积化和差、和差化积记忆口诀及相关练习题

积化和差与和差化积公式的应用习题精选精讲

三角函数式的化简要求是:项数最少\三角函数种类最少\函数次数最低\尽可能不带根号\ 能求值得要求出值. 一: 定义法例1. 化简 xx xx x x x x sin tan sin tan sin tan sin tan ∙+--∙ 解: 设点则且终边上一点为角,,),(22y x r OP x y x P +==.tan ,sin xyx r y x ==二: 弦切互化法例2. xx x x x x x 2222tan 1tan 1)cos 2tan tan (sin 2tan +-∙+∙+化简解: 原式x x x x x xx x x x x x x x x 2cos )cos 2sin 21(2cos 2sin cos sin 1cos sin 1)2cos 2sin cos sin 1(2cos 2sin 22222∙+∙=+-∙∙+∙= 三: 变用公式例3. o o o o o o 15tan 50tan 50tan 25tan 25tan 15tan ∙+∙+∙化简解: 原式 15tan 50tan )50tan 15(tan 25tan ∙++=说明: 公式βαβαβαtan tan 1tan tan )tan( ±=±在解题中运用非常灵活.常常变形为)tan tan 1)(tan(tan tan βαβαβα ±=±来使用. 四: 连锁反应法例5. o o 78sin 66sin 42sin 6sin 化简解: 原式12cos 24cos 48cos 6sin ∙∙∙=6cos 48cos 24cos 12cos 6sin 6cos ∙∙∙∙==1616cos 96sin 1616cos 48cos 24cos 12cos 12sin 21=====∙∙∙说明: 此题分子分母同乘以 6cos ,从而连续逆用倍角公式,达到多次化角的目地. 五: 升降次法例6. y x y x y x 2cos 2cos )(cos )(cos 22∙--++化简解: 原式y x y x y x 2cos 2cos 2)22cos(12)22cos(1∙---+++=例7. x x 4cos 812cos 2183:+-化简解: 原式 )12cos 2(81)1cos 2(218322-+--=x x )1cos 4cos 4(41cos 43)1cos 2(41cos 43242222+-+-=-+-=x x x x x x x x x 42242sin )cos 1(cos cos 21=-=+- 六: 基本技巧例8 (1) θθθθ2cos 2sin 12cos 2sin 1:++-+化简解: 原式)cos (sin cos 2)cos (sin sin 2cos sin 2cos cos sin 2sin 22sin )2cos 1(2sin )2cos 1(22θθθθθθθθθθθθθθθθ++=++=+++-=θtan = (2) .2cos 2sin ,2tan 的值求已知x x x +=解: x x x cos 2sin ,2tan =∴= 角的变换角的变换，一般包括角的分解和角的组合，角的分解即把一个角分成几个角的和或差，而角的组合即把几个角通过和或差组合成一个角。

积化和差与和差化积公式的应用习题精选精讲

三角函数式的化简要求是:项数最少\三角函数种类最少\函数次数最低\尽可能不带根号\ 能求值得要求出值. 一: 定义法例1. 化简 xx xx x x x x sin tan sin tan sin tan sin tan ∙+--∙ 解: 设点则且终边上一点为角,,),(22y x r OP x y x P +==.tan ,sin xyx r y x ==0)(222=-+-=+--=∙+--∙=∴x r y x r y y x r x r y ry x y r y x y r y x y r y x y 原式二: 弦切互化法例2. xx x x x x x 2222tan 1tan 1)cos 2tan tan (sin 2tan +-∙+∙+化简解: 原式x x x x x xx x x x x x x x x 2cos )cos 2sin 21(2cos 2sin cos sin 1cos sin 1)2cos 2sin cos sin 1(2cos 2sin 22222∙+∙=+-∙∙+∙= x x xx x 2sin 22cos cos 12cos 2sin =∙∙=三: 变用公式例3. o o o o o o 15tan 50tan 50tan 25tan 25tan 15tan ∙+∙+∙化简解: 原式 15tan 50tan )50tan 15(tan 25tan ∙++= 15tan 50tan )50tan 15tan 1)(5015tan(25tan ∙+-+∙=115tan 50tan )50tan 15tan 1(=∙+∙-=说明: 公式βαβαβαtan tan 1tan tan )tan( ±=±在解题中运用非常灵活.常常变形为)tan tan 1)(tan(tan tan βαβαβα ±=±来使用. 四: 连锁反应法例5. o o 78sin 66sin 42sin 6sin 化简解: 原式12cos 24cos 48cos 6sin ∙∙∙=6cos 48cos 24cos 12cos 6sin 6cos ∙∙∙∙= =1616cos 96sin 1616cos 48cos 24cos 12cos 12sin 21=====∙∙∙说明: 此题分子分母同乘以 6cos ,从而连续逆用倍角公式,达到多次化角的目地. 五: 升降次法例6. y x y x y x 2cos 2cos )(cos )(cos 22∙--++化简解: 原式y x y x y x 2cos 2cos 2)22cos(12)22cos(1∙---+++=y x y x y x 2cos 2cos )]22cos()22[cos(211∙---++=12cos 2cos 2cos 2cos 1=∙-∙+y x y x例7. x x 4cos 812cos 2183:+-化简解: 原式 )12cos 2(81)1cos 2(218322-+--=x x )1cos 4cos 4(41cos 43)1cos 2(41cos 43242222+-+-=-+-=x x x x x x x x x 42242sin )cos 1(cos cos 21=-=+- 六: 基本技巧例8 (1) θθθθ2cos 2sin 12cos 2sin 1:++-+化简解: 原式)cos (sin cos 2)cos (sin sin 2cos sin 2cos cos sin 2sin 22sin )2cos 1(2sin )2cos 1(22θθθθθθθθθθθθθθθθ++=++=+++-= θtan = (2) .2cos 2sin ,2tan 的值求已知x x x += 解: x x x cos 2sin ,2tan =∴=1cos 2cos 41cos 2cos sin 22cos 2sin 222-+=-+=+∴x x x x x x x1tan 161sec 61cos 6222-+=-=-=xx x511416=-+= 角的变换角的变换，一般包括角的分解和角的组合，角的分解即把一个角分成几个角的和或差，而角的组合即把几个角通过和或差组合成一个角。

