999 年生 / 男 / 山东东营市人 / 高中生 / 研究方向为易拉罐的尺寸设计
图 2 B 型易拉罐
设计艺术与理论 | 学术平台 | 149
在此模型中约定符号，记上下底面圆的半径为 r，罐高为 L，上下底面 厚度是侧面厚度的 k 倍。为求解方便，我们将模型分为一个圆柱体和一 个圆台体，分别求其体积、表面积。
图 1 A 型易拉罐
2． 1． 2 模型求解
①代入②，得
S
=
2kπr2
+
2V r
要
求
S
的 最小值，我们 对
S
求导
S'
=
4kπr
－
2V r2
关键词: 易拉罐; 最优尺寸; 条件极值 ; 程序搜索
1 问题分析 如何在易拉罐容积一定的情况下使其耗材( 即表面积) 最小，这显然
是一个条件最值问题。我们针对在市面上常见的三种易拉罐建立模型， 并利用函数的手段，借助计算机工具对其进行分析。三种模型如下: 其中 A 型为正圆柱体; B 型由圆柱体和上部的圆台体构成; C 型由圆柱体、上下 部的相同的圆台体以及下部的抛物线形凹陷构成。在分析中我们将拉环 视为上底面的一部分，不再单独考虑。
易拉罐形状和尺寸的最优设计--实践周(10软件)
易拉罐形状和尺寸的最优设计生活中像可口可乐、青岛啤酒这类饮料量约355毫升的易拉罐拥有相同的形状和尺寸，考虑到其销量可能大至几亿，甚至几十亿，那么我们认为指定形状后的最优设计就是最省料的设计。
本文建立模型解决圆柱形及圆柱圆台组合形易拉罐的最优设计问题，并在节省材料和人性化的基础之上设计出一种新的易拉罐．1 对实际易拉罐的测量与统计取一个生活中常见的355毫升的易拉罐，采用15次测量求平均值的方法对真值进行估计，并根据样本数据取置信度为0.85，得到均值和置信区间如表1所示．表1 所测易拉罐的尺寸大小 /mm总高H 圆柱高h 圆柱外 直径D 圆台内 直径d 圆台 高l 壁厚b 下底 厚度c 上盖 厚度a 均值和置信区间123.38 ±0.034102.54 ±0.02966.00 ±0.03756.36 ±0.03512.80 ±0.0360.13 ±0.0130.13 ±0.0150.30 ±0.0142 圆柱形易拉罐的最优设计——模型一2.1模型建立：此时易拉罐的形状见图1，易拉罐的体积是一定的，现将易拉罐分成侧面、上底面和下底面三部分（下底面与侧壁同厚、上顶面厚度记为b β），分别计算三部分的用料体积并得出总体积为（注意到：b R b h ，，由此可得到用料的近似值）： 222222322(,)()[(1)]22(1)(1)(1)2(1)V R h V V V R b R h b b R b R R h b R bh bbR bR h b R bππβπππππππππ⎡⎤=++= +-+++β⎣⎦+ =++β+++β++β≈++β顶柱侧底又因为易拉罐的容积V 一定，即2R h V π=，所以建立以下条件极值优化模型[1]： 目0, 0m in (,)R h V R h >>约束条件： 2R h V π=图1 圆柱形易拉罐 2.2 模型求解：将2Vh Rπ=代入(,)V R h 得()22()2(1)VV R h R Rb R bRπππ=++β，，令32222[(1)](1)0dVVbb R R V dR R Rππ⎡⎤=+β-=+β-=⎣⎦，解R =因此，2(1(1)Vh Rπ==+β=+β，由于220d V dR>，故所得唯一驻点使目标函数取得最小值[2]．综上所述，当355毫升易拉罐简化为圆柱体时，从用料最省的角度进行易拉罐尺寸的最优化设计，其设计方案为：32.48R m m =,107.18h m m =，此时使用的原材料最少，为34262.83mm ．对比实测数据易知，将易拉罐简化为圆柱形进行最优设计所得尺寸与实测数据有一定的差异．