积化和差与和差化积公式的应用习题精选精讲

三角函数式的化简要求是:项数最少\三角函数种类最少\函数次数最低\尽可能不带根号\ 能求值得要求出值. 一: 定义法例1. 化简 xx xx x x x x sin tan sin tan sin tan sin tan ∙+--∙ 解: 设点则且终边上一点为角,,),(22y x r OP x y x P +==.tan ,sin xyx r y x ==二: 弦切互化法例2. xx x x x x x 2222tan 1tan 1)cos 2tan tan (sin 2tan +-∙+∙+化简解: 原式x x x x x xx x x x x x x x x 2cos )cos 2sin 21(2cos 2sin cos sin 1cos sin 1)2cos 2sin cos sin 1(2cos 2sin 22222∙+∙=+-∙∙+∙= 三: 变用公式例3. o o o o o o 15tan 50tan 50tan 25tan 25tan 15tan ∙+∙+∙化简解: 原式 15tan 50tan )50tan 15(tan 25tan ∙++=说明: 公式βαβαβαtan tan 1tan tan )tan( ±=±在解题中运用非常灵活.常常变形为)tan tan 1)(tan(tan tan βαβαβα ±=±来使用. 四: 连锁反应法例5. o o 78sin 66sin 42sin 6sin 化简解: 原式12cos 24cos 48cos 6sin ∙∙∙=6cos 48cos 24cos 12cos 6sin 6cos ∙∙∙∙==1616cos 96sin 1616cos 48cos 24cos 12cos 12sin 21=====∙∙∙说明: 此题分子分母同乘以 6cos ,从而连续逆用倍角公式,达到多次化角的目地. 五: 升降次法例6. y x y x y x 2cos 2cos )(cos )(cos 22∙--++化简解: 原式y x y x y x 2cos 2cos 2)22cos(12)22cos(1∙---+++=例7. x x 4cos 812cos 2183:+-化简解: 原式 )12cos 2(81)1cos 2(218322-+--=x x )1cos 4cos 4(41cos 43)1cos 2(41cos 43242222+-+-=-+-=x x x x x x x x x 42242sin )cos 1(cos cos 21=-=+- 六: 基本技巧例8 (1) θθθθ2cos 2sin 12cos 2sin 1:++-+化简解: 原式)cos (sin cos 2)cos (sin sin 2cos sin 2cos cos sin 2sin 22sin )2cos 1(2sin )2cos 1(22θθθθθθθθθθθθθθθθ++=++=+++-=θtan = (2) .2cos 2sin ,2tan 的值求已知x x x +=解: x x x cos 2sin ,2tan =∴= 角的变换角的变换，一般包括角的分解和角的组合，角的分解即把一个角分成几个角的和或差，而角的组合即把几个角通过和或差组合成一个角。

积化和差口诀速记

积化和差口诀速记
以下是五个符合要求的口诀：
《积化和差口诀一》
积化和差要记清，一个正弦一个余弦分得明。

正余相加得二倍，余弦在前正弦跟。

正余相减也二倍，正弦在前余弦存。

就像搭积木一样稳，顺序不能乱分寸。

积化和差轻松认，数学学习乐趣深。

《积化和差口诀二》
小朋友们听我言，积化和差有妙诀。

一正一余放两边，二倍关系在中间。

和的时候余弦先，差的时候正弦前。

形象记忆并不难，如同走路一步步缓。

多练几遍记得全，数学成绩笑开颜。

《积化和差口诀三》
积化和差别害怕，朗朗上口好办法。

一正弦来二余弦，先后顺序不能差。

二倍出来作用大，和差变化都靠它。

好比搭起小高塔，稳稳当当不会垮。

记住口诀向前跨，数学天地任你耍。

《积化和差口诀四》
来听我说积化和差诀，简单易懂好理解呀。

一个正弦配余弦，一二清楚记得呀。

二倍之中有乾坤，和差变化有区分呀。

就像游戏有规则，一步一步不犯错呀。

小朋友们快快来，牢记口诀真厉害呀。

《积化和差口诀五》
积化和差要学好，这个口诀要记牢。

一正一余很重要，二倍关系不能少。

和用余弦差正弦，顺序一定不能忘。

想象它们手牵手，一起解题乐悠悠。

多做练习多巩固，知识大门轻松入。

三角函数和差积公式的记忆口诀

三角函数和差积公式的记忆口诀三角函数和差积公式的记忆口诀一、两角和与差的正余弦公式记忆正弦异名加一起，sin(a+b)=sinacosb+cosasinb余弦同名加减异，cos(a+b)=cosacosb-sinasinb前面是a后面b二、积化和差与和差化积公式记忆积化和差公式：sinα?cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)] 前正后余正弦加cosα?sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)] 前余后正正弦差cosα?cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)] 余余得值余弦加sinα?sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)] 全正变号余弦差和差化积公式：sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2] 正弦加正弦正弦在前面sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2] 正弦减正弦余弦在前面cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2] 余弦加余弦全都是余弦cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2] 余弦减余弦变号改正弦记忆数学知识点的诀窍1归类记忆法就是根据识记材料的性质、特征及其内在联系，进行归纳分类，以便帮助学生记忆大量的知识。

比如，学完计量单位后，可以把学过的所有内容归纳为五类：长度单位;面积单位;体积和容积单位;重量单位;时间单位。

这样归类，能够把纷纭复杂的事物系统化、条理化，易于记忆。

2歌诀记忆法就是把要记忆的数学知识编成歌谣、口诀或顺口溜，从而便于记忆。

比如，量角的方法，就可编出这样几句歌诀：“量角器放角上，中心对准顶点，零线对着一边，另一边看度数。

”再如，小数点位置移动引起数的大小变化，“小数点请你跟我走，走路先要找准‘左’和‘右’;横撇带口是个you，扩大向you走走走;横撇加个zuo，缩小向zuo走走走;十倍走一步百倍两步走，数位不够找‘0’拉拉钩。

积化和差以及和差化积最简记忆口诀

忆罢了。
三、总结公式 “ sin 和差前后积， cos 和差 cos 负 sin ” 1）首先关注 sin sin 即“ sin 和差”，口诀一“ sin 和差前后积”的形象记忆其实是
sin 和差
|| 前后积
我们认为“sin”是比较“主要的”，所谓的“前后”就是，sin 和 cos 相乘时，sin 在前还是在后，如下
|| cos -sin 其中关于 cos+cos 其公式中，函数名全是 cos

cos cos =2 cos
cos
2
2
cos 和 — cos
而关于 cos-cos 其公式中，变换后函数名全是 sin 加多一个负号
cos cos = 2 sin sin

sin
cos
2
2
为前积
对应 sin 和

cos
sin
2
2
为后积
对应 sin 差
由口诀“ sin 和差前后积”迅速写出：
sin + sin = sin cos sin 和 — 前积
sin sin = cos sin
2
2
cos 差 — 负 sin
由口诀“ cos 和差 cos 负 sin ”迅速写出：
cos cos = cos cos
cos 和 — cos
cos cos = sin sin
cos 差 — 负 sin
再填入内容可得：
cos cos =2 cos cos

cos

积化和差和和差化积公式记忆窍门

积化和差
sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2
cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2
cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2
sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2
和差化积
sinx+siny=2sin((x+y)/2)*cos((x-y)/2)
sinx-siny=2cos((x+y)/2)*sin((x-y)/2)
cosx+cosy=2cos((x+y)/2)*cos((x-y)/2)
cosx-cosy=-2sin((x+y)/2)*sin((x-y)/2)
我们背公式时往往要么不是死记硬背，要么便是不停的推导增强熟练度来记忆，其实我们可以通过公式的逻辑结构来记忆，这个公式其实对于高中生用得更多一些，不久前做了一道满综合的题目是无意中想起了当时总结的记忆法，只要大家按我说的方法来记忆，保证20秒内牢记这些公式，下面我来说说记忆的方法：
对于积化合差公式来说，首要的原则是，等号左边的若异名，等号右边全是sin，等号左边同名，等号右边全是cos，其次，右边中间的和与差取决于左边第二项，若是cos，则是+，若是sin，则是-，最后记得sin*sin时要添上一个负号。

对于和差化积公式来说，第一，若等号左边全是sin，则右边异名，若等号左边全是cos，则等号右边同名，第二，等号左边中间的正负号决定了右边第二项，若是正，则是cos，若是负，则是sin，然后可以根据第一条原则写出完整的右边式子，最后记得cos-cos要添一个负号。