3 圆台与圆柱组合形易拉罐的最优设计——模型二及模型三3.1模型二的建立：此时易拉罐的中心纵面图见图2，现将易拉罐分成圆柱部分的侧面、圆台部分的侧面、上底面和下底面四部分，分别计算三部分的用料体积并得出总体积为（注意到：b R b h ，，由此可得到用料的近似值）： 222222222223222(,,,)[()][(1)]11()()()()()3322()2V R r h l V V V V R b R h b b r b R l R b r b R b r b l R r R r R b r b b h b R bh R b bl R r b R b r b R bh lR b lrbππββππππππβπππππππβπππ=+++=+-++++⎡⎤+++++++-++⎣⎦=++++++++≈++++顶柱侧底台又因为易拉罐的容积V 一定，即()22213R h lRR r rV ππ+++=目标函数：0, 0,0,0min (,,,)R h r l V R r h l >>>> 约束条件：2221()3R h l R R r r V ππ+++=图2 圆台形纵面图3.2模型二求解：将()22213V l R r Rr h Rππ-++=代入(,,,)V R r h l 得到：()()222222(),,,,,()3bV bl RrR r VR r l h R r l Rb r b lb R r RRπππβπ++=++-++对l 求偏导，得：222()()()(2)33V b R r Rr b b R r R r R r lRRπππ∂++=-++=-+∂，因为()()203bR r R r Rπ-+>，所以函数()(,,,,,)V R r l h R r l 是关于l 的增函数，那么，l 越大，所用的材料就越多，因此0l =时，即为圆柱形易拉罐时用料最省．3.3模型二的改进及其求解-模型三结合实际生活中常见的易拉罐，它们的顶部确实加上一个圆台，然而通过这一问的解答， 圆台与圆柱相结合是达不到用材料最少的，我们便考虑到这样的设计涉及到易拉罐的坚固性、可使用性及美观性．利用物理知识可以知道，圆柱上加上一定斜率的圆台后能使罐顶达到一定的机械强度；可使用性指罐顶的半径必须达到一定长才能使人易于扳开拉环；美观程度可以用直径与高的比与黄金比例间的差距来衡量．根据这三个条件将该模型归结为一个有约束条件的非线性最优化问题．根据实际测量值，现假设圆台的夹角余切在0.3到0.4之间 ,[]0.56,0.70∈直径高(黄金比例为0.618)，圆台的顶盖半径大于24m m ．则建立非线性规划模型为：目标函数：0, 0,0,0min (,,,)R h r l V R r h l >>>>约束条件：2221()30.30.420.560.70,,,0R h l R Rr r V R r lRh l R r h l ππ+++=⎧⎪⎪-⎪≤≤⎪⎨⎪≤≤⎪+⎪⎪>⎩ 利用MATLAB7.1最优化工具箱中的fmincon 函数求解[3]，求解时要对模型做进一步的约束, 结合模型一的结果，我们取：32R ≥，24r ≥，R r >，107h ≥，12.1l ≥，规定步长为0.01m m ，经过搜索得到一个最优解：33.55,28.71,R mm r mm = = 107.00,h mm =12.10l m m =，此时上部是一个正圆台，下部是一个正圆柱体，用料为34471.60mm ．对比于实际数据和模型一的结果，显然更加接近实际值，这说明我们对模型二的改进是合理的．4 基于若干设计原则的新易拉罐的最优设计-模型四4.1模型的建立：在对两种简化后的易拉罐进行最优设计的分析后，我们综合考虑了易拉罐的形状、手感和观感方面对易拉罐进行重新设计．从形状来看，罐内装有大量液体，在运输过程中会对罐体壁产生很大的冲力，为了使罐体受力均匀，故将罐体壁设计成旋转体.同时为了降低罐底受到的较大压力，将下底面设计成凸起的形状.