希望对大家有所帮助，小弟班门弄斧了。

积化和差、和差化积记忆口诀及相关练习题

D.
3 4
6.cos72°－cos36°的值为( )
1
A．3－2 3
B.2
1 C．－2
D．3＋2 3
7.在△ABC 中，若 sinAsinB＝cos2C2，则△ABC 是(
)
A．等边三角形 B．等腰三角形 C．不等边三角形 D．直角三角形
8．函数 y＝sinx－π6 cosx 的最大值为(
A.12
B.14
答案： 24＋1＝21 22＋21＝ 24＋1.＝21(sin45°＋sin30°)
1 4 解析：sin37.5°cos7.5°＝2[sin(37.5°＋7.5°)＋sin(37.5°－7.5°)]
5 解析：选 A.
1
1
sin70°cos20°－sin10°sin50°＝2(sin90°＋sin50°)＋2(cos60°－cos40°)
2 解析：选 B.sin15°sin75°＝－21[cos(15°＋75°)－cos(15°－75°)] ＝－21(cos90°－cos60°)＝－12(0－21)＝41.
3 解析：选 C.sin105°＋sin15°＝2sin105°2＋15°cos105°2－15° ＝2sin60°cos45°＝ 26.
＝cos(x＋π6 )．
∵x∈0，π2 ，
∴π6 ≤x＋π6 ≤2π3 ，
∴y∈－12， 23.
) C．1
D.
2 2
9．若 cos(α＋β)cos(α－β)＝13，则 cos2α－sin2β等于(
)
2
1
1
2
A．－3
B．－3
C.3
D.3
10．函数 y＝sinx＋π3 －sinx(x∈[0，π2 ])的值域是(

瞬间记住三角函数和差化积积化和差公式

积化和差
sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2
cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2
cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2
sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2
和差化积
sinx+siny=2sin((x+y)/2)*cos((x-y)/2)
sinx-siny=2cos((x+y)/2)*sin((x-y)/2)
cosx+cosy=2cos((x+y)/2)*cos((x-y)/2)
cosx-cosy=-2sin((x+y)/2)*sin((x-y)/2)
对于积化和差公式来说，首要的原则是，等号左边的若异名，等号右边全是sin，等号左边同名，等号右边全是cos，其次，右边中间的和与差取决于左边第二项，若是cos，则是+，若是sin，则是-，最后记得sin*sin时要添上一个负号。

对于和差化积公式来说，第一，若等号左边全是sin，则右边异名，若等号左边全是cos，则等号右边同名，第二，等号左边中间的正负号决定了右边第二项，若是正，则是cos，若是负，则是sin，然后可以根据第一条原则写出完整的右边式子，最后记得cos-cos要添一个负号。

24.积化和差与和差化积【学生版】(正式版)(含答案)

积化和差与和差化积【课前预习】一、知识梳理 1.积化和差公式：sin cos αβ= ，cos sin αβ= ，cos cos αβ= ，sin sin αβ= .2.和差化积sin sin αβ+= ，sin sin αβ-= ， cos cos αβ+= ，cos cos αβ-= .二、基础练习1.若1tan 4tan αα+=，则sin 2α= . 2.已知(,0)2πα∈-，且4cos 5α=，则tan 2α= .3.不用计算器，化简7sin sin 2424ππ= .4.不用计算器，化简5sin sin 1212ππ+= .5.设θ为锐角，且4cos cos cos 217ππθ+=，则θ= .6.函数sin(2)cos23y x x π=-+的最小正周期是 .7.函数sin()cos 6y x x π=-的最小值是 .8.已知30,0,cos()225ππαβαβ<<-<<-=，且3tan 4α=，求sin β的值.【例题解析】例1.(1)求函数sin()cos()33y x x ππ=-+的最小正周期. (2)求函数sin sin()3y x x π=-+的最大值.例2.若23παβ+=，(1)求cos cos αβ+的最大值；(2)求22sin sin αβ+的取值范围.例3.已知11sin sin ,cos cos 32αβαβ-=--=，求cos()αβ-和sin()αβ+的值.例4.在ABC ∆中，求证：sin sin sin 4cos cos cos 222A B C A B C ++=积化和差与和差化积姓名班级【巩固练习】1.已知cos()6x π-=，则cos cos()3x x π+-= . 2.已知3sin()cos()144x x ππ++=，则cos 4x = .3.已知23παβ-=，且1cos cos 3αβ+=，则cos()αβ+= .4.已知1cos cos 3αβ+=-，1sin sin 2αβ+=，则cos()αβ+的值为_____.5.若tan (0)m m α=≠，则sin α=（）B. C. D.06.若04παβ<<<，sin cos ,sin cos a b ααββ+=+=，则( )(多选题)A.a b <B.a b >C.1ab <D.2ab <7.若,αβ满足0,0,(0,)2παβαβ>>+∈，且cos cos a αβ=+，sin sin b αβ=+，sin()c αβ=+，则c b a ,,的大小关系是( )A.a b c <<B.b a c <<C.c a b <<D.c b a << 8.求证：22cos cos sin()sin()αβαβαβ-=-+-9.设0,02παβ><<，且56παβ+=，求222sin cos y αβ=--的最小值.10.已知ABC ∆的内角,,()A B C A B C ≤≤满足2B A C =+sin sin 2AA C =+，求角,,ABC 的值.【提高练习】11.已知角,αβ的顶点在坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，,(0,)αβπ∈.且β的终边与单位圆交点的横坐标是13-，αβ+的终边与单位圆交点的纵坐标是45，则cos α= . 12.化简22222sin sin ()sin ()33A A A ππ+++-=_______.【课前预习】一、知识梳理 1.积化和差公式：sin cos αβ=1[sin()sin()]2αβαβ++-，cos sin αβ=1[sin()sin()]2αβαβ+--， cos cos αβ=1[cos()cos()]2αβαβ++-，sin sin αβ=1[cos()cos()]2αβαβ-+--. 2.和差化积sin sin αβ+=2sincos22αβαβ+-，sin sin αβ-=2sincos22αβαβ-+，cos cos αβ+=2coscos22αβαβ+-，cos cos αβ-=2sinsin22αβαβ+--.二、基础练习1.若1tan 4tan αα+=，则sin 2α= .122.已知(,0)2πα∈-，且4cos 5α=，则tan 2α= .247-3.不用计算器，化简7sin sin 2424ππ= .144.不用计算器，化简5sin sin 1212ππ+= .5.设θ为锐角，且4cos cos cos 217ππθ+=，则θ= .1021π 解：410cos cos cos 2sin sin()sin cos7216424221ππππππθ=-=--== 6.函数sin(2)cos23y x x π=-+的最小正周期是 .π7.函数sin()cos 6y x x π=-的最小值是 .34- 解：1sin()cos [sin(2)sin()]6266x x x πππ-=-+-8.已知30,0,cos()225ππαβαβ<<-<<-=，且3tan 4α=，求sin β的值.解：33447sin sin[()]555525βααβ=--=⨯-⨯=-【例题解析】例1.(1)求函数sin()cos()33y x x ππ=-+的最小正周期. (2)求函数sin sin()3y x x π=-+的最大值.解：(1)min T π= (2)max 2cos()sin(),166y x y ππ=+-=例2.若23παβ+=，(1)求cos cos αβ+的最大值.(2)求22sin sin αβ+的取值范围. 解：(1) cos cos 2coscos()cos()3παβαβαβ+=-=-cos cos αβ⇒+最大值为1(2)221cos21cos21sin sin 1(cos2cos2)222αβαβαβ--+=+=-+11cos()cos()1cos()2αβαβαβ=-+-=+-又1cos()1αβ-≤-≤，所以22sin sin αβ+的取值范围是13[,]22。