再结合球形用材少容积大的好处，我们将圆台设计为半球，即上盖变成了半球．从手感方面考虑，在成年人中，女性手掌的尺寸一般小于男性，这里我们以女性手掌尺寸为参考.当大拇指和中指这两个部位的距离达不到易拉罐横切面周长的一半时，则手感不佳且不易握牢.因此，当成年女性正常握持易拉罐时，其大拇指指尖到中指指尖间的圆弧长度应不小于罐身半周长.从观感来看，将易拉罐底面直径与高的比设置在黄金分割比的附近为佳，此处规定其值在0.56到0.70考虑以上各种因素，新设计的易拉罐形状见图3图3 新易拉罐形状图 图4 新易拉罐纵面图为减小冲力，罐内需留出少量空间，同时考虑底部有凸起的部分，因此将罐体容积设计成390毫升。
易拉罐形状和尺寸的最优设计方案 (2)
04
最优设计方案探索
理想形状的探讨
圆柱形
01
圆柱形易拉罐具有较高的稳定性，便于堆放和运输，且在视觉
上给人以舒适感。
扁圆形
02
扁圆形易拉罐可以更好地利用空间，减少包装材料的使用量，
降低成本。
异形
03
异形易拉罐可以吸引消费者的注意力，提高产品附加值，但需
要考虑生产成本和实用性。
理想尺寸的探讨
小型
适用于单人使用，便于携带和储存，如饮料、咖啡等。
易拉罐形状和尺寸的最优 设计方案
• 引言 • 易拉罐的历史与现状 • 易拉罐的历史与现状 • 易拉罐形状和尺寸的重要性 • 最优设计方案探索 • 实验与验证 • 最优设计方案实施与展望 • 结论
01
引言
主题简介
• 易拉罐作为常见的包装容器，广泛应用于饮料、食品等领域。 其形状和尺寸的设计对于产品的展示、运输、储存以及消费者 的使用体验等方面具有重要影响。
中型
适用于家庭使用，满足一家人的需求，如啤酒、果汁等。
大型
适用于聚会或特殊场合，提供大量饮品，如可乐、汽水等。
材料选择与环保性考虑
1 2
可回收材料
选择可回收材料制作易拉罐，减少对环境的污染。
轻量化材料
采用轻量化材料，降低易拉罐的重量，减少资源 消耗。
3
可降解材料
在特殊情况下，可选择可降解材料制作易拉罐， 以应对环保要求。
3
政府和相关机构应加强监管和标准制定，促进易 拉罐行业的可持续发展，保护环境和公共健康。
THANKS
感谢观看
其他形状
如星形、心形等，用于吸 引消费者注意力或增加趣 味性。
易拉罐尺寸设计
小容量
易拉罐尺寸的最优设计.
模型二：
Y r h r c h a d
2 2
应使Y取最小值，
模型二：
min M Y r 2 h r c h a d
2
V r c 2 h a d s.t. a , c, d 0
图2 有不同罐壁厚 度的圆柱形易拉罐
（3）易拉罐有不同罐壁厚度并考虑焊缝长度[4]的情形 在模型二的基础上，考虑工作量（焊缝长度）的不同 工作量有影响，使得易拉罐的材料用量最省的同时，焊缝 长度也尽量取到最小。 Z 2r 根据模型分析，可得焊缝长度： 将焊缝的长度为Z时的工作量转化为同等的材料体积，从而可以 将二者直接相加。
模型三：
m in S 2 r 2 rh V r 2 h s.t. r , h 0
图1 各点罐壁厚度相 同的圆柱形易拉罐
（2）易拉罐有不同罐壁厚度的情形 易拉罐各面厚度不同，用料量也不相同， 根据材料的用量与其体积成正比。 容积一定时，所用材料的体积最小时的尺 寸即易拉罐的最优尺寸，所需要的材料为：
百事可乐 七喜劲柠
美年达 醒目 轻怡 菠萝啤酒 雪花啤酒
6.618 6.614
6.616 6.646 6.628 6.62 6.614
4.554 4.548
4.536 4.55 4.552 4.548 4.55
10.114 10.112
10.116 10.114 10.118 10.108 10.11
12.174 12.172
12.162 12.166 12.166 12.158 12.166
0.0466 0.0462
0.047 0.0473 0.0468 0.0482 0.0475
易拉罐尺寸的最优设计方案
由表3可知：所有 h: 2r
均在此范围内，在1与3之间必有一 个最优值符合实际条件，从结果可大 致得出此最优值应该在1.5附近。
因此，实际值是合理的，而 h r
的比例关系式也符合实际情况。
精选ppt
12
精选ppt
13
精选ppt
3
一、摘要
对问题一，我们通过实际测量得出（355ml）易拉罐各部分的数据。
对问题二，在假设易拉罐盖口厚度与其他部分厚度之比为3：1的条件下，建立易
拉罐用料模型
s(r)2r
v
d (r2
2r),
由微积分方法求最优解，结论：易拉罐高与直径之比2：1，用料最省； 在假定易拉 罐高与直径2：1的条件下，将易拉罐材料设想为外体积减内体积，得用料模型：
2r2
2rc2
2rc2
0
即 圆柱体的高与半径 之比为6时为最优尺寸
F
rc2hadV0
解得：
h ad
r
c
精选ppt
2 h 6 r
10
，
（1）易拉罐各点罐壁厚度相同的情形 根据模型一知： Matla6.b5
min S 2 r 2 rh
V r 2h
s.t. r, h 0
S 取最小值时，必定有
精选ppt
高铁1602
314宿舍
1
销量很大的饮料的饮料罐的形状和尺寸几乎相同，这是为什么呢？？？
精选ppt
2
问题：
• 1.假设易拉罐是一个正圆柱体且底面和侧面的厚度相同，什么是它的最优设 计？
• 2.如果易拉罐是一个正圆柱体，但底面和侧面厚度不同（例如底面厚度是侧面厚 度的3倍），如何设计最优？
min s(r, h)
易拉罐形状和尺寸的最优设计方1
易拉罐形状和尺寸的最优设计方案摘要：本文讨论的是在体积一定的情况下，满足成本最低即用料最省的易拉罐形状和尺寸的最优设计方案。
问题一，我们对十种常见饮料的易拉罐的罐体直径、圆台直径、罐体高度等八项指标进行了实际测量，得到了比较精确的数据。
问题二，将易拉罐分为各处壁厚相同、壁厚不同以及兼顾不同壁厚与焊接长度三种情形；分别建立了以易拉罐表面积、材料体积以及材料体积和焊缝长度为目标函数，容积一定为约束条件的非线性规划模型。
通过理论推导(拉格朗日乘数法)求得与关系的解析解分别为、、，并用实测数据进行验证，实测数据与理论结果吻合效果较好。
问题三，类似于问题二，我们也分上述三种情形分别建立非线性规划模型，再用拉格朗日乘数法求得解析解之后，用Matlab 6.5编程求得结果，并用配对样本检验，说明实测数据与理论结果基本相符。
问题四，在问题三的基础上，我们引入黄金分割点，综合考虑压强、环保，同时兼顾材料最省，设计了一种兼顾各种优点的新型易拉罐，各项指标见正文表6。
问题五，根据数学建模的经历阐述了数学建模的含义、关键之处和难点。
本文对易拉罐形状和尺寸的最优设计综合考虑了多方面的影响因素，并巧妙应用拉格朗日乘数法求出了最优解析解，具有较强的实用性和推广性。
关键词：非线性规划、拉格朗日乘数法、配对样本检验一、问题重述我们只要稍加留意就会发现销量很大的饮料的饮料罐的形状和尺寸几乎相同。
看来，这并非偶然，而应该是某种意义下的最优设计。
当然，对于单个的易拉罐来说，这种最优设计可以节省的钱可能是很有限的，但是如果是生产几亿，甚至几十亿个易拉罐的话，可以节约的钱就很可观了。
1.取一个饮料量为355毫升的易拉罐，例如355毫升的可口可乐饮料罐，测量验证模型所需要的数据，并把数据列表加以说明；解答以下各问。
2. 设易拉罐是一个正圆柱体。
什么是它的最优设计？其结果是否可以合理地说明所测量的易拉罐的形状和尺寸。
3.设易拉罐的中心纵断面的上面部分是一个正圆台，下面部分是一个正圆柱体。
易拉罐的形状和尺寸的最优设计
易拉罐的形状和尺寸的最优设计摘要本文讨论了以假设易拉罐的上、下底面及侧面所用材料相同为前提，在相同体积情况下，哪种形状的易拉罐所用材料最少。