积化和差与和差化积复习练习题

积化和差与和差化积复习练习题1、求值：cos24°﹣sin6°﹣cos72°解：原式=（sin66°-sin6°）-cos72°=2cos36°sin30°-cos72°=cos36°-cos72°=2sin54°sin18°=2cos36°cos72°==︒︒︒︒367236362sin cos cos sin 21362144=︒︒sin sin 2、（93年高考题）求　tg20°＋4sin20°　的值。

()32020602204080204010302204040202040220202020420=︒︒︒=︒︒+︒=︒︒+︒︒=︒︒+︒+︒=︒︒+︒=︒︒︒+︒=cos cos sin cos sin sin cos sin cos sin cos sin sin sin cos sin sin cos cos sin sin :原式解3、求值：()︒+︒︒+︒+︒10011060180502sin tg tg sin sin 解：原式=︒+⎪⎭⎫ ⎝⎛︒︒+︒+︒10110103110502cos cos sin cos sin =()︒︒+︒+︒52103105022cos sin cos sin =︒︒+︒52402502cos sin sin =25254522=︒︒︒⋅⋅cos cos sin4、已知sin （A+B ）=，sin （A-B ）=﹣，求值： 5354A cos B sin A sin 4222411---解：原式=1﹣sin 22A ﹣sin 2B ﹣（）241221A cos +=1﹣sin 22A ﹣sin 2B ﹣﹣﹣=﹣sin 2B ﹣414122A cos 422A cos 2122A cos ==sin （A+B ）sin （A ﹣B ）=×（﹣）=222A cos B cos -53542512-5、试证：cos 2（A-θ）+cos 2(B ﹣θ)-2cos（A-B ）cos （A-θ）cos （B-θ）的值与θ无关。

高中数学必修4(人教B版)第三章三角恒等变换3.3知识点总结含同步练习题及答案

答案： B
4. 若 cos x cos y + sin x sin y =
答案：解析：
2 3 1 2 cos (x − y) = ， sin 2x + sin 2y = 2 sin (x + y) cos (x − y) = 2 , 故 sin (x + y) = ． 2 3 3
1 2 ，sin 2x + sin 2y = ，则 sin (x + y) = 2 3
1 [cos(α + β) + cos(α − β)]， 2 1 sin α sin β = − [cos(α + β) − cos(α − β)]， 2 1 cos α sin β = [sin(α + β) − sin(α − β)]， 2 1 sin α cos β = [sin(α + β) + sin(α − β)]． 2 cos α cos β =
例题：（1）把 cos(x − y) cos(x + y) 化为和差的形式；（2）求 sin 15∘ sin 75∘ 的值；（3）求sin 解：（1）
π 5 ⋅ cos π 的值． 12 12
原式 =
1 {cos[(x − y) + (x + y)] + cos[(x − y) − (x + y)]} 2 1 = [cos 2x + cos (−2y)] 2 1 1 = cos 2x + cos 2y. 2 2
（2）原式 =
1 π 2π π 4π π 6π × (2 sin cos + 2 sin cos + 2 sin cos ) 7 7 7 7 7 7 2 sin π 7 1 3π π 5π 3π 7π 5π = − sin ) + (sin − sin ) + (sin − sin )] π × [(sin 7 7 7 7 7 7 2 sin 7 1 π = ) π (sin π − sin 7 2 sin 7 1 =− . 2