将易拉罐设计成正圆柱体，分析并建立了非线性规划模型，用连续函数求极值的方法，获得结果；探讨了易拉罐形状为由上面圆台和下面正圆柱体组成的最优化设计，建立了非线性规划模型,分别用隐函数求导数和拉格朗日乘子两种方法求解；最后采用相同体积时球体表面积最小这一数学结论，以及便于运输和放置的实际状况，我们把易拉罐形状设计为用两个平面截去顶部后的圆台，建立非线性规划模型。
也尝试用旋转曲线建立球体最优设计。
通过计算对比结果,第二种形状(目前使用易拉罐形状)是最优的。
本文还对模型进行了推广。
关键词: 非线性规划拉格朗日定理隐函数一．问题重述日常生活中，我们稍加留意就会发现很多的饮料罐(即易拉罐)形状和尺寸几乎都一样。
看来，这并非偶然，这应该是某种意义下的最优设计。
当然，单个易拉罐的生产，对资源充分利用，节约生产成本并不明显。
但如果生产的数量非常多的话，那么节约的钱就很可观了。
为什么不同工厂的易拉罐采用统一规格？从数学的角度怎样给予合理的解释？易拉罐的圆柱底面圆的直径与圆柱的高的比是多少才为最优？和现实中的实际情况有什么差异，为什么？假设易拉罐的上、下底面及侧面所用的材料相同，则在相同的体积情况下，哪种形状和尺寸的饮料罐所用的材料最少则成本就越低，也就最合理。
需要研究的内容:(1) 对现实生活中易拉罐(可口可乐罐为例)的准确测量,包括罐体形状,尺寸等。
(2) 当易拉罐为一正圆柱体时,讨论它的最优设计方案,通过对半径和高的比值来说明和验证所测量的相关数据。
（3）当易拉罐有上面圆台和下面正圆柱体组成,如下图:讨论这种形状的最优方案,并与实际测量数据相分析比较。
(4) 查阅资料,发挥想象力,设计出易拉罐形状和尺寸最优的方案。
进行拉罐设计成本最小问题的数学建模及求解过程。
最后,总结做本题以及以前学习和实践数学建模的亲身体验，写一篇短文，阐述什么是数学建模、它的关键步骤，以及难点。
高中数学建模论文_易拉罐形状和尺寸的最优设计方案
易拉罐形状和尺寸的最优设计方案摘要：本文讨论的是兼顾圆台状易拉罐的不同壁厚，建立以易拉罐材料体积为目标函数，容积一定为约束条件的非线性规划模型。
通过非线性规划与条件极值求得结果。
在此基础上，引入了黄金分割点，环保以及材料最省，设计了一种兼顾各种优点的新型易拉罐，具有较强的实用性和推广性。
关键词：非线性规划条件极值正文生活中稍加留意就会发现销量很大的饮料的饮料罐的形状和尺寸几乎相同。
看来，这并非偶然，而应该是某种意义下的最优设计。
当然，对于单个的易拉罐来说，这种最优设计可以节省的钱可能是很有限的，但是如果是生产几亿，甚至几十亿个易拉罐的话，可以节约的钱就很可观了。
一、提出问题1、问题为什么不同工厂的易拉罐采用统一规格？2、易拉罐的圆柱底面圆的直径与圆柱的高的比是多少才为最优？从数学的角度怎样给予合理的解释？3、和现实中的实际情况有什么差异，为什么？二、模型假设与符号约定2.1模型假设1、易拉罐的容积是一定的；2、易拉罐所有材料的密度都相同，材料的价格与其体积成正比；3、各种易拉罐的上面的拉环生产成本固定，不受易拉罐形状和尺寸的影响；4、网上查的数据真实可靠2.2符号约定2r圆台下表面的半径三、问题分析与模型建立对于问题1：可以借助物理仪器，如游标卡尺、螺旋测微仪测量易拉罐的高度、直径、顶面、底面、圆台侧面、圆柱侧面的厚度等相关数据.对于问题2：将易拉罐看成正圆柱体，考虑到易拉罐的侧壁、顶盖、底面的厚度均不相同且为常数，以圆柱体材料的体积作为目标函数，其容积等于定值作为约束条件，构建非线性规划模型并通过模型简化，得到解析的最优解，以此来探讨最优形状的设计。
此为模型1。
在此基础上，将易拉罐看成是圆台与圆柱的组合体。
此时目标函数——材料体积由圆柱体和圆台两部分体积构成，因此目标函数表达式变得比较复杂。
此时形状由圆柱的高和半径及圆台的高和上表面半径决定，以此作为决策变量对模型一稍作修改建立模型2。
对于问题3：在容积一定的条件下，球体是最节省材料的，然后同样考虑人们拿着易拉罐时的手感舒适度和放置时的稳定性。
易拉罐的优化设计【范本模板】
易拉罐形状和尺寸的最优设计组员：邢登峰,张娜,刘梦云摘要研究易拉罐形状和尺寸的最优设计可以节约的资源是很可观的. 问题一,我们通过实际测量得出(3５5ml)易拉罐各部分的数据．问题二,在假设易拉罐盖口厚度与其他部分厚度之比为3:１的条件下,建立易拉罐用料模型2()2(2)vs r rd r rππ=+，由微积分方法求最优解,结论:易拉罐高与直径之比2:1,用料最省; 在假定易拉罐高与直径2:1的条件下，将易拉罐材料设想为外体积减内体积，得用料模型:2min (,)(,)0.00s r h g r h r h v s t r h π⎧=-=⎪>⎨⎪>⎩用微积分方法得最优解:易拉罐盖子厚度与其他部分厚度为３:1.问题三，在易拉罐基本尺寸，高与直径之比2:1的条件下，将上面为正圆台的易拉罐用料优化设计，转化为正圆柱部分一定而研究此正圆台的用料优化设计.模型圆台面积2()(s r r R r ππ=++用数学软件求得最优解r=1。
４67， h=1．9３时,s ＝４5.０7最小。
结论：易拉罐总高：底直径＝2：1，上下底之比=1：2,与实际比较分析了各种原因。
问题四,从重视外观美学要求（黄金分割),认为高与直径之比１：0。
4更别致、美观。
对这种比例的正圆柱体易拉罐作了实际优化分析.另从美学及经济学的角度提出正四面柱体易拉罐的创新设想,分析了这样易拉罐的优缺点和尺寸优化设计。
最后写出了我们对数学建模的体会文章。
关键词：易拉罐 最优设计 数学建模问题重述在生活中我们会发现销量很大的饮料 （例如饮料量为355毫升的可口可乐、青岛啤酒等） 的饮料罐(即易拉罐)的形状和尺寸几乎都是一样的。
看来,这并非偶然，这应该是某种意义下的最优设计。
当然,对于单个的易拉罐来说,这种最优设计可以节省的钱可能是很有限的,但是如果是生产几亿,甚至几十亿个易拉罐的话,可以节约的钱就很可观了。
现在就请你们小组来研究易拉罐的形状和尺寸的最优设计问题.具体说，请你们完成以下的任务：1．取一个净含量为35５毫升的易拉罐，例如355毫升的可口可乐饮料罐,测量你们认为验证模型所需要的数据，例如易拉罐各部分的直径、高度，厚度等，并把数据列表加以说明；如果数据不是你们自己测量得到的,那么你们必须注明出处。
易拉罐形状和尺寸的最优设计
易拉罐形状和尺寸的最优设计摘 要本文研究的是易拉罐形状和尺寸的最优设计。
对于问题1我们利用游标卡尺对饮料量为355毫升的蓝带“纯爽”牌啤酒的建立了规划模型，目标函数关系式为：22123min 2S w R w RH w R πππ=+⋅+得到高与半径比为： 3.476H R =与我们所测量的尺寸（559.351.3328.119=）比较接近，其结果可以合理地说明我们所测量的易拉罐的尺寸，但不能说明其形状。
对于问题3在圆台上底面半径一定的情况下，形状为黄金分割比且用铝量最小是它的最优设计，建立目标函数关系式：()2223221min 2S R r l R Rh r πωπωπωπω=++++得到高与半径之比为： 12 3.417h h R +=其结果从形状和尺寸都能比较合理的说明我们所测量的数据。
对于问题4我们将开口设计成为旋合式瓶盖，并且得到一组新的尺寸，虽然成本可能偏高，但它比现有易拉罐更为方便和卫生。
最后我们通过做本题以及以前学习和实践数学建模的亲身体验写下了自己的感受。
关键词：易拉罐 规划模型 黄金分割 Lingo一、问题的提出我们只要稍加留意就会发现销量很大的饮料 (例如饮料量为355毫升的可口可乐、啤酒等) 的饮料罐(即易拉罐)的形状和尺寸几乎都是一样的。
看来，这并非偶然，这应该是某种意义下的最优设计。