附录13 积化和差与和差化积,万能及半角公式

2
64
f (x) 的值域为[ 3 , 1]
44
③求函数 f (x) sin 2x cos(2x ) 的值域
法2：
f
(
x)

sin[
2x

(2x

6
6 )]
sin[
2x

(2x

6
)]
2
sin( 4x ) sin( )

6
6
2
1 sin( 4x ) 1
2 cos1000 cos800 1 1
22
③求函数 f (x) sin( x ) sin( 5 x) 的值域
12
12
解：
f (x) sin( x ) sin( x 5 )
12
12
sin[( x ) ] sin[( x ) ]
②求cos400+cos600+cos800+cos1600的值解：原式= (cos1600 cos 400 ) cos800 1
2 [cos(1000 600 ) cos(1000 600 )] cos800 1
2 2 cos1000 cos 600 cos800 1

1
2t t
2
③
cos 2
1 tan 2 1 tan 2
1t2 1 t2
设t tan ，则
1+t2 2t
2
1-t2
此记忆方法乃代数换元法，体现了三角式与代数式可代换
注2.万能公式的证明：三角变换的技巧——数式互换

三角函数的和差化积与积化和差练习题

三角函数的和差化积与积化和差练习题在学习三角函数的和差化积与积化和差之前，首先我们需要了解一些基本的三角函数的公式。

三角函数包括正弦函数(sin)，余弦函数(cos)，正切函数(tan)，它们在数学中有着重要的应用和意义。

接下来，我们将通过练习题来巩固和加深对三角函数的和差化积与积化和差的理解。

1. 把以下的和差化积公式填入空格：(1) sin(A + B) = ______(2) cos(A - B) = ______(3) tan(A + B) = ______[答案](1) sin(A + B) = sinA * cosB + cosA * sinB(2) cos(A - B) = cosA * cosB + sinA * sinB(3) tan(A + B) = (tanA + tanB) / (1 - tanA * tanB)2. 利用和差化积公式化简以下三角函数：(1) sin(45° + 30°) = ______(2) cos(60° - 45°) = ______(3) tan(60° + 45°) = ______[答案](1) sin(45° + 30°) = sin45° * cos30° + cos45° * sin30° = (√2/2) * (√3/2) + (√2/2) * (1/2) = (√6 + √2) / 4(2) cos(60° - 45°) = cos60° * cos45° + sin60° * sin45° = (1/2) * (√2/2) + (√3/2) * (√2/2) = (√2 + √6) / 4(3) tan(60° + 45°) = (tan60° + tan45°) / (1 - tan60° * tan45°) = (√3 + 1) / (1 - √3)3. 将以下三角函数的积化和差，利用积化和差公式化简：(1) sin20° * cos40° = ______(2) cos60° * cos30° = ______(3) tan75° * tan15° = ______[答案](1) sin20° * cos40° = (1/2) * (sin(40° + 20°) + sin(40° - 20°)) = (1/2) * (sin60° + sin20°) = (1/2) * (√3/2 + sin20°)(2) cos60° * cos30° = (1/2) * (cos(60° + 30°) + cos(60° - 30°)) = (1/2) * (cos90° + cos30°) = (1/2) * (0 + √3/2) = √3/4(3) tan75° * tan15° = [(tan(75° - 15°) + tan(75° + 15°)) / (1 - tan75° * tan15°)] = [(tan60° + tan90°) / (1 - tan75° * tan15°)] = (√3 + ∞) / (1 - tan75°* tan15°)通过以上练习题，我们可以加深对三角函数的和差化积与积化和差的理解和掌握。

和差化积和积化和差公式记忆口诀

和差化积和积化和差公式记忆口诀《有趣的和差化积公式记忆口诀》小朋友们，今天我要给你们讲讲一个超级有趣的数学知识——和差化积公式记忆口诀！你们知道吗，数学就像一个大大的魔法世界，里面有很多神奇的公式和口诀。

和差化积公式就是其中一个很厉害的魔法咒语哦！这个口诀是“正加正，正在前；正减正，余在前；余加余，余并肩；余减余，负正弦”。

听起来是不是有点像绕口令呀？比如说，当我们要计算sinα + sinβ 的时候，就可以用这个口诀。

我们先看看α和β哪个大，如果α大，那就是“正加正，正在前”，结果就是 2s in[(α + β)/2]cos[(α β)/2]。

是不是觉得有点难理解？没关系，多做几道题，多想想这个口诀，你就会发现它真的很好用！数学的世界充满了惊喜和乐趣，让我们一起探索吧！《我学会了和差化积公式记忆口诀》亲爱的小伙伴们，我最近学会了一个超棒的数学技巧，那就是和差化积公式记忆口诀！老师教我们的时候，我一开始还有点迷糊呢。

但是后来，我发现只要记住这个口诀，做题就变得容易多啦！口诀是这样的：“正加正，正在前；正减正，余在前；余加余，余并肩；余减余，负正弦”。

我给你们举个例子吧。

比如说计算sin70° + sin50°，按照口诀“正加正，正在前”，就能很快算出结果啦。

学会这个口诀后，我做数学作业的速度都变快了，而且还觉得很有意思。

小伙伴们，你们也快来试试吧！《神奇的和差化积公式记忆口诀》小朋友们，今天我要给你们介绍一个神奇的东西——和差化积公式记忆口诀！在数学的海洋里，有很多难题等着我们去解决，而这个口诀就像是一把神奇的钥匙，可以打开很多难题的大门。

这个口诀是“正加正，正在前；正减正，余在前；余加余，余并肩；余减余，负正弦”。

比如说，有一道题让我们求sin80° sin20°，这时候口诀就派上用场啦，“正减正，余在前”，很快就能得出答案。

有了这个口诀，数学变得不再那么难，反而变得有趣起来了。

（甘志国）记住积化和差、和差化积公式等于做十道难题!

记住积化和差、和差化积公式等于做十道难题！甘志国(该文已发表河北理科教学研究，2012(3)：26-28)三角函数中的积化和差、和差化积公式分别是：三角函数中的积化和差、和差化积公式分别是：ïïþïïýü--+=--++=--+=-++=)cos()cos(sin sin 2)cos()cos(cos cos 2)sin()sin(sin cos 2)sin()sin(cos sin 2b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a ①ïïïïþïïïïýü-+-=--+=+-+=--+=+2sin 2sin 2cos cos 2cos2cos 2cos cos 2sin2cos 2sin sin 2cos 2sin 2sin sin j q j q j q j q j q j q j q j q j q j q j q j q ②在上世纪的高中数学教科书(人教版，下同)它们是以公式的形式给出的，并且运用广泛，高考时也运用较多(并要求熟记这些公式)；但到了上世纪九十年代后期，它们虽然也是教科书上的公式，但在高考时不要求记忆这些公式(在高考试卷的开头总是给出它们)，只要会套用它们就行了；到了新千年，它们在教科书中仅以例题、练习题的形式给出(比如，普通高中课程标准实验教科书《数学4·必修·A 版》(人民教育出版社，2007年第2版)(下简称《数学4》)第140页的例2及第142页练习的第2,3题)，高考时也可以不用它们来解题(所以高考试卷上也没给出这些公式). 但笔者要说明的是：但笔者要说明的是：(1)记住这两组公式是很容易的——运用整体记忆法：只须按顺序记住其框架——记住这两组公式是很容易的——运用整体记忆法：只须按顺序记住其框架——ïïþïïýü-=-+=-=+=cos#cos@sin sin 2cos#cos@cos cos 2sin#sin@sin cos 2sin#sin@cos sin 2b a b a b a b a其中“@”表示“)(b a +”，“#”表示“)-(b a ”. ïïþïïýü*-=-*=+*=-*=+sin&sin 2cos cos cos&cos 2cos cos sin&cos 2sin sin cos&sin 2sin sin j q j q j q j q 其中“*”表示“2j q +”，“&”表示“2jq -”. (2)证明这两组公式是很容易的：对于①，只须用学生熟知的和差角公式把右边展开；jq j q +jq jq p 3p 333333-333233333p 333pp p p p p p p p ，púùp p p 33332qp p p 333323÷öp p ú22,-1)p图1 p p)pp pp2=cos2p8，22330，问：当522中，由正弦定理，得sin sin OM OP OPM OMP =ÐÐ，所以()sin 45sin 45OP a °=°+. ()sin 45sin 75OP a °=°+12=´()()1sin 454sin 45sin 75OP a a °=´°+°+)602cos(30cos 2)1202cos(30cos 2)45(sin )75(sin 22°-+°=°+-°=°+°+--=a a a a 43．+(2所以所求j 的值为Î+=(2ppj). 评注若用和差化积公式②的第二个公式可得更简洁的解法：若用和差化积公式②的第二个公式可得更简洁的解法：函数)s i n ()(j +=是偶函数0)s i n ()s i n (=+-+-Ûj j 恒成立0)s i n (c o s 2=-Ûj 恒成立Î+=Û=Û(20cos pp j j ) 所以所求j 的值为Î+=(2ppj). 例 (莫斯科大学数学力学系入学考试试题2009年第5(I)5(I)题也即口试第一题题也即口试第一题题也即口试第一题))叙述并证明正弦和差化积公式、余弦和差化积公式. 例 (2011年华约自主招生试题第11题)已知D 不是直角三角形. (1)证明：tan +tan +tan =tan tan tan ；(2)若tan +tan3tan -1=tan，且s i n 2,s i n 2,s i n 2的倒数成等差数列，求-o c os s2的值. 解答例10的第(2)问就要用到积化和差、和差化积公式，答案为1或64. 例 (2013年华约自主招生试题第2题)已知51cos cos ,31sinsin =-=+，求)sin(),(cos -+的值. 求例11中)sin(-的值就要用到和差化积公式，本题的答案为1715,225208-. 所以从一定程度上来说：记住积化和差、和差化积公式等于做十道难题！所以从一定程度上来说：记住积化和差、和差化积公式等于做十道难题！。