当然，对于单个的易拉罐来说，这种最优设计可以节省的钱可能是很有限的，但是如果是生产几亿，甚至几十亿个易拉罐的话，可以节约的钱就很可观了。
对于易拉罐的形状和尺寸的最优设计我们提出了以下问题：1. 取一个饮料量为355毫升的易拉罐，例如355毫升的可口可乐饮料罐，测量你们认为验证模型所需要的数据，例如易拉罐各部分的直径、高度，厚度等，并把数据列表加以说明；如果数据不是你们自己测量得到的，那么你们必须注明出处。
2. 设易拉罐是一个正圆柱体。
什么是它的最优设计？其结果是否可以合理地说明你们所测量的易拉罐的形状和尺寸，例如说，半径和高之比，等等。
易拉罐的最优设计
据命题人的了解
（包括询问可口可乐 公司有关人员），该 公司的易拉罐都是铝 制的，罐的形状和尺 寸有一个演变过程， 现在用的两片罐的中 心端面形状大致如下：
本题主要测试学生在测量或间接获得数据
的基础上，经过观察、分析做出合理的简化 假设，形成数学模型，正确、合理并简捷地 求解相应的数学问题，合理地验证自己的数 学模型（合理地解释所测量的易拉罐的形状 和尺寸）。特别是希望学生根据自己的想象 力做出有自己特色的建议。更重要的是，这 种最优设计的数学建模也许是关键（或重要） 的一步，但决不是全部，在有些情况下物理、 工程等考虑可能更重要（或不可忽略），希 望同学了解真正的最优设计是一个相当复杂 的过程，数学不可能单打独斗。
顶盖的直径
(8) 圆台高：从罐的顶 盖到圆柱体部分的高 度
(9)圆柱体高：圆柱体 部分的高度
5.1.2 各数据的测量方法Fra bibliotek(1) 直接测量
经过分析可得，罐桶直径、罐高、圆台 高、顶盖直径、圆柱直径这几种数据类型属 于外部属性，可以直接进行测量。测量时可 选用以下两种方法：
①用一条非常窄的薄纸条,环绕易拉罐相关部 位一圈测得周长,然后再换算求得直径、半径、 面积等。
1、共15分，考察学生的动手能力，自
己测量的10分以上，体积有错应该扣2分）， 从网上抄的最多12分。
能够说明自己是怎么测量的，并列表说 明（尽管有的数据可能误差较大），应该说 相当好；能够从网上查到比较准确的数据， 并说明出处，表明了一种能力，也是相当好 的；照抄其他文章就不太好了。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
罐底 厚度 (cm)
6.616 6.62 6.66 6.618 6.614 6.616 6.646 6.628 6.62 6.614
表2 GB／T 9106—2001中规定的
罐体主要尺寸(单位：毫米)[5
名称
符号
250mL
公称尺寸 275mL 300mL 335mL
500mL
极限 偏差
罐体高度 H 90.93 98.95 115.2 122.22 167.84 ±0.38
min M Y r 2h r c2 h a d
s.t.V r c2 h a d
a, c, d 0
图2 有不同罐壁 厚度的圆柱形易
拉罐
（3）易拉罐有不同罐壁厚度并考虑焊缝长度[4]的情形 在模型二的基础上，考虑工作量（焊缝长度）的不同
V r 2h
s.t. r, h 0
图1 各点罐壁厚度 相同的圆柱形易拉
罐
（2）易拉罐有不同罐壁厚度的情形 易拉罐各面厚度不同，用料量也不相同， 模型二：
根据材料的用量与其体积成正比。
容积一定时，所用材料的体积最小时的尺 寸即易拉罐的最优尺寸，所需要的材料为：
Y r 2h r c2 h a d 应使Y取最小 值， 模型二：
6.646 4.55 10.114 12.166 0.0473 0.0107 0.0318
轻怡
6.628 4.552 10.118 12.166 0.0468 0.0104 0.032
菠萝啤酒 6.62 4.548 10.108 12.158 0.0482 0.0113 0.0322
雪花啤酒 6.614 4.55 10.11 12.166 0.0475 0.0107 0.0324
c2
0
F
r
c 2 h
a
d
V
0
解得：
h ad
rc
即 圆柱体的高与半 径 之比为6时为最优
尺寸
2 h6 r
，
（1）易拉罐各点罐壁厚度相同的情形 根据模 型一知：
min S 2 r 2 rh
Matlab6.5
V r 2h
s.t. r, h 0
高铁1602 314宿舍
销量很大的饮料的饮料罐的形状和尺寸几乎相同，这是为什么呢？？？
问题：
• 1.假设易拉罐是一个正圆柱体且底面和侧面的厚度相同，什么是它的最优设 计？
• 2.如果易拉罐是一个正圆柱体，但底面和侧面厚度不同（例如底面厚度是侧 面厚度的3倍），如何设计最优？
一、摘要
对问题一，我们通过实际测量得出（355ml）易拉罐各部分的数据。
工作量有影响，使得易拉罐的材料用量最省的同时，焊缝 长度也尽量取到最小。
根据模型分析，可得焊缝Z长度：2r
将焊缝的长度为Z时的工作量转化为同等的材料体积，从而可以 将二者直接相加。
模型三： min M 1Y 2Z 1 r2h r c2h a d 2 2r
百事可乐 6.618 4.554 10.114 12.174 0.0466 0.0108 0.0326
七喜劲柠 6.614 4.548 10.112 12.172 0.0462 0.0102 0.0316
美年达
6.616 4.536 10.116 12.162 0.047 0.0108 0.032
醒目
s.t.r 0 h 0
二、模型建立
问题二：正圆柱形易拉罐尺寸的最优设计模型
模型一：
（1）易拉罐各点罐壁厚度相同的情形由图1可知：
V r2h
容积为 ：
表面积为 ：V r2h
模型一： M S 2rh r2 r2 2 r2 rh
min S 2 r 2 rh
a, c, d 0
F r2h r c2h a d r c2h a dV
F
r
2rh
2
r
ch
a
d
2r源自cha
d
0
F
h
2r 2
2 r
c2
2 r
V r c2 h a d
s.t.
1,2 0
（此模型即为求解 问题二的完善模型）
三、模型求解
1. 问题一的求解 表1 10种355ml易拉罐饮料的相关测量数据
数项 目
值 种类
可口可乐
罐体 直径 (cm)
圆台口 直径 (cm)
罐体 高度 (cm)
6.616 4.552 10.116
整罐 高度 (cm)
顶盖 厚度 (cm)
侧面 厚度 (cm)
圆台 厚度 (cm)
12.164 0.0471 0.0109 0.0318
雪碧
6.62 4.562 10.088 12.192 0.0448 0.011 0.0332
天府百柠 6.66 4.574 10.102 12.182 0.0462 0.0113 0.0322
罐体外径 D1
66.04
缩颈内径 D2 翻边宽度 B
57.40 2.22
±0.25 ±0.25
然后分别对
（2）易拉罐有不同罐， 壁厚度的情形，根据模
型二，
用拉格朗日乘数法求解新的函数：
，
V
r c2 h a d
min M Y r 2h r c2 h a d s.t.
对问题二，在假设易拉罐盖口厚度与其他部分厚度之比为3：1的条件下，
建立易拉罐用料模型
s(r)
2rd
(
v
r
2
2r),
由微积分方法求最优解，结论：易拉罐高与直径之比2：1，用料最省； 在
假定易拉罐高与直径2：1的条件下，将易拉罐材料设想为外体积减内体积，
得用料模型：
min s(r, h)
g(r, h) r 2h v 0
S 取最小值时，必定有
2 2r
V
r 2
2
r2
2r3
V
r 2
0r
3
V
2
h V 3 4 2V 3 3 8V 2r
r 2
2V 2
2
r 图7 体积一定时 S 随 变化的曲线
即易拉罐的高度为半径的二倍（等边圆柱形）时，所需材料最少。