和差化积速记口诀

和差化积速记口诀以下是为您生成的十个和差化积速记口诀：口诀一：一和一差正弦存，余弦和差变相乘。

正弦之和化余弦，正弦之差化负乘。

余弦之和化余弦，余弦之差化正乘。

和差公式要记清，做题方能快又准。

口诀二：一正一负有区分，和差化积不犯晕。

正弦之和用余弦，符号跟着前面奔。

正弦之差也余弦，负号记得要紧跟。

余弦之和仍余弦，余弦之差要当心。

口诀三：一加一减细思量，和差化积有妙方。

正弦之和如余弦，正负要看最初样。

正弦之差同余弦，符号千万别遗忘。

余弦之和还是它，余弦之差别紧张。

口诀四：一和一差有规律，和差化积心有底。

正弦相加变余弦，正弦相减负到底。

余弦相加仍余弦，余弦相减要注意。

记住口诀多练习，数学成绩提上去。

口诀五：一正一负要辨明，和差化积分得清。

正弦和时余弦现，正弦差时负号添。

余弦和时仍余弦，余弦差时正号连。

轻松记忆不犯难，解题思路如涌泉。

口诀六：一加一减有诀窍，和差化积不难搞。

正弦之和余弦化，正负跟着前面跑。

正弦之差也余弦，负号千万不能少。

余弦之和不变样，余弦之差要记牢。

口诀七：一和一差仔细瞧，和差化积要记牢。

正弦相加变余弦，正弦相减负号飘。

余弦相加仍余弦，余弦相减正号标。

理解透彻运用好，数学天地任逍遥。

口诀八：一正一负别混淆，和差化积记得妙。

正弦之和化余弦，正弦之差负号绕。

余弦之和是余弦，余弦之差正号抱。

掌握规律多动脑，成绩优秀人人傲。

口诀九：一加一减要理清，和差化积思路明。

正弦和化余弦正，正弦差化余弦负。

余弦和仍为余弦，余弦差是正无误。

反复练习熟于心，数学难题都让步。

口诀十：一和一差巧分辨，和差化积不再难。

正弦相加余弦来，正弦相减负号在。

余弦相加仍余弦，余弦相减正号摆。

轻松学会乐开怀，知识海洋畅行快。

三角函数和差化积与积化和差公式(附证明和记忆方法)

和差化积和积化和差公式之阿布丰王创作正弦、余弦的和差化积2sin 2sin 2cos cos βαβαβα-⋅+-=- 【注意右式前的负号】也可以通过其证明来记忆，因为展开两角和差公式后，未抵消的两项相同而造成有系数2，如：cos(α-β)-cos(α+β)=1/2[(cosα·cosβ+sinα·sinβ)-(cosα·cosβ-sinα·sinβ)]=2sinα·sinβ故最后需要除以2。

使用同名三角函数的和差无论乘积项中的三角函数是否同名，化为和差形式时，都应是同名三角函数的和差。

这一点主要是根据证明记忆，因为如果不是同名三角函数，两角和差公式展开后乘积项的形式都分歧，就不会出现相抵消和相同的项，也就无法化简下去了。

使用哪种三角函数的和差仍然要根据证明记忆。

注意两角和差公式中，余弦的展开中含有两对同名三角函数的乘积，正弦的展开则是两对异名三角函数的乘积。

所以反过来，同名三角函数的乘积，化作余弦的和差；异名三角函数的乘积，化作正弦的和差。

是和还是差？这是积化和差公式的使用中最容易出错的一项。

规律为：“小角”β以cosβ的形式出现时，乘积化为和；反之，则乘积化为差。

由函数的奇偶性记忆这一点是最便捷的。

如果β的形式是cosβ，那么若把β替换为-β，结果应当是一样的，也就是含α+β和α-β的两项调换位置对结果没有影响，从而结果的形式应当是和；另一种情况可以类似说明。

正弦-正弦积公式中的顺序相反/负号这是一个特殊情况，完全可以死记下来。

当然，也有其他方法可以帮忙这种情况的判定，如[0,π]内余弦函数的单调性。

因为这个区间内余弦函数是单调减的，所以cos(α+β)不大于cos(α-β)。

但是这时对应的α和β在[0,π]的范围内，其正弦的乘积应大于等于0，所以要么反过来把cos(α-β)放到cos(α+β)前面，要么就在式子的最前面加上负号。